Com Apoio de :Marcos Mateus e Guillaume Riflet

Objectivos da Disciplina

• O que é um modelo,• Os modelos matemáticos,• Elementos que constituem um modelo,• Os processos de transporte e as

equações de evolução,• Os métodos Numéricos,• Programação/Linguagens gráficas,• Gestão Ambiental, Modelos,

Monitorização e Estudos de processos.

Programa

• Conceitos básicos de métodos numéricos,

• Programação em Visual Basic,• Programação em PowerSim / Matlab,• Modelos Presa-Predador• Modelos Ecológicos,• Modelos Hidrodinâmicos,• Modelos de Transporte de

Sedimentos.

Conhecimentos requeridos

• Mecânica dos Fluidos e Processos de Transporte,

• Programação,• Ecologia e funcionamento dos

ecossistemas,• Ciclo dos Elementos e Ecologia,• Fluxos de massa e de Energia

através de um ecossistema.

Dificuldades Encontradas em Anos Anteriores

• Programação é a grande dificuldade.• Mecânica dos Fluidos é uma

dificuldade adicional, mas menor.

• Soluções: Acelerar o processo de aprendizagem de programação.

Equações que vamos resolver

• Conservação da massa:

• Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:

∂ ck

∂ t∂ u j ck

∂ x j

=∂

∂ x j ν∂ c∂ x j F k−Pk

ρ ∂ ui

∂ tu j

∂ ui

∂ x j =∂

∂ x j ν∂u i

∂ x j PressãoGravidade

Onde aparecem os conceitos requeridos

• Equação de Evolução (ou de Transporte),

• Na equação de Transporte de Quantidade de Movimento,

• Em(F-P) • Se isto fosse conhecido bem como a

programação, a disciplina poderia ser chamada de “Mecânica dos Fluidos Computacional….”

Como se resolvem as equações

• Métodos Numéricos:• Diferenças finitas/Volumes Finitos• Elementos Finitos/Elementos de

Fronteira.

• Como se constrói o método das diferenças finitas?

• Série de Taylor:c it t

=c it t ∂ c

∂ t it

t2

2 ! ∂2 c

∂ t2 i

t

t 3

3 ! ∂3 c

∂ t3 i

t

.. . .t n

n ! ∂n c

∂ tn i

t

O que representa a série de Taylor?

c it t

=cit t ∂ c

∂ t it

t 2

2 ! ∂2 c

∂ t2 i

t

t 3

3 ! ∂3 c

∂ t 3 i

t

.. . .t n

n ! ∂n c

∂ tn i

t

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas 1ª Derivada: Δc/

Δt

Como usar para calcular as derivadas?

c itt

=c it t ∂ c

∂ t it

t2

2 ! ∂2 c

∂ t 2 i

t

t3

3 ! ∂3c

∂ t 3 i

t

.. . .tn

n ! ∂n c

∂ tn i

t

cit t

=cit t ∂ c

∂ t it

° t 2

∂ c∂ t

i

t

=ci

t t−ci

t

t° t

c it=ci

t t− t ∂ c

∂ t it t

t 2

2 ! ∂2 c

∂ t 2 i

t t

−t 3

3 ! ∂3 c

∂ t3 i

t t

.. ..t n

n ! ∂n c

∂ tn i

t t

cit=c i

t t− t ∂ c

∂ t it t

° t 2

∂ c∂ t

i

t t

=c i

t t−c i

t

t° t

Método Explícito

Método Implícito

Outro Método

c itt

=c itt /2

t /2 ∂ c∂ t i

tt /2

t /2

2

2 ! ∂2 c

∂ t2 i

tt / 2

t /2

3

3 ! ∂3 c

∂ t3 i

tt /2

. .. . t /2

n

n! ∂n c

∂ tn i

tt / 2

Subtraindo uma da outra:

c it− t

=cit t /2

− t /2 ∂ c∂ t i

t t /2

t /2

2

2 ! ∂2 c

∂ t2 i

t t / 2

− t /2

3

3 ! ∂3 c

∂ t3 i

t t /2

. .. . t /2

n

n ! ∂n c

∂ tn i

t t / 2

cit t

−cit =+ t ∂ c

∂ t it t /2

° [ t /2 3 ]

∂ c∂ t

i

t t /2

=c i

t t−c it

t° [ t /2

2 ]

Este método calcula a derivada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica

O que representa a série de Taylor?

c it t

=cit t ∂ c

∂ t it

t 2

2 ! ∂2 c

∂ t2 i

t

t 3

3 ! ∂3 c

∂ t 3 i

t

.. . .t n

n ! ∂n c

∂ tn i

t

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas 1ª Derivada: Δc/

Δt

Método ImplícitoMétodo Explícito

Método Diferenças Centrais

Derivadas no espaço?

c i xt

=c itx ∂ c

∂ x it

x 2

2 ! ∂2 c

∂ x2 i

t

x 3

3 ! ∂3 c

∂ x3 i

t

. .. .x n

n! ∂n c

∂ xn i

t

ci xt

=cit x ∂ c

∂ t it

° x2

∂ c∂ x

i

t

=ci x

t−ci

t

x° x

Método downwind

Método upwind

c i−xt

=c it− x ∂ c

∂ x it

x2

2 ! ∂2 c

∂ x2 i

t

−x 3

3 ! ∂3 c

∂ x3 i

t

. .. .x n

n! ∂n c

∂ xn i

t

ci− xt

=cit− x ∂ c

∂ t it

° x2

∂ c∂ x

i

t

=ci

t−ci− x

t

x° x

Subtraindo uma equação da Outra

cixt

=ci−xt

−2 x ∂ c∂ t i

t

°x 3

∂ c∂ x

i

t

=cix

t−ci−x

t

2 x°x 2

Diferenças centrais

Derivadas no espaço?

c ix¿

=c i¿ x ∂ c

∂ x i¿

x2

2 ! ∂2 c

∂ x 2 i

¿

x 3

3 ! ∂3 c

∂ x3 i

¿

. .. .x n

n ! ∂nc

∂ x n i

¿

c i−x¿

=c i¿− x ∂ c

∂ x i¿

x2

2 ! ∂2 c

∂ x 2 i

¿

−x 3

3 ! ∂3 c

∂ x3 i

¿

. .. .x n

n ! ∂n c

∂ x n i

¿

ci x¿

ci− x¿

=2ci¿− x 2∂

2 c

∂ t2 i

¿

° x4

∂2 c

∂ x2 i

¿

=c i− x¿

−2ci¿ci− x

¿

x2 ° x2

Adicionando:

Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas

pelas aproximações:

• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ªno tempo.

• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.

c t t−c t

t° t u

cx xt −c x− x

t

2x° x 2=ϑ

cx xt −2c x

t cx− xt

x2 ° x2

c t t−c t

t° t

2u

cx xt t /2

−c x− xt t /2

2 x° x 2=ϑ

cx xt t /2

−2c xt t /2

cx− xt t /2

x2° x2

O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Explícito Upwind

• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.

c tt−ct

t° t u

cxt −cx− x

t

x° x2 =ϑ

c x xt −2c x

t c x− xt

x 2 ° x 2

Qual é o melhor método?

• Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais!

• Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar.

• Como se faz fisicamente a Advecção (propriedade transportiva) e a Difusão?

• O método upwind respeita transportividade.