Método da Diferença Central. Método de Hubolt.

Método da Diferença Central

0

2

00

002

000

2

002

000

200

002

001

000

222

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (A) de

2 (B) de

se- tem,fornecidos e Com

efetiva rigidez de matriz da ofatorizaçãrequer não

211 2

211

21 2 1

tempono equilíbrio

(B) 2 1 (A); 21

UtUtUU

UUtUtUUtU

UUtUtUUUUtUtUUtU

UUUtU

UKUCRMUUU

ExplícitoIntegraçãoMétodo de

UCt

Mt

UMt

KRUCt

Mt

RUKUUCt

UUUMt

RUKUCUM

t

UUUt

UUUt

U

t

t

tttt

tt

t

tttttt

ttttttttttt

tttt

ttttttttttt


_____________________________________________________________________________ 2

tempono saceleraçõe e es velocidadas calcule requerido, Caso 3.

ˆ

: tempono tosdeslocamen os para Resolva 2. ˆ

: tempono efetivas cargas as Calcule 1. B.

_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .6

.ˆ :ˆ efetiva massa de matriz a Construa .5

. 2

Calcule 4.

.1 ;2 ;21 ;1

:integração de constantes as calcule e , , tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2

. ntoamortecime de e , massa de , rigidez de matrizes as Construa 1. A.

_____________________________________________________________________________

0

1

102

10

0

2

00

2302120

000

tttttt

ttttt

tΔttT

ttttt

T

t

ncr

UUUaU

UUaU

tRULDL

ΔttUCaMaUMaKRR

tempo: Passo de TPara Cada

LDLMM

CaMaMM

UtUtUU

aaaa

ta

ta

TtttUUU

CMKniciais: Cálculos I

Método de Hubolt

esquema. outro utilizando e Calcule

fornecidos e , Com

efetiva rigidez de matriz da ofatorizaçãrequer Implícito Integração de Método

311

234 35

6112

21 2 1

tempono equilíbrio

(B) 4 5 21 (A); 2 9 1161

2

001

000

22222

2

222

tt

t

ttttttttt

ttttttttttt

tttttttt

ttttttttttttttttt

UU

UKUCRMUUU

UCt

Mt

UCt

Mt

UCt

Mt

RUKCt

Mt

RUKUUCt

UUUMt

RUKUCUM

tt

UUUUt

UUUUUt

U

Método de Hubolt

_____________________________________________________________________________

tempono saceleraçõe e es velocidadas calcule requerido, Caso 3.

ˆ



_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .6

.ˆ :ˆ efetiva rigidez de matriz a Construa .5

. e calcular para partida de especial toprocedimen um Use4.

.9

;2

;2

;2

;3 ;5 ;611 ;2

:integração de constantes as calcule e tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2


_____________________________________________________________________________

26420

27531

27532642

10

2

37

06

3504

322120

000

ttttttttt

ttttttttt

ttΔttT

tttttttttttttt

T

tt

UaUaUaUaU

UaUaUaUaU

ttRULDL

ΔttUaUaUaCUaUaUaMRR

ttempo: Passo de TPara Cada

LDLKK

CaMaKKK

UU

aaaaaaaa

ta

ta

ta

ta

tUUU


Método de Wilson

tttttttttttttt

ttttttt

ttttttt

ttttttttttttt

ttttttttttt

ttttttttttttt

ttttt

RRRRRUKUCUM

Δtt

UUt

UUt

U

UtUUUt

U

UUtUtUUUt

tUtUtUU

UUt

tUUUt

tUtUU

tt

UUt

UUUUUUt

UUU

UUt

UU

com ;

fornece tempono Equilíbrio

2 6 6

2

2 3

2 6

6

2

; 2

2

em

6

2

; 2

2

232

22

322

tU ttU ttU

t t+t t+t

Método de Wilson

_____________________________________________________________________________ 2

tempono tos,deslocamen os e es velocidads,aceleraçõe as Calcule 3.

ˆ

: tempono tosdeslocamen os para Resolva 2. 2 2 ˆ


_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .5


.6

;2

;31 ;

;2

;2 ;3 ;6

:1,4) te(normalmen integração de constantes as calcule e tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2


_____________________________________________________________________________

8

7

65 4

3120

10

2

8762

5

04312120

000

ttttttt

tttttt

ttttttt

ttΔttT

tttttttttttt

T

UUaUtUU

UUaUU

UaUaUUaU

ttRULDL

ΔttUaUUaCUUaUaMRRRR


LDLKK

CaMaKKK

tataaaa

aataaat

at

a

tUUU


Método de Newmark

tttttttt

tttttttttttttt

ttttttttttttt

ttttt

tttttttttttt

ttttttttttt

tttt

ttttttt

tttttt

RUKUCUM

Δtt

tUUtUUUtUUUUUU

tUUUUtUUUUU

UUtUU

tUUtUUUUUUUU

tUUUUUUUU

UUU

tUUtUUU

tUUUU

fornece tempono Equilíbrio

61 e 21 61 611 6 2

21 211 2

1) com Wilson de (MétodoLinear Aceleração da Método

41 e 21 41 4121 2 21

21 21 21

21

Constante Aceleração da Método

21

1

232

2

22

2

tU tU ttU

t t+t

Método de Newmark

_____________________________________________________________________________

tempono s aceleraçõe e es velocidadas Calcule 3.

ˆ



_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .5


. ;1 ;22

;1

;121 ;1 ; ;1

5,025,0 ;5,0

integração de constantes as calcule e e parâmetros , tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2


_____________________________________________________________________________

76

320

541320

10

7654

32120

2

000

tttttt

ttttttt

ttΔttT

tttttttttt

T

UaUaUU

UaUaUUaU

ttRULDL

ΔttUaUaUaCUaUaUaMRR


LDLKK

CaMaKKK

tatataa

at

at

at

a

tUUU


Superposição Modal

tRPtRPKPKPCPCPMPM

tRtXKtXCtXM

tRPtXPKPtXPCPtXPMP

tRtXPKtXPCtXPM

tXPtUtXPtUtXPtU

tRtUKtUCtUM

TTTT

TTTT

~ ; ~ ; ~ ; ~ com

~~~~

e


0M ;0M com

Ω

M ;Ω M

Ω ;,...,,

com 21 ,,

sen0

00

2

22

2

22

21

221

2

0

UXUX

tRtXtXCtX

tXtUIKK

M,...,n,iMK

tttUtUKtUM

TT

TT

TT

n

n

ijjT

iii


n

iii

ii

iiii

t

iii

i

Titi

Titi

Tiiiiii

TT

T

txtU

ttdtrtx

UMx; UMx

tRtrtrtxtx

UXUX

tRtXtX

1

0

00

2

00

2

iniciais condições daspartir a osdeterminad são e onde

cossensen1

Duhamel de integral pela dada é soluçãoA

00 com

onde ;

0M ;0M com

Ω

ntoAmortecime sem Análise a)


KMCp

KMaMC

txtU

ttedtrtx

UMx; UMxtRtrtrtxtxtx

j i j; δ i δ

C

UXUXtRtXtXCtX

p

k

k

k

n

iii

iiiii

iiiit

t

it

ii

i

Titi

Titi

Tiiiiiiiii

ijijij

ijiijT

i

TTTT

iiii

Rayleigh de ntoAmortecime 2

se satisfeita é I quemostrar sePode

1 e iniciais condições daspartir a calculados são e onde

cossensene1

Duhamel de integral pela dada é soluçãoA

00 com onde ; 2

para0para1Kronecker de delta o é onde

I 2 que em especial caso no

0M ;0M com Ω

ntoAmortecime com Análise b)

1

0

1

1

2

0

-

002

002

Aproximação da Integração Direta e Operadores de Carga


ttt

t

t

tt

tttttt

ttttt

tttttt

tttt

rtt

xx

tt

tt

xx

rt

txttx

ttx

xxt

x

xxxt

x

rxxx

01

0111

12

111

12

21

212

222

222

2

2


Método de Wilson

tttttttt

ttttttt

tttttt

ttttttt

tttttt

ttttt

rxxx

txxtxxx

txxxx

txxxxxx

txxxxx

txxxx

2

2

32

2

26

2

2

621

2


Método de Wilson

ttt

rt

t

xxx

tt

tt

tt

xxx

tt

t

t

t

tt

tt

tt

; 6

6

2

61

361

26211

21

21

26211

12113

1

32

22

2

2

22

22

2

2

2


ttt

t

t

xxx

tt

tt

tt

xxx

txxtxxx

txxxxrxxx

t

t

t

tt

tt

tt

ttttttt

tttttt

tttttttt

; 21

1211221

21

12112211

1211221

21

12

1

22

2

2

22

2

2

2

2

Método de Newmark

rt+t

Análise de Estabilidade

tnttnttnt

ttn

tn

tn

tnt

tttt

rLrLArLA

rLArLAXAX

rLXAX

1232

21

...ˆˆ

ˆˆ

Para r(t) = 0

tn

tnt XAX ˆˆ

Um método de integração é incondicionalmente estável se a solução para quaisquer condições iniciais não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande. O método é somente condicionalmente estável se a condição é satisfeita somente se t/T é menor do que certo valor, usualmente chamado de limite de estabilidade.

Análise de Estabilidade

Análise da Precisão

Extrapolação de Richardson

1111111

mmm hOhChOhe

111111

mm hOhChqq

Seja q1(h1) o resultado de uma análise numérica, utilizando-se uma malha definida pelo parâmetro h1. Seja, por outro lado, e1(h1) o erro desta solução, de ordem m, ou seja,

onde C1 é uma constante. Tem-se, então,

Seja q2(h2) a solução obtida a partir de outra malha. Se a forma do erro for suposta a mesma, tem-se:

122122

mm hOhChqq

Subtraindo a primeira equação, multiplicada por h2m, da segunda, multiplicada por h1m, obtém-se:

mmmmmmmm hhOhhOhqhqhhq 21

111

2211221


Se os erros de ordem superior forem considerados aproximadamente os mesmos, tem-se:

Pode também ser mostrado que, se o erro na solução tem a forma:

com Ci constantes , tendo-se três soluções, q1, q2 e q3, uma solução melhorada pode ser obtida da expressão

mm

mm

ext hhhqhq

qq21

2112

...221 mm hChCe

mmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmmm

ext hhhhhhhhhhhhhhhhqhhhhqhhhhq

q121231312323

121233131223231

Método da Diferença Central. Método de Hubolt.

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