MÉTRICA

Distância entre dois pontos numa superfície

Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas cartesianas

Y

X

yB

yA

xA xB

dsds2=dx2+dy2

dx=xB-xA

dy=yB-yA

Nota: ds é um invariante

independe dosistema de coordenadas

Fazendo uma transformação de coordenadas: (x,y) (x1,x2)

x e y = combinações de x1 e x2

x = x(x1,x2)y = y(x1,x2)

Uma mudança dx em x resulta em mudanças dx1 e dx2 : ( o mesmo para y )

22

11

22

11

dxx

ydx

x

ydy

dxx

xdx

x

xdx

ds2=dx2+dy2

22

2

2

2

2

212121

21

2

1

2

12 2

dxx

y

x

x

dxdxx

y

x

y

x

x

x

xdx

x

y

x

xds

Escrevendo a equação de forma mais compactada :

dxdxxxgds

2

1

2

1

2 ),(

x

y

x

y

x

x

x

xg

tensor métrico

2221

1211][gg

ggg

distância entre 2 pontos próximos sobre uma superfície

representação da distância em coordenadas

Métrica euclidiana

EXEMPLOS:

10

01][ g matriz unidade

Coordenadas polares no plano

(x,y) (r,) x = r cosy = r sin

r

Calculando os gr ……

20

01][

rgr

ds2=dr2+r2d2métrica euclidianaem coordenadaspolares

ds2=dx2+dy2

Determinação de K através da métrica

Seja x1 e x2 um sistema de coordenadas arbitrário sobre uma superfície

x2

x1

distância entre dois pontos vizinhos :

dxdxxxgds

2

1

2

1

2 ),(

Pode-se demonstrar que, com uma mudança de coordenadas conveniente, o tensor métrico pode ser representado por uma matriz diagonal

22

11

0

0][

g

gg

Define-se então a métrica ortogonal :

ds2=g11(x1,x2)dx12+g22(x1,x2)dx2

2

TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS

Conhecendo-se a métrica ortogonal de uma superfície determina-se a sua curvatura.

2

1

22

2

22

2

11

22

2

2

11

1

22

1

11

1121

222

22

112

221121

2

1

2

1

2

1)(

x

g

x

g

x

g

g

x

g

x

g

x

g

gx

g

x

g

ggxx

K é um invarianteque seja o sistema de coordenadasK tem o mesmo valor num dado ponto numa superfície

Demonstrou que se pode derivar a K de uma superfície arbitráriasomente conhecendo a forma que os coeficientes da métricavariam de um ponto a outro, não importando o valor absolutodestes coeficientes com o sistema de coordenadas escolhido

EXEMPLOS:

Plano ds2=dx2+dy2

K = 0

CilindroCoordenadas cilíndricas: x = R cos (pontos na superfície) y = R sin z = z

2

222

22

222

11 1

Rzyx

g

z

z

z

y

z

xg

ds2=dz2+R2d2

Usando gauss K = 0

nota: z=x e R=yds2=dx2+dy2

métrica euclidiana!!!

R

Z

x

y

R

Z

X

Y

Esfera

x = R sin cosy = R sin sinz = R cos

22

2

222

sinRg

Rzyx

g

ds2=R2 d2+R2 sin2 d2

Usando o teorema de gauss: K = 1/R2

Não há nenhuma transformação de coordenadas que leve a suamétrica a uma do tipo euclidiana

esfera intrinsecamentecurva

Determinação de perímetros e áreas de círculos geodésicosdesenhados sobre uma superfície usando a métrica

Círculo sobre uma superfície plana

R

elemento de arco

• elemento de arco (r=R fixo) ds=R d C=∫ds =2R

Se a métrica for ortogonal (g12=g21=0), o elemento de área sobreuma superfície é dado por:

212211 dxdxggdA

• então dA=rdrd A = ∫dA =

Métrica: ds2=dr2+r2d2 (coordenadas polares)

2

0 0

R

rdrd = R2

Círculo de raio r sobre uma superfície esférica

R

r

a

Métrica: ds2=R2d2+R2sin2d2

•perímetro do círculo de raio r fixo d=0 : ds = R sin d

C=∫ds=2Rsin=2Rsin(r/R)

r = raio próprio do círculo

arco:r=R

• área do círculo : ddRRdA 222 sin

A=2R2(1-cosr/R)