Profa. rsula do Carmo Resende

2015

AJUSTE DE FUNES

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

UNIVERSIDADE DE JOO DEL-REI

PR-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAO

TECNOLGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PS-GRADUAO

todos

umricos

Contedo

1. Diferena Entre Regresso e Interpolao 2. Regresso Linear Simples. 3. Qualidade do Ajuste 4. Regresso Linear Mltipla

Introduo

importante relacionar, por meio de um modelo matemtico, a varivel resposta (ou dependente) com o conjunto de variveis explicativas (ou independentes).

Para ter controle, determinar algum parmetro ou mesmo fazer previso acerca do comportamento da varivel resposta.

Diferena entre regresso e interpolao

Polinmio interpolador de grau n-1 construdo de modo a passar por n pontos dados:

Possui n coeficientes ai, i = 0, 1, ... , n - 1.

O nmero de pontos utilizados para gerar o polinmio interpolador igual ao nmero de coeficientes do polinmio.

O Polinmio de regresso de grau g, usando n pontos:

sendo g < n - 1.

Quando g = n - 1 o polinmio de regresso idntico ao polinmio interpolador.

Diferena entre regresso e interpolao

Polinmio de regresso de grau g = 2 com n = 5 pontos.

Quando o polinmio de regresso possuir grau g = n - 1 = 4 ele se torna idntico a um polinmio interpolador de mesmo grau.

O PI passa por todos os pontos do diagrama de disperso:

Diferena entre regresso e interpolao

Diferena entre regresso e interpolao

Em termos de complexidade computacional, a interpolao um processo mais simples que a regresso polinomial (soluo do sistema linear).

A interpolao deve ser utilizada quando se necessita de um valor intermedirio no constante de uma tabela.

A regresso tem que ser utilizada quando se deseja estimar um parmetro de um modelo semideterminstico e/ou prever um valor dado por esse modelo.

Relao entre Variveis As relaes entre as variveis envolvidas em um experimento podem ser classificadas em trs tipos: determinsticas, semideterinsticas e empricas.

Relaes determinsticas:

Variveis relacionadas entre si por uma lei expressa por formula matemtica precisa.

Variao nas observaes atribuda a erros experimentais.

Por exemplo, se r reais forem investidos durante m meses a uma taxa de juros j, ao final do prazo ter-se-a v reais.

As variveis r, m, j e v esto relacionadas pela expresso exata fornecida pela Matemtica Financeira v = r(1+j)m, que e a lei dos juros compostos.

Qualquer analise adicional desnecessria para relacionar estas variveis.

Relao entre Variveis Relaes semideterminsticas:

Alguma teoria prescreve uma forma para a relao entre as variveis, mas no os valores particulares dos parmetros que aparecem na relao.

necessrio realizar experimentos para obter informaes acerca desses parmetros.

Preciso limitada dos instrumentos de medida, as perturbaes incontrolveis dos experimentos e outros fatores introduzem erros nos dados, causam perturbao na verdadeira relao.

Por exemplo, a concentrao c de uma substncia aps um tempo t em uma reao qumica de primeira ordem c = c0e-kt, c0: concentrao inicial e k: constante de velocidade de uma reao especfica. A constante k obtida experimentalmente.

Relao entre Variveis Relaes empricas:

Relao entre as variveis envolvidas no conhecida.

Determinar uma frmula matemtica que relacione essas variveis.

O Grfico feito com valores observados dessas variveis fornece uma idia da relao entre elas com algumas variaes aleatrias.

Pode ser que a relao obtida no siga uma frmula matemtica precisa, dada a complexidade do problema.

Deve-se ter suficiente conhecimento sobre uma relao emprica, para desenvolver a teoria que conduza a uma frmula matemtica, caso semideterminstico.

Regresso Linear Simples

Diagrama de disperso:

As relaes mais simples entre duas variveis so as relaes lineares.

A varivel independente ou explicativa x relacionada com a varivel dependente ou resposta y por meio de um modelo linear:

Uma etapa importante ao analisar a relao entre duas variveis esboar os dados em um grfico de coordenadas cartesianas denominado diagrama de disperso.

Diagrama mostra a natureza da relao intrnseca entre as duas variveis estudadas.

Regresso Linear Simples Sejam os dados da tabela relacionando as variveis x e y:

Diagrama de disperso de dados:

Regresso Linear Simples Retas de Regresso:

Modelo simples que relaciona as variveis x e y :

0 e 1 so os parmetros a serem estimados.

contm os componentes desconhecidos e aleatrios de erro que se sobrepem verdadeira relao linear.

Como estimar os parmetros 0 e 1 ?

Regresso Linear Simples Modelo 1:

Usar o polinmio interpolador linear.

Atravs do diagrama de disperso apresentado possvel perceber que no se pode traar uma nica reta que passe por todos os pontos simultaneamente.

Assim a reta esboada a partir de dois pontos quaisquer, por exemplo, o primeiro e o ltimo:

Equao da reta u(x) que passa por estes dois pontos:

Regresso Linear Simples A Figura a seguir mostra a reta u=1.74+0.2x traada entre os

pontos do diagrama de disperso.

A distncia vertical di entre o i-simo ponto dado yi e o ponto ui = 1.74+0.2xi de mesma abscissa xi :

Regresso Linear Simples Uma forma de calcular a qualidade do ajuste calculando a soma de

todas as n distncias verticais de yi aos pontos da reta ui = 1.74+0.2xi considerando os valores positivos de di:

Resultados do ajuste pelo modelo 1.

Regresso Linear Simples Modelo 2:

Usa o polinmio interpolador linear.

Reta traada por dois pontos quaisquer.

Pontos escolhidos no pertencentes ao diagrama de disperso.

Por exemplo, escolhendo os pontos

A reta u(x) ser:

Regresso Linear Simples A Figura a seguir mostra a reta u=1.5+0.25x traada entre os

pontos do diagrama de disperso.

A tabela mostra os resultados do ajuste pelo modelo 2.

O modelo 2 mais adequado:

Regresso Linear Simples Mtodo dos mnimos quadrados:

A qualidade do ajuste depende da equao da reta escolhida.

Reta que no passa por dois pontos dentre aqueles do diagrama de disperso produziu resultado melhor.

Por onde se deve traar a reta de modo a obter o menor valor do desvio D?

O mtodo dos mnimos quadrados consiste em encontrar uma estimativa da reta u = 0 + 1x para produzir o menor valor possvel do desvio:

Regresso Linear Simples Cujas derivadas parciais so:

Os valores para os quais a funo D(0, 1) possui um mnimo so aqueles onde as derivadas parciais se anulam.

Se D(b0, b1) for o ponto de mnimo de D(0, 1), ento:

Regresso Linear Simples Na forma matricial:

Os valores em que D(0, 1) apresentam um mnimo so obtidos pela soluo do sistema linear denominado equaes normais.

Utilizando as operaes l-elementares, obtm-se:

Cuja soluo :

Regresso Linear Simples

Valores dos somatrios necessrios para resolver o sistema:

Exemplo: Calcular a reta de mnimos quadrados usando:

Regresso Linear Simples Soluo de quadrados mnimos:

Regresso Linear Simples Reta u e ajuste de quadrados mnimos:

Melhor dos trs modelos propostos:

1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numricos.

Referencias Bibliogrficas