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Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.1

Eletromag P1 2015 v6a.docx

CAPÍTULO 2

ELETROMAGNETISMO BÁSICO

2.1 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO

2.1.1 Equações de Maxwell no regime dinâmico

Forma diferencial ou local

lei de Ampèret

DH J (2.1a)

lei de Faradayt

BE (2.1b)

0 B (2.1c)

(lei de Gauss) D (2.1d)

Forma integral ou larga escala

M MC S

d dt

DH l J s (2.2a)

E EC S

d dd d

dt dt

E l B s (2.2b)

0d B s (2.2c)

d q D s (2.2d)

2.1.2 Equações de Maxwell no regime estático


H J (2.3a)

0 B (2.3b)

0 E (2.3c)

D (2.3d)


M MC S

d d H l J s (2.4a)

0d B s (2.4b)

0EC

d E l (2.4c)

d Q D s (2.4d)

2.1.3 Equações de Maxwell no regime quase-estático


H J (2.5a)

t

DH J (em dielétricos) (2.6a')

t

BE (2.6b)

0 B (2.6c)

D (2.6d)


M MC S

d d H l J s (2.7a)

E EC S

d dd d

dt dt

E l B s (2.7b)

0d B s (2.7c)

d q D s (2.7d)

2.1.4 Relações constitutivas

Considerando materiais lineares, homogêneos e

isotrópicos (LHI)

B H (2.8a)

D E (2.8b)

J E (2.8c)

2.2 A INTENSIDADE DE CAMPO MAGNÉTICO

No regime estático ou quase-estático o termo

/ 0t D e as fontes de campo magnético são as correntes e

os corpos magnetizados1. Nessas condições, a lei de Ampère,

na sua forma diferencial, pode ser escrita

0 ( )l lig B J J (2.9)

onde lJ é a densidade de corrente livre no ponto do espaço

devido às correntes livres (correntes em condutores, ) e ligJ é

a densidade de corrente ligada devido à presença de um

material magnetizado no ponto. Para um material magnetizado

com uma magnetização M , podemos mostrar que

lig M J e assim reescrever (9) como

0

l

BM J (2.10)

Definimos então o vetor intensidade de campo H

0

B

H M (2.11)

e reescrevemos a lei de Ampère na seguinte forma

l H J (2.12)

onde à intensidade de campo magnético está relacionada às

densidades de correntes livres. Esta forma é bastante

conveniente, pois são as correntes livres que podemos

controlar diretamente.

Integrando a última equação sobre a área S e usando o

teorema de Stokes obtemos a lei de Ampère ma forma integral

para o regime estático.

É conveniente notar que apenas em casos especiais que

apresentem simetria, a equação (32) pode ser utilizada para a

determinação de H . Nos outros casos, outros procedimentos

devem ser adotados.

1 No regime quase-éstático existe corrente de

deslocamento no interior dos capacitores. Porém, em baixas

frequências, o acoplamento entre as equações dinâmicas é

pequeno e a radiação é normalmente desprezada.



Observemos também que 0F não significa

necessáriamente 0H , e sim que a circulação de H sobre o

contorno é nula. Este é o caso de imãs permanentes sem

correntes elétricas de excitação, em que a circulação de H é

nula ao longo de um caminho fechado qualquer, porém H

existe ao longo do caminho, dentro e fora do material.

2.3 CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS

2.3.1 Campos e força

O fenômeno eletromagnético manifesta-se

fundamentalmente através da força eletromagnética. Os

campos eletromagnéticos são essencialmente campos de força.

eE

eF

q

Bv

mF

(a) (b)

Fig.2.1. Forças e campos (a) elétricos; (b) magnéticos.

Os campos fundamentais eletromagnéticos

fundamentais nas relações da seção anterior são o campo

elétrico E e o campo magnético B . O campo elétrico é uma

intensidade de campo elétrico e sua unidade no sistema SI é o

volt/metro (V/m). O campo magnético B é uma densidade de

fluxo magnético (A unidade SI do campo magnético é o tesla,

mas usa-se também weber/m2).

Consideremos uma carga pontual q em um dado ponto

do espaço, sujeita a um campo elétrostático eE e a um campo

magnético B , movimentando-se com velocidade v em

relação a B2. A força eletromagnética total que atua sobre a

carga é dada pela lei da força de Lorentz

em e e mq q F E v B F F (2.13)

A força que atua sobre a carga q tem um componente

de força elétrica e eqF E devido às cargas estáticas, Fig.1(a),

e um componente de forca magnética m q F v B que

decorre do movimento de q em relação a B , Fig.1(b). A

relação entre os vetores da força magnética, do campo

magnético e da velocidade é dada de acordo com a regra da

mão direita.

É importante observar que, como a força magnética é

ortogonal à velocidade, ela não realiza trabalho! Entretanto,

como veremos mais adiante, o campo magnético pode servir

de meio através do qual a energia pode ser transferida da parte

elétrica para a parte mecânica de um sistema e vice-versa.

O campo elétrico pode ser definido pela relação

2 Os campos elétrico e magnético são relacionados entre si e

dependem do sistema de coordenadas de referência. Neste texto,

sempre será considerado o sistema de referência fixo no laboratório.

Para mais detalhes, ver Jefimenko, Electricity and Magnetism, Cap.

12, 1966.

ee

q

FE (2.14)

e o campo magnético pela relação

mm

q

FE v B (2.15)

Consequentemente, o campo elétrico total

* eme e m

q

FE E E (2.16)

2.3.2 Elementos de corrente

A lei de Lorentz pode ser estendida para incluir

correntes filamentares e densidades de corrente através do

conceito de elementos de corrente. Consideremos um

elemento de volume retangular de comprimento dl e área

transversal da dw dh , com volume dv da dl ,

conduzindo uma corrente i em um dado ponto de um

condutor, Fig.2.2(a). O elemento de corrente filamentar

vetorial é representado pelo vetor id l de magnitude idl que

tem a direção da corrente, Fig.2.2(b), e tem como unidade

(A·m). Um elemento de corrente, obviamente, não existe

isoladamente, sendo sempre parte de um circuito com

corrente.

(a) (b) (c) (d)

dl

dh

dw

da

ds

i

id l

dvJ dsK

ds

dvd l

Fig.2.2. Elementos de corrente.

Das relações

i idl

Jda dv

dq

idl J dv dl dq vdt

(2.17)

i

dldw K dsdw

(2.18)

vemos que o elemento de corrente vetorial pode também ser

representado considerando-se uma densidade de corrente J

em um elemento de volume dv , ou uma densidade de corrente

de superfície K em um elemento de área ds (não confundir

com a área transversal elementar da). Consequentemente,

podemos escrever a equivalência de elementos de corrente

vetorialmente,

id ds dv ld l K J i (2.19)

onde J é o vetor densidade de corrente no ponto considerado,

com a mesma direção da corrente i. Daí as representações da

Fig.2.2(c) e (d).

2.3.3 Força magnética em um elemento de corrente

Da equivalência dos elementos de corrente (19), e de

acordo com a lei de Lorentz, a força magnética em um

elemento, é

m Id ds dv F l B K B J B (2.20)

A relação vetorial entre a força magnética, o campo

magnético e o elemento de corrente é ilustrada na Fig.2.3 de

acordo com a regra da mão direita.



id l

dvJ dsKB

mF

dv

B

mF

ds

B

mF

(a) (b) (c)

Fig.2.3. Força magnética em elementos de corrente.

Convém ressaltar que a força em um dado elemento de

corrente é condicionada ao campo magnético produzido pelo

conjunto de todos os elementos de corrente do sistema

excluindo o elemento de corrente ele mesmo.

2.4 LINHAS DE FORÇA

Uma linha de força ou linha de campo é uma curva

tangente ao campo em cada ponto. Na Fig.2.4a é ilustrada uma

linha de força e os vetores representativos do campo em

alguns pontos desta linha. A linha de força indica a direção do

campo em cada ponto mas não a sua magnitude. Por outro

lado, podemos associar a densidade das linhas de força à

magnitude do campo: linhas mais densas em uma região

significam campo mais intenso naquela região.

A lei de Gauss D indica que existem fontes ou

sumidouros de campos elétricos, e que portanto as linhas de

campo elétrico originam-se nas cargas elétricas estáticas. As

linhas de força de um campo elétrico são orientadas no sentido

de uma carga positiva para outra carga negativa, ou vêm ou

vão entre uma carga e o infinito. Existem infinitas linhas de

força partindo de uma carga pontual ou de um corpo

carregado. Já para o campo magnético, 0 B (o que

significa que não existem fontes ou sumidouros de campo

magnético) e as linhas de força do campo magnético são

fechadas sobre si mesmas, passando inclusive dentro de

materiais. Existem também infinitas linhas de força

magnéticas. As linhas de força tanto elétricas quanto

magnéticas não se cruzam, porque nesse caso teria que haver

mais de uma direção para o campo no ponto de cruzamento, o

que não é compatível com a definição do campo; entretanto,

as linhas de campo podem convergir para pontos de

singularidades ou singulares onde o campo é nulo. Exemplos

de pontos singulares são mostrados na Fig.4b-e.

(a)

(b) (c)

(d) (e)

Fig.2.4. (a) Linhas de força ou linhas de fluxo. (b), (c) Linhas de

força de campos elétricos devido a cargas pontuais desiguais com

pontos singulares; (c),(d) Linhas de força de campos magnéticos

devido a correntes desiguais em condutores retos, paralelos com

pontos singulares.

Experimentalmente, uma linha de força pode ser

visualizada como uma linha no espaço cuja orientação em

cada ponto é aquela indicada por uma agulha imantada

suficientemente pequena colocada naquele ponto.

Convencionalmente, as linhas de força fluem de um pólo

magnético norte para um polo magnético sul, externamente a

um material ou corpo magnético, e uma agulha imantada

aponta para um pólo sul. Assim, o Pólo Norte geográfico

terrestre é na verdade um pólo sul magnético, Fig.5b.

Pólo Norte geográfico

(a) (b)

Fig.2.5. (a) Linha de força determinada através de uma pequena

bússola; (b) Linhas de força do campo magnético terrestre.

Um conjunto de linhas de força forma um padrão de

campo. Uma experiência comum e bastante conhecida torna

visível as linhas de força de um imã, por exemplo,

distribuindo-se limalhas de ferro em uma superfície lisa, como

uma folha de cartão: as limalhas tendem a se alinhar ao longo

das linhas de força geradas pelo imã. Alguns padrões são

ilustrados (sem muito rigor) na Fig.6. Na Fig.6a, é mostrado o



padrão de campo de um condutor longo, reto, conduzindo

corrente para fora da página. As linhas de força estão em um

plano normal ao condutor. A Fig.6b ilustra o padrão do

campo resultante produzido por dois condutores longos, retos,

paralelos, conduzindo correntes em sentidos opostos. As

linhas de força estão em um plano normal aos dois condutores.

Na Fig.6c, é representado o padrão de campo entre um polo

norte e um polo sul magnético. E na Fig.6d, é mostrado o

padrão resultante dos campos produzidos nas figuras (a) e (c),

i.e com o condutor portando corrente colocado entre os dois

polos.

Os antigos investigadores do eletromagnetismo usavam

um conceito interessante para visualizar a produção da força

eletromagnética, imaginando as linhas de força como uma

espécie de elástico capaz de gerar forças do tipo

comprime/estica, sendo as forças do tipo repulsão entre os

corpos onde as linhas de força forem mais densas e de atração

onde as linhas de força forem mais esparsas. Assim, é fácil

visualizar que na Fig.6b haverá uma força de repulsão entre os

dois condutores, enquanto que no caso da Fig.6d haverá uma

força para a direita atuando no condutor. Entre os dois polos

magnéticos da Fig.6c,d haverá uma força de atração.

Fig.2.6. Padrões de campo devido a: (a) um condutor portando

corrente reto, isolado (b) condutores paralelos portando

correntes opostas (c) um par de pólos magnéticos, (d) um

condutor portando corrente entre pólos magnéticos.

Mnemônico para o sentido da força de interação entre um

condutor portando corrente e um campo magnético:

Sentido linear

Sentido rotacional

Sentido linear

Sentido rotacional

(a) (b) (c)

Sentido linear

Sentido rotacional

Fig.2.7 (a) Polaridades entre um sentido linear e um sentido

rotacional. (b) Regra da mão direita. (c) Regra do saca-rolha.

2.5 POLARIDADE RELATIVA ENTRE UM SENTIDO LINEAR E UM SENTIDO ROTACIONAL

Vamos considerar a orientação de dois caminhos

fechados, enlaçados como em uma corrente de cadeado, sendo

que tomaremos um dos caminhos pequeno e de forma circular

e o outro será considerado apenas em uma parte, que

consideraremos retilínea, para facilitar, como mostra a Fig.7a.

Ao caminho circular associaremos um sentido rotacional e ao

caminho retilíneo um sentido linear cujas polaridades

positivas são, por convenção, as indicadas na Fig.7a. Assim,

para um observador que se desloca para dentro da página, no

sentido linear positivo, o sentido rotacional positivo é o

horário.

As polaridades positivas da Fig.7a podem ser

determinadas por duas regras equivalentes:

a) A regra da mão direita: Considere um fio seguro pela

mão direita, com o polegar apontando para o sentido

linear positivo; então, os dedos curvam-se no sentido

rotacional positivo, conforme a Fig.7b.

b) A regra do saca-rolha: um saca-rolha destro que avança

linearmente para longe do observador quando é girado no

sentido horário pelo observador, conforme indicado na

Fig.7c.

Estas regras serão úteis em diversos casos para a

determinação das polaridades (sentidos ou sinais) de várias

grandezas.

2.6 FLUXO DE B E DE J

Em eletromagnetismo, tratamos do fluxo através de

uma superfície para diferentes grandezas vetoriais como a

densidade de campo elétrico D , a densidade de fluxo

magnético B , a densidade de corrente elétrica J , etc. Os

conceitos serão desenvolvidos inicialmente para o campo B e

depois para J . O conceito de fluxo de B através de uma

superfície aberta pode ser visualizado através da Fig.8(a) que

ilustra as linhas de força do campo vetorial atravessando a dita

superfície.

(a)

(b)

Fluxo de B

ds

nB

d d B s

vetor normal à superfícien

d ds n

s

nB

Fig.2.8. Fluxo de um vetor. (a) Fluxo de linhas de força através

de uma superfície aberta S. (b) Fluxo diferencial d de um vetor

através de uma superfície diferencial ds aberta S .

Fluxo magnético

Considere um elemento diferencial de superfície ds

em torno de um ponto no qual existe uma densidade de fluxo

B , Fig.8(b). O fluxo magnético diferencial d de B através

do elemento de superfície ds é



d d B s (2.21)

O vetor ds é definido em termos de n , que é o vetor

unitário normal à superfície naquele ponto, sendo d dss n ,

conforme a Fig.8(b). Podemos também escrever

nd d ds B ds B s B n (2.22)

onde nB B n é o componente de B normal ao elemento de

superfície, Fig.9a.

O fluxo diferencial é representado por uma linha

orientada atravessando o elemento de superfície ds no sentido

de n , para um fluxo positivo, que é o caso quando o

componente normal de B tem o mesmo sentido de n , como é

visto na Fig.9b. Na Fig.9c, o componente normal de B tem

sentido contrário ao de n e o fluxo diferencial terá um valor

negativo, signficando que o fluxo passa através da superfície

no sentido contrário ao de n ; note que na figura mantivemos

a mesma orientação do fluxo para manter a definição do

diferencial de fluxo de acordo com (24).

O fluxo magnético é, portanto uma grandeza escalar,

tendo magnitude e sinal (polaridade), porém sem direção. Sua

unidade no sistema SI é o weber (Wb), mas costuma-se

também usar volts-segundo (V s ).

(a) (b) (c)

BnB

d

ds

ds

n

nBds

nB

d

Fig.2.9. Fluxo diferencial: (a) componente normal à superfície de

B . (b) Polaridade (sentido positivo) de d . (c) Fluxo diferencial

negativo.

Para determinar o fluxo magnético total através de

uma dada superfície S faz-se a integração do fluxo diferencial

sobre toda a superfície

n

S S S

d d B ds B s (2.23)

No caso de uma densidade de fluxo uniforme - i.e com

um componente normal bn igual em todos os pontos da

superfície, o fluxo correspondente

nB S (2.24)

O fluxo magnético total através de uma superfície

fechada é nulo

0

S

d B s (2.25)

Esta é uma das leis de Maxwell na forma integral, que é às

vezes denominada lei de Gauss para o campo magnético. Dela

decorre que o fluxo de B através de qualquer superfície aberta

delimitada por um dado contorno C será sempre o mesmo.

(a) (b)

Fig.2.10. Enlaces (a) Enlace de fluxo magnético. (b) Enlace de

corrente (corrente total).

Fluxo de corrente

De forma análoga ao fluxo magnético, o fluxo da

densidade de corrente J através de uma superfície S aberta é

S

i d J s (2.26)

O fluxo de J é a corrente total i que atravessa a

superfície. De acordo com a lei da continuidade da corrente

0 J no regime estático (e no regime quase-estático

exceto em placas e no interior de capacitores, etc onde há

acúmulo e variação de cargas), o fluxo de J através de uma

superfície fechada é nulo

0

S

i d J s (2.27)

2.6.4 Tubos de fluxo

Linhas de força

Tubo de fluxo

Linha de fluxo

representando um

tubo de fluxo

(a) (b) (c)

Fig.2.11. Tubo de fluxo.

Um tubo de fluxo é um tubo no espaço cuja superfície

lateral é formada por linhas de campo.

Consideremos uma porção de um tubo de fluxo como

mostra a Fig.11(a). Uma vez que a parede lateral do tubo de

fluxo é formada por linhas de campo, não passa fluxo através

dela, e tendo em conta que a integral do campo (de B e J )

através de uma superfície fechada é nula, o fluxo que entra por

uma extremidade terminal do tubo é igual ao fluxo que sai

pela outra extremidade. Isto é o princípio da continuidade do

fluxo magnético e da corrente. Os tubos de fluxo magnético e

de corrente são portanto tubos fechados, Fig.11(b), assim

como as linhas de fluxo magnético e de corrente.

Para simplificar os desenhos, é comum usarmos apenas

uma única linha de fluxo para representar um tubo de fluxo,

como mostrado na Fig.11(c).



2.7 CIRCULAÇÃO DE UM VETOR

Fig.2.12. Circulação de um vetor Y sobre um contorno C.

A Circulação de um vetor Y sobre o contorno C

(integral de linha de Y ) é definida por

C

d YY l (2.28)

2.8 ENLACES DE FLUXO E DE CORRENTE

Duas das equações de Maxwell, na forma integral e

em regime quase-estacionário (i.e, onde as frequências

envolvidas são suficientemente baixas para que a corrente de

deslocamento seja negligenciada e a radiação seja

desprezível), relacionam a circulação de um campo com o

fluxo do outro.

a) A circulação do campo elétrico E sobre o contorno

elétrico EC é relacionada com o fluxo do campo

magnético B através da superfície ES delimitada por

EC por

Fluxo de

(Lei de Faraday)E EC S

dd d

dt

B

E l B s (2.29)

b) A circulação da intensidade de campo H no contorno

magnético CM relaciona-se com o fluxo da densidade de

corrente J através da superfície SM delimitada por

CM através de

Fluxo de

(Lei de Ampère)C S

d d J

H l J sM M

(2.30)

Para relacionar o fluxo de um vetor através de uma

superfície aberta e a circulação através de um contorno que

delimita a superfície é necessário definir as polaridades

(sentidos) relativos para os vetores unitários na e d l . A

convenção comumente adotada segue a regra da mão direita,

conforme pode ser visto na Fig.13.

na

d l

Fig.2.13. Sentidos convencionais de na e d l determinados pela

regra da mão direita.

Enlace de fluxo e enlace de corrente

À integral do fluxo magnético d d B s sobre a

superfície ES , delimitada pelo contorno EC , que aparece na

lei de Faraday (29) denominamos enlace de fluxo magnético

ou fluxo concatenado com o contorno EC . O enlace de fluxo

é representado pelo símbolo . O enlace de fluxo magnético é

portanto o fluxo magnético total que passa pela superfície ES ,

como ilustrado na Fig.14a.

E ES S

d d B s (2.31)

(a) (b)

Fig.2.14. Enlaces (a) Enlace de fluxo magnético. (b) Enlace de

corrente (corrente total).

Similarmente, denominamos enlace de corrente à

integral da densidade de corrente livre lJ através da

superfície aberta MS delimitada pelo contorno magnético MC

, Fig.14b.

Fluxo de

M

l

tot lS

i d J

J s (2.32)

Este enlace de corrente toti é portanto igual à corrente

total que passa através da superfície MS . Dizemos que esta

corrente total está enlaçada ou concatenada com o contorno

MC .

A Fig.xx ilustra um núcleo toroidal com algumas

espiras enroladas sobre ele conduzindo uma corrente I.

Podemos ver da Fig.xx que a corrente total que atravessa a

área MS é igual a 3I.



Fig.2.15. Enlaces de fluxo e de corrente em uma bobina com

núcleo.

O enlace de corrente ou corrente total é também

denominado força magnetomotriz ou fmm

totif (2.33)

A fmm é um conceito muito importante na teoria de

dispositivos eletromagnéticos e máquinas elétricas. A fmm f

é vista como a “força magnética” que produz H , e

consequentemente, B e o fluxo magnético. Nos modelos de

circuito magnético a fmm é usualmente considerada como

sendo o potencial magnético que produz o fluxo magnético

em analogia com a tensão elétrica que produz a corrente

elétrica em um circuito elétrico.

2.9 ENLACE ELETROMAGNÉTICO

(a) (b)

Tubo de fluxo

magnético

Tubo de

fluxo de

corrente

Linha de fluxo

magnético

Linha de corrente

Fig.2.16. Enlace eletromagnético. (a) Um tubo de fluxo

magnético concatenado a um tubo de corrente, como dois elos de

uma corrente. (b) Representação simplificada através de linhas

fechadas.

Dispositivos eletromagnéticos, que são em grande parte

constituídos por bobinas e núcleos magnéticos, podem ser

analisados considerando-se tubos de fluxo de corrente e de

fluxo magnético que são concatenados entre si, como dois elos

adjacentes de uma corrente. Denominamos a isto enlace

eletromagnético.

A Fig.16a ilustra um exemplo simplificado de enlace

eletromagnético onde um tubo de fluxo magnético e um tubo

de corrente são representados um envolvendo o outro. Não

estamos interessados aqui em mostrar o dispositivo físico e

sim apenas os tubos.

Basicamente, o enlace eletromagnético sempre envolve

dois tubos de fluxo que correspondem a dois circuitos

fechados, sendo um magnético e o outro elétrico. Nos enlaces

eletromagnéticos que consideramos aqui os tubos não se

interceptam. Se representarmos cada tubo por uma linha

fechada, como indicado na Fig.16b, além de simplificar os

desenhos, podemos estabelecer propriedades interessantes

para os enlaces eletromagnéticos. Denominaremos essas

linhas de linhas de circuitos ou simplesmente circuitos e

admitiremos que elas podem ser distorcidas à vontade sem

modificar as propriedades essenciais do enlace

eletromagnético. Além disso, podemos associar as linhas de

circuito aos contornos elétrico e magnético, com suas

respectivas áreas, como na Fig.17a de modo a fazer uma

conexão com a lei de Faraday (xx) e a de Ampère (xx).

A

Circuito 2

Circuito 1

Circuito 2

AM

CM

EA

EC

i

(a)

(b) (c)

Fig.2.17. Enlace eletromagnético. (a) Sentidos convencionais

determinados pela regra da mão direita. (b) (c) Determinando o a

polaridade do enlace através do corte fictício.

Dizemos que dois circuitos estão enlaçados ou

concatenados quando eles só podem ser separados cortando-se

um deles, de forma que o outro tenha que passar pelo corte

para separá-los. Um enlace eletromagnético é caracterizado

pelo número de enlaces ou de espiras N , definido como

sendo o número efetivo de vezes que um circuito tem que ser

cortado para que seja completamente separado do outro.

Vamos chamar simplesmente de enlace a cada um

desses cortes e atribuir a cada um deles uma polaridade, que

poderá ser positiva ou negativa. Para isso, definimos, em

primeiro lugar, as polaridades das circulações nos dois

circuitos, como na Fig.17b, por exemplo. Agora, imaginando

um corte no ponto A do circuito 1, e passando o circuito 2

através do corte, os dois circuitos ficam totalmente separados,

como mostra a Fig.17c. No ponto do corte os sentidos das

circulações estão de acordo com a regra da mão direita, então

o enlace é considerado positivo, com 1N .

Para um número maior de enlaces, somamos o número

de vezes que o circuito não cortado passa por cada corte do

outro circuito, considerando as suas polaridades, e

determinamos o número de enlaces N . Por exemplo, no caso

da Fig.18, passando o circuito 2 através dos pontos A, B, C e

D do circuito 1, os dois circuitos seriam separados, e como as

polaridades dos dois circuitos atendem à regra da mão direita

em cada ponto, 4N .



Circuito 1

AB

C D

Circuito 2

Fig.2.18.

Exemplo 2.1.

Determinar o número de enlaces para o enlace

eletromagnético da Fig.19a.

Aplicando-se a definição do número de enlaces

acima, o circuito 2 poderia ser desenlaçado pelos

pontos A e B do circuito 1, com polaridades 1 e -1,

respectivamente, dando 0N .

A

B

(a)

12

1

2

21

(b)

(d)

C

C

21

(c)

C

A

B

Fig.2.19.

Vamos analisar este enlace agora através da

manipulação dos circuitos, redesenhando o circuito 1

primeiro como mostrado na Fig.19b, depois como na

Fig.19c. O circuito 2 pode ser separado de 1 através

dos mesmo pontos A e B, como anteriormente.

Entretanto, podemos observar que se passarmos o

circuito 1 através dele mesmo pelo ponto C, obtemos

a configuração da Fig.19d, com os dois circuitos

completamente separados. Assim, verificamos a

propriedade do enlace eletromagnético de que cortar e

passar um circuito através de si próprio não afeta o

número de enlaces com o outro circuito.

Para o desenvolvimento de modelos de circuitos de

sistemas eletromagnéticos, é conveniente considerar um

circuito elétrico E e um circuito magnético M , com N enlaces

entre eles, sendo acoplados por uma bobina acopladora (que é

na realidade um elemento acoplador de circuito que será visto

mais adiante no Capítulo xx), como representado na Fig.20.

A fmm (que é o enlace de corrente) é representada no

circuito magnético, enquanto o enlace de fluxo lambda é

representado no circuito elétrico.

A fmm é considerada como uma fonte de potencial

magnético e, tomando if N , sua polaridade nos circuitos

magnéticos será no sentido que gera o fluxo. Em um modelo

de visualização em que fazemos uma mistura da representação

física com o modelo de circuito, a fmm pode ser representada

no núcleo, assim como o fluxo.

i

Bobina acopladora

f

Fig.2.20. Bobina acopladora: Acoplamento e enlaces em um

sistema eletromagnético.

Entre os dois circuitos estão definidos os dois tipos de

enlaces eletromagnéticos, o enlace de corrente, i.e, a força

magnetomotriz (fmm) f , que é o enlace do circuito magnético

pela corrente elétrica e o enlace de fluxo que é o enlace do

circuito elétrico pelo fluxo magnético.

if N (2.34)

N (2.35)

A fmm f é um potencial do lado magnético, com

polaridade tal que tende a fazer circular um fluxo no

circuito magnético externo de acordo com a regra do saca-

rolhas, Fig.21a, tomando a corrente como referência de

deslocamento linear. Na modelagem de sistemas

eletromagnéticos utilizando o elemento bobina acopladora, a

fmm é representada como um potencial entre os terminais de

saída da bobina. Observe-se que, do lado magnético, as

polaridades da fmm e do fluxo magnético seguem a

convenção gerador enquanto as polaridades do enlace e da

corrente seguem a convenção receptor.

i

fi

Fig.2.21. Enlace eletromagnético em uma bobina acopladora.

Considerando as polaridades indicadas para os

circuitos da Fig.21, podemos determinar o número de espiras

N passando o circuito magnético através do elétrico nos

pontos indicados; encontramos

(1 1 1 1) 2 N (2.36)



i1

2

Fig.2.22. Enlace de fluxo.

Exemplo 2.2.

Determinar o enlace de fluxo do enlace

eletromagnético da Fig.22.

O enlace do circuito elétrico com o tubo de

fluxo 1 é 1 14 e com o tubo 2 é

2 21 . Aplicando-se a regra do saca-

rolhas, verifica-se que os dois enlaces têm

polaridades positivas. Logo, o enlace total é

1 2 1 24

Exemplo 2.3.

Calcular o enlace de fluxo total do circuito

elétrico da Fig.23, sendo as densidades de

fluxo b1 e b2 uniformes nas áreas a1 e a2,

respectivamente.

Fig.2.23 Exemplo 3. Enlace de fluxo

Os fluxos 1e 2 com suas respectivas

polaridades como indicado na Fig.23 são

1 = b1a1 e 2 = b2 a2. As polaridades

do enlace com respeito a 1e 2 são

positiva e negativa, respectivamente. O

fluxo 1 é enlaçado duas vezes pelo circuito

elétrico e 2 uma vez. Daí 1 1 12b a e

2 2 21b a , donde o enlace total

1 2 1 1 2 22b a b a

2.9.5. Bobinas físicas

A bobina acopladora é um elemento conceitual de

redes, e portanto não deve ser confundida com uma bobina

física, que é um componente físico de um sistema

eletromagnético, constituída de condutores enrolados em

espiras, que podem ser enroladas ou não em torno de um

núcleo de material ferromagnético. Uma bobina é dita

concentrada, quando todos os tubos de fluxo enlaçam todas as

espiras da bobina, como indicado na Fig.24a. Contudo, na

prática existirá sempre uma parte do fluxo magnético que

enlaça apenas uma parte e não a totalidade das espiras da

bobina, como indicado na Fig.24b.

Uma bobina na qual todo o fluxo não enlaça todas as

espiras é denominada bobina distribuída. Na bobina

distribuída da Fig.24b o tubo de fluxo d1 é enlaçado 3 vezes

porém d2 é enlaçado apenas uma vez. Na realidade, todas as

bobinas físicas são, em um maior ou menor grau, distribuídas.

O enlace de fluxo total de uma bobina distribuída é o

somatório ou integral dos enlaces diferenciais d

onde d d d (2.37)

Ainda assim, como será visto mais tarde, o conceito de

bobina concentrada mostra-se bastante útil no

desenvolvimento teórico dos modelos de circuito de sistemas

eletromagnéticos. Na bobina concentrada, o número de

enlaces é igual ao número de espiras da bobina. Com as

polaridades relativas do fluxo e do enlace como indicadas

na Fig.24a, o enlace de uma bobina concentrada de N

espiras é

ba N N (2.38)

onde b é a densidade de fluxo média sobre a área a.

Fig.2.24. Bobinas (a) concentrada, (b) distribuída.

As bobinas concentradas normalmente são constituídas

por um condutor elétrico enrolado em um núcleo

ferromagnético.

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