• Métodos de Resolução – Solução Analítica– Solução Numérica

• Solução Numérica - Idéia Geral• Exemplo: Problema de Localização• Ótimo Local e Ótimo Global• Busca Local: uma iteração• Cálculo da Direção de Caminhada

– Direção Factível e Direção de Melhoria– Gradiente de f(x)– Direção de crescimento e de decrescimento.

• Busca Unidimensional• Observações:

– Função Unimodal– Função Unimodal, Conjuntos Convexos e Ótimo Global– Direção de Caminhada em Problemas com restrições

AULA 5 - Resolvendo Problemas de Programação Matemática:Métodos de Busca

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• Obtenção da Solução

– Método Analítico (solução fechada)• Exemplo : Problema EOQ (Aula 2)

– Lote Ótimo : q* = (2fD/h)1/2

– Método Numérico • Solução obtida através de processo numérico iterativo

Solução de Problemas de OtimizaçãoMétodos de Resolução

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IDÉIA GERAL:

– Obter uma solução inicial factível.– Repetir enquanto a condição de parada não é satisfeita :

• Numa vizinhança da solução atual procurar uma nova solução factível com melhor valor da função objetivo (Busca Local ou em vizinhança)

• Atualizar solução.• Realizar teste de parada.

Métodos NuméricosAlgoritmos de Busca

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Uma empresa pretende abrir um novo supermercado em uma região com 3 cidades, conforme mostrado na figura a seguir.

• Problema : Determinar em que local da região deve ser localizada a nova loja.

• Restrição : As prefeituras das 3 cidades não permitem que se localize a nova loja dentro de numa zona delimitada por um raio de 1/2 quilômetro a partir do centro das cidades, com o propósito de evitar congestionamentos na área central.

Exemplo: Problema de Localização

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Os centros populacionais e número de habitantes.

Problema de Localização

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O Problema de Localização: Formulação

Função Objetivo : adota um perfil gravitacional, ou seja, supõe que a loja tem uma capacidade de atrair clientes que é proporcional à população da região e inversamente proporcional ao quadrado (1+) distância que a separa dos clientes.

Maximizar p=(60/[1+(x1 + 1)2 + ( x2 - 3)2 ] + 20/[1+(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 ] + 30/[1+(x1)2 + ( x2 + 4)2 ]

Restrições : (x1 + 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)2

(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)2

(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)25-6

Visão espacial da função objetivo

Problema de Localização

Uma Solução: é uma escolha de valores para as variáveis de decisão. Ex. : x1 = 1 , x2 = 0,5. Equivale a um ponto no espaço n, onde n é o número de variáveis de decisão. 5-7

Processo Iterativo (visão espacial)

Problema de Localização

Cada passo do processo iterativo gera uma nova solução factível

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• O processo de busca local termina em uma solução conhecida como ótimo local.

• Nem sempre um ótimo local é um ótimo global (a melhor de todas as soluções). Um ótimo local é sempre um ótimo global só quando o problema apresenta características específicas, tais como convexidade.

• Dependendo da solução inicial, pode-se obter diferentes ótimos locais.

• Procedimento Heurístico: determinar vários ótimos locais e escolher o melhor deles (não garante achar o ótimo global).

Ótimo Local e Ótimo Global

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Problema: A partir de x(3) determinar uma nova solução factível x(4) com valor da função objetivo maior.

Graficamente:

Numericamente: x(4) = x(3) + α.x •Onde:

• x é uma direção de melhoria• α é o tamanho do passo na direção x

Busca Local: Uma iteração

Um procedimento para busca local :1) Cálculo da direção de caminhada (Direção de melhoria)

2) Busca unidimensional (Quanto caminhar nesta direção ?)5-10

• Direção Factível : x(k+1) = x(k) + α.x– Uma direção x é dita factível a partir de um ponto x(k) CSF se existir

algum α > 0 tal que o novo ponto x(k+1) também pertença ao CSF.

• Direção de Melhoria :– A direção x é de melhoria se ela é uma direção factível a partir de um

ponto x(k) e se existir algum α > 0 tal que o novo ponto x(k+1) é também factível e apresente um valor de função objetivo melhor que o ponto x(k) .

Cálculo da Direção de Caminhada:Direção Factível e Direção de Melhoria

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Cálculo da Direção de Caminhada:Direção Factível e Direção de Melhoria

Supondo um problema de minimização e o CSF definido por x1 0 e x2 0, então todas as direções indicadas na figura abaixo são factíveis, porém somente a direção d1 é uma direção de melhoria.

d1

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