- Aula 00 - 1. Numeração; 2. Números naturais (múltiplos, divisores, divisibilidade e restos);...

Aula 00

Curso: Matemtica e Raciocnio Lgico p/ ATA-MF (com videoaulas)

Professor: Felipe Lessa

Matemtica e Raciocnio Lgico p/ ATA-MF Teoria e exerccios comentados

Prof. Felipe Lessa Aula 0

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AULA 0:

1. Numerao; 2. Nmeros naturais: mltiplos,

divisores, divisibilidade e restos; 3. M.D.C. e

M.M.C.

SUMRIO Cronograma ..................................................................................... 3 I. Numerao ................................................................................... 6

I. 1 Representao numrica em uma base b .................................. 10 I. 2 Converso entre bases numricas ............................................ 11

II. Nmeros naturais: mltiplos, divisores, divisibilidade e restos ......... 18 III. M.D.C. e M.M.C. ........................................................................ 27 IV. Restos...................................................................................... 31 V. Mais Questes Comentadas... ...................................................... 34 VI. Lista das Questes Apresentadas ................................................. 50

Ol Pessoal! Meu nome Felipe Lessa, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado no concurso de 2009 e com muito prazer que venho at aqui para me apresentar e falar um pouquinho da minha trajetria at chegar aqui. Sou engenheiro de telecomunicaes formado pelo IME (Instituto Militar de Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos nmeros e espero poder passar um pouco desse gosto para vocs. Afinal, dominar bem o Raciocnio Lgico pr-requisito para ir bem em qualquer matria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formao para os aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar que mais de 60% dos aprovados levantaram a mo. Por que os engenheiros se do bem em concursos pblicos? Porque so formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei questes de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando conceitos de raciocnio lgico. isso que eu espero passar para voc nesse curso, caro aluno!

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Minha experincia em concursos pblicos comeou bem cedo: aos 14 anos. O Colgio Militar do RJ, pela primeira vez em sua histria, resolveu abrir concurso para o Ensino Mdio e ofereceu apenas 20 vagas... Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu UHVSRQGLD Dezenove, pois uma j minha!'LWRHIHLWR)L]DVTXDWURprovas do Colgio Militar e saiu o resultado: 1 LUGAR GERAL!!!!! $HVVDKRUDYRFrGHYHHVWDUSHQVDQGR Ih... Cara metido... Precisava encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? S quer saber de contar YDQWDJHP Mas no, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu pensamento tem que ser este. Estude como se uma das 1026 vagas j fosse sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB, responda: 1025, porque uma j minha! Por fim, quero dizer mais uma vez que um imenso prazer poder fazer parte desta seleta equipe do Estratgia Concursos e que me empenharei ao mximo para tentar fazer parecer fcil essa matria da qual muitos fogem e tm medo: Matemtica e Raciocnio Lgico. * * * Voltando aos estudos, uma estratgia que utilizei e recomendo para aqueles que no tm muito tempo para frequentar aulas, como eu no tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, : fujam das aulas presenciais. Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma de 80 alunos, voc aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado. Ah, mas claro: sempre bom ter um professor com quem voc pode tirar suas dvidas. Desta forma, voc leva ao professor somente a sua dvida e ganha tempo! Para preparar este curso de MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO P/ ATA, tomei por base o EDITAL ESAF N 05, DE 28 DE JANEIRO DE 2014. Nosso curso apresentar, de um modo bem interativo, a teoria que cerca a matria e muitos exerccios resolvidos da ESAF. Quando eu achar pertinente, trarei exerccios de outras bancas. * * * * * * * Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! No tenham medo da Lgica!

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Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, voc vai ver que ela pode ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso. Apenas uma observao: ACABEI DE gravar o vdeo dessa Aula E ELE J FOI PARA A EDIO, creio que at dia 7/2 ele esteja no ar! Aguardem que vem coisa boa por a!

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Cronograma O cronograma do curso est baseado nos itens do prprio Edital de 2014, completamente fora da ordem em que aparecem, por motivos didticos, abrangendo TODO o contedo cobrado nele. Faremos assim:

AULA CONTEDO DATA

Aula 0

1. Numerao; 2. Nmeros naturais:

mltiplos, divisores, divisibilidade e

restos; 3. M.D.C. e M.M.C

04/02

Aula 1 19. Raciocnio Lgico (parte I) 11/02

Aula 2

4. Nmeros fracionrios e Operaes com

fraes; 5. Nmeros Decimais e Dzimas

Peridicas; 11. Porcentagem

18/02

Aula 3 19. Raciocnio Lgico (parte II) 25/02

Aula 4 19. Raciocnio Lgico (parte III) 04/03

Aula 5

16. Aplicaes e Operaes com

Inequaes; 17. Sequncias e Progresses

Aritmticas e Geomtricas;

11/03

Aula 6 18. Operaes com Matrizes, Logaritmos,

Razes e Radicais, Fatorao Algbrica; 15/03

Aula 7

6. Sistemas de Unidade, Notao

Cientfica e Bases no Decimais; 7. Razes

e Propores; 8. Escalas; 9. Diviso

Proporcional; 10. Regra de Trs Simples

ou Composta

18/03

Aula 8 19. Raciocnio Lgico (parte IV) 22/03

Aula 9 15. Matemtica Financeira (parte I) 25/03

Aula 10 19. Raciocnio Lgico (parte V) 29/03

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Aula 11 12. Teoria dos Conjuntos: Conjuntos

Numricos; Relaes, Funes de Primeiro

e Segundo Grau;

01/04

Aula 12 15. Matemtica Financeira (parte II) 05/04

Aula 13 13. Noes de Probabilidade e Estatstica

Descritiva 10/04

Aula 14 15. Matemtica Financeira (parte III) 15/04

Vamos comear?

"O nico lugar onde o sucesso vem antes do trabalho no dicionrio.

Albert Einstein

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I. Numerao

Ol queridos Alunos! Vamos falar de nmeros? Os nmeros esto sempre presentes na nossa vida. Uma das primeiras coisas que ns aprendemos contar. Lembro, como se fosse hoje, que quando minha filha, ainda com menos de 2 anos, contou de 1 a 10, foi a maior alegria l em casa! Pois ! O mundo nos ensinou assim: os nmeros que conhecemos e fazem parte do nosso dia-a-dia so formados pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e com eles podemos formar qualquer nmero para representar qualquer quantidade. Assim, se eu te perguntar quantas laranjas h abaixo, voc vai me responder correndo: 3! E eu te direi: est quase correta a sua afirmao!

O que ningum nunca te ensinou, caro Aluno, que voc estava aprendendo a contar na base 10, ou na base decimal. Assim, para sua resposta estar completamente certa, voc deveria me responder: 3, na base 10, professor! Mas no precisamos ser to puristas a esse ponto, no verdade? Imagine voc na feira perguntando o preo do tomate e o feirante te respondendo: - dez na base 10 por cinco na base 10, Doutor! (Traduzindo: so 10 tomates por 5 reais) Fique calmo: no, no h essa necessidade na linguagem corriqueira. O mundo adotou a conveno de usar a numerao na base decimal e tudo, ou quase tudo, que se fala hoje em numerao na base 10.

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Uma coisa que voc deve saber que todo nmero na base 10 (ou decimal, como preferir), pode ser escrito como um somatrio de mltiplos de potncias de 10. - Como assim????????????? - Simples, caro aluno. Veja com calma... Pegue o nmero 23. Imagine que cada algarismo ocupa uma posio no nmero e atribua esta posio s potencias de 10. Assim:

Posio 1 Posio 0

2 3 101 100

23 = 3x100 + 2x101 = 23

E que tal agora o nmero 1026?

Posio 3 Posio 2 Posio 1 Posio 0

1 0 2 6 103 102 101 100

1026 = 6x100 + 2x101 + 0x102 + 1x103

No sistema decimal:

A posio 0 so as unidades (multiplica por 1) A posio 1 so as dezenas (multiplica por 10)

A posio 2 so as centenas (multiplica por 100) A posio 3 so os milhares (multiplica por 1000)

E assim sucessivamente Tudo entendido at aqui? Ento vamos ver uma questo de concurso sobre esse assunto?

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Questo 1: FJG - CAM (Pref RJ)/Pref RJ/2002 O algarismo das unidades de um nmero de dois algarismos y e o das dezenas x. Colocando-se um algarismo z direita desse nmero, obtm-se o seguinte nmero: a) 1000x + 100y + 10z b) 1000x + 10y + z c) 100y + 10x + z d) 100x + 10y + z

SOLUO:

Se o algarismo das unidades y, y est na posio 0 Se o algarismo das dezenas x, x est na posio 1 Assim:

Posio 1 Posio 0

X Y 101 100

XY = Y x 100 + X x 101 = X + 10Y

OU

XY Y x 100 = Y X x 101 = 10X

XY = Y x 100 + X x 101 = 10X + Y Ora, se eu coloco um algarismo Z direita do nmero, ficamos com:

Posio 2 Posio 1 Posio 0

X Y Z 102 101 100

XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z

x 100

x 101

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OU XYZ Z x 100 = Z Y x 101 = 10Y X x 102 = 100X

XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z Gabarito: Letra D

* * * * * * * Apesar da base decimal estar amplamente difundida e utilizada por a, eu poderia, por alguma razo especfica, querer contar as coisas sem usar os 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) que todo mundo usa. O pessoal da informtica, por exemplo, para contar bits e bytes, utiliza apenas dois algarismos: 0 e 1. a chamada base 2 ou sistema binrio. Assim, se eu mostrar aquela mesma foto das laranjas e perguntar para uma pessoa da rea de informtica, ela poder me responder:

- Eu vejo 11 laranjas na foto. O que no estar totalmente errado, porque o nmero 11 na base 2 igual ao nmero 3 na base decimal que conhecemos. Faltaria a ele apenas dizer: 11, na base 2, laranjas na foto. Curiosidade: existe uma frase clssica do pessoal de informtica, que ilustra bem essa nossa conversa de bases de numerao:

x 100

x 101

x 102

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([LVWHP10 tipos de pessoas no mundo: as que entendem binrio e as TXHQmR

Esta frase s possvel de ser entendida se a pessoa conhecer o sistema binrio e souber que 10 na base 2 igual a 2.

I. 1 Representao numrica em uma base b Assim como o pessoal da informtica utiliza a base 2 para contar as coisas, outras pessoas, inclusive a sua BANCA EXAMINADORA, podem querer contar coisas em uma outra base b qualquer. Nesta base, os algarismos a serem utilizados so aqueles de 0 at b 1. Por exemplo: na base 10 (decimal), usamos de 0 a 9; na base 2 (binrio), usamos de 0 a 1; na base 7, usamos de 0 a 6. E assim por diante...

Base Numrica Algarismos utilizados

Base 2 0, 1 Base 3 0, 1, 2 Base 4 0, 1, 2, 3 Base 5 0, 1, 2, 3, 4 Base 6 0, 1, 2, 3, 4, 5 Base 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Base 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Base 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Base 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Para se indicar em que base numrica est determinado nmero, podemos escrever o ndice b da base ao lado do nmero, assim: 112 = (base 2) lembram das laranjas? 456 = (base 6) 405 = (base 5) 1324 = (base 4) 310 = (base 10) Para os nmeros na base 10, ou decimal, que so aqueles com os quais j nos acostumamos, convencionou-se a omitir a informao da base. Se no, ia ser aquela conversa de doido na feira, - Mas pera, Professor! O 112 eu j entendi que igual a 3 por causa do exemplo da laranja. Mas e os outros: 456, 405 e 1324? Como que eu vou saber a que nmero na base decimal eles correspondem? - Espere um momento, Aluno! Este o nosso prximo assunto!

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I. 2 Converso entre bases numricas Feita a explicao inicial, vamos ao que cai em prova! Interessar-nos- (nossa, falei bonito n?!?) a converso entre bases numricas! Transformar de uma base b qualquer para a nossa conhecida base decimal OU transformar da base decimal para a base b.

Nos sistemas de numerao posicional, cada dgito da sequncia que representa o nmero pode ser interpretado como o coeficiente de uma potncia da base, onde o valor do expoente depende da posio do dgito na sequncia.

Trocando em midos:

x 456

Posio 1 Posio 0

4 5 61 60

456 = 5x60 + 4x61 = 5 + 24 = 29

OU 456 5 x 60 = 5 4 x 61 = 24

456 = 5 x 60 + 4 x 61 = 29

x 405

Posio 1 Posio 0

4 0 51 50

405 = 0x50 + 4x51 = 0 + 20 = 20

x 60

x 61 08309207050




OU 405 0 x 50 = 0 4 x 51 = 20

40 = 0 x 50 + 4 x 51 = 0 + 20 = 20

x 1324


1 3 2 42 41 40

1324 = 2x40 + 3x41 + 1x42= 2 + 12 + 16= 30

OU 1324 2 x 40 = 2 3 x 41 = 30 1 x 42 = 100

1324 = 2x40 + 3x41 + 1x42= 2 + 12 + 16= 30 OBS.: Lembrem-se de algumas propriedades importantes:

1. Qualquer nmero elevado a pLJXDOD 40 = 1 2. Qualquer nmero HOHYDGRDpLJXDODHOHPHVPR 41 = 4 3. 4XDOTXHUQ~PHURPXOWLSOLFDGRSRUpLJXDODD[0 = 0x1= 0

Entenderam? No difcil n? Vamos ver como a ESAF cobrou isso em prova?

x 50

x 51

x 40

x 41

x 42

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Questo 2 - (TTN - 1997 / ESAF) Nos sistemas de numerao posicional, cada dgito da seqncia que representa o nmero pode ser interpretado como o coeficiente de uma potncia da base, onde o valor do expoente depende da posio do dgito na seqncia. Entre tais sistemas, um dos mais importantes o binrio, ou de base 2, que utiliza apenas os dgitos 0 e 1 na notao dos nmeros. Por exemplo, o nmero que corresponde ao 11 do sistema decimal, indicado por 1011 no sistema binrio, pois 11 (decimal) igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adio dos nmeros binrios 1011 e 101 ser igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16

SOLUO: Vocs devem ter reparado que antes de pedir o que ela queria na questo, a ESAF te ensinou a fazer n? O enunciado da questo poderia PXLWR EHP WHU VLGR WmR VRPHQWH 2 resultado, expresso no sistema decimal, da adio dos nmeros binrios 1011 e 101 ser igual a Pois bem, vamos converter os dois nmeros para o sistema decimal: A questo j nos falou que 10112 = 11. Resta-nos agora converter 1012.


1 0 1 22 21 20

101 1 x 20 = 1 0 x 21 = 0 1 x 22 = 4

1012 = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 = 1 + 0 + 4 = 5

x 20

x 21

x 22

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Assim, 10112 + 1012 = 11 + 5 = 16 Gabarito: Letra E

* * * * * * * Mais questo da ESAF... Questo 3 - ESAF - ATEng (Pref RJ)/2010 A seguir esto representados pelo sistema binrio, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os nmeros naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual o nmero que corresponde ao binrio 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62

SOLUO: Vocs devem ter reparado que antes de pedir o que ela queria na questo, a ESAF deu uma enrolada n? O enunciado da questo poderia PXLWREHPWHUVLGRWmRVRPHQWHQual o nmero que corresponde ao binrio 111011? Pois bem, vamos calcular 1110112.

Posio 5 Posio 4 Posio 3 Posio 2 Posio 1 Posio 0

1 1 1 0 1 1 25 24 23 22 21 20

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111011 1 x 20 1 x 21 0 x 22 1 x 23 1 x 24 1 x 25

1110112 = 1x20 + 1x21 + 0x22 + 1x23 + 1x24 + 1x25 = = 1 + 2 + 0 + 8 + 16 + 32

Assim, 1110112 =59 Gabarito: Letra A

* * * * * * * Muito bem. J aprendemos a converter de uma base b qualquer para a base decimal, muito fcil n? Basta fazer o somatrios dos mltiplos das potncias de b. Mas e o contrrio? E se eu tiver um nmero na base decimal e quiser saber o seu valor na base b, por exemplo? Como fazer?

Tambm muito fcil, nobre aluno! s dividir o nmero por b e depois ir dividindo os quocientes obtidos sucessivamente por b, at que o resultado da diviso seja igual a 0. O nmero na base b ser a concatenao dos restos obtidos.

Exemplifico: Escreva 118 na base 2. 118 | 2 0 59 | 2 1 29 | 2 1 14 | 2 0 7 | 2 1 3 | 2 1 1 | 2 1 0

Dessa forma, 118 = 11101102

Quer fazer a prova real?

x 20

x 21

x 22

x 23

x 24

x 25

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11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26 = 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118

Assim, 118 = 11101102

Exemplifico de novo: Escreva 57 na base 6. 57 | 6 3 9 | 6 3 1 | 6 1 0

Dessa forma, 57 = 1336

Quer fazer a prova real? 1336 = 3x60 + 3x61 + 1x62 = 3 + 6 + 36 = 57

Assim, 57=1336

Perceberam como fcil? Que tal mais uma questo de prova? Questo 4: FCC - AJ TRF4/TRF 4/Apoio Especializado/Contadoria/2010 Sabe-se que, no Brasil, nas operaes financeiras usado o sistema decimal de numerao, no qual um nmero inteiro N pode ser representado como: N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .102 + a1 .101 + a0 .100, HPTXHDi SDUDWRGRLQ Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100 Suponha que, em frias, Benivaldo visitou certo pas, no qual todas as operaes financeiras eram feitas num sistema de numerao de base 6 e cuja unidade monetria HUDRGHOWD$SyVWHUJDsto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condies, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era a) 155. b) 152. c) 145. d) 143.

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e) 134.

SOLUO: A primeira coisa a ser feita identificar a quantos reais equivalem os 2014 deltas que Benivaldo gastou. Temos que converter 2014 na base 6 para a base 10:

2014 4 x 60 1 x 61 0 x 62 2 x 63

20146 = 4x60 + 1x61 + 0x62 + 2x63 = = 4 + 6 + 0 + 432

Assim, 20146 = 442 reais Ao pagar com 5 notas de 100 reais, ou seja, 500 reais, ele faz jus a um troco de 500 442 = 58 reais. Para saber quanto isso vale em deltas, fazemos: 58 | 6 4 9 | 6 3 1 | 6 1 0

Pois bem, 58 reais = 134 deltas.

Gabarito: Letra E

* * * * * * *

x 60

x 61

x 62

x 63

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II. Nmeros naturais: mltiplos, divisores, divisibilidade e restos Nesta parte da Aula, passarei a definir alguns conceitos que voc ir precisar para a resoluo de exerccios. Eu quero que voc saia dessa aula HQWHQGRRHVStULWRGDFRLVDHVDEHQGRID]HURVH[HUFcios relativos a este tpico, que no so muitos e nem so to difceis. Inclusive, tive que recorrer a outras bancas, pois no encontrei muitas questes ESAF sobre esse tema. Vamos l? Nmeros primos Existem nmeros, contudo, que s possuem 2 divisores: o nmero 1 e ele mesmo. Exemplo de nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Os nmeros primos sero de grande utilidade na determinao dos divisores de outro nmero, pois a tcnica utilizada para tal a fatorao, que nada mais do que escrever determinado nmero como uma multiplicao de fatores primos. Decomposio em fatores primos A decomposio em fatores primos nada mais do que escrever um nmero como um produto de nmeros primos. Nada melhor do que um exemplo para entender melhor. Exemplo: Decomponha em fatores primos o nmero 100. Comeamos sempre dividindo pelo menor nmero primo possvel. Quando no der mais, passamos para o prximo:

100 50 25 5 1

2 2 5 5 = 2x2x5x5 = 22x52

Assim, o nmero 100 pode ser escrito como 2x2x5x5 ou 22x52. Vamos fazer mais alguns exemplos: Exemplo: Decomponha em fatores primos o nmero 200.

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Comeamos sempre dividindo pelo menor nmero primo possvel. Quando no der mais, passamos para o prximo:

200 100 50 25 5 1

2 2 2 5 5 = 2x2x2x5x5 = 23x52

Assim, o nmero 200 pode ser escrito como 2x2x2x5x5 ou 23x52. Exemplo: Decomponha em fatores primos o nmero 4.200. Comeamos sempre dividindo pelo menor nmero primo possvel. Quando no der mais, passamos para o prximo:

4200 2100 1050 525 175 35 7 1

2 2 2 3 5 5 7 = 2x2x2x3x5x5x7 = 23x3x52x7.

Assim, o nmero 4.200 pode ser escrito como 2x2x2x3x5x5x7 ou 23x3x52x7. Divisores de um nmero natural Os divisores de um nmero so todos aqueles nmeros que ao dividirem WDOQ~PHURGHL[DPUHVWR Por exemplo, 5 divisor de 25, pois 255=5 e resto 0. uma diviso exata. Por bvio, o conjunto dos divisores de um nmero um conjunto finito. O nmero 1 divisor de todos os nmeros e todo nmero divisor de si mesmo. Como j vimos anteriormente, os nmeros que s possuem 2 GLYLVRUHVRHHOHPHVPRVmRFKDPDGRVSULPRV

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Para saber a quantidade de divisores de um nmero qualquer, basta fazer a multiplicao de todos os expoentes da sua decomposio em fatores primos, adicionado, cada um de + 1. Assim, o nmero total de divisores de 4.200 (3+1)x(1+1)x(2+1)x(1+1) = 48, pois 4.200=23x3x52x7. O nmero total de divisores de 200 (3+1)x(2+1) = 12, pois 200=23x52. O nmero total de divisores de 100 (2+1)x(2+1) = 9, pois 100=22x52. Agora, para saber QUEM so os divisores de um nmero natural, h um macete. Vamos fazer com o 100 e voc extrapolar para qualquer outro. A primeira coisa a fazer reescrever a fatorao do nmero 100 e colocar o nmero 1 logo acima, pois como vimos, o 1 divisor de todo mundo!

1 100 50 25 5 1

2 2 5 5

Os demais divisores so encontrados pela multiplicao do fator primo da linha imediatamente posterior por todos os outros divisores. Assim:

1 100 50 25 5 1

2 2 5 5

2 2, 4 5, 10, 20 25, 50, 100

Assim, o conjunto dos divisores de 100 D (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} Voc pode checar que so 9, conforme j havamos calculado. Questo 5: FJG - ACE (TCM-RJ)/TCM-RJ/Tecnologia da Informao/2011 Um orfanato costuma levar para passear suas 72 crianas. O passeio feito em grupos pequenos, sempre com o mesmo nmero de participantes de cada vez, e os grupos so formados por mais

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de 5 e menos de 20 participantes por vez. Desse modo, o nmero de maneiras diferentes pelas quais podem ser reunidas essas crianas de: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

SOLUO:

Temos que achar os divisores de 72. 1

72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

2 4 8 3, 6, 12, 24 9, 18, 36, 72

D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} O nmero de divisores compreendido entre 5 e 20 igual 5. Gabarito: Letra C

* * * * * * * Divisibilidade Para facilitar nossa vida, existem alguns critrios para voc bater o olho em um nmero e afirmar com certeza se ele ou no divisvel por outro. Para a decomposio em fatores primos, fundamental que voc saiba estas regrinhas. Divisibilidade por 2: Um nmero ser divisvel por 2 se for par. Divisibilidade por 3: Um nmero ser divisvel por 3 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3. Divisibilidade por 4: Um nmero ser divisvel por 4 se for terminado em 00 ou se o nmero formado pelos seus dois ltimos algarismos for divisvel por 4.

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Divisibilidade por 5: Um nmero ser divisvel por 5 se for terminado em 0 ou 5. Divisibilidade por 6: Um nmero ser divisvel por 6 se for divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Divisibilidade por 7: Veremos a regrinha de divisibilidade por 7 em um exerccio. Ela bem complexa... Divisibilidade por 8: Um nmero ser divisvel por 8 se for terminado em 000 ou se o nmero formado pelos seus trs ltimos algarismos for divisvel por 8. Divisibilidade por 9: Um nmero ser divisvel por 9 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 9. Divisibilidade por 10: Um nmero ser divisvel por 10 se for terminado em 0. Divisibilidade por 11: Um nmero ser divisvel por 11 quando a diferena entre a soma dos dgitos de posio par (0, 2, 4, ...) e os dgitos de ordem mpar (posio 1, 3, 5, ...) resultar em um mltiplo de 11. Aqui merece um exemplo: 3.946.723 Dgitos de ordem mpar: 2, 6, 9. Soma: 17 Dgitos de ordem par: 3, 7, 4, 3. Soma: 17 Diferena entre os dgitos de ordem par e mpar = 17 17 = 0, que divisvel por 11. Ento, 3.946.723 divisvel por 11. Divisibilidade por 12: Um nmero ser divisvel por 12 se for divisvel por 3 e por 4 ao mesmo tempo. Divisibilidade por 15: Um nmero ser divisvel por 15 se for divisvel por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Divisibilidade por 25: Um nmero ser divisvel por 25 quando terminar em 00, 25, 50 ou 75 Questo 6: FCC - AFR SP/SEFAZ SP/Gesto Tributria/2009 O tabuleiro a seguir usado em um jogo que uma professora de Matemtica costuma propor a seus alunos do 6 ano.

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A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde est marcado o nmero 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o nmero da casa onde se encontra pela pontuao obtida no dado. O resto dessa diviso indicar a quantidade de casas que ele dever avanar. Por exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele dever avanar 2 casas, que o resto da diviso de 7 por 5, chegando casa onde est marcado o nmero 27. O jogador que primeiro atingir a casa onde est escrito CHEGADA o vencedor. Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinmica depende dos nmeros marcados nas diversas casas do tabuleiro. O nmero 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alterao na dinmica do jogo, pelo nmero a) 77 b) 81 c) 84 d) 87 e) 96

SOLUO:

Para trocar o nmero 27 por qualquer outro N, sem alterar a dinmica do jogo, este deve ter exatamente os mesmos restos que 27 tem na diviso pelos nmeros de 1 a 6 (faces do dado).

Dividendo Divisor Resto 27 1 0 27 2 1 27 3 0 27 4 3 27 5 2 27 6 3

Observe que o resto da diviso por 2 1, ou seja, deve ser um nmero mpar. Descartamos as opes C e E. Observe que o resto da diviso por 3 0, ou seja, deve ser um nmero divisvel por 3. Descartamos a opo A. Sobram apenas B: 81 e D: 87

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Observe que o resto da diviso por 5 2. Descartamos a opo B, pois 815 deixa resto 1. Sobra D: 87.

Gabarito: Letra D * * * * * * * Questo 7: FCC - AFTM SP/Pref SP/Gesto Tributria/2012 Considere a multiplicao abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dgito e o resultado um nmero de 5 algarismos.

R A M O S x 9 S O M A R

A soma (S + O + M + A + R) igual a a) 25. b) 27. c) 29. d) 31. e) 33.

SOLUO:

Ora, se o nmero S O M A R resultado de uma multiplicao por 9, porque ele divisvel por 9. Para ser divisvel por 9, a soma dos valores absolutos dos algarismos que compem o nmero deve ser divisvel por 9. Analisando as respostas, a nica que divisvel por 9 a 27.

Gabarito: Letra B * * * * * * * Mltiplos de um nmero natural Esto lembrados de quando comearam a estudar matemtica e tinham que decorar tabuada?

9x0 = 0 9x1 = 9

9x2 = 18

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9x3 = 27 ...

9x9 = 81 9x10 = 90

Pois ento, estes so os 11 primeiros mltiplos de 9 Diz-se, portanto que o nmero 27 mltiplo de 9 porque divisvel por 9. Percebem como os conceitos de mltiplos e divisores esto intimamente relacionados? Ademais, podemos afirmar o seguinte: Um nmero X s mltiplo de outro Y se e somente se X for divisvel por Y. Questo 8: ESAF - AUFC/TCU/1999 Em uma escola de msica, exatamente 1/4 do nmero total de vagas destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino so destinadas para o turno diurno. Um possvel valor para o nmero total de vagas da escola : a) 160 b) 164 c) 168 d) 172 e) 185

SOLUO:

Seja N o total de vagas. Seja V o total de vagas para violino. V = (1/4)xN (I) Seja D o total de vagas para violino diurno. D = (1/8)xV (II) De (I), sei que N = 4V De (II), sei que V = 8D Substituindo o valor de V, temos que N = 4x(8D) = 32D Chegamos concluso que N um mltiplo de 32. Das opes de resposta, a nica que mltiplo de 32 a letra A. 160 = 32 x 5.

Gabarito: Letra A * * * * * * *

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Questo 9: CESGRANRIO - Tec (INSS)/INSS/2005 A razo entre o nmero de homens e de mulheres, funcionrios da firma W, 3/5. Sendo N o nmero total de funcionrios (nmero de homens mais o nmero de mulheres), um possvel valor para N : a) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) 56

SOLUO:

Seja M o nmero de mulheres. Seja H o nmero de homens N = M + H (i) (H/M) = (3/5) (ii) De (ii), vem que 3M=5H, ou M = (5H/3) Substituindo em (i), vem que N = (5H/3) + H ou: ? ?

Como H tem que ser um nmero natural, N deve ser divisvel por 8. O nico mltiplo de 8 nas respostas o 56. Gabarito: Letra E

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III. M.D.C. e M.M.C.

Mnimo Mltiplo Comum (MMC) Denomina-se MMC entre n nmeros o menor dos mltiplos que comum a todos eles. Mximo Divisor Comum (MDC) Denomina-se MDC entre n nmeros o maior dos divisores que comum a todos eles.

Como calcular o MMC e o MDC entre n nmeros? Bem, para calcul-los, voc vai precisar decompor os n nmero em fatores primos.

O MMC o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes. O MDC o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

Vamos exemplificar para ficar mais claro? Calcule o MMC e o MDC do seguinte conjunto de nmeros: 16.500, 368.550, 3.583.125 O primeiro passo decompor em fatores primos: 16500

8250 4125 1375 275 55 11 1

2 2 3 5 5 5 11 = 22x3x53x11

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368550 184275 61425 20475 6825 2275 455 91 13 1

2 3 3 3 3 5 5 7 13 = 2x34x52x7x13

3583125 1194375 398125 79625 15925 3185 637 91 13 1

3 3 5 5 5 5 7 7 13 = 32x54x72x13

O MMC o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes. 16500 = 22 x 3 x 53 x 11 368550 = 2 x 34 x 52 x 7 x13 3583125 = 32 x 54 x 72 x13 MMC (16500, 368550, 3583125) = 22x34x54x72x11x13 No MMC, no tem frescura. Todo mundo entra e com o maior expoente! Questo 10: ESAF - Ag Exec (SUSEP)/SUSEP/2006 Obtenha o mnimo mltiplo comum entre 6, 10 e 15. a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 150

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SOLUO:

6 3 1

2 3 6 = 2x3

10 5 1

2 5 10 = 2x5

15 5 1

3 5 15 = 3x5

6 = 2 x 3 10 = 2 x 5 15 = 3 x5 MMC = 2x3x5 = 30 Um macete para calcular o MMC mais rpido fazer a decomposio em fatores primos simultaneamente, at achar tudo 1. Depois s multiplicar. Assim:

6 10 15 3 5 15 1 5 5 1 1 1

2 3 5 MMC = 2x3x5 = 30

Gabarito: Letra A * * * * * * * O MDC o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. 16500 = 22 x 3 x 53 x 11 368550 = 2 x 34 x 52 x 7 x13 3583125 = 32 x 54 x 72 x13 MDC (16500, 368550, 3583125) = 3x52 No MDC, s entram os fatores comuns a todos (3 e 5) e com o menor expoente! Questo 11: FCC - AuxJ TRF2/TRF 2/Administrativa/2007

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Um auxiliar judicirio foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execuo dessa tarefa recebeu as seguintes instrues: - todos os documentos arquivados devero ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos; - cada caixa dever conter apenas documentos de um nico tipo. Nessas condies, se a tarefa for cumprida de acordo com as instrues, a maior quantidade de documentos que poder ser colocada em cada caixa a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48

SOLUO: Questo fcil, simples, objetiva e direta. Precisamos achar um nmero que divida tanto o 192 quanto o 168 e que este nmero seja o maior possvel, que ser justamente o nmero mximo de documentos por caixa. Estamos falando do... MDC!

192 96 48 24 12

6 3 1

2 2 2 2 2 2 3 192 = 26x3

168 84 42 21

7 1

2 2 2 3 7 168 = 23x3x7

192 = 2 6x 3 168 = 23 x 3 x 7

MMC = 23x3 = 24 Um macete para calcular o MDC mais rpido fazer a decomposio em fatores primos simultaneamente, at achar tudo 1. Depois s multiplicar os fatores nas linhas onde houve diviso em TODOS os elementos. Assim:

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192 168 96 84 48 42 24 21 12 21

6 21 3 21 1 7 1 1

2 (Ambos foram divididos por 2) 2 (Ambos foram divididos por 2) 2 (Ambos foram divididos por 2) 2 2 2 3 (Ambos foram divididos por 3) 7 MDC = 23x3 = 24

H ainda uma outra regrinha prtica para clculo do MDC. Basta dividirmos o maior pelo menor e depois os restos sucessivamente, at chegarmos numa diviso exata. O resto que proporcionar diviso exata o MDC. Vejamos: 192168 = 1 , com resto 24 16824 = 7, com resto 0 (diviso exata) -->>> MDC = 24 Gabarito: Letra C

* * * * * * *

IV. Restos. A teoria que envolve o assunto dos restos bem simples, mas bastante interessante, alm de ser bastante intuitiva. Veremos duas propriedades interessantssimas que nos faro resolver problemas que, primeira vista, parecem ser bastante trabalhosos. Exemplo: Calcule o resto da diviso da Soma: (1480 + 5879 + 5903 + 360 + 478520 + 250 + 85 + 175 + 9875) por 5. Ora, nosso primeiro impulso somar tudo e dividir por 5 para ver qual ser o resto da diviso. No est errado esse procedimento, entretanto, ele trabalhoso e o risco de errar grande! Sem contar que em um concurso, voc no pode perder tempo toa. A primeira propriedade do resto que quero mostrar para voc :

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O resto da diviso de uma soma por um nmero igual ao resto da diviso da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nmero.

Ou seja, voltando ao nosso exemplo: Calcule o resto da diviso da Soma: (1480 + 5879 + 5903 + 360 + 478520 + 250 + 85 + 175 + 9875) por 5. Em vez de cair dentro da soma e fazer a diviso, calcularemos os restos da diviso de cada parcela por 5. Ao fazer isso, voc deve observar, nobre Aluno, que quase todas as parcelas terminam em 0 ou 5, ou seja, so divisveis por 5 e, portanto, deixam resto 0 na diviso por ele. As nicas parcelas que no so divisveis por 5 so: 5879 e 5903. 58795 deixa resto 4 59035 deixa resto 3 Ento, a soma dos restos das parcelas individuais igual a 7 (4 + 3 + vrios zeros). 75 deixa resto 2 Logo, podemos concluir que a diviso (1480 + 5879 + 5903 + 360 + 478520 + 250 + 85 + 175 + 9875) 5 deixa resto 2. Analogamente, quero mostrar a segunda propriedade do resto para voc:

O resto da diviso de um produto por um nmero igual ao resto da diviso do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nmero.

Vamos a um novo exemplo: Calcule o resto da diviso do produto: (545 x 867 x 894) por 4. Em vez de cair dentro do produto e fazer a multiplicao, calcularemos os restos da diviso de cada fator por 4.. 5454 deixa resto 1 8674 deixa resto 3 8944 deixa resto 2 Ento, o produto dos restos dos fatores individuais igual a 6 (1 x 3 x 2)

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64 deixa resto 2 Logo, podemos concluir que a diviso do produto: (545 x 867 x 894) por 4 deixa resto 2. Vamos ver como essas propriedades podem ser cobradas em concurso? Questo 12: FGV - ACI (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2011 Quando o nmero 121 dividido por um certo divisor, o resto da diviso 4. Quando o nmero 349 dividido pelo mesmo divisor, o resto da diviso 11. Quando a soma dos nmeros 121 e 349 dividida pelo mesmo divisor, o resto 2. O valor do divisor a) 15. b) 19. c) 9. d) 13. e) 17.

SOLUO:

Pela propriedade do resto, o resto da diviso de uma soma por um nmero igual ao resto da diviso da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nmero.

121 X deixa resto 4 349 X deixa resto 11 (da voc j conclui que X > 11, certo caro Aluno?) Ento, a soma dos restos das parcelas individuais igual a 15 (4 + 11). (121+349) X deixa resto 2 Logo, 15 X tambm deve deixar resto 2 Analisando as opes de resposta, X s pode ser igual a 13

Gabarito: Letra D * * * * * * *

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V. Mais Questes Comentadas... Questo 13: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 O nmero 1001011, do sistema binrio de numerao, no sistema decimal de numerao equivale a um nmero x tal que a) 0 < x < 26 b) 25 < x < 51 c) 50 < x < 75 d) 74 < x < 100 e) x > 99

SOLUO:

Posio 6

Posio 5

Posio 4

Posio 3

Posio 2

Posio 1

Posio 0

1 0 0 1 0 1 1 26 25 24 23 22 21 20

10010112 = 1x20 + 1x21 + 0x22 + 1x23 + 0x24 + 0x25 + 1x26 = 1 + 2 + 8 + 64 = 75

Assim, 10010112 =75

Gabarito: Letra D * * * * * * *

Questo 14: FCC - AJ TRT4/TRT 4/Apoio Especializado/Tecnologia da Informao/2011 No Brasil, o sistema monetrio adotado o decimal. Por exemplo: 205,42 reais = (2 102 + 0 101 + 5 100 + 4 10 + 2 10) reais 6XSRQKDTXHHPFHUWRSDtVHPTXHDPRHGDYLJHQWHpRPXPXo sistema monetrio seja binrio. O exemplo seguinte mostra como FRQYHUWHUFHUWDTXDQWLDGDGDHPPXPXVSDUDUHDLV 110,01 mumus = (1 22 + 1 21 + 0 20 + 0 2 + 1 2) reais = 6,25 reais Com base nessas informaes, se um brasileiro em viagem a esse pas quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia TXHHOHUHFHEHUiHPPXPXVp a) 10 100 001,11.

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b) 110 000 001,1. c) 110 000 011,11. d) 110 000 111,1. e) 111 000 001,11.

SOLUO:

Esta questo j um pouco mais complicadinha, pois envolve algarismos depois da vrgula. Mas no h com o que se preocupar: como se eles fossem a posio -1, -2, -3 etc do nmero e o algarismo que ocupa essa posio dever multiplicar a base elevada a essa potncia, como o enunciado explica bem. Bem, para acharmos o equivalente de 385,5 em binrio, fazemos assim: 385,5 = 385+0,5. Ou seja, vamos calcular o binrio da parte inteira, 385, e da parte decimal, 0,5, separadamente. Depois somamos.

385 | 2 1 192 | 2 0 96| 2 0 48| 2 0 24 | 2 0 12 | 2 0 6 | 2 0 3 | 2 1 1 | 2 1 0 Assim, 385 = 1100000012 Falta calcular 0,5 em binrio. Ora voc deve reparar que 0,5 = = 2-1

Repare ento que 0,5 = 1 x 2-1

Isto significa que, em binrio, a posio -1, depois da vrgula, igual a 1. Nossa resposta ento : 110000001,12

Gabarito: Letra B * * * * * * *

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Questo 15: FCC - Tec (BACEN)/BACEN/2006 Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsvel pela venda de ttulos composto de trs elementos. Se, num determinado perodo, cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 ttulos, o total de ttulos vendidos pelo grupo sempre um nmero mltiplo de a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

SOLUO:

Vamos trabalhar com as hipteses possveis. Se cada um dos trs vendeu 4 ou 7, so as seguintes as possibilidades: 1) Todos vendem 4, total = 12 2) Todos vendem 7, total = 21 3) Dois vendem 4, um vende 7, total = 15 4) Dois vendem 7, um vende 4, total = 18 Repare que todos so divisveis por e, portanto so mltiplos de 3.

Gabarito: Letra A * * * * * * * Questo 16: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 Dos 50 funcionrios que participaram de um curso sobre a utilizao de sistemas aplicativos das atividades meio e fim do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, sabe-se que: todos eram formados em Cincia da Computao ou em Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos; 1/5 do nmero de mulheres eram formadas em Engenharia de Software e 7/8 do nmero de homens eram formados em Cincia de Computao. Assim sendo, nesse curso, o total de participantes formados em Engenharia de Software era a) 23

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b) 17 c) 13 d) 9 e) 7

SOLUO:

Seja H o nmero de homens Seja M o nmero mulheres

Como todos so homens OU mulheres H + M = 50 (i) 1/5 das mulheres formado em Engenharia de Software. Logo: ? ? M um nmero mltiplo de 5 7/8 dos homens formado em Cincia da Computao. Logo: ? ? H um nmero mltiplo de 8 Os possveis valores para H so: 0, 8, 16, 24, 32, 40 Os possveis valores para M so: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45

Analisando os possveis valores para H e M, chegamos concluso que, para a soma dar 50, H s pode ser 40 e M s pode ser 10. Como a questo quer saber os formados em Engenharia de Software, basta aplicar: x 1/5 do nmero de mulheres eram formadas em Engenharia de

Software = 1/5 de 10 = 2 x Se 7/8 do nmero de homens eram formados em Cincia de

Computao, porque 1/8 do nmero de homens eram formados em Engenharia de Software. = 1/8 de 40 = 5

2 + 5 = 7 Gabarito: Letra E

* * * * * * *

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* * * * * * * Questo 17: ESAF - AUFC/TCU/Controle Externo/Controle Externo/2002 Sabe-se que todo o nmero inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n primo, ento tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n uma potncia de um primo p, ou seja, da forma ps, ento 1, p, p2, ..., ps so os divisores positivos de n. Segue-se da que a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 100, que tm exatamente trs divisores positivos, igual a: a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169

SOLUO:

Os inteiros positivos que tm somente 3 divisores tm algumas caractersticas peculiares. Vamos estuda-los. Seja N um nmero que s tem 3 divisores. D(N) = {1, x, N} Ora, a primeira concluso a que chegamos que x s pode ser um nmero primo pois, caso contrrio, ele poderia ser decomposto como um produto de fatores primos e esses fatores tambm seriam divisores de N. Assim: D(N) = {1, p, N} Ora, se p divisor de N, o quociente N/p inteiro e, por conseguinte, tambm um divisor de N. Mas como N s pode ter 3 divisores, a nica hiptese em que isso possvel quando o quociente N/p igual ao prprio p. Dessa forma: (N/p)=p O que nos leva a N = p2, ou seja o nosso nmero N o quadrado de um nmero primo.

Temos que procurar os quadrados (p2) dos nmeros primos (p) que so menores do que 100 e tm, exatamente, 3 divisores: 1, p, p2

Os nmeros primos (p) so: 2, 3, 5, 7, 11, ... Os seus quadrados so (p2) menores que 100 so: 4, 9, 25, 49

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Note que os divisores desses nmeros so apenas 3. D(4) = {1, 2, 4} D(9) = {1, 3, 9} D(25) = {1, 5, 25} D(49) = {1, 7, 49} Sua soma : 4 + 9 + 25 + 49 = 87

Gabarito: Letra B * * * * * * * Questo 18: CESGRANRIO - Tec (BACEN)/BACEN/rea 1/2009 Existe uma regra prtica de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento: Separa-se o ltimo algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado subtrado do nmero que restou sem o algarismo direita. Procede-se assim, sucessivamente, at se ficar com um nmero mltiplo de 7, mesmo que seja zero. Veja os exemplos a seguir:

Seja a um algarismo no nmero a13.477.307. O valor de a para que este nmero seja divisvel por 7 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

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SOLUO: A 1 3 4 7 7 3 0 7

A 1 3 4 7 7 3 0 | 7 x 2 = 14 1 4 A 1 3 4 7 7 1 |6 x 2 = 12 1 2 A 1 3 4 7 5|9 x 2 = 18 1 8 A 1 3 4 5|7 x 2 = 14

1 4 A 1 3 3|1 x 2 = 2

2 A 1 3|1 x 2 = 2 2 A 1|1 x 2 = 2 2

(A1 2) mltiplo de 7. Posso escrever o nmero A1 como 10A + 1, esto lembrados? E toda vez que um nmero for mltiplo de outro N, posso escrever ele na forma N.k, onde k uma constante inteira. Ento: (10A + 1) 2 = 7k ? ? ? ? Testando as opes de resposta, 1, 3, 5, 7 e 9, a nica que nos leva a um k inteiro quando A = 5. Gabarito: Letra C

* * * * * * * Questo 19: FCC - Tec MPU/MPU/Apoio Especializado/Controle Interno/2007 Seja X o menor nmero positivo que multiplicado por 7 resulta em um nmero cujos algarismos so todos iguais a 5. O nmero X a) um quadrado perfeito. b) menor que 60 000. c) divisvel por 9. d) tal que o produto 7X tem 5 algarismos. e) tem a soma dos algarismos igual a 30.

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SOLUO:

Temos algo do tipo: ; QmRVDEHPRVTXDQWRVKiQHVVHQ~PHUR A nica coisa que podemos inferir que esse nmero 5555...5 divisvel por 7. Vamos achar ento o menor nmero no formato 5555...5 que divisvel por 7? A ideia irmos reduzindo o nmero fazendo a tcnica da divisibilidade por 7 at chegarmos em um nmero divisvel por 7.

... 5 5 5 5 5 5|5 x 2 = 10 1 0 ... 5 5 5 5 4|5 x 2 = 10

1 0 ... 5 5 5 4|4 x 2 = 8

8 ... 5 5 4|6 x 2 = 12

1 2 ... 5 4 2

Opa!!! Finalmente chegamos em um nmero divisvel por 7. 6 x 7 = 42!!!!

Logo, FRQWDQGR D TXDQWLGDGH GH TXH FRUWDPRV FKHJDPRV jconcluso que o nosso nmero 555.555 Como X 1/7 desse nmero, basta dividir por 7 para achar X: X = 79.365, cuja soma dos valores absolutos dos algarismos igual a 30.

Gabarito: Letra E * * * * * * * Questo 20: CEPERJ - OF (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2010 O produto de dois nmeros naturais 28, e a soma deles a menor possvel. A diferena entre eles (o maior menos o menor) : a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 12

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SOLUO:

Como so dois nmeros naturais, a questo fica fcil. Ora se o produto deles 38, eles s podem ser: {1, 28} {2, 14} {4, 7} A opo que apresenta o menor valor de soma a ltima (7 + 4= 11) e a diferena entre eles igual a 3 (7 4 = 3)

Gabarito: Letra B * * * * * * * Questo 21: FCC - AuxJ TRT6/TRT 6/Servios Gerais/2006 Se X o menor nmero natural que tem cinco algarismos e Y o maior nmero natural que tem quatro algarismos distintos, a GLIHUHQoD;




Assim, a menor freqncia que o tipo C pode ter de: a) 10 dias; b) 12 dias; c) 24 dias; d) 36 dias; e) 40 dias.

SOLUO:

Seja X a frequncia de checagem de C. A questo est nos informando que o mmc (4, 6, X) = 120. Ora, vamos decompor os nmeros em fatores primos: 4 = 22 6 = 2x3 120 = 23x3x5

Como o MMC pega todos os fatores com os maiores expoentes, conclumos que 23 e o 5 pertencem fatorao do nmero X e o 3 PODE pertencer, uma vez que ele est no MMC e j est na fatorao do 6

Logo, os valores possveis para X so: X = 23x5 = 40 ou X = 23x3x5=120 Analisando as alternativas, X = 40

Gabarito: Letra E * * * * * * * Questo 23: FCC - EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009 Na Assembleia Legislativa de um estado, 1/6 dos deputados so filiados ao partido A, 1/8 ao partido B, 1/9 ao partido C e 1/12 ao partido D, sendo os restantes filiados ao partido E. A partir desses dados, correto concluir que a quantidade de deputados desse estado filiados ao partido E , no mnimo, igual a a) 55 b) 37 c) 33 d) 25 e) 19

SOLUO:

Seja N o total de filiados: ?

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? ? ? ?

Para achar o restante, fazemos o total menos as quantidades j filiadas aos demais partidos. ? ? ? ? ?

Nestas questes de frao, temos que calcular o MMC dos denominadores. 6 8 9 12 3 4 9 6 3 2 9 3 3 1 9 3 1 1 3 1 1 1 1 1

2 2 2 3 3 MMC = 23x32=72

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Como N deve ser um nmero natural, para que a diviso acima tambm seja um nmero natural, N deve ser mltiplo de 37. Analisando as respostas, ficamos com o prprio 37.

Gabarito: Letra B * * * * * * * Questo 24: FCC - AJ TRT6/TRT 6/Judiciria/"Sem Especialidade"/2012 Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleies gerais na ndia ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso Internacional de Transportes a Cabo ocorre de 6 em 6 anos. Se esses eventos aconteceram em 1999, a prxima vez que os trs voltaro a ocorrer num mesmo ano ser em a) 2119.

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b) 2059. c) 2044. d) 2029. e) 2023.

SOLUO:

MMC(4,5,6) 4 5 6

2 5 3 1 5 3 1 5 1 1 1 1

2 2 3 5 MMC = 22x3x5=60

1999 + 60 = 2059 Gabarito: Letra B

* * * * * * * Questo 25: FCC - TJ TRF4/TRF 4/Administrativa/"Sem Especialidade"/2010 6XSRQKDTXHVLVWHPDWLFDPHQWHWUrVJUDQGHVLQVWLWXLo}HV; Y H=UHDOL]DPFRQFXUVRVSDUDSUHHQFKLPHQWRGHYDJDV;GHem 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as trs realizaram concursos, correto concluir que uma nova coincidncia ocorrer em a) julho de 2015. b) junho de 2014. c) julho de 2013. d) janeiro de 2012. e) fevereiro de 2011.

SOLUO:

Vamos transformar em meses. X -> 1,5 anos = 18 meses Y -> 2 anos = 24 meses Z -> 3 anos = 36 meses MMC(18,24,36)

18 24 36 9 12 18

9 6 9 9 3 9

2 2 2 3

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3 1 3 1 1 1

3 MMC = 23x32=72

A prxima coincidncia ocorrer em 72 meses, ou 6 anos. Logo, em janeiro de 2012.

Gabarito: Letra D * * * * * * Questo 26: FCC - Tec MPU/MPU/Informtica/2007 Em uma sede da Procuradoria da Justia sero oferecidos cursos para a melhoria do desempenho pessoal de seus funcionrios. Considere que: - essa sede tem 300 funcionrios, 5/12 dos quais so do sexo feminino; - todos os funcionrios devero fazer um nico curso e, para tal, devero ser divididos em grupos, cada qual composto com pessoas de um mesmo sexo; - todos os grupos devero ter o mesmo nmero de funcionrios; - cada grupo formado ter seu curso em um dia diferente dos demais grupos. Diante disso, a menor quantidade de cursos que devero ser oferecidos a) 25 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12

SOLUO: Quantidade de mulheres: M = (5/12)x300 = 125 Quantidade de homens: H = 300 125 = 175

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A menor quantidade de cursos quando eu divido o nmero de homens e mulheres pelo mesmo nmero e esse nmero mximo, ou seja, estamos falando do MDC entre 125 e 175. 175125 = 1, com resto 50 12550 = 2, com resto 25 5025 = 2, com resto 0 -> Diviso exata! MDC(175,125) = 25 Mas cuidado com a pegadinha! 25 no ainda a quantidade de cursos. 25 a quantidade mxima de pessoas por curso. Para saber a quantidade de cursos, basta dividir: 30025 = 12

Gabarito: Letra E * * * * * * * Questo 27: VUNESP - ETJ (TJM SP)/TJM SP/2011 Ao longo de um dia, um supermercado fez vrios anncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de durao. Os tempos totais de apario dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a 90s, 108s e 144s. Se a durao de cada anncio, em segundos, foi a maior possvel, ento, a soma do nmero de aparies dos trs produtos, nesse dia, foi igual a a) 14. b) 15. c) 17. d) 18. e) 19.

SOLUO:

Vamos achar a durao de cada um. Se ela a maior possvel, deve ser o MDC entre 90, 108 e 144

90 108 144 45 54 72 45 27 36 45 27 18 45 27 9

15 9 3 5 3 1 5 1 1 1 1 1

2 2 2 2 3 3 3 5 MMC = 2x32=18

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Para saber quantas vezes cada um apareceu, basta dividir o tempo total de apario pelo tempo de cada anncio, a saber 18: A: 90 18 = 5 aparies B: 108 18 = 6 aparies C: 144 18 = 8 aparies Total de aparies: 5 + 6 + 8 = 19 Gabarito: Letra E

* * * * * * *

Questo 28: CESGRANRIO - Tec Adm (BNDES)/BNDES/2013 Seja x um nmero natural tal que o mnimo mltiplo comum entre x e 36 360, e o mximo divisor comum entre x e 36 12. Ento, a soma dos algarismos do nmero x a) 3 b) 5 c) 9 d) 16 e) 21

SOLUO:

Vamos decompor o 36 36

18 9 3 1

2 2 3 3 36 = 22x32

Vamos decompor o MMC = 360 360

180 90 45 15

5 1

2 2 2 3 3 5 360 = 23x32x5

Vamos decompor o MDC 12

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12 6 3 1

2 2 3 12 = 22x3

36 = 22x32

MMC (36, x) = 23x32x5 MDC (36, x) = 22x3 Vamos lembrar das propriedades do MMC O MMC o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes. Se o MMC entre 36 (22x32) e x 23x32x5, posso inferir que 23 fator de x e que 5 fator de x. Ento, x , no mnimo, da forma 23x5. Ainda nada podemos afirmar sobre a presena ou no do fator 3 na fatorao de x. Vamos continuar analisando lembrando das propriedades do MMC O MDC o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Se o MDC entre 36 (22x32) e x 22x3, posso inferir que 3 fator de x. Como o 3 j aparece elevado ao quadrado no 36, ele deve estar elevado a 1 em x. Ento, x igual 23x3x5 = 120 A soma dos algarismos de x igual a 3 Gabarito: Letra A * * * * * * *

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VI. Lista das Questes Apresentadas

Questo 1: FJG - CAM (Pref RJ)/Pref RJ/2002 O algarismo das unidades de um nmero de dois algarismos y e o das dezenas x. Colocando-se um algarismo z direita desse nmero, obtm-se o seguinte nmero: a) 1000x + 100y + 10z b) 1000x + 10y + z c) 100y + 10x + z d) 100x + 10y + z Questo 2 - (TTN - 1997 / ESAF) Nos sistemas de numerao posicional, cada dgito da seqncia que representa o nmero pode ser interpretado como o coeficiente de uma potncia da base, onde o valor do expoente depende da posio do dgito na seqncia. Entre tais sistemas, um dos mais importantes o binrio, ou de base 2, que utiliza apenas os dgitos 0 e 1 na notao dos nmeros. Por exemplo, o nmero que corresponde ao 11 do sistema decimal, indicado por 1011 no sistema binrio, pois 11 (decimal) igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adio dos nmeros binrios 1011 e 101 ser igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16 Questo 3 - ESAF - ATEng (Pref RJ)/2010 A seguir esto representados pelo sistema binrio, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os nmeros naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual o nmero que corresponde ao binrio 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62 Questo 4: FCC - AJ TRF4/TRF 4/Apoio Especializado/Contadoria/2010 Sabe-se que, no Brasil, nas operaes financeiras usado o sistema decimal de numerao, no qual um nmero inteiro N pode ser representado como:

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N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .102 + a1 .101 + a0 .100, HPTXHDi < 10 , SDUDWRGRLQ Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100 Suponha que, em frias, Benivaldo visitou certo pas, no qual todas as operaes financeiras eram feitas num sistema de numerao de base 6 e cuja unidade monetria era RGHOWD$SyVWHUJDVWRdeltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condies, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era a) 155. b) 152. c) 145. d) 143. e) 134. Questo 5: FJG - ACE (TCM-RJ)/TCM-RJ/Tecnologia da Informao/2011 Um orfanato costuma levar para passear suas 72 crianas. O passeio feito em grupos pequenos, sempre com o mesmo nmero de participantes de cada vez, e os grupos so formados por mais de 5 e menos de 20 participantes por vez. Desse modo, o nmero de maneiras diferentes pelas quais podem ser reunidas essas crianas de: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Questo 6: FCC - AFR SP/SEFAZ SP/Gesto Tributria/2009 O tabuleiro a seguir usado em um jogo que uma professora de Matemtica costuma propor a seus alunos do 6 ano.

A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde est marcado o nmero 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o nmero da casa onde se encontra pela pontuao obtida no dado. O resto dessa diviso indicar a quantidade de casas que ele dever avanar. Por exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele dever avanar 2 casas, que o resto da diviso de 7 por 5, chegando casa onde est marcado o nmero 27. O jogador

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que primeiro atingir a casa onde est escrito CHEGADA o vencedor. Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinmica depende dos nmeros marcados nas diversas casas do tabuleiro. O nmero 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alterao na dinmica do jogo, pelo nmero a) 77 b) 81 c) 84 d) 87 e) 96 Questo 7: FCC - AFTM SP/Pref SP/Gesto Tributria/2012 Considere a multiplicao abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dgito e o resultado um nmero de 5 algarismos.

R A M O S x 9 S O M A R

A soma (S + O + M + A + R) igual a a) 25. b) 27. c) 29. d) 31. e) 33. Questo 8: ESAF - AUFC/TCU/1999 Em uma escola de msica, exatamente 1/4 do nmero total de vagas destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino so destinadas para o turno diurno. Um possvel valor para o nmero total de vagas da escola : a) 160 b) 164 c) 168 d) 172 e) 185 Questo 9: CESGRANRIO - Tec (INSS)/INSS/2005 A razo entre o nmero de homens e de mulheres, funcionrios da firma W, 3/5. Sendo N o nmero total de funcionrios (nmero de homens mais o nmero de mulheres), um possvel valor para N : a) 46 b) 49 c) 50

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d) 54 e) 56 Questo 10: ESAF - Ag Exec (SUSEP)/SUSEP/2006 Obtenha o mnimo mltiplo comum entre 6, 10 e 15. a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 150 Questo 11: FCC - AuxJ TRF2/TRF 2/Administrativa/2007 Um auxiliar judicirio foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execuo dessa tarefa recebeu as seguintes instrues: - todos os documentos arquivados devero ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos; - cada caixa dever conter apenas documentos de um nico tipo. Nessas condies, se a tarefa for cumprida de acordo com as instrues, a maior quantidade de documentos que poder ser colocada em cada caixa a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 Questo 12: FGV - ACI (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2011 Quando o nmero 121 dividido por um certo divisor, o resto da diviso 4. Quando o nmero 349 dividido pelo mesmo divisor, o resto da diviso 11. Quando a soma dos nmeros 121 e 349 dividida pelo mesmo divisor, o resto 2. O valor do divisor a) 15. b) 19. c) 9. d) 13. e) 17. Questo 13: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 O nmero 1001011, do sistema binrio de numerao, no sistema decimal de numerao equivale a um nmero x tal que a) 0 < x < 26 b) 25 < x < 51 c) 50 < x < 75 d) 74 < x < 100

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e) x > 99 Questo 14: FCC - AJ TRT4/TRT 4/Apoio Especializado/Tecnologia da Informao/2011 No Brasil, o sistema monetrio adotado o decimal. Por exemplo: 205,42 reais = (2 102 + 0 101 + 5 100 + 4 10 + 2 10) reais 6XSRQKDTXHHPFHUWRSDtVHPTXHDPRHGDYLJHQWHpRPXPXo sistema monetrio seja binrio. O exemplo seguinte mostra como FRQYHUWHUFHUWDTXDQWLDGDGDHPPXPXVSDUDUHDLV 110,01 mumus = (1 22 + 1 21 + 0 20 + 0 2 + 1 2) reais = 6,25 reais Com base nessas informaes, se um brasileiro em viagem a esse pas quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia TXHHOHUHFHEHUiHPPXPXVp a) 10 100 001,11. b) 110 000 001,1. c) 110 000 011,11. d) 110 000 111,1. e) 111 000 001,11. Questo 15: FCC - Tec (BACEN)/BACEN/2006 Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsvel pela venda de ttulos composto de trs elementos. Se, num determinado perodo, cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 ttulos, o total de ttulos vendidos pelo grupo sempre um nmero mltiplo de a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Questo 16: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 Dos 50 funcionrios que participaram de um curso sobre a utilizao de sistemas aplicativos das atividades meio e fim do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, sabe-se que: todos eram formados em Cincia da Computao ou em Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos; 1/5 do nmero de mulheres eram formadas em Engenharia de Software e 7/8 do nmero de homens eram formados em Cincia de Computao. Assim sendo, nesse curso, o total de participantes formados em Engenharia de Software era

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a) 23 b) 17 c) 13 d) 9 e) 7 Questo 17: ESAF - AUFC/TCU/Controle Externo/Controle Externo/2002 Sabe-se que todo o nmero inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n primo, ento tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n uma potncia de um primo p, ou seja, da forma ps, ento 1, p, p2, ..., ps so os divisores positivos de n. Segue-se da que a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 100, que tm exatamente trs divisores positivos, igual a: a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169 Questo 18: CESGRANRIO - Tec (BACEN)/BACEN/rea 1/2009 Existe uma regra prtica de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento: Separa-se o ltimo algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado subtrado do nmero que restou sem o algarismo direita. Procede-se assim, sucessivamente, at se ficar com um nmero mltiplo de 7, mesmo que seja zero. Veja os exemplos a seguir:

Seja a um algarismo no nmero a13.477.307. O valor de a para que este nmero seja divisvel por 7 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

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Questo 19: FCC - Tec MPU/MPU/Apoio Especializado/Controle Interno/2007 Seja X o menor nmero positivo que multiplicado por 7 resulta em um nmero cujos algarismos so todos iguais a 5. O nmero X a) um quadrado perfeito. b) menor que 60 000. c) divisvel por 9. d) tal que o produto 7X tem 5 algarismos. e) tem a soma dos algarismos igual a 30. Questo 20: CEPERJ - OF (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2010 O produto de dois nmeros naturais 28, e a soma deles a menor possvel. A diferena entre eles (o maior menos o menor) : a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 12 Questo 21: FCC - AuxJ TRT6/TRT 6/Servios Gerais/2006 Se X o menor nmero natural que tem cinco algarismos e Y o maior nmero natural que tem quatro algarismos distintos, a GLIHUHQoD;




dados, correto concluir que a quantidade de deputados desse estado filiados ao partido E , no mnimo, igual a a) 55 b) 37 c) 33 d) 25 e) 19 Questo 24: FCC - AJ TRT6/TRT 6/Judiciria/"Sem Especialidade"/2012 Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleies gerais na ndia ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso Internacional de Transportes a Cabo ocorre de 6 em 6 anos. Se esses eventos aconteceram em 1999, a prxima vez que os trs voltaro a ocorrer num mesmo ano ser em a) 2119. b) 2059. c) 2044. d) 2029. e) 2023. Questo 25: FCC - TJ TRF4/TRF 4/Administrativa/"Sem Especialidade"/2010 6XSRQKDTXHVLVWHPDWLFDPHQWHWUrVJUDQGHVLQVWLWXLo}HV;




Diante disso, a menor quantidade de cursos que devero ser oferecidos a) 25 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12 Questo 27: VUNESP - ETJ (TJM SP)/TJM SP/2011 Ao longo de um dia, um supermercado fez vrios anncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de durao. Os tempos totais de apario dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a 90s, 108s e 144s. Se a durao de cada anncio, em segundos, foi a maior possvel, ento, a soma do nmero de aparies dos trs produtos, nesse dia, foi igual a a) 14. b) 15. c) 17. d) 18. e) 19. Questo 28: CESGRANRIO - Tec Adm (BNDES)/BNDES/2013 Seja x um nmero natural tal que o mnimo mltiplo comum entre x e 36 360, e o mximo divisor comum entre x e 36 12. Ento, a soma dos algarismos do nmero x a) 3 b) 5 c) 9 d) 16 e) 21

1 2 3 4 5 6 7 8

D E A E C D B A

9 10 11 12 13 14 15 16

E A C D D B A E

17 18 19 20 21 22 23 24

B C E B A E B B

25 26 27 28

D E E A

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