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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO

Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM

ANA LUIZA COELHO BRAGA

SIMULAÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA, VIA MEF, DA CONSTRUÇÃO DE UM

DEPÓSITO DE REJEITO DE MINÉRIO DE FERRO

Ouro Preto

2016

ANA LUIZA COELHO BRAGA

SIMULAÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA, VIA MEF, DA CONSTRUÇÃO DE UM

DEPÓSITO DE REJEITO DE MINÉRIO DE FERRO

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Engenharia Mineral do

Departamento de Engenharia de Minas da Escola de

Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como

parte integrante dos requisitos para a obtenção do

título de Mestre em Engenharia Mineral.

Área de concentração: Lavra de Minas

Orientadora: Dra. Christianne de Lyra Nogueira

Ouro Preto

2016

ii

Aos meus amados pais, irmã, noivo e afilhado.

iii

AGRADECIMENTOS

A Deus por ter me sustentando ao longo desta longa caminhada;

A minha orientadora, Christianne Nogueira, por toda a sua dedicação, paciência, carinho e

apoio incondicionais. Sem ela este trabalho não teria sido possível;

Ao professor Waldyr Lopes por ter me ajudado a iniciar esta pesquisa;

À Viviane Rezende pela gentileza de disponibilizar os relatórios com os resultados dos

ensaios utilizados em sua dissertação;

Aos meus pais e irmã por entenderem a minha ausência e serem minha fortaleza;

Ao meu noivo pela sua imensa compreensão e apoio;

Aos meus amigos mineiros, Carol, Jonathan, Fábio, Fran, Tiany, Tamiris, Leandro, Karla,

Kenedy, Guilherme e Tatiana por compartilharem comigo diariamente dos momentos

bons aos difíceis e por terem tornado esta caminhada mais leve e feliz;

Aos meus amigos, Felipe, Karla, Gabriela, Mayara, Lucas, Carla, Izadora, Ana Luiza,

Maria Laura e Cecília, por todas as vezes em que soubemos ser compreensivos uns com

os outros e demonstramos através de ações a amizade que existe entre nós;

À Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) e aos professores do Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Mineral (PPGEM) por todo o suporte e apoio;

Ao professor Carlos Alberto, Carlão, por ter sido o lado descontraído dos corredores e

lanches no DEMIN. Agradeço a sua preocupação e constante cuidado durante esses dois

anos em Ouro Preto.

À Universidade de Viçosa (UFV), em particular ao professor Cláudio Carvalho e aos

técnicos Leonício, Jorge, Jonatham, Emerson e Júlio, pela alegria e gentileza com que me

receberam e ajudaram quando fui a Viçosa.

À CAPES pelo apoio financeiro.

iv

“Vence quem persevera.”

Autor desconhecido

v

RESUMO

A simulação computacional da construção de aterros, com base no método dos elementos

finitos, tem sido uma alternativa de grande valia para previsão do comportamento mecânico

destas obras geotécnicas. Neste sentido apresenta-se nesta dissertação de mestrado, a

aplicação do programa ANLOG (Análise Não Linear de Obras Geotécnicas) para analisar o

comportamento mecânico, em estado plano de deformação e no campo dos pequenos

deslocamentos, com acoplamento de fluxo e deformação, de um depósito de rejeito arenoso

proveniente da mineração de ferro. Diferentes análises, considerando diferentes modelos

constitutivos não lineares, elástico e elastoplástico, bem como diferentes condutividades

hidráulicas para os materiais envolvidos na construção do aterro foram conduzidas. A

influência da velocidade de construção na magnitude das poro pressões geradas durante o

processo construtivo é avaliada, assim como, a eficiência do sistema de drenagem. Os

resultados numéricos apontam para a necessidade da adoção de um amplo projeto de

monitoramento para o acompanhamento de cada etapa do processo construtivo.

Palavras-chave: depósito de rejeito, método dos elementos finitos, simulação numérica,

acoplamento hidromecânico, ANLOG, elastoplasticidade.

vi

ABSTRACT

The computer simulation of landfills construction, based on the finite element method has

been a great value alternative to mechanical behavior prediction of these geotechnical works.

In this sense is presented in this dissertation, the application of ANLOG program (Analysis

Nonlinear of Geotechnical Works) to analyze the mechanical behavior in plane strain state

and in small displacement field with coupling flow and deformation of a sandy waste deposit

from the mining of iron. Different analyzes considering different non-linear constitutive

model, elastic and elastoplastic, as well as different hydraulic conductivity for the materials

involved were conducted. The influence of rate construction on the magnitude of pore

pressures generated during the construction process is evaluated, as well as the drainage

system efficiency. The numerical results highlight the need to adopt a comprehensive

monitoring project to monitor each step of the construction process.

Keywords: tailings deposit, finite element method, numerical simulation, hydro-mechanical

coupling, ANLOG, elastoplasticity.

vii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Métodos construtivos de barragens de rejeito em várias etapas - (A) Método de montante,

(B) Método de Jusante e (C) Método de linha de centro (PORTES, 2013, adaptado de VICK,

1983) ............................................................................................................................................... 4

Figura 2.2 - Disposição de rejeitos através do método de aterro hidráulico (ESPÓSITO, 2000) ........... 5

Figura 2.3 - Ruptura por liquefação em barragem de rejeitos de ouro ocasionando a morte de 17

pessoas, Merriespruit, África do Sul, 1994 (BEDIN, 2010) ........................................................... 6

Figura 2.4 - Vista aérea da do local de rompimento de Barragem do Fundão em Minas Gerais,

novembro de 2015 (REVISTA EXAME) ...................................................................................... 6

Figura 2.5 - Curva tensão versus deformação para um metal submetido a tração simples (DESAI &

SIRIWARDANE, 1984, apud LEVADA, 1996) ........................................................................... 7

Figura 2.6- Características do comportamento tensão versus deformação de um material elástico a)

linear e b) não-linear. ...................................................................................................................... 8

Figura 2.7 - Expansão da superfície de plastificação (Adaptado de BUDHU, 2010) ............................. 9

Figura 2.8 - Representação do modelo hiperbólico ............................................................................... 12

Figura 2.9 - Curva transformada do modelo hiperbólico ...................................................................... 12

Figura 2.10 - Aplicação do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva transformada .................... 13

Figura 2.11 - Seleção de pontos de ajuste do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva

transformada ................................................................................................................................. 13

Figura 2.12 - Variação do módulo tangente inicial com a tensão confinante no modelo hiperbólico .. 14

Figura 2.13 - Superfície de escoamento no modelo de Lade-Kim. a) Em plano octaédrico: b) No plano

triaxial (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a) ...................................................... 17

Figura 2.14- Modelo Lade-Kim. Superfície de ruptura: a) no plano triaxial: b) em plano octaédrico

(IBAÑEZ, 2003, adaptado de Lade e Kim, 1988a) ...................................................................... 18

Figura 2.15 - Potencial plástico no modelo de Lade-Kim. a) em plano octaédrico: b) No plano triaxial

(IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a) ................................................................... 19

Figura 2.16 - Esquema das curvas de endurecimento e amolecimento no modelo de Lade-Kim

(IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a) ................................................................... 22

Figura 2.17 – Fluxograma esquemático do programa LKIMCAL (NOGUEIRA, 1998) ..................... 23

Figura 2.18 - Triângulo de Burland (AIRES, 2006 modificado de KRAHN, 2004)............................. 24

Figura 3.1 - Localização da área de estudo, sem escala (Modificado de REZENDE, 2013) ................ 29

Figura 3.2 - Curva de enchimento do reservatório (REZENDE, 2013) ................................................ 30

Figura 3.3 - Seção esquemática da barragem (REZENDE, 2013) ........................................................ 30

Figura 3.4 - Vista do tapete drenante e dos cananetes da barragem (REZENDE, 2013) ...................... 31

Figura 3.5 - Localização dos pontos de amostragem no depósito de rejeitos (Modificado de

REZENDE, 2013)......................................................................................................................... 32

Figura 3.6 - Amostra de rejeito congelada (REZENDE, 2013) ............................................................ 32

viii

Figura 3.7 - Comportamento de dilatância e de contração do rejeito arenoso com o índice de vazios . 34

Figura 3.8 - Resultados dos ensaios triaxiais ........................................................................................ 35

Figura 3.9 - Resultados tratados dos ensaios triaxiais ........................................................................... 36

Figura 3.10 - Dispersão de εa e εa/(σ1-σ3) para: (a) o dique e (b) o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx 37

Figura 3.11 - Dispersão de log (σ3/pa) versus log (Ei/pa) ....................................................................... 38

Figura 3.12 - Dispersão de log (B/ pa) versus (σ3/ pa) ........................................................................... 39

Figura 3.13 - Simulação do ensaio triaxial utilizando o modelo hiperbólico para o dique e o rejeito .. 40

Figura 3.14 - Parâmetros iniciais do modelo de Lade-Kim oriundos do programa “calibração” para o

dique ............................................................................................................................................. 41

Figura 3.15 - Gráfico para o cálculo dos parâmetros M e do dique ................................................... 42

Figura 3.16 - Simulação do ensaio triaxial utilizando o modelo Lade-Kim ......................................... 44

Figura 3.17 - Materiais constituintes do depósito de rejeitos ................................................................ 45

Figura 3.18 - Definição das etapas de construção e dos pontos de controle ......................................... 46

Figura 3.19 - Curva de enchimento do depósito de rejeitos (em dias) .................................................. 47

Figura 3.20 - Malha com 914 elementos Q4Q8 e 2945 pontos nodais ................................................. 47

Figura 4.1 - Influência do dreno ............................................................................................................ 48

Figura 4.2 - Influência da variação da permeabilidade vertical ............................................................ 49

Figura 4.3 - Influência da velocidade de solicitação ............................................................................. 50

Figura 4.4 - Influência da velocidade de solicitação no deslocamento do ponto T ............................... 51

Figura 4.5 – Isocurvas de excesso de poro pressão ao final da construção do dique de partida - modelo

linear elástico ................................................................................................................................ 51

Figura 4.6 – Isocurvas de poro pressão ao final da construção do depósito ......................................... 52

Figura 4.7 – Isocurvas de deslocamento horizontal, ux, ao final da construção do depósito ................ 53

Figura 4.8 – Isocurvas de deslocamento vertical, uy, ao final da construção do depósito ..................... 54

Figura 4.9 – Isocurvas de deformação normal na direção x, x, ao final da construção do depósito .... 55

Figura 4.10 – Isocurvas de deformação normal na direção y, y, ao final da construção do depósito . 56

Figura 4.11 – Isocurvas de deformação cisalhante, xy, ao final da construção do depósito ................ 57

Figura 4.12 – Isocurvas de tensão normal na direção x, x , ao final da construção do depósito ......... 58

Figura 4.13 – Isocurvas de tensão normal na direção y, y , ao final da construção do depósito ......... 59

Figura 4.14 – Isocurvas de tensão cisalhante no plano xy, xy , ao final da construção do depósito .... 60

Figura 4.15 – Isocurvas de SLR ao final da construção do depósito .................................................... 61

Figura 4.16 - Deslocamento vertical no ponto D1 ao final da construção do depósito ......................... 62

Figura 4.17 - Variação do deslocamento horizontal na seção S1 ao final da construção do depósito .. 62

Figura 4.18 - Variação do deslocamento horizontal na seção S2 ao final da construção do depósito .. 63

Figura 4.19 - Variação do deslocamento horizontal na seção S3 ao final da construção do depósito . 63

Figura 4.20 - Variação do deslocamento vertical na seção S4 ao final da construção do depósito ...... 64

ix

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 - Estado de compacidade dos corpos de prova. ................................................................... 33

Tabela 3.2 - Valores de εa e εa/(σ1-σ3) para o dique e o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx. ................. 37

Tabela 3.3 - Valores de log (Ei/pa) e log(σ3/pa) para o dique e o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx. ... 38

Tabela 3.4 - Valores de 3, v, B, log (B/ pa) e log(3/ pa) para o dique e o rejeito. ............................. 39

Tabela 3.5 - Parâmetros constitutivos - modelo não linear elástico ...................................................... 40

Tabela 3.6 - Parâmetros necessários para o cálculo de M e .............................................................. 42

Tabela 3.7 - Parâmetros constitutivos - modelo Lade-Kim ................................................................... 43

Tabela 3.8 - Peso específico e parâmetros de permeabilidade dos materiais envolvidos na simulação

numérica. ...................................................................................................................................... 45

Tabela 3.9 - Parâmetros constitutivos - modelo linear elástico ............................................................. 47

x

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES

a - constante do modelo hiperbólico

ANLOG - Análise Não Linear de Obras Geotécnicas

b - constante do modelo Hiperbólico

c - coesão ou intercepto de coesão, parâmetro do modelo Lade-Kim

CD - ensaio de compressão triaxial adensado e drenado

CID - comprimido isotropicamente e drenado

CR - compacidade relativa

cte - constante

CTC - compressão triaxial convencional

De - matriz constitutiva elástica

d- vetor de incrementos de deformação total

de – vetor de incrementos de deformação elástica

dp – vetor de incrementos de deformação plástica

d- parâmetro plástico

d - vetor incremento de tensão de tensão efetiva

pdW - incremento de trabalho plástico

e00 ou enat - índices de vazios natural

eo - índices de vazios inicial

ef - índice de vazios final

emax - índice de vazios máximo

emin - índice de vazios mínimo

E - módulo de elasticidade

E50 - módulo de elasticidade drenado a 50% da resistência máxima

Ei - módulo tangente inicial

EL – elevação

fp’’- função do modelo plástico

F(- superfície de plastificação

Gs - peso específico relativo dos sólidos

G(σ ) - Função potencial plástico

h – parâmetro do modelo Lade-Kim

H - módulo de endurecimento

xi

HC - Compressão Isotrópica

HIP - modelo Hiperbólico

I1 - primeiro invariante do tensor de tensões

I2D - segundo invariante do tensor de tensões desviador

I3 - terceiro invariante do tensor de tensões

K0 - coeficiente do empuxo em repouso

k - coeficiente de permeabilidade saturada

K - parâmetro adimensional do modelo Hiperbólico

Kb - parâmetro do modelo hiperbólico

Kur - parâmetro do modelo Lade-Kim

kx – coeficiente de permeabilidade na direção horizontal

ky - coeficiente de permeabilidade na direção vertical

LE - modelo Linear elástico

m – parâmetro do modelo hiperbólico

M - inclinação da linha de ruptura de Mohr-Coulomb

MEF - método dos elementos finitos

Mp – módulo plástico

n - parâmetro adimensional do modelo hiperbólico

Pa - pressão atmosférica

p - parâmetro do modelo Lade-Kim

p - tensão normal média ou octaédrica efetiva

pc’ - tensão de pré-adensamento

q - invariantes de tensão efetiva e parâmetro do modelo Lade-Kim

Rf - razão de ruptura do modelo hiperbólico

S - razão de tensão.

w - teor de umidade

Wp - trabalho plástico

- marcha adotada no tempo

γs - peso específico dos sólidos

γw - peso específico da água

ΔF - vetor de incremento de carga

ˆΔp - vetor de excesso de poro pressão nodal

ΔQ - vetor de incremento de fluxo

xii

uΔR - vetor de incremento de força externa

pΔR - vetor de variação de volume

t - incremento de tempo

ˆΔu - vetor de incremento de deslocamento nodal

ε - deformação linear

εa - deformação axial

εv - deformação volumétrica

- parâmetro do modelo Lade-Kim

𝜂1 - parâmetro do modelo Lade-Kim

parâmetro do modelo Lade-Kim

ν - coeficiente de Poisson

σ - tensão normal total

σ1 - tensão total principal maior

σ3 - tensão total principal menor

(σ1-σ3)rup - tensão desvio na ruptura

(σ1-σ3)f - tensão desvio na ruptura

(σ1-σ3)ult - tensão desvio última

σa - tensão axial

σc - tensão confinante

σ - tensor de tensão efetiva

x - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva em x

y - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva em y

z - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva em y

1 - parâmetro do modelo Lade-Kim

2 - parâmetro do modelo Lade-Kim

τ - tensão cisalhante

xy - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva cisalhante

ϕ - ângulo de atrito ou ângulo de resistência ao cisalhamento

xiii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1

1.1 OBJETIVOS E RELEVÂNCIA .......................................................................................... 2

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 3

2.1 REJEITOS DE MINERAÇÃO ........................................................................................... 3

2.2 MODELAGEM CONSTITUTIVA ...................................................................................... 6

2.2.1 Elasticidade ........................................................................................................... 7

2.2.2 Plasticidade ............................................................................................................ 9

2.2.3 Modelo hiperbólico ............................................................................................. 11

2.2.4 Modelo elastoplástico Lade-Kim ........................................................................ 16

a) Comportamento elástico ...................................................................................... 17

b) Critério de ruptura ............................................................................................... 18

c) Função potencial plástico .................................................................................... 19

d) Critério de plastificação e leis de trabalho de endurecimento e amolecimento .. 20

2.3 MODELAGEM NUMÉRICA .......................................................................................... 23

3 ESTUDO DE CASO .................................................................................................... 29

3.1 O DEPÓSITO DE REJEITO ............................................................................................ 29

3.2 CARACTERIZAÇÃO GEOTÉCNICA DO REJEITO DA MINERAÇÃO DE FERRO ................... 31

3.3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS CONSTITUTIVOS ........................................................ 35

3.3.1 Parâmetros do Modelo Hiperbólico .................................................................... 37

3.3.2 Parâmetros do Modelo Lade-Kim ....................................................................... 41

3.4 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA CONSTRUÇÃO DO DEPÓSITO DE REJEITO ......................... 45

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................ 48

4.1 INFLUÊNCIA DO DRENO ............................................................................................. 48

4.2 INFLUÊNCIA DA ANISOTROPIA DE PERMEABILIDADE ................................................. 49

4.3 INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE DE CONSTRUÇÃO ........................................................ 50

4.4 INFLUÊNCIA DO MODELO CONSTITUTIVO ................................................................... 51

5 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 65

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 66

1

1 INTRODUÇÃO

A construção de um depósito de rejeitos origina deslocamentos e poro pressão na

massa de solo, podendo, em função da magnitude destes deslocamentos, causar danos

significativos ao depósito e/ou às construções no seu entorno. Neste contexto, a correta

previsão dos deslocamentos e poro pressões no maciço é um requisito crucial para a execução

e segurança dessas obras.

A previsão da magnitude dos deslocamentos a serem experimentados por uma massa

de solo pode ser obtida racionalmente através da adoção de métodos analíticos tais como os

métodos numéricos. Dentre os métodos numéricos disponíveis na literatura, o método dos

elementos finitos (MEF) é o que tem sido mais amplamente utilizado para este fim. No

entanto, para que os resultados obtidos numericamente sejam confiáveis, se faz necessário

atender aos seguintes requisitos: conhecer, através de ensaios laboratoriais, o comportamento

tensão versus deformação dos materiais envolvidos; adotar um modelo constitutivo capaz de

representar as características predominantes do comportamento tensão versus deformação do

solo para as diferentes trajetórias de tensão observadas durante a construção do depósito; e,

dispor-se de um programa computacional apropriado para a simulação do processo.

No que diz respeito à modelagem constitutiva dos materiais geológicos, muito se tem

avançado nas últimas décadas. Os primeiros modelos constitutivos propostos para o solo são

baseados na teoria da elasticidade e partem da suposição de que todas as deformações

ocorridas são reversíveis ou elásticas. Entre os modelos elásticos mais utilizados, além da Lei

de Hooke, destaca-se o modelo hiperbólico, proposto por Duncan & Chang (1970) o qual

adota uma função hiperbólica para representar a relação tensão versus deformação do solo. O

modelo hiperbólico apesar de ser muito utilizado é limitado por não modelar aspectos

importantes do comportamento do solo tais como a influência da tensão principal

intermediária (σ2), a dilatância e a perda de resistência pós-pico (softening). Além disto, o

modelo proposto por Duncan & Chang (1970) considera uma relação deformação axial versus

deformação volumétrica linear elástica e independente da tensão de confinamento. Em 1980,

Duncan propôs uma nova versão para o modelo hiperbólico adotando uma relação hiperbólica

para deformação axial e deformação volumétrica, levando em conta o efeito da tensão de

confinamento.

Embora o modelo hiperbólico adote módulos de deformabilidade distintos nas

trajetórias de carregamento primários e descarregamento-carregamento, ele não considera a

2

ocorrência de deformações plásticas durante o carregamento primário. Daí a necessidade de se

desenvolver modelos constitutivos elastoplásticos que considerassem a ocorrência de fluxo

plástico ao longo de toda a trajetória de tensão experimentada pelo solo. Dentre os modelos

elastoplásticos mais conhecidos destacam-se: o modelo de Cam-Clay Modificado (ROSCOE

& BURLAND, 1968), o modelo de Lade (1977, 1979) e o modelo de Lade-Kim (KIM &

LADE, 1988; LADE & KIM, 1988a, 1988b).

O modelo de Lade caracteriza-se por possuir duas superfícies de plastificação, sendo

uma delas regida por uma lei de fluxo associada e a outra, por uma lei de fluxo não associada.

O modelo de Lade-Kim é uma versão do modelo de Lade em que se adota apenas uma

superfície de plastificação e uma lei de fluxo não associada. A adoção de uma superfície de

plastificação única apresenta como vantagem a facilidade de sua implementação numérica em

programas destinados à simulação da construção de obras geotécnicas.

O modelo de Lade-Kim além de representar o comportamento dos solos arenosos e

argilosos, também possibilita que seu uso seja estendido para materiais com coesão efetiva,

como concreto e rocha. Os modelos de Lade e Lade-Kim são formulados em termos das

tensões efetivas e as expressões matemáticas utilizadas para representar o comportamento

plástico dos solos apresentam-se em função dos invariantes de tensão. Os parâmetros

necessários para caracterizar a utilização destes modelos podem ser obtidos através de

resultados de ensaios de compressão isotrópica (HC) e de compressão triaxial convencional

(CTC) drenado ou não drenado com medida de poro pressão.

1.1 Objetivos e Relevância

Esta dissertação faz-se importante, à medida que visa o entendimento e a modelagem

do comportamento hidromecânico de um depósito de rejeitos de minério de ferro através da

análise numérica tensão versus deformação com acoplamento de fluxo e deformação. A partir

do entendimento dos mecanismos relacionados à construção destes aterros pode-se aumentar

o grau de segurança na execução de obras desta natureza, existentes e futuras, a partir da

adoção de medidas de prevenção e contenção de rupturas.

3

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A segurança nas operações mineiras é algo primordial a ser considerado em todas as

etapas da lavra e do beneficiamento mineral que incluem todo o processo de

descarte/disposição de estéreis e rejeitos. Muitos são os desafios a serem superados a fim de

assegurar um nível razoável de segurança dos depósitos de rejeitos.

A seguir serão revistos alguns pontos importantes sobre os rejeitos de mineração e

suas formas de disposição. Será feita uma discussão sobre o comportamento do solo quando

submetido a diversos tipos de solicitações. Também serão mostrados os ensaios laboratoriais

comumente utilizados para a obtenção dos parâmetros previstos nos modelos constitutivos e a

predição do comportamento dos solos. Ainda neste item, será apresentada uma breve

discussão sobre as modelagens constitutiva e numérica envolvidas no processo de previsão do

comportamento tensão versus deformação dos aterros.

2.1 Rejeitos de Mineração

O processo de liberação do mineral de interesse envolve a cominuição do minério em

partículas bem finas. As partículas que apresentam interesse comercial seguem para o que,

convencionalmente, chama-se de concentrado. No final da etapa de concentração mineral, as

partículas que não compõem o concentrado (por serem minerais de ganga ou por ineficiência

do processo) fazem parte do que é, comumente, chamado de rejeito. Ou seja, uma mistura de

água, reagentes e partículas sólidas (areia, silte e argila).

O rejeito pode ser bombeado da usina de concentração em forma de uma polpa com

teor de água variando de 50% a até mais de 100%. Uma vez que rejeitos altamente “líquidos”

se espalhariam por uma área inaceitavelmente grande, eles tendem a ser confinados por uma

barragem a fim de prevenir a poluição à jusante e armazenar água para recirculação na usina

de beneficiamento.

A construção da barragem de rejeito pode ser feita em uma única etapa ou em várias

etapas. Os métodos construtivos realizados em várias etapas podem ser de jusante, de

montante e de linha de centro (Figura 2.1). Espósito (2000), Milonas (2006) e Figueiredo

(2007), acordam que o método de montante é o mais econômico, porém seu comportamento

depende fundamentalmente da competência da fundação e da dissipação das poro pressões.

4

Figura 2.1 - Métodos construtivos de barragens de rejeito em várias etapas - (A) Método de montante, (B)

Método de Jusante e (C) Método de linha de centro (PORTES, 2013, adaptado de VICK, 1983)

De acordo com o fluxograma de uma usina de beneficiamento mineral e o tipo de

minério processado, obter-se-ão rejeitos com características físicas e composições químicas

bastante variadas. Frente a isso, e somadas a fatores geográficos e econômicos, deve-se

escolher o método de disposição mais adequado para uma determinada situação.

Existem três métodos de disposição de rejeitos: a céu aberto, aquático e subterrâneo.

Particularmente, no método a céu aberto, as diversas modalidades de disposição

existentes incluem: o aterro hidráulico, a disposição em cava, a codisposição de rejeitos e

estéreis, a disposição subaérea e o empilhamento drenado e rejeitos espessados.

No Brasil a modalidade mais adotada é o método subaéreo que consiste

especificamente na disposição hidráulica da polpa baixa percentagem de sólidos numa

barragem de contenção (Figura 2.2).

Este método é preferido por seu baixo custo de implantação, porém a etapa de

construção da barragem (que inclui etapas de alteamento) até a sua desativação pode se

estender por centenas de anos e apresentar alta complexidade (muitos fatores a serem

controlados) a depender das características do rejeito e das dimensões do reservatório.

5

Figura 2.2 - Disposição de rejeitos através do método de aterro hidráulico (ESPÓSITO, 2000)

No método de disposição hidráulica os rejeitos encontram-se saturados e com elevado

índice de vazios; e, ao longo do tempo, passam por processos de sedimentação e

adensamento. Durante esses processos a água pode fluir para as partes mais superiores do

depósito formando uma lâmina d’água que pode afetar a posição relativa da superfície freática

à montante da barragem. O nível freático deve ser mantido em uma posição segura, pois disso

depende a estabilidade da estrutura de contenção (dique de partida e diques de alteamento).

Para tanto, é importante manter o(s) sistema(s) de drenagem sempre em bom funcionamento.

Na disposição de rejeitos saturados em barragens, a aplicação de rápidas sobrecargas

de material (alteamento rápido) dificulta a dissipação dos excessos de poro pressões.

Ademais, a ausência de compactação por métodos artificiais confere um arranjo fofo ao

rejeito, com tendência a contração, o que geralmente contribui para o aumento da poro

pressão.

Segundo Espósito (2000) e Milonas (2006 apud PORTES, 2013), apesar do aspecto

econômico vantajoso, o método construtivo de montante aliado à técnica de disposição

hidráulica submete a estrutura a riscos como liquefação, elevação da linha freática e piping,

uma vez que os alteamentos são construídos sobre fundação composta por camadas fofas de

rejeito associado à dificuldade de implantação da drenagem interna.

Esta prática tem resultado em várias rupturas que muitas vezes envolvem fatalidades.

Rupturas envolvendo liquefação em depósitos de rejeitos são usualmente catastróficas

(Figuras 2.3 e 2.4), resultando em fluxo de material por largas distâncias (ECKERSLEY,

1990, e BLIGHT, 1997, apud FOURIE e TSHABALALA, 2005).

6

Figura 2.3 - Ruptura por liquefação em barragem de rejeitos de ouro ocasionando a morte de 17 pessoas,

Merriespruit, África do Sul, 1994 (BEDIN, 2010)

Figura 2.4 - Vista aérea da do local de rompimento de Barragem do Fundão em Minas Gerais, novembro de 2015

(REVISTA EXAME)

2.2 Modelagem Constitutiva

Um modelo constitutivo tem como objetivo descrever a relação entre medidas de

tensão e de deformação em corpos constituídos por um dado material submetido a variações

no seu estado de tensão e/ou deformação.

Segundo Lacy & Prevost (1987 apud LEVADA, 1996), um modelo constitutivo deve

possuir propriedades tais que o torne indicado para a representação do comportamento tensão

versus deformação do solo. Os parâmetros de um modelo devem ser obtidos com um número

reduzido de ensaios. O modelo constitutivo deverá descrever corretamente o comportamento

tensão versus deformação para diferentes trajetórias de tensão e deformação e diferentes

condições de drenagem (drenado ou não drenado).

7

Segundo Desai & Siriwardane (1984), uma curva tensão versus deformação de um

metal quando submetido a um ensaio de tração simples pode ser representada conforme

esquematizado na Figura 2.5. Observa-se nesta figura que para um aumento gradual do

carregamento, o material comporta-se elasticamente até o ponto A, retornando ao nível inicial

de deformação após o descarregamento. Quando o metal é tensionado do ponto A até o ponto

B e depois descarregado até C nota-se o surgimento de deformações irreversíveis ou plásticas.

Este tipo de comportamento é conhecido como elastoplástico devido à ocorrência combinada

de deformações elásticas e plásticas. Os pontos F e G representam um mesmo estado de

deformação para dois diferentes estados de tensão. Este comportamento, característico dos

materiais que apresentam plasticidade, indica que o estado de deformação alcançado não

depende apenas do acréscimo de tensão, mas também da história de tensão.

Figura 2.5 - Curva tensão versus deformação para um metal submetido a tração simples (DESAI &

SIRIWARDANE, 1984, apud LEVADA, 1996)

De uma forma geral, os modelos constitutivos são formulados considerando a

decomposição aditiva dos incrementos de deformação, ou seja, os incrementos de deformação

total (d), observados em um material quando submetido a variações de tensão (d), são

divididos em duas componentes: elástica (de) e plástica (dp). Desta forma podemos

escrever:

e pd d d ε ε ε (2.1)

2.2.1 Elasticidade

Um dado material é considerado elástico quando a energia dissipada após um ciclo de

carregamento-descarregamento é nula, e assim, as deformações envolvidas no processo são

8

totalmente reversíveis (TIMOSHENKO E GOODIER, 1980). É importante ressaltar que um

material elástico pode apresentar uma curva tensão versus deformação linear ou não linear

(Figura 2.6). O modelo elástico linear tem como característica principal a representação do

comportamento elástico dos materiais através de um valor constante para o módulo de

deformabilidade elástica (Figura 2.6a). Contudo, os solos apresentam um comportamento

tensão versus deformação não linear, (Figura 2.6b) e, sendo assim, o seu módulo de

deformabilidade é variável com o estado de tensão.

Figura 2.6- Características do comportamento tensão versus deformação de um material elástico a) linear e b)

não-linear

Para um material linear e elástico, as deformações elásticas são independentes da

trajetória de tensão que se submete o material, podendo-se atingir um mesmo estado de

deformação a partir de trajetórias de tensão diferentes. Neste caso, estas deformações

dependem dos incrementos de tensão e do módulo de deformabilidade. Para um material com

comportamento tensão versus deformação não linear, no entanto, as deformações

experimentadas dependem da história e trajetória de tensão, daí a importância de se ter uma

formulação incremental.

Desta forma, o incremento de deformação elástica, de uma forma geral, pode ser

obtido pela Equação 2.2.

e ed ( )ε D σ (2.2)

em que De é uma matriz constitutiva elástica que depende do modelo constitutivo adotado e

que, portanto, pode depender do estado de tensão efetiva.

9

2.2.2 Plasticidade

As deformações plásticas de um material são irreversíveis, ou seja, a energia fornecida

durante o carregamento é dissipada no seu interior.

Budhu (2010) afirma que para engenheiros a deformações plásticas são aquelas que

particularmente interessam, pois estas são resultados de deformações permanentes no

material. Para a tensão nas quais deformações permanentes são iniciadas dá-se o nome de

tensão de plastificação (yield stress). No espaço generalizado das tensões tem-se uma

superfície de plastificação, F(. Esta superfície varia em função do modelo constitutivo

adotado.

O modelo constitutivo baseado na teoria do estado crítico (ROSCOE, SCHOFIELD e

WROTH, 1958), adota uma superfície de plastificação elíptica, tal como ilustrada na Figura

2.6, escrita em termos dos invariantes de tensão, p e q, tal como:

Figura 2.7 - Expansão da superfície de plastificação (Adaptado de BUDHU, 2010)

22

c c2

qF(p ,q,p ) p p p 0

M (2.3)

em que

1 22

x x y y y z z z x xyq ( ) ( ) ( ) 3( ) (2.4a)

x y z

1p ( )

3 (2.4b)

10

onde M é a inclinação da linha de ruptura de Mohr-Coulomb e x y z xy, , e são as

componentes cartesianas do tensor de tensão efetiva ( σ ). O tamanho inicial ou eixo principal

da elipse é determinado pela tensão de pré-adensamento, pc′ . Evidências experimentais

(WONG e MITCHELL, 1975) indicam que a superfície de plastificação elíptica é uma

aproximação razoável para solos. Quanto maior a tensão de pré-adensamento, maior a elipse

inicial.

Todas as combinações de q e p que se encontram dentro da superfície de plastificação,

por exemplo, ponto A na Figura 2.6, farão com que o solo responda elasticamente. Se a

combinação de q e p’ estiver na superfície de plastificação inicial (ponto B na Figura 2.6), o

solo plastifica de forma similar a uma barra de aço. Qualquer tendência de combinação de

tensões de se mover para fora da superfície inicial de plastificação é acompanhada por uma

expansão da atual superfície de plastificação de tal forma que durante o carregamento plástico

ponto de tensão (q, p) situa-se sobre a superfície de plastificação expandida e não fora, como

mostrado por C. Trajetórias de tensões BC causam a reação elastoplástica do solo. Se o solo é

descarregado a partir de qualquer estado de tensão antes da ruptura, o solo irá responder como

um material elástico. Como a superfície de plastificação expande, a região elástica torna-se

maior (BUDHU, 2010).

Após iniciada a plastificação, o nível de tensão para o qual futuras deformações

plásticas ocorrem depende do grau de plastificação corrente; ou seja, as superfícies de

plastificação variam a cada estágio de deformação plástica. Portanto, durante o fluxo plástico

as subsequentes superfícies dependem de alguma forma da própria deformação plástica. Este

fenômeno é chamado Endurecimento (NOGUEIRA, 1998).

Durante o fluxo plástico o incremento de deformação pode ser obtido através da Lei de

Fluxo pela qual:

pd d ( ,h) b σ (2.5)

em que

dG( )

d

σb

σ (2.6)

11

é o gradiente da função potencial plástico G( )σ o qual define a direção dos incrementos de

deformação plástica e dé um escalar positivo chamado de parâmetro plástico que define a

magnitude das deformações plástica. Assim, para um dado incremento de deformação total, o

parâmetro plástico pode ser obtido fazendo:

T

e

T

e

d dH

a Dε

a D b (2.7)

em que

dF( )

d

σa

σ (2.8)

é o gradiente da função de plastificação F() e H é o módulo de endurecimento, definido

como:

h pH a M ( , h) σ (2.9a)

onde,

h

dF( ,h)a

dh

σ (2.9b)

e,

T

p p

dhM ( ,h) ( ,h)

d

σ b σ

ε (2.9c)

Mp é uma função que indica a variação do parâmetro de endurecimento h ao longo do

incremento de deformação plástica.

2.2.3 Modelo hiperbólico

O modelo hiperbólico (DUNCAN E CHANG, 1970) é classificado na categoria de

modelos elásticos e não lineares. A grande vantagem deste modelo está na sua generalidade.

O modelo pode ser usado para representar curvas tensão versus deformação de solos que

podem variar desde argilas, areias até pedregulhos e pode ser usado para análises drenadas ou

não drenadas.

12

O modelo assume que as curvas tensão versus deformação, sob determinada tensão

confinante 3, podem ser aproximadas por hipérboles (Figura 2.8) representada pela Equação

2.10.

a1 3

aa b

(2.10)

Figura 2.8 - Representação do modelo hiperbólico

onde a é a inclinação inicial da curva e está relacionada com:

i

1a

E (2.11)

onde Ei é o modulo de Young inicial e b é o valor assintótico relacionado com 1 3 ult( ) .

1 3 ult

1b

( )

(2.12)

Os valores de a e b são obtidos através da transformação da curva da Figura 2.8 a qual

está indicada na Figura 2.9.

Figura 2.9 - Curva transformada do modelo hiperbólico

13

Quando se utilizam resultados experimentais os pontos muitas vezes não se ajustam

perfeitamente ao longo da reta da curva transformada. Solos rígidos tendem a apresentar uma

concavidade voltada para cima, enquanto que solos moles se agrupam em uma hipérbole com

a concavidade para baixo.

Nos casos em que o trecho inicial da curva tensão versus deformação é linear, a

transformada tende a ser horizontal (Figura 2.10).

(a) (b)

Figura 2.10 - Aplicação do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva transformada

Caso não se disponha de ferramenta adequada para o ajuste dos resultados

experimentais, recomenda-se que a reta seja definida a partir dos pontos correspondentes a

70% e 95% da resistência máxima (Figura 2.11). Esta recomendação foi baseada em análises

das centenas de curvas correspondentes a diversos materiais (GERSCOVICH, 2005).

(a) (b)

Figura 2.11 - Seleção de pontos de ajuste do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva transformada

14

A variação de Ei com a tensão confinante é representada por equação sugerida por

Janbu (1963):

n

3i i a

a

E K pp

(2.13a)

ou linearizando-se

3ii

a a

Elog log K n log

p p

(2.13b)

onde Ki e n são parâmetros adimensionais obtidos linearizando no espaço logarítmico a

variação de Ei com 3 tal como indicado na Figura 2.12 e pa é a pressão atmosférica.

Figura 2.12 - Variação do módulo tangente inicial com a tensão confinante no modelo hiperbólico

A variação de 1 3 ult( ) com a tensão confinante 3 é feita relacionando-se

1 3 ult( ) com a resistência do solo, dada pela diferença 1 3 f( ) ,

1 3 f1 3 ult

f

( )( )

R

(2.14)

onde Rf é denominado razão de ruptura e 1 3 f( ) é definido de acordo com o critério de

ruptura de Mohr-Coulomb como:

31 3 f

2ccos 2 sen( )

1 sen

(2.15)

em que c e são a coesão e o ângulo de atrito, respectivamente.

15

Na prática, Rf varia dependendo do ensaio considerado, recomenda-se adotar valor

médio. Em geral, o valor de Rf situa-se entre 0.7 e 0.95.

Adotando-se a relação incremental indicada na Equação 2.2 pode-se obter a seguinte

matriz constitutiva para o modelo hiperbólico:

tt

1 (1 ) (1 ) 0

(1 ) 1 (1 ) 0E (1 )

(1 ) (1 ) 1 0(1 )(1 2 )

0 0 0 (1 2 ) 2(1 )

D (2.16)

em que

2

t t fE E (1 R S) (2.17)

Onde

1 3

1 3 f

( )S

( )

(2.18)

é a razão de tensão.

Na versão original do modelo (DUNCAN E CHANG, 1970), a relação linear

v 1(1 2 ) (2.19)

baseada na teoria da elasticidade é utilizada para relacionar as deformações volumétrica e

axial, onde, é o coeficiente de Poisson suposto constante ao longo de todo ensaio.

Entretanto, o emprego do coeficiente de Poisson constante limitava o uso do modelo,

uma vez que este coeficiente na prática varia ao longo do ensaio tendendo para o valor 0.5 na

ruptura (variação volumétrica nula). Reconhecendo esta deficiência, Duncan (1980)

apresentou uma nova versão deste modelo, na qual o coeficiente de Poisson varia em função

do módulo de deformabilidade volumétrica B. Nesta nova versão, B é considerado constante

com o nível de tensão e variável com a pressão de confinamento através da relação:

m

3b a

a

B K pp

(2.20)

16

onde Kb e m são dois parâmetros adicionais que substituem o coeficiente de Poisson constante

do modelo original.

Para esta nova versão tem-se a seguinte matriz constitutiva tangente

t t t

t t t

t

t t tt

t

(3B E ) (3B E ) (3B E ) 0

(3B E ) (3B E ) (3B E ) 03B

(3B E ) (3B E ) (3B E ) 09B E

0 0 0 E

D (2.21)

2.2.4 Modelo elastoplástico Lade-Kim

O modelo Lade-Kim é escrito em termos dos invariantes de tensão, adota uma Lei de

Fluxo não associada e uma lei de endurecimento/amolecimento definida com base numa

medida de trabalho plástico.

O modelo elastoplástico de Lade-Kim é uma evolução do modelo de Lade (1977) e

pode ser adotado para previsão do comportamento tensão versus deformação de solos, rocha e

concreto. Sua principal característica é a adoção de apenas uma superfície de plastificação em

relação às duas adotadas pelo modelo de Lade (1977).

O modelo Lade-Kim adota 12 (doze) parâmetros, a saber: Kur, ν, n (ou M, , e ) para

a componente elástica do incremento de deformação, η1 e m para o critério de ruptura, ψ2 e

para a definição do potencial plástico, h e q para a superfície de escoamento, C e p para a

função de endurecimento e finalmente a para o caso de materiais com coesão. Esses

parâmetros podem ser determinados a partir de ensaios triaxiais convencionais de compressão

isotrópica e compressão por carregamento axial drenados (LADE e KIM, 1988b).

A superfície de plastificação adotada tem o formato de uma lágrima assimétrica com o

ápice pontiagudo na origem dos eixos de tensões principais (Figura 2.13b). Essa superfície de

plastificação descreve o local no qual o trabalho plástico total é constante. O trabalho plástico

total, composto por deformações cisalhantes e volumétricas, serve como um parâmetro de

endurecimento e é usado para definir a forma e a localização da superfície de plastificação,

F(). O uso de contornos de trabalho plástico constante como F() resulta matematicamente

consistente no modelo, pois as medidas de plastificação e endurecimento são unicamente

relacionadas por uma função monotônica.

17

Figura 2.13 - Superfície de escoamento no modelo de Lade-Kim. a) Em plano octaédrico: b) No plano triaxial

(IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a)

Neste modelo, a transição de endurecimento para amolecimento ocorre de forma

abrupta no ponto de pico de ruptura (LADE e KIM, 1988a).

a) Comportamento elástico

As deformações elásticas são calculadas a partir da Lei de Hooke generalizada,

utilizando o módulo de descarregamento/recarregamento definido pela Equação 2.13, para a

versão 1988 do modelo, e, para a versão 1995:

2

1 2Di a 2

a a

I I1E Mp 6

p 1 2 p

(2.22a)

ou

2

i 1 2D

2

a a a

E I I1log log M log 6

p p 1 2 p

(2.22b)

onde iK , n, M e são constantes do material determinadas dos resultados de ensaios

convencionais de compressão triaxial executados sob diversos níveis de tensão de

confinamento. Pa é a pressão atmosférica expressa na mesma unidade de σ3. O coeficiente de

Poisson () é geralmente assumido constante, com valores típicos determinados com base no

tipo de solo investigado, variando geralmente entre zero e meio. I1 e I2D são, respectivamente,

o primeiro invariante do tensor de tensões e o segundo invariante do tensor de tensões

desviador, definidos como:

1 x y zI (2.23)

18

2 2 2 2 2 2

2D x y y z z x xy yz zx

1I

6

(2.24)

b) Critério de ruptura

No espaço das tensões principais, o critério de ruptura tem a forma parecida com uma

bala assimétrica com o ápice pontiagudo na origem dos eixos de tensão. A superfície de

ruptura é escrita em termos dos invariantes como:

2 m3

1 11

3 a

I I

I p

(2.25)

Em que 𝜂1 e m são parâmetros adimensionais constantes e 𝐼3 é o terceiro invariante do tensor

de tensões definido como:

3 x y z xy yz zx x yz zy y zx xz z xy yxI ( ) (2.26)

A Figura 2.14 ilustra a superfície de ruptura no plano triaxial e octaédrico.

Figura 2.14- Modelo Lade-Kim. Superfície de ruptura: a) no plano triaxial: b) em plano octaédrico (IBAÑEZ,

2003, adaptado de Lade e Kim, 1988a)

A resistência à tração (coesão) é incorporada no modelo trasladando-se a origem dos

eixos de tensão ao longo do eixo hidrostático de um valor 𝑎𝑝𝑎, de tal forma que:

a(ap ) σ σ I (2.27)

em que 𝑰 é a matriz identidade, a é uma constante adimensional e 𝜂1 e m são parâmetros de

ruptura.

19

c) Função potencial plástico

Um dos mais importantes componentes de um modelo constitutivo é a função

potencial plástico, G(). Ela é a base para a derivação da lei de fluxo plástico (Equação 2.5)

que estabelece a relação entre tensões e incrementos de deformações plásticas para o material

em questão.

Na teoria da plasticidade clássica usualmente considera-se o fluxo associado, ou seja, a

função potencial plástico G() sendo igual à função de plastificação F(), porém para

materiais friccionais há claras evidências de que a estas funções não coincidem, ou seja, tem-

se um fluxo não associado (LADE e KIM, 1988a).

A função potencial plástico G() é expressa em termos dos invariantes de tensões

(Figura 2.15). G() descreve uma superfície no espaço das tensões na qual os vetores de

incremento de deformação plástica são perpendiculares (LADE e KIM, 1988a), de acordo

com a Equação (2.28).

. Figura 2.15 - Potencial plástico no modelo de Lade-Kim. a) em plano octaédrico: b) No plano triaxial (IBAÑEZ,

2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a)

3 2

1 1 11 2

3 2 a

I I IG( )

I I p

σ (2.28)

em que

2 xy yx yz zy zx xz x y y z z xI ( ) (2.29)

e

1.27

1 0.00155m (2.30)

20

Onde 2I é o segundo invariante do tensor de tensões e 2 e são parâmetros plásticos. m é o

parâmetro que está relacionado à curvatura da superfície de ruptura, 1 controla a forma entre

arredondada e triangular, 2 controla a interseção com o eixo hidrostático e μ determina a

curvatura dos meridianos.

Para baixos níveis de tensão, as seções transversais têm formato aproximadamente

circular e com o aumento dos níveis de tensão em direção à ruptura, gradualmente as

superfícies potencial plástico mudam da forma circular para triangular arredondada.

d) Critério de plastificação e leis de trabalho de endurecimento e amolecimento

As superfícies de plastificação estão intimamente associadas com, e derivadas de

superfícies de trabalho plástico constante, como visto em Lade e Kim (1988a). A função de

plastificação, F(), é expressa da seguinte forma:

p p pF( ) f ( ) f (W ) 0 σ σ (2.31)

Onde fp′ é uma função do nível de tensão dado por:

h3 2

q1 1 1p 1

3 2 a

I I If e

I I p

(2.32)

Sq

1 (1 )S

(2.33)

n

1

fS

(2.34)

m3

1 1n

3 a

I If 27

I p

(2.35)

em que α e h são parâmetros de plastificação. Os valores de q 0 durante compressão

isotrópica, 0 q 1 para estados com tensões de desvio e q 1 na ruptura.

A superfície de escoamento assim definida se assemelha a uma lágrima no espaço de

tensões, com seção transversal triangular suavemente arredondada, contínua para todos os

pontos do espaço à exceção da origem (Figura 2.13b).

21

fp′′ é uma função do modelo plástico definida para a fase de endurecimento, como:

11

p''

p

a

W1f

D p

(2.36)

em que

p

h (2.37)

e

p

1

cD

(27 3)

(2.38)

onde c e p são os parâmetros de endurecimento. O trabalho plástico, Wp, para um estado de

tensão sobre o eixo hidrostático é dado por:

p

1p a

a

IW cp

p

(2.39)

Com o aumento do trabalho plástico, a superfície de plastificação isotrópica infla até o

ponto de tensão alcançar a superfície de ruptura (LADE e KIM, 1988a). A relação entre F( )σ

e pW é descrita por uma função de crescimento monotônico cujo gradiente decresce com o

aumento do trabalho plástico, como mostrado na Figura 2.15b.

Para amolecimento a F( )σ deflete isotropicamente de acordo com a função de

decaimento exponencial:

p aB(W p )''

pf Ae

(2.40)

Na qual A e B são constantes positivas a serem determinadas com base no gradiente

da curva de endurecimento no ponto de pico de ruptura, como indicado na Figura 2.16.

p a picoB(W p )'

p picoA f e (2.41)

22

''

p

'

p p pico

a end.pico

df 1B

W (f )d

p

(2.42)

Figura 2.16 - Esquema das curvas de endurecimento e amolecimento no modelo de Lade-Kim (IBAÑEZ, 2003,

adaptado de LADE e KIM, 1988a)

O incremento de trabalho plástico pode ser determinado por diferenciação das

equações de endurecimento (Equação 2.36) e amolecimento (Equação 2.40). Para

endurecimento, tem-se:

'

p a p pdW Dp f df (2.43)

e para amolecimento tem-se:

1

p a

1dW p dF( )F( )

B

σ σ (2.44)

Sendo dF( )σ negativa durante amolecimento.

Para possibilitar a obtenção automática dos parâmetros do modelo Lade-Kim (1988a,

1988b), o programa computacional de calibração LKIMCAL (NOGUEIRA, 1998) foi

desenvolvido a partir de um arquivo em formato .txt contendo os dados relativos aos ensaios.

A Figura 2.17 apresenta a sequência de passos seguida pelo programa para a obtenção dos

parâmetros.

23

Figura 2.17 – Fluxograma esquemático do programa LKIMCAL (NOGUEIRA, 1998)

2.3 Modelagem Numérica

A Figura 2.18 apresenta o chamado triângulo de Burland (AIRES, 2006) que ilustra os

processos associados com a obtenção de um modelo físico conceitual para um determinado

fenômeno físico dentro da engenharia geotécnica.

Este triângulo mostra que a engenharia geotécnica consiste em três pontos chaves: o

perfil do terreno, o comportamento do solo e a modelagem; estando todos estes pontos

interligados. O perfil do solo envolve a caracterização do local, o comportamento do solo, por

sua vez, abrange os ensaios de campo e de laboratório, enquanto que a modelagem pode se

apresentar tanto como física quanto conceitual. Todos estes pontos estão ligados pelo

empirismo e pela experiência (AIRES, 2006).

24

Figura 2.18 - Triângulo de Burland (AIRES, 2006 modificado de KRAHN, 2004)

De uma forma geral, modelos matemáticos, normalmente representados por equações

diferenciais parciais, descrevem, considerando algumas hipóteses simplificadoras, fenômenos

físicos que a depender da sua natureza podem ser extremamente complexos. Questões

relacionadas com a dimensão do problema, a não linearidade constitutiva, a influência do

tempo e outras, podem conduzir a modelos matemáticos cuja solução só se torna possível de

forma aproximada através da adoção de alguma metodologia numérica.

Assim, a modelagem numérica pode ser entendida como uma ferramenta que viabiliza

a solução, ainda que aproximada, de modelos matemáticos que representam de forma

simplificada um dado fenômeno físico.

A partir de um modelo numérico é possível obter-se um modelo computacional que

permitirá, de forma automática, a realização de várias simulações numéricas, ou seja,

variando-se as condições de contorno e iniciais, as propriedades físicas e dimensões, pode-se

obter diferentes respostas para um mesmo fenômeno físico. Assim, pode-se dizer que além de

permitir um melhor entendimento de um fenômeno físico, o uso de simulações numéricas é,

sobretudo, relevante em estudos que envolvam aspectos de segurança, de riscos ambientais e

de perdas de vidas, bem como prejuízos financeiros, a exemplo de estudos com contaminantes

e rupturas de estruturas.

Neste trabalho adota-se o método dos elementos finitos (MEF) como método

numérico. Este método caracteriza-se por transformar, através de técnicas de discretização, o

sistema de equação diferencial que representa um dado problema físico, em um sistema de

equação algébrica (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 1989 e BATHE, 1992). Através deste

25

método, o domínio do problema é discretizado em subdomínios (elementos finitos) onde as

equações de equilíbrio, ou de governo do problema, são integradas. Várias formulações

podem ser encontradas na literatura em função do modelo matemático que se deseja

aproximar.

Nesse trabalho será utilizada uma formulação acoplada, em termos de deslocamento e

poro pressão, apresentada por Nogueira, Azevedo e Zornberg (2009) para a análise tensão

versus deformação com acoplamento de fluxo e deformação relacionada com a construção de

uma aterro.

De uma forma sucinta o sistema de equação algébrico com base no MEF que

representa o problema do acoplamento hidromecânico em meios geológicos é dado por:

ut

Tp

ˆ

ˆt

RK C u

RC H p (2.45)

onde

K B D Bt uT

t uT

v

dV , (2.46)

é a matriz de rigidez,

C B mN u p dV

V

, (2.47)

é a matriz de acoplamento,

H B k B pT

wp

V

dV1

, (2.48)

é a matriz de fluxo, onde para um problema bidimensional,

xx xy

yx yy

k k

k k

k , (2.49a)

onde

23

21xx senkcoskk , (2.49b)

26

23

21yy cosksenkk , (2.49c)

cossen)kk(kk 31yxxy , (2.49d)

3 k 1k F k (2.49e)

k1 e k3 são os coeficientes de permeabilidade principais maior e menor e ângulo formado

entre a direção x e a direção principal maior e Fk é o fator de anisotropia. t é o incremento

de tempo, é a marcha no tempo adotada, mT 1 1 1 0 , B Nu u u e B Np p p ,

são as matrizes que relacionam, respectivamente, deformação com os deslocamentos nodais e

gradiente hidráulico com as poro pressões nodais, e Nu e Np são matrizes que contêm as

funções de interpolação do deslocamento e poro pressão. ˆ

ˆ

ud

pé o vetor de

deslocamento e poro pressão e u

p

RF

Ré o vetor de incremento de carga.

uR e pR são definidos respectivamente pelas Equações 2.50 e 2.51 e representam

o incremento de força externa e a variação de volume aplicadas no passo corrente.

u T B R F F F (2.50)

p n nˆt R Q Q Hp (2.51)

As parcelas ˆ TC u e ˆt H p representam, respectivamente, as variações

volumétricas devido ao incremento de tensão efetiva e à variação de poro pressão ocorrida no

intervalo de tempo t .

Numa situação em que o nível d'água permanece constante, o incremento de fluxo Q

é nulo e o vetor pR é reduzido a p n nˆ R Q Hp . Na condição de fluxo permanente, por

exemplo, no final do adensamento, esta parcela se anula.

O sistema de equação representado pela Equação 2.45 foi implementado no programa

computacional denominado ANLOG (Análise Não Linear de Obras Geotécnicas). Este

programa foi inicialmente desenvolvido na PUC-Rio por Zornberg (1989). Em seguida, ele

27

foi generalizado para análises de problemas de geotécnicos envolvendo aterros e escavações,

com acoplamento de fluxo e deformação por Nogueira (1992, 1998).

Desde 1998, outras versões foram desenvolvidas e verificadas através da análise de

problemas com solução analítica eou semianalítica encontrada na literatura. São elas:

Versão 2000, desenvolvida por José Christiano Machado Jr., aluno do curso de mestrado em

Geotecnia do PROPEC/UFOP para análise de problemas de fluxo em meio poroso não

saturado;

Versão 2003, desenvolvida por Anderson Resende Pereira, aluno do curso de mestrado em

Geotecnia do PROPEC/UFOP para análise de problemas mecânicos em equilíbrio estático de

estruturas de solos reforçado;

Versão 2004, desenvolvida por Marcelo Furtado Pinto, o aluno do curso de mestrado em

Geotecnia do PROPEC/UFOP, para análise acoplada associada com a variação do nível

d´água em obras de terra;

Versão 2005, desenvolvida por Marco Antônio Boareto Silva, aluno do curso de mestrado

em Geotecnia da UFV, para análise tensão deformação tridimensional linear elástica;

Versão 2006, desenvolvida por Rodrigo Rodrigues Vieira de Oliveira, o aluno do curso de

mestrado em Geotecnia do PROPEC/UFOP, para análise elastoplástica, considerando o

modelo Mohr-Coulomb modificado, de estruturas de solos reforçados;

Versão 2009, desenvolvida por Kuo-Hsin Yang, aluno de doutorado da UT-Austin, para

análise elastoplástica, considerando o efeito de amolecimento, de estruturas de solos

reforçados;

Versão 2010, desenvolvida por Nilthson Norena Valverde, aluno do curso de mestrado em

Geotecnia da PUC-Rio, o qual generalizou os modelos de comportamento elastoplásticos para

a condição de deformação tridimensional;

Versão 2014, desenvolvida por Jefferson Tales Simão, aluno curso de mestrado em Lavra de

Minas do PPGEM/UFOP, o qual introduziu o modelo elástico perfeitamente plástico com

fluxo associado de acordo com o critério de ruptura de Hoek-Brown.

O ANLOG roda numa plataforma Windows e utiliza o programa MTOOL que foi

desenvolvido pelo grupo de tecnologia em computação gráfica da PUC-Rio (TecGraf®) como

pré e pós processadores gráficos. O ANLOG tem sido escrito em linguagem de programação

28

FORTRAN 90, é organizado em módulos, e apresenta uma estrutura que permite a simulação

de processos construtivos envolvendo aterros (em condições geométricas bi e tridimensionais)

e escavações (em condições geométricas bidimensionais).

O ANLOG pode ser usado na análise de problemas sem ou com acoplamento de fluxo

e deformação (em condições saturadas); na análise de problemas de fluxo em meio poroso

saturado e não saturado; na simulação de problemas mecânicos em condições de tensão plana,

deformação plana, axissimétrica e tri-dimensional; e, na simulação de problemas acoplados

em condições de deformação e fluxo planos.

Foram implementados no ANLOG os seguintes elementos finitos: elementos

unidimensionais (linear e quadrático); elementos planos triangulares e quadrangulares (linear

e quadrático); elementos sólidos (linear e quadrático); elementos de interface de espessura

nula e elementos específicos para reforço; e, elementos finitos para análises acopladas:

elementos planos (triangulares e quadrangulares).

Com relação aos modelos constitutivos, encontram-se implementados no ANLOG:

modelos constitutivos para solos: elásticos (Linear e Hiperbólico), elastoplásticos (CamClay

Modificado, Lade 77, Lade & Kim, Lade & Kim modificado) e elásticos perfeitamente

plástico (Mohr-Coulomb; Drucker&Prager e Hoek-Brown, originais e modificados); modelos

constitutivos para reforços: elástico linear e elástico perfeitamente plástico von Mises;

modelos constitutivos para interface solo-reforço: elástico linear e elástico perfeitamente

plástico baseado no critério de Coulomb; e, modelos constitutivos para fluxo não saturado:

exponencial, van Genuchten, Fredlund & Xing, Brooks & Corey, e ainda, interpolação linear

e por spline cúbica de dados de ensaios.

Com relação aos algoritmos de solução de sistema de equação, encontram-se

implementados no ANLOG: algoritmo puramente incremental; algoritmo incremental-

iterativo (Newton-Raphson); e, algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson) incluindo

a estratégia de incrementos automáticos de cargatempo.

Com relação aos algoritmos de integração de tensão, encontram-se implementados no

ANLOG: algoritmos de integração de tensão puramente explícitos; algoritmos de integração

de tensão puramente explícitos com sub-incremento; e, algoritmos de integração de tensão

explícitos com sub-incremento e controle do erro na avaliação das tensões.

29

3 ESTUDO DE CASO

Esse capítulo apresenta um estudo do processo de construção de um depósito de

rejeito de minério de ferro analisado por Rezende (2013). O estudo passa pela descrição dos

materiais constituintes desse depósito, pela obtenção dos parâmetros dos modelos

constitutivos adotados; e pela simulação via MEF do processo construtivo da barragem.

3.1 O depósito de rejeito

A disposição do rejeito da mineração de ferro descrita por Rezende (2013) era

realizada de forma que os rejeitos arenosos e finos (lama) eram dispostos em reservatórios

específicos. No reservatório do Dique 1, eram dispostos os rejeitos de natureza arenosa na

forma de um empilhamento drenado e, no reservatório do Dique 2, foi prevista a disposição

da lama. Na Figura 3.1, tem-se a visualização dos Diques 1 e 2. Os diques foram construídos

numa região de vale onde o perfil geológico do local indicava uma fundação com solo

saprolítico de espessura média igual a 40 m.

Figura 3.1 - Localização da área de estudo, sem escala (Modificado de REZENDE, 2013)

O depósito de rejeito foi construído hidraulicamente após a construção do Dique 1,

denominado nesse trabalho de dique de partida. A Figura 3.2 apresenta a curva de enchimento

do reservatório.

Arenoso Fino

30

Figura 3.2 - Curva de enchimento do reservatório (REZENDE, 2013)

O dique de partida com 40 metros de altura, tal como ilustrado na Figura 3.3, foi

construído em aterro homogêneo de solo saprolítico compactado. Sua crista foi posicionada

na cota 830m com 16 m de largura e aproximadamente 260m de extensão. O sistema de

drenagem, inicialmente usado, consistia de um pequeno tapete no dique de partida e um tapete

posicionado à montante desse dique. O talude de montante e o de jusante do dique possuíam

respectivamente inclinação igual a 1V:1,5H e 1V:2H. A largura da berma era igual a 5m e a

altura do banco igual a 10m.

Figura 3.3 - Seção esquemática da barragem (REZENDE, 2013)

O tapete drenante de 120 m de comprimento, tal como ilustrado nas Figuras 3.3 e 3.4,

foi construído na cota 826 m. Ele apresenta um núcleo de brita 1 (um) com 50 cm de

espessura e transições de brita 0 (zero) e areia com espessuras de 30 cm. Esse tapete possuía

um sistema de descarga constituído por 27 tubos dreno flexíveis, denominado cananetes, que

atravessavam o dique em solo compactado, descarregando as vazões captadas em uma

tubulação de coleta situada na berma da cota 820 m do dique de partida.

31

Figura 3.4 - Vista do tapete drenante e dos cananetes da barragem (REZENDE, 2013)

Após o enchimento do reservatório e antes do primeiro alteamento, foi feito um

reforço composto por uma berma de blocos no talude de jusante com cota final na El. 820m,

tal como pode ser observado na Figura 3.3.

3.2 Caracterização geotécnica do rejeito da mineração de ferro

As características geotécnicas do rejeito de mineração de ferro lançado no Dique 1

foram investigadas por Rezende (2013) com base em ensaios de caracterização, triaxiais

convencionais, edométricos e de permeabilidade.

Resultados de ensaios de caracterização indicaram, para o rejeito uma densidade real

dos grãos (Gs) de 2.96 (valor médio). A análise da curva granulométrica indica uma areia fina

siltosa com partículas no intervalo de 0.01 mm a 0.30 mm. Os índices de vazios máximos

(emax) e mínimos (emin) médios foram da ordem de 1.0 e 0.5, respectivamente.

Uma campanha de ensaios triaxiais foi realizada com amostras indeformadas obtidas

in situ de acordo com as localizações indicadas na Figura 3.5 e congeladas imediatamente

após a amostragem (Figura 3.6).

32

Figura 3.5 - Localização dos pontos de amostragem no depósito de rejeitos (Modificado de REZENDE, 2013)

Figura 3.6 - Amostra de rejeito congelada (REZENDE, 2013)

Vinte ensaios triaxiais CID (ensaio adensado isotropicamente, saturado e drenado

durante o cisalhamento) foram realizados tal como sugerido por Head (1986) em quatro

tensões confinantes iguais a 75 kPa, 150 kPa, 300 kPa e 550 kPa com as amostras congeladas

obtidas nos cinco pontos de amostragem indicados na Figura 3.5.

A seguinte nomenclatura é adotada para identificação das amostras: a sequência de um

código de duas letras iniciais correspondentes ao Dique 1, com três algarismos subsequentes

representando a distância do ponto de coleta ao eixo da crista ao quarto dique de alteamento, e

os três últimos números representam a tensão confinante do ensaio triaxial. Exemplificando

essa sequência, o número D1-010-075 significa: estrutura do Dique 1, amostra coletada a 10

m da crista do quarto dique de alteamento e ensaiada com tensão de confinamento de 75 kPa.

A Tabela 3.1 apresenta o índice de vazios inicial (e00) e a compacidade relativa (CR)

dos corpos de prova utilizados nos ensaios triaxiais. Nesta tabela ainda é apresentado o

33

comportamento do corpo de prova em termos de deformação volumétrica observada na fase

de cisalhamento de cada ensaio.

Tabela 3.1 - Estado de compacidade dos corpos de prova.

Posição 3 e00 CR1 Estado2 Comportamento

D1-000

75 0.61 88% Compacto Dilata




D1-010

75 0.95 19% Fofo Contrai




D1-043

75 0.83 44% Mediano Dilata


300 0.87 37% Mediano Contrai


D1-076





D1-110



300 0.90 30% Fofo Dilata

550 0.92 26% Fofo Dilata

Vale ressaltar que o depósito de rejeito era predominantemente composto por material

areno siltoso de formato angular, devido ao processo de britagem dos grãos, entretanto

especificamente o material do ponto D1-010 era composto, no momento da amostragem, por

material silto arenoso. Isto se dá devido à aleatoriedade na disposição dos rejeitos no depósito.

A Figura 3.7 apresenta a variação dos índices de vazios para os diferentes corpos de

provas retirados das diferentes localizações. Como pode ser observado, metade das amostras

sofreu contração (C) e a outra metade dilatou (D) durante o ensaio triaxial. Nota-se que os

quatro ensaios abaixo da linha verde (índice de vazios médio igual a 0.75) se referem às

amostras retiradas do dique compactado. No entanto, as seis amostras com índice de vazios

maiores que 0.80 também apresentaram comportamento dilatante. O comportamento dilatante

1 Dr = (e00-emin)/(emax-emin) 2 Fofo - Dr ≤ 33%. Mediado – 33% < Dr < 66%. Compacto - Dr ≥ 66%

34

pode ser explicado pelo tipo de arranjo, forma angulosa das partículas e imbricamento

suficiente para gerar dilatação (REZENDE, 2013). Importante observar que todas as amostras

com comportamento contrativo têm índice de vazios igual ou superior a 0.76.

Figura 3.7 - Comportamento de dilatância e de contração do rejeito arenoso com o índice de vazios

As amostras D1-043, D1-076 e D1-110 não apresentaram um comportamento, em

termos de deformação volumétrica compatível com o seu estado de compacidade, de acordo

com a teoria da mecânica dos solos clássica. Isto ressalta a complexidade do material que

compõe o rejeito.

Serão utilizados nesse trabalho, para fins de obtenção dos parâmetros constitutivos, os

resultados dos ensaios triaxiais das amostras D1-000 e D1-010, cujas curvas tensão

desviadora 1 3( ) versus deformação axial ( a ) e deformação axial ( a ) versus

deformação volumétrica ( v ) são apresentados na Figura 3.8.

A escolha pelo ponto D1-010 se dá com o intuito de simular a construção do depósito

com o material de comportamento mais crítico em termos de propriedades de permeabilidade

e resistência, uma vez que ele é o único com composição silto arenosa.

000-150

000-75000-550

000-300

076-150043-150

043-75 110-75

110-300110-550

076-300

076-075076-550

043-300 043-550

110-550010-150 010-075

010-550010-300

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Índ

ice

de

Vaz

ios

Nat

ura

l

Dados

Dilata

Contrai

Média D

Média C

35

(a) Dique (b) Rejeito

Figura 3.8 - Resultados dos ensaios triaxiais

3.3 Obtenção dos Parâmetros Constitutivos

A partir de agora a denominação das amostras D1-000 e D1-010 será substituída por

‘dique’ e ‘rejeito’, respectivamente. O passo a passo até a obtenção dos grupos de parâmetros

otimizados será apresentado em tópicos para facilitar a compreensão e impor uma sequência

cronológica às etapas.

a. Acesso ao banco de dados (relatório de ensaio)

b. Montagem de planilha com os dados dos ensaios triaxiais

c. Análises dos resultados (curvas, gráficos e tabelas)

d. Tratamento dos dados

e. Obtenção dos parâmetros constitutivos de acordo com cada modelo (etapa de calibração)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

1-

3(k

Pa

)

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0

v(%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1-

3(k

Pa

)

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

v(%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

36

f. Previsão das curvas tensão versus deformação e deformação axial versus deformação

volumétrica (etapa de verificação)

g. Obtenção de novo conjunto de parâmetros via tentativa e erro.

Como alguns pontos originais dos ensaios triaxiais mostravam-se inconsistentes (não

havia um comportamento monotônico); e ainda, como havia uma concentração de pontos nos

primeiros níveis de deformação (inferior a 1%) que prejudicavam a compreensão real do

comportamento do material, optou-se por eliminar os pontos anômalos e realizar uma

translação de eixo para os valores a partir de 1% de deformação para o processo de obtenção

dos parâmetros dos modelos constitutivos (Figura 3.9).


Figura 3.9 - Resultados tratados dos ensaios triaxiais

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

1-

3(k

Pa

)

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0

v(%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1-

3(k

Pa

)

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

v(%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

37

3.3.1 Parâmetros do Modelo Hiperbólico

Uma metodologia para o cálculo dos parâmetros elásticos seguindo as orientações de

Duncan e Chang (1970) apresentadas por Gerscovich (2005) foi utilizada. Neste caso,

adaptada com dois pontos: um a 70% e o outro a 95% da resistência do pico (item 2.2.3).

Nas Tabelas 3.2 e 3.3 e Figuras 3.10 a 3.11 são mostradas as etapas para a obtenção

dos parâmetros K e n modelo hiperbólico (Equação 2.13).

Tabela 3.2 - Valores de εa e εa/(σ1-σ3) para o dique e o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx.

Material 3 (kPa) (1-3)máx (kPa) (1-3)ref εa (%) εa/(σ1-σ3)

Dique

75 382.9 70% 3.0 1.15E-04

95% 4.4 1.24E-04

150 711.3 70% 2.5 5.26E-05

95% 4.5 6.78E-05

300 1222.6 70% 2.5 2.98E-05

95% 4.5 3.91E-05

550 2061.5 70% 2.5 1.73E-05

95% 4.5 2.27E-05

Rejeito

75 231.5 70% 4.9 3.09E-04

95% 12.8 5.87E-04

150 407.5 70% 4.5 1.57E-04

95% 10.0 2.59E-04

300 774.9 70% 5.0 9.36E-05

95% 11.0 1.50E-04

550 1260.4 70% 6.0 6.87E-05

95% 12.0 1.02E-04


Figura 3.10 - Dispersão de εa e εa/(σ1-σ3) para: (a) o dique e (b) o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx

0 1 2 3 4 5

a (%)

0.0E+000

4.0E-005

8.0E-005

1.2E-004

1.6E-004

a/

( 1-

3)

Dique

D1-000-075D1-000-150D1-000-300D1-000-550

Y = 5.54E-006 * X + 9.89E-005

Y = 7.50E-006 * X + 3.38E-005

Y = 4.68E-006 * X + 1.80E-005

Y = 2.75E-006 * X + 1.04E-005

0 4 8 12 16

a (%)

0.0E+000

2.0E-004

4.0E-004

6.0E-004

a/

( 1-

3)

Rejeito

D1-000-075D1-000-150D1-000-300D1-000-550

Y = 3.52E-005 * X + 0.0001355

Y = 1.86E-005 * X + 7.32E-005Y = 9.48E-006 * X + 4.62E-005

Y = 5.49E-006 * X + 3.56E-005

38

Tabela 3.3 - Valores de log (Ei/pa) e log(σ3/pa) para o dique e o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx.

Material σ3 (kPa) a b Ei (kPa) log(Ei/pa) log(σ3/pa) (σ1-σ3)ult Rf

Dique

75 9.89E-05 5.54E-06 10111.22 2.00 -0.13 1805.05 0.21

150 3.38E-05 7.50E-06 29585.80 2.47 0.17 1333.33 0.53

300 1.80E-05 4.68E-06 55555.56 2.74 0.47 2136.75 0.57

550 1.04E-05 2.75E-06 96153.85 2.98 0.73 3636.36 0.57

Rejeito

75 1.35E-04 3.53E-05 7407.41 1.86 -0.13 283.29 0.82

150 7.33E-05 1.86E-05 13642.56 2.13 0.17 537.63 0.76

300 4.62E-05 9.48E-06 21645.02 2.33 0.47 1054.85 0.73

550 3.57E-05 5.49E-06 28011.20 2.44 0.73 1821.49 0.69

Figura 3.11 - Dispersão de log (σ3/pa) versus log (Ei/pa)

Sendo n igual ao coeficiente linear da reta de regressão linear e K é calculado de

acordo com a Equação 3.1:

aK 10 (3.1)

onde a é o coeficiente angular da reta.

Para a versão do modelo hiperbólico com B constante (Equação 2.20), são necessários

os parâmetros adicionais Kb e m, calculados na Tabela 3.4 e Figura 3.12.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Log (3/pa)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Lo

g(E

i/pa)

Dique

Rejeito

Y = 0.67 * X + 1.9823

Y = 1.11* X + 2.1992

39

Tabela 3.4 - Valores de 3, v, B, log (B/ pa) e log(3/ pa) para o dique e o rejeito.

Material σ3 (kPa) v B Log(B/pa) Log(3/pa)

Dique

75 3.37E-03 22287.1 2.34 -0.13

150 2.87E-03 52330.7 2.71 0.17

300 1.22E-02 24568.2 2.38 0.47

550 1.51E-02 36393.4 2.56 0.73

Rejeito

75 4.51E-03 16624.3 2.22 -0.13

150 7.62E-03 19693.9 2.29 0.17

300 1.37E-02 21925.7 2.34 0.47

550 1.82E-02 30171.7 2.47 0.73

Figura 3.12 - Dispersão de log (B/ pa) versus (σ3/ pa)

Sendo m igual ao coeficiente linear da reta de regressão linear b, Kb é calculado de

acordo com a Equação 3.2:

a

bK 10 (3.2)

onde a é o coeficiente angular da reta.

A Tabela 3.5 apresenta um resumo com os parâmetros do modelo hiperbólico para os

materiais do dique de alteamento e do rejeito.

O programa ANLOG foi usado para simulação numérica dos ensaios triaxiais através

de uma análise axissimétrica. A Figura 3.13 apresenta uma comparação entre as curvas de

laboratório e as curvas obtidas pela simulação numérica. Observa-se uma boa representação

para a curva tensão versus deformação, sobretudo para o rejeito.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Log(3/pa)

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

Lo

g(B

/pa)

Dique

Rejeito

Y = 0.22 * X + 2.35

Y = 0.28 * X + 2.24

40

Tabela 3.5 - Parâmetros constitutivos - modelo não linear elástico

Parâmetro Material

Dique de Alteamento Rejeito

Ki 158.23 98.22

Kur 237.35 245.6

n 1.11 0.60

pa 101.325 101.325

c (kPa) 36.9 23.9

39.5º 31.4º

Rf 0.47 0.75

Kb 223.92 173.94

m 0.90 0.28


Figura 3.13 - Simulação do ensaio triaxial utilizando o modelo hiperbólico para o dique e o rejeito

0

400

800

1200

1600

2000

2400

1-

3(k

Pa)

3.0

2.0

1.0

0.0

-1.0

-2.0

-3.0

v(

%)

75 kPa150 kPa

300 kPa

550 kPa

LabANLOG

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Dique

Hiperbólico

0

200

400

600

800

1000

1200

14001-

3(k

Pa)

4.0

3.0

2.0

1.0

0.0

v(%

)

75 kPa150 kPa

300 kPa

550 kPa

Lab

ANLOG

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Rejeito

Hiperbólico

41

Para as curvas deformação axial versus deformação volumétrica não foram observados

bons resultados. Com relação ao dique, como o modelo hiperbólico não leva em conta o efeito

da dilatância não foi possível a obtenção de uma boa representação das deformações

volumétricas. No que diz respeito ao rejeito, as dificuldades de obtenção de bons resultados

está relacionada às curvas de laboratório que apresentam alta complexidade nos valores de

deformação volumétrica, divergindo daquilo que era esperado pela teoria da mecânica dos

solos clássica para este tipo de material.

3.3.2 Parâmetros do Modelo Lade-Kim

Para o modelo de Lade-Kim, utilizou-se o programa “Calibração” desenvolvido em

linguagem Fortran.f90 (NOGUEIRA, 1998). Como dados de entrada foram fornecidas as

tensões de confinamento (3) e desviadora (1-3), as deformações axiais (a) e volumétricas

(a), para a fase de compressão isotrópica e de compressão uniaxial, os parâmetros elásticos

Kur, n, o coeficiente de Poisson e a pressão atmosférica. O programa “Calibração” fornece o

demais grupo de parâmetros necessários para a utilização do modelo de Lade-Kim, tal como

mostrado na Figura 3.14.

Figura 3.14 - Parâmetros iniciais do modelo de Lade-Kim oriundos do programa “calibração” para o dique

Os dados apresentados na Figura 3.14 foram tomados como iniciais. A partir deles foi

feita uma otimização por tentativa e erro de modo a se obter um conjunto de parâmetros que

forneçam uma melhor previsão do comportamento do material. Variando-se os parâmetros

mais influentes para estas amostras (,2, h, c, p e ) escolheram-se aqueles que em conjunto

resultaram em curvas mais próximas às obtidas experimentalmente. Após as diversas

variações, houve mudança apenas no parâmetro do dique de alteamento (de 3.40 para 2.39).

As amostras referentes ao dique de alteamento apresentavam softening, portanto o

parâmetro b’ do modelo de Lade-Kim também precisou ser encontrado. Este parâmetro pode

variar de zero a um e o seu valor é adotado após a observação da melhor representação do

comportamento do material através das curvas dos ensaios experimentais.

42

No programa ‘Calibração’ para a simulação do softening os parâmetros elásticos Ki e n

são substituídos por M e , calculados de acordo com a Equação 2.23. Na Tabela 3.6 e na

Figura 3.15 são mostradas as etapas para o cálculo desses parâmetros.

Tabela 3.6 - Parâmetros necessários para o cálculo de M e

y log (y) x log(x)

10111.2 2.00 4.93 0.69

29585.8 2.47 19.72 1.29

55555.6 2.74 78.90 1.90

96153.8 2.98 265.18 2.42

Plota-se a curva de log(y) versus log(x) a fim de obterem-se os coeficientes angular e

linear da linha de tendência desses pontos.

Figura 3.15 - Gráfico para o cálculo dos parâmetros M e do dique

Sendo igual ao coeficiente linear e M é calculado de acordo com a Equação 3.3:

aM 10 (3.3)

onde a é o coeficiente angular da reta. A Tabela 3.7 apresenta um resumo com os parâmetros

do modelo Lade-Kim para os materiais do dique de alteamento e do rejeito.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Log(x)

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Log

(y)

Y = 0.555 * X + 1.6693

43

Tabela 3.7 - Parâmetros constitutivos - modelo Lade-Kim

Parâmetro Material

Dique de Alteamento Rejeito

Kur 237.40 240.20

n 1.11 0.67

0.33 0.33

pa 101.325 101.325

m 0.27 0.23

99.74 39.15

c 0.00358 0.107

p 0.43 2.79

2 -3.22 -3.17

2.39 2.47

h 0.18 0.96

0.39 1.13

b’ 0.5 -

M 46.67 -

λ 0.56 -

Na Figura 3.16 apresentam-se as curvas, diferença de tensão versus deformação axial e

deformação axial versus deformação volumétrica, obtidas numericamente e as observadas em

laboratório para o dique de alteamento e o rejeito. Observa-se que para o dique os resultados

da simulação retrataram uma concordância entre o ensaio triaxial utilizando o modelo Lade-

Kim e a curva de ensaio de laboratório para uma deformação de até 8%, entretanto para o

rejeito este modelo não representou bem os resultados obtidos em laboratório.

44


Figura 3.16 - Simulação do ensaio triaxial utilizando o modelo Lade-Kim

0

400

800

1200

1600

2000

24001-

3(k

Pa)

2.0

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

-8.0

-10.0

-12.0

v(%

)

75 kPa

150 kPa300 kPa

550 kPa

Lab

ANLOG

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Dique

Lade-Kim

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1-

3(k

Pa)

6.0

4.0

2.0

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

v(%

)75 kPa150 kPa

300 kPa

550 kPa

Lab

ANLOG

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 (%)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Rejeito

Lade-Kim

45

3.4 Simulação numérica da construção do depósito de rejeito

A seção transversal de maior altura do Dique 1 foi adotada como representativa para o

estudo em estado plano de deformação. O depósito tem uma altura final de 110 m e 14 diques

de alteamento com 5 m de altura cada. Para fins de simulação numérica foram adotados 6

(seis) materiais diferentes: (a) dique de partida, (b) tapete drenante, (c) reforço, (d) dique de

alteamento, (e) depósito de rejeito e (f) fundação, tal como indicados na Figura 3.17. O peso

específico e os parâmetros de permeabilidade desses materiais são mostrados na Tabela 3.8.

Figura 3.17 - Materiais constituintes do depósito de rejeitos

Tabela 3.8 - Peso específico e parâmetros de permeabilidade dos materiais envolvidos na simulação numérica.

Material kN/m3 k (m/s) Anisotropia

(Fk=ky/kx)

Dique de partida 17.52 5.3x10-10 0.2

Reforço 25.50 1.0x10-2 1.0

Tapete drenante 20.00 1.0x10-3 1.0

Dique de alteamento 20.29 2.5x10-6 0.3

Depósito de rejeito 17.54 3.3x10-6 0.3

Fundação 18.02 2.0x10-10 1.0 Fonte: Rezende, 2013

Os diques de alteamento e suas respectivas camadas de rejeito foram considerados

como uma única etapa de aterro. A construção do depósito foi executada em 20 etapas tal

como ilustrado na Figura 3.18. A primeira etapa (ET1) consiste da construção do dique de

partida. As etapas ET2 a ET5 consistem no enchimento da base do depósito e na instalação do

tapete drenante. A etapa 6 (ET6) consiste na construção de um reforço de enrocamento a

jusante do dique de partida. As etapas ET7 a ET20 consistem na construção dos diques de

alteamento e suas respectivas camadas de rejeito.

x= 0 x=975

a

b

e

) c

d

El.0 m

El. 40 m

El. 105 m El. 110 m

El. 36 m El. 30 m

...

f

)

46

Figura 3.18 - Definição das etapas de construção e dos pontos de controle

A Figura 3.18 também apresenta alguns pontos de controles definidos para análise dos

resultados. Os pontos EM e EJ, no interior do dique de partida, são adotados para acompanhar

a trajetória de tensão efetiva e os excessos de poro pressão. O ponto T na extremidade inferior

do tapete drenante é adotado para acompanhar a evolução no tempo dos excessos de poro

pressão e do deslocamento vertical no interior do aterro. O ponto D1, na crista do dique de

partida, é adotado para acompanhar a evolução no tempo do deslocamento vertical do dique

de partida. Três seções verticais, S1 a S3, passando pelos pontos D1 a D3, respectivamente,

nas cristas do dique de partida, do 5º dique de alteamento e do pé do 14º dique de alteamento,

são adotadas para avaliar os deslocamentos horizontais no interior do dique de partida e do

aterro. Uma seção horizontal, S4, que cruza o depósito de uma ponta a outra partindo do

ponto D,1 é adotada para avaliar os deslocamentos verticais no interior do aterro.

Ressalta-se aqui a importância de um projeto de instrumentação contendo medidores

de deslocamentos, superficiais e em profundidade, piezômetros e inclinômetros. A

instrumentação de campo tem um papel fundamental na calibração dos modelos numéricos.

A Figura 3.19 mostra a curva de enchimento, em dias, adotada para o enchimento do

depósito de rejeito adaptada da Figura 3.2. (Rezende, 2013).

Várias análises foram conduzidas para avaliar a influência da presença do dreno na

base do dique de partida, da anisotropia de permeabilidade, da velocidade de construção do

depósito e do modelo constitutivo na geração de excessos de poro pressão, nos campos de

deslocamentos e de tensões efetivas.

A Tabela 3.9 apresenta o conjunto de parâmetros elásticos adotados, para a análise

linear elástica. As análises não linear elástica e elastoplástica foram realizadas considerando-

se os parâmetros indicados nas Tabelas 3.5 e 3.7, respectivamente.

ET20

ET19ET18

ET17ET16

ET15ET14

ET13ET12

ET11ET10

ET9ET8

ET7

ET6

ET2 a ET5

ET1 EM EJ

TS1

S2

D1

D2S3

32 m

16 m

D3

S4

47

Figura 3.19 - Curva de enchimento do depósito de rejeitos (em dias)

Tabela 3.9 - Parâmetros constitutivos - modelo linear elástico

Material E (MPa)

Dique de alteamento 30 0.33

Rejeito 22 0.33

Dique de Partida 15 0.33

Reforço 50 0.33

Tapete Drenante 60 0.33

Fundação 165 0.33

Fonte: Rezende, 2013

Para a construção da malha de elementos finitos utilizou-se o gerador de malhas Mtool

– Two-dimensional Mesh Tool, versão 4.0, desenvolvido através do convênio TecGraf/Puc-

Rio – CENPES/PETROBRAS. As análises realizadas no ANLOG foram conduzidas num

computador com processador Intel Core I5 com 32Gb de memória RAM e foi adotada a

malha indicada na Figura 3.22 constituída por 914 elementos Q4Q8 e 2945 pontos nodais.

Figura 3.20 - Malha com 914 elementos Q4Q8 e 2945 pontos nodais

0 500 1000 1500 2000 2500

Tempo (d)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Alt

ura

(m)

Com dreno

p=0p≠0

p≠0 p≠0

48

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Esse capítulo apresenta os resultados das simulações numéricas da construção do

depósito de rejeito utilizando os modelos Linear Elástico, Hiperbólico e Lade-Kim.

Várias análises foram conduzidas para avaliar a influência da presença do dreno na

base do dique de partida, da anisotropia de permeabilidade, da velocidade de construção do

depósito e do modelo constitutivo na geração de excessos de poro pressão, nos campos de

deslocamentos e de tensões efetivas.

4.1 Influência do dreno

Para se avaliar a influência da presença do dreno no comportamento hidromecânico da

aterro utilizou-se uma análise acoplada (LLACOP=1) adotando-se o comportamento linear

elástico para todos os materiais envolvidos (parâmetros indicados na Tabela 3.9) e a condição

isotrópica (kx=ky) para a permeabilidade. Para a simulação do dreno, aplicou-se a condição de

contorno de excesso de poro pressão nula em 6 (seis) pontos nodais à jusante do dique de

partida (Figura 3.20).

A Figura 4.1 apresenta, ao longo da construção do depósito, a variação, nos pontos

EM e EJ, do coeficiente “ru” que relaciona os excessos de poro pressão em cada etapa e a

tensão total acima do ponto analisado para as hipóteses da presença ou não do dreno.

(a) Ponto EM (b) Ponto EJ

Figura 4.1 - Influência do dreno

Após a finalização da construção do dique de partida na velocidade de construção

adotada (365 dias), os excessos de poro pressão em relação à tensão total são bastante

elevados, com o valor de “ru” chegando próximo à unidade.

Ao longo da construção do depósito as poro pressões mantém-se elevadas e com uma

diferença pequena em relação àquela que já existia no final da construção do dique de partida.

0 4 8 12 16 20

Etapa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ru

Sem drenoCom dreno

0 4 8 12 16 20

Etapa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ru

Sem drenoCom dreno

49

Como pode se observar, a presença do dreno diminui a magnitude do coeficiente “ru”

e sua influência é maior no ponto mais próximo ao dreno (ponto EJ), chegando ao seu

máximo, para este ponto, na etapa seis referente à implantação do reforço à montante do

dique. No ponto EM esse coeficiente é próximo a 1,0 na etapa 9 da construção do depósito

(alteamento do 3º dique de partida), diminuindo o valor da tensão efetiva no dique de partida.

Para esta simulação, o cenário da construção do depósito de rejeito sem a presença do

dreno forneceu valores maiores de excessos de poro pressão, por este motivo esta condição

será adotada na análise seguinte onde será estudado o efeito da anisotropia.

4.2 Influência da anisotropia de permeabilidade

Para avaliar a influência da anisotropia da permeabilidade no comportamento

hidromecânico da barragem foi feita uma análise linear elástica acoplada, diminuindo-se a

permeabilidade na direção vertical no dique de partida, nos diques de alteamento e no rejeito,

adotando-se para a relação ky/kx os valores indicados na Tabela 3.8.

A Figura 4.2 apresenta a variação no tempo do coeficiente “ru” nos pontos EM e EJ

em função da redução da permeabilidade vertical.

(a) Ponto EM (b) Ponto EJ

Figura 4.2 - Influência da variação da permeabilidade vertical

Como pode ser observado na Figura 4.2, o efeito da diminuição da permeabilidade

vertical aumentou a magnitude dos excessos de poro pressão nos dois pontos analisados. Isto

se dá devido dificuldade de dissipação dos excessos de poro pressão aproximadamente três

vezes menor na direção vertical em relação à horizontal paralela ao eixo da crista, como visto

na Tabela 3.8 (ky/kx= 0.3).

Para ambos os pontos, nas condições de saturação, drenagem e anisotropia adotados,

tem-se a perda total da tensão efetiva, ru = 1, durante o alteamento do depósito. Estes valores

0 4 8 12 16 20

Etapa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ru

ky<kx

ky=kx

0 4 8 12 16 20

Etapa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ru

ky<kx

ky=kx

50

de excessos de poro pressão devem ser evitados, pois podem induzir a ruptura da estrutura do

dique de partida.

4.3 Influência da velocidade de construção

Para a análise da influência da velocidade de construção da barragem, foram adotadas

três velocidades v1, v2 e v3, iguais a aproximadamente, 1200, 2400 e 3600 dias,

respectivamente, utilizando-se o modelo linear elástico para todos os materiais, a condição do

dreno entupido e a anisotropia de permeabilidade. A Figura 4.3 mostra a variação do

coeficiente “ru” nas três velocidades para EM e EJ.

(a) EM (b) EJ

Figura 4.3 - Influência da velocidade de solicitação

Como esperado, o coeficiente “ru” apresenta grandezas maiores para velocidades de

construção mais rápidas. O ponto EJ é mais sensível à velocidade de solicitação que o ponto

EM, variando o coeficiente “ru” de 0.6 a 0.9 da etapa mais lenta a mais rápida,

respectivamente. Para o ponto EM, as três velocidades de solicitação, nas condições adotadas,

seriam perigosas devido à diminuição da tensão efetiva no dique de partida causada pelos

excessos de poro pressão muito elevados.

A Figura 4.4 apresenta a evolução no tempo do deslocamento vertical no ponto T1, na

extremidade do tapete drenante, para diferentes velocidades de solicitação. Como pode ser

observado o deslocamento vertical, da ordem de 50 cm, neste ponto não é afetado pelas

velocidades de solicitação adotadas. De acordo com Nogueira (1998) para a geração de

excessos de poro pressão no material constituinte do rejeito ter-se-ia que adotar velocidades

de solicitações tão rápidas que não se enquadram nas velocidades de construção possíveis de

serem realizadas, ou seja, operacionais. Isto se dá devido à sua alta permeabilidade saturada

(0.284 m/dia). Desta forma, pode-se dizer que os rejeitos têm um comportamento drenado ao

longo de todo o processo construtivo do depósito.

0 4 8 12 16 20

Etapa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ru

v1

v2

v3

0 4 8 12 16 20

Etapa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ru

v1

v2

v3

51

Figura 4.4 - Influência da velocidade de solicitação no deslocamento do ponto T

4.4 Influência do modelo constitutivo

Para avaliar a influência do modelo constitutivo foram realizadas análises acopladas

para os modelos Linear Elástico, Hiperbólico e Lade-Kim.

A Figura 4.5 apresenta a isocurva de excessos de poro pressão ao final da construção

do dique de partida. Uma vez que em todas as simulações este dique é construído adotando-se

o comportamento linear elástico, para todas as análises, os excessos de poro pressão ao final

desta etapa foram os mesmos.

Figura 4.5 – Isocurvas de excesso de poro pressão ao final da construção do dique de partida - modelo linear

elástico

Como pode ser observado na Figura 4.5, os excessos de poro pressão no dique de

partida apresentam valores muito elevados, isto devido à velocidade de construção adotada

face ao baixo coeficiente de permeabilidade do material.

A Figura 4.6 apresenta as isocurvas de excesso de poro pressão ao final da construção

do depósito para os três modelos adotados.

0 5 10 15 20Etapa

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

Des

loc

ament

oV

ert

ical

(m)

Linear ElásticoPonto T

v1

v2

v3

0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

558

p (kPa)

52

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.6 – Isocurvas de poro pressão ao final da construção do depósito

Mais uma vez, em função da baixa condutividade hidráulica do material do dique de

partida, não foi observada uma efetiva dissipação dos excessos de poro pressão ao longo do

período de construção do aterro.

Dentre os três modelos, aquele que apresentou maiores excessos de poro pressão no

dique de partida, ao final da construção do depósito, foi o modelo de Lade-Kim, 668 kPa,

enquanto que para o modelo hiperbólico e linear elástico as magnitudes foram de 647 kPa e

628 kPa, respectivamente. No entanto, vale ressaltar que, estes valores correspondem a um

aumento de, no máximo, 16% do excesso de poro pressão gerado durante a construção do

dique (em torno de 558 kPa).

Por sua vez, os rejeitos apresentaram excessos de poro pressão próximos a zero ao

final da construção do depósito, o que demonstra que para as condições adotadas os rejeitos

apresentam comportamento drenado.

0

0.1

150

200

250

300

350

400

450

550

628

p (kPa)

0

0.1

150

200

250

300

350

400

450

550

647

p (kPa)

0

0.1

150

200

250

300

350

400

450

550

668

p (kPa)

53

As Figuras 4.7 e 4.8 apresentam as isocurvas de deslocamento horizontal e vertical,

respectivamente, ao final da construção do depósito para os três modelos.

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.7 – Isocurvas de deslocamento horizontal, ux, ao final da construção do depósito

Percebe-se pela Figura 4.7 que os três modelos apresentam o mesmo padrão de

deslocamento horizontal localizado nas mesmas regiões do depósito. O modelo hiperbólico

apresentou deslocamento máximo da ordem de 1.37 m, seguido pelos modelos Lade-Kim e

linear elástico com magnitudes iguais a 64 cm e 54 cm, respectivamente.

-0.01

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.54

ux (m)

-0.01

0.15

0.20

0.40

0.50

0.70

0.80

0.90

1.10

1.20

1.37

ux (m)

-0.02

0.05

0.10

0.15

0.25

0.30

0.35

0.40

0.50

0.55

0.64

ux (m)

54

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.8 – Isocurvas de deslocamento vertical, uy, ao final da construção do depósito

Nota-se através da Figura 4.8 que os três modelos apresentam o mesmo padrão de

deslocamento vertical localizado nas mesmas regiões do depósito. Os modelos Lade-Kim e

hiperbólico apresentaram praticamente o mesmo valor para o deslocamento máximo, da

ordem de 1.45 m. O modelo linear elástico apresentou deslocamento vertical máximo igual a

1.30 m.

As Figuras 4.9 a 4.11 apresentam as isocurvas de deformação normal nas direções x e

y e as deformações cisalhantes no plano xy no final da construção do depósito para os três

modelos adotados.

-1.30

-1.15

-1.00

-0.90

-0.75

-0.65

-0.55

-0.35

-0.25

-0.15

0.00

uy (m)

-1.45

-1.30

-1.15

-1.00

-0.90

-0.70

-0.60

-0.40

-0.30

-0.15

+0.02

uy (m)

-1.46

-1.30

-1.12

-1.00

-0.80

-0.70

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

+0.01

uy (m)

55

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.9 – Isocurvas de deformação normal na direção x, x, ao final da construção do depósito

Nota-se que o modelo hiperbólico apresentou uma distribuição de deformação

qualitativa e quantitativamente diferente dos modelos linear elástico e Lade-Kim. O modelo

hiperbólico apresentou valores mais elevados de deformação na direção x, chegando a 4%,

por sua vez, o modelo linear elástico foi o que apresentou magnitudes menores.

-0.9

-0.7

-0.6

-0.4

-0.3

-0.2

0.0

+0.1

+0.3

+0.4

+0.6

x (%)

-4.0

-3.5

-2.5

-1.5

-1.0

0.0

+1.0

+1.5

+2.5

+3.5

+4.0

x (%)

-0.9

-0.7

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

+0.2

+0.4

+0.6

+0.8

+1.0

x (%)

56

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.10 – Isocurvas de deformação normal na direção y, y, ao final da construção do depósito

Para a deformação normal na direção y, nota-se que o modelo Lade-Kim apresentou

valores mais elevados, seguido pelos modelos hiperbólico e linear elástico, com deformações

máximas de 6.5%, 6.0% e 5.3%.

-0.2

+0.4

+0.9

+1.5

+2.0

+2.6

+3.1

+3.7

+4.2

+4.8

+5.3

y (%)

-2.0

-1.0

-0.5

-0.0

+1.5

+2.0

+2.5

+3.5

+4.5

+5.0

+6.0

y (%)

-0.2

+0.4

+1.0

+1.5

+2.5

+3.0

+4.0

+4.5

+5.0

+6.0

+6.5

y (%)

57

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.11 – Isocurvas de deformação cisalhante, xy, ao final da construção do depósito

Para a deformação cisalhante ao final da construção do depósito, nota-se que o modelo

Lade-Kim apresentou valores mais elevados, seguido pelos hiperbólico e linear elástico, com

deformações máximas de -6.0%, 4.5% e 2.7%. Vale salientar que na região analisada

predominam deformações cisalhantes positivas utilizando-se o modelo Lade-Kim, ao

contrário dos demais modelos onde a predominância é de deformações negativas.

As Figuras 4.12 a 4.14 apresentam as isocurvas de tensão normal efetiva nas direções

x e y e as tensões cisalhantes no plano xy, respectivamente, ao final da construção do depósito

para os três modelos adotados.

-2.7

-2.2

-1.7

-1.3

-0.8

-0.3

+0.2

+0.6

+1.1

+1.6

+2.0

xy (%)

-4.5

-3.5

-2.5

-2.0

-1.0

0.0

+1.0

+2.0

+2.5

+3.5

+4.5

xy (%)

-6.0

-5.0

-4.0

-3.5

-2.5

-1.75

-1.0

-0.5

+1.0

+1.5

+2.5

xy (%)

58

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.12 – Isocurvas de tensão normal na direção x, x , ao final da construção do depósito

Nota-se através da Figura 4.12 que a análise com o modelo Lade-Kim apresentou

valores mais elevados de tensão efetiva para o rejeito. Entretanto, para o dique de partida nas

três análises, para as condições adotadas, têm-se valores menores que zero para a tensão

efetiva.

-40

40

120

200

300

350

450

550

600

650

763

x (kPa)

-110

40

120

200

300

450

550

650

750

850

989

x (kPa)

-16

100

200

350

500

600

700

850

950

1100

1210

x (kPa)

59

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.13 – Isocurvas de tensão normal na direção y, y , ao final da construção do depósito

Por sua vez, para a tensão efetiva em y, nota-se pela Figura 4.13 que a análise com o

modelo linear elástico apresentou valores mais elevados de tensão efetiva para o rejeito,

enquanto que para o dique de partida nas três análises, para as condições adotadas, têm-se

tensão efetiva nula no dique de partida.

0

150

300

450

600

750

950

1100

1300

1400

1597

y (kPa)

0

150

300

450

600

750

950

1100

1300

1400

1539

y (kPa)

0

150

300

450

600

750

950

1100

1300

1400

1543

y (kPa)

60

a) Linear Elástico

b) Hiperbólico

c) Lade-Kim

Figura 4.14 – Isocurvas de tensão cisalhante no plano xy, xy , ao final da construção do depósito

A partir da Figura 4.14 nota-se que as magnitudes de tensão cisalhantes negativas são

maiores que as positivas para os três modelos adotados e situam-se na parte inferior do

depósito em contato com as condições de contorno impostas de deslocamento horizontal e

vertical nulos na base do depósito na tentativa de simular a fundação ausente na malha

utilizada.

A Figura 4.15 apresenta as isocurvas de razão do nível de tensão (SLR – Stress Level

Ratio) para os modelos hiperbólico e Lade-Kim, uma vez que ambos apresentam critério de

ruptura em sua formulação. O modelo linear elástico não prevê ruptura, por este motivo não

se tem para este modelo as isocurvas de SLR.

-200

-175

-135

-95

-60

-20

+15

+55

+90

+130

+170

xy (kPa)

-250

-200

-175

-150

-100

-75

-40

-5

+30

+60

+100

xy (kPa)

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

-10

+40

+86

xy (kPa)

61

a) Hiperbólico

b) Lade-Kim

Figura 4.15 – Isocurvas de SLR ao final da construção do depósito

A razão do nível de tensão (SLR) relaciona o nível de tensão num determinado ponto e

o nível máximo de tensão definido por um critério de ruptura. Desta forma, se este fator é

igual a 1,0, tem-se a ruptura do mesmo. Como se pode notar na Figura 4.15, para ambos os

modelos, cada um com seu critério de ruptura, a região ocupada pelos rejeitos não sofreria

colapso, estando os seus níveis de SLR a no máximo 0.60 e 0.35 para os modelos hiperbólico

e Lade-Kim, respectivamente.

A região do dique de partida apresenta valor de SLR igual a zero, uma vez que em

todas as simulações o modelo utilizado para a sua simulação foi o linear elástico que, como

dito anteriormente, não prevê ruptura. Portanto, para esta estrutura, o fator SLR não

representa a realidade de campo.

No ponto de controle D1 foram comparados os resultados dos deslocamentos verticais

das análises acopladas para os modelos Linear Elástico, Hiperbólico e Lade-Kim (Figura

4.16), bem como os deslocamentos horizontais das seções S1, S2 e S3 (Figuras 4.17 a 4.19)

ao final da construção do depósito.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.30

0.35

0.40

0.50

0.55

0.60

SLR

0.00

0.01

0.02

0.05

0.08

0.10

0.12

0.15

0.20

0.30

0.35

SLR

62

Figura 4.16 - Deslocamento vertical no ponto D1 ao final da construção do depósito

Os deslocamentos verticais no ponto D1 apresentaram magnitudes maiores para o

modelo hiperbólico (60 cm), seguidos pelos modelo Lade-Kim (50 cm) e Linear Elástico (32

cm).

Figura 4.17 - Variação do deslocamento horizontal na seção S1 ao final da construção do depósito

Como pode ser observados na Figura 4.17, os deslocamentos horizontais máximos ao

final da construção do depósito de rejeitos para a seção S1 apresentam o mesmo perfil para os

três modelos adotados, entretanto, as magnitudes são maiores quando utiliza-se o modelo

Hiperbólico, 60 cm, seguidas pelos modelos Lade-Kim, 52 cm, e Linear Elástico, 37 cm .

0 500 1000 1500 2000 2500Tempo (dias)

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Des

loc

ament

oV

ert

ical

(m)

Hiperbólico

Lade-Kim

Linear Elástico

D1Sem dreno/anisotropia

LLACOP=1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Deslocamento Horizontal (m)

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Pro

fun

did

ade

(m)

Linear ElásticoHiperbólico

Lade-Kim

LLACOP=1ET20

S1 - sem dreno/aniso

63


Por sua vez, a partir da Figura 4.18, percebe-se que na seção S2 os perfis de

deslocamento dos modelos linear elástico e Lade-Kim são os mesmos, entretanto utilizando-

se na análise o modelo hiperfólico esse perfil é distinto, não apresenta uma “barriga” na

região média da seção (em torno de 30 m de profundidade). Os deslocamentos máximos para

os modelos com perfil semelhante se dão na região média da seção, enquanto que para o

modelo hiperbólico esse máximo já se dá na superfície. Ao final da construção do depósito, os

deslocamentos máximos são iguais a 50 cm, 64 cm e 125 cm, respectivamente, utilizando-se

os modelos Linear Elástico, Lade-Kim e Hiperbólico.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Deslocamento Horizontal (m)

65

55

45

35

25

15

5

Pro

fun

did

ade

(m)


Lade-Kim

LLACOP=1ET20


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Deslocamento Horizontal (m)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Pro

fun

did

ade

(m)


Lade-Kim

LLACOP=1ET20


64

Para a seção S3, como pode ser observado na Figura 4.19, os deslocamentos

horizontais máximos ao final da construção do depósito de rejeitos apresentam um perfil

semelhante para os três modelos adotados, com a presença de uma “barriga”, entretanto para o

modelo hiperbólico esta protuberância se dá 10 m acima da profundidade dos demais

modelos. As magnitudes de deslocamento nessa seção são muito maiores quando utiliza-se o

modelo hiperbólico, 57 cm, em relação àquelas obtidas quando utilizam-se os modelos Lade-

Kim e linear elástico, ao redor de 26 cm .

A fim de se analisar os deslocamentos verticais no depósito de rejeitos, adotou-se a

seção S4, como referência. A partir da Figura 4.20, pode se observar que esses deslocamentos

ao final da construção do depósito apresentam um perfil semlhante para os três modelos

adotados. Há um pico de deslocamento que ocorre a 160 m de distância do ponto D1 e

localiza-se abaixo do 9º dique de alteamento do depósito. As magnitudes dos deslocamentos

verticais nessa seção são maiores quando utiliza-se o modelo Lade-Kim, próximo de 1.4 m,

seguidas pelos modelos hiperbólico e linear elástico, ao redor de 1.2 m e 1.1 m,

respectivamente.

Figura 4.20 - Variação do deslocamento vertical na seção S4 ao final da construção do depósito

500 400 300 200 100 0Distância do ponto D1 (m)

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

Des

loc

ament

oV

ert

ical

(m)

Linear ElásticoHiperbólicoLade-Kim

LLACOP=1ET20


0500

65

5 CONCLUSÃO

As análises apresentadas nessa dissertação foram realizadas considerando-se o estado

plano de deformação no campo dos pequenos deslocamentos e pequenas deformações e os

materiais foram considerados saturados. Não foi levada em conta a presença do nível d’água

nem a variação deste ao longo do processo construtivo.

A partir dessas análises, chegou-se às seguintes conclusões:

a presença do dreno no dique de partida é fundamental para manutenção de níveis

do fator “ru” mais baixos;

a diminuição da permeabilidade vertical conduz uma maior quantidade de água para

o corpo do dique de partida, e no caso de falha no sistema de drenagem, observa-se

a elevação do fator “ru” para valores maiores que a unidade, indicando a ruptura

desta estrutura;

a velocidade de construção do dique de partida associada ao imediato enchimento do

depósito de rejeitos contribuiu para as elevadas magnitudes de excessos de poro

pressão no mesmo ao longo de todo o tempo;

em função da elevada permeabilidade dos rejeitos de minério de ferro analisados,

observa-se um comportamento drenado para o depósito face a velocidade de

solicitação adotada;

para a validação do modelo numérico adotado, é de fundamental importância a

retroanálise de casos de aterros instrumentados de modo que as variáveis obtidas

numericamente possam ser comparadas com os valores observados em campo.

Sugerem-se os seguintes tópicos a serem abordados futuramente:

a simulação da variação do nível d’água durante o processo construtivo;

a análise tensão versus deformação no campo dos grandes deslocamentos;

a realização das mesmas análises com uma malha de elementos finitos mais

discretizada e considerando a presença da fundação.

66

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