Mínimo Mínimo múltiplo múltiplo comumcomum

Publicidade na rádioO “spot” publicitário do “café da D. Paula” passa na rádio de 6 em 6 horas, enquanto que o do “Clube de vídeo de S. Lucas” passa de 9 em 9 horas. Na publicidade das 0 horas foram ouvidos dois anúncios em conjunto. Quando acontecerá isso novamente?

Para resolver o problema vamos fazer um esquema.Para resolver o problema vamos fazer um esquema.

0 0 Café Café

00Clube de vídeo Clube de vídeo

Observações:A publicidade referente ao café, será ouvida novamente, às 6 da manhã; depois ao meio-dia; seguidamente às 18 horas (6 da tarde);… Como o 0 é múltiplo de qualquer número não o vamos considerar, nem faria sentido, relativamente ao problema em causa.

O menor dos múltiplos comuns demenor dos múltiplos comuns de 6 e 9, diferente de 0, é 18.6 e 9, diferente de 0, é 18.

O que se O que se pretende no pretende no problema?!problema?!

RR.: Os dois anúncios serãoouvidos de novo, em conjunto,às 18 horas.

66 1818 2424

181899 2727 múltiplos de 9múltiplos de 9

múltiplos de 6múltiplos de 6

……

……3030 3636

3636 4545

1818

1818

Mínimo múltiplo comumMínimo múltiplo comum

1212

Outro exemplo para estudares em casaOutro exemplo para estudares em casa

Podemos então concluir:

0 0

00

66 1818 2424

181899 2727Múltiplos de 9 Múltiplos de 9

Múltiplos de 6 Múltiplos de 6

……

……3030 3636

3636 4545

O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números naturaisnúmeros naturais é o menor menor múltiplo comum a todos elesmúltiplo comum a todos eles. (excluindo o zero)excluindo o zero)Escreve-se m.m.c. (a, b).

m.m.c. (6,9)=18

m.m.c. (7,8) = ?m.m.c. (7,8) = ?

Múltiplos de 7

Múltiplos de 8

Vamos praticar… Vamos praticar…

m.m.c.(7,8) = 56m.m.c.(7,8) = 56

{ },...64,56,48,40,32,24,16,8,08 =M

{ },...63,56,49,42,35,28,21,14,7,07 =M

Então:

Mínimo múltiplo comumMínimo múltiplo comum

= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

{ },...5,4,3,2,1,00=

M á x im o M á x im o d iv is o r d iv is o r c o m u mc o m u m

Passatempo na rádioNum programa de rádio vai ser feito um passatempo em que serão oferecidos a cada concorrente vencedor CDs e cassetes. Há 30 CDs e 25 cassetes para oferecer. Se todos os prémios forem iguais, quantos ouvintes poderão ganhar? Quantos CDs e cassetes recebem cada um?

Assim, para resolver o problema, vamos determinar os divisores de 30 e de 25.

CDsCDs 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 divisores de 30

CassetesCassetes 1, 5, 25 divisores de 25

O maior divisor comum de 25 e 30 é 5 e escreve-se, m.d.c. (25, 30) = 5

R.: O número máximo de ouvintes que poderão ganhar o prémio é 5 e cada ouvinte vencedor receberá 5 cassetes e 6 CDs.

Observação:Observação: Para que cada ouvinte receba o mesmo número de CDs e cassetes, o nº de ouvintes premiados tem de ser um divisor comum de 25 e 30.

O que se O que se pretende no pretende no problema?!problema?!

Outro exemplo para estudares em casa.Outro exemplo para estudares em casa.

Máximo divisor comumMáximo divisor comum

Qual o maior divisor comum a 20 e 24?Qual o maior divisor comum a 20 e 24?

{ }20,10,5,4,2,120 =D { }24,12,8,6,4,3,2,124 =D

Para responder à questão Para responder à questão precisamos de…precisamos de…

R.: R.: O maior divisor comum é o 4.

O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior dos maior dos divisores comuns a todos elesdivisores comuns a todos eles. Escreve-se: m.d.c. (a, b).

m.d.c. (20, 24) = 4.

Existem outros processos outros processos mais práticos para para encontrar o m.m.c e o m.d.c encontrar o m.m.c e o m.d.c de dois ou mais números, utilizando a decomposição de um utilizando a decomposição de um número em factores primosnúmero em factores primos.

Observemos alguns desses processos

1832)9,6.(.. 2 =×= cmm

6 2

3 3

1

9 3

3 3

1

1.º processo:1.º processo:Qual o m.m.c. e o m.d.c. dos números 6 e 9? E dos números Qual o m.m.c. e o m.d.c. dos números 6 e 9? E dos números 84 e 120?84 e 120?

1.º-1.º- Decompor ambos os números num produto de factores primos, utilizando, por exemplo, a “regra do traço”.

326 ×= 239 =

Produto dos factores comuns e não comuns de maior expoente.

120 2

60 2

1

84 2

21

2

1

532120 3 ××= 73284 2 ××=

2 30 15 3

42

5 5 3

7 7

8407532)120,84.(.. 3 =×××= cmm2.º-2.º-

3)9,6.(.. =cdm 1232)120,84.(.. 2 =×=cdmProduto dos factores comuns de menor

expoente.

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números mínimo múltiplo comum de dois ou mais números decompostos em factores primos decompostos em factores primos é igual ao produto dos é igual ao produto dos factores factores comunscomuns e e não comunsnão comuns de de maior expoentemaior expoente.

Definição:Definição:

O máximo divisor comum de dois ou mais números máximo divisor comum de dois ou mais números decompostos em factores primos decompostos em factores primos é igual ao produto dos é igual ao produto dos factores factores comunscomuns de de menor expoentemenor expoente.

Definição:Definição:

1.º processo:1.º processo:

2.º processo:2.º processo:

1.º-1.º- Decompor ambos os números num produto de factores Decompor ambos os números num produto de factores primos, por qualquer um dos métodos já estudados.

326 ×= 239 =

Qual o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum Qual o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum dos números 6 e 9?dos números 6 e 9?

Diagrama de Venn

3)9,6.(.. =cdm

18332)9,6.(.. =××=cmm

• m.m.c. = produto de todos os factores que constituem odiagrama de Venn.

• m.d.c. = produto dos factoresm.d.c. = produto dos factorescomuns aos dois conjuntos.comuns aos dois conjuntos.

Intersecção, elementos que Intersecção, elementos que pertencem simultaneamente aos pertencem simultaneamente aos dois conjuntosdois conjuntos

Outro exemplo:?)36,20.(.. =cmm ?)36,20.(.. =cdm

=×= 5420

=×××=×= 32326636

2

3

52

2 2

3

2

2

18053233225)36,20.(.. 22 =××=××××=cmm

4222)36,20.(.. 2 ==×=cdm ExcelExcel

).25,18.(.. cdmDetermina

2

2

525

3218

=

×=

1)25,18.(.. =cdm

Dois ou mais números são primos entre si se e só se o seu máximo divisor comum é 1.

Não existem factores comuns, Não existem factores comuns, logo:logo:

Neste caso diz-se que os números 18 e 25 são Neste caso diz-se que os números 18 e 25 são primos entre si.primos entre si.

Relembra…1 é divisor de todos os números

Exercício:Exercício:

Ao decompor um certo número, N, em factores primos, obteve-se a seguinte resposta: N =2x32x5

a) O número N é divisível por 15? Qual é o quociente?

b) Escreve todos os divisores do número N.

63253

5332

53

532

15

2

=×=×

×××=×

××=N

2x32x5 = 90 =N

R.: R.: O número N é divisível por 15. O quociente da divisão de N por 15 é 6.O número N é divisível por 15. O quociente da divisão de N por 15 é 6.

Para encontrar os divisores de N procuram-se todos os produtos diferentes que se podem obter com os factores da decomposição. Não Não esquecendo que 1 é divisor de todos os esquecendo que 1 é divisor de todos os números.números.

5332532 2 ×××=××=N

632 =×C.A

1052 =×933 =×1553 =×

18332 =××

45533 =××

{ }90,45,30,18,15,10,9,6,5,3,2,1=NDR.: R.:

30532 =××

Problema para T.P.C.

Num anúncio de jornal, o Sr. João leu: “Vende-se terreno rectangular de medidas inteiras (quase quadrado) com 1326 m2.” Quais são as dimensões do terreno?

Problema:O Eduardo colecciona berlindes. Para arrumar a sua colecção comprou no supermercado caixas que lhe permitem colocar 4 berlindes, outras para 6 berlindes e ainda outras para 8 berlindes. Já em casa verificou que podia arrumar todos os seus berlindes nas caixas de 4 ficando estas completas, mas mesmo acontecia com as caixas de 6 e as de 8.Quantos berlindes pode ter o Eduardo?

Resolução:

O número de berlindes tem de ser múltiplo de 4, 6 e 8.

Múltiplos de 4 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,...Múltiplos de 6 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,...Múltiplos de 8 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48,...

O menor dos múltiplos comuns de 4, 6 e 8, diferente de zero, é 24.

m.m.c.(4,6,8) = 24.

R.: O Eduardo terá no mínimo 24 berlindes.

m.m.c

O Artur, o Bernardo e a Catarina compraram barras de chocolate de comprimento e sabores diferentes para levar numa visita de estudo. O Artur comprou uma barra de chocolate branco de 18 cm. O Bernardo comprou outra com amêndoas mas com 30 cm. A barra da Catarina tem 12 cm e é com avelã.Durante a visita decidiram dividir os chocolates em bocados com o mesmo comprimento. Qual é o maior comprimento maior comprimento que pode ter cada parte?

Visita de estudo

Para que os chocolates fiquem divididos em partes iguais, temos de encontrar os divisores de cada um dos números.

Divisores de 18 = {1,2,3,6,9,18}Divisores de 30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}Divisores de 12 = {1,2,3,4,6,12}

Observando o conjunto dos divisores verificamos que existem vários números comuns. Como neste caso pretende-se obter partes com maior comprimento possível consideramos então o Máximo (maior) Divisor Comum entre 12, 18 e 30, o número 6, ou seja:

6)30,18,12(.. =cdm

m.d.c mais um exemplom.d.c mais um exemplo