Apostila- Método Das Forças

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS - DEES

ANLISE ESTRUTURAL II

MTODO DAS FORAS

Professores:

Alcebades de Vasconcellos Filho Fernando Amorim de Paula

Gabriel de Oliveira Ribeiro

Verso 2009/1

Mtodo das Foras

Exemplos de Aplicao em Vigas

Mtodo das Foras Vigas

3

EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Mtodo das Foras considerando

como incgnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das

deformaes devidas fora cortante no clculo dos coeficientes.

Figura 1 Viga contnua

Figura 2 Estrutura isosttica fundamental

Propriedades geomtricas da seo

433

1008333,212

)50,0(20,0mII BCBC

IIII ABBCAB 744,2744,2

Mdulo de elasticidade constante: E = constante

Caso (0)

Figura 3 Caso (0)

433

1071667,512

)70,0(20,0mII ABAB


4

Figura 4 Diagrama de momento fletor Caso (0)

AB BC

EI

dxMM

EI

dxMM 010110

EIEIIE

56

)25(2348

24

)5(20

)744,2(24

)8(20 33

10

EIEIEIEI

857,32620,67167,10449,1551010

Caso (1)

Figura 5 Caso (1)


BCAB

EI

dxM

EI

dxM 212

111

)()(

EIEIIE

6385,2

3

51

)744,2(3

811111


5

Clculo da redundante

00 111100 XX

kNmXEI

X

EI88,1230

6385,2857,3261

1

Clculo dos esforos nas barras

kNVV

kNVV

kNVV

kNVV

AC

BDBD

BEBE

AA

02,54088,1233482

)5(205

98,93088,1232482

)5(205

49,95088,1232

)8(208

52,64088,1232

)8(208

2

2

2

2

Pontos de cortante nulo

Vo AB

mXX ABAB 23,302052,64

Vo BC

kNV

kNV

ME

MD

98,334822002,54

02,1422002,54

(Logo tem-se que a fora cortante muda de sinal sob o ponto M)

Pontos de momento mximo

Vo AB

kNmMMMXMX

05,1042

)23,3(2052,6423,3

2

Vo BC (sob o ponto M)

kNmMMMXMX

05,682

)2(20202,54

2

VC


6

Diagrama de esforos solicitantes

Figura 7 Diagrama de fora cortante

Figura 8 Diagrama de momento fletor


7

EXEMPLO2: Analise a viga da figura atravs do Mtodo das Foras considerando como

incgnitas redundantes os momentos fletores nos apoios A e B. Despreze o efeito das

deformaes devidas fora cortante no clculo dos coeficientes.

Dado: EI constante em todos os vos da viga.



Caso (0)

Figura 11 Caso (0)



8

CDAB BC

EI

dxMM

EI

dxMM

EI

dxMM 01010110

EIEI

108

24

)6(1210

3

10

CDAB BC

EI

dxMM

EI

dxMM

EI

dxMM 02020220

EIEIEIEIEI

EIEIEIEI

166206018108

6

430

16

)4(60

424

])2()43(14[2312

24

)6(12

2020

223

20

Caso (1)

Figura 13 Caso (1)


CDAB BCCDAB BC

EI

dxMM

EI

dxMM

EI

dxMM

EI

dxM

EI

dxM

EI

dxM 2121212112

2

1

2

1

2

111

)()()(

EIEI

2

3

61111

EIEI

1

6

621122112


9

Caso (2)

Figura 15 Caso (2)


EIEIEI

EI

dxM

EI

dxM

EI

dxM

CDAB BC

3

10

3

42

)()()(

2222

2

2

2

2

2

222

Clculo das redundantes

0

1

X

mkNXX

EI

EIEI

EI

EIEI

EI

D

D

Q

Q

53,39

24,34

224

194

17

3

166

1081

21

13/10

17

3

21

13/10

17

)(31

)(3

1713/20

)(

1

3/101

121

0

0

0

12

1

22

2

1

QD


10

Esforos nas barras

kNVV

kNVV

kNVV

kNVV

kNVV

CDCD

CECE

BDBD

BEBE

AA

00,2003050,1

62,3303053,392602

)2(124

38,5003053,3926032124

88,36053,3924,342

)6(126

12,35053,3924,342

)6(126

2

2

2

Pontos de cortante nulo

Vo AB

mXX ABAB 93,201212,35

Vo BC

kNVV

kNVV

EDED

EEEE

62,336021238,50

38,2621238,50

Logo o momento mximo no vo BC ser no ponto E.

Pontos de momento mximo

Vo AB

kNmMMMXMX

15,1724,342

)93,2(1212,3593,2

2

Momento no ponto central do vo

kNmMM MM 12,1724,342

)3(12312,35

2

Vo BC

kNmMMMXMX

23,3753,392

)2(12238,50

2


11





12

EXEMPLO3: Resolver a viga da figura pelo Mtodo das Foras. Considerar apenas as

deformaes por flexo.

Dado: EI constante.

Figura 19 Viga Contnua


0

0

2

1

Q

Q

D

D

Caso (0)

Figura 21 Caso (0)



13

Caso (1)

Figura 23 Caso (1)


Caso (2)

Figura 25 Caso (2)



14

Clculo dos deslocamentos

Clculo dos coeficientes de flexibilidade

Fase Final


333,1293

666,34610

EI

6666,1703333,53

3333,533333,211

EI

X 0QD 01

QDX

02678,006696,0

06696,021428,01EI

4285,11

3214,12

333,1293

666,3461

02678,006696,0

06696,021428,0

EIEIX

2

0

8

0

1L1QL

EI

mMD dx x

2

0

dx x dx

2

0

2

0

dx EI

6666,346 dx x x

8

0

1010 dx

EI

mM

2

0

8

0

2L2QL

EI

mMD dx x

2

0

dx x dx

x 2

0

dx x2

0

EI

3333,1293 dx

8

0

2020 dx

EI

mM

4

0

8

0

1111

EI

mmF dx

EI

3333,212 dx dxEI

mm8

0

1111

4

0

8

0

2112

EI

mmF dx

EI

3333,53 dx xdx

EI

mm8

0

2112

8

0

8

0

2222

EI

mmF dx

EI

6666,1702 dx dx

EI

mm8

0

2222


15

Clculo das demais reaes de apoio

Figura 27 Reaes de apoio

01010204285,113214,120 AVV

kNVA 1071,19

084285,118102

431043214,12402200

AA MM

kNmM A 1429,22





16

EXEMPLO4: Calcule a viga contnua abaixo usando o mtodo das foras e em seguida

trace os diagramas finais de fora cortante e momento fletor. Despreze as deformaes

devidas fora cortante no clculo dos coeficientes.


Dados: Seo transversal das barras AB, DE e EF 20cm x 50cm. Seo transversal das barras BC e CD 20cm x 40cm.

Grau de hiperestaticidade (g):

- n de vinculos externos = 2+1+1+1+1=6 - n de equaes de equilibrio = 3 - g = 6-3=3


Propriedades geomtricas das sees transversais

Barras AB, DE e EF

22 m1,01000cm 5020 A

43

43

m 100833,2

cm 33,20833312

5020

I

I

Barras BC e CD

22 m08,0800cm 4020 A

43

43

m100667,1

cm 67,10666612

4020

I

I


17

Caso (0)

Figura 32 Caso (0)

Utilizando tabelas de deslocamentos em vigas isostticas:

- ''' 101010

ABAB EIEI

3333,53

24

420'

3

10

BCBC EIEI

5,22

24

320''

3

10

EEIEI BCAB

257,466915,223333,5310

- ''' 202020

BCBC EIEI

5,22

24

320'

3

20

CDCDCDCDCD EIEIEIEIEI

704030

16

44024314

424

2320''

22

20

EEIEI CDBC

659,86691705,2220

- ''' 303030

CDCDCDCDCD EIEIEIEIEI

3333,63403333,23

16

44024134

424

2120'

22

30

DEDEDEDEDE EIEIEIEIEI

3333,796667,1696

6

5210

56

533260''30

EEIEI DECD

540,974423333,793333,6330


18

Caso (1) (X1 = 1 ; X2 = 0 ; X3 = 0)

Figura 33 Caso (1)

111111 '''

EEIEI BCAB

310,1577

3

31''

3

41' 111111

EEI BC

604,468

6

3121

031

Caso (2) (X1 = 0 ; X2 = 1 ; X3 = 0)

Figura 34 Caso (2)

EEI BC

604,468

6

3121

222222 '''

EEIEI CDBC

785,2186

3

41''

3

31' 222222

EEICD

805,624

6

4132


19

Caso (3) (X1 = 0 ; X2 = 0 ; X3 = 1)

Figura 35 Caso (3)

031

EEICD

805,624

6

4123

333333 '''

EEIEI DECD

738,2049

3

51''

3

41' 333333

Fase Final

Clculo das redundantes:

X 0QD

0

0

0

QD

540,97442

659,86691

257,466911

0E

E

1

738,2049805,6240

805,624785,2186604,468

0604,468310,1577

Resolvendo-se o sistema:

kNm

kNm

kNm

X

880,39

395,23

651,22

ESTRUTURA FINAL:

Figura 36 Indicao dos momentos fletores nos apoios


20

Clculo das reaes de apoio

kNVV

M

BB

C

75,29''0395,232

32065,22''3

0

2

kNVV

M

CC

B

25,30'0651,22395,232

320'3

0

2

kNV

V

M

C

C

D

88,45''

0880,39395,232403220''4

0

kNV

V

M

D

D

C

12,34'

0395,232

220240880,39'4

0

2

kNV

V

M

D

D

E

98,39''

000,20880,39360''5

0

kNV

V

M

E

E

D

02,30

0880,39510260205

0

Resumindo:

kNV

kNVVV

kNVVV

kNVVV

kNV

E

DDD

CCC

BBB

A

02,30

10,74

13,76

41,75

34,34

'''

'''

'''

kNVV

M

BB

A

66,45'0651,222

420'4

0

2

kNVV

M

AA

B

34,340651,222

4204

0

2


21

DIAGRAMAS FINAIS

Figura 37 - Diagrama de fora cortante

Figura 38 - Diagrama de momento fletor

Clculo dos coeficientes do exemplo 4 usando o princpio dos trabalhos virtuais (P.T.V.):

Diagrama de momento fletor nas diversas fases:

Figura 39 - Diagramas do CASO (0)

Figura 40 - Diagramas da CASO (1)


22



Clculo dos deslocamentos: Caso (0) : dxEIMM i

i0

0

4

0

10 (1

ABEI )dx +

3

0

(1

BCEI ) dx

EIEIEIEIEI BCABBCAB

257,466915,2233,53

3

315,221

3

4140110

(1

3

0

20 BCEI

) dx + (1

2

0

CDEI

) dx+

(1

2

0

CDEI

) dx + (1

2

0

CDEI

) dx

3

25,0601

6

25,021601

3

25,01101

3

315,22120

CDCDCDBC EIEIEIEI

CDBCBCBC

IIEEIEI

659,866915,92

2040105,221

20

(1

2

0

30 CDEI

)dx + (1

2

0

CDEI

) dx +

(1

2

0

CDEI

) dx + (1

2

0

DEEI

) dx +

(1

3

0

DEEI

) dx


23

EEIEIEIEI

EI

EIEIEIEI

DECDDECD

DE

DECDCDCD

540,9744233,7933,634,3293,46

1402033,3

1

36

206426,01

6

26,021641

6

215,02601

3

25,0601

3

25,0101

30

30

Coeficientes de flexibilidade:

(1

4

0

11 ABEI

)2 dx + (1

3

0

BCEI

)2 dx

EEEEIEI BCAB

31,157721,93710,640

3

311

3

41122

11

(1

3

0

21 BCEI

) dx

EEI BC

60,468

6

311121

E

60,46812

031 013

(1

3

0

22 BCEI

)2 dx + (1

4

0

CDEI

)2 dx

EEEEIEI CDBC

81,218661,124921,937

3

411

3

31122

22

(1

4

0

23 CDEI

) dx

EEICD

8,624

6

4112

23 E

8,62432

(1

4

0

33 CDEI

)2 dx + (1

5

0

DEEI

)2 dx

EEEEIEI DECD

74,204980061,1249

3

511

3

41122

33


24

EXEMPLO5: Calcule as reaes de apoio da viga da figura utilizando o mtodo das

foras. Considere as deformaes devidas fora cortante e ao momento fletor. A seo

transversal usada trata-se de um perfil soldado de ao, padro VS-800x111 , conforme

figura.

Dados:

E=2,1x104 kN/cm

2 (ao)

G=8x103 kN/cm

2 (ao)

Figura 43 - Viga

4

2

2

155074

29,262

142

625,778,0

142

cmI

A

Af

cmA

cmA

ALMA

S

ALMA

g = 3-2=1

Estrutura isosttica fundamental:

Figura 44 - Estrutura isosttica fundamental

Caso (0)

Figura 45 - Caso (0)

cm7265,174536,02729,171421082

100045,029,2

155074101,28

100045,03

2

4

4

10


25

Caso (1)

Figura 46 - Caso (1)

10437,0100158,210236,0142108

100029,2

155074101,23

1000 334

3

11

Equao de compatibilidade: 01 QD

0111101 XDQ

kNX 84,16910437,0

7265,17

11

101

(Reao vertical no apoio B)

Clculo das reaes de apoio finais: (usando o mtodo da superposio de efeitos)

kNXVVV AAA 16,28084,1691450110 (para cima)

kNmXMMM AAA 60,55184,169102250110 (sentido anti-horrio)

Caso fossem desprezadas as deformaes devidas fora cortante:

cmEI

qL2729,17

8

4

10

1024,03

3

11 EI

L

KNX 75,1681

Demais reaes de apoio : kNmM

kNV

A

A

5,562

25,281

Erros cometidos devido no considerao das deformaes devidas fora cortante:

- Erro% X1 : %64,010084,169

84,16975,168

- Erro % VA : %38,010016,280

16,28025,281


26

- Erro % Ma : %98,110060,551

60,55150,562

- Observao : O clculo de 10 e de 11 se baseou no resultado obtido no exemplo a seguir,

onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balano, pelo M.C.U.,

considerando as deformaes devidas ao momento fletor e fora cortante.


27

EXEMPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balano submetida ao

carregamento indicado, usando o mtodo da carga unitria. Considere as deformaes

devidas ao momento fletor e fora cortante.

Figura 47 Viga em balano Dados:

E, G - material elstico linear isotrpico

A,I - constantes geomtricas da seo

fs - fator de forma para cisalhamento

Caso (0)

Estrutura dada submetida ao carregamento real

Figura 48 Caso (0)

(Momento fletor)

(Fora cortante)

Figura 49 Diagramas de fora cortante e momento fletor Caso (0)


28

Para efeito de integrao o diagrama ML pode ser decomposto como :

Figura 50 Decomposio do diagrama de momento fletor

Caso (U)

Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitria correspondente ao deslocamento que se

pretende determinar. No caso, carga unitria vertical aplicada em B.

Figura 51 Caso (U)

(Fora cortante)

(Momento fletor)

Figura 52 Diagramas de fora cortante e momento fletor Caso (U)

Aplicando-se a equao do M.C.U.

LPqLP

GA

fLL

qLLL

qLPL

EI

SB

2

1

83

1)(

23

11 22

GA

Lf

EI

Lq

GA

Lf

EI

LP SSB

283

243

Observar na resposta acima a influncia da carga P, 1 parcela, na qual est explcita a

influncia das deformaes de flexo (EI

PL

3

3

) e a influncia das deformaes devidas fora

cortante (GA

LfP S ).

De forma anloga, na 2 parcela (influncia de q) tem-se EI

Lq

8 (influncia das deformaes

de flexo) e GA

LqfS

2

2

(influncia da fora cortante).

dxGA

vVfdx

EI

MM uLS

uB

01


29

EXEMPLO7: Calcule a flecha no meio do vo da viga abaixo, considerando a

contribuio da flexo e do cisalhamento.

Dados:

23

24

/108

/101,2

cmkNG

cmkNE

Figura 53 Viga bi-apoioada

Propriedades geomtricas da seo:

2

2

2

4

142

62

80

155074

cmAAA

cmA

cmA

cmI

ALMMESA

ALMA

MESA

Fator de forma para cisalhamento:

29,262

142

ALMA

SA

Af

Caso (0)

Figura 54 = Caso (0)

Caso (U)

Figura 55 = Caso (U)


30

dxGAvV

fdxEI

mMS O deslocamento composto de duas parcelas, uma devida

flexo e outra devida ao cisalhamento.

M

c (infl.do momento) (infl. da fora cortante)

Utilizando a tabela de integrais de produto, tem-se:

- contribuio do momento fletor ( M )

EI

M 1 5

0

. 10

5

Substituindo os valores:

mM 018,0

- contribuio da fora cortante ( C )

GA

fSC 5

0

( . 10

5

Substituindo os valores:

mC 001134,0

A flecha ser ento:

mCM 01913,0001134,0018,0

A influncia da fora cortante no deslocamento total , ento:

CC

0593,0 corresponde a 5,93% do deslocamento total.

Mtodo das Foras

Exemplos de Aplicao em Trelias

Mtodo das Foras Trelias

32

EXEMPLO1: Determinar os esforos nas barras da trelia da figura abaixo utilizando o

mtodo das foras.

Dados:

EA=constante.

Figura 1 Trelia

Grau de hiperestaticidade:

142632 nvmg


80

60

,cos

,sen

BDNX 1


33

Equao de compatibilidade (deslocamento axial relativo na seo transversal da

barra BD) : 01 QD

Caso (0)

050

050coscos

senNsenN

NN

CDAD

CDAD

33,83

50,62

CDAD

CDAD

NN

NN

9272831452 ,N,N ADAD

42105062 ,NN,N CDADCD

Caso (1)

X1 = 1 ( NBD = 1 )

CDADCDAD NNsenNsenNV 00

010 cosNcosNH CDAD

6250625012 ,N,NcosN CDADAD

Clculo dos coeficientes

Barra iL iN0 i1n iLnN 10 i21 Ln

AD 2,5 72,92 -0,625 -113,94 0,97656

CD 2,5 -10,42 -0,625 16,28 0,97656

BD 2,0 0 1 0 2,0

-97,66 3,953120


34

EAEA

LnN

ii

66,973

1

1010

EAEA

Ln

ii

953120,33

1

2

111

Clculo da redundante

EA

66,9710

EA

953120,311

0111101 XDQ

70,24953120,3

)66,97(0

11

101

1

QDX

Esforos axiais finais

110 XnNN iii

kNNAD 48,5770,24625,092,72

kNNCD 86,2570,24625,042,10

kNQNBD 70,241


35

EXEMPLO2: Calcular a trelia da figura abaixo utilizando o mtodo das foras.

Dados:

EA=constante.

Figura 3 Trelia

Grau de hiperestaticidade

242462 nvmg

Incgnitas Redundantes:

o X1 reao horizontal em B

o X2 fora normal na barra 6



36

Equaes de compatibilidade: 0

0

2

1

Q

Q

D

D

Caso (0), Caso (1) e Caso (2)

Caso (0) Caso (1)

Caso (2)

Figura 5 Caso (0), Caso (1) e Caso (2)

Quadro resumo dos esforos nas diversas fases

Barra iEA iL iN0 i1n i2n

1 EA 3 0 0 2

2

2 EA 3 5 0 2

2

3 EA 3 -10 0 2

2


37

4 EA 3 5 -1 2

2

5 EA 23 25 2 1

6 EA 23 0 0 1

Clculo dos coeficientes das matrizes e vetores

Barra iLnN 10 iLnN 20 i21 Ln i21 Lnn i22 Ln

1 0 0 0 0 1,5

2 0 2

15 0 0 1,5

3 0 2

30 0 0 1,5

4 -15 2

15 3 2

3 1,5

5 230 -30 26 6 23

6 0 0 0 0 23

-57,4264 -30 11,4853 8,1213 14,4853

EAEA

LnN

ii

4264,576

1

10

10

EAEA

LnN

ii

0,306

1

20

20

EAEA

Ln

ii

4853,116

1

2

111

EAEA

LnnF

ii

1213,86

1

211221

EAEA

Ln

ii

4853,146

1

2

222

Notar que nos somatrios acima o ndice i varia de 1 a 6, onde 6 o nmero de barras da

trelia.


38


30

4264,5710

EA

4853,141213,8

1213,84853,111

EA

00 XDQ

X1 = 5,858 kN

X2 = -1,213 kN

Foras normais finais

22110 XnXnNN iiii (Superposio de efeitos)

N1 = 0,858 (barra CD)

N2 = 5,858 (barra AB)

N3 = - 9,142 (barra AC)

N4 = 0 (barra BD)

N5 = 0 (barra BC)

N6 = - 1,213 (barra AD)


39

EXEMPLO3: Considerando a trelia da figura e a relao de reas das suas barras,

determinar o valor da rea mnima necessria para as barras tracionadas, sendo a

tenso admissvel do ao igual a 160 Mpa. Utilizar o mtodo da flexibilidade.

(Obs.: no necessrio analisar as barras comprimidas, que dependem do ndice de esbeltez).

Figura 6 - Trelia

Dados:

E = 205 GPa

A1 = A2 = A3 = 3A

A4 = A5 = A6 = A

A7 = A8 = A9 = A10 = 2A

Estrutura isosttica fundamental

g = ( b + v ) 2 n = (10 + 4) 12 = 2


Equaes de compatibilidade : 0

0

2

1

Q

Q

D

D

X1

X2

X2


40

Caso (0):

Figura 8 Caso (0)

87,360,2

5,1tan

8,0cos

6,0sen

57,260,3

5,1tan

894,0cos

447,0sen

kNVVM CCA 75,3805,11047200 kNVVV AA 75,1802075,380

kNHHH AA 100100

Figura 9 Foras normais nas barras Caso (0)

N A:

kNNNV AEAE 25,31075,186,0.0 kNNNH ABAB 150108,025,310


41

N B:

00 EBNV kNNNNH BCBCAB 1500

N E:

06,0.6,0.0 CEEBAE NNNV kNNN CECE 25,3106,0.06,025,31

08,0.8,0.0 CEEFAE NNNH kNNN EFEF 5008,025,318,025,31 N F:

0894,0.100 FDEF NNH kNNN FDFD 74,440894,01050 .

0447,0.0 FDFC NNV kNNN FCFC 200447,07,44

N C:

08,0.0 CDBCCE NNNH kNNN CDCD 400158,025,31

075,386,00 . FCCE NNV kNNN FCFC 20075,386,025,31

N D:

0447,0.200 FDNV kNNFD 74,44 0894,0.0 FDCD NNH kNNCD 40

Caso (1): (X1 = 1 ; X2 = 0)

Figura 10 Caso (1)

0'0'.40 cCA VVM 0'0 AVV

1'0 AHH


42


N A:

00 AENV 10 ABNH

N B:

00 EBNV 10 BCNH

N E:

06,0.6,0.0 CEEBAE NNNV 0 CEN 08,0.8,0.0 CEEFAE NNNH 0 EFN

N F:

0894,0.0 FDEF NNH 0 FDN 0447,0.0 FDFC NNV 0 FCN

N C:

018,0.0 CDBCCE NNNH 0 CDN 06,00 . FCCE NNV 0 FCN

N D:

0447,0.0 FDNV 0 FDN 0894,0.0 FDCD NNH 0 CDN


43

Caso (2): (X1 = 0 ; X2 = 1)

Figura 12 Caso (2)

0"0 cA VM 0"0 AVV

0"0 AHH


N A:

0;0 ABAE NN

N D:

0;0 DFCD NN

N B:

8,0;6,0 BCEB NN

N C:

6,0;1 FCCE NN

N E:

8,0;1 EFCE NN

N F:

6,0;0 FCFD NN


44

Barra iA iL iN0 i1n i2n

1 3A 2,0 -15 1 0

2 3A 2,0 -15 1 -0,8

3 3A 3,0 -40 0 0

4 A 2,5 31,25 0 0

5 A 2,0 50 0 -0,8

6 A 3,35 44,74 0 0

7 2A 1,5 0 0 -0,6

8 2A 1,5 -20 0 -0,6

9 2A 2,5 -31,25 0 1

10 2A 2,5 0 0 1

Barra

iA

LnN

10

iA

LnN

20

iA

Ln

2

1 i

A

Lnn

21

iA

Ln

2

2

1 A

10 0 A

6667,0 0 0

2 A

10 A

8 A

6667,0 A

5333,0 A

4267,0

3 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0

5 0 A

80 0 0 A

28,1

6 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 A

27,0

8 0 A

9 0 0 A

27,0

9 0 A

0625,39 0 0

A25,1

10 0 0 0 0 A

25,1

A

20 A

0625,102 A

3333,1 A

5333,0 A

7467,4

10 20 11 12 22


45

Equao de compatibilidade

00 XDQ

X 0 = QD

2

1

7467,45333,0

5333,03333,11

0625,102

201

0

0

X

X

EAEA

X1 = 24,711 kN

X2 = 24,278 kN

Esforos nas barras da estrutura hiperesttica

N = N0 + n1.X1 + n2.X2

N1 = -15+1 . 24,711 = 9,711 kN

N2 = -15+1 . 24,711 0,8 . 24,278 = -9,711 kN

N3 = -40,0 kN

N4 = 31,25 kN

N5 = 50 0,8 . 24,278 = 30,577 kN

N6 = 44,74 kN

N7 = -0,6 . 24,278 = -14,567 kN

N8 = -20 0,6 . 24,278 = -34,567 kN

N9 = -31,25 + 1 . 24,278 = -6,972 kN

N10 = 24,278 kN

rea mnima

2/16160 cmkNMPaadm kNF 74,44max

2

minminmax

min 796,216

74,44cmAA

FA

A

F

adm


46

EXEMPLO4: Calcule as foras normais da trelia da figura utilizando o Mtodo da

Flexibilidade (Mtodo das Foras).

Dados:

E = 2,1x104 kN/cm2

rea da seo transversal das barras:

A1 = A2 = A3 = A8 = A15 = A16 = A17 = 3,0 cm2

A4 = A7 = 10,0 cm2

A5 = A6 = A11 = A12 = 5,0 cm2

A9 = A10 = A13 = A14 = 20,0 cm2

Figura 14 - Trelia


47

Estrutura Isosttica Fundamental

- Grau de hiperestaticidade:

- Incgnitas Redundantes:

fora normal na barra 5 fora normal na barra 11

aa

Figura 15 Estrutura Isosttica Fundamental


48

Caso (0)

aa

Figura 16 Caso (0)

Reaes de Apoio:

N I:

N G:


49

N H:

N D:

N C:

N F:

N E:

N B:


50

Caso (1)

aa

Figura 17 Caso (1)

Reaes de Apoio:

N I:

N D:

N C:

N A:


51

N B:

N F:

N G:

N H:

Caso (2)

aa

Figura 18 Caso (2)


52

Reaes de Apoio:

N I:

N D:

N A:

N G:

N H:

N C:

N E:

N F:


53

Quadro Resumo dos Esforos Axiais:

Barra 1 3 1,118 11,180 0 0

2 3 1,118 -11,180 0 0

3 3 1 -5 -0,316 0

4 10 3 10 -0,949 0

5 5 3,162 0 1 0

6 5 3,162 79,057 1 0

7 10 3 -85 -0,949 0

8 3 1 -0,556 -0,316 -0,316

9 20 3,162 77,300 0 0

10 20 3 11,667 0 -0,949

11 5 3,162 0 0 1

12 5 3,162 -12,298 0 1

13 20 3 0 0 -0,949

14 20 3,162 -77,300 0 0

15 3 1 20,556 0 0

16 3 1 24,444 0 -0,316

17 3 1 24,444 0 0

Clculo dos Coeficientes das Matrizes e Vetores:

Barra

1 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0

3 0,52705 0 0,03333 0 0

4 -2,84605 0 0,27 0 0

5 0 0 0,63246 0 0

6 50 0 0,63246 0 0

7 24,19142 0 0,27 0 0

8 0,05856 0,05856 0,03333 0,03333 0,03333

9 0 0 0 0 0

10 0 -1,66020 0 0 0,135

11 0 0 0 0 0,63246

12 0 -7,77778 0 0 0,63246

13 0 0 0 0 0,135

14 0 0 0 0 0

15 0 0 0 0 0

16 0 -2,57667 0 0 0,03333

17 0 0 0 0 0

71,93098 -11,95608 1,87158 0,03333 1,60158


54

Soluo do Sistema de Equaes

Esforos Axiais Finais

Mtodo das Foras

Exemplos de Aplicao em Prticos

Mtodo das Foras Prticos

56

Anlise de Prticos Planos

Deformaes possveis de ocorrer nos prticos so devidas a:

Momento Fletor

Fora Normal

Fora Cortante

dxGAVv

fdxEA

Nndx

EI

Mmx1 s

Deformao preponderante:

Devida a momento fletor

Clculo dos coeficientes:

- Considerar sempre o efeito das deformaes devidas ao momento fletor

dxfdxdx s GAVv

EA

Nn

EI

Mm iiii0

dxfdxdx s GAvv

EA

nn

EI

mm jijijiij

57

EXEMPLO1: Analisar o prtico dado considerando as deformaes por flexo e as

deformaes axiais.

Dados:

- EI = constante. - EA= constante. - Seo Transversal: 20x50 cm2.

Figura 1 Prtico plano

Grau de hiperestaticidade: 3

C

BA B


Caso (0)

Figura 3 Caso (0)

A B

C

A

B

C

B


58

Diagramas

Fora normal: nula nas duas barras

(V0) (M0)

Figura 4 Diagramas de fora cortante e momento fletor Caso (0)

Caso (1)

Figura 5 Caso (1)

Diagramas

(N1) (V1) (M1)

Figura 6 Diagramas de fora normal, fora cortante e momento fletor Caso (1)

A

B A

B

C

C

B

B

A

A

A

B B

C

B

B

C

B

C

59

Caso (2)

Figura 7 Caso (2)

Diagramas

(N2) (V2) (M2)


Caso (3)

Figura 9 Caso (3)

A

B

B

A

C

A

B

B

B

C

C

B


60

Diagramas

Fora normal: nula nas duas barras.

Fora cortante: nula nas duas barras.


Propriedades geomtricas

433

100833,212

5,02,0mI

IAI

A4848

21,05,02,0 mA

Clculo de 0

BC

i

AB

i

BC

i

AB

i

i dxEA

nNdx

EA

nNdx

EI

mMdx

EI

mM 00000

000010

EIEI

500000055102240

6

1120

EIEI

60000051240

2

1130

Clculo dos coeficientes de

BC

ji

AB

ji

BC

ji

AB

ji

ij dxEA

nndx

EA

nndx

EI

mmdx

EI

mm

EIEIEIEAEIEAEI 24

517

48

10

3

6410

3

640

1011444

3

1011

00001221

A B B

C

61

EIEI

800

441

2

101331

EIEIEIEAEIEAEI 12

4001

48

4

3

10004

3

100041100

101010

3

122

EIEI

50000

10110

2

12332

EIEIEI

1400

411101133

Fase Final

14508

504167,3330

805417,21

EI

1

600

5000

01

0EI

XDQ 0

4291,42

3590,21

7571,15

X

Caso fosse omitido o efeito das deformaes axiais:

14508

503333,3330

803333,21

EI

1

600

5000

01

0EI

8571,42

4286,21

0714,16

X


62

Esforos finais (considerando as deformaes axiais)

Figura 11 Esforos finais Por equilbrio:

kN76,15HA

kN64,2636,2148VA

kNmM A 84,6843,421036,21548

kN76,15HC

kN36,21VC

kNmMC 60,20476,1543,42

Diagramas de esforos solicitantes

Figura 12 Diagramas de fora normal, fora cortante e momento fletor

A

B

B

C

A

B

C

B

A

C

C

(N)

(V)

(M)


63

EXEMPLO2: Calcular as reaes de apoio do prtico da figura utilizando o mtodo da

flexibilidade, incluindo as deformaes devidas ao momento fletor, fora normal e

cortante. Traar os diagramas finais de esforos solicitantes.


Dados:

E = 205 GPa 20,0

g = 3 + 2 - 3 g = 2

A

B C D

X2

X1


Propriedades geomtricas

rea = 15 . 1,25 + 15 . 1,25 + 1,0 . 27,5 = 65 cm2.

I = 33

12

5,27.14

12

30.15 9486,98 cm

4. EA = 1.332.500 kN

EI = 19.448,3 kNm2


64

Caso (0)

Figura 15 Caso (0)

447,0cos894,0sen22

4tan

00 ALHH

kNVVM CLCLA 75,10302.5022

5,5.5,5.20.60

kNVVV ALAL 25,560505,5.2075,1030

Figura 16 Decomposio dos esforos Caso (0)

0AV

0AH

0CV


65

Figura 17 Diagramas da Caso (0)

Barra BC:

kNmMmX

XX

XM

mXXXV

48,1133125,0

402

2025,65,112

3125,02025,602025,6

2

Caso (1) (X1 = 1 ; X2 = 0)

Figura 18 Caso (1)

(V0)

(N0)

(M0)


66

6

1'0'.610 CCA VVM

6

1'0 AVV

0'0 AHH

Figura 19 Decomposio dos esforos Caso (1)

Diagramas

Figura 20 Diagramas da Caso (1)

(M1)

(N1) (V1)


67

Caso (2) (X1 = 0 ; X2 = 1)

Figura 21 Fase 2

kNVVM CCA 667,0"0".64.10 kNVV A 667,0"0

kNHH A 1"0

Figura 22 Decomposio dos esforos Fase 2

Diagramas

Figura 23 Diagramas da fase 2

(M2)

(N2) (V2)


68


472,41491,0312,501332500

14667,040

3

1

45,225,1122667,06

1472,4667,0215,112

6

1

31,19448

110

radx 21052

10 1065,11052,21065,1

472,4043,1312,501332500

1

45,225,1122667,26

14667,240

3

1472,4667,25,112

3

1

31,19448

120

mx 22042

20 1086,41076,11088,4


472,41491,01332500

1

4667,03

1472,4667,011667,0667,0667,0112

6

1

31,19448

1

2

2

11

4

11 1092,1 x

4472,4043,11332500

14667,2

3

1472,4667,2

3

1

31,19448

1 22222

3

22 1004,1 x

4

1221

1221

1061,3

472,4043,11491,01332500

1

4667,2667,03

1472,4667,021667,2

6

1

31,19448

1


69

Equao de compatibilidade

DQ = 0 + X = 0

2

1

34

44

2

2

.1004,11061,3

1061,31092,1

1086,4

1065,1

0

0

X

X

xx

xx

x

x

X1 = 5,545 kN m

X2 = -48,656 kN m

Estrutura Hiperesttica

VA = VAL + VA.X1 + VA.X2 VA = 56,25 - 0,1667 . 5,545 + (- 0,6667) . (- 48,656))

VA = 87,76 kN

VC = VCL + VC.X1 + VC.X2 VC = 103,75 + 0,1667 . 5,545 + 0,6667 . (- 48,656)

VC = 72,24 kN

HA = HAL + HA.X1 + HA.X2 HA = -1 - (-48,656)

HA = 48,656 kN

Estrutura Final


48,656kN

72,24kN

48,656kN

87,76kN

5,545kNm


70

Diagramas Finais

Figura 25 Diagramas de fora normal, fora cortante e momento fletor

48,656kN

100,21kN

37,76kN

42,24kN

1,89m

4,27kN

13,55kNm 13,55kNm

22,11kNm

5,545kNm

M

V

N


71

EXEMPLO3: Calcular o prtico da figura abaixo pelo mtodo das foras considerando:

(1) As deformaes devidas ao momento fletor, fora cortante e fora normal. (2) Apenas as deformaes devidas ao momento fletor e fora normal. (3) Apenas as deformaes devidas ao momento fletor.

Adotar como incgnitas redundantes o momento no apoio A (X1) e o momento fletor na

extremidade B da barra AB (X2) .

Dados: - Seo transversal retangular constante: b=20cm; h=40cm - Mdulo de elasticidade: E=3,0x107 kN/m2

- Coeficiente de Poisson: = 0,2


Figura 27 Estrutura isosttica fundamental (E.I.F)


72

Propriedades Geomtricas do Prtico e da Seo Transversal

433

100667,112

)40,0(20,0mI

208,040,020,0 mA

75I

A sendo E=constante EA = 75EI

310,115

1tan

Arc

196116,0)(

98058,0)(

Sen

Cos

Seo retangular fs = 1,2

4,2E

12

EG

EI25,31I75

4,2

EGA

Comprimento da Barra BC = mCos

lBC 099,55

Caso (0)

Figura 28 Caso (0)

Reaes de Apoio:

0030)( AAABB HHM

00 CCA HHHH

kNVVM AAC 40,860362450

kNVVV CC 60,57024640,860


73

Diagramas do Caso (0)

Figura 29 Diagrama de fora normal, fora cortante e momento fletor Caso (0)

Caso (1) (X1=1; X2=0)

Figura 30 Caso (1)

Reaes de Apoio:

3

10310)( AA

AB

B HHM

3

10 CCA HHHH

A

A

A

B B

B

C

C

C

D D

D

N0 V0

M0


74

15

104

3

1150 AAC VVM

15

10 CCA VVVV



Caso (2) (X1=0; X2=1)

Figura 32 Caso (2)

A

A

A

B

B

B

C C

C

D D

D

N1 V1

M1


75

Reaes de Apoio:

3

10130)( AA

AB

B HHM

3

10 CCA HHHH

15

40114

3

150 AAC VVM

15

40 CCA VVVV



N2 V2

M2

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D


76

Fase Final

(1) Considerando as deformaes devidas ao momento fletor, fora cortante e fora normal.

Clculo do Vetor 0:

'''

10

''

10

'

10101010

10 dxGAvV

fdxEA

nNdx

EI

mMS

'''

20

''

20

'

20202020

20 dxGAvV

fdxEA

nNdx

EI

mMS

Influncia do Momento Fletor:

0'10

EIEI

079,107099,510,75

3

1099,51)12(

3

10

1'20

Influncia da Fora Normal:

EAEA

095,18099,524,1230,1134,0

2

13

15

140,86

1''10

EAEA

028,70099,530,1124,12379,0

2

13

15

440,86

1''20

Influncia da Fora Cortante:

0'''10

GAGA

820,2099,548,5618,611961,0

2

112,1'''20

Portanto:

EIEIEA

241,0

75

095,180

095,18010

EIEIEIEIGAEAEI

055,106

25,31

820,2

75

028,70079,107820,2028,70079,10720


77

Clculo da Matriz :

'''11

''

11

'

11

2

1

2

1

2

111 dxGA

vfdx

EA

ndx

EI

mS

'''

21

''

21

'

21212121

1221 dxGAvv

fdxEA

nndx

EI

mmS

'''22

''

22

'

22

2

2

2

2

2

222 dxGA

vfdx

EA

ndx

EI

mS

- Influncia do Momento Fletor:

EIEI

130,1

3

11 2'11

EIEI 2

1311

6

11'21

EIEI

6997,2099,50,1

3

130,1

3

11 22'22

Influncia da Fora Normal:

EAEA

6028,0099,5340,03

15

11 22

''

11

EAEA

7104,0099,5379,0340,03

15

4

15

11''21

EAEA

9458,0099,5379,03

15

41 22

''

22

Influncia da Fora Cortante:

GAGA

40,03

3

12,12

'''

11

GAGA

40,03

3

1

3

12,1'''21


78

GAGA

6353,0099,51961,03

3

12,1 22

'''

22

Somando as trs contribuies:

EIEIEIEIGAEAEI

02084,1

25,31

40,0

75

6028,0140,06028,0111

EIEIEIEIGAEAEI

47773,0

25,31

40,0

75

7104,0

2

140,07104,0

2

121

EIEIEIEIGAEAEI

73264,2

25,31

6353,0

75

9458,06997,26353,09458,06997,222

Soluo do Sistema de Equaes (Clculo das Redundantes):

XDQ 0

055,106

241,010

EI

73264,247773,0

47773,002084,11

EI

224,42

523,19X kN.m

(2) Considerando apenas as deformaes devidas ao momento fletor e fora normal.

Soluo do Sistema de Equaes:

XDQ 0

145,106

241,010

EI

71231,249053,0

49053,000804,11

EI

862,42

611,20X


79

(3) Considerando apenas as deformaes devidas ao momento fletor.

Soluo do Sistema de Equaes:

XDQ 0

079,107

010

EI

6997,25,0

5,011

EI

711,43

856,21X

Comparao dos Resultados

Resumo dos Resultados

Flexo + Axial

+ Cisalhamento

Flexo + Axial Flexo

X1 19,523 20,611 21,856 kNm

X2 -42,224 -42,862 -43,711 kNm

Erros considerando apenas deformaes devidas flexo:

%95,11100523,19

523,19856,21%1

X

%66,3100224,42

224,42711,43%2

X

Erros considerando deformaes devidas flexo e fora axial:

%57,5100523,19

523,19611,20%1

X

%51,1100224,42

224,42862,42%2

X

Mtodo das Foras

Exemplos de Aplicao em Grelhas

Mtodo das Foras Grelhas

81

EXEMPLO1: Calcule os esforos na grelha abaixo usando o Mtodo das Foras.

Despreze as deformaes devidas fora cortante.

Figura 1 Grelha


X1

X1

X3

X3

X1 = momento fletor em C.

X2 = momento toror em C.

X3 = cortante em C.{


Caso (0)

10

10

30

30

A B

DE

Figura 3 Caso (0)


82

Casos (1), (2) e (3)

1

31

11

1

Caso (1)

X1 = 1

12

Caso (2)

X2 = 1

32

13

1

Caso (3)

X3 = 1

33

1

Figura 4 Casos (1), (2) e (3)


83

Momentos Fletores

Momentos de Toro

Caso (1) Caso (2) Caso (3)Caso (0)

t1 t2 t3T0

B C

A B

C D C D

E D E D E D

t = 0

t = 0

T = 0

T= 0

3

1

1

B C

T = 0B C

t = 0B

C

t = 0

A B

90

A B

3

A B

1

C D

t = 0

C D

t = 0

E D

1

Caso (1) Caso (2) Caso (3)Caso (0)

m1 m2 m3M0

B C

B C

B C B C B C

A B A B A B A B

C D C D C D C D

E D E D E D E D

m = 0

m = 0

m = 0

m = 0

M = 0

M = 0

1

1

1

1

3

3

3

3

180

90

22,5

+


84

Clculo dos Deslocamentos

dxGJ

tTdx

EI

mM

101010

..

0,3.0,19010,3.0,15,223

20,3.0,190

2

1110

GJEI

EIEIGJEI

405902709010

EI

49510

dxGJ

tTdx

EI

mM

202020

..

00,3.0,1180.2

1120

EI

EI

27020

dxGJ

tTdx

EI

mM

303030

..

0,3.0,3901

0,30,3180.3

10,3.0,35,22.

3

10,3.900,3.

3

1130

GJ

EI

EIEIGJEI

12155,7428105,74230

EI

5,195730

Clculo dos coeficientes de Flexibilidade

dxGJ

tdx

EI

m

2

1

2

111

0,30,10,30,110,30,10,30,11 222211 GJEI


85

EIEIGJEI

966611

EI

1511

dxGJ

ttdx

EI

mm

21211221

.. 0001221

dxGJ

ttdx

EI

mm

13131331

..

0,3.0,30,10,3.0,30,110,3.0,30,12

10,3.0,30,1

2

111331

GJEI

000

1331 GJEI

dxGJ

tdx

EI

m

2

2

2

222

0,30,10,30,110,30,10,30,11 222222 GJEI

EIEIGJEI

966622

EI

1522

dxGJ

ttdx

EI

mm

32323223

..

GJEI

093223

EI

92332

dxGJ

tdx

EI

m

2

3

2

333

0,30,30,30,31

0,30,33

10,30,3

3

10,30,3

3

10,30,3

3

11

22

2222

33

GJ

EI

EIEIGJEI

8136543633

EI

11733


86

Fase Final

5,1957

270

4951

0EI

11790

9150

00151

EI

Condies de Compatibilidade:

0

0

0

QD

Resolvendo o sistema de equaes:

DQ = 0 + .X = 0

0 + .X = DQ

Obtm se:

X1 = 33,0 kN.m

X2 = -8,35 kN.m

X3 = -16,09 kN.m


87

EXEMPLO2: Calcular as reaes de apoio da grelha da figura abaixo atravs do

mtodo das foras.

Dados: E = constante.

G = E / 1,5

Figura 5 Grelha vista superior (Planta)

Propriedades Geomtricas das Sees

3bhJ

4

4

12121,0

3

1

h

b

h

b

- Barras AB e CD:

140833,012

1121,0

3

1

hb

43 140833,0140833,0 hJbhJ ABAB

1212

43 hhbI AB

ABAB

AB

AB IJh

hI

J69,169,1

12140833,0

4

4

- Barra BC:

22888,030,012

15,01

30,0

15,021,0

3

14

4

43 10317412,215,030,022888,0 BCJ


88

ABBC

AB

BC IJI

J 34332,034332,0

212

30,015,03

ABBC

II


Devido simetria do problema, tem-se que a fora cortante e o momento toror so nulos na

seo de simetria. Apenas o momento fletor diferente de zero nesta seo. Portanto,

lanando mo desta caracterstica, a estrutura isosttica fundamental pode ser tomada como a

apresentada na figura abaixo.

Figura 6 Estrutura isosttica fundamental E.I.F.

Caso (0)

Figura 7 Caso (0)


89

Por equilbrio tem-se:

Figura 8 Equilbrio das barras e ns

Figura 9 - Decomposio dos momentos na barra AB

Diagramas

Fora cortante Momento toror Momento fletor


90

Caso (1)

Figura 10 Caso (1)

Figura 11 - Equilbrio e Decomposio dos Momentos na Barra AB

Diagramas

Fora cortante Momento toror Momento fletor


91


dxGJtT

dxEI

mM 101010

58,06401

390013

11548044806,0

2

1110

AB

BEAB

GJ

EIEI

ABABABABABBEAB EIEIEIEIGJEIEI

189,51211

69,1

25605,1900274402560900744010


58,0131156,01 22211 ABBEAB GJEIEI

ABABABABABBEAB EIEIEIEIGJEIEI

640,10

69,1

2,35,1328,12,338,111

Fase Final

ABEI

189,5121110

ABEI

640,1011

111101 XDQ

kNmEI

EIX

AB

AB 973,0811189,51211

640,101

Clculo das reaes de apoio

XMMM AYQAYAY 0 973.081113200 AYM

mkNM AY 0,1182

XMMM AXQAXAX 0 973.081103200 AXM

mkNM AY 2003

XVVV AQAA 0 973.08110800 AV

kNVA 800

Por simetria:

mkNM

mkNM

kNV

DY

DX

D

0,1182

2003

800


92

EXEMPLO3: Calcular a grelha abaixo considerando o carregamento indicado, sendo a

altura das barras h = 0,60 m. Considerar como incgnitas redundantes os momentos

reativos no apoio C.

Figura 12 Grelha



Caso (0)

Figura 14 Caso (0)

5,1GJ

EI

2323 g


93

0,28

443

RLA

6,903626)48()62(10 11 RLRL AA

4,1226,9)6248(2 RLA


Barra AB:

- Momento toror: nulo.

- Momento fletor:

Barra DC:


- Momento fletor:

Figura 15 Diagramas de momentos fletor e toror Caso (0)


94

Caso (1) )0;1( 21 XX

Figura 16 Caso (1) Diagramas do Caso (1)

Barra AB:


- Momento fletor:

Barra CD:

- Momento fletor: nulo.

- Momento toror:



95

Caso (2) )1;0( 21 XX

Figura 18 Caso (2)

Diagramas da Fase 2

Barra AB:


- Momento fletor:

Barra DC:


- Momento fletor:



96


EIEI

4,3669

10

6

3

164,38

10

6

3

14

10

44,38

3

1110

EIEI

8,5941

2

128

6

14

2

18

3

169

10

3

3

16

10

34,38

3

14

10

34,38

3

1110

Clculo dos Coeficientes de Flexibilidade

EIEIEIGJEI

9333,125,189333,081

16

10

6

3

14

10

4

3

11 222

11

EIGJEI

2,00

106

10

3

10

6

3

14

10

3

10

4

3

112112

EIGJEI

9667,20

181

3

16

10

3

3

14

10

3

3

11 222

22

Equao de Compatibilidade

XDQ 0

01

QDX

8,59

4,3610

EI

9667,22,0

2,07667,121

EI

33743,000522,0

00522,007740,01EI

Assim sendo,

mtX 5053,21

mtX 9884,192

Clculo das Reaes de Apoio

XAAA RQRLR


97

2

4,12

6,9

RLA

125,00

05,01,0

075,01,0

RQA

9884,19

5053,2X

9884,19

5053,2

125,00

05,01,0

075,01,0

2

4,12

6,9

RA

499,4

150,11

351,8

RA

Mtodo das Foras

Exemplos de Aplicao em Estruturas Sujeitas

a Variao de Temperatura e/ou Recalques de

Apoio


99

EXEMPLO1: A viga principal de uma ponte, j executada, simplesmente apoiada nos

topos dos pilares A, B e C, sofreu recalques (verticais para baixo) nas fundaes dos

pilares B e C, localizadas no leito do rio, de 1,5 cm e 0,8 cm respectivamente. Avalie os

esforos introduzidos na estrutura em decorrncia destes recalques, usando o mtodo

das foras, determinando as reaes de apoio e traando os diagramas de foras

cortantes e momentos fletores.

Dados: E=3x107 kN/m

2

Seo Transversal

Figura 1 Viga principal de uma ponte


Grau de hiperestaticidade: 1

DQ1 = -0,015 m

1

Figura 3 - Estrutura isosttica fundamental E.I.F.


100

Fase (R)

Figura 4 Fase R

m1056,31227

008,0 31

QRD

Caso (1)

11

Figura 5 Caso (1)


EIEI

40015667,6

3

112667,6

3

11 2211

Fase Final

QDX 0

015,0400

1056,3 13 X

EI

2mkN7103E 42

3

m103333,312

140,0

I

2kNm6101EI

- 0,667


101

kN6,28400

01144,01

EIX

Clculo das demais Reaes


kN71,120126,28270 CCA VVM

kN89,15V0V6,28V0V ACA

Diagramas de Esforos Solicitantes



12,71kN

190,68kNm

15,89kN


102

EXEMPLO2: Obter os esforos nas barras da estrutura abaixo. Alm da carga

indicada, considerar um deslocamento vertical de 1cm no apoio D para baixo (no sentido

negativo do eixo y). Adotar como redundantes o esforo interno na barra BD e a reao

vertical no apoio A (direo do eixo y). Todas as barras tm seo constante de 10cm2 e

mdulo de elasticidade E=21000kN/cm2.

Figura 10 - Trelia

Estrutura Isosttica Fundamental:

Grau de hiperestaticidade:

252482 nvmg

Incgnitas Redundantes:

o X1 fora normal na barra DB

o X2 reao vertical no apoio A

Figura 11 Estrutura isosttica fundamental E.I.F.


103

Caso (0)

{

Figura 12 Caso (0)

565,26

0,3

5,1tanArc

447,0sen

894,0cos

45

5,1

5,1tanArc

707,0sen

707,0cos

N C:

825,960447,0866,0500 ECEC NNV

603,1110894,05,0500 BCECBC NNNH

N B:

00 EBNV

603,1110 ABNH

N D:

00 DENH

N E:

474,1220707,0894,00 AEDEAEEC NNNNH

N A:

602,860707,00 DAAEDA NNNV


104

Fase R

i

iiQR RD

i = - 1 cm = - 0,01 m

Caso (1)

Figura 13 Caso (1)

N C:

00 ECNV

00 BCNH

N B:

707,00707,010 EBEB NNV

707,00707,010 ABAB NNH

N D:

707,00707,010 DEDE NNH

N E:

10707,00 AEAEDE NNNH

N A:

707,00707,00 DAAEDA NNNV

Reao Vertical em D (RD):


105

00707,010 11 DDADD RNRV

Caso (2)

Figura 14 Caso (2)

N C:

00 ECNV

00 BCNH

N B:

00 EBNV

00 ABNH

N D:

00 DENH

N E:

00 AENH

N A:

1010 DADA NNV

Reao Vertical em D (RD):

100 22 DDADD RNRV


106

Quadro Resumo dos Esforos:

Barra iEA iL iN0 i1n i2n

AB EA 1,5 111,603 2

2 0

BC EA 3,0 111,603 0 0

DA EA 1,5 86,603 2

2 1

AE EA 25,1 -122,474 1 0

DB EA 25,1 0 1 0

DE EA 1,5 0 2

2 0

EB EA 1,5 0 2

2 0

EC EA 3,354 -96,825 0 0

Clculo dos Coeficientes:

Barra iLnN 10 iLnN 20 i21 Ln i21 Lnn i22 Ln

AB -118,372 0 0,75 0 0

BC 0 0 0 0 0

DA -91,856 129,904 0,75 -1,061 1,5

AE -259,807 0 25,1 0 0

DB 0 0 25,1 0 0

DE 0 0 0,75 0 0

EB 0 0 0,75 0 0

EC 0 0 0 0 0


107

EAEA

LnN

ii

036,4708

1

10

10

EAEA

LnN

ii

904,1298

1

20

20

0)01,0(01 QRD 01,0)01,0()1(2 QRD

EAEA

Ln

ii

243,78

1

2

111

EAEA

LnnF

ii

061,18

1

211221

EAEA

Ln

ii

5,18

1

2

222


kNcmcm

kNEA 0002101021000 2

2

4

3

010186,6

10238,2

01,0

0QRD

3

3

4

3

010381,9

10238,2

01,0

0

10186,6

10238,2QRQS DD

66

65

10143,710052,5

10052,510449,3

0 XDD QSQ

X1 = 287,0 kN X2 = 1516,35 kN

Esforos finais nas barras

22110 XnXnNN iiii

NAB = -91,31 kN

NBC = 111,60 kN

NDA = 1400,04 kN

NAE = 164,54 kN

NDB = 287,01 kN

NDE = -202,92 kN

NEB = -202,92 kN

NEC = -96,83 kN


108

EXEMPLO3: Resolver o prtico da figura pelo mtodo da flexibilidade. Considerar,

alm do carregamento indicado, as seguintes solicitaes:

1. Deslocamentos dos apoios: - Rotao de 0,02 rad no sentido anti-horrio no apoio A; - Recalque vertical de 2 cm no apoio C.

2. Variao de temperatura na barra AB, sendo esta variao na face superior de 10C (Ts =

10C) e na face inferior de 30

C (Ti = 30C).

Para o efeito da carga aplicada, considerar apenas as deformaes por flexo.

Figura 15 - Prtico

X1

X2

HA

VA

MA

DQ1 = 0

DQ2 = -0,02

Figura 16 - Estrutura Isosttica Fundamental


109

Caso (0)

Figura 17 Caso (0) Diagrama de momento fletor

Fase T (Variao da temperatura)

Figura 18 Fase t Variao da temperatura

Variao uniforme: CT oG 20

dxxdxTd G51020

Variao linear: T1 = 10 T2 = -10

dxxdxdx

h

TTd 4

521 105

4,0

101010

10

80

40

0

20

A B

C

10KN/m


110

Fase R (Rotao no apoio A)

1a opo clculo geomtrico de DQR1 e DQR2:

Figura 19 - clculo geomtrico de DQR1 e DQR2

6,05

3sen

08,08,0.10,0cos.D

06,06,0.10,0sen.D

2QR

1QR

8,05

4cos

2a opo Mtodo da carga unitria (P.T.V. para corpos rgidos):

iiiR .

Ri = reaes de apoio devido carga unitria correspondente a i = deslocamentos do apoio

LAC = 5 m

tg = ACL

= . LAC = 0,02 . 5

= 0,10 m


111

Caso (1)

-1

0

-3,0

A B

C 11

21

1

Figura 20 Caso (1)

Figura 21 Diagramas - Caso (1) Caso (2)

0

-1

-4,0

A B

C 12

22

1

Figura 22 Caso (2)


112

Figura 23 Diagramas - Caso (2)


Cargas:

3

3

0101333,2

101333,2

x

x

20

Temperatura:

DQT1 = 6,8 x 10-3

DQT1 = 4,0 x 10-3

3

3

T10x0,4

10x8,6QD

Recalque (pela 2 opo) Observar que a rotao do apoio positiva:

06,002,00,3D 1QR

08,0

06,0RQD 08,002,00,4D 2QR


113

EIEI

453.0,3.

3

14.0,3

1 2211

333,2124

24451

EI

EIEI

244.4.3.

2

111221

EIEI

333,214.4.4.

3

1122

Fase Final

X = 1{DQ - DQS } DQS = 0 + DQR + DQT

DQS =

0819,0

0647,0

100,4

108,6

08,0

06,0

10133,2

10133,23

3

3

3

x

x

x

x

DQ =

02,0

0

DQ - DQS =

1019,0

0647,0 1 =

12,578173759

375933,3338

X

65,1841

15,416

Figura 24 - Diagrama de momentos fletores

Comparao das Solues

Soluo considerando-se apenas o carregamento propriamente dito:


114

3

3

0101333,2

101333,2

x

x

0 + X = DQ = 0

X = kN

50,17

22,2

Soluo considerando-se carregamento e variao de temperatura

DQS =

3

3

3

3

100,4

108,6

10133,2

10133,2

x

x

x

x=

3

3

10867,1

10667,4

x

x

DQS + X = DQ = 0

X = kN

94,10

39,21

Soluo considerando-se carregamento, variao de temperatura e recalque de apoio

DQS =

0819,0

0647,0

100,4

108,6

08,0

06,0

10133,2

10133,23

3

3

3

x

x

x

x

DQS + X = DQ = 0

X

65,1841

15,416kN


115

EXEMPLO4: Calcule as redundantes e as reaes de apoio da grelha abaixo usando o

mtodo das foras. Considere, alm do carregamento indicado, uma variao de

temperatura linear ao longo da altura na barra AB, sendo esta variao dada por uma

reduo de temperatura de 20C na face superior e um acrscimo de 20C na face

inferior. Considere tambm, um recalque vertical para baixo no apoio C igual 1 cm e

uma rotao =0,01 rad no apoio A, em torno do eixo y, conforme indicado.

Figura 25 Grelha

Dados: (constantes para todas as barras)

4

4

443

s

43

2

5

27

27

h12

b1

h

b21,0

3

1

m103242,7bhJ

5

6f

m100667,1I

m08,0A

C/10

m/kN1025,1G

m/kN103E


116

Figura 26 - Estrutura isosttica fundamental E.I.F.

Caso (0)

Reaes de apoio :

Figura 27 Caso (0)

Figura 28 Equilbrio de barras e ns Caso (0)

0

0

01,0

3

2

1

Q

Q

Q

D

D

D

kNm96M0424M0M

kNm24M0124M0M

kN24V024V0F

AYAY)A(Y

AXAX)A(X

AAZ


117

kNmMMM

kNmMMM

kNVVF

AYAYABY

AXAXABX

AAZ

40410

20210

1010

)(

)(


Caso (1)

Reaes de apoio:

Figura 29 Caso (1)

Figura 30 - Equilbrio de barras e ns Caso (1)


118

00

1010

00

)(

)(

AYAY

AXAXAX

AZ

MM

kNmMMM

VF


Caso (2)

Reaes de apoio:

Figura 31 Caso (2)



119

kNmMMM

MM

VF

AYAYAY

AXAX

AZ

1010

00

00

)(

)(


Caso (3)

Reaes de apoio:

Figura 33 Caso (3)


B B B


120


Fase T

Variao uniforme de temperatura induz apenas rotao.

dx

dx

h

dxTTd

T

T

35

21

2

1

104,0

202010

20

20

Figura 35 Fase T

4

0

4

0

11 dmDQT ( ) .dx =3108

0

4

0

22 dmDQT

4

0

4

0

33 dmDQT ( ) .dx =3104

B B B


121

Fase R

Utiliza-se o P.T.V. para corpos rgidos para

obter os deslocamentos devidos ao

recalque de apoio (rotao ). O deslocamento correspondente a cada

redundante obtido multiplicando o

recalque pela reao de apoio devida a uma

carga unitria aplicada na direo da

redundante.

(Casos (1), (2) e (3)).

Figura 36 Fase R

01,0001,011

0001,001

04,0001,041

33

22

11

QRQR

QRQR

QRQR

DD

DD

DD


dxGJmM

dxGA

Vvfdx

EI

Mmdx

EA

Nn TTS .

GJ

110 [

4

0

dx]GA

f S [ 4

0

dx] +

EI

1 [

4

0

dx]

mEIGA

f

GJ

S 3

10 10857,43

4496141244224

1

GJ

120 [

4

0

dx] = radGJ

210056,141241

EI

130 [

4

0

dx] =

radEI

31062

41961


122

Clculo dos coeficientes

GJ

111 [

4

0

( )2 dx]

GA

f S [ 4

0

( ) 2 dx +

2

0

( )2 dx]

EI

1 [

4

0

( )2 dx +

2

0

( )2 dx]

322

22

11 105048,23

22

3

4412141422

1

EIGA

f

GJ

S

GJ

12112 [

4

0

dx]EI

1 [

2

0

dx]

42112 103631,92

2121412

1

EIGJ

EI

13113 [

4

0

dx] = 4105,2

2

4141

EI

(1

4

0

22 GJ )2 . dx+ (

12

0

EI )

2 .dx

42222 1099,424

211

411

EIGJEIGJ

03223

GJ

133 [

2

0

( )2 dx] +

EI

1[

4

0

( )2dx] = 4104345,3

42 EIGJ

Fase Final

XDDD QTQRQ 0

0

0

01,0

QD

3

2

3

0

100,6

10056,1

10857,4

01,0

0

04,0

QRD

3

3

104

0

108

QTD


123

Somando teremos - DQS

2

2

2

102,1

10056,1

10714,2

QSQ

44

44

443

104345,30105,2

0109941,4103631,9

105,2103631,9105048,2

kNm

kNm

kN

X

24,1

34,114

71,49

Reaes de Apoio


kNm08,9M0M34,114271,49240M

kNm6,101M0M471,4924,14240M

kN71,25V071,4924V0V

AXAXX

AYAYY

AA

Mtodo das Foras

Exemplos de Aplicao em Estruturas com

Barras de Seo Varivel

Mtodo das Foras Barras de Inrcia Varivel

125

ESTRUTURAS COM BARRAS DE SEO VARIVEL

Considere a barra com altura variando ao longo do eixo x.

Figura 1 Barra de seo varivel

Pode-se escrever a altura h em funo de x h(x).

As grandezas I(x), A(x), J(x) so caractersticas geomtricas da seo que variam tambm ao

longo de x.

Equao do mtodo da carga unitria:

dxxGJtT

dxxGA

vVfdx

xEI

mMdx

xEA

nNS

)()()()(1

Devido variao de h e variao das caratersticas geomtricas I(x), A(x) e J(x) a

integrao analtica do 2 membro torna-se muito trabalhosa ou mesmo impossvel.

No caso de barras com h variando linearmente e parabolicamente (msulas retas e

parablicas, respectivamente), a integral dxxEIMm

)(pode ser resolvida por meio de tabelas

como as de Guldan.

Para barras de seo transversal varivel de acordo com uma lei qualquer, o problema

deve ser resolvido segundo um esquema de integrao numrica.

Integrao numrica:

A integral representa a rea sob a curva da funo f(x), entre as retas x=a e x=b .

Figura 2 rea sob a curva f(x)

Mtodo das Foras Barras de Inrcia Varivel

126

xlfxP

xRxPxf

KKn

nn

)()(

Esta integral pode ser aproximada na forma:

b

a

N

i

ii Wxfdxxf1

)()(

sendo:

N = nmero de pontos de integrao;

Wi = peso ;

xi = ponto de integrao (ou ponto amostral ou n) ;

f(xi) = valor de f(x) no ponto xi ;

Esquemas de integrao com intervalos iguais integrar numericamente uma funo no intervalo [a,b] integrar um polinmio Pn(x) que aproxime a funo f(x) no intervalo.

Vantagens de integrar o polinmio Pn(x) ao invs de f(x):

f(x) pode ser de integrao difcil ou at mesmo impossvel, enquanto o polinmio de integrao direta;

f(x) s vezes no conhecida, sendo dada atravs de tabela de valores de pares ordenados obtidos experimentalmente.

Figura 3 Funo f(x) a ser integrada

Sendo dados K pares ordenados ),( kk fx , aproxima-se a funo f(x) pelo polinm

Apostila- Método Das Forças

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