Método do ponto fixo e de newman

41

Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo

� Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF) – Método da Iteração Linear (MIL)

� Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como:

f(x) = g(x) – x

� Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que:

f(x) = g(x) – x =0

g(x) = x

� g(x) é a Função de Iteração para f(x)=0

42


�Por exemplo, a função f(x) = x2 - x – 2 pode ser reescrita como, f(x) = x2 – 2 – x = g(x) – x , onde g(x) = x2 – 2. Essa função tem como ponto fixo o valor x=2, pois g(2) = 22 – 2 = 2.

� E esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois f(2) = 22 –2 – 2 = 0.� Ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor de x na função g(x), teremos como resultado o próprio valor de x. � Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de g(x), ou seja, o valor que ao ser substituído em g(x) retorna o próprio valor de x.

43

� Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)� Implicação de tal procedimento:


Problema de determinação de um zero de f(x)Problema de determinação de um zero de f(x)f(x)

Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)g(x)

Função de iteração

� Mais importante a abordagem conceitual do que a eficiência computacional.

44

� Análise Gráfica - Determinar os pontos fixos de uma função g(x) é determinar os pontos de intersecção entre as curvas:

xξξξ

y

y=g(x)y=g(x)

xx00

y = xy = x


g(ξ) = ξg(g(ξξ) = ) = ξξ

y=g(x)y=x

45

Exemplo 11: Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = x2 - ex, usando o Método da Iteração Linear (Pontos Fixos).

1 - Encontrando o intervalo da raiz:f(x) = g(x) – h(x) g(x) = x2 e h(x) = ex

2 - Escolha uma função de iteração ϕ(x):

Ou seja, podemos ter como função de iteração:

ϕ(x) =

ϕ(x) =

xe

xe−

46

3 – Usando ϕ(x) = e x0 = -1, temos:xe−

4 – Substituindo os valores de xk em f(x) para cada iteração k, observamos que a cada etapa, nos aproximamos da raiz de f(x), conforme tabela abaixo:

47

Exemplo 12:

Seja a equação xx22 + + x x –– 66 = 0= 0 .

Funções de iteração possíveis:

gg11(x)(x) = 6 = 6 -- xx22

��gg22(x)(x) = = ±√±√6 6 -- xx

��gg33(x)(x) = 6/= 6/x x –– 11

��gg44(x)(x) = 6/(= 6/(x + 1)x + 1)

Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de mais de umauma funfunççãoão de iteração g(x)g(x), tal que:f(x) = 0f(x) = 0 ⇔⇔⇔⇔ x = x = g(x)g(x)


48

� Não há necessidade de uso de método numérico para a determinação das raízesξξ11 = = --33 e e ξξ22 = = 22

� Utilização desta exemplo para demonstrar a convergência ou divergência numérica e gráfica do processo iterativo

� Seja a raiz ξξ22 = = 22 e e gg11 (x) = (x) = 6 6 -- xx22

� Considere-se xx00= = 1,51,5 e g(x) g(x) = gg11 (x)(x)


49

� x1 = g(x0) = 6 – 1,52 = 3,75 3,75 ⇔ x1

� x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = --8,06258,0625

� x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)2 = --59,00390659,003906

� Conclui-se que {xxkk}} não convergirá para ξξ22 == 2 2

�� xx44 = g(= g(x3) = ) = 66 –– ((--59,00390659,003906))22 = = -- 3475,46093475,4609


Seja a raiz ξξ2 2 = 22 , , x0 = 1,51,5 e g1 (x) =6 6 –– xx²²:

50

Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto FixoExemplo 12: Análise Gráfica:

y

xξ2ξ2

x1

g(x)g(x)

xx00

y = xy = x

x2

ξ1ξ1

� x1 = g(x0) = 6 – 1,52 = 3,753,75� x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = --8,06258,0625� x3 = g(x2) = --59,0003959,00039

{x{xkk} } → infinf quando kk → infinf

51

Exemplo 13: Seja a raiz ξξ22 = 22, g2 (x) = √√6 6 -- xx e x0 = 1,51,5

� Conclui-se que {x{xkk}} tende a convergir tende a convergir para para ξξ22 = = 2 2

� x1 = g(x0) = √6 - 1,5 = 2,1213203432,121320343

� x2 = g(x1) = √6 - 2,121320343 = 1,9694363801,969436380

� x3 = g(x2) = √6 -1,969436380 = 2,0076263642,007626364

� x4 = g(x3) = √6 - 2,007626364 = 1,9980924991,998092499

� x5 = g(x4) = √6 - 1,998092499 = 2,0004768182,000476818


52

Exemplo 13: Análise Gráfica

{x{xkk} } → ξξ22 quando kk → infinf


g(x)g(x)

x

y

y = xy = x

ξ2ξ2x1

xx00

x2

� x0 = 1,51,5� x1 = 2,1213203432,121320343� x2 = 1,9694363801,969436380� x3 = 2,0076263642,007626364� x4 = 1,9980924991,998092499

53

�� gg11(x)(x) = = xx33 –– 1 1

�� gg22(x)(x) = = ±√±√1 + 1 + xx

�� gg33(x)(x) = 1/= 1/xx³³ –– 11

Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, hápara tal equação mais de uma funçãode iteração g(x)g(x), tal que: f(x)f(x) = 00 ⇔⇔⇔⇔xx = g(x)g(x)


Exemplo 14: Seja a equação xx33 –– x x –– 11 = 0= 0, Tem-se as seguintes funções de iteração possíveis:

3

54

Exemplo 14: Seja ξ = 1,3249301,324930, g2 (x) = √√1 + 1 + xx e x0 = 11

� Conclui-se que {x{xkk}} tende a convergir para tende a convergir para ξξ == 1,3249301,324930

� x1 = g(x0) = √1 + 1 = 1,2599211,259921

� x2 = g(x1) = √1 + 1,259921 = 1,3122941,312294

� x3 = g(x2) = √1 + 1,312294 = 1,3223541,322354

� x4 = g(x3) = √1 + 1,322354 = 1,3242691,324269

� x5 = g(x4) = √1 + 1,324269 = 1,3246331,324633


3

3

3

3

3

3

55

Exemplo 14: Análise Gráfica


y

x

g(x)g(x) y = xy = x

ξ2ξ2

x1

xx00

x2 x3x4 x5

{x{xkk} } → ξξ22 quando k k → infinf

56

� TEOREMA 2 (convergência):

Sendo ξξ uma raiz de f(x) = 0f(x) = 0, isolada em um intervalo II = [a,b]centrado em ξξ e g(x)g(x) uma função de iteração para f(x) = 0f(x) = 0. Se

1.1. g(x)g(x) e gg’’(x)(x) são contínuas em I

2. ||gg’’(x)(x)|| < 1< 1, ∀∀ x x ∈∈ II = [a,b], e

3. xx1 1 ∈∈ II

então a seqüência {x{xkk}} gerada pelo processo iterativo xxk+1k+1 = g(x= g(xkk)) convergirá para ξξ .


57

�� gg11 (x)(x) � geração de uma seqüência divergente de ξξ2 2 = = 22

�� gg22 (x)(x) � geração de uma seqüência convergente p/ ξξ2 2 = = 22

� g1 (x) = 6 6 -- xx22 e g’1 (x) = -- 22xx � contínuas em I I (Condi(Condiçção 1)ão 1)


Exemplo 15: Resgatando os Exemplos 12Exemplos 12e 1313, verificou-se que:

58

� |g’1 (x)| < 11 ⇔ ||--2x2x| < 1 (Condi(Condiçção 2)ão 2)�� xx00=1,5 =1,5 ⇔ |g’1 (x00)| = |g’1 (1,5)| =|-3| > 1, ou seja a

condição 2 falha.

� Não existe um intervalo II centrado em ξξ22==22, tal que ||gg’’(x)(x)|| < 11, ∀∀ x x ∈∈ II � gg11 (x)(x) não satisfaz a condição 2 do Teorema 2 com relação a ξξ22==22 .


Exemplo 15: Resgatando os Exemplos 12Exemplos 12e 1313, verificou-se que:

59


� gg22 (x)(x) = √ 6 6 -- xx e g’2 (x) = - (1/21/2 )√ 6 6 -- xx� gg22 (x)(x) é contínua em S = {xx ∈ R | x x ≤≤ 66}

� gg’’22 (x)(x) é contínua em S’ = {xx ∈ R | x < 6x < 6}

� |gg’’22 (x)(x)| < 11 ⇔ |1/1/22 √ 6 6 -- xx | < 11 ⇔ x < 5,755,75�� xx00=1,5 =1,5 ⇔ |g’2 (x00)| = |g’1 (1,5)| =|-0.2357| < 1, ou seja a condição 2 é cumprida, para X0 e os pontos seguintes.

� É possível obter um intervalo II centrado em ξξ22==22, tal que todastodas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.

Exemplo 15:

60

� Critérios de parada

�Se os valores fossem exatosexatos

�� f(xf(xkk) = 0) = 0

�� ||xxk k –– xxkk--11|| = 0= 0

��Não o sendoNão o sendo

�� ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerânciatolerância

�� ||xxk k –– xxkk--11| | ≤≤ tolerânciatolerância


61

Algoritmok := 0; x0 := x;

while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ LL

k := k +1;

xk+1 := g(xk);

endwhile


62

Vantagens:Vantagens:

� Rapidez processo de convergência;

� Desempenho regular e previsível.


63

Desvantagens:Desvantagens:

� Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração g(x)g(x);

� Difícil sua implementação.


64

� Método de NewtonNewton--RaphsonRaphson

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente à curva em um ponto xx00 com o eixo das abscissas.

xx00 - atribuído em função da geometria do método e do comportamento da curva da equação nas proximidades da raiz.

Cálculo Numérico – NewtonNewton--RaphsonRaphson

65

� Considerações Iniciais

� Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)� Uma das condições de convergência é que ||gg’’(x)(x)|| < 1< 1, , ∀∀ x x ∈∈ II , onde II é um intervalo centrado na raiz

� A convergência será tanto mais rápida quanto menor for ||gg’’(x)(x)||

� O método de Newton busca garantir e acelerar a convergência do MPF� Escolha de g(x)g(x), tal que gg’’((ξξ) = 0) = 0, como

função de iteração


66


� Dada a equação f(x) = 0f(x) = 0 e partindo da forma geral para g(x)g(x)

g(x) = x + A(x)f(x)g(x) = x + A(x)f(x)

� Busca-se obter a função A(x)A(x) tal que gg’’((ξξ) = 0) = 0

g(x) = x + A(x)f(x) g(x) = x + A(x)f(x) ⇒

gg’’(x) = 1 + A(x) = 1 + A’’(x)f(x) + A(x)f(x)f(x) + A(x)f’’(x) (x) ⇒

gg’’((ξξ) = 1 + A) = 1 + A’’((ξξ)f()f(ξξ) + A() + A(ξξ)f)f’’((ξξ) ) ⇒

gg’’((ξξ) = 1 + A() = 1 + A(ξξ)f)f’’((ξξ))


67


� Assim

gg’’((ξξ) = 0 ) = 0 ⇔ 1 + A(1 + A(ξξ)f)f’’((ξξ) = 0 ) = 0 ⇔ A(A(ξξ) = ) = --1/f1/f’’((ξξ) )

daí se toma A(A(xx) = ) = --1/f1/f’’((xx))

� Como g(x) = x + A(x)f(x)g(x) = x + A(x)f(x)


(x)f'

f(x) x g(x)

:então

.f(x) (x)f'

1- x g(x)

−−−−====

++++====

68


� Então, dada f(x)f(x), a função de iteração g(x) = g(x) = x x -- f(x)/ff(x)/f’’(x) (x) será tal que gg’’((ξξ) = 0) = 0, posto que

e, como f(f(ξξ) = 0) = 0, gg’’((ξξ) = 0) = 0 (desde que ff’’((ξξ) ) ≠≠ 00 )


(x)][f'

)x(''f)x(f(x)][f' 1 (x)g'

2

2

−−−−−−−−====

69


� Deste modo, escolhido xx00 , a seqüência {x{xkk}} será determinada por

,

onde k = 0, 1, 2, ...k = 0, 1, 2, ...


)x(

)x(xx

k

kk1 k f

f′

−=+

70

� Motivação Geométrica

� Dado o ponto (xxkk , f(x, f(xkk)))

�Traça-se a reta LLkk(x)(x) tangente à curva neste ponto:

LLkk(x) = f((x) = f(xxkk) + f) + f’’((xxkk)()(xx--xxkk))

�Determina-se o zero de LLkk(x)(x), um modelo linear que aproxima f(x)f(x) em uma vizinhança xxkk

LLkk(x) = 0 (x) = 0 ⇔ x = xx = xk k -- f(xf(xkk)/f)/f’’(x(xkk))

�Faz-se xxk +1k +1 = x= x


71

� Análise Gráfica

x

ξξξ

f(x)

x1xx00

x2x3

1a iteração

2a iteração3a iteração4a iteração

Repete-se o processo até que o valor de x atenda àscondições de parada.

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda àscondicondiçções de paradaões de parada.


72

� Estudo da Convergência

TEOREMA 3:

Sendo f(x)f(x), ff’’(x)(x) e ff””(x)(x) contínuas em um intervalo I I que contém uma raiz x = x = ξξ de f(x) = f(x) = 00 e supondo ff’’((ξξ) ) ≠≠ 00, existirá um intervalo ĪĪ ⊆⊆ I I contendo a raiz ξξ, tal que se xx00 ∈∈ ĪĪ, a seqüência {{xxkk}} gerada pela fórmula recursiva

convergirá para a raiz.


)x(

)x(xx

k

kk1 k f

f′

−=+

73

� Testes de Parada

� A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.

�� ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerânciatolerância

�� ||((x((xk+1k+1 –– xxkk)/x)/xk+1k+1 ))|| ≤≤ tolerânciatolerância


74

Algoritmok := 0; x0 := x;


k := k +1;

xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)

endwhile


75

Exemplo 17: No Exemplo 13, no qualxx22 + + x x –– 66 = 0 = 0 :

� Seja a raiz ξ2 = 2 e x0 = 1,5 1,5

� Assim:

�x1 = g(x0) = 1,5 – (1,52 + 1,5 – 6)/(2.1,5 + 1)

x1 = 2,0625000002,062500000

�x2 = g(x1) = 2,0007621952,000762195

�x3 = g(x2) = 2,0000001162,000000116

�g(x) = x - f(x)/f’(x) = x – (x 2 + x – 6)/(2x + 1)


76

Exemplo 17: Comentários:

� A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116x = 2,000000116), caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho

� Observe-se que no Exemplo 10, no Método do Ponto Fixo com g(x) = g(x) = √√6 6 -- xx só veio a produzir x = 2,000476818x = 2,000476818 na 5a iteração


77

ξ1 ∈ I1 = (--11, 00), ξξ22 ∈ I2 = (11, 22)

� Seja x0 = 11

� xk+1 = xk - f(xk)/f’(xk)

� e g(x) = xx – (x3 - x - 1)/(33xx22 –– 11))

Exemplo 18: Considere-se a função f(f(xx) =) = xx33 -- x x -- 11 , e toltol = 0,002= 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos:


78

� Cálculo da 1ª aproximação

g(xx00) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,51,5

[ 3*(1)² – 1 ]

�Teste de Parada

� |f(xx00)| =| 0,875 | = 0,8750,875 > εεεεεεεε


Exemplo 18:

79


g(xx11) = 1.5 – [ (1.5)³ – 1.5 – 1 ] = 1,34782611,3478261

[ 3*(1.5)² – 1 ]

�Teste de Parada

� |f(xx11)| =| 0,100682 | = 0,1006820,100682 > εεεεεεεε


Exemplo 18:

80


g(xx22) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]

[ 3*(1,3478261)² - 1 ]

g(xx22) = 1,32520041,3252004

�Teste de Parada

� |f(xx22)| =| 0,0020584 | = 0,00205840,0020584 > εεεεεεεε


Exemplo 18:

81

A seqüência {x{xkk}} gerada pelo método de Newton será:

Exemplo 18:

1,86517.101,86517.101,32471781,32471785

9,24378.109,24378.101,32471821,32471824

0,00205840,00205841,32520041,32520043

0,10068220,10068221,34782611,34782612

0,8750,8751,51,51

F(x)xIteração


--77

--1313

εεεεεεεε = 0,0020,002

82



� Desempenho elevado.


83

Desvantagens:Desvantagens:

� Necessidade da obtenção de ff’’(x)(x) , o que pode ser impossível em determinados casos;

� O cálculo do valor numérico de ff’’(x)(x) a cada iteração;

� Difícil implementação.


84

� Método da SecanteSecante

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da secante à curva em dois pontos xx00 e xx11 com o eixo das abscissas.

xx00 e xx11 - atribuídos em função da geometria do método e do comportamento da curva da equação nas proximidades da raiz.

Cálculo Numérico – SecanteSecante

85


� Método de NewtonNewton--RaphsonRaphson

� Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de ff’’(x)(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração

� Forma de desvio do inconveniente

� Substituição da derivada ff’’(x(xkk)) pelo quociente das diferenças

ff’’((xxkk) ) ≈≈ [f([f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11)]/()]/(xxkk -- xxkk--11))

onde xxkk--11 e xxkk são duas aproximações para a raiz


86


� A função de iteração será

g(x) g(x) = x= xkk -- f(f(xxkk)/)/[(f([(f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11))/())/(xxkk -- xxkk--11)])]

= = ((xxkk -- xxkk--11)) . f(x. f(xkk)/)/[f([f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11)])]

= [= [xxkk--1 1 .f(x.f(xkk) ) –– xxk k .f(.f(xxkk--11)])]//[f([f(xxkk) ) -- f(f(xxkk--11)])]

)]x()x([

)]x(.x)x(.[x=g(x)

1 - kk

1 - kkk1 - k

ff

ff

-

-


87

� Interpretação Geométrica

� A partir de duas aproximações xxkk--11 e xxkk

�Obtém-se o ponto xxk+1k+1 como sendo a abscissa

do ponto de intersecção do eixo oxox e da reta que

passa pelos pontos (xxkk--1 1 , f(, f(xxkk--11)) ) e (xxkk , f(, f(xxkk)))(secante à curva da função)


88

� Análise Gráfica

Repete-se o processo atéque o valor de x atenda às condições de parada.

Repete-se o processo atéque o valor de xx atenda às condicondiçções de paradaões de parada.

x

1a iteração

2a iteração3a iteração4a iteração

ξξ

f(x)

x1xx00 x2

x3 x4x5


89

� Testes de Parada

� A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.

�� ||f(xf(xkk))|| ≤≤ εε�� ||((x((xk+1k+1 –– xxkk)/x)/xk+1k+1 ))|| ≤≤ εε


90

Algoritmok := 0; x0 := X0; x1 := X1


k := k +1;

xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1))

endwhile


91

� Seja xk - 1 = 1,51,5 e xk = 1,71,7

� g(x) = [xk-1 .f(xk) – xk . f(xk-1)]

[f(xk) – f(xk-1)]

� g(x)g(x) = [= [xxkk--11 .f(x.f(xkk) ) –– xxkk . f(. f(xxkk--11)])]

[f([f(xxkk) ) –– f(f(xxkk--11)])]

Exemplo 19: Considere-se a função f(f(xx) =) = xx33 -- x x -- 11 , e εε = 0,002= 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos:


92

� Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,51,5 x1 = 1,71,7

f(x0) = 0,875 0,875 > > 00

f(x1) = 2,213 2,213 > > 00

x2 = [1,5.(2,213) – 1,7.(0,875)] = 1,369211,36921

[2,213– (0,875)]

� Teste de Parada

� |f(x2)| =|0,19769| = 0,197690,19769 > εεεεεεεε� Escolha do Novo Intervalo

� x1 = 1,369211,36921 e x2 = 1,51,5

Exemplo 19:


93

Exemplo 19:

� Cálculo da 2ª aproximação: x1 = 1,36921 1,36921 eex2 = 1,51,5

f(x1) = 0,19769 0,19769 > > 00

f(x2) = 0,875 0,875 > > 00

x3 = [1,36921.(0,875) – 1,5.(0,19769)] ⇒⇒⇒⇒

[0,875– (0,19769)]

x3 = 1,331041,33104


94

Exemplo 19:


� Teste de Parada

� |f(xf(x33))| =|0,02712| = 0,027120,02712 > εεεεεεεε� Escolha do Novo Intervalo

� x2 = 1,331041,33104 e x3 = 1,369211,36921


95

Exemplo 19:


f(x2) = 0,02712 0,02712 > > 00

f(x3) = 0,19769 0,19769 > > 00

x4 = [1,33104.(0,19769) – 1,36921.(0,02712)]

[0,19769 – (0,02712)]

x4 = 1,3249711,324971


96

Exemplo 19:


�Teste de Parada

� |f(xf(x44))| =|0,00108| = 0,001080,00108 < εεεεεεεε(valor aceitvalor aceitáável para a raizvel para a raiz)


97

� Sejam x0 = 1,51,5 e x1 = 1,71,7

� Assim:

�x3= [x1 .f(x2) – x2 . f(x1)]/[f(x2) - f(x1)]

= 1,997741,99774

�x2= [x0 .f(x1) – x1 . f(x0)]/[f(x1) - f(x0)]= [1,5.(-1,41)–1,7.(2,25)]/(-1,41+

2,25)

= 2,035712,03571

Exemplo 20: Resgatando o Exemplo 13Exemplo 13, no qual x2 + x – 6 = 0 :


98

� Assim:

�x4 = [x2 .f(x3) – x3 . f(x2)]/[f(x3) - f(x2)]= 1,999991,99999

Exemplo 20: Resgatando o Exemplo 13Exemplo 13, no qual x2 + x – 6 = 0 :


� Comentários:

�A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999x = 1,99999 ), caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho

99



� Cálculos mais convenientes que do método de Newton;

� Desempenho elevado.


Método do ponto fixo e de newman

Documents

Transcript of Método do ponto fixo e de newman