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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO

MATEMÁTICA A 12º ANO

Cursos Científico-Humanísticos deCiências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas

Autores Jaime Carvalho e Silva (Coordenador)

Maria Graziela Fonseca Arsélio Almeida Martins

Cristina Maria Cruchinho da Fonseca Ilda Maria Couto Lopes

Ana e Joao

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Homologação 17/05/2002

Departamento do Ensino Secundario Matematica A—12o¯ Ano 1

Matematica APrograma do 12o¯ Ano

Tema I – Probabilidades e Combinatoria

30 aulas de 90 minutos

As probabilidades fornecem conceitos e metodos para estudar casos de incerteza e para interpre-tar previsoes baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental,fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma crıtica, toda a comunicacaoque utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estatıstica. As tecnicas decontagem que aqui aparecem como auxiliar do calculo de probabilidades constituem uma apren-dizagem significativa por si so, especialmente se desenvolverem mais as capacidades do raciocıniocombinatorio e as conexoes matematicas e menos a aplicacao das formulas. Considera-se aindaque o tema das Probabilidades constitui uma boa oportunidade para a introducao de uma axio-matica, uma das formas de organizar uma teoria matematica, permitindo que os estudantestenham uma melhor compreensao do que e a actividade demonstrativa em Matematica. Final-mente, qualquer destes assuntos e bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos daHistoria da Matematica. Saliente-se que ha muitos exemplos historicos interessantes no calculode probabilidades. E aconselhavel a leitura da brochura de apoio a este tema.

Pre-requisitos:Nocoes elementares sobre conjuntos,Probabilidades do 3o¯ Ciclo do Ensino Basico.


Desenvolvimento Indicacoes metodologicas

Introducao ao calculo deProbabilidades:

Experiencia aleatoria; con-junto de resultados; aconteci-mentos.

Operacoes sobre aconteci-mentos.

Aproximacoes conceptuaispara Probabilidade:– aproximacao frequencista deprobabilidade;– definicao classica de probabili-dade ou de Laplace.– definicao axiomatica de pro-babilidade (caso finito); pro-priedades da probabilidade.

Probabilidade condicionadae independencia; probabili-dade da interseccao de acon-tecimentos. Acontecimentosindependentes.

Experiencias que permitam tirar partido de materiais ludicos ede simulacoes com a calculadora contribuirao para esclarecer con-ceitos atraves da experimentacao e para dinamizar discussoes detipo cientıfico, bem como para incentivar o trabalho coopera-tivo. A simulacao e o jogo ajudam a construir adequadamenteo espaco dos resultados e a encontrar valores experimentais paraa probabilidade de acontecimentos que estao a ser estudados. Eimportante incentivar o estudante, sempre que possıvel, a resolveros problemas por varios processos, discutindo cada um deles com oprofessor e com os restantes colegas de modo a poder apreciar cadauma das formas de abordar o problema. O professor deve solici-tar, frequentemente, que descrevam com pormenor, oralmente epor escrito, os raciocınios efectuados. E aconselhavel elaborarboas formas de registo para os resultados das suas experienciasde modo a poderem ser partilhadas em grupo. A axiomaticadas Probabilidades, por ser curta, permite alguns exercıcios deverificacao simples, capazes de motivar a apropriacao da utili-dade deste tipo de abordagem matematica. O facto de tanto asdefinicoes frequencista e classica de probabilidade como a proba-bilidade condicionada satisfazerem a axiomatica das Probabili-dades permite compreender melhor o papel de uma axiomaticaem Matematica.

Distribuicao de frequen-cias relativas e distribui-cao de probabilidades.

Variavel aleatoria; funcaomassa de probabilidade:– distribuicao de probabilidadesde uma variavel aleatoria discre-ta; distribuicao de frequenciasversus distribuicao de probabili-dades;– media versus valor medio;– desvio padrao amostral versusdesvio padrao populacional.

Modelo Binomial.Modelo Normal; histograma

versus funcao densidade.

Os estudantes ja sabem como descrever os acontecimentos as-sociados a uma experiencia aleatoria usando o espaco ou con-junto de resultados e sabem, ainda, como determinar a probabil-idade de acontecimentos. Ora e muitas vezes necessario associara uma experiencia aleatoria (associada a um modelo de proba-bilidade) valores numericos pelo que e importante introduzir oconceito de variavel aleatoria bem como o de funcao massa deprobablidade. Os estudantes poderao utilizar simulacoes paraconstruir distribuicoes empıricas de probabilidades. E importanteque compreendam a relacao entre as estatısticas e os parametrospopulacionais. Nao e objectivo do programa entrar no estudodas variaveis contınuas mas o estudante podera investigar se naohavera nenhuma representacao que seja para a populacao o equiva-lente ao histograma na amostra. Das distribuicoes contınuas amais conhecida foi obtida pelo matematico Gauss e tem hoje umpapel importante ja que muitos processos de inferencia estatısticaa tem por base.



Analise CombinatoriaArranjos completos, arran-

jos simples, permutacoes ecombinacoes.

Triangulo de Pascal.Binomio de Newton.Aplicacao ao calculo de pro-

babilidades.

No caso das contagens que sejam facilitadas por raciocınios com-binatorios, e aconselhavel que os estudantes comecem por contaros elementos um a um, utilizando exemplos (desde os mais sim-ples ate aos mais complicados), ate que reconhecam a utilidade dosdiagramas e depois das organizacoes simplificadoras. Os exemplosde conjuntos para a contagem podem surgir de situacoes proble-maticas que lhes forem sendo propostas. Mesmo o triangulo dePascal pode ser introduzido a partir de problemas. Muitos prob-lemas postos podem e devem resultar da analise de jogos conheci-dos. Os raciocınios combinatorios facilitam a abordagem de pro-priedades envolvendo combinacoes, mas nao deve ser desprezada aideia de, caso seja possıvel, introduzir conexoes matematicas - commetodos recursivos e fazendo alguma demonstracao por inducaomatematica.Pascal, Tartaglia e Laplace sao exemplos ”interessantes” para rea-lizar incursoes na historia dos conceitos matematicos, na vida dosmatematicos, nas ligacoes da Matematica com outros ramos desaber e actividade. E importante referir que muitos resultados decontagens ja eram conhecidos anteriormente noutras civilizacoes(por exemplo, o triangulo de Pascal era conhecido na China variosseculos antes de Pascal)


Tema II – Introducao ao Calculo Diferencial II


Aqui sao estudados de forma mais rigorosa conceitos ja utilizados antes de forma intuitiva:limite, continuidade e derivada. O estudo das funcoes e ampliado com as funcoes exponencial elogarıtmica.Varios conceitos deste tema sao importantes noutras disciplinas como “Fısica”, “Quımica”,“Economia” e “‘Geografia”. Por isso e bastante importante haver uma colaboracao estreita entreos professores de Matematica e os das outras disciplinas. A utilizacao de exemplos concretosdessas disciplinas, a realizacao das actividades comuns ou a leccionacao de algum aspecto numadessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matematica sao algumas daspossibilidades que se oferecem aos professores.

Pre-requisitos:Funcoes e Graficos do 10o

¯ ano.Introducao ao Calculo Diferencial I do 11o¯ ano.


Funcoes exponenciais elogarıtmicas

Funcao exponencial de basesuperior a um; crescimentoexponencial; estudo das pro-priedades analıticas e graficasda famılia de funcoes definidapor f(x) = ax com a > 1

Funcao logarıtmica de basesuperior a um; estudo das pro-priedades analıticas e graficasda famılia de funcoes definidapor f(x) = logax com a > 1.

Regras operatorias de expo-nenciais e logaritmos.

Utilizacao de funcoes ex-ponenciais e logarıtmicas namodelacao de situacoes reais.

Com as novas famılias de funcoes surgem, tambem, novas opor-tunidades para cada estudante obter uma maior compreensao damatematica e suas aplicacoes, bem como para conectar e rela-cionar os novos conhecimentos com os ja adquiridos em anos an-teriores (quer dentro do mesmo tema quer com temas diferentes).E fundamental apresentar aos estudantes actividades diversifi-cadas (ver, por exemplo, brochura de apoio ao programa sobreeste tema) tendo-se em conta que a exploracao com a utilizacaodas varias tecnologias pode permitir discussoes ricas, quer sobre oprocesso de modelacao, quer sobre os conceitos matematicos fun-damentais, para alem de facilitarem propostas aconselhaveis deinvestigacoes.Os estudantes precisam de desenvolver a compreensao de procedi-mentos algebricos e utiliza-los (a par da utilizacao da calculadora)sem que para isso tenham que fazer exercıcios repetitivos.

A modelacao com funcoes exponenciais e logarıtmicas pode serfeita tanto usando capacidades especıficas da calculadora grafica(por exemplo, usando a regressao estatıstica a partir de dadosrecolhidos experimentalmente ou numa base de dados), como poranalise algebrica da adequacao de um modelo fornecido pelo pro-fessor.


Desenvolvimento Indicacoes metodologicasTeoria de limites

Limite de funcao segundoHeine. Propriedades ope-ratorias sobre limites (in-formacao); limites notaveis(informacao). Indetermina-coes. Assımptotas. Continui-dade.

Teorema de Bolzano–Cau-chy (informacao) e aplicacoesnumericas.

As indeterminacoes sao referidas apenas para mostrar aslimitacoes dos teoremas operatorios. o programa apenas pres-supoe que se levantem as indeterminacoes em casos simples. Difi-culdade a nao exceder:

limx→+∞

5x4 − 2x + 1x2 + 3

; limx→+∞

(√

x + 1 −√

x) ; limx→1

x3 − 1x − 1

E aconselhavel que os estudantes experimentem numerica e grafi-camente a relacao entre os limites no infinito da exponencial, dapotencia e dos logaritmos.

Calculo DiferencialFuncoes derivaveis. Re-

gras de derivacao (demon-stracao da regra da soma edo produto; informacao dasrestantes regras). Derivadasde funcoes elementares (in-formacao baseada em intuicaonumerica e grafica). Segundadefinicao do numero e. Teo-rema da derivada da funcaocomposta (informacao).

Segundas derivadas e con-cavidade (informacao baseadaem intuicao geometrica).

Derivada da funcao composta: grau de dificuldade a nao ultrapas-sar f(ax), f(x + b), f(xk)E importante analisar em todos os teoremas a necessidade dascondicoes do enunciado atraves de contra-exemplos.Deve ser adoptada a definicao: f e derivavel quando a derivadaexiste.

e e o unico numero real tal que (ex)′ = ex .

Estudo de funcoes em casossimples.

O estudo de funcoes deve seguir o modelo que se encontra nabrochura de funcoes pag 149 e que combina metodos analıticoscom o uso da calculadora grafica.Dificuldade a nao ultrapassar:

f(x) = 2−x + 2x, f(x) =x2 + x + 1

2x + 1, f(x) =

x

1 − log x

Integracao do estudo doCalculo Diferencial num con-texto historico.

Os estudantes poderao realizar trabalhos individuais ou em grupode Historia do Calculo Diferencial referindo o trabalho de algunsmatematicos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastacioda Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. E obrigatoria a referencia aJose Anastacio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco dehistoria da Matematica em Portugal desde o tempo dos descobri-mentos ate a actualidade.



Problemas de optimizacao. Os problemas de optimizacao devem ser escolhidos de modo a queum estudante trabalhe de uma forma tao completa quanto possıvela modelacao. E uma boa oportunidade para discutir com os estu-dantes o processo de modelacao matematica e a sua importanciano mundo actual.

(*) Demonstracao de algunsteoremas elementares docalculo diferencial.

(*) Os teoremas a demonstrar devem incluir:– continuidade implica limitacao numa vizinhanca;– continuidade e f(x) > 0 ou f(x) < 0 implicam per-manencia de sinal numa vizinhanca de x;– derivabilidade implica continuidade;– derivada da potencia inteira e racional e do quociente.


Tema III –Trigonometria e Numeros Complexos


Completa-se, agora, o estudo da trigonometria que se estuda no ensino secundario. Pretende-seque os estudantes resolvam problemas que apelem simultaneamente ao estudo intuitivo apoiadona calculadora grafica como ao calculo de derivadas, em casos simples. Com pretexto de res-ponder a problemas de resolubilidade algebrica amplia-se o conceito de numero. As operacoescom numeros complexos, nas formas algebrica e trigonometrica sao aproveitadas para que oestudante compreenda melhor as diferentes representacoes analıticas para domınios definidos geo-metricamente, bem como para dominar as relacoes entre operacoes algebricas e transformacoesgeometricas. O estudante precisa dos conhecimentos de Geometria Analıtica, em geral, e daTrigonometria e IR, e precisa de saber resolver equacoes e inequacoes dos 1o

¯ e 2o¯ graus.

As funcoes trigonometricas sao importantes noutras disciplinas como “Fısica” e “Quımica”, peloque o estudo das funcoes trigonometricas para os alunos dos respectivos cursos gerais deveralevar em conta este facto. Por isso, e bastante importante haver uma colaboracao estreita entreos professores de Matematica e os das outras disciplinas. A utilizacao de exemplos concretosdessas disciplinas, a realizacao de actividades comuns ou a leccionacao de algum aspecto numadessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matematica sao algumas daspossibilidades que se oferecem aos professores.

Pre-Requisitos:Trigonometria do Tema ”Geometria no Plano e no Espaco” do 11o

¯ ano.


Funcoes seno, co-seno,tangente.

Estudo intuitivo com baseno cırculo trigonometrico,tanto a partir de um graficoparticular, como usandocalculadora grafica ou com-putador.

Estudo intuitivo de

limx→0

senx

x.

Derivadas do seno, co-senoe tangente.

Utilizacao de funcoes trigo-nometricas na modelacao desituacoes reais.

As propriedades a serem investigadas, recorrendo a calculadoragrafica, sao: domınio, contradomınio, perıodo, pontos notaveis,monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), sime-trias em relacao ao eixo dos YY e a origem, assımptotas, limitesnos ramos infinitos. Os estudantes podem investigar, tal como ofizeram nas famılias de funcoes anteriores, qual a influencia da mu-danca de parametros na escrita da expressao que define a funcao(em casos simples e se possıvel ligados a problemas de modelacao).As derivadas do seno e do co-seno podem ser obtidas a partir dasformulas do seno e do co-seno da soma e de que

limx→0

senx

x= 1 .

A modelacao com funcoes trigonometricas pode ser feita tantousando as capacidades especıficas da calculadora grafica (porexemplo, usando a regressao estatıstica a partir de dados recolhi-dos experimentalmente ou numa base de dados) como por analisealgebrica da adequacao de um modelo fornecido pelo professor.


Desenvolvimento Indicacoes metodologicasComplexos

Introducao elementar deproblemas de resolubilidadealgebrica e do modo como seforam considerando novos nu-meros. Apropriacao de ummodo de desenvolvimento daMatematica, atraves da evolu-cao do conceito fundamentalde numero. Experimentacaoda necessidade de i, a seme-lhanca da aceitacao da neces-sidade dos numeros negativose fraccionarios.

Numeros complexos. O nu-mero i. O conjunto C dos nu-meros complexos

O estudante precisa de explorar sempre que possıvel a ligacaodos numeros complexos a geometria. Ela fornece uma perspec-tiva mais rica dos metodos geometricos com que se trabalha habi-tualmente – metodo das coordenadas, dos vectores e das trans-formacoes geometricas, bem como uma nova compreensao dademonstracao, tornado possıvel ligar as caracterısticas numericas,algebricas e geometricas (ler a brochura referente a este tema).A introducao dos complexos deve ser ancorada numa pe-quena abordagem historica, do ponto de vista dos proble-mas/escolhos que foram aparecendo no desenvolvimento dos estu-dos matematicos. Os estudantes podem realizar trabalhos sobre aextensao do conceito de numero e sobre problemas de resolubili-dade algebrica, quer do ponto de vista historico, quer do pontode vista da sua experiencia com anteriores desenvolvimentos. Serainteressante a referencia a impossibilidade da extensao a C de umaordenacao compatıvel com a adicao e a multiplicacao.

A forma algebrica dos com-plexos. Operacoes com com-plexos na forma algebrica.

Representacao de complexosna forma trigonometrica.Escrita de complexos nas duasformas, passando de uma paraoutra.Operacoes com complexos naforma trigonometrica.Interpretacoes geometricasdas operacoes.

Domınios planos e condicoesem variavel complexa.

As operacoes com complexos podem ser definidas na base damanutencao das propriedades das operacoes e do quadrado de iser −1. E aconselhavel que |z| seja introduzido de modo intuitivo,estendendo a nocao de valor absoluto de um real (distancia dedois pontos no eixo, distancia de dois pontos no plano cartesiano)A passagem a forma trigonometrica pode ser feita com referenciaa outros sistemas de coordenadas. E importante explorar a mul-tiplicacao por i e as diversas operacoes ligadas a outras realidadesmatematicas - vectores, operacoes com vectores, transformacoesgeometricas.A resolucao e a interpretacao das solucoes de condicoes em z,devem ajudar a compreender a utilidade dos diversos sistemasde representacao analıtica. O recurso a programas de geometriadinamica pode ser motivadora para a realizacao de demonstracoes.Assim o professor deve propor que depois de investigadas sejamdemonstradas propriedades de polıgonos.

(*) Demonstracao de pro-priedades de Geometria usan-do numeros complexos

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