MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO PARA RISCOS COMPETITIVOS · se torna importante garantir o funcionamento...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS- DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO PARA RISCOS

COMPETITIVOS

Agatha S. Rodrigues

UFSCar - DEs

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS- DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

Relatório de Iniciação Científica -

Bolsa PIADRD

MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO PARA RISCOS

COMPETITIVOS

Agatha S. Rodrigues

UFSCar - DEs

[email protected]

Orientador: Adriano Polpo

UFSCar - DEs

Co-Orientador: Teresa C. M. Dias

UFSCar – Des

São Carlos

2010

mailto:[email protected]

i

RESUMO

O problema de confiabilidade de sistemas vem sendo tratado há muito tempo. Cada vez mais

se torna importante garantir o funcionamento destes sistemas. Neste trabalho estudamos a

teoria de riscos competitivos (especificamente, problemas com dois fatores de risco), através

da comparação de três métodos de estimação. São eles: frequentista paramétrico, o estimador

de Kaplan-Meier e Bayesiano paramétrico; em que no caso paramétrico utilizamos o modelo

Weibull para estimar a função de sobrevivência. Devido à complexidade matemática da

distribuição a posteriori do método Bayesiano, recorreu-se ao algoritmo de Metropolis

Hasting. As comparações foram realizadas através de simulação de vários conjuntos de dados,

com diferentes tamanhos amostrais. As métricas de comparação utilizadas foram: erro

quadrático médio (EQM) e erro máximo absoluto (EMA) dos estimadores em relação à

verdadeira distribuição. Os resultados das comparações mostraram que o estimador de

Kaplan-Meier foi o de pior desempenho e as estimativas paramétricas pelo método

frequentista e Bayesiano foram equivalentes.

ii

GLOSSÁRIO

Confiabilidade é a probabilidade de um item desempenhar uma função, sob condições

específicas, de forma adequada durante um período de tempo pré-determinado. Assim, é a

procura, análise, avaliação e correção de todas as falhas que podem ocorrer com um produto,

em todo o seu ciclo de vida.

Sistema é um conjunto de elementos interconectados harmonicamente que pode

consistir de componentes, entidades, partes ou elementos. Neste projeto, os sistemas em

estudo são formados por fatores de risco, ou seja, o primeiro fator de risco a falhar provoca a

falha do sistema.

Riscos Competitivos são riscos que competem entre si para ser o responsável pela

falha no sistema.

Falha é a causa de um erro, o que impossibilita um componente de executar suas

funções.

Dados Censurados são dados cujo tempo de vida foram interrompidos e assim temos

apenas a informação do tempo de censura e não até quando eles conseguiriam sobreviver.

iii

ÍNDICE

1. Introdução -------------------------------------------------------------------------------------------- 01

2. Metodologia------------------------------------------------------------------------------------------- 04

2.1 O Estimador de Kaplan-Mier ------------------------------------------------------------ 05

2.2 Distribuição Weibull ---------------------------------------------------------------------- 06

2.3 Verossimilhança na aplicação de riscos competitivos sob o Modelo Weibull --- 07

2.4 Método Frequentista Paramétrico ------------------------------------------------------- 08

2.5 Método Bayesiano Paramétrico --------------------------------------------------------- 08

2.6 Algoritmo de Metropolis-Hastings ------------------------------------------------------ 09

2.7 Monitoramento de Convergência ------------------------------------------------------- 10

3. Resultados de Simulação --------------------------------------------------------------------------- 14

4. Considerações Finais ------------------------------------------------------------------------------- 38

Apêndice A ---------------------------------------------------------------------------------------------- 40

Apêndice B ---------------------------------------------------------------------------------------------- 48

Referências Bibliográficas ---------------------------------------------------------------------------- 76

1

1. INTRODUÇÃO

Em várias áreas de aplicação da Estatística, aparecem situações que envolvem riscos

competitivos, ou seja, componentes competindo para ver qual deles é o responsável pela falha

do sistema. Para esse problema de confiabilidade é importante estudar os fatores que

contribuem para a ocorrência da falha e assim garantir o funcionamento destes sistemas.

A análise estatística de dados incompletos tem motivado um grande número de

pesquisas. Em várias áreas de aplicação de métodos estatísticos, como engenharia e medicina,

problemas de estimação, quando as observações podem estar aleatoriamente censuradas,

aparecem com bastante freqüência: Cox [5], Breslow e Crowley [2] e Kaplan e Meier [8].

Exemplos práticos podem ser encontrados quando os dados representam os tempos de vida de

componentes ou os tempos de vida de pacientes submetidos a um tratamento médico. Há, na

literatura, vários trabalhos relacionados ao problema de riscos competitivos (sistema de

componentes em série), como Aalen [1], Tsiatis [15], Peterson [11] e Salinas-Torres et al.

[14], Polpo et al. [12].

Consideramos um problema com dois fatores de risco, C1 e C2, em que é possível

observar seu tempo de falha e identificar o primeiro fator a falhar. Estes fatores competem até

que um deles falhe e o sistema para de funcionar (para definição de sistema vide Glossário).

Sejam X1 e X2 os tempos de falha dos fatores C1 e C2. Considerando T o tempo de

falha do sistema, temos T = min(X1; X2). Se o fator que falhou primeiro é conhecido,

definimos uma variável aleatória indicadora, δ, do fator responsável pela falha do sistema, em

que δ=1 se o fator 1 (C1) falhou primeiro e δ=0 se o fator 2 (C2) foi o responsável pela falha

do sistema. Suponha agora que o experimento possa ser repetido várias vezes (n vezes) e que

observamos (Ti; δi), com i = 1,..., n. Note que, cada Ti contém a informação sobre o fator que

2

falhou e para o outro fator um limite inferior, mas que não se sabe até quando poderia

funcionar, ou seja, o fator foi censurado.

Desejamos, por exemplo, estimar o tempo que levará até uma máquina de café

automática apresentar uma falha. Simplificando o exemplo, considere que esta máquina pode

falhar por dois fatores de risco distintos, um deles é o que moe o grão e o outro é o

responsável por esquentar a água para fazer o café. Quer dizer, sem água quente não tem

como fazer café, ao mesmo tempo em que sem o grão moído também não é possível. Então

esta máquina está sujeita a dois fatores de risco competindo entre si para saber qual deles foi o

responsável pela falha da máquina. Ainda, a empresa que monta essas máquinas de café

compra o moedor e o ebulidor de água de fornecedores distintos. Com isso, é preciso saber

como é o funcionamento de cada uma destas partes, para montar a melhor máquina de café

possível (neste caso, a de maior confiabilidade). Porém, para testar estas peças, é preciso que

elas estejam funcionando, e isto só pode ser feito com a máquina montada. O problema que

surge então é: como estimar a confiabilidade de cada componente, uma vez que os tempos de

falha destes podem ser censurados?

Para responder esta pergunta, avaliamos o desempenho de três métodos de estimação

das curvas de sobrevivência para os fatores e o sistema. O modelo paramétrico utilizado neste

trabalho é o modelo Weibull, estimados do ponto de vista Bayesiano e frequentista. O terceiro

método é o estimador não paramétrico de Kaplan-Meier. Sendo assim, os objetivos

desenvolvidos neste trabalho foram:

Descrever o problema de riscos competitivos, com dois fatores.

Usar a família Weibull como família de probabilidade do tempo de vida dos

componentes nos métodos paramétricos.

Combinar a confiabilidade dos fatores de risco que compõem o sistema para obter a

sua confiabilidade global.

3

Comparar os três métodos de estimação através do Erro Quadrático Médio (EQM) e

Erro Máximo Absoluto (EMA).

Utilizamos a metodologia proposta em exemplos de dados simulados considerando

diferentes distribuições para os componentes e diferentes tamanhos amostrais.

No caso da estimação paramétrica, é desejável o uso de um modelo probabilístico que,

apenas por mudanças nos valores de seus parâmetros, possa representar o comportamento

crescente, decrescente ou constante das falhas ao longo do tempo. Como sugere Coque-Jr [4],

a família de distribuições Weibull é rica o bastante para representar todos esses tipos de

situações.

A utilização do modelo Weibull na estimação Bayesiana faz com que a função a

posteriori como densidade de probabilidade não seja conhecida e nesse caso é necessário

recorrer a métodos de simulação para os cálculos das medidas de interesse; em que a

metodologia mais adequada é a simulação Monte Carlo via Cadeia de Markov,

especificamente o Metropolis-Hastings.

No Capítulo 2, apresentamos a metodologia utilizada e uma breve descrição dos

métodos de estimação. Para o método Bayesiano paramétrico descrevemos também o

algoritmo de Metropolis-Hastings e monitoramento de convergência das cadeias. O Capítulo

3 é dedicado aos resultados e discussão das simulações realizadas. Por fim, no Capítulo 4,

apresentamos as considerações finais e conclusões do estudo realizado.

4

2. METODOLOGIA

As etapas desenvolvidas no projeto foram:

1. Estudo da literatura sobre o problema de confiabilidade em sistemas.

2. Estudo da literatura sobre riscos competitivos.

3. Estudo da literatura sobre o modelo Weibull, suas propriedades e aplicações sob o

ponto de vista frequentista e Bayesiano.

4. Estudo da teoria de estimadores não paramétricos, dando uma ênfase maior ao

estimador de Kaplan-Meier.

5. Estudo da literatura sobre Monte Carlo via cadeias de Markov para a programação

do algoritmo de Metropolis-Hastings e também o estudo das propriedades deste

método estocástico.

6. Após todo o embasamento teórico, colocar em prática o conhecimento adquirido

implementando todos os métodos de estimação em estudo utilizando o software

livre R.

7. Simulações com diferentes sistemas (diferentes distribuições dos componentes) para

avaliar os métodos.

Nas seções seguintes abordamos uma revisão dos três métodos de estimação em

estudo, assim como considerações relevantes do modelo Weibull, da verossimilhança

associada ao problema proposto e monitoramento de convergência do algoritmo de

Metropolis-Hastings, utilizado no método Bayesiano paramétrico.

5

2.1 O estimador de Kaplan-Meier

A obtenção das estimativas de Kaplan-Meier (estimador não-paramétrico) proposto

por Kaplan e Meier (1958) envolve uma sequência de passos em que o próximo depende do

anterior. Por exemplo:

S(6)=P(T ≥ 6)= P(T ≥ 1, T ≥ 6)=P(T ≥ 1). P(T ≥ 6|T ≥ 1).

Assim, para o indivíduo sobreviver por 6 semanas, ele precisa primeiro sobreviver à

primeira semana para depois sobreviver à sexta, sabendo que ele sobreviveu à primeira.

Os passos são gerados a partir de intervalos definidos pela ordenação dos tempos de

falha de forma que cada um deles começa em um tempo observado e termina no próximo

tempo. Considerando, assim, S(t) uma função discreta com probabilidade maior nos tempos

de falha , k=1,...,p, temos que:

com Desta forma, a expressão geral de S(t) é

escrita em termos de probabilidades condicionais. O estimadorde Kaplan-Meier se reduz a

estimar que, é dado por:

para k=1,...,p, em que , os p tempos distintos e ordenados de falha.

Assim, o estimador de Kaplan-Meier é definido por:

As principais propriedades do estimador de Kaplan-Meier são:

i) Não viesado para amostras grandes;

ii) Converge assintoticamente para um processo gaussiano (processo aleatório no qual

todas as funções de densidade que descrevem o processo são normais);

6

iii) É estimador de máxima verossimilhança de S(t).

Mais detalhes ver Colosimo e Giolo [3].

Para os métodos paramétricos, o modelo Weibull foi utilizado para estimar as funções

de sobrevivência. Na seção seguinte, abordamos este modelo de probabilidade.

2.2 Distribuição Weibull

O modelo Weibull foi utilizado, pois ele pode representar o comportamento crescente,

decrescente ou constante das falhas ao longo do tempo. Na sua forma mais completa, a

distribuição Weibull é dada com três parâmetros. Neste trabalho, consideramos o parâmetro

de locação γ igual a zero e, portanto, a função densidade de probabilidade da distribuição

Weibull de dois parâmetros é dada por:

e sua função de sobrevivência é:

em que β > 0 é o parâmetro de forma e η > 0 é o parâmetro de escala.

A escolha desta distribuição Weibull para solução do problema proposto se deve ao

fato que a ela possui uma boa aderência a dados de falha e também é uma versátil distribuição

que assume características de outras distribuições baseada nos valores do parâmetro de forma

β. Segundo Rinne [13], alguns casos especiais são:

β=1, a Weibull é uma distribuição Exponencial;

β=2, a Weibull é uma distribuição Rayleigh;

β=2,5, a Weibull se aproxima de uma distribuição LogNormal;

β=3,6, a Weibull se aproxima de uma distribuição Normal.

7

Dado o modelo Weibull, na seção a seguir definimos a verossimilhança na aplicação

de riscos competitivos.

2.3 Verossimilhança na aplicação de riscos competitivos sob o Modelo

Weibull

Consideramos n tempos t1,..., tn com as respectivas indicações de falha δ1,..., δn, em

que:

δi=1 se o indivíduo i que falhou for o componente 1;

δi=0 se o indivíduo i que falhou for o componente 2.

Temos disponíveis os dados (t1, δ1), ..., (tn, δn). Note que, quando um fator é

responsável pela falha do sistema, temos o seu tempo de falha exato e consequentemente o

tempo de falha do outro fator é censurado. A função de verossimilhança é dada por:

em que fj é a função de densidade da Weibull definida em (4) e Sj é a função de sobrevivência

da Weibull definida em (5), para j= 1,2.

Tomando um i fixo e δi=1 a função de verossimilhança fica resumida a f1(ti) S2(ti), ou

seja, para a i-ésima amostra, o fator de risco 1 (δi=1) foi o causador da falha. Logo, temos sua

informação não censurada e usamos no modelo sua função de densidade f1. Para o risco 2,

sabemos apenas que ele falhou após o tempo ti, utilizando no modelo S2 que é a P(C2 > ti).

Outros detalhes sobre o modelo Weibull para dados censurados pode ser obtido em Lawless

[9].

8

Com a função de verossimilhança definida, descrevemos na próxima seção o método

frequentista de estimação dos parâmetros do modelo Weibull.

2.4 Método Frequentista Paramétrico

Substituindo (4) e (5) na verossimilhança (6), obtemos:

Supondo os fatores de risco são independentes, podemos escrever (7) como:

e assim obter as estimativas dos parâmetros de cada fator de risco individualmente. Logo,

para o fator 1, temos:

Os estimadores de máxima verossimilhança são os valores de β1 e η1 que maximizam a

função (9). Como não é possível obter esses estimadores de forma analítica, utilizamos um

método numérico (como Newton-Raphson). Os estimadores dos parâmetros para o fator de

risco 2 são obtidos de forma análoga.

Na seção seguinte, descrevemos o método Bayesiano de estimação dos parâmetros do

modelo Weibull.

2.5 Método Bayesiano Paramétrico

O método Bayesiano no processo de estimação é baseado na função de

verossimilhança e na distribuição a priori. Como queremos que a informação dos dados seja

dominante, utilizamos uma distribuição a priori não-informativa. Neste caso, a priori não-

9

informativa proposta por Jeffreys foi utilizada. Segundo Jeffreys [7], a priori no caso

multiparamétrico é dado por:

em que,

A distribuição a priori para os parâmetros desconhecidos da distribuição Weibull de

dois parâmetros é abordada por Martins [10]:

Assim, considerando a equação (12) e a (7), calculamos a distribuição a posteriori,

que fica dada por:

Para a posteriori definida em (13) ser uma função de densidade de probabilidade,

temos que calcular a constante de proporcionalidade dada por:

Como esta equação não possui solução analítica, recorremos ao método de Monte-Carlo via

Cadeia de Markov, mais especificamente o algoritmo Metropolis-Hastings que abordamos na

seção a seguir.

2.6 Algoritmo de Metrolopis-Hasting

Temos um problema de densidades condicionais incompletas, neste caso usamos o

algoritmo de Metropolis-Hastings. Este método permite gerar valores de uma distribuição de

10

interesse ( ) através de uma densidade proposta (q) e decidindo aceitar ou rejeitar o valor

gerado (y) segundo uma probabilidade de aceitação ( ), em que:

Resumindo o algoritmo, se u, um ponto gerado de uma distribuição uniforme entre

(0,1) for menor ou igual a , então o ponto gerado (y) é aceito e , caso

contrário, o ponto gerado (y) é rejeitado e , em que m é o contador de

iterações.

O sucesso do método depende da convergência da simulação e das taxas de aceitação

não muito baixas. A taxa de aceitação é definida como a razão entre o número de vezes que se

aceita o valor proposto (y) e o número total de simulações. Alguns textos da literatura

propõem uma taxa de aceitação por volta de 20% (Gamerman [6]).

Para a execução do algoritmo, utilizamos a distribuição Gama como densidade

proposta, pois esta apresenta como suporte, valores positivos e apresentou resultados

satisfatórios quanto a convergência.

Para que os resultados obtidos através da simulação de Metropolis-Hastings sejam

eficientes, precisamos monitorar a convergência das cadeias de Markov. Na seção a seguir

abordamos alguns métodos de verificação de convergência.

2.7 Monitoramento de Convergência

É importante considerar quão eficiente um algoritmo de Metropolis-Hasting fornece

informações úteis sobre o problema de interesse. Eficiência pode ter vários significados no

contexto, mas aqui nós focamos em quão rápido a cadeia “esquece” seus valores iniciais e

quão rápido a cadeia explora completamente o suporte da distribuição alvo. Uma preocupação

relacionada ao monitoramento de convergência é quão distante precisam estar as sequências

11

de observações para que possam ser consideradas independentes. Para isso, descrevemos

quatro métodos de monitoramento de convergência: gráfico de médias ergódicas, teste de

Gelman e Rubin, gráfico de série de tempo e gráfico de autocorrelação.

2.7.1 Gráfico de Médias Ergódicas

Teorema Ergódico: Seja t(Ɵ) uma função dos parâmetros, as médias ergódicas onde

convergem quase certamente para quando j -> ∞.

O gráfico de médias ergódicas é definido como um gráfico da série de tempo de .

Então, a convergência pode ser verificada se esse gráfico, após um período inicial, se

convergir (assintoticamente) para um único ponto.

As primeiras simulações dependem dos valores iniciais dos parâmetros. Essa etapa de

iterações pré-convergência é conhecida como período de aquecimento da cadeia ou período

de burn-in. Uma forma mais prática (e informal) de escolher o burn-in é através do gráfico

das médias ergódicas de uma cadeia ao longo das iterações. Através deste gráfico, após

apresentar convergência, determinamos o período de aquecimento (burn-in) e excluímos os

valores iniciais.

2.7.2 Teste de Gelman e Rubin

O método de Gelman e Rubin é baseado em técnicas de análise de variância,

utilizando várias cadeias em paralelo a partir de diferentes chutes iniciais. Desta forma, para

que haja convergência, todas as cadeias devem apresentar o mesmo comportamento.

Haverá convergência da cadeia apenas quando a variância entre as cadeias for bem

menor que a variância dentro das mesmas. Essas variâncias são definidas a seguir:

Variância entre as cadeias: ; 2

_

1

_

)(1

ttm

nE

m

i

i

12

Variância dentro das cadeias: ,

em que é a média das observações da i-ésima cadeia e é a média de todas as observações.

Um estimador consistente para a variância de t (dados gerados pelo algoritmo de

Metropolis-Hastings) é dado por:

. (15)

De acordo com Gamerman [6], enquanto as cadeias não tiverem convergido, ainda

haverá influência dos pontos iniciais, que foram escolhidos de forma a ter dispersão maior que

t, portanto, superestima a verdadeira variância. Em contrapartida, antes de se atingir a

convergência, D subestimaria a verdadeira variância, visto que cada cadeia não teria coberto

adequadamente todo o espaço de estados.

Um indicador de convergência pode ser a redução potencial de escala. O fator de

redução é dado por: . (16)

Portanto, um indicador de convergência da cadeia será dado pela sua proximidade do

valor 1 (variância de t próxima da variância dentro das cadeias).

2.7.3 Convergência para a distribuição estacionária – Gráfico de série temporal

Uma abordagem empírica para controlar a convergência é desenhar as séries de tempo

das cadeias simuladas para se detectar comportamentos de não-estacionariedade. A ideia é

desenhar a sequência dos pontos gerados versus t (dados gerados pelo algoritmo de

Metropolis-Hastings).

Se uma cadeia não converge, ela ficará perto ou no mesmo valor por muitas iterações.

Uma cadeia que converge “bem” se ela muda rapidamente o seu valor inicial para a região de

EDtVnn

**1)( 11^

1,/)(^

sempreDtVR

m

i

n

j

ij

i ttnm

D1 1

2)( )()1(

1

13

interesse e não permanece sempre no mesmo ponto, oscilando seus valores dentro de um

mesmo espaço.

2.7.4 Convergência das amostras iid

Como estamos lidando com Cadeias de Markov e por isso as iterações do algoritmo

são dependentes, precisamos usar um método para “retirar” a dependência das iterações e

assim trabalhar apenas com aquelas que são independentes uma das outras.

Um gráfico de autocorrelação resume a correlação em uma sequência de X(t)

em

diferentes lags. Uma cadeia que tem um ritmo lento para “chegar” na distribuição estacionária

irá exibir uma decaída lenta de autocorrelação à medida que a lag entre as iterações aumenta.

Uma solução para tirar a dependência das iterações é usar saltos (retirar iterações

dependentes), isto é: , em que k é o tamanho do salto. Tomando η(t)

como a

amostra gerada do método de Metropolis-Hastings.

Com isso, abordamos a teoria de riscos competitivos necessária para o

desenvolvimento desse trabalho e os métodos de estimação propostos. No próximo capítulo,

aplicamos a teoria apresentada em dados simulados com diferentes distribuições dos fatores

de risco e tamanhos amostrais.

14

3. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO

Realizamos simulações considerando diferentes tipos de sistemas (diferentes

distribuições para os riscos) e diferentes tamanhos amostrais. Para que o resultado obtido de

cada simulação não seja devido ao acaso, geramos mil conjuntos de dados distintos para cada

tipo de sistema e analisamos o comportamento de cada método de estimação levando em

conta as mil situações e não apenas um caso isolado. Em todos os tipos de sistemas gerados

consideramos dois tamanhos de amostra: 30 e 100 observações.

Para comparação dos métodos de estimação, utilizaremos o Erro Quadrático Médio

(EQM) e Erro Máximo Absoluto (EMA). Assim, o método que tiver as menores medidas

dessas duas quantidades é considerado o melhor em relação aos outros dois.

Consideramos sistemas com dois componentes em que:

i) Sistema 1: fator 1 possui distribuição Weibull com parâmetros 1 e 2 (média 1,88 e variância

4,37), e o fator 2 possui distribuição Weibull com parâmetros 2 e 1 (média 0,9 e variância

0,21).

ii) Sistema 2: fator 1 possui distribuição Gama com parâmetros 3 e 6 (média 0,5 e variância

0,1), e o fator 2 possui distribuição Gama com parâmetros 2 e 5 (média 0,41 e variância 0,08).

iii) Sistema 3: fator 1 possui distribuição Log-Normal com parâmetros 0,4 e 1 (média de 2,38

e variância 9) e o fator 2 possui distribuição Gama com parâmetros 5 e 2 (média 2,48 e

variância 1,5).

iv) Sistema 4: fator 1 possui distribuição Normal com valores absolutos com parâmetros 3 e 5

(média 4,7 e variância 11) e o fator 2 possui distribuição Normal com valores absolutos com

parâmetros 5 e 2 (média 5 e variância 6).

15

Considerando os quatro sistemas com os dois tamanhos amostrais (30 e 100

observações) e as 1000 replicações, ao final de todas simulações, geramos 4.30.1000 +

4.100.1000 = 520000 dados.

Para o método Bayesiano paramétrico, precisamos verificar a convergência das

cadeias através do gráfico de médias ergódicas, série de tempo, autocorrelação e valor do teste

de Gelman e Rubin, como foram descritos na seção 2.7. O monitoramento de convergência do

Metropolis-Hastings dos quatro sistemas está no Apêndice B, em que: B.1 está o

monitoramento de convergência do Metropolis-Hastings do sistema 1 com tamanho amostral

30, B.2 do sistema 1 com tamanho 100, B.3 do sistema 2 com tamanho 30, B.4 do sistema 2

com tamanho 100, B.5 do sistema 3 com tamanho 30 e B.6 do sistema 3 com tamanho 100,

B.7 do sistema 4 com tamanho 30 e B.8 do sistema 4 com tamanho amostral 100. Como para

cada sistema geramos 1000 situações ficaria inviável apresentar os gráficos de monitoramento

de convergência de todos eles. Por isso, para cada sistema, apresentamos os resultados de

convergência de uma amostra, mostrando sua convergência e extrapolando para as outras 999

situações.

i) Sistema 1

i.1) Sistema 1 com amostra de tamanho 30

16

Tabela 1: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA das 100 situações simuladas para o

sistema 1 com amostra de tamanho 30

Método EQM EMA

Sistema C1 C2 Sistema C1 C2

Frequentista Paramétrico 1º 37,3% 100% 28,9% 100% 99,5% 100%

2º 62,5% ---- 66,5% ---- 5% ----

3º 0,2% ---- 4,6% ---- ---- ----

Bayesiano Paramétrico 1º 41,3% ---- 53,7% ---- 0,5% ----

2º 24,7% 81,7% 30,3% 88,9% 81,2% 97,6%

3º 34% 18,3% 16% 11,1% 18,3% 2,4%

Kaplan- Meier 1º 21,4% ---- 17,4% ---- ---- ----

2º 12,8% 18,3% 3,2% 11,1% 18,3% 2,4%

3º 65,8% 81,7% 79,4% 88,9% 81,7% 97,6%

Através dos resultados apresentados na Tabela 1, observamos que para o sistema, o

método Bayesiano paramétrico é o que mais vezes apresenta o menor EQM dentre os métodos

de estimação, 41,3% das vezes simuladas; seguido pelo método frequentista paramétrico, com

37,3% das vezes. Mas vale ressaltar que enquanto esse último é o pior neste quesito em

apenas 0,2% das situações, o método Bayesiano paramétrico é o pior método de estimação em

34% das vezes. Ainda na medida EQM, percebemos que no fator 1, o método frequentista

paramétrico é o melhor em todas as situações simuladas, enquanto o Bayesiano paramétrico

obtém melhor desempenho em quase 54% das vezes contra 29% do frequentista paramétrico

no fator 2. O método Kaplan Meier, por sua vez, é o pior método de estimação, na medida

EQM, na maioria das vezes tanto para o sistema (65,8% das vezes), quanto para os fatores de

risco 1 (81,7% das vezes) e 2 (79,4% das vezes).

17

Quando levamos em conta apenas quem foi o menor EQM, não consideramos o

quanto a medida de um método é menor que a medida de outro. Assim, pelos gráficos box-

plot da Figura 1, percebemos que apesar do Bayesiano paramétrico ser o método que em mais

vezes obteve o menor EQM para o sistema, as suas medidas não diferem das medidas do

método frequentista paramétrico e também no fator 2, não existe diferença dos valores do

EQM entre estes dois métodos. Já no fator 1, as medidas do frequentista paramétrico tem uma

variabilidade menor, sendo concentradas nos menores valores para o erro. Tanto para o

sistema quanto para os fatores de risco, o método Kaplan Meier apresenta a maior

variabilidade do EQM e os maiores valores desse erro.

Na medida EMA, é evidente a superioridade do método frequentista paramétrico, pois

em 100% das vezes, tanto no sistema quanto nos fatores de risco, ele obtém sempre o menor

erro máximo absoluto; enquanto o método Bayesiano paramétrico está em segundo lugar 89%

das vezes no sistema, 81,2% das vezes no fator de risco 1 e quase 98% das vezes no fator de

risco 2. O método frequentista não-paramétrico, Kaplan-Meier, obtém o pior desempenho na

grande maioria das vezes também no EMA para os fatores de risco e sistema. Pela Figura 2,

podemos perceber que os valores do EMA para este método são consideravelmente maiores

que erro máximo dos outros métodos em comparação e vale frisar que nos baseando na

Tabela 1, em nenhuma das situações simuladas ele foi o método com menor EMA.

Nas Figuras A.1.1, A.1.2 e A.1.3 temos uma ideia gráfica do desempenho dos

métodos, pois comparamos a curva de sobrevivência real dos dados (a tracejada preta) com a

curva dos métodos de estimação (contínua vermelha) considerando uma das 1000 simulações

realizadas.

18

Figura 1: Box-Plot do EQM do sistema 1 com amostra de tamanho 30

Figura 2: Box-Plot do EMA do sistema 1 com amostra de tamanho 30

B C K B C K B C K

B C K B C K B C K

19

i.2) Sistema 1 com amostra de tamanho 100

Tabela 2: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA das 1000 situações simuladas para o


Método EQM EMA


Frequentista Paramétrico 1º 41,4% 51,2% 39,6% 54,5% 55,6% 46,1%

2º 58,4% 44,9% 60% 45,5% 43,8% 53,8%

3º 0,2% 3,9% 0,4% ---- 0,6% 0,1%

Bayesiano Paramétrico 1º 43,1% 42,2% 49,2% 44,6% 43,9% 53,6%

2º 28,6% 34,6% 34,5% 52,3% 50,7% 45,7%

3º 28,3% 23,2% 16,3% 3,1% 5,4% 0,7%

Kaplan- Meier 1º 15,5% 6,6% 11,2% 0,9% 0,5% 0,3%

2º 13% 20,5% 5,5% 2,2% 5,5% 0,5%

3º 71,5% 72,9% 83,3% 96,9% 94% 99,2%

Pela Tabela 2, o método que apresenta melhor desempenho para o sistema entre as

1000 situações simuladas no EQM é o Bayesiano paramétrico com 43,1% das vezes em

primeiro lugar. Como no caso da amostra de tamanho 30, o método frequentista paramétrico é

o pior dentre os métodos comparados em apenas 0,2% das vezes, enquanto que o Bayesiano

paramétrico é o pior 28,3% das vezes.

No fator de risco 1, ainda na medida EQM, o método frequentista paramétrico é o

melhor em 51,2% das situações simuladas, enquanto o Bayesiano paramétrico obtém melhor

desempenho em um pouco mais de 42% das vezes. Enquanto que no fator de risco 2, a

situação se inverte: o frequentista obtém melhor desempenho em 39,6% das vezes e o

Bayesiano paramétrico em 49,2% das simulações. O método Kaplan Meier é o pior método de

20

estimação na maioria das vezes tanto para o sistema (71,5% das vezes), quanto para os fatores

de risco 1 (72,9% das vezes) e 2 (83,3% das vezes).

Pelos gráficos box-plot da Figura 3, percebemos que apesar do Bayesiano paramétrico

ser o método que em mais vezes obteve o menor EQM para o sistema, as suas medidas não

diferem das medidas do método frequentista paramétrico e também nos fatores de risco 1 e 2

não existe diferença dos valores do EQM entre estes dois métodos. Tanto para o sistema

quanto para os fatores de risco, o método Kaplan Meier apresenta a maior variabilidade do

EQM e os maiores valores desse erro.

Na medida EMA do sistema, diferente do que acontece com o tamanho amostral de

30, há certo equilíbrio entre o desempenho do frequentista e Bayesiano paramétrico, em que

no fator de risco 1, o frequentista é o melhor em 55,6% das vezes e no fator de risco 2 o

Bayesiano é melhor em 53,6%.

O método frequentista não-paramétrico, Kaplan-Meier, obtém um pior desempenho no

EMA tanto para o sistema (pior em quase 97% das vezes), e para os fatores de risco 1 e 2

sendo o pior método em 94% e 99,2% das vezes, respectivamente. Pela Figura 4, podemos

perceber que os valores do EMA para este método são consideravelmente maiores que erro

máximo dos outros métodos em comparação.




realizadas.

Podemos também comparar o sistema 1 nos dois tamanhos amostrais simulados (i.1 e i.2).

Nesta comparação, observamos que o método Kaplan-Meier obtém pior desempenho no

sistema quando aumentamos o tamanho da amostra, pois com amostra de tamanho 30 ele é o

pior em 65,8% e com amostra de tamanho 100 ele ficou em terceiro em 71,5% das vezes.

21

Ainda para o sistema, o método Bayesiano obteve uma melhora de 5,7% quando aumentamos

o tamanho amostral, pois ele é o pior método de estimação em 34% das vezes na amostra de

tamanho 30 e na amostra de tamanho 100 diminuiu para 28,3% das vezes.

Em relação ao EMA, podemos perceber que houve uma grande diferença quando

mudamos o tamanho amostral. Na amostra de tamanho 30, o frequentista paramétrico é o

melhor em 100% das vezes tanto no sistema quanto nos fatores de risco. Já na amostra de

tamanho 100, houve um equilíbrio no desempenho entre o frequentista e Bayesiano em que o

primeiro é melhor no fator de risco 1 e o Bayesiano tem maior porcentagem de melhor

desempenho no fator de risco 2.

Figura 3: Box-plot do EQM do sistema 1 com tamanho amostral 100

22

Figura 4: Box-plot do EMA do sistema 1 com tamanho amostral 100

ii) Sistema 2

ii.1) Sistema 2 com amostra de tamanho 30

Tabela 3: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA nas 1000 situações para o sistema 2

com amostra de tamanho 30

Método EQM EMA



2º 64,1% 56% 61,3% 42,4% 45,4% 50,2%

3º 0,1% 0,3% 0,3% 0,2% 0,2% ----

Bayesiano Paramétrico 1º 38,3% 43,9% 49,2% 37% 45% 49,2%

2º 24,5% 25,5% 26,9% 50% 42% 46,7%

3º 37,2% 30,6% 23,9% 13% 13% 4,1%

Kaplan- Meier 1º 25,9% 12,4% 12,4% 5,6% 0,6% 1%

2º 11,4% 18,5% 11,8% 7,6% 12,6% 3,1%

3º 62,7% 69,1% 75,8% 86,8% 86,8% 95,9%

23

No EQM para o sistema, o método Bayesiano é o melhor em 38,3% das vezes e o

frequentista paramétrico em 35,8% das vezes. Percebemos também através da Tabela 3 que o

método Bayesiano paramétrico é o que apresenta as maiores porcentagens de melhor

desempenho entre os métodos comparados nos fatores de risco 1 e 2, 43,9% e 49,2% das

vezes, respectivamente. Mas vale ressaltar que enquanto o Bayesiano paramétrico obtém o

pior desempenho entre os métodos em 30,6% das vezes no fator de risco 1 e 23,9% no fator

de risco 2, o frequentista é o pior em apenas 0,3% das vezes para os dois fatores de risco.

Por sua vez, o método Kaplan Meier é o pior método de estimação na maioria das

vezes tanto para o sistema (62,7% das vezes), quanto para os fatores de risco 1 (69,1% das

vezes) e 2 (75,8% das vezes).

Já na medida EMA do sistema, o método de estimação frequentista paramétrico obtém

maior porcentagem de menores EMA, tanto para os fatores de risco quanto para o sistema.

Mesmo tendo a maior porcentagem de melhor desempenho dentre as situações simuladas no

fator de risco 2, não há grande diferença entre ele e o método Bayesiano paramétrico em que

esse obtém o menor EMA em 49,2% das vezes e o frequentista em 49,8%. Assim como na

medida EQM, o Kaplan-Meier apresentou a maior porcentagem de pior desempenho tanto no

sistema quanto nos fatores de risco e na Figura 6 podemos notar que nos gráficos do EMA

tanto para o sistema quanto fatores de risco, o método não paramétrico é o que apresenta

maiores valores desse erro.



curva dos métodos de estimação (contínua vermelha) considerando uma das 1000 simulações.

24



25

ii.2) Sistema 2 com amostra de tamanho 100

Tabela 4: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA nas 1000 simulações para o sistema

2 com amostra de tamanho 100

Método EQM EMA


Frequentista Paramétrico 1º 32% 43,3% 41% 71,1% 49% 57,6%

2º 67,6% 56,3% 58,5% 28,9% 51% 42,4%

3º 0,4% 0,4% 0,5% ---- ---- ----


2º 25,2% 34,6% 35,9% 66,1% 48,3% 57,2%

3º 37,9% 15,1% 13,7% 12,3% 1% 0,6%

Kaplan- Meier 1º 31,1% 6,4% 8,6% 7,3% 0,3% 0,2%

2º 7,2% 9,1% 5,6% 5% 0,7% 0,4%

3º 61,7% 84,5% 85,8% 87,7% 99% 99,4%

Através da Tabela 4 observamos que, para o sistema, o método que apresenta melhor

desempenho entre as 1000 situações simuladas no EQM é o Bayesiano paramétrico com

36,9% das vezes em primeiro lugar. Em seguida está o frequentista paramétrico com 32% das

vezes. O método frequentista paramétrico, por sua vez, é o pior método de simulação em

apenas 0,4% das vezes, enquanto que o Bayesiano é em 37,9%.

Ainda na medida EQM, percebemos que no fator de risco 1 e fator de risco 2, o

método Bayesiano paramétrico é o melhor em 50,3% e 50,4% das situações simuladas,

respectivamente; enquanto o frequentista paramétrico obtém melhor desempenho em um

pouco mais de 43% e 41% das vezes, respectivamente.

Observando a Figura 7 percebemos que apesar do Bayesiano paramétrico ser o método

que em mais vezes obteve o menor EQM para o sistema e fatores de risco, as suas medidas

26

não diferem das medidas do método frequentista paramétrico, pois o comportamento dos

gráficos dos dois métodos, tanto para o sistema quanto para os fatores de risco não se difere.

Já na medida EMA do sistema, o método frequentista paramétrico é o melhor em

71,1% das situações simuladas no sistema e 57,6% no fator de risco 2, enquanto o Bayesiano

paramétrico obtém melhor desempenho em quase 22% das vezes no sistema e um pouco mais

de 42% no fator de risco 2. Para o fator de risco 1, a situação se inverte: o frequentista obtém

melhor desempenho em 49% das vezes e o Bayesiano em 50,7 %.

O método frequentista não-paramétrico, Kaplan-Meier, obtém um pior desempenho

que os outros métodos para o sistema quanto para os fatores de risco com relação às duas

medidas de comparação: EQM e EMA; em que para esta última obtém valores superiores que

dos outros dois métodos, o que pode ser verificado na Figura 8.

Nas Figuras A.4.1., A.4.2 e A.4.3 temos uma ideia gráfica do desempenho dos


curva dos métodos de estimação (contínua vermelha).


27


iii) Sistema 3

iii.1) Sistema 3 com amostra de tamanho 30

Tabela 51: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA nas 1000 situações para o sistema 3

com amostra de tamanho 30

Método EQM EMA


Frequentista Paramétrico 1º 35% 35,6% 39,8% 61,7% 50% 53,7%

2º 64,4% 63% 59,4% 38,3% 49,8% 46,2%

3º 0,6% 1,4% 0,8% ---- 0,2% 0,1%


2º 25,9% 25% 27,3% 54,3% 46,6% 44,8%

3º 40,3% 23,9% 32,5% 17,2% 4,5% 13,9%

Kaplan- Meier 1º 31,2% 13,3% 20% 9,8% 1,1% 5%

2º 9,7% 12% 13,3% 7,4% 3,6% 9%

3º 59,1% 74,7% 66,7% 82,8% 95,3% 86%

28

Na Tabela 5 temos que, para o sistema, não há diferença alarmante entre os três

métodos, pois o Bayesiano, frequentista paramétrico e Kaplan-Meier estão em 33,8%, 35% e

31,2% das vezes em primeiro lugar, respectivamente.

Ainda na medida EQM, percebemos que no fator de risco 1 e fator de risco 2, o

método Bayesiano paramétrico é o melhor em 51,1% e 40,2% das situações simuladas,

respectivamente; enquanto o frequentista paramétrico obtém melhor desempenho em um

pouco mais de 35% e 39% das vezes, respectivamente. Mas vale frisar que mesmo o

Bayesiano sendo o melhor na maioria das vezes, o método frequentista paramétrico é o pior

método de simulação em apenas 1,4% das vezes no fator de risco 1 e 0,8% no fator de risco 2

enquanto o Bayesiano paramétrico é o pior método dentre os três comparados 23,9% no fator

de risco 1 e 32,5% no fator de risco 2.

Já na medida EMA do sistema, o método frequentista paramétrico é o melhor em

61,7% das situações simuladas no sistema, 50% no fator de risco 1 e 53,7% no fator de risco

2, enquanto o Bayesiano paramétrico tem melhor desempenho em 28,5% das vezes no

sistema, quase 49% no fator de risco 1 e 41,3% no fator de risco 2.

O método Kaplan-Meier obtém um desempenho pior que os outros métodos com

relação ao EMA tanto para o sistema quanto para os fatores de risco. Pela Figura 10 temos

que este método apresenta um desempenho de maiores valores do erro, sendo visivelmente

maior que os outros dois métodos comparados.



curva dos métodos de estimação (contínua vermelha) considerando uma das 1000 simulações.

29



30

iii.2) Sistema 3 com amostra de tamanho 100

Tabela 6: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA nas 1000 simulações para o sistema

3 com amostra de tamanho 100

Método EQM EMA



2º 74,3% 49% 66,6% 31,8% 56,5% 46,4%

3º 0,6% 25,9% ---- ----- 3% ----


2º 21% 40,8% 27,5% 63,8% 40,6% 49,8%

3º 46,4% 9,9% 28,9% 20,4% 2,6% 9,3%

Kaplan- Meier 1º 42,3% 25,6% 23% 16% 2,7% 5,5%

2º 4,7% 10,2% 5,9% 4,4% 2,9% 3,8%

3º 53% 64,2% 71,1% 79,6% 94,4% 90,7%

Na Tabela 6, temos as comparações dos métodos de estimação através das medidas

EQM e EMA.

Para o sistema, o método Kaplan-Meier é o melhor em 42,3%, o Bayesiano

paramétrico em 32,6% das vezes e o frequentista paramétrico é o melhor apenas em 25,1% no

EQM. Mas vale ressaltar que enquanto o frequentista paramétrico tem o pior desempenho

entre os métodos em 0,6% das vezes, Kaplan-Meier fica em último lugar em 53% das vezes

no EQM do sistema.

Ainda comparando os métodos através do EQM, para o fator de risco 1 o Bayesiano é

o melhor em 49,3% das vezes seguido pelo Kaplan-Meier que não apresenta diferença

significativa em relação ao frequentista paramétrico, com 25,6% e 25,1%, respectivamente.

31

No fator de risco 2, o método Bayesiano paramétrico também foi o melhor método na maioria

das vezes, 43,6% delas.

Quando levamos em conta apenas quem foi o menor EQM não consideramos o quanto

a medida de um método é menor que a medida de outro. Assim, pelos gráficos box-plot da

Figura 11 , percebemos que apesar do Bayesiano paramétrico ser o método que em mais vezes

obteve o menor EQM para os fatores de risco, os valores de suas medidas não diferem das

medidas do método frequentista paramétrico.

Já na medida EMA do sistema, o método de estimação frequentista paramétrico é o

melhor em 68,2% no sistema e 53,6% no fator de risco 2, enquanto o Bayesiano paramétrico

tem menor EMA em 56,8% das vezes no fator de risco 1.

Nas Figura 12 observamos que o método Kaplan-Meier apresenta maiores valores do

EMA tanto para o sistema quanto para os fatores de risco, sendo visivelmente maior que os

valores dos outros métodos. Pela Tabela 6 temos também que ele foi o pior método de

estimação, levando em conta o EMA, na grande maioria das vezes tanto para o sistema quanto

para os fatores de risco (79,6% das vezes no sistema, 94,4% no fator de risco 1 e 90,7% no

fator de risco 2).



curva dos métodos de estimação (contínua vermelha), considerando uma das 1000 situações

simuladas.

32



33

iv) Sistema 4

iv.1) Sistema 4 com amostra de tamanho 30

Tabela 7: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA nas 1000 situações simuladas para o


Método EQM EMA


Frequentista Paramétrico 1º 6% 30,3% 35,5% 1,9% 6,9% 49,7%

2º 83,4% 67,7% 63,7% 23,7% 37,9% 50,3%

3º 10,6% 7% 0,8% 74,4% 55,2% -----

Bayesiano Paramétrico 1º 8,7% 15,8% 47,3% 26,1% 41% 48,6%

2º 11,9% 18,2% 24,2% 73% 56,4% 41,2%

3º 79,4% 66% 28,5% 0,9% 2,6% 10,2%

Kaplan- Meier 1º 85,3% 53,9% 17,2% 72% 52,1% 1,7%

2º 4,7% 19,1% 12,1% 3,3% 5,7% 8,5%

3º 10% 27% 70,7% 24,7% 42,2% 89,8%


método Kaplan-Meier é, sem dúvidas, o que mais vezes apresenta o menor EQM dentre os

métodos de estimação, 85,3% das vezes simuladas e em segundo lugar estão praticamente

empatados os métodos frequentista e Bayesiano paramétrico, com 6% e 8,7% das vezes,

respectivamente. Ainda na medida EQM, percebemos que no fator de risco 1, o método

Kaplan-Meier é o melhor em 53,9% das situações simuladas, enquanto que no fator de risco 2

é o melhor método em apenas 17,2% das vezes, pois neste fator de risco é o método

Bayesiano paramétrico que obtém maior porcentagem de menor EQM, 47,3% das simulações.

Na medida EMA, o método Kaplan-Meier apresenta a maior porcentagem de EMA no

sistema e fator de risco 1, com 72% e 52,1% das vezes, respectivamente; em que neste último

34

o método Bayesiano está em segundo lugar com 41% das simulações com menor EMA. Já no

fator de risco 2 a situação do Kaplan-Meier se inverte: ele é o pior método em 89,8% das

simulações enquanto que os métodos Bayesiano e frequentista paramétrico estão praticamente

empatados quando levamos em consideração aqueles com maior porcentagem de menor erro

máximo absoluto (48,6% e 49,7%, respectivamente).

Pela Figura 14 podemos perceber que os valores do EMA para o método Kaplan-

Meier é consideravelmente menor para o sistema e maior que os outros métodos para o fator

de risco 2 em que neste fator de risco, os métodos Bayesiano e frequentista paramétrico se

equivalem na medida EMA.




realizadas.


35


iv.2) Sistema 4 com amostra de tamanho 100

Tabela 8: Comparação dos métodos de estimação através do EQM e EMA nas 1000 situações simuladas para o


Método EQM EMA


Frequentista Paramétrico 1º 15,6% 49,6% 37,9% ----- ----- 45,9%

2º 71,9% 48,1% 59,1% 22,2% 34,8% 53,4%

3º 12,5% 2,3% 3% 77,8% 65,2% 0,7%


2º 23% 34,5% 32,3% 76,2% 63,5% 44,1%

3º 75,2% 57,6% 25,8% ------ ----- 4%

Kaplan- Meier 1º 82,6% 42,5% 20,2% 76,2% 63,5% 2,2%

2º 5,1% 17,4% 8,6% 1,6% 1,7% 2,5%

3º 12,3% 40,1% 71,2% 22,2% 34,8% 95,3%

36


método Kaplan-Meier é, sem dúvidas, o que mais vezes apresenta o menor EQM dentre os

métodos de estimação, 85,3% das vezes simuladas e em último lugar está o método

Bayesiano paramétrico, com apenas 1,8% das simulações com menor EQM no sistema. Ainda

na medida EQM, percebemos que o método frequentista paramétrico é o melhor em 49,6%

das situações simuladas no fator de risco 1, seguido pelo Kaplan-Meier com 42,5% das vezes

com menor EQM neste fator de risco. Já no fator de risco 2 o método com maior porcentagem

de menor EQM dentre os três comparados é o Bayesiano paramétrico, com 41,9% das

situações simuladas.

Na medida EMA, o método Kaplan-Meier apresenta a maior porcentagem de EMA no

sistema e fator de risco 1, com 76,2% e 63,5% das vezes, respectivamente; em que nestes

casos o método frequentista paramétrico não obtém menor EMA em nenhuma das 1000

simulações. Já no fator de risco 2 a situação do Kaplan-Meier se inverte: ele é o pior método

em 95,3% das simulações enquanto que o método Bayesiano apresenta maior porcentagem de

menor erro máximo absoluto, 51,9% das simulações.

Pela Figura 15, podemos perceber que diferentemente dos outros sistemas estudados,

não existe diferença aparente entre os valores dos EQM do método Kaplan-Meier em relação

aos outros dois métodos de estimação tanto para o sistema quanto para os fatores de risco.

Nas Figuras A.8.1., A.8.2 e A.8.3 temos uma ideia gráfica do desempenho dos



realizadas.

37



A partir das simulações feitas e suas respectivas análises, no capítulo seguinte

apresentamos as considerações finais do desenvolvimento e resultados obtidos.

38

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Estudamos a literatura de riscos competitivos, assim como os métodos de estimação

para o sistema e fatores de risco. Este estudo envolve o estimador de Kaplan-Meier, o modelo

Weibull sob o enfoque frequentista e Bayesiano. Para o desenvolvimento da metodologia

Bayesiana, aplicamos o algoritmo de Metropolis-Hastings.

Com os resultados obtidos no capítulo 3, observamos que o método Bayesiano

paramétrico é o método que obteve mais vezes melhor desempenho de EQM para o sistema e

fatores de risco; seguido, na grande maioria das vezes, pelo método frequentista paramétrico.

Ainda comparando os métodos, o frequentista paramétrico apresenta porcentagens

insignificantes de ser o pior método de estimação entre os três comparados. Em contrapartida

está o método Bayesiano paramétrico que mesmo sendo o que apresenta maiores proporções

de ser o melhor método, apresenta também altas porcentagens de ser o método com maior

EQM para o sistema e fatores de risco.

O método de estimação Kaplan-Meier apresenta as maiores porcentagens de pior

desempenho tanto para o sistema quanto para os fatores de risco; a única exceção é o sistema

4, em que os tempos de falha dos fatores de risco são os valores absolutos de uma distribuição

normal. Neste caso, o estimador de Kaplan-Meier é equivalente ou até mesmo superior que os

outros dois métodos para o sistema e o fator de risco 1 nos dois tamanhos amostrais

considerados.

Através da análise realizada, concluímos que os métodos de estimação frequentista e

Bayesiano paramétrico com a priori de Jefreys, sob o modelo Weibull, são equivalentes. Eles

competiram entre eles sendo na maioria das vezes os melhores métodos, ora um ora outro. Tal

fato era esperado uma vez que trabalhamos com uma priori não informativa no caso

Bayesiano, dando importância apenas aos dados. Enquanto que o método de Kaplan-Meier

39

obteve desempenho inferior aos outros dois. Com isso, podemos dizer que o modelo

paramétrico Weibull obteve melhor desempenho em relação ao modelo não-paramétrico de

Kaplan-Meier.

40

APÊNDICE A

A.1 Sistema 1 com tamanho amostral 30

Figura A.1.1: Estimativas clássicas paramétricas para os componentes 1, 2 e para o sistema, respectivamente

Figura A.1.2: Estimativas Bayesianas paramétricas para os componentes 1, 2 e para o sistema, respectivamente

Figura A.1.3: Estimativas de Kaplan-Meier para os componentes 1, 2 e para o sistema, respectivamente

41




Figura A.2.3: Estimativas Kaplan-Meier para os componentes 1, 2 e para o sistema, respectivamente

42





43



Figura A.4.2: Estimativas Bayesianas paramétricas para os componentes 1, 2 e para o sistema,

respectivamente


44




respectivamente


45




respectivamente


46




respectivamente


47





48

APÊNDICE B

B.1 - Monitoramento de Convergência do sistema 1 com tamanho amostral 30

Tabela B.2: Taxa de aceitação e estatística de Gelman e Rubin para os componentes do sistema 1 com tamanho

de amostra 30

Componente Parâmetro Taxa de Aceitação Estatística Gelman e Rubin

Componente 1 β

22%

1,000178

η 1,000104

Componente 2 β

25%

1,000046

η 1,000486

Como podemos ver na Tabela B.1, para o fator de risco 1, obtivemos uma taxa de

aceitação de 22% e para o 2, a taxa de aceitação obtida é de 25%.

Para o fator de risco 1, pelos gráficos de médias ergódicas (Figura B.1.1) de cada

parâmetro podemos verificar que a partir da iteração 20000 as cadeias apresentam

convergência, então os 20000 pontos iniciais gerados foram excluídos. Em seguida,

verificamos se existe correlação entre as iterações. Utilizamos salto de tamanho 100, pois com

essa distância entre as iterações resolvemos o problema de iterações dependentes. Após retirar

o salto, na Figura B.1.2 podemos ver os gráficos de autocorrelação dos parâmetros e

percebemos não existir nenhum lag significativo, indicando iterações não-correlacionadas.

Para verificar a convergência para a distribuição estacionária, analisamos os gráficos

de série temporal da Figura B.1.3 em que não identificamos problemas, indicando

convergência para a distribuição de interesse. Por fim, pela Tabela B.1, os valores de Gelman

e Rubin dos parâmetros beta e eta são, respectivamente, ^

R =1,000178 e ^

R = 1,000104, o que é

próximo de 1 indicando formalmente convergência das cadeias.



49

convergência assim, os 10000 pontos iniciais foram excluídos. Em seguida, verificamos se

existe correlação entre as iterações. Para excluir as iterações dependentes, foi necessário

tomar salto de tamanho 150. Nas Figuras B.1.5 podemos ver os gráficos de autocorrelação

dos parâmetros após a utilização de saltos e percebemos não existir nenhum lag significativo.

Já para verificar a convergência para a distribuição estacionária, analisamos os gráficos de

série temporal da Figura B.1.6 em que percebemos um “borrão” que é indicativo de

convergência para a distribuição de interesse; já que os pontos gerados não permanecem

sempre no mesmo ponto, oscilando seus valores dentro de um mesmo espaço. Por fim, pela

Tabela B.1, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta do fator de risco 2 são,

respectivamente,

^

R =1, 000046 e ^

R = 1, 000486, o que é próximo de 1 indicando formalmente convergência

das cadeias.

Figura B.1.1: Médias ergódicas dos parâmetros beta e eta do componente 1, respectivamente

50

Figura B.1.2: Autocorrelação dos parâmetros beta e eta do componente 1, respectivamente

Figura B.1.3: Série do tempo dos parâmetros beta e eta do componente 1, respectivamente


51





de amostra 100


Componente 1 β

20,72%

1, 000053

η 1, 000056

Componente 2 β

19%

1, 000094

η 1, 000034

52


parâmetro podemos verificar que sendo um pouco rigoroso, a partir da iteração 70000, as

cadeias apresentam convergência. Assim, os 70000 pontos iniciais gerados foram excluídos.

Em seguida, na análise de correlação entre as iterações, utilizamos salto de tamanho 150; em

que na Figura B.2.2 podemos ver os gráficos de autocorrelação dos parâmetros após a

utilização do salto e percebemos não existir mais correlação entre as iterações. Para verificar a

convergência para a distribuição estacionária, analisamos os gráficos de série temporal da

Figura B.2.3 em que percebemos um “borrão”, indicando convergência para a distribuição de

interesse. Pela Tabela B.2, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta são,

respectivamente, ^

R =1, 000053 e ^

R = 1, 000056, o que é próximo de 1 indicando

formalmente convergência das cadeias e também uma boa taxa de aceitação: 20,72%.



convergência e por isso, os 60000 primeiros pontos foram excluídos. Em seguida, verificamos

se existe correlação entre as iterações. Para excluir as iterações dependentes, tomamos salto

de tamanho 150 e na Figura B.2.5 percebemos não existir nenhum lag significativo nos

gráficos de autocorrelação dos parâmetros após a utilização de saltos. Já para verificar a


Figura B.2.6 em que percebemos um “borrão”, indicativo de convergência para a distribuição

de interesse. Por fim, pela Tabela B.2, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e

eta do fator de risco 2 são, respectivamente, ^

R =1, 000094 e ^

R = 1, 000034, o que é próximo

de 1 indicando formalmente convergência das cadeias e a taxa de aceitação obtida foi de 19%.

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de amostra 30


Componente 1 β

22,732%

1, 000395

η 1, 000535

Componente 2 β

20,13%

1, 000151

η 1, 000027


parâmetro podemos verificar que a partir da iteração 80000, as cadeias apresentam

convergência. Assim, os 80000 primeiros pontos gerados foram excluídos. Em seguida, na

análise de correlação entre as iterações, utilizamos salto de tamanho 280; em que na Figura

B.3.2 podemos ver os gráficos de autocorrelação dos parâmetros após a utilização de saltos e

percebemos não existir mais autocorrelação entre as iterações. Na Figura B.3.3, percebemos

um “borrão” nos gráficos de série temporal indicando convergência para a distribuição de

interesse. Pela Tabela B.3, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta são,

respectivamente, ^

R =1, 000395 e ^


formalmente convergência das cadeias e também observa-se uma boa taxa de aceitação:

22,732%.


parâmetro verificamos que a partir da iteração 80000 as cadeias apresentam convergência e

por isso, os 80000 primeiros pontos foram excluídos. Em seguida, analisamos se existe

correlação entre as iterações. Para excluir as iterações dependentes, tomamos salto de

tamanho 150 e na Figura B.3.5 percebemos não existir mais autocorrelação após a utilização

de saltos. Para verificar a convergência para a distribuição estacionária, analisamos os

56

gráficos de série temporal da Figura B.3.6 em que percebemos um “borrão”, indicativo de

convergência para a distribuição de interesse. Por fim, pela Tabela B.3, os valores de Gelman

e Rubin dos parâmetros beta e eta do fator de risco 2 são, respectivamente, ^

R =1, 000151 e

^

R = 1, 000027, o que é próximo de 1 indicando formalmente convergência das cadeias e a

taxa de aceitação obtida foi de 20,13%.



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de amostra 100


Componente 1 β

21,34%

1, 0001

η 1, 000014

Componente 2 β

23,73%

1, 000255

η 1, 000089


parâmetro verificamos que a partir da iteração 70000, as cadeias apresentam convergência.

Assim, os 70000 primeiros pontos gerados foram excluídos. Em seguida, na análise de

correlação entre as iterações, utilizamos salto de tamanho 200; na Figura B.4.2 percebemos

não existir mais nenhum lag significativo nos gráficos de autocorrelação. Na Figura B.4.3

percebemos um “borrão” nos gráficos de série temporal indicando convergência para a

distribuição de interesse. Pela Tabela B.4, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta

e eta são, respectivamente, ^

R =1, 0001 e ^


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21,34%.



convergência e por isso, os 80000 primeiros pontos foram excluídos. Pode parecer que uma

cadeia não converge tão bem quanto os demais; mas se percebemos a escala dos gráficos, que

varia de 0,04, obtemos convergência das cadeias. Em seguida, verificamos se existe

correlação entre as iterações. Para excluir as iterações dependentes, tomamos salto de

tamanho 120 e na Figura B.4.5 percebemos não existir mais autocorrelação entre as iterações

após a utilização de saltos. Para verificar a convergência para a distribuição estacionária,

analisamos os gráficos de série temporal da Figura B.4.6 em que percebemos um “borrão”,

indicativo de convergência para a distribuição de interesse. Por fim, pela Tabela B.4, os

valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta do fator de risco 2 são, respectivamente,

^

R =1, 000255 e ^

R = 1, 000089, o que é próximo de 1 indicando formalmente convergência

das cadeias e a taxa de aceitação obtida foi de 23,73%.


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de amostra 30


Componente 1 β

22,38%

1, 000068

η 1, 000033

Componente 2 β

26,8%

1, 000001

η 1, 000046

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correlação entre as iterações, utilizamos salto de tamanho 100; em que na Figura B.5.2

percebemos não existir mais nenhum lag significativo nos gráficos de autocorrelação. Na

Figura B.5.3, percebemos um “borrão” nos gráficos de série temporal indicando convergência

para a distribuição de interesse. Pela Tabela B.5, os valores de Gelman e Rubin dos

parâmetros beta e eta são, respectivamente, ^

R =1, 000068 e ^


de 1 indicando formalmente convergência das cadeias e também observa-se uma boa taxa de

aceitação: 22,38%.





de tamanho 100 e na Figura B.5.5 percebemos não existir nenhum lag significativo nos

gráficos de autocorrelação dos parâmetros após a utilização de saltos. Para verificar a



de interesse. Por fim, pela Tabela B.5, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e

eta do fator de risco 2 são, respectivamente, ^

R =1, 000001 e ^


de 1 indicando formalmente convergência das cadeias e a taxa de aceitação obtida foi de

26,8%.

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de amostra 100


Componente 1 β

25,1%

1, 00003

η 1, 000020

Componente 2 β

21,93%

1, 000069

η 1, 000011


parâmetro (beta e eta) podemos verificar que a partir da iteração 60000 as cadeias apresentam

convergência. Por isso, os 60000 pontos iniciais gerados foram excluídos. Em seguida,

verificamos se existe correlação entre as iterações e para excluir iterações dependentes,

utilizamos salto de tamanho 100; na Figura B.6.2 podemos ver que após a utilização de saltos

não existe nenhum lag significativo. Para verificar a convergência para a distribuição

estacionária, analisamos os gráficos de série temporal da Figura B.6.3 em que percebemos um

“borrão”, indicando convergência para a distribuição de interesse. Pela Tabela B.6, os valores

de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta são, respectivamente, ^

R =1, 00003 e ^

R = 1,

00002 e a taxa de aceitação é de 25,1% .


parâmetro (beta e eta) verificamos que a partir da iteração 50000 as cadeias apresentam

convergência assim, os 50000 primeiros pontos foram excluídos. Em seguida para excluir as

iterações dependentes, tomamos salto de tamanho 150 e na Figura B.6.5 podemos ver que

após a utilização de saltos, percebemos não existir nenhum lag significativo. Já para verificar

a convergência para a distribuição estacionária, analisamos os gráficos de série temporal da


66

de interesse, já que os pontos gerados não permanecem sempre no mesmo ponto, oscilando

seus valores dentro de um mesmo espaço. Por fim, pela Tabela B.6, os valores de Gelman e

Rubin dos parâmetros beta e eta do fator de risco 2 são, respectivamente, ^

R =1, 000069 e

^

R = 1, 000011, o que é próximo de 1 indicando formalmente convergência das cadeias. Vale a

pena ressaltar também que para o fator de risco 2, a taxa de aceitação é de 21,93%.



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de amostra 30


Componente 1 β 26,37% 1,000036

η 1,000082

Componente 2 β 38,43% 1,000037

η 1,000119


parâmetro (beta e eta) verificamos que a partir da iteração 80000 as cadeias apresentam

convergência. Por isso, os 80000 pontos iniciais gerados foram excluídos. Em seguida,

verificamos se existe correlação entre as iterações e para excluir iterações dependentes,

utilizamos salto de tamanho 250; na Figura B.7.2 podemos ver que após a utilização de saltos

não existe autocorrelação nas iterações. Para verificar a convergência para a distribuição

estacionária, analisamos os gráficos de série temporal da Figura B.7.3 em que percebemos um

“borrão”, indicando convergência para a distribuição de interesse. Pela Tabela B.7, os valores

69

de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta são, respectivamente, ^

R =1,000036 e ^

R =

1,000082 e a taxa de aceitação é de 26,37%.


parâmetro (beta e eta) podemos verificar que a partir da iteração 70000 as cadeias apresentam

convergência assim, os 70000 primeiros pontos foram excluídos. Em seguida para excluir as

iterações dependentes, tomamos salto de tamanho 250 e na Figura B.7.5 podemos ver que

após a utilização de saltos, percebemos não existir nenhum lag significativo. Já para verificar

a convergência para a distribuição estacionária, analisamos os gráficos de série temporal da


de interesse, já que os pontos gerados não permanecem sempre no mesmo ponto, oscilando

seus valores dentro de um mesmo espaço. Por fim, pela Tabela B.7, os valores de Gelman e

Rubin dos parâmetros beta e eta do fator de risco 2 são, respectivamente, ^

R =1,000037 e

^

R = 1,000119, o que é próximo de 1 indicando formalmente convergência das cadeias. Vale a

pena ressaltar também que para o fator de risco 2, a taxa de aceitação é de 38,43%.

Figura B.7.1: Médias ergódicas dos parâmetros beta e eta do componente 1, respectivamente.

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de amostra 100


Componente 1 β 24,86% 1,000037

η 1,000028

Componente 2 β 19% 1,00004

η 1,00003

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correlação entre as iterações, utilizamos salto de tamanho 150; na Figura B.8.2 percebemos

não existir mais nenhum lag significativo nos gráficos de autocorrelação. Na Figura B.8.3,

percebemos um “borrão” nos gráficos de série temporal indicando convergência para a

distribuição de interesse. Pela Tabela B.8, os valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta

e eta são, respectivamente, ^

R =1,000037 e ^

R =1,000028, o que é próximo de 1 indicando


24,86%.





de tamanho 100 e na Figura B.8.5 percebemos não existir mais correlação entre as iterações

após a utilização de saltos. Para verificar a convergência para a distribuição estacionária,

analisamos os gráficos de série temporal da Figura B.8.6 em que percebemos um “borrão”,

indicativo de convergência para a distribuição de interesse. Por fim, pela Tabela B.8, os

valores de Gelman e Rubin dos parâmetros beta e eta do fator de risco 2 são, respectivamente,

^

R =1,00004 e ^

R = 1,00003, o que é próximo de 1 indicando formalmente convergência das

cadeias e a taxa de aceitação obtida foi de 19%.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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