Método das forças - ge=2 e ge=3

7/23/2019 Método das forças - ge=2 e ge=3

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Estruturas Hiperestáticas

Método das Forçasge = 2 e ge = 3

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TEORIA DAS ESTRUTURAS II

O8/02/13

Prof.: Larissa Camporez Araújo

E-mail: [email protected]



Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)

• Teoria- Viga engastada com dois apoios▫ A Figura 1 apresenta um exemplo de estrutura duas

vezes hiperestática. Esta estrutura apresenta cincoreações externas: 3 reações verticais, 1 reação horizontal

e um momento (Figura 2)

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Fig. 01: Viga engastada com 2 apoios




• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ A Figura 1 apresenta um exemplo de estrutura duas

vezes hiperestática. Esta estrutura apresenta cincoreações externas: 3 reações verticais, 1 reação horizontal

e um momento (Figura 2)

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Fig. 02: Reações na viga




• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ A viga mostrada na Figura 1 apresenta diversos sistemas

principais possíveis como ilustra a Figura 3.

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Fig 03: Sistemasprincipais possíveisda viga mostrada na

Figura 1




• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ O sistema principal mostrado na Figura 3d costuma ser

conveniente, especialmente quando o carregamento ou arigidez são diferentes nos dois vãos. Este sistema

apresenta condições de compatibilidade de rotaçãosimilar ao Método dos Três Momentos.

▫ O sistema principal mostrado na Figura 3a apresenta a visualização mais fácil dos efeitos do carregamento e dos

hiperestáticos (Figura 4)

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• Teoria - Viga engastada com dois apoios

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Figura 4: Deformação do carregamento e dos hiperestáticos




• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ As condições de compatibilidade de deslocamentos

fornecem um sistema de duas equações e duasincógnitas:

▫ O sistema de equações pode ser reescrito como

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• Teoria - Viga engastada com dois apoios

▫ onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor deesforços ou forças (incógnitas) e 0 δ é o vetor dedeslocamento devido à ação do carregamento.

▫ Para se obter o vetor de incógnitas é necessário invertera matriz de flexibilidade da estrutura:

sendo δ-1

= K a matriz de rigidez da estrutura

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• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ Em geral, para vigas contínuas, é mais conveniente

adotar o sistema principal mostrado na Figura 4d,conforme será visto no próximo exemplo. Os coeficientes

δij podem ser obtidos por diversos métodos, neste cursoserá usado o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV).

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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Seja a viga contínua com 3 vãos, com dois graus

hiperestáticos e rigidez a flexão (EI) constante (fig. 5).

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Figura 5: Viga contínua com 3 vãos




• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ O sistema principal adotado para a resolução do problema é

representado pela figura 6. O sistema apresenta as rotaçõesrelativas entre as barras ligadas pelas 1 e 2 como sendo nula.

Destas condições resultam as equações de copatibilidadeexpressas por:

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Figura 6: Sistema principal da viga contínua mostrada na Figura 5




• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ A Figura 7 apresenta os diagramas de esforços da

situação 0 (M0) para o sistema principal da Figura 6.

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Figura 7: Momentos fletores do sistema principal causados pelo carregamento




• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ A Figura 8 apresenta os diagramas de momentos devidos

à um momento unitário aplicado na direção doshiperestáticos X1

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Figura 8: Momentos fletores devido a um momento unitário aplicado na direção dohiperestático X1




• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ A Figura 9 apresenta os diagramas de momentos devidos

à um momento unitário aplicado na direção doshiperestáticos X2

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Figura 9: Momentos fletores devido a um momento unitário aplicado na direção dohiperestático X2




• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para se obter a rotação relativa na rótula 1, aplicam-se os

binários unitários. Faz-se o mesmo para a rótula 2.Portanto, para obter-se rotação relativa na rótula 1

devido ao carregamento 0, ou seja δ10, utilizando PVT, basta fazer:

visto que o esforço axial é nulo neste exemplo. Procede-se

analogamente para determinar os demais coeficientes δij .

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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para a determinação de δ10 procede-se a combinação

mostrada na Tabela, resultando:

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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Substituindo os deslocamentos generalizados naequação, obtém-se:

▫ Os esforços podem ser obtidos a partir do sistemaprincipal, isostático, empregando o princípio dasuperposição dos efeitos: M = M0 + X1

⋅ M1 + X2

⋅ M2 .

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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Os valores máximos (e mínimos) do momento fletor

correspondem aos pontos onde o esforço cortante mudade sinal. Portanto, é necessário conhecer as reações e, a

partir delas, traçar o diagrama de esforço cortante da viga. As reações podem ser calculadas a partir dostrechos da viga contínua (Figura 10), cujos momentosfletores internos foram determinas a partir dos

hiperestáticos.

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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Como atividade, devem ser calculadas as reações nos

apoios e concluídos os diagramas de esforços cortantes emomentos fletores.

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Figura 10: Trecho da viga contínua

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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Resultado:

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• Teoria– Pórtico plano bi engastado▫ Seja o pórtico plano bi-engastado mostrado na Figura 11,

do qual deseja-se determinar os esforços internos etraçar os respectivos diagramas. Este pórtico apresenta 6

reações devidas aos engastamentos em A e B, portanto oseu grau de hiperestaticidade (gh) é igual a 3.

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Figura 11: Pórtico plano bi engastado

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• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ Um dos sistemas principais possíveis para o pórtico

mostrado na Figura 11 é aquele mostrado pela Figura 12.

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Figura 12: Sistema principal do pórtico mostrado na Figura 11

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• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ As condições de compatibilidade do sistema principal da

Figura 12 é deslocamentos horizontal e vertical e rotaçãonulos no ponto B, o que resulta δ1 = 0 , δ2 = 0 e δ3 = 0.

▫ Para determinar os esforços no ponto B, usar-se-á oprincípio da superposição dos efeitos das cargas sobre osistema principal (isostático), segundo o esquemamostrado na Figura 13. Superpondo a contribuição de

deslocamento dessas cargas e aplicando as condições decompatibilidade para o ponto B da estrutura real (Figura11), obtém- se o sistema de equações:

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• Teoria – Pórtico plano bi engastado

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• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor das

forças (incógnitas) e 0 δ é vetor de deslocamentodevido ao carregamento (conhecidos).

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Figura 13: Efeitos devidos ao carregamento atuante na Figura 12

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• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ Conforme foi visto anteriormente, os coeficientes δij

podem ser obtidos pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais.Para o pórtico plano, desprezando esforço por

cisalhamento, tem-se:

sendo E o módulo de elasticidade do material; A a seçãotransversal das barras, I o momento de inércia da seção

transversal e l todas as barras da estrutura.▫ Como Mi.Mj = Mj.Mi, tem-se δij = δji , ou seja, a matriz

de flexibilidade é sempre simétrica, o que já foidemonstrado anteriormente (Teorema da Reciprocidade

de Betti- Maxwell, SUSSEKIND, 1994a).

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• Exemplo 3 – Pórtico plano bi engastado▫ Para uma estrutura com ge = 3, deve-se determinar 6

coeficientes da matriz δ (δ11, δ22, δ33, δ12, δ13, δ23) e 3coeficientes do vetor força δ0 (δ10, δ20, δ30). Resolvendo-se

o sistema de equações, obtém-se X.

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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Determinar o diagrama de esforços especificando os

valores dos momentos máximos e os locais onde elesocorrem do pórtico bi-engastado mostrado no Figura 14,

desprezando a contribuição do esforço axial.

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Figura 14: Pórtico bi-engastado

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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ O sistema principal:

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Figura 15: Sistema principal para o Pórtico bi-engastado

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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Fig 16: Reações e diagrama momentos internos dosistema 0.

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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Desprezando-se o esforço axial, a expressão para osdeslocamentos generalizados é dada por

▫ O deslocamento generalizado δ10 é obtido pelacombinação apresentada pela Tabela:

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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado

▫ O deslocamento generalizado δ10 é obtido pela combinação apresentada:

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▫ Efetuando os mesmos procedimentos, determinam-se os deslocamentosgeneralizados:

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▫ De posse dos deslocamentos generalizados, é possívelobter o sistema de compatibilidade:

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▫ Os esforços podem ser obtidos por

N = N0 + N1 X1 + N2 X2 + N3 X3 , V = V0 +V1 X1 +V2 X2 +V3 X3 e

M =M0 +M1 X1 +M2 X2 +M3 X3 .

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