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1.5- O Método de Cholesky 1.5.1- O Processo de Decomposição de Cholesky

O Processo de Cholesky é definido para a resolução de sistemas lineares (n x n) cuja

matriz do Sistema é Simétrica e Definida Positiva (ver livro de Ruggiero, M.A.G.) A decomposição feita a seguir considera estas hipóteses.

Seja:

=

nn

2n22

1n2111

nn2n1n

2221

11

nn2n1n

n22221

n11211

g0...........

g.....gg.....gg

g...gg.........

gg0g

a.....aa..........

a.....aaa.....aa

Aplicando a definição de produtos de matrizes obtemos:

a) Elementos diagonais.

2nn

22n

21nnn

222

22122

21111

ggga

gga

ga

+++=

+=

=

L

M

Assim:

( )

=

−=

=

∑−

=

n,,3,2i,gag

ag

I 2/11i

1k

2ikiiii

1111

L

b) Elementos não diagonais. b.1) 1ª coluna

111n1n

113131

112121

gga

gga

gga

=

=

=

M

21

b.2) 2ª coluna

222n211n2n

2242214142

2232213132

gggga

gggga

gggga

+=

+=

+=

K

b.3) Para a j-ésima coluna , teríamos:

jjnj2j2n1j1nnj

jjj,2j2j2,2j1j1,2jj,2j

jjj,1j2j2,1j1j1,1jj,1j

gggggga

gggggga

gggggga

+++=

+++=

+++=

++++

++++

LL

K

K

Assim

( )

⟨⟨

−=

==

∑−

=ij2,gggag

n,,3,2i,ga

g

II

jj

1j

1kjkikijij

11

1i1i K

Utilizadas numa ordem conveniente as fórmulas (I) e (II) determinam os gij. Uma ordem conveniente pode ser:

g11, g21, g31, ..., gn1; g22, g32, ..., gn2; ..., gnn

Observação: 1.) Vimos no caso da decomposição LU, que det(A) = u11.u22...unn, uma

vez que os elementos diagonais de L eram unitários. No caso do método de Cholesky temos:

A = G.Gt ∴ det (A) = (det G)2 = (g11 g22 ......gnn)2

2.) Uma vez calculado G, a solução de Ax = b fica reduzida à solução

do par de sistemas triangulares: Gy = b Gtx = y

22

Exemplo 1.5.1: Seja:

−

−=

310

121011

A

a.) Verificar se A pode ser decomposta em G.G t b.) Decompor A em G.G t c.) Calcular o determinante de A.

d.) Resolver o sistema Ax = b onde

=

5

12

b

Solução:

a.) A é simétrica. Devemos verificar se é positiva definida. Temos: det (A1) = 1 > 0 det (A2) = 1 > 0 det (A3) = det (A) = 2 > 0

Logo A pode ser decomposta em G.G t

b.)

( )

( ) 2gggag

1gg

ggag

1ggag

0gga

g

1gga

g

1gag

332/12

322313333

3222

21313232

222/12

212222

3111

3131

2111

2121

111111

=⇒−−=

−=⇒−

=

=⇒−=

=⇒=

=⇒=

=⇒=

∴

−

−

=

−

−

200

110011

210

011001

310

121011

c.) det (A) = (g11 g22 g33)2 = 2

23

d.) Devemos resolver dois sistemas:

d1.) Gy = b

=

− 512

yyy

210011001

3

2

1

Portanto:

22y7y2y

1y1yy

2y

332

221

1

=⇒=+−

−=⇒=+

=

d.2.) G t. x = y

−=

−

221

2

xxx

200110

011

3

2

1

Portanto:

1x2xx

1x1xx

2x22x2

121

232

33

=⇒=+

=⇒−=−

=⇒=

Logo a solução de

=

−−

512

xxx

310121

011

3

2

1

é

=

211

x

1.5.1- Exercícios

1.5.1.1) Sejam as matrizes:

−

−=

944

4102424

A ;

=

020

231013

B

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Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax = b, Bx = b, pelo processo de

Cholesky, onde

=

9

162

b

1.5.1.2) Resolva o sistema abaixo pelo processo de Cholesky, completando adequadamente os espaços em branco.

−=++

=++=−+

6x4x2x

6xx10x3xxx2

321

321

321

K

KK

1.5.1.3) Considerando-se que, o sistema de equações lineares algébricas Ax = b onde A

é a matriz não singular, é transformado no sistema equivalente Bx = c, com B = At.A; c = At.b onde At é a transposta de A, então, o último sistema pode sempre ser resolvido pelo processo de Cholesky (isto é, a matriz B satisfaz às condições para a aplicação do método).

Aplicar a técnica acima para achar, pelo processo de Cholesky, a solução do sistema:

=

− 022

xxx

011011101

3

2

1