OS NMEROS INTEIROS NO ENSINO FUNDAMENTALProposta para a V Bienal da SBM

Mini-Curso para Aperfeioamento de Professores de Matemtica do Ensino Bsico

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Pedro Luiz Malagutti Yuriko Baldin UFSCAR 2010

OS NMEROS INTEIROS NO ENSINO FUNDAMENTAL

Pedro Luiz Malagutti Yuriko Baldin

SUMRIO

OS NMEROS INTEIROS NO ENSINO FUNDAMENTAL

Introduo 1 Diagnstico 2 A Natureza dos Nmeros Inteiros 3 Adio e Subtrao de Nmeros inteiros 4 Jogos que envolvem a Adio e Subtrao de Nmeros Inteiros 5 Multiplicao de Inteiros, conceitos e atividades 6 Potenciao de inteiros com expoentes positivos 7 Divisibilidade, divisores e mltiplos 8 Nmeros primos e o Teorema Fundamental da Aritmtica Referncias

INTRODUO

OS NMEROS INTEIROS NO ENSINO FUNDAMENTAL

ObjetivosEste texto apresenta um Curso de Aperfeioamento destinado a professores que lecionam do 6o ao 9o anos do Ensino Fundamental. Os temas so abordados pensando na aplicao prtica em sala de aula e, por isso, os contedos so entremeados com discusses pedaggicas, acompanhados de jogos e atividades sobre os nmeros inteiros.O objetivo fundamental deste curso fornecer ao professor um material didtico de apoio ao ensino de nmeros inteiros, a partir do 6o ano do Ensino Fundamental. muito comum o professor de Matemtica desta srie encontrar alunos com dificuldades em acompanhar o estudo deste novo conceito de nmeros, por apresentar deficincia no conhecimento de nmeros naturais, que deveria trazer dos primeiros ciclos do Ensino Fundamental. Tambm frequente o professor encontrar alunos nas classes do 8o ano (ou at mesmo do 9o ano) que mostram domnio insuficiente dos significados e das tcnicas que envolvem os nmeros inteiros. Este curso foi elaborado para auxiliar o professor a enfrentar estes desafios.

Os Parmetros Curriculares Nacionais6

A concluso do Ensino Fundamental ou a progresso para o Ensino Mdio dos alunos que carregam dificuldades com os nmeros inteiros no permite atingir os objetivos do ensino

de matemtica, como preconizam os PCNs 1 ; em particular, os PCNs so explcitos quanto aos objetivos do ensino de Matemtica para o terceiro ciclo (5a e 6a sries/6. e 7. anos) sobre o tpico especfico de Nmeros, como no trecho destacado:O ensino de Matemtica deve visar ao desenvolvimento do pensamento numrico,... que levem o aluno a ampliar e construir novos significados para os nmeros naturais, inteiros e racionais - a partir de sua utilizao no contexto social... resolver situaes-problema envolvendo nmeros naturais, inteiros, racionais e, a partir delas, ampliar e construir novos significados da adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao e radiciao (p. 64).

A proposta pedaggicaO texto apresentado neste Curso no constitui um livro didtico. Cada um dos captulos de contedos e mtodos desenvolve chaves para tpicos o considerados

A proposta deste material fornecer ao professor um material auxiliar que permita detectar a falha na compreenso do aluno sobre diversos tpicos da teoria de nmeros inteiros. A atividade de diagnstico destas falhas feita por meio de problemas aplicados, jogos e exerccios, e ento um material de apoio fornecido para recuperar o entendimento. O material inicia com um captulo de diagnstico e seguido de captulos de contedo e mtodos.

desenvolvimento do contedo curricular da Teoria de Nmeros Inteiros, de modo a auxiliar o professor na tarefa de planejar e conduzir atividades pedaggicas nas salas de aula ou em sesses de reforo. Com as atividades propostas, espera-se que o aluno possa superar as deficincias, com pleno entendimento dos conceitos matemticos, e que no encare o estudo da Matemtica de frmulas como e apenas treinamento repetitivos. exerccios

As dificuldades na aprendizagem dos nmeros inteiros1

Brasil, (1998), Parmetros Curriculares Nacionais, Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental, Matemtica, MEC/SEF, Braslia.

A passagem do campo dos nmeros naturais para os nmeros inteiros impe um salto conceitual significativo, devido s abstraes necessrias para fundamentar as extenses que nem sempre so naturais e que so fruto de um grande trabalho ao longo da histria. Toda teoria matemtica que estende uma anterior deve generaliz-la, mantendo-a como uma subteoria e conservando na teoria antiga todas as propriedades j vlidas. Este princpio de generalizao/conservao mostrado exemplarmente quando construmos os inteiros a partir dos nmeros naturais, constituindo assim uma oportunidade mpar de exibir ao estudante a fora do pensamento lgico-dedutivo e o poder generalizador da Matemtica. Existem vrias maneiras de realizar tal faanha, algumas mais adequadas ao formalismo - em geral prprias apenas para o entendimento do professor - outras de cunho pedaggico aliceradas na intuio - essas mais adequadas para as primeiras experincias dos estudantes com nmeros inteiros. A proposta deste Curso aproximar e entrelaar estas duas abordagens. No que segue, vamos detalhar algumas delas:

Construes dos inteiros a partir dos naturais Atravs de identificao por relao de equivalncia Por mtodos axiomticos Atravs da redescoberta investigativa Pelo entendimento da gnese histrica

Os nmeros naturais trabalhados nas sries iniciais do Ensino Bsico constituem o conjunto numrico = { 0, 1, 2, 3, ... }

munido das operaes usuais de soma e produto. A operaes de subtrao e diviso, embora possam ser levadas a cabo com certos pares de nmeros naturais, no esto bem definidas em . Isto se deve ao fato do no fechamento da subtrao e da diviso de nmeros naturais, posto que neste conjunto numrico impossvel realizar operaes tais como: 3 4 e 5 3, j que o resultado no um nmero natural. O homem logo percebeu que seria necessrio criar novas classes de nmeros para dar conta destas deficincias dos nmeros naturais, quer seja para resolver problemas prticos do dia a dia, quer seja para elaborar sistemas algbricos mais complexos que fossem teoricamente bem fundamentados. Historicamente os nmeros racionais surgiram antes dos nmeros inteiros, principalmente devido sua utilidade nas mensuraes de comprimentos, de reas e de volumes. Os nmeros inteiros foram uma inveno tardia da humanidade, e

isto se deveu principalmente ao no entendimento ontolgico dos conceitos envolvidos e tambm s dificuldades em definir de modo coerente suas operaes.algbricas. Afinal, o que , de fato, um nmero negativo? Vejamos algumas dificuldades encontradas quando queremos introduzir os nmeros inteiros, conservando as propriedades dos nmeros naturais:

Exemplo 1

Se 3 > 2, porque 3 < 2?

Qual o significado do sinal que inverte a ordem natural dos nmeros? Os nmeros inteiros, alm de medir quantidades, diferenciam algum tipo de qualidade (ser positivo ou negativo). Porque esta qualidade interfere na ordem?

Exemplo 2

Porque ( 5) = + 5?

Como dar significado a esta involuo provocada pelo sinal ? Alguns textos fazem distino entre o sinal de oposto de um nmero e o sinal da operao de subtrao. Esta diferena sutil, mas vale a pena ser destacada. Nestes textos, a qualidade de um nmero inteiro (ser positivo ou negativo) indicada pelos sinais + e do lado esquerdo do nmero, um pouco acima do usual, como nos exemplos:+

Qual a diferena entre o sinal na frente de um nmero natural e o sinal de operao de subtrao? Porque se usa o mesmo sinal? Porque o mesmo sinal usado ainda para se indicar o oposto de um nmero inteiro?

Exemplo 3

7

e

3

Estes sinais fazem parte integrante do nmero inteiro e no devem ser confundidos com os sinais usuais das operaes. Quando se deseja fazer as operaes de soma e subtrao os sinais ficam nas suas posies normais entre as parcelas. Veja os exemplos: (+7) + (+3) , (+7) + ( 3) e ( 3) (7 ) Se nada for dito, haver grande confuso na interpretao dos smbolos. por isso que essa diferenciao aparece, por exemplo, nas calculadoras eletrnicas. Veja a figura ao lado.

Esta tecla inverte o sinal do nmero (operao unria, com um s nmero)

Estas teclas so usadas para efetuar operaes com dois nmeros (operaes binrias)

Cuidado: os mesmos smbolos so usados com diferentes significados! a menos que se estabelea distines entre eles, isto pode causar confuso. Observe trs usos distintos do sinal : 2, (+7 ) e 3 1. Apesar disto, usual escrever +7 ou simplesmente 7 no lugar de +7 e -7 no lugar de -7

Exemplo 4

Uma prova que

1 1 1 1

Partimos do fato que 1 < 1 (o que bastante plausvel). Dividimos ambos os membros por 1 e obtemos 1 1 < (*) 1 1 (isto porque a desigualdade no se altera quando dividimos ambos os membros por um mesmo nmero positivo). Agora, se os numeradores de duas fraes so iguais, a maior frao aquela que tem o menor denominador. Ora, 1 < 1 , logo 1 1 > (**) 1 1 (isto tambm se justifica pelo fato de que quando um nmero a menor do 1 1 que um nmero b , ento > ). Juntando (*) com (**), conclumos que a b 1 1 < 1 1 Onde est o erro?

Exemplo 5

As operaes nos nmeros naturais tm significado claro e condizente com experimentos do mundo real. Como dar significado, por exemplo, a multiplicaes do tipo 3 x +7 e 3 x 7 ?

Somar nmeros naturais est associado ao ato de juntar, de reunir. Multiplicar nmeros naturais descreve vrias aes concretas: soma repetida de parcelas iguais, nmeros de arranjos retangulares, nmero de decises tomadas em sequncia (problemas de contagem veja na figura ao lado a operao 4 x 3). No conjunto dos nmeros inteiros, operaes tais como 3 x +7 e 3 x 7 correspondem a aes que efetivamente podem ser realizadas? Se sim, quais so essas aes? Se no, temos liberdade de definir de modo arbitrrio o produto de nmeros inteiros com parcelas negativas? Mas, fazendo isto, haver compatibilidade entre nossa escolha e as propriedades vlidas dos nmeros naturais? Como explicar isto a um aluno?

Estes exemplos mostram que, se no formos cuidadosos, encontraremos muitas dificuldades em construir e dar significado aos nmeros inteiros. Quando falha a intuio, buscamos segurana no formalismo e este um problema grande aqui, pois o formalismo exigido para a correta compreenso dos nmeros inteiros ultrapassa o nvel mdio de abstrao de um aluno do 6 ano. Para nos prepararmos melhor para discutir e enfrentar este problema, vamos relembrar, de um modo rpido, as possveis construes dos nmeros inteiros.

Os nmeros inteiros como pares de nmeros naturais identificadosExiste um processo de simetrizao dos nmeros naturais que permite construir os nmeros inteiros identificando pares de nmeros naturais. Um nmero negativo pode ser pensado como um par de nmeros que o produz. Por exemplo, o nmero negativo 3 pode ser identificado com o par (5, 8) pois 5 8 = 3 Esta identificao nos permite definir nmeros negativos, sem usar a operao de subtrao, simplesmente dizendo, ou melhor, aceitando que 3 (5,8). Entretanto, como existem muitos outros pares de nmeros naturais cuja subtrao resulta em 3 (por exemplo, (3,6), (2,5) satisfazem 3 6 = 3 e 2 5 = 3), teremos que fazer identificaes.

Definio: Dizemos que os pares de nmeros naturais (a,b) e (c,d) esto relacionados se a + d = b + c.Por trs desta definio h obviamente o desejo de se realizar operaes de subtrao a b e c d , mesmo no caso em que a < b e c < d, e identificar (a,b) com (c,d) para que eles definam o mesmo nmero inteiro. Esta relao entre pares de nmeros naturais uma relao de equivalncia, isto , ela reflexiva, simtrica e transitiva. Toda relao de equivalncia define uma partio no conjunto em que est definida, sendo que os elementos desta partio so as classes de equivalncia dos elementos do conjunto .O par (a,b) est relacionado consigo mesmo pois a + b = a + b; disto segue que a relao reflexiva. A relao tambm simtrica, isto , se (a,b) est relacionado com (c,d), ento (c,d) est relacionado com (a,b). Isto segue diretamente da hiptese que a + d = b + c e portanto c + b = d + a. A relao transitiva: se (a,b) est relacionado com (c,d) e (c,d) com (e,f) ento a+d=b+c c+f =d+e Somando e cancelando os termos comuns (j que a lei de cancelamento vale nos nmeros naturais), obtemos a + f = b + e, ou seja, (a,b) est relacionado com (e,f).

A classe de equivalncia do par (a,b) o conjunto de todos os pares de nmeros naturais que esto relacionados com (a,b). Esta classe denotada por [(a,b)]. Podemos identificar esta classe com o nmero inteiro a b. Se este nmero for positivo ou nulo, ele se identifica com um nmero natural por exemplo [(a,a)] representa o nmero inteiro a a = 0. Se a b for negativo ela acaba de ser definido como sendo [(a,b)]! possvel definir as operaes aritmticas de adio, subtrao e multiplicao nos inteiros, bem como orden-los, de modo que as propriedades dos nmeros naturais continuem ainda vlidas neste novo contexto, isto vendo como um subconjunto dos inteiros. O conjunto dos nmeros inteiros, nesta abordagem, definido como sendo { [(a,b)] / a, b pertencem a }.

Voc sabia que esta abordagem foi utilizada no antigo curso ginasial (6. ao 9. anos atualmente) para o ensino de nmeros inteiros nas escolas brasileiras, nos anos 60 e 70 do sculo passado, dentro de um movimento internacional chamado de Matemtica Moderna? O conjunto dos nmeros inteiros denotado pela letra e escrito como

= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }(proveniente de Zahlen que significa nmero em alemo).

Os nmeros inteiros como um modelo de um sistema axiomticoUm outro modo de formalizar a construo dos nmeros inteiros apresent-los axiomaticamente. Vejamos como isto pode ser feito: Admitiremos que existe um conjunto de nmeros que tem dois elementos destacados 0 (zero) e 1 (um), munido de duas operaes: a adio (+) e a multiplicao (.), que satisfazem os seguintes axiomas: Para todos x, y e z em , tem-se: (A1) x + (y + z) = (x + y) + x (a adio associativa); (A2) x + y = y + x (a adio comutativa); (A3) x + 0 = 0 + x = x (0 o elemento neutro da adio); (A4) Para todo inteiro x, existe um elemento - x em , chamado oposto de x satisfazendo x + (-x) = (-x) + x = 0; (M1) x.(y.z) = (x.y).z (a multiplicao associativa); (M2) x.y = y.x (a multiplicao comutativa); (M3) x .1 = 1. x = x (1 elemento neutro da multiplicao);

(D) x.(y + z) = x.y + x.z (a multiplicao distributiva em relao adio).

Estas propriedades definem uma estrutura algbrica conhecida como anel abeliano (devido ao matemtico noruegus Niels Abel (1802-1829)). Os estudantes de graduao em Matemtica aprendem a trabalhar com estas estruturas nos primeiros anos da faculdade; eles estudam como as propriedades de podem ser usadas para entender outras estruturas, (tal como o anel dos polinmios), mas muitas vezes no fazem conexes destes estudos com seus conhecimentos do Ensino Mdio e Fundamental. No caso dos licenciandos, estas conexes so extremamente importantes para o pleno exerccio da profisso. A subtrao entre os elementos x e y de definida como sendo x + (y), ou seja, subtrair somar com o oposto. Em existe uma relao de ordem entre seus elementos ( 0 e y > 0 ento x.y > 0 (a relao < compatvel com a multiplicao);

Resta somente apresentar um importante axioma satisfeito por , ainda relacionado com a ordem (maior) ou < (menor).

Complete o espao nas frases abaixo com as palavras acima ou abaixo.

a) +4 est_______ de +6; b) -3 est _______ de +1; c) +2 est_______ de 0; d) -9 est _______ de 0; e) -5 est _______ de -2; f) -7 est _______ de -10; g) + 6 est ______ de -6.

a) +4 ________ do que +6; +4 00 +6 b) -3 ________ do que +1; c) +2 ________ do que 0; d) -9 ________ do que 0; e) -5 ________do que -2; f) -7 ________ do que -10; g) +6 ________ do que -6;-3 00 +1 +2 00 0 -9 00 0 -5 00 -2 -7 00 -10 +6 00 -6

QUESTO 1.2.7:

Observe a reta numrica abaixo e escreva os nmeros inteiros que representam as letras indicadas: A = ___ B = ___ C = ___ E = ___ F = ___

QUESTO 1.2.8:

Marque na reta a seguir os pontos indicados pelas letras, com as coordenadas dadas:

M = -2

N=0

P = +4

Q = -5

X = -1

QUESTO 1.2.9:

O Servio Meteorolgico registrou as seguintes temperaturas em um dia.(fonte: jornal O Estado de So Paulo 10/02/2005)

Cidade Estocolmo Barcelona Chicago Miami Mxico Washington

Temperatura acima de 0o 3

Temperatura abaixo de 0o -2 -7

9 6 -3

Use a reta numrica ao lado para representar um termmetro e marque nela as temperaturas das cidades descritas acima.

a) Qual cidade registrou a menor temperatura?_____________. b) Qual cidade registrou a maior temperatura?______________. c) Ordenar os nomes das cidades conforme a ordem crescente dastemperaturas registradas em cada cidade: _______________ , ___________________ , _______________ e _________________. _______________, _______________,

1.3 Questes sobre a propriedade de simetria dos nmeros inteiros. Oposto de um nmero inteiro.QUESTO 1.3.1: Dois robs de brinquedo, Rob 1 e Rob 2, caminham em linha reta dando passadas iguais. Colocaram-se os robs um de costas para o outro, em um mesmo ponto, e deu-se a partida. Aps 5 passos da origem viram-se e acenam um para o outro. A direo caminhada pelos robs representada por uma reta numerada, orientada como na figura:

a) Supondo que eles partam da posio 0, que nmero representa a posio de cada rob aps caminhar 5 passos?

i. ii.b)

O Rob 1 est na posio de nmero:________ O Rob 2 est na posio de nmero:________ Marque estas posies na reta numrica abaixo:

c) Qual a distncia entre os robs assim que eles viram e acenam um parao outro? Resposta: ___________

d) Procedendo como antes, isto , com os dois robs partindosimultaneamente do ponto 0, quando um rob est na posio - 8, qual a posio do outro rob? Resposta: ___________ Represente esta situao na reta numrica

e) Se os dois robs partiram simultaneamente do +4 e caminham 4 passosem direes opostas, qual o numero de chegada de cada rob?

i. ii.

O Rob 1 chegou na posio: __________ O Rob 2 chegou na posio: __________

Represente esta situao na reta numrica

f) Os robs partem agora do ponto -1 caminhando em direes opostas.Aps darem 7 passos qual ser a posio de cada rob? Rob 1: _________ e Rob 2: __________

Represente esta situao na reta numrica

O VALOR ABSOLUTO Na representao sobre uma reta numrica, o valor absoluto de um nmero inteiro medida pela distncia, contada em unidades, do ponto que o representa at a origem zero. sempre maior ou igual a zero. Por exemplo, o valor absoluto de +4 e de - 4 4, pois ambos distam a mesma medida da origem . O valor absoluto indicado entre duas barras: |+4| = 4 e |- 5| = 5.

QUESTO 1.3.2: Complete com o valor absoluto dos nmeros: a) | - 3 | = ____ b) | + 7 | = ____ c) | - 7 | = ____ d) | 0 | = ____

QUESTO 1.3.3: Dois guardas em patrulha por uma avenida de Buenos Aires passaram pelo mostrador do painel digital de temperatura durante uma madrugada de inverno, e um deles disse: Est marcando 2 graus abaixo de zero. tarde do mesmo dia, passando pelo mostrador o guarda disse ao colega, Agora est 8 graus acima de zero, ainda est frio. Qual a variao de temperatura entre as duas vezes que os guardas passaram pelo local? Resposta:______

O oposto de um nmero inteiro o nmero que representado na reta numrica simetricamente ao nmero dado em relao ao 0. Por exemplo, o oposto de +2 - 2 e o oposto de - 7 +7. Indicamos o oposto com o sinal de menos (-) na frente do nmero. o oposto de +2 -2, ou seja, - (+2) = -2. o oposto de -7 +7, ou seja, - (-7) = +7-a 0 a

QUESTO 1.3.4:

Complete as seguintes sentenas: a) O oposto de 38 ___ d) - 38 = - (+___) b) - 24 oposto de ___ e) 24 = - (___) c) - (+5) = ___ f) - (-7) = ___

QUESTO 1.3.5:

Marque nas retas numricas abaixo: a) o oposto de +5

b) o oposto de -3

c) o oposto de 0

1.4 Questes sobre adio/subtrao: registro de aes que requeiram estas operaes e o domnio de tcnicas operatrias.QUESTO 1.4.1: Eu tinha 30 reais na minha conta bancria. Precisei emitir um cheque de 80 reais. Meu pai me ajudou depositando em minha conta uma quantia de 90 reais. Assinale qual ou quais das seguintes expresses registram estas aes.

a) (- 80) + (- 30) + (90) c) 30 80 + 90

b) 80 (- 90) d) 30 + 80 + 90

QUESTO 1.4.2: Um comerciante comprou caixas de chicletes que teriam cada uma 20 unidades. Aps conferir os contedos, ele fez as seguintes anotaes: A-2 -1

B+5

C-3

D0

E

Indique as operaes que justifiquem a sua resposta, para cada uma das perguntas. Qual o total de chicletes que deveria ter recebido? Resposta:________. Qual o total de chicletes que ele recebeu? Resposta:________. Qual a diferena entre o que deveria ter recebido e o que realmente recebeu? Resposta:________. Responda se o comerciante teve prejuzo ou no, justificando sua resposta com uma sentena completa. Resposta:_________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

QUESTO 1.4.3: Efetue as operaes indicadas:

a) e) i)

3+5= -3 + (-2) = (+3) + (+5) =

b) f) j)

45= - (+2) (-2) = 0 (- 3 ) =

c) g) k)

(-7) + 6 = - (- 8) + (+4) = (- 3 ) 0 =

d) h)

- 4 (+3) = 32=

l) - 5 - 6 - (-11) =

QUESTO 1.4.4: Complete os espaos de modo a tornar verdadeiras as igualdades: b) 38 00 = 18 c) 38 42 = 00 d) 42 38 = 00 e) 42 + 00 = - 2 QUESTO 1.4.5: Efetue as seguintes operaes: 321 321 a) + b) 105 105

c)

105 321

d) +

321

105

QUESTO 1.4.6: a) b) c)

d)

e)

f)

1.5 Registro de aes que requeiram as operaes de multiplicao e diviso e o conceito de diviso exata e diviso com resto.QUESTO 1.5.1: Nesta semana, deixei para pagar a cantina no final da semana. O lanche custa 2 reais e eu comi um lanche por dia, de 2a a 6a feira. Se uma dvida representada por um valor negativo na minha conta, a operao que representa a minha dvida no final de semana :

a) 2 (+5)

b) +2 5

c) 5 2

d) 5 (-2)

O total da dvida : _____________.

QUESTO 1.5.2: Complete de modo a formar sentenas verdadeiras:

a) (-3) (+2) = 000 d) (-5) 10 = 000 g) 000 (+3) = 21 j) 8 : 000 = - 8 k)QUESTO 1.5.3:

b) +4 (-1)= 000 e) (-1) (-1)= 000 h) 000 10 = - 50 k) - 8 : 000 = - 8

c) +7 (+3)= 000 f) +1 (-1)= i) - 6 : 000 = 2 l) - 8 : 000 = 8 0

Em um treino de Frmula 1, um piloto andou com seu carro 235 Km. Sabendo-se que cada volta da pista tem 55 Km, responda:

a) Quantas voltas o piloto completou? Escreva a operaocorrespondente. volta?

b) Quantos quilmetros faltaram para completar mais uma

QUESTO 1.5.4: Calcule as divises a seguir:

a) 340 : 20 = d) (-330): (-30) =

b) 216 : 12 = e) -750 : 25 =

c) 450 : (-18) =f) 0 : (-25) =

QUESTO 1.5.5: Indique e justifique as operaes em cada uma das seguintes questes.

a) A confeitaria So Pedro produz numa fornada 5 assadeiras de pesdoces. Se cada assadeira contm 28 pes doces, quantos pes so produzidos em cada fornada?

b) A confeitaria assa tambm queijadinhas. Numa fornada so assadas 5assadeiras de mesmo tamanho. Se a produo numa fornada foi de 160 queijadinhas, quantos doces cabem em cada assadeira?

c) As queijadinhas so embaladas em caixinhas em que cabe meia dziadelas. Quantas caixinhas so necessrias para embalar as queijadinhas produzidas em uma fornada?

QUESTO 1.5.6: (OBMEP 2006) A figura representa o traado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D so usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distncias entre postos vizinhos, em quilmetros, esto indicadas na figura e as corridas so realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A. (a) Quais so os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilmetros? (b) E para uma corrida de 100 quilmetros, quais so esses postos? (c) Mostre que possvel realizar corridas com extenso igual a qualquer nmero inteiro de quilmetros.

QUESTO 1.5.7:

(OBMEP 2007) Um antigo mtodo para codificar palavras consiste em escolher um nmero de 1 a 26, chamado chave do cdigo, e girar o disco interno do aparelho ilustrado na figura at que essa chave corresponda letra A. Depois disso, as letras da palavra so substitudas pelos nmeros correspondentes, separados por tracinhos. Por exemplo, na figura ao lado a chave 5 e a palavra PAI codificada como 20-5-13. (a) Usando a chave indicada na figura, descubra qual palavra foi codificada como 23-25-7-25-22-13. (b) Codifique OBMEP usando a chave 20. (c) Chic codificou uma palavra de 4 letras com a chave 20, mas esqueceuse de colocar os tracinhos e escreveu 2620138. Ajude o Chic colocando os tracinhos que ele esqueceu e depois escreva a palavra que ele codificou. (d) Em uma outra chave, a soma dos nmeros que representam as letras A, B e C 52. Qual essa chave? (para ver as solues http://www.obmep.org.br/provas.html) comentadas acesse o site

1.6 PotenciaoQUESTO 1.5.1:

Efetue as seguintes operaes: a) 3 = e) 333 = b) 2 =f) (-3)5 : 32 =

c) 2 (-2) =g) 2 + 2 =

d) (4) =h) 115 : (112 x 112 )=

QUESTO 1.5.2: Ao lanarmos 1 moeda, teremos apenas 2 possibilidades: cara ou coroa. Se, entretanto, lanarmos 2 moedas, o nmero de possibilidades duplica: caracara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa, ou seja, teremos 22 = 4 possibilidades. a) Quantas possibilidades aparecem ao lanarmos 3 moedas? b) E 5 moedas? c) E 100 moedas?

Com esta atividade encerra-se o diagnstico das principais dificuldades encontradas pelos alunos na aprendizagem dos nmeros inteiros; tendo clareza dessas dificuldades, o professor e o aluno podem concentrar seus esforos visando super-las. Nos prximos captulos apresentam-se propostas concretas para a realizao deste trabalho conjunto.

2. A NATUREZA DOS INTEIROSOS NMEROS INTEIROS, SUA NATUREZA E SUA REPRESENTAO SOBRE UMA RETA ORIENTADA.O objetivo deste Captulo, e dos subsequentes sobre Nmeros Inteiros, fornecer ao professor um material que lhe seja auxiliar na sala de aula, apresentando um desenvolvimento do contedo programtico dos tpicos curriculares, acompanhado de estratgias de ensino/aprendizagem por meio da resoluo de problemas e de jogos educativos. Este Captulo trata da natureza dos nmeros inteiros, introduzindo sua necessidade baseada em problemas e atividades que estejam relacionadas com exemplos prticos da vida cotidiana. Trabalha-se tambm a representao de nmeros inteiros sobre uma reta orientada e o conceito de coordenada de um ponto sobre a reta orientada como nmeros inteiros. Recomenda-se utilizar os exerccios propostos no Captulo de Diagnstico, para avaliar o progresso dos alunos na compreenso dos conceitos, aps trabalhar cada captulo de contedo. AS ORIGENS No cotidiano de um cidado aparecem inmeras situaes em que um registro numrico facilita a compreenso do evento que est ocorrendo. Foi assim que, na Antigidade, os homens aprenderam a fazer contagem, em diversas culturas, e houve a necessidade de registrar este fato. Por exemplo, perfeitamente compreensvel que, mesmo em culturas primitivas, houvesse a necessidade de saber quantos animais uma tribo possua, ou ainda, quantos guerreiros podiam entrar em luta contra seus inimigos, desenvolvendo inclusive a noo quantitativa de mais e menos. A representao numrica de atividades simples de contagem levou ao que se ensina e aprende nos anos iniciais do Ensino Fundamental, os Nmeros Naturais. PR-REQUISITOS O material deste curso no trabalha o conceito de nmeros naturais, nem a evoluo histrica dos mesmos nas diversas civilizaes, por ser um tpico que merece um curso inteiro parte. A notao indo - arbica de nmeros naturais, 1, 2, 3 etc e o sistema posicional decimal tambm sero considerados conhecidos. Este Captulo comea com a necessidade de caracterizar os Nmeros Inteiros, destacando a propriedade que os diferencia dos nmeros naturais. O objetivo principal deste desenvolver o conceito de orientao numa reta numrica que est subjacente ao conceito de nmeros com sinais.

2.1 Anlise de situaes-problema.QUESTO 2.1.1: Antnio comeou a freqentar o 6. ano na escola e para pagar seus lanches na cantina sua me resolveu dar-lhe a quantia de R$ 20,00 (vinte reais) no incio de cada semana. Para aprender a ter controle sobre seus gastos, sua me recomendou que ele registrasse num caderno a quantia recebida e a quantia que gastasse. A primeira quantia recebida foi registrada como crdito no caderno de Antnio. A cada dia da semana que se seguiu, o gasto na cantina foi registrado como dbito. Como poderamos imaginar o registro no caderno do Antnio na sexta-feira da primeira semana? Podemos imaginar, por exemplo, que o caderno de Antnio se apresentasse assim: Dia da semana Segunda-feira Tera-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira 20 3 2 0 4 3 Crdito Dbito

A representao em colunas diferentes (crdito/dbito) claramente caracteriza a natureza da quantia em reais registrada por Antnio. Os nmeros que representam estas quantias so, em princpio, nmeros naturais, mas carregam significados distintos: eles so de natureza oposta em relao situao inicial em que Antnio nada tinha. O crdito tem o significado de ganho, ento podemos registrar a quantia 20 (reais) com sinal positivo: +20. Por outro lado, o dbito tem o significado de perda, e o seu registro feito com sinal negativo: - 2. Ento, uma tabela que registra dados como:

+20

-3 -2 0 -4 -3

representa muito bem a conta do Antnio no final de uma semana. A interpretao dos dados imediata. Pense agora: o que significa o 0 na terceira casa da segunda coluna? No final da semana, Antnio ficou com dinheiro no bolso, ou no? Outra situao muito comum nas nossas vidas o Servio

Meteorolgico que anuncia as temperaturas das cidades, pases ou regies. Uma das unidades adotadas para registrar a temperatura grau Celsius, denotado por oC. Temos uma noo da sensao de calor ou frio atravs da leitura da temperatura, tomando-se como referncia a temperatura mdia de um corpo humano sadio em torno de 37o C, e a gua que se transforma em gelo a 0o C. Nos pases como Brasil, no muito comum o registro de temperatura ambiente abaixo de 0oC, mas algumas cidades da Regio Sul apresentam temperaturas abaixo de 0oC em dias de inverno. Ento, tomandose como referncia o nmero 0, registramos as temperaturas ambiente usando os sinais: positivo + para aquelas acima de 0o, e negativo - , para aquelas abaixo de 0o. Notamos novamente uma situao em que a natureza oposta de dados numricos em relao a uma referncia pode ser registrada com sinais de + e -, com significados muito claros na sua interpretao.

ATIVIDADE 2.1.2: Atividade para classe: Cada classe poderia pesquisar nos jornais a temperatura de algumas cidades do mundo, e interpretar o clima de acordo com as leituras feitas. A leitura em termmetros de nvel tambm poderia ser considerada. Como se poderiam comparar as leituras de temperatura nos painis digitais com as leituras numa coluna de um termmetro comum?

Esta atividade inicia uma boa discusso sobre as diferenas e significados das medidas com diferentes instrumentos. As questes com termmetros apresentadas no Captulo de Diagnstico tambm podem ser teis. O seguinte problema pode ser proposto aos alunos para fixar o conceito de referncia, a partir da qual se distingue a natureza oposta de registros numricos. ATIVIDADE 2.1.3: O Problema dos Jarros Em uma loja de esportes, o proprietrio comprou jarros de vidro de bolinhas de pingue-pongue. Em todos os jarros deveria haver a mesma quantidade de bolinhas: 200. Ele descobriu, no entanto, que isso no acontecia, pois em alguns sobravam bolas, em outros faltavam. Resolveu, ento, colocar rtulos nos jarros, indicando quantas faltavam para completar 200, ou quantas sobravam. Qual jarro contm 200 bolinhas? Qual a referncia usada na contagem?

Na sala de aula, o professor poder colocar uma ilustrao dos jarros, com os registros ou desenh-los na lousa. Com esta situao, podemos abordar as seguintes questes: a) Discutir com os alunos os possveis significados dos rtulos -30, +21 e do rtulo com nmero 0. Nesta atividade, o professor deve conferir a compreenso do aluno sobre os seguintes fatos: o rtulo -30 significa que estavam faltando 30 bolas; o rtulo +21 significa que havia um excesso de 21 bolas;

o pote com rtulo 0 significa que havia o nmero exato de 200 bolas. a quantia 200 a referncia, a partir da qual se caracteriza a natureza oposta dos registros: a falta ou o excesso. O registro deste fato o nmero 0 que se atribui quantia 200, e os excessos so registrados com +, as faltas com sinal -. b) Considerando que o comerciante usou o sinal de - para indicar que faltavam bolas e o sinal de + para indicar que sobravam bolas, alm das 200 que o jarro deveria conter, discutir: Que jarro contm mais bolas? [H mais bolas no jarro que contm o rtulo + 21] Que jarro contm menos bolas? [H menos bolas no jarro que contm o rtulo 35]

Estas atividades nos levam a concluir que os Nmeros Inteiros constituem uma extenso dos Nmeros Naturais que surgem dos processos de contagem de objetos discretos, acompanhados de sinais que os caracterizam como opostos em relao a um nmero de referncia.

2.2. Representaes dos nmeros inteiros

geomtricas

As atividades acima sobre os nmeros inteiros podem ser enriquecidas com representaes grficas que modelam as caractersticas dos mesmos. Quando caminhamos sobre uma trajetria unidimensional (uma curva aberta simples), como uma estrada por exemplo, intuitivamente sabemos que, a partir de um ponto fixado (ponto de partida ou referncia) podemos escolher exatamente dois sentidos de percurso: ir para um sentido ou ir para o sentido oposto a este. Se usarmos cada passo como unidade, podemos contar os passos caminhados sobre a curva num sentido, identificando-os se foi num determinado sentido, ou no sentido oposto a este.

Notamos claramente na descrio desta situao as caractersticas prprias dos nmeros inteiros que so: a escolha de um ponto de referncia e a contagem de unidades em dois sentidos (opostos em relao ao ponto fixado de referncia). Assim, o modelo geomtrico que representa os nmeros inteiros, de maneira mais apropriada, uma reta em que se escolhe um ponto como referncia, e se estabelece o sentido positivo de percurso pela escolha de uma das semirretas determinadas pelo ponto. Estamos determinando o modelo de uma reta numrica orientada, com sentido positivo escolhido e estabelecendo a outra semirreta como sendo o sentido negativo. A escolha da orientao depende, portanto, da origem e da escolha de uma das semirretas. A determinao de um ponto sobre a reta, no sentido positivo, de modo que a distncia deste ponto origem seja tomada como a unidade na contagem de passos, permite fazer a representao dos nmeros inteiros como pontos geomtricos sobre a reta orientada. Por comodidade, a representao da reta numrica orientada se faz normalmente na direo horizontal, e o sentido positivo tomado como a semirreta direita do ponto de origem. Indicamos o sentido positivo com uma seta .

Assim, a cada ponto geomtrico sobre a reta numrica orientada, cuja distncia origem medida em nmero mltiplo da unidade, corresponde um nmero inteiro cujo sinal identifica a posio do ponto relativa origem. Tal nmero chamado de coordenada do ponto. Reciprocamente, dado um nmero inteiro, podemos localizar o ponto na reta orientada que o representa. Esta via de mo dupla entre a Aritmtica e a Geometria um legado do grande

pensador francs Analtica.

Ren Descartes (1596-1650)), criador da Geometria

O exerccio 1.2.2 sobre uma representao do mapa de uma cidade no Captulo de Diagnstico uma boa atividade para fixar o conceito de coordenada de ponto relacionado com o conceito de nmero inteiro. A seguinte atividade proposta tambm com o objetivo de tornar clara a ideia de movimento em sentidos opostos sobre uma reta numrica orientada, subjacente ao conceito de positivo/negativo.

ATIVIDADE 2.2.1: Jogo de cara ou coroa

Inicialmente temos um tabuleiro que representa uma reta numrica orientada, com casas que representam os nmeros inteiros. O tabuleiro pode ser visualizado desenhando-o na lousa, ou numa folha de cartolina. Pode ser ainda ser visualizado por meio de figuras quadradas desenhadas no cho da sala de aula ou do ptio da escola, ou mesmo usando-se um barbante esticado no qual foram feitas marcas igualmente espaadas.

Dois so os jogadores deste jogo e este consiste em avanar uma casa no sentido positivo ou recuar uma casa, conforme o resultado ao se jogar uma moeda.

Inicia-se colocando as fichas de cada jogador na casa do zero = 0; tirase par ou mpar para decidir quem joga primeiro a moeda. Os jogadores se revezam a cada jogada. As regras do jogo so: a) se der cara, avance uma casa; b) se der coroa, volte uma casa; c) ganha o jogo, quem estiver na casa de maior nmero, aps 20 jogadas. Sugesto para atividade: Suponhamos que sejam Joo e Pedro, dois alunos que vo jogar. Aps 5 jogadas, pare o jogo por um momento e leve a classe a discutir a situao. Por exemplo, suponhamos que o resultado neste ponto esteja assim:

a) b) c)

Joo tirou: cara, cara, cara, coroa, cara. Pedro tirou: cara, coroa, coroa, cara, coroa.

Questes a discutir: Qual o nmero da casa que Joo chegou? [ a casa de nmero + 3]. Qual o nmero da casa que Pedro chegou? [ a casa de nmero 1]. Quem est ganhando o jogo at o momento? Faa os alunos explicarem a resposta, por meio de uma comparao (utilizando o termo maior ou menor que) entre os nmeros resultantes. d) Proponha a cada aluno que est assistindo o jogo que desenhe uma reta numrica orientada no caderno e localize as posies de Joo e Pedro aps 5 jogadas. Ao acompanhar o jogo aps a retomada, faa os alunos perceberem o movimento dos registros no sentido positivo ou negativo na reta, conforme o resultado da jogada da moeda.

Quando o jogo terminar, depois de 20 jogadas, a leitura do registro final leva deciso de quem ganhou o jogo. O nmero da casa do vencedor deve ser maior que o nmero da casa do perdedor, e isto ocorre quando a casa final do vencedor est direita da casa final do perdedor.

Esta atividade permite ao aluno fixar o conceito de ordem nos nmeros inteiros. Exercite este conceito de ordem, decidindo quem ganhou o jogo se o resultado final foi: Joo parou na casa de nmero -1; Pedro parou na casa de nmero -3. Durante as jogadas, d destaque ao seguinte fato que naturalmente os alunos deduziro: cada jogada cara seguida de coroa anula o efeito de movimento na reta numrica, isto , um resultado tem o efeito oposto do outro. O mesmo se verifica se coroa for seguida de cara. conceito de nmeros opostos. O oposto de um nmero inteiro o nmero que, na reta numrica orientada, simtrico em relao a 0. Denotamos o oposto de um nmero com sinal de na frente dele. Por exemplo, o oposto de +3 -3. O oposto de -8 -(-8) e igual a +8. Isto leva ao

Relembrando que o valor absoluto |a| de um nmero inteiro a a quantidade em unidades da distncia origem da sua representao na reta numrica, vemos nos dois exemplos acima que -3= +3= 3 e +8= -8= 8. Em geral, um nmero inteiro e o seu oposto possuem o mesmo valor absoluto.

ATIVIDADE 2.2.2: Formiga sobre a rgua

Um aluno reparou que em sua rgua de 30 cm de comprimento havia uma formiga, que se encontrava na marca de 5 cm. A formiga andou 17 cm para frente e em seguida voltou 3 cm e parou. A que distncia ela se encontrava do 0 quando parou?

ATIVIDADE 2.2.3: Quantos nmeros inteiros tm valor absoluto menor do que 4?

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

[Resp.: 7] A Atividade do Rob que veremos a seguir explora a ideia de simetria dos nmeros inteiros e do oposto relativo a 0, incorporando a ideia de movimentos em dois sentidos e tambm do valor absoluto.

ATIVIDADE 2.2.4: Jogo do Rob

Esta atividade pode ser tanto simulada com alunos, ou ainda com a montagem de um cenrio de brinquedo sobre uma superfcie plana, para se ter uma ideia concreta do jogo. Dois robs de brinquedo, Rob 1 e Rob 2, caminham em linha reta dando passadas iguais. Colocam-se os robs um de costas ao outro em um mesmo ponto e d-se a partida. Como na figura, suponhamos que o Rob 1 caminhe para a esquerda e o Rob 2 para a direita. Aps 50 passos da origem viram-se e acenam um para o outro. Represente a direo caminhada pelos robs como uma reta numerada orientada e leve seus alunos a trabalhar com as seguintes questes: a) Que nmero representa a posio de cada rob aps caminhar 50 passos? Represente esta situao na reta numrica. b) Qual a distncia (em passos) entre os robs? Em particular, nesta questo, o aluno deve intuir que a distncia de cada Rob origem igual para os dois, levando fixao da ideia do valor absoluto de nmeros inteiros. O aluno deve ser levado a concluir a relao entre as coordenadas de pontos com a distncia entre os mesmos. Se os robs esto em posies opostas com relao origem, a distncia entre eles o dobro do valor absoluto da coordenada de um deles. c) Durante a caminhada, quando um rob est na posio 30, qual ser a posio do outro rob, se ambos partiram juntos da origem, mas em direes opostas? Represente esta situao na reta numrica.

O aluno deve ser convidado a interpretar que o oposto de -30, isto (-30), igual a +30, interpretando geometricamente este fato. d) Se os dois robs partirem do +5 e caminham 5 passos em direes opostas, qual o numero de chegada de cada rob?

O objetivo deste exerccio destacar o papel do ponto de referncia para a contagem de nmeros inteiros. e) Os robs partem agora do ponto 10 caminhando em direes opostas. Aps darem 10 passos qual ser a posio de cada rob? A atividade/jogo do Rob ser retomada no prximo captulo. Perceba antecipadamente o valor pedaggico das ideias trabalhadas at aqui e como elas podem colaborar na aprendizagem das operaes com nmeros inteiros.

3. ADIO E SUBTRAO DE NMEROS INTEIROSEXTENSO DAS OPERAES BSICAS DOS NATURAIS PARA OS INTEIROSNo captulo anterior, aprendemos a trabalhar com situaes cotidianas que envolvem nmeros inteiros, por exemplo, aprendemos a registrar os resultados de um evento a partir de perdas e ganhos, observar os registros de temperaturas acima e abaixo de zero e acompanhar as variaes bancrias de dbito e crdito, entre outras. Exploramos as ideias fundamentais do conceito de nmeros inteiros que se referem reta que modela a representao geomtrica de tais nmeros: a orientao da reta, o conceito de ponto de referncia, o conceito de coordenada de um ponto geomtrico e o significado da distncia entre dois pontos na representao. Uma vez realizado tal trabalho, surge a necessidade de iniciar o estudo das operaes com nmeros inteiros. Neste captulo, iremos trabalhar com as operaes de adio e subtrao, apresentando atividades e problemas adequados ao desenvolvimento das mesmas para serem aplicados em sala de aula.

3.1 Abordagem InicialSugerimos iniciar os estudos das operaes de adio e subtrao apresentando aos alunos a seguinte pergunta:

QUESTO 3.1.1: Qual o nmero que somado com 3 produz 0 como resultado?

Ao enfrentar este problema, admitamos que o aluno dispe, como conhecimento prvio, os nmeros naturais e suas operaes fundamentais, o que lhe permite verificar que no existe um nmero natural que o solucione. Por outro lado, o aluno j conhece os nmeros inteiros, embora no saiba ainda operar com eles formalmente. O aluno est, portanto, em condies de levantar a hiptese de que algum inteiro possa resolver a questo colocada. Devemos propor aos alunos situaes concretas, com o mesmo significado da pergunta citada, para que este tenha condies de responder pergunta satisfatoriamente. Por exemplo: - Qual o total de pontos que fiz num jogo de duas partidas, em que ganhei 3 pontos na primeira e perdi 3 pontos na segunda? - Para obter a temperatura de 0 num freezer que registra a C temperatura de 3 C, como deverei proceder e fazer o registro do procedimento? Alguns questionamentos acerca da representao geomtrica dos

nmeros inteiros envolvendo a adio e subtrao tambm podem ser utilizados, pois eles envolvem contagens simples. Veja dois exemplos trabalhados no Captulo1 (diagnstico):

As perguntas citadas acima mostram a necessidade de considerar nmeros inteiros e servem como ponto de partida para o aprendizado das operaes e suas propriedades.

3.2 Adio de Nmeros InteirosFrequentemente, os alunos executam adies com nmeros inteiros muito antes de se abordar essa operao especificamente com a regra de sinais. Dessa forma, consideramos importante que, num primeiro momento, o professor trabalhe algumas ideias intuitivas que esto ligadas s operaes com esses nmeros. Propomos trabalhar estas ideias por meio de um exemplo prtico e de alguns jogos que sero trabalhados em sala de aula.

QUESTO 3.2.1: Exemplo Prtico Paulo est devendo R$ 12,00 na cantina da escola. Hoje, comprou mais um lanche e um suco, cuja conta ficou em R$ 5,00. Qual a dvida total do Paulo? Se a me de Paulo lhe entregar uma nota de R$ 20,00 para pagar sua dvida, ele vai continuar devendo, ou ficar com crdito junto cantina?

Para responder primeira pergunta, imediato perceber que o valor absoluto da dvida do Paulo efetivamente de 12 reais. E, fazendo mais uma dvida de 5 reais, este valor 5 possui a mesma qualidade de ser dvida. Ento, o total da dvida a soma das dvidas e temos 12 + 5 = 17 (reais), e estamos efetuando a soma de nmeros naturais como j aprendido. O que existe de diferente neste exemplo a qualidade do nmero que estamos trabalhando. Se atribuirmos dvida o sinal negativo, em relao situao em que Paulo nada possua ainda, esta operao seria denotada

como (-12) + (-5) = -17. Entendemos que a soma de nmeros de mesma qualidade mantm a qualidade. A partir do momento em que Paulo recebe 20 reais, esta quantia tem qualidade oposta em relao dvida. Ento, o total de dinheiro que Paulo possui representado pela operao: +20 + (-12) + (-5) = +20 + (-17) = + 3 (reais). Portanto, Paulo tem crdito com a cantina. Porm, se a me do Paulo lhe desse apenas R$ 10,00, ento o total da adio de todos os registros : +10 + (-12) + (-5) = +10 + (-17) = -7 (reais). Paulo ficaria ainda devendo 7 reais. Este exemplo prtico tem como objetivo intuir que: A soma de nmeros positivos um nmero positivo. A soma de nmeros negativos um nmero negativo. A soma de nmero positivo com negativo, no importa em qual ordem, a diferena entre os valores absolutos dos nmeros, com o sinal do nmero de maior valor absoluto.

Para desenvolver a ideia bsica de adio de nmeros inteiros que est por trs deste exemplo, vamos trabalhar o Jogo do Rob, que um passo na direo da abstrao para a representao da adio na reta numrica orientada. 3.2.2 O JOGO DO ROB E AS OPERAES NA RETA NUMRICA

Este jogo j foi trabalhado no Captulo 1, para dar significado aos sinais de + e aos nmeros inteiros positivos e negativos, respectivamente. Vamos retomar o jogo para trabalhar a ideia intuitiva de adio de nmeros inteiros. O jogo dinmico e pode ser montado num tabuleiro com fichas representando

os robs, ou ainda pode ser encenado numa classe ou num ptio, com alunos fazendo o papel dos robs, caminhando sobre uma reta com marcas desenhada previamente. Dois robs de brinquedo, Rob 1 e Rob 2, caminham em linha reta dando passadas iguais. Colocam-se os robs um de costas para o outro, em um mesmo ponto e d-se a partida. A direo caminhada pelos robs representada por uma reta numerada, cada passo contado como uma unidade, e os sentidos, positivo e negativo, so representados pelos sentidos opostos em que os robs caminham, uma vez que se escolha um deles como sentido positivo.

Vamos supor que eles partam da posio 0 e caminhem 5 passos em sentidos opostos, convencionando-se que o sentido do Rob 2 o positivo. Vamos associar as coordenadas dos pontos em que eles esto. Aps a caminhada, o Rob 1 estar na posio de nmero:________ e o Rob 2 estar na posio de nmero:________ . Marque estas posies na reta numrica abaixo:

Propomos agora a questo: Se os robs derem mais 3 passos mantendo o mesmo sentido de percurso que vinham desenvolvendo, quais so as novas posies? A visualizao do modelo de reta orientada torna intuitiva ao aluno a ideia de contar os passos que daro, a partir do ponto em que cada um dos robs est. O Rob 1 estar na posio (-5) + (-3) = - 8, significando que o Rob 1 continuar caminhando mais 3 passos no sentido negativo, a partir do ponto - 5. Analogamente, o Rob 2 estar na posio (+5) + (+3) = +8, significando que o Rob 2 caminhar mais 3 passos no sentido positivo, a partir do ponto +5. O destaque que deve ser dado aqui para o significado de adicionar (representado pela palavra mais) nmeros cujo sinal que acompanha o nmero significa a qualidade do nmero a ser adicionado, o que determina o sentido do movimento que se toma sobre a reta orientada, a partir da localizao do ponto dado pelo nmero da primeira parcela.

ALERTA: Aqui j se evidencia um problema comum na aprendizagem das operaes com nmeros inteiros: os sinais de + e de - aparecem na mesma expresso, mas com diferentes significados, o que atrapalha a compreenso. Por um lado, esses sinais expressam uma operao entre duas parcelas e, por outro, em cada parcela aparecem tambm os mesmos sinais que do qualidade ao nmero (de ele ser positivo ou negativo).

Para superar este obstculo, aconselha-se a continuidade do trabalho com o Jogo do Rob, at que estas diferenas fiquem esclarecidas e ocorra a completa compreenso.

Vamos ento pensar na seguinte situao: suponhamos que, aps darem 5 passos em sentidos opostos a partir da origem, os robs se viraram. Quantos passos o Rob 1 precisa dar para voltar posio de nmero 2? Quantos passos o Rob 2 precisa dar para voltar posio de nmero 1? Os alunos devem perceber que a palavra voltar implica uma inverso no movimento que cada Rob estava executando. ao ponto 2. Representamos esta situao com: (-5) + (+3) = -2. Como o Rob 2 tambm inverte o sentido do seu movimento, estando ele na posio +5, sua situao fica: o Rob 2 deve dar 4 passos no sentido negativo (- 4) e chegar ao ponto 1. Representamos esta situao com: (+5) + (- 4) = 1. Vamos trabalhar ainda esta ideia: Onde o Rob 2 vai parar se, partindo do ponto 1 caminhar mais 3 passos no sentido negativo ? A leitura dos dados mostra uma operao de Adio de 1 com o nmero 3, cuja qualidade negativa. Logo, a representao : 1 + (-3) = -2. Agora, uma questo muito natural: Qual a distncia entre as posies dos robs aps terem dado 5 passos em sentidos opostos a partir da origem?. Assim, o Rob 1, que estava na posio 5, deve dar 3 passos no sentido positivo ( +3) e chegar

A visualizao do modelo de reta orientada torna intuitiva ao aluno a idia de contar os passos entre eles: 10 unidades. A mesma questo pode ser refeita agora sob outra forma: Continuando a pergunta anterior, se o Rob 2 ficar parado na posio +5, quantos passos so necessrios para o Rob 1, que est na posio 5, atingir o ponto onde est o Rob 2? Nesta reformulao fica clara a idia de adio de um nmero positivo, pois o Rob 1 deve caminhar na direo do Rob 2, isto , no sentido positivo. A operao representada por (-5) + 10 = 5. Da mesma forma, para o Rob 2 atingir o ponto em que o Rob 1 est, ele precisa inverter o seu movimento para o sentido negativo e caminhar 10 passos. Logo, temos a operao de Adio de um nmero negativo, representada por 5 + (-10) = - 5. Confirmamos nestas atividades a propriedade que, na adio de nmeros de qualidades opostas a operao envolve a diferena dos valores absolutos, e a qualidade do resultado daquele nmero de maior valor absoluto. Vamos trabalhar agora o significado de 0 na reta numrica, representando o ponto de partida do movimento na reta numrica, explorando a ideia de ponto de referncia para simetria.

PROBLEMA 3.2.3: Se os robs partem simultaneamente do ponto 0, quando um rob estiver na posio - 8, qual ser a posio do outro rob? Depois desta caminhada eles se viram, quantos passos eles devem andar para se encontrarem novamente?

Represente esta situao na reta numrica:

A atividade anterior mostram que, se cada rob caminhar, no sentido contrrio ao seu movimento, o mesmo nmero de passos dados, eles voltam ao ponto inicial de partida. Isto : (-8) + 8 = 0, para o Rob 1; +8 + (-8) = 0, para o Rob 2. Isto se deve ao fato de que o oposto de um nmero inteiro representado pelo simtrico, com relao origem, do ponto que representa o nmero na reta numrica e tambm mostra uma das vrias propriedades notveis da adio de nmeros inteiros que exploraremos na prxima seo e que podemos j perguntar:

Qual a interpretao geomtrica de um nmero somado com seu oposto? O que ocorre se adicionarmos 0 a um nmero inteiro? Que significado geomtrico tem isto? Interpretando geometricamente, existe alguma diferena entre as operaes a + b e b + a, sendo a e b inteiros?

-2

-1

0

+1

+2

Para explorar tais questionamentos, voltemos ao Jogo do Rob. Se os dois robs partirem do +4 e caminham 4 passos em direes opostas, qual o nmero de chegada de cada rob?

Represente esta situao na reta numrica:

Os robs partem juntos do ponto - 7 caminhando em direes opostas. Aps darem 7 passos qual ser a posio de cada rob? Represente esta situao na reta numrica:

A operao de adio possui propriedades muito importantes e teis. A Atividade do Rob uma maneira muito eficiente ilustrar tais propriedades. Tente us-la com seus alunos, para fixar as propriedades. Na classe, use tambm a reta numrica orientada e interprete as propriedades junto com os alunos, trabalhando questes como sugeridas na prxima seo.

3.3 Propriedades Nmeros InteirosPropriedade comutativa da adio

da

Adio

de

O que acontece com a soma de -3 + 7 se trocarmos a ordem das parcelas? Efetue as adies, representando os nmeros na reta numrica orientada: Observamos que saindo de -3 e andando +7, chegamos a +4: (-3) + (+7) = +4

-3

+7

4

E observamos que saindo de +7 e andando -3, tambm chegamos a +4 (+7) + (-3) = +4

4

7 +(- 3)

Assim, podemos escrever: - 3 + 7 = +7 - 3. Pense bem nisto: a operao de adio se transformou em uma subtrao. O aluno no poder fazer confuso se isto no for bem trabalhado? Como deveremos definir a subtrao de inteiros para evitar tais incompreenses? Veremos isto em breve. Veja outro exemplo: (-5) + (-2) = -7 e (-2) + (-5) = -7

Ou seja, trocando a ordem das parcelas, o resultado da adio o mesmo. Esta uma manifestao particular da Propriedade Comutativa da Adio: a + b = b + a, quaisquer que sejam os inteiros a e b. Ser que o mesmo vale para a subtrao de inteiros? 2 3 o mesmo que 3 2? Propriedade associativa da adio A adio de vrias parcelas como (-20) + 12 + 36 faz sentido e pode ser feita agrupando-se parcelas. Por exemplo, podemos comear adicionando as duas primeiras: [(-20) + 12] + 36 = (-8) + 36 = +28

Ou comeando pelas duas ltimas: (-20) + [12 + 36] = (-20) + 48 = +28 Em ambas, encontramos o mesmo resultado. Isto uma manifestao da Propriedade associativa da adio: (a + b) + c = a + (b + c) para todos os inteiros a, b e c. Proponha aos alunos que criem problemas na Atividade do Rob, que ilustrem a propriedade associativa. Observe que enunciar problemas to importante para compreender um conceito, quanto responder a questes j formuladas. Elemento neutro da adio

Quando somamos o nmero 0 a um nmero inteiro, o resultado o prprio nmero. Numa reta numrica, adicionar 0 significa no movimentar o ponto, nem direita nem esquerda. Assim, temos os exemplos abaixo: a) 0 + (- 3) = - 3 b) (+5) + 0 = +5 c) - 4 +0 = - 4 d) 0 + 8 = 8 Dizemos que 0 o elemento neutro da adio.

Adio de nmeros opostos ou simtricos

Todo nmero inteiro possui um oposto. A soma do seu inteiro com seu oposto 0. Use a Atividade do Rob para lembrar que somar o oposto a um nmero inteiro reverter o sentido do movimento a partir do ponto geomtrico inicial, adicionando uma quantidade igual em valor absoluto ao nmero inicial e, portanto, o resultado final a origem de referncia, o nmero 0.

Trabalhe, por exemplo, os seguintes casos: a) -5 e +5 so nmeros opostos: (-5) + (+5) = 0 b) +9 e -9 so nmeros opostos: + 9+ (-9) = 0 Esta propriedade ser intensamente utilizada nos jogos do prximo captulo.

Subtrao de Nmeros Inteiros Assim como na adio com os nmeros inteiros, consideramos importante iniciar o estudo, desenvolvendo alguns exemplos prticos que ilustrem, de maneira intuitiva, o significado da operao de subtrao. Exemplos Prticos: 1) Joo tinha R$ 18,00 e comprou um bon que custou R$ 6,00. Aps a compra, quanto dinheiro sobrou para Joo? Neste exemplo, o aluno deve utilizar seu conhecimento de nmeros naturais e poder facilmente responder com uma operao de subtrao. 2) Mrio, pai de Joana, tinha um saldo positivo de R$ 60,00 no banco e para comprar uma bicicleta para a filha, fez uma retirada de R$ 80,00. Aps o banco lhe dar crdito, quanto Mrio ficou devendo ao banco?

3) Voltemos ao exemplo do Captulo 2, em que Antnio ganhou R$ 20,00 no incio da semana e o seu gasto na cantina durante uma semana foi registrado no caderno como segue:

Dia

da Crdito Gasto 20 3 2 0 4 3

semana 2a feira 3 feira 4 feira 5 feira 6 feiraa a a a

Consideremos a pergunta: No final da semana, sobrou algum dinheiro para Antnio? Quanto?. Em cada um dos exemplos acima, identificamos o conceito de sobra ou resto em relao a uma situao inicial. Em vez de somar, estamos considerando uma situao em que algo foi subtrado ou diminudo. Estamos tratando da operao de Subtrao. Lembremos do desenvolvimento do exemplo do Antnio. Neste, o gasto pode ser representado como um nmero negativo, sendo o total de gastos no final de semana a soma de nmeros negativos (nmeros de mesma qualidade). Indicamos: gasto total = (-3) + (-2) + 0 + (-4) + (-3) = -12, significando que ele gastou um valor absoluto de 12 reais durante a semana. O saldo do Antnio, no final da semana, a diferena entre o que ele possua, 20 (reais), e o que ele gastou, isto , 20 12 = 8 (reais), como teramos feito com subtrao de nmeros naturais. O que ocorre com os nmeros inteiros, que podemos considerar a natureza (positiva ou negativa) dos valores absolutos dos nmeros envolvidos, e a operao de subtrao 20 12 corresponde exatamente adio do primeiro nmero inteiro com o oposto do segundo: 20 + (-12).

Esta interpretao se aplica perfeitamente ao Exemplo 2, quando consideramos a operao de crdito/dbito bancrio para a compra da bicicleta. Efetivamente, neste exemplo identificamos uma situao em que subtramos 80 (reais) de 60, o que indicado por 60 80. Esta operao no tem significado nos nmeros naturais. Atribuindo a possuir crdito o sinal positivo, e a retirada ou dever ao banco o sinal negativo, podemos identificar a seguinte ao no problema: (+60) + (- 80) = - 20. Portanto, podemos reescrever a operao de Subtrao: (+60) (+80) = - 20, usando os nmeros inteiros. Temos a subtrao de nmeros inteiros como adio do primeiro nmero com o oposto do segundo nmero. Faa a interpretao da operao subtrao nos seguintes problemas: Problema 1: Paulo, tio de Joo, deve R$ 100,00 ao banco. Precisando pagar algumas contas, Paulo empresta do banco a quantia de R$ 50,00. Depois desse emprstimo, qual o saldo bancrio de Paulo?

Problema 2: Numa cozinha a temperatura ambiente de 23 graus. Um objeto foi retirado do congelador, cujo interior de 5 graus negativos, e foi deixado sobre a mesa por um dia inteiro at atingir a temperatura ambiente. Que operao representa a variao de temperatura do objeto? E qual a diferena de temperatura sofrida pelo objeto? [Temperatura final temperatura inicial = 23 (- 5) = 28 ] Resumindo: A subtrao de nmeros inteiros a adio do primeiro deles com o oposto do segundo: a b = a + (- b), quaisquer que sejam os inteiros a e b.

No Captulo 4, jogos e atividades sero trabalhados para sugerir estratgias diferentes que podem ser usadas na sala de aula para fixar o contedo visto at aqui com as operaes de adio e subtrao. Para finalizar este captulo, sugerimos que os alunos trabalhem as operaes de adio e subtrao de nmeros inteiros, que requeiram o uso do algoritmo aprendido nas operaes com nmeros naturais acrescido do conceito de sinais.

Atividades com algoritmos de Adio e Subtrao

Um algoritmo a etapa final de um processo que permite a realizao com sucesso das operaes em diferentes contextos. Este processo pode ser descrito pelas seguintes etapas:

inicia-se com a compreenso da ao envolvida na operao, passa-se ao estudo das operaes elementares, em geral envolvendo nmeros com apenas um algarismo (tabuadas), em seguida atentamos para o reconhecimento e compreenso das propriedades fundamentais da operao e, finalmente, nas tcnicas operatrias prprias de cada operao.

Em todas estas etapas o professor deve estar atento aprendizagem dos alunos. Admitindo familiaridade com as operaes bsicas dos nmeros naturais, sugerimos as seguintes atividades com nmeros inteiros baseadas nas propriedades estudadas neste captulo: a) 58 (- 42) = 58 + 42 = 100 (subtrair somar com o oposto) 58 + 42 100

b) -105 + 279 = 279 105 = 174 (comutativa) 279 - 105 174 c) -520 (71) = - (520 +71) (para nmeros de mesmo sinal somam-se os valores absolutos e mantm-se o sinal comum) 520 + 71 591 Em cada um dos exemplos acima, tenha a certeza de que os alunos compreenderam que tipo de operao e que tipo de propriedade est sendo utilizada. Como ltima atividade deste captulo, chamamos a ateno do professor sobre o uso pedaggico da tecla +/- que se encontram na maioria das calculadoras de bolso; elas ilustram o conceito de sinal positivo e negativo que foi desenvolvido at agora.

Atividade com tecla +/- da calculadora

interessante o professor trazer para a sala de aula uma breve discusso e aplicao das operaes com os nmeros inteiros, usando uma calculadora. uma forma, inclusive, do aluno aprender que para operar a calculadora preciso conhecer certas propriedades matemticas. Tendo em mos uma calculadora, o professor, a fim de despertar a curiosidade dos alunos e verificar suas habilidades para operar com uma mquina, pode introduzir a atividade com a seguinte pergunta:

Vocs sabiam que a maioria das calculadoras tem uma tecla que permite trabalhar com nmeros negativos? Aps ouvir as possveis respostas dos alunos, o professor apresenta a tecla +/-, que se acionada logo aps a digitao do nmero, este muda de sinal. Por exemplo, para se obter o nmero -10 em sua calculadora, digite 1 e 0 e depois a tecla +/-. Assim, ir aparecer o sinal de menos (-) antes do nmero. Contudo, devemos prestar ateno, pois, algumas calculadoras no exibem o sinal de menos para indicar nmeros negativos, e sim a palavra minus do lado esquerdo no visor da calculadora. Vemos ento que a tecla +/- serve para trocar o sinal do nmero que est no visor. O professor pode propor ao aluno: como voc faria, usando a calculadora, para realizar a seguinte operao: (+78) (+80) (-7)? Pense que, se o aluno ainda no conhecesse ou no soubesse operar com a tecla +/-, seu procedimento ao realizar a conta, possivelmente, seria o seguinte. 1) digitaria 78 80. Resultado: - 2. O aluno guardaria esse resultado, ou memorizando-o ou anotando-o em um papel. 2) digitaria em seguida + 7, usando a propriedade de que a subtrao de um nmero inteiro a soma com seu oposto, resultando em 5. Outro modo, usando j a tecla (+/-): Temos 78 80, resultando em - 2. Ento, digitamos em seguida (tecla da operao), depois 7, a seguir finalmente a tecla =, para obter 5. (+/-) ( o 7 no visor ganha o sinal -) e

Este ltimo procedimento mostra claramente a operao de subtrao, e a funo da tecla (+/-) que troca o sinal do nmero 7. O professor deve destacar a diferena entre os sinais de + / nesta tecla, que no so operatrias, daqueles + e que so as teclas da calculadora que efetuam operaes com os nmeros. Depois, o professor pode ampliar essa atividade propondo outras operaes que devem ser realizadas aplicando o boto da ao (+/-) das mquinas de calcular. Para fixar o conceito de adio de nmeros inteiros, o professor pode lanar mo de atividades com jogos. O prximo captulo ser integralmente dedicado a este assunto. Os resultados alcanados com esta metodologia so animadores, vale a pena lev-la para a sala de aula.

4. JOGOS QUE ENVOLVEM A ADIO E SUBTRAO DE NMEROS INTEIROSAquele que ensina Matemtica e no pratica, de quando em quando, uma recreao aritmtica, pode ser um gnio como Poincar, um novo Weierstrass, um George Cantor da lgebra Moderna, mas ser sempre um pssimo, um detestvel professor (Felix Klein)Neste captulo trabalha-se a confeco de jogos que acompanham os captulos j estudados e prope-se simular a utilizao dos mesmos na sala de aula. Merece destaque as Atividades com Fichas Positivas/Negativas que do significado concreto s regras de sinais na adio e subtrao. Esta atividade tambm ser til na aprendizagem das regras de sinais para a multiplicao. Os demais jogos podem ser classificados em trs nveis: alguns servem para auxiliar introduo de conceitos a partir do conhecimento intuitivo dos alunos, outros se prestam a agentes pra consolidar atividades j aprendidas e finalmente alguns outros foram planejados para estabelecer conexes dos conceitos consolidados com situaes do cotidiano ou aplicaes da matemtica com outras reas do conhecimento.

4.1 JOGO DAS CARTAS INTEIRASEsta primeira atividade tem como objetivo a introduo conceitual aos nmeros inteiros utilizando cartas de um baralho e trabalha intuitivamente as operaes de soma e subtrao. Apesar de muito simples, os resultados so surpreendentes, pois permitem a compreenso da verdadeira gnese dos nmeros negativos, alm de exigir a necessidade de uma nova notao para registr-los.

Os materiais necessrios so cartas de dois baralhos com cores diferentes, lousa e giz. A atividade introdutria e pode ser realizada com alunos do 6. ou 7. ano e tempo de durao no ultrapassa uma aula. As cartas pretas do baralho correspondero a pontos ganhos e as cartas vermelhas a pontos perdidos. Cada carta do baralho do 2 at o 10 representa sua respectiva pontuao, o s vale 1, o Valete 11, a Dama vale 12 e o Rei vale 13. O sinal do nmero depende de sua cor: ser positivo se forem pontos ganhos (cartas pretas) e negativo se forem pontos perdidos (cartas vermelhas). O professor deve dividir os alunos em duas equipes (Equipe A e equipe B). Cada grupo dever escolher um aluno como representante em uma jogada e este ser o responsvel pelos registros de sua equipe na lousa. Este aluno poder escolher a forma de registro que quiser para marcar os pontos ganhos e perdidos, sem interferncia do professor. Entretanto, convm fazer uma tabela na lousa como a exposta a seguir para organizar a atividade:

Equipe A 1. carta retirada 2. carta retirada 3. carta retirada 4. carta retirada 5. carta retirada 6. carta retirada 7. carta retirada 8. carta retirada 9. carta retirada 10. carta retirada Total de pontos

Equipe B

Sorteia-se uma das equipes para comear o jogo. O professor fica de posse do baralho e um aluno de cada turma retira alternadamente uma carta,

mostrando-a sala e ao seu representante para que este faa o registro na lousa, anotando o valor de cada carta retirada pelos alunos de sua equipe na tabela. Cada rodada consta de 10 sorteios de cartas para cada turma e as retiradas de cartas so feitas alternadamente. O ideal fazer trs rodadas, mudando o representante e tentando fazer com que todos participem. Ao final de uma rodada, os alunos anotam os resultados obtidos por sua equipe e ajudam o representante a encontrar o total de pontos daquela rodada. Um aluno da outra equipe confere o resultado para ver se no houve trapaa. Os resultados finais das trs rodadas devem ser anotadas em uma outra tabela, como a sugerida: Total de pontos da Equipe A 1. rodada 2. rodada 3. rodada Somatria Final Total de pontos da Equipe B

Vencer o jogo a equipe que fizer o maior nmero de pontos na somatria dos totais das trs jogadas realizadas. Ao final o professor dever ouvir dos alunos as novidades ou dificuldades que tiveram a fim de introduzir sistematicamente os nmeros inteiros. O resultado incrvel!

4.2 Atividades com fichas positivas e negativas para a adio e subtrao de inteirosEsta atividade muito rica e pode ser usada muitas vezes para o trabalho com as operaes com nmeros inteiros. Ela d significado s operaes bsicas e auxilia os alunos com dificuldades na passagem do universo dos nmeros naturais para o dos nmeros inteiros. O objetivo fazer com que o aluno elabore as regras das operaes de adio e subtrao com nmeros inteiros, tornandoas deste modo, mais significativas.

O material necessrio so uma coleo de fichas de papel carto (ou cartolina ou EVA). Sugere-se o uso de fichas azuis para a representao dos nmeros positivos e o uso de fichas vermelhas para a representao dos nmeros negativos. So necessrias aproximadamente 30 fichas, de 2 cm x 4 cm, 15 de cada cor. Eis uma amostra de como as fichas podem ser feitas:

A atividade se dirige a alunos do 7 ano do Ensino Fundamental, mas pode ser realizada com alunos de sries mais altas que tenham dificuldade em trabalhar com nmeros inteiros. Combina-se com o aluno que uma ficha azul anula uma ficha vermelha e vice versa. Isto natural para o aluno, desde que ele j tenha participado da atividade anterior com as cartas do baralho. Vejamos as etapas do trabalho:

1. Como representar (escrever) os nmeros inteiros:

Observe algumas formas possveis de representaes para os nmeros naturais, utilizandose as fichas. Veja os exemplos que seguem: Como escrever o nmero zero? Podese colocar uma ficha de cada cor, ou trs fichas de cada cor, e assim por diante. Observe que colocando-se nmeros iguais de fichas azuis e vermelhas, as fichas se anulam duas a duas, pois cada par de fichas com cores diferentes representa o nmero zero. Como escrever o nmero (+5)? Podemos escrever o nmero cinco, utilizando cinco fichas azuis, ou dez fichas azuis e cinco vermelhas, ou vinte fichas azuis e quinze fichas vermelhas e assim por diante. Como escrever o nmero (5)? Podemos escrever o nmero menos cinco utilizando cinco fichas vermelhas, ou dez fichas vermelhas e cinco azuis e assim por diante.

2. Operao de Adio com Inteiros

Inicialmente o professor deve lembrar os vrios significados para a palavra adio ou adicionar, inclusive a idia de juntar, que ser a ideia utilizada nesta etapa. Veja abaixo alguns exemplos de situaes a serem exploradas na sala de aula: Queremos adicionar (+ 3) com (+ 6), ou seja, devemos juntar 3 fichas azuis com 6 fichas tambm azuis. No total, quantas fichas azuis teremos?

Queremos adicionar (3) com (6), ou seja, devemos juntar 3 fichas vermelhas com 6 fichas vermelhas. Ao todo, quantas fichas vermelhas teremos? Se quisermos adicionar (3) com (+6), ou seja, devemos juntar 3 fichas vermelhas com 6 fichas azuis. E agora? Lembrese que ao juntarmos uma ficha azul com uma ficha vermelha, elas se anularo uma a outra. Ento ficaremos com 3 fichas! De que cor? Ficaremos com 3 fichas da cor azul, ou seja, (+3). Teremos ento a seguinte situao:

+ -

+ -

+ -

+

+

+

Logo restaro 3 fichas azuis!

Vamos agora adicionar (+3) com (6), ou seja, devemos juntar 3 fichas azuis com 6 fichas vermelhas. + + + -

Logo restaro 3 fichas vermelhas!

Ento novamente, temos que uma ficha azul anula uma vermelha e viceversa e, portanto teremos como resultado da adio de (+3) com (6), 3 fichas vermelhas, ou seja, 3 negativo (- 3). Portanto (+3) + (- 6) = - 3.

3. Operao de subtrao de nmeros inteiros:

Nesta etapa, devemos resgatar o significado da subtrao, que retirar. Esta ser a palavra chave aqui! Ento iremos retirar, retirar do que se tem! 1 caso: (Realizando operaes com nmeros de mesmos sinais) Queremos fazer: (+3) (+2), ou seja, de 3 fichas azuis queremos tirar 2 fichas azuis. Com quantas fichas azuis ficaremos? Vamos fazer agora: (3) (2), ou seja, de 3 fichas vermelhas queremos retirar 2 fichas vermelhas. Com quantas fichas vermelhas ficaremos? 2 caso: (Realizando operaes com nmeros de sinais diferentes)

Vamos fazer (3) (+2). E agora? De que forma iremos retirar 2 fichas azuis das 3 fichas vermelhas que temos? Por enquanto no possvel. Mas temos que efetuar a operao! Usaremos o recurso de colocar zeros. Mas o que colocar zeros? acrescentar fichas azuis e vermelhas na mesma quantidade! Quantas? Quantas quisermos. Observe que temos, inicialmente, que retirar duas fichas azuis, mas s temos 3 fichas vermelhas: -

Precisamos, portanto criar fichas azuis. Observe que devemos fazer isto, de modo a no alterar a situao inicial. Para isso, devemos criar zeros, acrescentando, por exemplo, 3 fichas vermelhas e 3 fichas azuis. Logo, como resultado, obteremos a seguinte situao:Este o zero construdo!

+

+

+No se esquea de que temos ainda essas trs fichas vermelhas!

-

-

-

Temos agora, no total, seis fichas vermelhas e trs fichas azuis. Devemos retirar duas fichas azuis. Fazendo esta retirada, obtemos: + -

Veja que restam ainda um par de uma ficha vermelha e uma ficha azul e mais cinco fichas vermelhas. Essas duas fichas do par se anulam e sobram as outras cinco fichas vermelhas, que representam o sinal de menos. Logo a resposta ser (5). Uma dvida muito comum se d quanto a quantidade de fichas usadas no momento de se determinar os zeros. O nmero de fichas pode variar de acordo com sua vontade, mas voc no pode se esquecer de que para cada nova ficha azul, devemos ter uma ficha vermelha e vice-versa. Para que voc

possa entender melhor, veja o exemplo abaixo em que queremos realizar a mesma operao realizada acima, sendo ela: (3) (+2). Comearemos do mesmo ponto de partida. Inicialmente, tem-se trs fichas vermelhas... -

Criaremos agora zeros de um modo diferente e chegaremos a esta nova situao...No se esquea de que temos ainda essas trs fichas vermelhas!

+

+

+ + +

Este ser o nosso novo zero construdo!

Logo, como resultado, obteremos a seguinte situao: temos agora, no total, oito fichas vermelhas e cinco fichas azuis. Devemos retirar duas fichas azuis. Veja que restam ainda trs pares contendo cada um, uma ficha vermelha e uma ficha azul e mais cinco fichas vermelhas. As fichas dos pares se anulam e sobram as outras cinco fichas vermelhas, que representam o sinal de menos. Logo a resposta ser novamente (5). De modo anlogo, devemos prosseguir para esta situao: Vamos fazer a operao (+3) (2). E agora? Queremos retirar 2 fichas vermelhas das 3 fichas azuis que temos? Novamente isto parece ser impossvel! Usaremos o recurso de colocar zeros. Observe que temos, que retirar duas fichas vermelhas, mas s temos 3 fichas azuis: + + +

Precisamos criar fichas vermelhas. Observe que devemos fazer isto, de modo a no alterar a situao inicial. Para isso, devemos criar zeros: Logo, como resultado, obteremos a seguinte situao: + + +Este o zero construdo!

+

+

+

No se esquea de que temos ainda essas trs fichas azuis!

Observe que ainda temos, a quantidade (+3), que est sendo representada pelas 3 fichas azuis. Agora podemos retirar 2 fichas vermelhas. Retirando-as obtemos: + + + + + + Nos resta, aps a retirada das duas fichas vermelhas, um par formado por uma ficha azul e uma vermelha, que somam zero e mais cinco fichas azuis. Ento tem-se como resultado final, cinco fichas azuis. Portanto (+3) (2) = (+5).

Tente fazer experimentos com outros nmeros, que tal (- 2) ( -2), 3 5, 5 5, 5 + 0, 0 + 5, 5 0 e 0 5?

4.3 Jogo FinanceiroEsta atividade tambm trabalha com as operaes de soma e subtrao de nmeros inteiros, mas planejada para ser realizada em pequenas equipes. O ideal so grupos de 4 alunos. O jogo formado por 70 fichas vermelhas que representam a situao de dvida e 70 fichas azuis que representam a situao de crdito. Alm disso so necessrias 30 fichas contendo instrues iguais s que esto reproduzidas abaixo:

O banco deve lhe dar 10 fichas vermelhas

Receba 2 fichas vermelhas do prximo jogador

Pague duas fichas azuis ao jogador seguinte

Receba duas fichas azuis do banqueiro

Pague duas fichas azuis ao jogador anterior

Pague trs fichas azuis ao banqueiro

Receba 5 fichas vermelhas do jogador anterior

Receba 1 ficha azul do banqueiro

Receba duas fichas azuis do jogador anterior

Retire 10 fichas vermelhas do seu colega esquerda e fique com elas

Voc deve entegar 10 fichas vermelhas ao banqueiro Retire 10 fichas vermelhas do seu colega esquerda e entregue-as ao banqueiro

Receba 4 fichas vermelhas do banqueiro

Entregue 5 fichas vermelhas ao jogador anterior

Receba 3 fichas vermelhas do banqueiro

O banqueiro deve lhe dar 10 fichas azuis

Entregue 10 fichas azuis ao banqueiro

Entregue 4 fichas azuis ao banqueiro

O banqueiro deve lhe dar 10 fichas vermelhas

Retire 10 fichas azuis do seu colega esquerda e fique com elas

Retire 10 fichas vermelhas do seu colega esquerda e entregue-as ao banqueiro Entregue 10 fichas vermelhas a seu colega da esquerda

D 10 fichas azuis ao seu colega da direita

Receba 10 fichas azuis do seu colega da direita

D 10 fichas vermelhas ao banqueiro

Entregue 10 fichas vermelhas a seu colega da direita

Pegue 10 fichas azuis com o banqueiro

D todas as suas fichas vermelhas ao banqueiro

FIM DO JOGO

FICHAS COM INSTRUES DO JOGO FINANCEIRO

FIM DO JOGO

Inicialmente a classe deve ser dividida em equipes. Em cada equipe, os componentes devero determinar quem ser o banqueiro responsvel, sendo os trs outros membros os jogadores que realizaro as transaes financeiras. Cada banqueiro deve distribuir 10 fichas azuis para cada um dos trs jogadores de sua equipe. As fichas com instrues so colocadas no centro da mesa, empilhadas com a face escrita voltada para baixo, a fim de que os alunos no possam ler os comandos antes de compr-las. Atravs de um sorteio (por exemplo, jogando-se par ou mpar ou lanando-se um dado) os trs jogadores decidem a sequncia de ordem de compra dos cartes. O jogador que representa o banqueiro fica como um intermediador, sendo responsvel pelo controle das fichas e organizao das jogadas. O jogo ento efetivamente comea; o primeiro jogador deve pegar uma ficha do centro da mesa e seguir a instruo nela escrita. Caso o jogador no tenha a quantidade necessria de fichas para efetuar a transao solicitada no carto retirado, este dever recorrer ao banqueiro. Por meio do emprstimo de fichas, este dever receber do banqueiro a mesma quantidade de fichas vermelhas e azuis. As fichas azuis servem para atender as necessidades do jogador, enquanto que as vermelhas so para que o aluno no se esquea que possui uma dvida com o banqueiro, a qual, no futuro dever ser quitada. O jogo termina quando um jogador retirar a ficha com a instruo Fim de Jogo. Depois disto, os jogadores devero fazer o seus respectivos balanos financeiros e vence o jogo aquele que tiver mais crdito (fichas azuis no anuladas por fichas vermelhas).

4.4.3 O Jogo do DinossauroEste jogo permite o trabalho com vrios conceitos simultneos ligados aos nmeros inteiros: a ordenao, as operaes de adio e subtrao, o oposto e o clculo mental. O jogo formado por um tabuleiro na forma de um dinossauro onde uma pequena equipe de jogadores podem disputar uma partida. Cada jogador deve ter seu prprio peo para andar sobre as costas do dinossauro e as jogadas so determinadas pelos lanamento de dados. Este jogo indicado para alunos do 6. e 7 anos. A seguir esto os materiais utilizados no jogo:

1 2 3 6 4 5 2

1 3 6 4 5

REGRAS DO JOGO DO DINOSSAURO:1 rodada Para a primeira rodada, devemos seguir s seguintes regras: O incio da partida se d na casa zero (0) do tabuleiro do dinossauro. Todos os pees dos jogadores devem ser colocado no 0 no incio do jogo. O dado branco representa a operao de adio e indica quantas casas o peo dever subir no dinossauro. O dado vermelho representa a operao de subtrao e indica quantas casas o peo dever descer no dinossauro. O dado amarelo no usado nesta primeira rodada.Para entender melhor o que foi dito acima, observe o seguinte exemplo: Jogam-se os dois dados simultaneamente. Suponha que o resultado obtido o seguinte:

5

3

Neste caso o peo deve subir 3 casas (resultado do dado branco) e, a seguir, descer 5 casas (resultado do dado vermelho) a partir da casa em que o peo se encontrava antes da jogada. Logo: Se o peo estiver na casa zero (0), dever ir para a casa 2, pois 0 + 3 + (5) = 2. Se o peo estiver na casa 8, ento dever ir para a casa 6, pois 8 + (3 + (5)) = 8 2 = 6. Se o peo estiver na casa -1 dever ir para a casa -1 + 3 + (-5) = -3

O vencedor ser quem chegar primeiro em uma das casas marcada com uma estrela. Quem sair fora do tabuleiro (ultrapassar uma estrela) deve retornar casa 0 e continuar jogando. 2 rodada Terminada a primeira rodada, os jogadores daro incio segunda etapa. Agora, a regra um pouco mais elaborada: Os pees devero ser posicionados na faixa zero (0) para o incio do jogo. Os dados sero jogados e agora os jogadores tero que dizer para qual casa do dinossauro iro, sem mexer no peo. Se errar, o participante continua no mesmo lugar. 3 rodada Os jogadores devero seguir as instrues da 1 rodada, sendo que aps ser efetuada cada jogada, haver a utilizao do dado amarelo. Este dado poder alterar a posio do peo no dinossauro, dependendo do sinal + (mais) ou (menos) que ser determinado no lanamento do mesmo. Para exemplificar as novas regras, observe a seguinte situao: Considere que um dos pees esteja na casa (+2) do tabuleiro e seja (3) o resultado da jogada dos dados branco e vermelho. O jogador dever ento descer trs casas, indo para a casa (1). O mesmo jogador dever lanar o dado dos sinais; podem ocorrer dois resultados: a) Caso saia o sinal de + (mais) na face do dado, o peo permanecer na mesma casa do tabuleiro em que se encontra, ou seja, o sinal de + (mais) no interferir na posio do mesmo. b) Caso saia o sinal de (menos), o peo dever se deslocar da casa (1) em que se encontra para a casa (+1) do tabuleiro (troca de sinal). Neste caso, o sinal de (menos) altera a posio do peo levando-o para a casa simtrica com relao a 0 (zero). O vencedor ser quem chegar primeiro em uma das casas marcada com uma estrela. Quem sair fora do tabuleiro (ultrapassar uma estrela) deve retornar casa 0 e continuar jogando. 4 rodada O jogo dever obedecer s mesmas regras estabelecidas na 2 rodada (clculo mental), utilizando o dado dos sinais a cada jogada.

4.4.4 Labirinto dos nmeros inteirosEste jogo envolve dois participantes e cada um deles deve ter seu peo para marcao. No um jogo de azar e, uma vez descoberta a soluo, o tabuleiro no poder mais ser utilizado pela mesma dupla de jogadores. Por isto sugere-se a construo de vrios tabuleiros parecidos, para que uma mesma dupla possa jogar mais de uma vez. Sorteia-se quem deve iniciar o jogo. Um exemplo de tabuleiro encontra-se na figura a seguir:

Vrios tabuleiros como este podem ser feitos, com desafios diferentes.

REGRAS DO JOGO DO LABIRINTO DOS NMEROS INTEIROS: Cada jogador, na sua vez, move sua pea de uma casa para outra do labirinto, andando somente uma casinha por rodada, desde que caminhe SEMPRE em ordem crescente na numerao das casas. Caso algum participante fique sem sada, deve retornar ao ponto de partida (entrada) e seguir por um outro caminho. Vence quem sair do labirinto em primeiro lugar.

4.4.5 Matix com InteirosEste um jogo pedaggico clssico que envolve estratgia, antecipao mental de jogadas, comparao entre nmeros inteiros, alm da operao de adio de inteiros. Esta atividade deve ser realizada em duplas, com um tabuleiros 8 x 8, 63 peas com nmeros inteiros distribudas aleatoriamente pelas casas do tabuleiro e uma pea especial, marcada com uma estrela que deve ser colocada na ltima casa vazia. Escolhe-se o jogador que ir iniciar o jogo por meio de um sorteio. O objetivo do jogador ir retirando as peas do tabuleiro uma por uma, sendo vencedor aquele que conseguir fazer o maior nmero de pontos com as peas que retirou, ao final do jogo. Os jogadores retiram alternadamente as peas. O primeiro jogador tem direito de escolher se ele joga no sentido horizontal (retirando as peas que esto situadas na linha horizontal em que se encontra a estrela), ou na vertical (retirando as peas situadas na mesma coluna em que se encontra a estrela). Feita esta escolha, cada jogador poder jogar apenas em um dos sentidos, isto , nas linhas horizontais ou nas colunas verticais, o que deve ser previamente estabelecido pois isto no pode mudar at o final do jogo. Em sua vez, um jogador pode retirar qualquer pea que estiver na mesma linha (se ele jogar na horizontal) ou coluna (se jogar na vertical) em que se localiza a estrela. A estrela uma pea mvel que ambos os jogadores movimentam e colocam, a cada vez, no lugar da pea que retiram. Com as retiradas alternadas dos dois jogadores, o tabuleiro vai ficando cada vez mais vazio. O jogo termina quando:

ou so retiradas todas as peas do tabuleiro ou quando um jogador retira a ltima pea de uma fileira (horizontal ou vertical) em que se encontra a estrela.

O vencedor ser aquele que tiver feito o maior nmero de pontos com suas fichas retiradas, depois de somados todos os pontos positivos e deles subtrados os pontos negativos. Apresentamos a seguir todos os componentes do jogo; so 64 peas: 1 com o nmero 15, duas com o nmero -10, os nmeros - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 7, 8, 10 aparecem cada um deles em trs fichas diferentes, os nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 0 aparecem, cada um deles em cinco fichas diferentes, seis fichas tm o nmero 6 escrito nela e finalmente uma ficha tem o desenho da estrela.

PEAS DO MATIX COM INTEIROS

15 -2 -5 10 2 3 5 0

-10 -3 -5 10 2 3 5 6

-10 -3 7 10 2 4 5 6

-1 -3 7 1 2 4 5 6

-1 -4 7 1 2 4 0 6

-1 -4 8 1 3 4 0 6

-2 -4 8 1 3 4 0 6

-2 -5 8 1 3 5 0

TABULEIRO DO MATIX COM INTEIROS

4.4.6 INTEIROS COM SEUS BOTESEste jogo serve para desenvolver as habilidades operatrias com nmeros inteiros no muito pequenos e o conceito de valor absoluto de um nmero inteiro. Trata-se de um jogo para dois participantes, formado por um tabuleiro e seis botes. As casas vermelhas do tabuleiro representam pontos perdidos, enquanto que as azuis representam pontos ganhos. Sorteia-se que vai comear o jogo. Cada jogador dever, na sua vez, jogar os seis botes aleatoriamente dentro da caixa com o tabuleiro. O aluno deve ento observar em quais casinhas cairam os botes que ele lanou naquela jogada e registrar os pontos obtidos, informando a seu oponente qual foi o resultado, se foram pontos perdidos ou ganhos. Se um boto cair na fronteira de duas ou mais casas, valer o nmero da casa com maior valor absoluto. Por exemplo, na situao descrita na figura:

306 15

150 45

O nmero que valer vermelho 306, ou seja -306, pois este nmero tem maior valor absoluto que os trs demais (150, 15 e 45). O nmero registrado deve ser -306. Cada aluno dever realizar pelo menos 5 jogadas e vence tem obtiver mais pontos ganhos. O tabuleiro do jogo tem o formato de uma caixa sem tampa, como o apresentado na figura a seguir:

4.4.7 COMO FAZER UM DOMIN PARA CADA CONTEDO DE MATEMTICAVamos apresentar uma metodologia que permite construir vrios domins para contedos especficos de Matemtica. Mesmo dentro de um determinado contedo possvel fazer domins com dificuldades variadas, adequadas ao conhecimento prvio do aluno, individualizando a aprendizagem. O procedimento todo feito em trs etapas: 1) Preenchimento de uma tabela com resultados e operaes que voc quer que os alunos saibam. 2) Transferncia dos dados da tabela para um rascunho onde esto desenhadas as 28 peas do domin. 3) Transferncia definitiva do rascunho para o domin (sem as bolinhas) pronto para o jogo. Inicialmente preencha a coluna marcada com a seta da tabela abaixo com resultados das operaes que voc quer que os alunos saibam.

Nenhuma bolinha Uma bolinha Duas bolinhas Trs bolinhas Quatro bolinhas Cinco bolinha Seis bolinhas

1 9 17 25 33 41 49

2 10 18 26 34 42 50

3 11 19 27 35 43 51

4 12 20 28 36 44 52

5 13 21 29 37 45 53

6 14 22 30 38 46 54

7 15 23 31 39 47 55

8 16 24 32 40 48 56

Agora preencha as linhas com vrias expresses que dem o resultado que voc marcou na primeira coluna. Assim, os resultados em cada clula de uma mesma linha devero ser sempre iguais. A seguir, escreva em cada pea do domin os resultados da tabela que voc preencheu, seguindo a ordem numrica que aparece na tabela.

Copie os resultados numa folha com os desenhos das peas, mas sem as bolinhas e sem as marcaes com nmeros pequenos. A figura do domin anterior usada apenas um rascunho para evitar confuso na hora de transferir os dados da tabela para as peas. Como um exemplo, vamos elaborar um domin com as operaes de adio e subtrao de nmeros inteiros. Escolhemos os nmeros 0, 1, 2, 3, -1, -2 e -3, mas poderiam ser outros. 1) Primeiro preenchemos a tabela:Colocamos prim eiro esses nmeros.

Todas essas operaes do o mesmo valor: 0.

Todas essas operaes do o mesmo valor: +1.

Todas essas operaes do o mesmo valor: