Método dos Deslocamentos

A formulação matemática do método das forças e dos deslocamentos é bastante

semelhante, devendo a escolha do método de análise incidir num ou noutro conforme

seja mais vantajoso.

O método dos deslocamentos pode ser aplicado quer as estruturas isostáticas quer a

hiperestáticas sendo especialmente útil na análise das segundas, nomeadamente,

quando o grau de indeterminação estático é elevado. Este método é melhor adaptável

à programação automática que o método das forças, porque neste todos

deslocamentos são restringidos ao contrário do que acontece no método das forças em

que apenas algumas liberações são introduzidas para se obter a estrutura isostática.

Mas antes de se proceder a descrição do método vejamos o que se entende por grau de

indeterminação cinemática.

3.1. - Noção de indeterminação cinemática.

Designaremos por indeterminação cinemática o número de restrições (vínculos)

necessárias para eliminar os deslocamentos dos nós da estrutura. Por outras palavras,

diremos que o grau de indeterminação cinemática é a soma dos graus de liberdade

(rotações e translações) independentes, de todos os nós da estrutura, inclusive os

apoios (não é mais do que o número de graus de liberdade da estrutura). Refere-se que

um sistema de deslocamentos dos nós é independente se cada deslocamento puder

variar arbitrariamente e independentemente de todos os outros.

Vejamos alguns exemplos elucidativos do grau de indeterminação cinemática :

grau 3 (D1, D2 e D3) ou grau 2 (D1 e D2) se desprezada a deformação axial

grau 4 (D1, D2, D3 e D4) ou grau 2 (D1 e D2) desprezados os efeitos dos esforços normais

3.2. - Descrição do método

a) Numa primeira fase determina-se o grau de indeterminação cinemática e

escolhe-se um sistema de coordenadas de modo a poder-se identificar a posição

e a direcção dos deslocamentos dos nós. Em seguida são introduzidas forças de

restrição (em número igual ao grau de indeterminação cinemática) que impedem

os deslocamentos dos nós (as forças são do mesmo tipo, sentido e direcção dos

deslocamentos impedidos).

b) Depois determinam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos

extremos das barras convergentes nos nós (um a um). Tais forças devem

impedir os deslocamentos para qualquer tipo de acção externa quer sejam

cargas, variações de temperatura, pré-esforços, etc.). Estas acções podem ser

consideradas separadamente ou em conjunto.

Se na estrutura que está a ser analisada existir aí algum deslocamento prescrito,

por exemplo, um assentamento de apoio, as forças de restrição correspondentes

ao impedimento deste(s) deslocamento(s) devem ser considerados nesta etapa.

Determina-se ainda nesta fase os esforços internos nas barras correspondentes

as forças de restrição (nos impedidos de movimentarem-se).

c) A estrutura considerada deformada de tal modo que numa das coordenadas

generalizadas o deslocamento seja aí unitário e nulo em todas as outras. As

forças necessárias para levar a estrutura a esta configuração são então calculadas

sendo o procedimento repetido para cada uma das restantes coordenadas as

generalizadas (restrições impostas inicialmente).

d) Os deslocamentos necessários para eliminar as forças de restrição (obtida em b))

são determinados aplicando a sobreposição dos efeitos para os diversos

deslocamentos impostos e igualando às forças de restrição.

e) Os esforços na estrutura original são obtidos adicionando aos esforços na

estrutura restringida os esforços originados pelos deslocamentos determinados

em d).

Problema : Determinar os esforços nas barras da estrutura representada na figura

devido a acção combinada 1) da carga extrema P e 2) do alongamento �k no

comprimento da barra k (motivado por acréscimo de temperatura nesta barra).

Resolução

O grau de indeterminação estático é 2, as translações segundo os eixos xx e yy de

sentidos positivos arbitrários.

Para 1) o deslocamento do nó A é impedido introduzindo em A uma força igual e

oposta a P, de componentes F11 e F21 nas direcções 1 e 2 (o segundo índice indica a

causa, neste caso 1))

Para 2) o alongamento �k da barra k pode ser impedido por uma força tal que aplicada

em A origina na barra k um encurtamento da mesma grandeza. O valor da força de

compressão correspondente será k

kkk

EA

l� cujas componentes nas direcções 1 e 2

serão (o segundo índice indica o caso 2)

kkk

kk22

kkk

kk12

sinEA

F

cosEA

F

���

���

l

l

A força total de restrição do nó terá as componentes

F1 = F11 + F12 ; F2 = F21 + F22

Podemos também concluir que quando os deslocamentos são restringidos, em 1) não

há esforços internos em qualquer das barras e em 2) aparece somente o esforço de

compressão k

kkk

EA

l� na barra k. Representando por {Ar} os esforços axiais nas

barras nas condições de restrição teremos Ar1 = Ar2 = ... = Ark�1 = 0 , kEA

Ak

kkrk l

��

; Ark+1 = ... = Arm = 0

Devido ao deslocamento unitário de A, gera-se na barra genérica i uma força de

compressão ii

ii cosEA

�l

e para manter o nó nesta posição teremos de aplicar as forças

De um modo similar na hipótese D2 = 1 e D1 = 0 teremos de aplicar as forças

Mas na estrutura real não existem só forças de restrição, para além disso sabemos que

o nó D experimenta um deslocamento determinado de componentes D1 e D2 Então a

sobreposição das forças de restrição introduzidas e das correspondentes aos

deslocamentos reais deve ser nula.

F1 + k11D1 + k12D2 = 0

F2 + k21D1 + k22D2 = 0

Estas equações podem ser escritas na forma matricial

{F} + [K]{D} = 0 � [K]{D} = { �F}

em que o vector coluna {F} depende do carregamento da estrutura; os elementos da

matriz [K] são as forças correspondentes a deslocamentos unitários e são chamados

coeficientes de rigidez. A matriz [K] é a chamada matriz de rigidez. Os elementos do

vector {D} são os deslocamentos desconhecidos

{D} = [K] �1{�F}

Num caso geral de n restrições, a ordem das matrizes {D}, [K] e {F} são n�1, n�n e

n�1, respectivamente. A matriz [K] é uma matriz quadrada simétrica.

O esforço final em qualquer barra i pode ser obtido por sobreposição do esforço nessa

barra nas condições de restrição e dos correspondentes aos deslocamentos dos nós

Ai = Ari + (Aui1D1 + Aui2D2 + ... + AuinDn)

A realização da sobreposição para todas as barras na forma matricial.

{A} m�1 = {A r} m�1 + [Au] m�n{D} n�1

onde os elementos de A são os esforços finais nas barras; os elementos de Ar são os

esforços nas barras nas condições de restrição e os elementos de Au são os esforços

nas barras correspondentes aos deslocamentos unitários. Especificamente os

elementos da coluna j de [Au] são os esforços nas barras correspondentes ao

deslocamento Dj = 1, enquanto todos os outros deslocamentos são nulos. Para o caso

em estudo é fácil de concluir que

� �

��������

�

�

�

����

����

����

�

mmm

mmm

222

222

111

111

u

sinm

EAcos

m

EA

...

sin2

EAcos

2

EA

sin1

EAcos

1

EA

A

Notemos que num pórtico de nós rígidos podemos pretender os esforços em qualquer

secção ou as reacções dos apoios. Por esta razão, consideramos que a rotação A

representa qualquer acção, podendo ser o esforço axial, transverso, momento flector,

torção numa secção genérica ou uma reacção num apoio.

Problema : Trace o diagrama dos momentos flectores na estrutura indicada

admitindo que são desprezáveis as variações dos comprimentos da barras devido ao

esforço axial.

Resolução

O grau de indeterminação cinemática é 3 correspondente aos deslocamentos indicados

na figura e as forças de restrição são a soma das forças de fixação nas extremidades

das barras.

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

8

P

P2

P

8

P

P8

P

8

P2

P

F

l

l

l

lll

Os valores dos momentos flectores nas extremidades 1, 2, ... , 6 são

� �

0

0

1

1

1

1

8

PA r

�

�

�

�

�

�

�

�

�l

nas condições de restrição

Os elementos da matriz de rigidez são as forças necessárias (correspondentes às

coordenadas 1, 2 e 3) para manter as deformações a seguir apresentadas

llllll

lll

llllll

12EI

2

4EI4EIk

2EIk

24EI

)2(

6EIk

2EIk

8EIk

6EIk

24EI

)2(

6EIk

6EIk

108EI

)2(

2EI112EIk

33322231

2322221

221321233311

��������

����

���������

Portanto

� �

������

�

�

�

�

12224-

286-

24-6-108

EIK

2

l

l

lll

l

e da equação

� �� � � � � � �

�

�

�

�

�

�

����

0,0156

0,1355

0,0087

EI

PDFD K

2l

É fácil concluir que

� �

������������

�

�

�

�

�

�

�

�

4024

8024

420

240

046

026

EIA u

l

l

l

l

l

O valor dos momentos finais

� �

������������

�

�

�

�

�

�

�

�

4024

8024

420

240

046

026

EIA u

l

l

l

l

l

O diagrama de momentos virá :

Problema : Trace o diagrama dos momentos na estrutura indicada desprezando as

deformações devidas ao esforço axial e admitindo EI constante.

Resolução

O grau de indeterminação cinemática é 3 sendo as incógnitas as indicadas, assim

como as forças de fixação dos extremos devido às cargas aplicadas.

As forças nas extremidades das barras correspondentes a cada um dos deslocamentos

unitários dos nós estão indicados nas figuras seguintes.

Obtidos os elementos da matriz de rigidez, da equação [K]{D} = {�F}

�

�

�

�

�

�

���

�

�

�

�

�

�

��

������

�

�

�

��

�

3

2

2

222

2

2

05310

0570

08620

EI

P{D}

6252

60

0.417

P{D}

48.93887543

4.87592

328

EI

l.

l.

l.

.

.

l

ll

.

l

lll

lll

Para traçar o diagrama de momentos flectores precisamos de conhecer os momentos

A1, A2, ... , A6 nas extremidades

l

.

.

.

.

.

.

l.

l.

l.

ll

l

.

l

ll

lll

ll

ll

l P

7400

6830

6830

0300

0300

3090

05310

05700

08620

EI

P

9.375

2

50

375950

4.540

4.522

7.50

4

7.50

2

EI

10

110

12

112

112

1

P{A}

3

2

2

2

2

2

2

2

2

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�������������

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Donde o diagrama de momentos flectores

Problema : Determinar as três componentes da reacção na extremidade A da

grelha horizontal da figura quando submetida a uma carga uniforme q em AC.

Considerar que todas têm a mesma secção e que a relação das rigidezas de torção e de

flexão é 0.50EI

GY�

Resolução : O grau de indeterminação cinemática é 3, correspondente às incógnitas

1,2 e 3 indicadas

E com facilidade se conclui que :

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

������

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

27

03

2

q}{A ;

20.25EI0

40.5EI

020.25EI40.5EI

40.5EI40.5EIEI729

K ;

36

02

q{F}2

r

2

2

22

2 l

ll

ll

ll

l

l

� �

������

�

�

�

�

�

�

ll.

l.

l.

l.

EI30

EI513

0EI

7500

EI5130

EI540

A

2

23

4

Donde :

� � ��

�

�

�

�

�

�

�

� {D}A}{A de e

00340

00200

00100

EI

q{D} 4r

2

2

3

l.

l.

l.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

������

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

2

2

2

2

3

2

06110

00150

41970

q

00340

00200

00100

EI

q

30513

07500

5130

540

EI

27

03

q{A}

l.

l.

l.

l.

l.

l.l

l

..

l

.

l

.

ll

l

3.3. - Análise duma estrutura para diferentes hipóteses de carga

Os elementos da matriz de rigidez da estrutura é independente das cargas, depedendo

unicamente das propriedades da estrutura (constantes elásticas e geometria). Então

para um número p de hipóteses de cargas podemos obter as soluções correspondentes

a partir da equação matricial.

[D]n�p = [K]�1[�F]n�p

em que cada coluna de [D] e [�F] corresponde a uma dada hipótese de carga.

Vimos já o estudo da estrutura pelo método das forças quando as estruturas são

submetidas a acções como variações de temperatura, falhas no comprimento das

peças, retracção ou pré-esforço, etc.

A equação {D}= [K�1][�F] é igualmente aplicável no estudo da estrutura submetida a

este tipo de acções mas agora {F} representa as forças necessárias para impedir os

deslocamentos dos nós devido aos efeitos anotados.

Quando se tratar de um movimento de apoios ainda a referida equação pode ser

aplicada, mesmo que o movimento de apoio não corresponda a um dos deslocamentos

desconhecidos da indeterminação cinemática. Claro que nesta hipótese é necessário

proceder a necessária adaptação.

Problema : Trace o diagrama de momentos flectores quando :

(1) ocorre um assentamento vertical � no apoio A

(2) ocorre uma rotação � no sentido inverso em B

Resolução :

(1) O grau de indeterminação cinemática é 2, correspondentes às incógnitas D1 e D2

em B e C.

As forças de restrição necessárias para manter D1 = D2 = 0

Os momentos nas extremidades das barras nas condições de restrição dos nós são :

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

0

0

0

0

6

6

EI

A

...

A

A

A2

r6

r2

r1

rl

Os elementos da matriz de rigidez

Os momentos flectores nas secções consideradas originados por cada um dos

deslocamentos unitários (D1 e D2) são :

� �

����������

�

�

�

�

20

40

42

24

04

02

EIA u l

Da equação {D}= [K]�1{�F}

�

��

�

���

� �

��

�

���

���

�

�

�

��

1

4

0

6EI

82

28

60EID

2l

l

ou seja :

�

�

�

��

���

l

l

5 D

5

4D

2

1

A forma deformada da viga correspondente ao assentamento � :

Os momentos correspondentes

�

�

�

�

�

�

�

���

�

��

�

����

����������

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

40

80

80

82

82

44

EI

20

80

20

40

42

24

04

02

EI

0

0

0

0

6

6

EI{A}

22

.

.

.

.

.

.

l.

.

lll

Para o equilíbrio dos nós B e C a soma dos momentos nos extremos que concorrem

nesses nós deve ser nulo, donde pode-se utilizar este facto como via de verificação

dos resultados.

O diagrama de momentos será :

(2) Esta hipótese ocorria se a viga ABCD estivesse rigidamente ligada em B a uma

viga transversal horizontal que sofresse uma torção definida pelo ângulo � em B.

Para produzir esta rotação deve actuar em B uma força }{F1� , donde à deformada

indicada corresponde as forças externas

�

��

�

��

�

�

�

0

F}{F

1

Os deslocamentos e as forças estão relacionados por :

�

��

�

��

� �

��

�

��

���

�

� �

0

F

D

D

kk

kk 1

2

1

2221

1211

Os elementos da matriz de rigidez já foram determinados em (1); D1 = � e D2 é

desconhecido

Resolvendo : k21D1 + k22D2 = 0 � D2 = �22

21

k

kD1 = �

4

��

Os momentos nos extremos serão obtidos atendendo a que {Ar} = 0 e a {An}

determinado em (1)

�

�

�

�

�

�

�

�

�� �

�

�

�

�

�

��

�

����������

�

�

�

�

0.5

1

1

3.5

4

2

EI

4

20

40

42

24

04

02

EI{A}

ll

3.4. - Efeito de deslocamentos prescritos

O método usado em (2) será considerado agora em relação ao caso geral de uma

estrutura com um grau de indeterminação cinemática n onde ocorrem m

deslocamentos �1, �2, ..., �m em m pontos.

Na matriz de rigidez podemos escrever os esforços nas secções correspondentes aos

deslocamentos conhecidos nas primeiras m linhas e colunas

� �

����������

�

�

�

�

�

������

�

�

nn1)n(mnmn2n1

1)n(m1)1)(m(m1)m(m1)2(m1)1(m

mn1)m(mmmm2m1

1n1)1(m1m1211

k...kk...kk

.....................

k...kk...kk

k...kk...kk

.....................

k...kk...kk

K

ou

� �� � � �

� � � ����

�

��

2221

1211

KK

KKK

onde os [kji] são as submatrizes de [K]. As ordens de [K11], [K12], [K21] e [K22] são

respectivamente m�m; m�(n�m); (n�m) � m e (n�m )�(n�m).

Para produzir deslocamentos �1, �2, ..., �m devem ser aplicadas as forças externas �

1F ,

�

2F , ..., �

mF nas coordenadas 1, 2, ..., m respectivamente (nas restantes coordenadas

não actuam forças). Como consequência daqueles deslocamentos ocorrem nas

restantes coordenadas os deslocamentos Dm+1, ..., Dn. A equação que relaciona as

forças e os deslocamentos é :

� � � �

� � � � ���

���

����

�

� �

{0}

}{F

}{D

}{D

KK

KK1

2

1

2221

1211

onde {D1} é o vector de deslocamentos conhecidos � e {D2} é o vector de

deslocamentos desconhecidos Dm+1, ..., Dn. O vector { �

1F } é o vector das forças

desconhecidas nas coordenadas 1, 2, ..., m.

Da 2ª linha da equação matricial tira-se que :

{D 2} = �[K22�1][K 21]{D 1}

Conhecidos os deslocamentos das n incógnitas, os esforços em qualquer secção

poderão ser determinados por :

{A} = [A u]{D}

onde {A} é qualquer acção e [Au] é a mesma acção correspondente a um

deslocamento unitário numa só coordenada. Esta equação é a mesma que :

{A} = {A r} + [A u]{D} com {A r} = 0

porque as acções compreendidas são devidas unicamente aos efeitos dos

deslocamentos {D}.

As forças { �

1F } são dadas por :

� � � � � � � �� � }{D K K KK }{F 1211

2212111�� ��

equação obtida da 1ª linha da equação matricial anteriormente escrita entrando com os

valores já determinados de D2.