Método Da Flexibilidade.4

126

Teoria das Estruturas II Verso: 4 Pagina:Prof. Dr. Anselmo Monteiro Ilkiu UNITAU - Universidade de Taubat de:

1

2 Mtodo das Foras - NOTAS DE AULAS3

4 1. Mtodo das foras:5 Para aplicar o mtodo das foras, seleciona-se um conjunto de redundantes estticas Xi cujas6 restries so retiradas da estrutura hiperesttica transformando-a em isosttica. Esse modelo7 isosttico denominado sistema principal.8 Selecionando um sistema principal e os sentidos positivos das redundantes estticas escolhidas,9 o presente mtodo consiste em escrever equaes de compatibilidade de deslocamentos nas

10 direes dessas reduntantes, em procedimento de superposio.11 Adotando a notao ij para representar deslocamentos, a Figura 1 ilustra essa superposio,12 quando as reaes dos apoios centrais so escolhidas como reduntantes. 13

14 q q15

16

17

18

19 10 2020 X1 X221 Estado E = Estado E022 11 2223 21 1224

25

26

27

28 X1 = 1 X2 = 129

30 + X1 x Estado E1 + X2 x Estado E231

32 Figura 1 - Combinao linear de estados no mtodo das foras33

34 No caso, como os deslocamentos desses apoios so nulos, escreve-se as equaes de compati-35 bilidade de deslocamentos.36

37 10 + 11X1 + 12X2 = 038 20 + 21X1 + 22X2 = 0 Eq.(1)39

40 Entende-se que os deslocamentos ij so positivos quando de sentidos coincidentes com os41 sentidos positivos arbitrados para as redundantes Xi. i0 o deslocamento do ponto da redun-42 dante esttica Xi e em sua prpria direo, quando se aplica ao sistema principal o carregamento43 original, no que se chama estado E0 referindo-se aos esforos e deslocamentos que ocorrem

44 nesse sistema com esse carregamento. ij com j diferente de zero, igual ao deslocamento do45

46 A.M.I.

226


47

48 ponto da reduntante Xi e em sua direo, quando se aplica ao sistema principal uma fora unitria49 no ponto e na direo da redundante Xj, no que se denomina estado Ej. Em notao anloga,50 E representa o estado da estrutura original.51 A equao anterior pode ser escrita na forma matricial:52

53

54 Eq.(2)55

56 Uma vez que tenham sido determinadas as referidas redundantes, os esforos e deslocamentos57 na estrutura original podem ser obtidos pela combinao linear:58

59 E = E0 + Xi.Ei Eq.(3)60

61 Onde i varia de 1 at o nmero total de redundantes. Alternativamente, conhecendo-se os valores62 das redundantes estticas, a estrutura originalmente hiperesttica passa a ser isosttica, permi-63 tindo a determinao direta das demais reaes de apoio e de quaisquer esforos internos, com64 as equaes da esttica.65 Os coeficientes i0 e ij podem ser obtidos com o mtodo da fora unitria. Assim, considerando66 inicialmente a estrutura sem efeito da temperatura, sem apio elstico, sem deslocamento 67 prescrito, escreve-se:68

69 Eq.(4)70

71

72 Sendo: n, m, v, t so os esforos internos causados pelas cargas virtuais.73 N, M, V, T so os esforos internos causados pelas cargas reais.74 G = E/[2(1+)] o mdulo de elasticidade tranversal.75 J o momento polar de inrcia onde J = Ix + Iy76 Av a rea efetiva de cisalhamento onde Av = A/f, sendo f o fator de cisalhamento que77 funo da forma geomtrica da seo transversal real.78

79 O mtodo das foras tem a seguinte sistemtica:80 a) Escolha de um sistema estrutural isosttico, denominado sistema principal.81 b) Clculo dos coeficientes de flexibilidade e de carga.82 c) Montagem e resoluo do sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos para83 a obteno das redundantes estticas.84 d) Obteno dos esforos finais.85

86 provado, atravs de exemplos, que a influncia dos esforos normais e cortantes no resultado87 final pequena e so na maioria dos casos desprezados. Portanto, a equao mais utilizada na88 anlise do deslocamento dada por:89

90 Eq.(5)91

92

93

94

95

=

20

10

2221

1211

21

XX

dxGJTt

GAVv

EIMm

EANn

x vij .

....

+++=

dxGJTt

EIMm

xij .

.. +=

A.M.I.

326


96 Exemplo 1:97 Determinar as constantes hiperestticas (redundantes estticas) para a viga seguir:98

99 20[kN/m]100 50,0[kNm]101

102

103 A B C104 5,0[m] 4,0[m]105

106 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]107 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m

4]

108 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 7,4E-05 [m4]

109

110 Soluo:111 O nosso objetivo determinar os momentos que ocorrem nos apoios A e B que so as constan-112 tes hiperestticas que tornam a estrutura isosttica.113

114 1. Utilizando o Mtodo das Foras, vamos considerar a estrutura no Estado E0 como articulada115 no apoio A e rotulada no apoio B, permitindo a rotao nesses apoios, resultando no momento116 fletor igual a zero nos referidos apoios. Sendo assim a estrutura ter o comportamento de uma117 viga Gerber isosttica.118 20[kN/m] rtula119 50,0[kNm]120

121

122 A B C123 5,0[m] 4,0[m]124

125 Deve-se agora determinar os momentos fletores devido ao carregamento real, para a estrutura126 isosttica (viga Gerber) acima:127 Clculo das reaes de apoio:128 50,0[kNm]129

130 B C131 By' Cy132 4,0[m]133 20[kN/m]134 By' Trecho BC:135 Ax Cy = 12,5 [kN]136 A B By' = -12,5 [kN]137 Ay By138 5,0[m] Trecho AB:139 Ay = 50,0 [kN]140 By = 37,5 [kN]141 Ax = 0,0 [kN]142

143

144 Clculo dos momentos fletores: A.M.I.

426


145

146 Corte 1 - Trecho AB: 0 x LAB M1 = (-q.x/2) + Ay.x [kNm] 147

148 Corte 2 - Trecho BC: 0 x LBC M2 = By'.x [kNm] 149

150 2. Momento fletor devido apenas a carga X1 = 1 (virtual) aplicada no apoio A. A carga X1 ter 151 influncia apenas no trecho AB, porque o apoio B uma rtula.152

153 X1 = 1154 Clculo das reaes de apoio:155

156 Ay0 = -0,20157 Ay0 By0 By0 = 0,20158 5,0[m]159

160 Clculo dos momentos fletores:161

162 Corte 1 - Trecho AB: 0 x LAB m10 = -Ay0.x + 1 163 Sendo: m20 = 0164

165 3. Momento fletor devido a carga X2 = 1 (virtual) aplicada no apoio B. Nesse caso a carga X2 ter166 influncia nos dois trechos AB e BC.167

168 X2 = 1169

170 B C171 By1' Cy1172 4,0[m]173

174 By1'175 X2 = 1176 A B177 Ay1 By1178 5,0[m]179

180 Trecho BC: Cy1 = 0,25 Trecho AB: Ay1 = 0,20181 By1' = -0,25 By1 = -0,45182

183 Clculo dos momentos fletores:184

185 Corte 1 - Trecho AB: 0 x LAB m11 = Ay1.x 186

187 Corte 2 - Trecho BC: 0 x LBC m21 = By1'.x + 1188

189

190 3. Clculo dos coeficientes de flexibilidade. A.M.I.

526


191 Para o clculo dos coeficientes de flexibilidade, considerando apenas o momento fletor, tem-se:192

193

194

195

196 Devido as cargas reais/virtuais:197

198 10 = 104,17 / EI [rad]199

200

201

202 20 = 70,83 / EI [rad]203

204

205 Devido apenas as cargas virtuais:206

207 11 = 1,667 / EI [rad]208

209

210 22 = 3,0 / EI [rad]211

212

213

214 12=21= 0,833 / EI [rad]215

216

217 4. Clculo das redundantes estticas:218

219

220

221

222

223

224

225 Resolvendo o sistema, tem-se: X1 = -58,86 [kN]226 X2 = -7,27 [kN]227

228 Observar que os coeficientes de flexibilidade, para o momento virtual, so deslocamentos angula-229 res. Portanto, conhecendo-se os deslocamentos angulares (rotaes) nos apoios em segmento230 de viga bi apoiada (isosttica), possvel calcular os coeficientes de flexibilidade, conforme ser231 demonstrado no item a seguir.232

233

234

235

236

237

238 2. Mtodo da Flexibilidade:

dxEIMm

xij = .

+= AB BCL L

dxMmdxMmEI 0 0

22011010 ....1

+= AB BCL L

dxMmdxMmEI 0 0

22111120 ....1

+= AB BCL L

dxmmdxmmEI 0 0

2020101011 ....1

+= AB BCL L

dxmmdxmmEI 0 0

2121111122 ....1

+== AB BCL L

dxmmdxmmEI 0 0

212011102112 ....1

=

83,7017,1041

21

.00,383,083,067,11

EIXX

EI

=

20

10

2221

1211

21

XX

A.M.I.

626


239 Para aplicar o mtodo das foras, seleciona-se uma conjunto de redundantes estticas (constan-240 tes hiperestticas) Xi cujas restries so retiradas da estrutura hiperesttica transformada em241 isosttica. Esse modelo isosttico denominado sistema principal, cada estrutura pode ter mais 242 de um sistema principal. No presente estudo vamos considerar sistemas principais apenas com243 constantes hiperestticas de momentos, conforme representado na figura a seguir.244

245 X0 X1 X2 X3246

247 A B C D248

249 L L L250

251 Figura 2 - Sistema principal252

253 Utilizando a matriz de flexibilidade da estrutura, esta etapa ser denominada de mtodo da flexibi-254 lidade utilizando os conceitos fundamentais do mtodo das foras.255 A equao geral do Mtodo da Flexibilidade dada por:256

257 [F].{X} + {C} = {0}258 Vetor de carga259 Vetor hiperesttico260 Matriz de flexibilidade261

262 Considerando a estrutura principal, estrutura redundante (sem os carregamentos externos), con-263 forme representada na Fig.2.264 Nos apoios "A" e "D" os momentos so iguais a zero: X0 = X3 = 0, apoios do 2 e 1 gneros,265 respectivamente.266 Analisando-se o trecho AB, como uma viga bi apoiada, tem-se:267 . 1268 x269 X1270 A x271 B272

273 1/L A B -1/L274

275 z linha elstica276

277 A matriz de flexibilidade do trecho AB obtida determinando os deslocamentos angulares nos278 apoios A e B. Os deslocamentos angulares podem ser obtidos pela equao diferencial da 279 elstica, sendo:280

281 Analisando-se o corte 1, tem-se:282

283

284 Da equao diferencial da elstica, tem-se:285

286

287

288

EIM=

2

2

Lxm =1

A.M.I.

726


289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299 Para x = 0 e x = L tem-se que = 0, portanto:300

301 C2 = 0 e C1 = L/6302

303 O deslocamento angular definido por:304

305

306 Portanto:307

308

309

310 Para x = 0, tem-se: Para x = L, tem-se:311

312 Convm determinar a matriz de flexibilidade para cada vo, sendo que nem sempre os vos sero313 constantes. Para o vo HAB, tem-se:314

315

316

317

318

319

320

321

322

323 Colocando os coeficientes de flexibilidade na forma matricial, para cada vo tem-se324

325

326

327

328

329 Os coeficientes de flexibilidade so interpretados conforme a conveno a seguir:330 11- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X1 devido a carga X1.331 22- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X2 devido a carga X2.332 12- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X1 devido a carga X2.333 21- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X2 devido a carga X1.334

335

336

337 Exemplo 2:338 Determinar as constantes hiperestticas (redundantes estticas) para a viga seguir:

EIx 2

12

.2

CLx

xEI +=

2.16

.3

CxCLxEI ++=

=x

62..

2 LLxEI

xEI +==

][6

radEIL

AB = ][3 radEIL

BA =

][62...................

311rad

EILou

EIL

BA ==

][62...................

322rad

EILou

EIL

BC ==

][62112

radEIL

AB ===

=2112

6EILF

A.M.I.

826


339

340 q341 M342

343

344 A B C345 LAB LBC346

347 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]348 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m

4]


350 Vo AB........................................................ LAB = 5,0 [m]351 Vo BC....................................................... LBC = 4,0 [m]352 Momento concentrado................................ M = 50,0 [kN]353 Carga uniformemente distribuda............... q = 20,0 [kN/m]354

355 Soluo:356 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:357 AB BC BA CB358

359 X0 X1 X2360

361

362 A B C363

364 Linha elstica365

366 Neste caso X2 = M.367

368 Matriz de Flexibilidade:369 A viga com mltiplos apoios tem dois vos de apoios diferentes no comprimento, sendo assim370 deve-se determinar a matriz de flexibilidade para cada um dos vos, logo:371

372 Trecho AB: [FAB] = 1,1E-04 5,4E-05 [kN.m]-1

373 5,4E-05 1,1E-04374

375 Trecho BC: [FBC] = 8,6E-05 4,3E-05 [kN.m]-1

376 4,3E-05 8,6E-05377

378 [F] = [FAB] + [FBC] 1,1E-04 5,4E-05 0

379 [F] = 5,4E-05 1,9E-04 4,3E-05 [kN.m]-1

380 0 4,3E-05 8,6E-05381

382

383

384 Vetor de carga:385 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares. A.M.I.

926


386

387 AB = BC = q.LAB / (24EIAB) = 6,7E-03 [rad]388 BC = M.LBC / (6EIBC) = -2,1E-03 [rad]389 CB = M.LBC / (3EIBC) = -4,3E-03 [rad]390

391 Portanto: 0q = AB = 6,7E-03 [rad]392 1q = BA + BC = 4,6E-03 [rad]393 2q = CB = -4,3E-03 [rad]394

395 Constantes hiperestticas:396 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}397

398 1,1E-04 5,4E-05 0,0E+00 X0 6,7E-03399 5,4E-05 1,9E-04 4,3E-05 X1 .+ 4,6E-03 . = {0}400 0,0E+00 4,3E-05 8,6E-05 X2 = M -4,3E-03401

402 A soluo dos sistema de equaes lineares (determinado) pode ser feito atravs do mtodo de403 eliminao de Gauss.404 Eliminando a 3 linha e a 3 coluna da matriz de flexibilidade, porque X2 = M, que j foi considerado405 na determinao dos coeficientes de flexibilidade, tem-se:406

407 1,1E-04 X0 + 5,4E-05 X1 = -6,7E-03 -6,7E-03408 5,4E-05 X0 + 1,9E-04 X1 = -4,6E-03 -4,6E-03409 -1,1E-04 X0 + -3,9E-04 X1 = 9,1E-03410 0,0E+00 X0 + -3,3E-04 X1 = 2,4E-03411

412 Resultando em: X0 = -58,87 [kN.m]413 X1 = -7,26 [kN.m]414

415

416

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432 Exemplo 3:433 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.

A.M.I.

1026


434 P435 q436

437

438 A B C439

440 LAB/2 LAB/2 LBC441

442 y443 Seo transversal:444 t Trecho t tw b hw445 [mm]446 x AB 12,5 9,5 130,0 260,0447 hw BC 16,0 12,5 160,0 360,0448 tw449 Sendo: Ix = Ix' + y.A450 t Iy = Iy' + x.A451 Ix' = b.h/12452 b Iy' = h.b/12453

454 Seo Transversal455

456 Dados:457 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]458 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m

4]


460 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]461 Vo BC....................................................... LBC = 10,0 [m]462 Carga concentrada..................................... P = 40,0 [kN]463 Carga distribuda........................................ q = 10,0 [kN/m]464


469 X0 X1 X2470

471

472 A B C473

474 Linha elstica475

476 Analisando os apoios, conclui-se que no apoio C o momento igual a zero: X2 = 0.477

478

479 Matriz de Flexibilidade:480 A viga com mltiplos apoios tem dois vos de apoios diferentes no comprimento, sendo assim

A.M.I.

1126


481 deve-se determinar a matriz de flexibilidade para cada um dos vos, logo:482


484 6,4E-05 1,3E-04485


487 3,5E-05 6,9E-05488

489 [F] = [FAB] + [FBC] 1,3E-04 6,4E-05 0

490 [F] = 6,4E-05 2,0E-04 3,5E-05 [kN.m]-1

491 0 3,5E-05 6,9E-05492

493 Vetor de carga:494 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares.495

496 AB = BC = P.LAB / (16.EIAB) = 5,8E-03 [rad]497 BC = CB = q.LBC / (24.EIBC) = 8,6E-03 [rad]498

499 Portanto: 0q = AB = 5,8E-03 [rad]500 1q = BA + BC = 1,4E-02 [rad]501 2q = CB = 8,6E-03 [rad]502


506 1,3E-04 6,4E-05 0,0E+00 X0 5,8E-03507 6,4E-05 2,0E-04 3,5E-05 X1 .+ 1,4E-02 . = {0}508 0,0E+00 3,5E-05 6,9E-05 X2 = 0 8,6E-03509

510 A soluo dos sistema de equaes lineares (determinado) pode ser feito atravs do mtodo de511 eliminao de Gauss.512 Eliminando a 3 linha e a 3 coluna da matriz de flexibilidade, porque X2 = 0, tem-se ento:513

514 1,3E-04 X0 + 6,4E-05 X1 = -5,8E-03 -5,8E-03515 6,4E-05 X0 + 2,0E-04 X1 = -1,4E-02 -1,4E-02516 -1,3E-04 X0 + -3,9E-04 X1 = 2,9E-02517 0,0E+00 X0 + -3,3E-04 X1 = 2,3E-02518

519 Resultando em: X0 = -10,1 [kN.m]520 X1 = -69,7 [kN.m]521

522

523

524

525

526 Esforos solicitantes:527 Os valores de X0 e X1 so os valores das constantes hiperestticas do problema. A.M.I.

1226


528

529 z X1530 P531 q532 X0533 x534 A C535 B536 Az Bz' Bz" Cz537 . 1 . 2 . 3538

539 a) Clculo das reaes de apoio:540 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles independentemente,541 tem-se:542 Trecho AB: MA = 0 Bz'.(LAB) + X1 - P.(LAB/2) - X0 = 0543 Bz' = 29,9 [kN]544

545 Fz = 0 Az - P + Bz' = 0546 Az = 10,1 [kN]547

548 Trecho BC: MB = 0 Cz.(LBC) - q.(LBC)/2 - X1 = 0549 Cz = 43,0 [kN]550

551 Fz = 0 Bz" - q.LBC + Cz = 0552 Bz" = 57,0 [kN]553 Sendo: B = Bz' + Bz" = 86,9 [kN]554

555 b) Esforos internos:556 Trecho AB:557 Corte 1: 0 < x < LAB/2 M1 = 0 .-X0 - Az.x + M1 = 0558 M1 = X0 + Az.x [kN.m]559 Q1 = Az [kN] N1 = 0560

561 Corte 2: LAB/2 < x < LAB M2 = 0 .-X0 - Az.x + P.[x - (LAB/2)] + M1 = 0562 M2 = X0 + Az.x - P.[x - (LAB/2)] [kN.m]563 Q2 = -P + Az [kN] N2 = 0564

565 Trecho BC:566 Corte 3: 0 < x < LBC M3 = 0 .-X1 - Bz".x + q.x / 2 + M3 = 0567 M3 = -q.x / 2 + Bz".x + X1 [kN.m]568 Q3 = -q.x + Bz" [kN] N3 = 0569

570

571

572

573 c) Diagramas dos esforos internos:574 A.M.I.

1326


575 Tab.1 - Resultados: OBS:576 Refer. x M Q Os momentos fletores na Tab.1, esto com os sinais 577 [m] [m] [kN.m] [kN] trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.578 0,00 0,00 10,1 10,1579 0,75 0,75 2,6 10,1580 1,50 1,50 -5,0 10,1581 2,25 2,25 -12,5 10,1582 3,00 3,00 -20,1 10,1583 3,75 3,75 2,4 -29,9584 4,50 4,50 24,8 -29,9585 5,25 5,25 47,3 -29,9586 6,00 6,00 69,7 -29,9587 1,25 1,25 6,3 44,5588 2,50 2,50 -41,5 32,0589 3,75 3,75 -73,6 19,5590 5,00 5,00 -90,1 7,0591 6,25 6,25 -91,0 -5,5592 7,50 7,50 -76,3 -18,0593 8,75 8,75 -46,0 -30,5594 10,00 10,00 0,0 -43,0595

596 Exemplo 4:597 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.598

599 P1 P2600 q601

602

603 A B C D604

605 LAB/2 LAB/2 LBC a b606

607 y608 Seo transversal:609 t Trecho t tw b hw610 [mm]611 x AB 12,5 9,5 130,0 260,0612 hw BC 12,5 9,5 150,0 300,0613 tw CD 9,5 8,0 120,0 250,0614

615 t616

617 b618

619 Seo Transversal620

621

622 Dados:623 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]

-100,0

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

0,00

1,50

3,00

4,50

6,00

2,50

5,00

7,50

10,0

0

Momento Fletor [kN.m] Esforo Cortante [kN]

A.M.I.

1426


624 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m4]


626 Momento de inrcia no trecho CD.............. ICD = 4,9E-05 [m4]

627 Vo AB........................................................ LAB = 8,0 [m]628 Vo BC....................................................... LBC = 10,0 [m]629 Vo CD....................................................... LCD = 6,0 [m]630 Distncia..................................................... a = 2,0 [m]631 Distncia..................................................... b = 4,0 [m]632 Carga concentrada..................................... P1 = 80,0 [kN]633 Carga concentrada..................................... P2 = 120,0 [kN]634 Carga distribuda........................................ q = 40,0 [kN/m]635

636 Soluo:637 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:638 AB BC BA CD CB DC639

640 X0 X1 X2 X3641

642

643 A B C D644

645 Linha elstica Linha elstica646

647 Analisando os apoios, conclui-se que no apoio C o momento igual a zero: X3 = 0.648

649 Matriz de Flexibilidade:650 A viga com mltiplos apoios tem trs vos de apoios, portanto:651


653 8,5E-05 1,7E-04654


656 7,0E-05 1,4E-04657

658 Trecho CD: [FCD] = 2,0E-04 9,8E-05 [kN.m]-1

659 9,8E-05 2,0E-04660

661 [F] = [FAB] + [FBC] + [FCD] 1,7E-04 8,5E-05 0 0

662 [F] = 8,5E-05 3,1E-04 7,0E-05 0 [kN.m]-1

663 0 7,0E-05 3,4E-04 9,8E-05664 0 0 9,8E-05 2,0E-04665

666

667

668 Vetor de carga:669 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares, sendoA.M.I.

1526


670 assim, tem-se:671

672 AB = BA = [P1.LAB / (16.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = 7,5E-02 [rad]673 BC = CB = q.LBC / (24.EIBC) = 7,0E-02 [rad]674 CD = P2.a.b.(LCD + b) / (6.LCD.EICD) = 2,6E-02 [rad]675 DC = P2.a.b.(LCD + a) / (6.LCD.EICD) = 2,1E-02 [rad]676

677 Portanto: 0q = AB = 7,5E-02 [rad]678 1q = BA + BC = 1,5E-01 [rad]679 2q = CB + CD = 9,6E-02 [rad]680 3q = DC = 2,1E-02 [rad]681


685 1,7E-04 8,5E-05 0,0E+00 0,0E+00 X0 7,5E-02686 8,5E-05 3,1E-04 7,0E-05 0,0E+00 X1 . + 1,5E-01 . = {0}687 0,0E+00 7,0E-05 3,4E-04 9,8E-05 X2 9,6E-02688 0,0E+00 0,0E+00 9,8E-05 2,0E-04 X3 = 0 2,1E-02689

690 Eliminando a 4 linha e a 4 coluna da matriz de flexibilidade, porque X3 = 0, tem-se ento:691

692 1,7E-04 X0 + 8,5E-05 X1 + 0,0E+00 X2 = -7,5E-02 -7,5E-02693

694 8,5E-05 X0 + 3,1E-04 X1 + 7,0E-05 X2 = -1,5E-01 -1,5E-01695

696 0,0E+00 X0 + 7,0E-05 X1 + 3,4E-04 X2 = -9,6E-02 -9,6E-02697

698

699 -1,7E-04 X0 + -6,2E-04 X1 + -1,4E-04 X2 = 2,9E-01700

701 0,0E+00 X0 + -5,4E-04 X1 + -1,4E-04 X2 = 2,2E-01702

703

704 0,0E+00 X0 + -7,0E-05 X1 + -1,8E-05 X2 = 2,8E-02705

706 0,0E+00 X0 + 0,0E+00 X1 + 3,2E-04 X2 = -6,8E-02707

708 Resultando em: X0 = -267,3 [kN.m]709 X1 = -345,3 [kN.m]710 X2 = -214,6 [kN.m]711

712

713

714

715 Esforos solicitantes:A.M.I.

1626


716 Os valores de X0, X1 e X2 so os valores das constantes hiperestticas do problema.717

718 z X1 X2719 P1 P2720 q721 X0 X3 = 0722 x723

724

725 Az Bz' Bz" Cz' Cz" Dz726 . 1 . 2 . 3 . 5727 . 4728 a) Clculo das reaes de apoio:729 Separando a viga em trs trechos AB, BC e CD e analisando cada um deles independentemente,730 tem-se:731

732 Trecho AB: MA = 0 Bz'.(LAB) + X1 - P1.(LAB/2) - q.(LAB)/2 - X0 = 0733 Bz' = 209,7 [kN]734

735 Fz = 0 Az - P1 - q.LAB + Bz' = 0736 Az = 190,3 [kN]737

738 Trecho BC: MB = 0 Cz'.(LBC) - q.(LBC)/2 - X1 + X2 = 0739 Cz = 186,9 [kN]740

741 Fz = 0 Bz" - q.LBC + Cz = 0742 Bz" = 213,1 [kN]743

744 Trecho CD: MC = 0 Dz.(LCD) - P2.a - X2 = 0745 Dz = 4,2 [kN]746

747 Fz = 0 Cz" - P2 + Dz = 0748 Cz" = 115,8 [kN]749

750 Sendo: B = Bz' + Bz" = 422,8 [kN]751

752 C = Cz' + Cz" = 302,7 [kN]753

754 b) Esforos internos:755

756 Trecho AB:757 Corte 1: 0 < x < LAB/2 M1 = 0 .-X0 - Az.x + q.x/2 + M1 = 0758 M1 = -q.x/2 + X0 + Az.x [kN.m]759 Q1 = -q.x + Az [kN] N1 = 0760

761

762 Corte 2: LAB/2 < x < LAB M2 = 0 .-X0 - Az.x + q.x/2 + P1.(x - LAB/2) + M1 = 0 A.M.I.

1726


763 M2 = -q.x/2 + X0 + Az.x - P1.(x - LAB/2) [kN.m]764 Q2 = -q.x + Az - P1 [kN] N2 = 0765

766 Trecho BC:767 Corte 3: 0 < x < LBC/2 M3 = 0 .-X1 - Bz".x + q.x / 2 + M3 = 0768 M3 = -q.x / 2 + Bz".x + X1 [kN.m]769 Q3 = -q.x + Bz" [kN] N3 = 0770

771 Trecho CD:772 Corte 4: 0 < x < a M4 = 0 .-X2 - Cz".x + M4 = 0773 M4 = Cz".x + X2 [kN.m]774 Q4 = Cz" [kN] N4 = 0775

776 Corte 5: a < x < LCD M5 = 0 .-X2 - Cz".x + P2.(x - a) + M5 = 0777 M5 = Cz".x + X2 - P2.(x - a) [kN.m]778 Q5 = Cz" - P2 [kN] N5 = 0779

780 c) Diagramas dos esforos internos:781

782 Tab.2 - Resultados: OBS:783 Refer. x M Q Os momentos fletores na Tab.2, esto com os sinais 784 [m] [m] [kN.m] [kN] trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.785 0,0 0,00 267 190786 1,3 1,33 49 137787 2,7 2,67 -98 84788 4,0 4,00 -174 30789 5,3 5,33 -72 -103790 6,7 6,67 101 -156791 8,0 8,00 345 -210792 9,3 1,25 110 163793 10,5 2,50 -62 113794 11,8 3,75 -172 63795 13,0 5,00 -220 13796 14,3 6,25 -205 -37797 15,5 7,50 -128 -87798 16,8 8,75 12 -137799 18,0 10,00 215 -187800 18,7 0,67 137 116801 19,3 1,33 60 116802 20,0 2,00 -17 116803 20,8 2,80 -14 -4804 21,6 3,60 -10 -4805 22,4 4,40 -7 -4806 23,2 5,20 -3 -4807 24,0 6,00 0 -4808

809

810 Exemplo 5:811 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0,0

2,7

5,3

8,0

10,5

13,0

15,5

18,0

19,3

20,8

22,4

24,0


A.M.I.

1826


812

813 q P814

815

816 A B C817

818 LAB LBC819


4]



829 Soluo:830 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:831

832 X0 X1833 AB BA834

835 A B836

837 Eliminando o trecho em balano, Trecho BC, tem-se:838

839 X1 = -P.LBC - [q.(LBC) / 2] Trecho em balano840 X1 = -140,0 [kN.m] Carga de ao no apoio B841

842 Matriz de Flexibilidade:843 Neste caso a matriz de flexibilidade ser definida apenas pelo trecho AB.844

845 Trecho AB: [F] = [FAB] = 5,3E-06 2,7E-06 [kN.m]-1

846 2,7E-06 5,3E-06847

848 Vetor de carga:849 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares, sendo850 assim, tem-se:851 AB = [X1.LAB / (6.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = -1,6E-04 [rad]852 Portanto: 0q = AB = -1,6E-04 [rad]853

854

855

856 Constantes hiperestticas:857 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}

A.M.I.

1926


858

859 5,3E-06 2,7E-06 X0 . + -1,6E-04 . = {0}860 2,7E-06 5,3E-06 -140 1q861

862 Eliminando a 2 linha e a 2 coluna da matriz de flexibilidade, porque X1 conhecido, tem-se:863 Resultando em: X0 = 30,0 [kN.m]864

865 Esforos solicitantes:866 Os valores de X0 e X1 so os valores das constantes hiperestticas do problema.867

868 z X1 P869 q870 X0871 x872

873

874 Az Bz' Bz"875 . 1 . 2876

877 a) Clculo das reaes de apoio:878 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles independentemente,879 tem-se:880

881 Trecho AB: MA = 0 Bz'.(LAB) + X1 - q.(LAB)/2 - X0 = 0882 Bz' = 82,5 [kN]883

884 Fz = 0 Az - q.LAB + Bz' = 0885 Az = -2,5 [kN]886

887 Trecho BC: Fz = 0 Bz" - q.LBC - P = 0888 Bz" = 90,0 [kN]889

890 Sendo: B = Bz' + Bz" = 172,5 [kN]891

892 b) Esforos internos:893

894 Trecho AB:895 Corte 1: 0 < x < LAB M1 = -q.x/2 + X0 + Az.x [kN.m]896 Q1 = -q.x + Az [kN] N1 = 0897

898 Corte 2: LAB < x < (LAB + LBC) M2 = -q.x/2 + (Az + B).x + X0 - 6.B [kN.m]899 Q2 = -q.x + Az + B [kN] N2 = 0900

901

902

903 c) Diagramas dos esforos internos:904 OBS:

A.M.I.

2026


905 Tab.3 - Resultados: Os momentos fletores na Tab.3, esto com os sinais 906 Refer. x M Q trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.907 [m] [m] [kN.m] [kN]908 0,0 0,0 -30 -3909 0,7 0,7 -24 -16910 1,3 1,3 -9 -29911 2,0 2,0 15 -43912 2,7 2,7 48 -56913 3,3 3,3 89 -69914 4,0 4,0 140 -83915 4,5 4,5 98 80916 5,0 5,0 60 70917 5,5 5,5 28 60918 6,0 6,0 0 50919

920

921

922

923 Exemplo 6:924 Determinar as constantes hiperestticas para o exemplo anterior, utilizando o 2 Teorema de925 Castigliano.926

927 Soluo:928 Eliminando o trecho em balano, tem-se:929 F Resultando que:930 q MB = 140,0 [kN.m]931 F = 90,0 [kN]932

933 A B MB934

935 LAB936

937 Analisando o corte 1, tem-se:938

939 Corte 1: 0 < x < LAB M1 = q.x/2 + MB + F.x - RB.x [kN.m]940 Q1 = -q.x - F + RB [kN] N1 = 0941

942 Aplicando o teorema de Castigliano, para determinar o deslocamento no apoio B, tem-se:943

944

945

946

947 Resultando na equao: B = (1/E.IAB).[(q.x4/8) + (MB.x/2) + (F.x/3) - (RB.x/3)]0LAB948

949

950 No apoio B o deslocamento vertical igual a zero, B = 0, resolvendo em funo de RB, tem-se:951

-100

-50

0

50

100

150

200

0,0

0,7

1,3

2,0

2,7

3,3

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

Momento fletor [kNm] Esforo cortante [kN]

dxRBMM

IE

ABL

ABB .

1.1..1

0 =

A.M.I.

2126


952 RB = 172,5 [kN]953

954 Fazendo o somatrio dos momentos em A, tem-se:955 RB.LAB - MB - F.LAB - q.LAB/2 + MA = 0956 Resultanto em: MA = -30,0 [kN.m] No sentido horrio OK!957

958 Exemplo I.5:959 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.960 P961 M q962

963

964 A B C D965

966 LAB/2 LAB/2 LBC LCD967


4]



973 Vo AB........................................................ LAB = 8,0 [m]974 Vo BC....................................................... LBC = 8,0 [m]975 Vo CD....................................................... LCD = 6,0 [m]976 Carga concentrada..................................... P = 50,0 [kN]977 Momento concentrado................................ M = 20,0 [kN]978 Carga distribuda........................................ q = 10,0 [kN/m]979


984 X0 X1 X2985

986

987 A B C988 Linha elstica989

990 Analisando os apoios, conclui-se que no apoio C o momento ser dado por:991 X2 = -P.LCD - [q.(LCD) / 2] Trecho em balano992 X2 = -480,0 [kN.m] Carga de ao no apoio C993

994

995

996 Matriz de Flexibilidade:997 A viga com mltiplos apoios tem dois vos de apoios, portanto:998 A.M.I.

2226



1000 1,7E-05 3,5E-051001


1003 1,7E-05 3,5E-051004

1005 [F] = [FAB] + [FBC] 3,5E-05 1,7E-05 0

1006 [F] = 1,7E-05 6,9E-05 1,7E-05 [kN.m]-1

1007 0 1,7E-05 3,5E-051008

1009 Vetor de carga:1010 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares, sendo1011 assim, tem-se:1012

1013 AB = [-M.LAB / (24.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = 2,7E-03 [rad]1014 BA = [M.LAB / (24.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = 2,9E-03 [rad]1015 BC = q.LBC / (24.EIBC) + X2.LBC / (6.EIBC) = -5,5E-03 [rad]1016 CB = q.LBC / (24.EIBC) + X2.LBC / (3.EIBC) = -1,4E-02 [rad]1017

1018 Portanto: 0q = AB = 2,7E-03 [rad]1019 1q = BA + BC = -2,7E-03 [rad]1020 2q = CB = -1,4E-02 [rad]1021

1022 Constantes hiperestticas:1023

1024 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}1025

1026 3,5E-05 1,7E-05 0 X0 2,7E-031027 1,7E-05 6,9E-05 1,7E-05 X1 . + -2,7E-03 . = {0}1028 0 1,7E-05 3,5E-05 -480,0 -1,4E-021029

1030 Eliminando a 3 linha e a 3 coluna da matriz de flexibilidade, porque X2 conhecido, tem-se:1031

1032 3,5E-05 X0 + 1,7E-05 X1 = -2,7E-03 -2,7E-031033

1034 1,7E-05 X0 + 6,9E-05 X1 = 2,7E-03 2,7E-031035

1036 -3,5E-05 X0 + -1,4E-04 X1 = -5,4E-031037

1038 0,0E+00 X0 + -1,2E-04 X1 = -8,0E-031039

1040

1041

1042

1043 Resultando em: X0 = -110,7 [kN.m]1044 X1 = 66,4 [kN.m]

A.M.I.

2326


1045 X2 = -480,0 [kN.m]1046

1047 Esforos solicitantes:1048 Os valores de X0, X1 e X2 so os valores das constantes hiperestticas do problema.1049

1050 z X1 X21051 M P1052 q1053 X01054 x1055

1056

1057 Az Bz' Bz" Cz' Cz"1058 . 1 . 2 . 3 . 41059

1060 a) Clculo das reaes de apoio:1061 Separando a viga em trs trechos AB, BC e CD e analisando cada um deles independentemente,1062 tem-se:1063

1064 Trecho AB: MA = 01065 Bz'.(LAB) + X1 - M - q.(LAB)/2 - X0 = 01066 Bz' = 20,4 [kN]1067

1068 Fz = 01069 Az - q.LAB + Bz' = 01070 Az = 59,6 [kN]1071

1072 Trecho BC: MB = 01073 Cz'.(LBC) - q.(LBC)/2 - X1 + X2 = 01074 Cz' = 108,3 [kN]1075

1076 Fz = 01077 Bz" - q.LBC + Cz' = 01078 Bz" = -28,3 [kN]1079

1080 Trecho CD: Fz = 01081 .-q.LCD - P + Cz" = 01082 Cz" = 110,0 [kN]1083 Sendo: B = Bz' + Bz" = -7,9 [kN]1084 C = Cz' + Cz" = 218,3 [kN]1085

1086

1087

1088

1089

1090

1091 b) Esforos internos:1092 A.M.I.

2426


1093 Trecho AB:1094 Corte 1: 0 < x < LAB/2 M1 = -q.x/2 + X0 + Az.x [kN.m]1095 Q1 = -q.x + Az [kN] N1 = 01096

1097 Corte 2: LAB/2 < x < LAB M2 = -q.x/2 + X0 + Az.x + M [kN.m]1098 Q2 = -q.x + Az [kN] N2 = 01099

1100 Trecho BC:1101 Corte 3: 0 < x < LBC M3 = -q.x / 2 + Bz".x + X1 [kN.m]1102 Q3 = -q.x + Bz" [kN] N3 = 01103

1104 Trecho CD:1105 Corte 4: 0 < x < LCD M4 = -q.x / 2 + Cz".x + X2 [kN.m]1106 Q4 = -q.x + Cz" [kN] N4 = 01107

1108 c) Diagramas dos esforos internos:1109

1110 Tab.4 - Resultados:1111 Refer. x M Q OBS:1112 [m] [m] [kN.m] [kN] Os momentos fletores na Tab.4, esto com os sinais 1113 0,0 0,0 111 60 trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.1114 1,3 1,3 40 461115 2,7 2,7 -13 331116 4,0 4,0 -48 201117 5,3 5,3 -85 61118 6,7 6,7 -85 -71119 8,0 8,0 -66 -201120 9,3 1,3 -20 -421121 10,7 2,7 45 -551122 12,0 4,0 127 -681123 13,3 5,3 227 -821124 14,7 6,7 344 -951125 16,0 8,0 480 -1081126 17,0 1,0 375 1001127 18,0 2,0 280 901128 19,0 3,0 195 801129 20,0 4,0 120 701130 21,0 5,0 55 601131 22,0 6,0 0 501132

1133

1134

1135

1136

1137

1138

1139 3. Exerccios Propostos:1140

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0,0

2,7

5,3

8,0

10,7

13,3

16,0

18,0

20,0

22,0


A.M.I.

2526


1141 Exerccio 1:1142 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo:1143 P1144 q1145

1146

1147 A B C1148

1149 LAB/2 LAB/2 LBC1150


4]



1160 Exerccio 2:1161 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo:1162 P1163 M q1164

1165

1166 A B C D1167

1168 LAB/2 LAB/2 LBC a b1169 Dados:1170 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]1171 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,5E-02 [m

4]



1174 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]1175 Vo BC....................................................... LBC = 10,0 [m]1176 Vo CD....................................................... LCD = 8,0 [m]1177 Distncia..................................................... a = 2,5 [m]1178 Distncia..................................................... b = 5,5 [m]1179 Carga concentrada..................................... P = 80,0 [kN]1180 Momento concentrado................................ M = 120,0 [kN]1181 Carga distribuda........................................ q = 30,0 [kN/m]1182

1183

1184 Exerccio 3:1185 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo: A.M.I.

2626


1186 P1 P21187 q1188

1189

1190 A B C D1191

1192 LAB LBC a b1193


4]



1199 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]1200 Vo BC....................................................... LBC = 11,0 [m]1201 Vo CD....................................................... LCD = 12,0 [m]1202 Distncia..................................................... a = 5,0 [m]1203 Distncia..................................................... b = 7,0 [m]1204 Carga concentrada..................................... P1 = 50,0 [kN]1205 Carga concentrada..................................... P2 = 100,0 [kN]1206 Carga distribuda........................................ q = 60,0 [kN/m]1207

1208 Exerccio 4:1209 Como exerccios propostos, refazer os exemplos e pesquisar exerccios na biblioteca.1210

1211 Nota: S possvel aprender a disciplina se houver pesquisa e estudo, apenas1212 o material fornecido em sala de aula no garante um aprendizado 100%.1213

1214

1215 4. Referncias bibliogrficas:1216 Campanari, F.A., "Teoria das Estruturas" - Volumes 1 4 - 1985 - GUANABARA DOIS.1217 Hibbeler, R.C.,"Structural Analysis" - third edition - 1997 - PRENTICE HALL INC.1218 Timoshenko, S.P. & Young, D.H., "Theory of Structures" - McGRAW-HILL.1219 Soriano, H.L. e Souza Lima, S., "Anlise de Estruturas" - 2 Edio - Editora Cincia Moderna.1220

1221

1222

1223

1224

1225 FIM1226

1227

A.M.I.

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