Modelagem

Projeto Reenge - Eng. EltricaApostila de Sistemas de Controle I

Prof. Hlio Lees Hey - 1997

IV-1

&$378/2 ,9

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS DINMICOS4.1- INTRODUO

Inicialmente necessrio que se defina o que sistema, sistema dinmico e sistema esttico.Um SISTEMA uma combinao de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivoespecificado. O sistema dito ESTTICO, quando a sada atual do sistema depende somente da entra-da atual. A sada do sistema s varia se a sua entrada variar.

O sistema dito DINMICO, se a sua sada depende da entrada e dos valores passados daentrada. Num sistema dinmico a sada varia se ela no estiver num ponto de equilbrio, mesmo quenenhuma entrada esteja sendo aplicada.

O modelo matemtico de um sistema dinmico definido como sendo o conjunto de equa-es que representam a dinmica do sistema com uma certa preciso. O modelo matemtico de umdado sistema no nico, isto , um sistema pode ser representado por diferentes modelos depen-dendo da anlise que se deseja fazer.

Na obteno do modelo matemtico para um dado sistema deve-se ter um compromisso en-tre a simplicidade do modelo e a sua preciso. Nenhum modelo matemtico, por mais preciso queseja, consegue representar completamente um sistema.

Em geral deve-se obter um modelo matemtico, que seja adequado para solucionar o pro-blema especfico que esta em anlise. Porm, importante ressaltar que os resultados obtidos destaanlise sero vlidos somente para os casos em que o modelo vlido.

Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos algumaspropriedades fsicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta do siste-ma so pequenos, ento uma boa semelhana entre os resultados da anlise matemtica e os resulta-dos prticos do sistema obtido.

Em geral os sistemas dinmicos so no lineares. Porm, os procedimentos matemticos paraa obteno de soluo de modelos lineares so muito complicados. Por isto, geralmente substitu-seo modelo no linear por um modelo linear, com validade somente em uma regio limitada de opera-o, ou para um ponto de operao.

A obteno dos modelos que representam um dado sistema, so baseados nas leis que regemaquele sistema. Por exemplo, na modelagem de um sistema mecnico, deve-se ter em mente as leisde Newton; na modelagem de sistemas eltricos deve-se ter em mente as leis das correntes e dastenses de Kirchoff; na modelagem de sistemas trmicos deve-se ter mente as leis que regem os fe-nmenos trmicos, isto , conduo, radiao e conveno, etc...

Neste captulo, nos preocupamos com a modelagem de sistemas mecnicos de translao erotao e sistemas eletromecnicos. A modelagem de outros sistemas fsicos, tais como, sistemastrmicos e sistemas hidrulicos no sero objeto de anlise.

4.2- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOSOs sistemas mecnicos so divididos em dois grupos, isto , sistemas mecnicos de transla-

o, e sistemas mecnicos de rotao. A seguir, alguns conceitos importantes relativos a sistemasmecnicos, sero revisados.

- Massa

A massa de um corpo, a quantidade de matria deste corpo, a qual constante. Fisicamen-te, a massa de um corpo responsvel pela inrcia do mesmo, isto , a resistncia mudana de mo-vimento de um corpo. O peso de um corpo, a fora com a qual a terra exerce atrao deste corpo.



IV-2

m g=

Onde:

m massa (Kg)

o peso (Kgf) g a acelerao da gravidade ( 9,81 m/s2)

Embora o peso de um corpo possa variar de um ponto para outro, a massa do mesmo novaria.

- ForaA fora definida como a causa que tende a produzir uma mudana na posio de um corpo,

no qual a fora est atuando. As foras, podem ser classificadas de duas formas, FORAS DECONTATO e FORAS DE CAMPO. As foras de contato so aquelas que tem um contato direto com ocorpo, enquanto as foras de campo no apresentam contato direto com o corpo, como por exem-plo, fora magntica e fora gravitacional.

- TorqueO torque, definido como qualquer causa que tende a produzir uma mudana na posio

angular (rotacional) de um corpo, no qual o torque esteja atuando.

- Deslocamento, Velocidade e AceleraoO deslocamento ( )t a troca de posio de um ponto, tomado como referncia, para outro.A velocidade a derivada temporal do deslocamento ( )t .

( ) ( ) ( )t d tdt

t= =

A acelerao a derivada temporal da velocidade:

a td t

dtd t

dtt t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = =

2

2 a

- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Acelerao AngularO deslocamento angular (t), definido como a troca de posio angular, sobre um eixo,

de um ngulo tomado como referncia e outro. medido em radianos. A direo anti-horrio to-mada como positiva.

A velocidade angular (t), a derivada temporal do deslocamento angular (t).

( ) ( ) ( )t d tdt

t= =

A acelerao angular (t), a derivada temporal da velocidade angular .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t d tdt

d tdt

t t t= = = =2

2



IV-3

Obs:Se a velocidade ou a velocidade angular medida em relao a uma referncia fixa, ento

chamamos de velocidade absoluta ou velocidade angular absoluta. Caso contrrio sero grandezasrelativas. O mesmo vlido para a acelerao.

LEIS DE NEWTON

Das trs leis que foram formuladas por Newton, a segunda lei a mais importante, para aobteno de modelos matemticos de sistemas mecnicos.

- Segunda lei de Newton (Translao)

A acelerao adquirida por de qualquer corpo rgido diretamente proporcional as forasque atuam neste corpo, e inversamente proporcional a massa deste corpo.

- Segunda lei de Newton (Rotao)

A acelerao angular de qualquer corpo rgido diretamente proporcional aos torques queatuam neste corpo, e inversamente proporcional ao momento de inrcia deste corpo.

Onde: J Momento de inrcia;

4.2.1- SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAONos sistemas mecnicos de translao, h trs elementos mecnicos envolvidos que so: ele-

mento de inrcia, elemento de amortecimento, elemento de elasticidade.

- Elemento de Inrcia (Massa)

M massa;f

(t) fora aplicada;(t) deslocamento.

assumido que a massa rgida. Desta forma a conexo superior, no deve se mover emrelao a conexo inferior, isto , ambas conexes se deslocam segundo (t) .

f t M a t md t

dtM

d tdt

( ) . ( ) ( ) ( )= = = 2

2

Onde:

a(t) acelerao; (t) velocidade; (t) deslocamento.

foras = m.a

T = J



IV-4

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)

No caso deste elemento existe um deslocamento relativo entre oponto de conexo superior e o ponto de conexo inferior. Portanto,existe a necessidade de duas variveis deslocamento para descrever esteelemento. A realizao fsica deste elemento a frico viscosa associa-da ao leo ou ar.

Fora de Amortecimento f t Bd t

dtd t

dt( )( ) ( )

=

1 2 f(t) = B(1(t)- 2(t))

B Coeficiente de amortecimento;1(t) Velocidade relativa ao deslocamento 1( )t2(t) Velocidade relativa ao deslocamento 2 ( )t .

- Elemento de Elasticidade (Mola)

Este elemento, pode ser deformado por uma fora externa, talque a deformao diretamente proporcional a esta fora.

( )f t K t t( ) ( ) ( )= 1 2 Fora de elasticidade

Uma vez que os elementos mecnicos dos movimentos de translao esto definidos, asequaes de sistemas mecnicos de translao podem ser escritas seguindo as leis de Newton.

Ex1:

Neste sistema, trs foras exercem influncias sobre a massa M: fora aplicada f(t), a fora deamortecimento e a fora de elasticidade.

A funo de transferncia , pode ser obtida, considerando-se a fora aplicada como entrada eo deslocamento ( )t como sada.

F(s) = MS2X(s) + BSX(s) + KX(s)

M dt

dtf t Bd

tdt

K t2

2

( ) ( ) ( ) ( )=

X sF s

G sMS BS K

M

SBM

SKM

( )( ) ( )= = + + =

+ +

1 12

2



IV-5

Ex2:

Este sistema mecnico, o modelo simplificado de umsistema de suspenso de uma das rodas de um autom-vel, onde:

M1 Massa do automvel;M2 Massa do roda;K1 Cte de elasticidade (mola);K2 Cte de elasticidade (pneu);B Cte de amortecimento (amortecedores).

Se observarmos a figura, existem 2 deslocamentos independentes 1( )t e 2 ( )t . Isto significaque, conhecer o deslocamento 1( )t no implica em conhecer o deslocamento 2 ( )t . Portanto deve-se escrever 2 equaes.

( )M d tdt

K t t Bd t

dtd t

dt12

12 1 1 2

1 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( )=

1

( )M d tdt

f t K t t Bd t

dtd t

dt Kt2

222 1 2 1

2 12 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 2

Supondo que deseja-se obter a funo de transferncia entre a fora aplicada f(t) e o deslo-camento do carro 1( )t .

M1S2X1(s) = - K1(X1(s) - X2(s)) - B(SX1(s) - SX2(s)) 3

M2S2X2(s) = F(s) - K1(X2(s) - X1(s)) - B(SX2(s) - SX1(s)) - K2X2(s) 4

Pela equao 3; resulta X1(s)(M1S2 + K1 + BS) = X2(s)(K1 + BS)

X sBS K

M S BS KX s1

1

12

12( ) . ( )=

+

+ + 5

Pela equao 4, resulta X2(s)(M2S2 + K1 + K2 + BS) = F(s) + (K1 + BS)X1(s)

X sM S BS K K

F sBS K

M S BS K K2 22

1 2

1

22

1 2

1( ) . ( )=+ + +

++

+ + +X (s)1 6

X s G s X s1 1 2( ) ( ). ( )= 5

X s G s X s G s F s2 2 1 3( ) ( ). ( ) ( ). ( )= + 6

As equaes 5 e 6 fornecem as seguintes representaes:



IV-6

Caminho direto: M1 = G1. G3

Laos individuais: La = G1. G2

Determinante do sistema: = 1 1 2G G

Funo de transferncia: XF

1=

G GG G1 3

1 21

Onde:

( ) ( )G GBS K

M S BS KBS K

M S BS K K1 21

12

1

1

22

1 2

=

+

+ +

+

+ + +.

( ) ( )G GBS K

M S BS K M S BS K K1 31

12

1 22

1 2

1=

+

+ + + + +.

Com isto, a funo de transferncia deste sistema dada por:

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

X sF s

BS KM S BS K M S BS K K

M S BS K M S BS K K BS KM S BS K M S BS K K

1

1

12

1 22

1 2

12

1 22

1 2 12

12

1 22

1 2

( )( )

.

=

+

+ + + + +

+ + + + + +

+ + + + +

( ) ( )X sF s

BS KM M S M M BS M K M K M K S BK S K K

1 1

1 24

1 23

1 1 1 2 2 12

2 1 2

( )( ) =

+

+ + + + + + + +

Esta funo de transferncia, descreve completamente, a dinmica do sistema apresentado.Uma vez conhecido, a massa do carro M1, massa da roda M2 e a elasticidade do pneu K2, asuavidade ou conforto do carro determinado pela definio dos valores de K1 e B.(B amortece-dor; K1 mola).

Como o coeficiente de amortecimento B varia com o desgaste do amortecedor, a funo detransferncia tambm varia com o tempo mudando o conforto do carro.

4.2.2- SISTEMAS MECNICOS DE ROTAO

Diagrama de blocos

Grficos de fluxo de sinais

Os elementos mecnicos envolvidos nos sistemas mecnicos de rotao, so os mesmos jdefinidos para os sistemas mecnicos de translao. A diferena que agora os deslocamentos soangulares.



IV-7

- Elementos de inrcia (Momento de Inrcia)

Onde: J Momento de inrcia;

T(t) Torque aplicado;(t) Deslocamento angular.(t) Acelerao angular;(t) Velocidade angular.

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)

- Elemento de Elasticidade (Mola)

Exemplos:

1) Considere o sistema mecnico rotacional, mostrado a seguir:

Aplicando T.L, resulta: T(s) = JS.(s) +B.(s)

( )) .

s

T(s J S B= +1

2) Considere o sistema mecnico rotacional, mostrado a seguir:

Este sistema um exemplo de relgios de pndulo. O momentode Inrcia do pndulo, representado por J; a frico entre opndulo e o ar representado por B, e a elasticidade do pn-dulo representada por K.

J t T t( ) ( )=

T t J t Jd t

dtJ

d tdt

( ) ( ) ( ) ( )= = = 2

2 T(t) = J( ) t

( )T(t B t t) ( ) ( )= 1 2 ( ) ( ) 1 2t t = Velocidade Relativa;T = Torque aplicado;B = Coef. de amortecimento Rotacional.

( )T(t K t t) ( ) ( )= 1 2 T (t) = Torque aplicado;1(t) - 2(t) = Desloc. angular relativo.

J t T tJ t T(t B tT(t J t B t

( ) ( ) ( ) ) ( )

) ( ) ( )

=

=

= +

J d tdt

T(t B d tdt

K t2

2

( ) ) ( ) ( )=



IV-8

Aplicando T.L, resulta:

J S s T s BS s K s. ( ) ( ) . ( ) . ( )2 =

A funo de transferncia, ser ento:

( ).

s

B S KT(s) =1

J.S2 + +

4.3- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS ELTRICOSA modelagem de sistemas eltricos baseada nas leis das tenses e das correntes de Kirchoff.

Devido a nossa familiaridade com circuitos eltricos, a modelagem dos mesmos torna-se facilitada.Os elementos envolvidos nos circuitos eltricos so: Resistores, Indutores, Capacitores, am-

plificadores, etc...

4.3.1- CIRCUITO RLC

Aplicando a T.L nas expresses acima, resulta:

L.S.I(s) + R.I(s) + Vc(s) = Ei(s)

I(s) = C.S.Vc(s)

Substituindo-se a expresso de I(s) na primeira equao, tem-se:

L.S.C.S.Vc(s) + R.C.S.Vc(s) + Vc(s) = Ei(s)Como:

Vc(s) = E0(s)

LCS2. E0(s) + R.CSE0(s) + E0(s) =Ei(s)

E sEi s L C S R C S

02

11

( )( ) . . . .= + +

Obs:Em invs trabalharmos com o elemento eltrico podemos trabalhar com o circuito de impe-

dncia complexa, facilitando a obteno da Funo de Transferncia.

L di tdt

Ri t c t i t

i t C d c tdt

e( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+ + =

=

ELEMENTO IMPEDNCIA CARACTERSTICAR RL LSC 1/CS



IV-9

2)

( )Ei s R I sC S

I s I s( ) ( ) ( ) ( )+ + =1 11

1 21 0 I s I s

C SEi s R I s1 2

11 1

( ) ( ) ( ) ( ) =

( )1 01

1 2 2 2 0C SI s I s R I s E s( ) ( ) ( ) ( ) + + = I s I s

C SE s R I s1 2

10 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) = +

I s C SEi s C SE sR C S1

1 2 0

1 11( ) ( ) ( )= +

+

I s C SE s2 2 0( ) ( )=

Ei s R C SEi s C SE sR C S

E s R C SE s( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ++

= +1

1 2 0

1 10 2 2 01

( ) ( )( )Ei s R C S R C S R C SE s R C S R C S E s( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 0+ + = + +

( )( )EEi R C S R C S R C S

0

1 1 2 2 1 2

11 1

=

+ + +

4.4- SISTEMAS ANLOGOSSistemas anlogos, so sistemas que embora apresentem caractersticas fsicas diferentes, so

descritos pelos mesmos modelos matemticos. A existncia deste conceito muito utilizada na prti-ca. Uma vez que um determinado sistema fsico esteja estudado e analisado, um outro sistema anlo-go a este tambm estar. Em virtude da construo de um prottipo de um sistema mecnico, hi-drulico, etc, ser mais complicado, estes sistemas podem se estudados e analisados atravs do cir-cuito eltrico anlogo.

4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELTRICOS E MECNICOSEntre os sistemas eltricos e mecnicos, existem dois tipos de analogias:

Analogia Fora-Tenso; Analogia Fora-Corrente.

a) Analogia Fora-Tenso

Abaixo mostrado as grandezas anlogas entre os sistemas Eltricos e Mecnicos para estecaso.

E sC S

I s02

21( ) . ( )=



IV-10

SISTEMA ELTRICO SISTEMA MECNICO DETRANSLAO

SISTEMA MECNICO DEROTAO

Tenso (t) Fora F(t) Torque T(t) Indutncia L Massa M Momento de Inrcia (J) Resistncia R Coef. de Atrito B Coef. de Atrito B Inverso da Capacitncia 1/C Coef. de Elasticidade K Coef. de Elasticidade K Carga Eltrica q(t) Deslocamento ( )t

Desloc. Angular (t) Corrente i(t) Velocidade ( ) t

Veloc. Angular ( ) ( ) t t=

Sejam os sistemas eltricos e mecnicos, abaixo representados.

Para o sistema mecnico, tem-se que:

M dt

dtB d

tdt

K t f2

( ) ( ) ( )+ + = 1

Para o sistema eltrico, tem-se que:

Ldi t

dtRi t i t dt t

C( ) ( ) ( ) ( )+ + =1

mas, i t dq tdt

( ) ( )= L dq tdt

Rdq t

dtq t t

C

2

2

1( ) ( ) ( ) ( )+ + = 2

onde: q(t) Cargas eltricas.

As equaes diferenciais 1 e 2 so idnticas e portanto os dois sistemas apresentadosso anlogos.

b) Analogia Fora-CorrenteSejam os sistemas eltricos e mecnicos, abaixo representados.



IV-11

A equao que define o sistema mecnico j foi obtida acima, em 1.Para o sistema eltrico, tem-se que:

iL(t) + iR(t) + iC(t) = is(t) 3

1L

t dtt

RC

d tdt

is t ( ) ( ) ( ) ( )+ + =

mas: ( ) ( )t d tdt

= ; onde: fluxo magntico.

Cd t

dtd t

dtt is t

R L

2

2

1 1( ) ( ) ( ) ( )+ + = 4

As equaes 1 e 4, so idnticas e portanto os dois sistemas apresentados so anlogos.Abaixo mostrado as grandezas anlogas entre os sistemas eltricos e mecnicos para o caso

da analogia Fora-Corrente.

SISTEMA ELTRICO SISTEMA MECNICO DETRANSLAO

SISTEMA MECNICO DEROTAO

Corrente i(t) Fora F(t) Torque T(t) Capacitncia C Massa M Momento de Inrcia (J) Inverso da Resistncia 1/R Coef. de Atrito B Coef. de Atrito B Inverso da Indutncia 1/L Coef. de Elasticidade K Coef. de Elasticidade K Fluxo Magntico (t) Deslocamento ( )t Desloc. Angular (t)

4.5 - SISTEMAS ELETROMECNICOSOs sistemas eletromecnicos a serem analisados so o servomotor de corrente contnua e o

gerador de corrente contnua.

4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTNUAUm servomotor de corrente contnua um motor de corrente contnua, com caractersticas

dinmicas especiais, para serem usados em sistemas realimentados.As caractersticas desejveis de um servomotor de CC so:

Inrcia reduzida; Mxima acelerao possvel; Alta relao torque-inrcia; Constante de tempo extremamente pequena.

Os servomotores CC de baixas potncias so usados em equipamentos computacionais comoacionadores de disco, impressoras, acionadores de fita e tambm em instrumentao. J os servo-motores CC de mdias e altas potncias so usados em sistemas robotizados, controles de posio,etc...

O modelo bsico de um servomotor CC, mostrado a seguir:



IV-12

a(t) Tenso aplicada na armadura;Ra Resistncia de armadura;

La Indutncia de armadura;

Ea(t) Fora eletromotrizia(t) Corrente da armadura;Lf Indutncia de campo;

Rf Resistncia de campo;f(t) Tenso aplicada no campo;

if(t) Corrente de campo;T(t) Torque desenvolvido pelo motor;Lf, Rf Enrolamento de campo;

Ra, La Enrolamento de armadura.

Este servomotor pode ser acionado de 2 formas, que so: Controle da Armadura; Controle de Campo;

No CONTROLE DE ARMADURA, o enrolamento de campo excitado separadamente. A cor-rente de campo mantida constante e o controle do motor exercido pela corrente de armadura.

No CONTROLE DE CAMPO, a corrente de armadura mantida constante e a velocidade con-trolada pela tenso de campo. O controle pelo campo dos servomotores, apresenta como desvanta-gens, o fato de trabalhar com constantes de tempo maiores e tambm a maior dificuldade de obten-o de uma fonte de corrente contnua.

4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC

Considere o diagrama esquemtico do controle de servomotores CC pela armadura. A cor-rente de campo mantida constante.

As equaes que definem o motor CC em Regime Permanente esto abaixo definidas.O torque eletromagntico desenvolvido pelo motor CC dado pela seguinte expresso:

T(t) = Ka.(t).ia(t) 1 Onde: Fluxo no entreferro;Ka CTE;ia(t) Corrente de armadura.



IV-13

Pela curva de magnetizao mostrada, o fluxo no entreferro na regio linear, proporcional acorrente de campo.

(t) = Kf . if (t) 2

Como neste caso a corrente de campo constante, resulta que o fluxo tambm ser:

Substituindo 3 em 1, tem-se:

4

Pela expresso 4, o torque eletromagntico produzido pelo motor CC diretamente pro-porcional a corrente de armadura.

A fora eletromotriz Ea(t) induzida na armadura dada por:

Ea(t) = Ka. (t).m(t) 5 Onde:m(t) Velocidade angular do motor;

Como o fluxo constante, resulta:

E t K ta m( ) . ( )= 3 ou 6

E Kd

dta(t) (t)= 3 .

A equao diferencial associada a armadura do motor CC, isto , a equao do motor CC definida em 7.

a a a a a aLd i

dtR i E t(t) (t) (t)= + +. . ( ) 7

A equao diferencial mecnica associada ao sistema representado na figura, definido em8.

T(t J d tdt

Bd t

dt) ( ) ( )= +

2

8

Assumindo condies iniciais nulas, a transformada de Laplace das expresses 6, 7, 8e 4, ser:

Ea(s) = K3.S.(s) 9 Va(s) = La.S.Ia(s) +Ra.Ia(s) +Ea(s) 10

T(s) = J.S2.(s) + B.S.(s) 11T(s) = K2.Ia(s) 12

Considerando que a tenso aplicada na armadura da mquina Va(s) a entrada do sistema,o deslocamento angular do eixo do rotor (s) a sada, pode-se ento obter a Funo de Transfe-rncia deste sistema.

(t) = K1 3

T(t) = K2 . ia(t)



IV-14

Inicialmente, mostra-se o diagrama de blocos para o sistema apresentado.

O diagrama de fluxo de sinais, mostrado a seguir:

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ). . .

. .

. . .

( )( )

. . . . . .

s

V s

KL S R J S B S

K K SL S R J S B S

s

V sK

L S R S J S B K K Saa a

a a

a a a

=

+ +

++ +

=+ + +

22

2 32

2

2 31

( )( ){ }( )

( ). . .

s

V sK

S K K L S R J S Ba a a=

+ + +

2

2 3

13

( )( )( )

( ). . . . . .

s

V sK

S L J S L B R J S R B K Ka a a a a=

+ + + +

22

2 3

14

Considerando-se que La pequena e pode ser desprezada, temos:

( )( )

( ). . . .

s

V sK

S R J S R B K Ka a a=

+ +

2

2 3

15

Ou:

( )( )

.

. .

.

s

V s

KR B K K

SR J

R B K KSa

a

a

a

=

+

++

2

2 3

2 31

( )K

S T Ss

V sm

m a. .

( )( )+ =1

16

TR J

R B K Kma

a

=

+

.

. .2 3

KK

R B K Km a=

+2

2 3. .

Km = ganho constante da mquina;

Tm = constante de tempo da mquina.

Pelas expresses acima observa-se que quanto menor for Ra e J, menor ser a constantede tempo da mquina.



IV-15

As expresses 15 e 16 representam a Funo de Transferncia para o sistema eletrome-cnico mostrado. Para obtermos a representao por espao de estado, basta que se tenha as equa-es diferenciais relacionadas as expresses 15 e 16.

Da expresso 15, resulta:

( )R J t R B K K t K ta a a. .( ) . ( ) . ( ). + + =2 3 2 17Sejam 1( )t e 2( )t as variveis de estado.

A sada (t) ser: y(t) = (t) = 1(t) e a entrada: a(t) = (t)

( ) ( ) ( )

( ) . ..

.

.

( )

1 2

22 3

22

t t

tR B K K

R JK

R Jta

a aa

=

=

++

A representao por Espao de Estado para a equao 17 resulta:

( ) ( )

. .

.

.

( )( )

.

. ( )

1

22 3

1

22

0 10

0tt

R B K KR J

t

tK

R Jta

a a

= +

+

18

[ ]y t tt

( ) . ( )( )=

1 0

1

2

Em funo dos termos Km e Tm, j definidos, a representao por espao de estado,resulta: ( ) ( ) .

( )( ) . ( )

1

2

1

2

0 10 1

0tt T

t

tKT

tm

m

m

=

+

[ ]y t tt

( ) .( )( )=

1 0

1

2

O uso do controle eletrnico de servomotores CC, tambm conhecido como servo aciona-mento, melhora significamente a operao dos servomotores. A seguir mostrado um diagrama deblocos de um servoacionamento para controle de velocidade de um servomotor CC.

1( ) ( )t t= 2 ( ) ( )t t=



IV-16

Ei referncia de velocidade (volts);E0 velocidade de sada (volts);TN sensor de velocidade.

O diagrama acima, representa o controle de velocidade de um servomotor CC. O servoacio-namento, transforma o erro entre a Velocidade de Referncia e a Velocidade medida, num aumentoou diminuio da tenso que alimenta a armadura do servomotor.

A seguir mostrado, um diagrama simplificado, para o controle de posio de um servomo-

tor. O bloco KS

a, representa o ganho do servoacionamento Ka e o integrador

1S

.

Atualmente, atravs do uso de servoacionamentos incorpora-se ao sistema (servoaciona-mento + servomotor) duas malhas de controle de velocidade e posio, conforme mostrado abaixo.

4.5.1.2- GERADOR CC

O modelo bsico do gerador CC, mostrado a seguir:

As equaes que regem este sistema so:

Equao de campo: f f f f ft R i t Lddt

i t( ) ( ) ( )= + 19

EquaEquao de Armadura: E t R i t L d

dti t ta a a a a a( ) ( ) ( ) ( )= + + 20



IV-17

o de carga: a at Z i t( ) . ( )= 21

Pela equao 5 temos que: E t K d tdta a

( ) . . ( )=

Considerando-se que a velocidade do gerador constante, e que pela equao 2 o fluxo noentreferro diretamente proporcional a corrente de campo if(t), resulta:

E t K i ta f( ) . ( )= 4 22

Desta forma, as transformadas de Laplace das equaes 19, 20, 21 e 22, so dadaspor:

V s R L S I sf f f f( ) ( . ). ( )= + 23

E s K i sa f( ) . ( )= 4 24

I sR Z L S

E saa a

a( ).

( )=+ +

1 25

V s Z I sa a( ) . ( )= 26O diagrama de bloco para o sistema mostrado abaixo:

A funo de transferncia entre Va(s) e Vf(s) dada por:V sV s

K ZL S R L S R Z)

a

f f f a a

( )( )

.

( . )( .= + + +4

27

Pela expresso acima, verifica-se que a carga Z afeta tanto a dinmica do gerador comotambm a prpria sada a(t).

4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS

Em um circuito eltrico, um transformador um dispositivo de acoplamento magntico, cujafinalidade transformar os nveis de tenso e corrente de um lado do acoplamento para o outro. Emnosso estudo todos os transformadores sero considerados ideais, sendo desta forma, a potncia deentrada do mesmo igual a sua potncia de sada. A seguir mostrado o modelo de um transformadorideal.

P t t i te1 1 1( ) ( ). ( )=P t t i te2 2 2( ) ( ). ( )=P t P t1 2( ) ( )=e

e

tt

i ti t

1

2

2

1

( )( )

( )( )=



IV-18

Pela Lei de Faraday sabe-se que a tenso induzida em um bobina diretamente proporcionala taxa de variao do fluxo magntico e ao nmero de espiras da bobina. Com isto, tem-se que:

e t N d tdt1 1

( ) ( )= e e t N d tdt2 2

( ) ( )=

Portanto:e etN

tN

1

1

2

2

( ) ( )= e

NN

tt

i ti t

e

e1

2

1

2

2

1

= =

( )( )

( )( )

A funo da engrenagem em um sistema mecnico a mesma, do transformador em um sis-tema eltrico, isto , propiciar o acoplamento mecnico. Seja o acoplamento mecnico mostrado aseguir:

Em uma outra perspectiva, o sistema de engrenagens pode ser representado como mostradoabaixo. O produto entre o nmero de dente de uma engrenagem (N1) e o deslocamento angular destaengrenagem (1), deve ser igual ao mesmo produto relativo a outra engrenagem. Portanto:

N t N t1 1 2 2. ( ) . ( ) = ou

NN

tt

1

2

2

1=

( )( )

J os torques T1(t) e T2(t) so diretamente proporcionais aos nmeros de dentes das engre-nagens. Portanto:

NN

T tT t

1

2

1

2

=

( )( )

Por outro lado, o nmero de dentes de uma engrenagem diretamente proporcional ao raio

(ou dimetro) da engrenagem, isto , NN

RR

na1

2

1

2

= = .

4.7- LINEARIZAO DE MODELOS MATEMTICOS NO-LINEARESConforme j foi comentado anteriormente, os modelos mais precisos de sistemas fsicos so

no-lineares. Entretanto, a transformao de Laplace no pode ser utilizada na soluo de equaesdiferenciais no-lineares. Por isto, necessrio que seja introduzida uma tcnica de linearizao desistemas no-lineares.

Onde:T1(t), T2(t) Torques;1(t), 2(t) Deslocamentos angulares;N1, N2 Nmero de dentes das engrenagens.



IV-19

Seja o sistema de um pndulo mostrado abaixo:

L comprimento do pndulo;M massa do pndulo;f fora que atua no pndulo;g gravidade.

A equao diferencial que descreve o movimento do pndulo, :

Lg

d tdt

t.( )

sen ( )2

2

=

Esta equao no linear, devido a presena do termo sen (t). A caracterstica no-linearpara a funo f() = sen mostrada abaixo.

O procedimento usual de linearizao substituir a caracterstica da funo por uma linhareta, o que fornece uma preciso razovel para uma pequena regio de operao. Por exemplo, su-ponha que deseja-se linearizar a funo f() = sen em torno do ponto f(0). Atravs de expansoem Srie de Taylor, representa-se a funo f() em torno do ponto 0, por:

f fdfd

d fd

( ) ( ) .( ) . ( )! ......( ) ( )

= + +

+= =

00

0

2

20

02

2 2

Se a variao - 0 pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na srie deTaylor. Isto resulta em:

f f dfd

( ) ( ) . ( )( )

+ =

00

0 3

Seja portanto: f() = sen . Com isto temos:{ } ( )sen sen cos . = + 0 0 0 4

Como, o pndulo mostrado, opera na regio em que = 00 , pode-se linearizar a fun-o em torno do ponto 0 00= .

( )sen . + 0 1 00 sen 5



IV-20

Substituindo 5 em 1, resulta:

Lg

d tdt

t.( ) ( )

2

2

= 6

ou

( ) ( ) t gL

t+ = 0 7

Portanto, para linearizar uma funo f ( ) em torno do ponto 0 , deve-se expandir estafuno atravs de Srie de Taylor, considerando-se desprezvel os termos ( 0)n, para n > 1.

f fdf

d( ) ( )( ) ( ) = + =0 0 0

A preciso, desta linearizao depende da magnitude dos termos ignorados.

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