Modelagem

EA616 − Prof. Fernando J. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp

Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 1

Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 1 Introdução ........................................................................................................................ 2

2 Exemplo 1: Nível de estoque ............................................................................................ 5

3 Exemplo 2: Seqüência de Fibonacci .................................................................................. 6

4 Exemplo 3: Expansão populacional de Lactobacillus ........................................................ 11

5 Exemplo 4: Expansão populacional sob recursos limitados .............................................. 12

6 Exemplo 5: Composto radioativo ..................................................................................... 14

7 Exemplo 6: Empréstimo com juros e pagamento ao final ................................................. 14

8 Exemplo 7: Empréstimo com juros e pagamento mensal ................................................. 15

9 Exemplo 8: Integrador numérico ..................................................................................... 15

10 Exemplo 9: Dinâmica econômica .................................................................................... 18

11 Exemplo 10: Produto interno bruto ................................................................................ 23

12 Exemplo 11: Ocupação de estações de metrô ................................................................. 24

13 Exemplo 12: Fundo de pensão ........................................................................................ 25

14 Exemplo 13: Reservatório de usina hidroelétrica ............................................................ 26

15 Exemplo 14: Modelo de enterramento larval .................................................................. 27

16 Estimação de modelos lineares nos parâmetros ............................................................. 31

16.1 Estimação de modelos lineares ..................................................................................... 37

16.2 Estimação de modelos polinomiais ............................................................................... 38

17 Referências ..................................................................................................................... 39



1 Introdução

• Uma motivação: quando se quer controlar um processo, a obtenção de um modelo

dinâmico representa o primeiro passo.

• Sistemas contínuos no tempo × Sistemas discretos no tempo

• Sistemas contínuos no tempo com amostragem

t0 T 2T 3T kT (k+1)T

f(t)

• Sistemas discretos no tempo em tempo contínuo:



t0 T 2T 3T kT (k+1)T

f(t)

• Sistemas discretos no tempo em tempo discreto:

k0 1 2 3 k (k+1)

f(k)

• T: período de amostragem



• Se kTttk += 0 , então para uma função de tempo contínuo f(t) vale a seguinte

notação para sua análise em tempo discreto:

kk fkfkTtftf ==+= )()()( 0

• Em tempo discreto, sistemas contínuos no tempo que coincidem com sistemas

discretos no tempo nos pontos de amostragem são completamente equivalentes.

• Sistemas discretos no tempo ≡ Sistemas de tempo discreto

• Sistemas discretos a eventos ≡ Sistemas a eventos discretos

sistema) do saídas das tempono (evolução

sistema) do dinâmico (modelo

discreto tempode sistemas de dinâmico

ntocomportame do matemática descrição

diferençasa equações desistema

ou

diferençasa equação

→

• Modelar a planta de uma indústria, um sistema econômico, um comportamento

social ou um fenômeno biológico representa uma tarefa de grande complexidade.



• Como estamos em um curso introdutório, então estaremos restritos à abordagem

de princípios básicos de modelagem.

• Nota: em estado estacionário, sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto

apresentam os mesmos tipos de comportamento dinâmico (embora não para a

mesma ordem do sistema), seja para o caso de dinâmica linear como para o caso

de dinâmica não-linear.

2 Exemplo 1: Nível de estoque

• Sendo x(k) o nível de estoque no início do mês k, obtenha o modelo matemático

para o nível mensal de estoque de uma empresa, sabendo que são contabilizados

mensalmente:

� c(k): nível de estoque consumido no mês k;

� r(k): nível de estoque reposto no mês k.

)()()()1( krkckxkx +−=+ , com x(0) dado.



3 Exemplo 2: Seqüência de Fibonacci

• Leonardo de Pisa (1180-1250), mais conhecido como Fibonacci, foi o principal

introdutor da matemática dos árabes no ocidente.

• A seqüência de Fibonacci teve origem a partir do seguinte problema:

Começando com um casal com 1 mês de idade, quantos casais de

coelhos teremos em um ano se a cada mês cada casal produtivo gera

um novo casal, o qual se torna produtivo com 2 meses de idade?

• Solução: Sendo c(k) o número de casais de coelhos no instante k, então a solução é dada na forma:

)2()1()( −+−= kckckc , com c(−1) = 1 e c(−2) = 0.

• Uma das propriedades interessantes da seqüência de Fibonacci é que a razão entre

os termos sucessivos converge para a razão áurea 2

51+.



• A razão áurea está presente em muitas manifestações da natureza, como na

disposição de folhas em um galho e em genética de populações.

• Também foi utilizada na arquitetura grega e nas artes em geral.

• Um retângulo é áureo quando, ao retirarmos dele um quadrado, obtemos um

retângulo com as mesmas proporções do original.

m

m

n

022 =−−⇒=+nnmm

n

m

m

mn

012

=−−

n

m

n

m

251+=

n

m

• A seqüência de Fibonacci assume os seguintes valores:

[0] [1] 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...



Partenon (templo da deusa Atena)

Formato de caracol



Igreja de Notre Dame (Paris)

Pirâmide do Egito



Proporções corpóreas e esculturas



4 Exemplo 3: Expansão populacional de Lactobacillus

• Lactobacillus é um gênero de bacilo, o qual é uma bactéria em forma de bastonete,

cujas extremidades se apresentam cortadas em ângulo reto.

• Bactérias do gênero Lactobacillus apresentam forte produção de ácidos, sobretudo

de ácido láctico, razão por que coagulam o leite.

• Obtenha o modelo matemático para a expansão populacional de Lactobacillus sob

a hipótese de que a população dobra a cada 12 horas.

• Período de amostragem: T = 12 horas.

• Solução: Sendo n(k) o número de indivíduos da população no instante (de

amostragem) k, então a solução é dada na forma:

)1(2)( −= knkn , com n(0) dado.



5 Exemplo 4: Expansão populacional sob recursos

limitados

• O modelo matemático do exemplo anterior não é realista para descrever o

crescimento populacional sob recursos limitados.

• É necessário acrescentar o que se convencionou chamar de suporte da população,

o qual representa um valor de saturação. Ele é obtido a partir do modelo logístico

a seguir:

( ) ( ) ( )( ) ( )knknSknkn −+=+ α1 , com n(0) dado.

onde S é o suporte.

• Este modelo é válido também para descrever o espalhamento de doenças

infecciosas.





6 Exemplo 5: Composto radioativo

• Obtenha o modelo matemático para a massa de um composto radioativo, sabendo

que esta cai pela metade a cada 5 anos.

• Período de amostragem: T = 5 anos.

• Solução: Sendo m(k) a massa do composto radioativo no instante (de amostragem) k, então a solução é dada na forma:

)1(21

)( −= kmkm , com m(0) dado.

7 Exemplo 6: Empréstimo com juros e pagamento ao fi nal

• Qual é o único pagamento P ao final de um empréstimo no valor de D0, sabendo

que a duração do empréstimo é de n meses e que a taxa de juros mensais é r%?

• Período de amostragem: T = 1 mês.

• Evolução da dívida com o tempo: )1()1()( −+= kDrkD , com 0)0( DD = .

• Solução: )(nDP =



8 Exemplo 7: Empréstimo com juros e pagamento mensa l

• Qual é o pagamento mensal P para um empréstimo no valor de D0, sabendo que a

duração do empréstimo é de n meses, a taxa de juros mensais é r% e a dívida deve

estar liquidada ao final do empréstimo?

• Período de amostragem: T = 1 mês.

• Evolução da dívida com o tempo: PkDrkD −−+= )1()1()( , com 0)0( DD = e

0)( =nD .

• Solução: obter D(k) para um k qualquer e aplicar as condições inicial e final.

9 Exemplo 8: Integrador numérico

• A integral de uma função f(t) em um intervalo [t0, tf] corresponde à área sob a

curva. Uma aproximação numérica para esta área pode ser dada pela soma dos

trapézios formados pela divisão do intervalo em sub-intervalos menores (partes),

dentro dos quais f(t) é tomada como sendo linear (por partes).



t0 tf

f(t)

t0 tf

f(t)



• A divisão em sub-intervalos não precisa ser uniforme, mas a uniformidade será

uma hipótese desta formulação.

t0 tftk−1 tk

∆Ik

f(t)

• ( )11

2)()(

trapéziodoárea )(1

−− −+=∆=≅∫

−kk

kkk

t

ttt

tftfIdttfk

k

• Solução: ( )11

11 2)()(

−−

−− −++=∆+= kkkk

kkkk tttftf

IIII

• Sub-intervalos uniformes e iguais a T: 2

)()( 11

kkkk

tftfTII

++= −−



10 Exemplo 9: Dinâmica econômica

• No século XVIII, Adam Smith foi o primeiro a observar que um sistema de preços

livres, estabelecidos pela lei da oferta e da procura, em um ambiente de liberdade

regido pelo estado de direito, é estável.

• A ideia central está em perceber que os produtos disponíveis têm dois preços:

� Preço de mercado: estabelecido pela lei da oferta e da procura, de tal

forma que um excesso de oferta leva à diminuição do preço e um

excesso de procura leva a um aumento de preço;

� Preço natural: estabelecido pelos custos de produção + lucro.

• O equilíbrio se estabelece quando ambos os preços se igualam, mas isso não

permite concluir que os preços ficarão fixos no decorrer do tempo.

• Como condição de partida para a modelagem, considere uma economia

completamente isolada, ou seja, sem a possibilidade de importar ou exportar

produtos.



• Preço do produto no instante k: p(k);

• A dinâmica de mercado é caracterizada por duas funções:

� D(p): estabelece a demanda pelo produto, em função do preço;

� P(p): estabelece a produção do produto, em função do preço.

• D(p) deve ser uma função decrescente com p, enquanto que P(p) é uma função

crescente com p. Ambas as funções apresentam também comportamento de

saturação para preços mais elevados.

• É ainda razoável sugerir que a demanda seja mais sensível que a produção em

relação ao preço, ou seja:

dp

dD

dp

dP −< .

• A figura a seguir ilustra ambas as funções em escala normalizada, sendo possível

constatar que sempre vai existir um preço de equilíbrio peq tal que:

D(peq) = P(peq).



• Considere também que os consumidores reagem imediatamente ao preço do

produto, mas que a produção só reage ao preço praticado no instante anterior.

• Logo, o modelo matemático assume a forma:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]kpDkpPkpkp −−−=+ 11 ρ

onde ρ > 0 é uma constante.



• Até agora foi considerada uma economia isolada. Para generalizar o estudo

considerando N economias interconectadas via importação e exportação de

produtos, é preciso considerar:

� ui: taxa de câmbio praticada pela economia i (i=1, ..., N). Todas as taxas

de câmbio são tomadas em relação a um valor de referência.

� ii pu : preço de exportação do produto na economia i, quando visto por

uma economia j, com i ≠ j.

� jjii pupu − : diferença de preços do produto entre as economias i e j.

� ( )⋅ijH : função crescente e ímpar, tal que ( ) ( )⋅=⋅ jiij HH , ji,∀ .

• Se a diferença de preços do produto entre as economias i e j for o argumento da

função ( )⋅ijH , então ( )jjiiij pupuH − indica o montante importado pela economia

i da economia j. Como a função ( )⋅ijH , então este também é o montante exportado

pela economia j para a economia i, como era de se esperar.



• Visto que importar ou exportar o produto equivale a alterar a sua produção interna,

é imediata a modificação que deve ser feita no modelo matemático já obtido para

economias fechadas.

• Mas antes é válido considerar que a importação ou exportação do produto, para

influenciar a produção no instante k, devem ter sido realizadas no instante anterior,

levando assim em conta o preço do produto em k−1.

• Logo, para i=1, ..., N vale:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

−−−−+−−=+ ∑≠=

kpDkpukpuHkpPkpkp ii

N

jii

jjiiijiiiii1

1111 ρ

• O preço de equilíbrio ip para a economia i satisfaz:

( ) ( ) ( )∑≠=

−+=N

jii

jjiiijiiii pupuHpPpD1

, i=1, ..., N.



11 Exemplo 10: Produto interno bruto

• O produto interno bruto (PIB) de um país no instante k é dado por p(k).

• Suponha que o PIB seja função do consumo interno c(k), do investimento i(k), dos

gastos realizados pelo governo g(k) e do balanço entre exportações e importações

b(k), produzindo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kbkgkikckp +++=

• Considere que o consumo interno c(k+1) é uma fração α de p(k).

• Considere que o investimento i(k+1) é uma fração β do que deixou de ser

consumido entre dois períodos consecutivos, ou seja, ( ) ( )kckc −+1 .

• Com isso, obtém-se o seguinte modelo matemático:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 +++++++=+ kbkgkikckp

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )1111 ++++−++=+ kbkgkckckpkp βα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 ++++−−+=+ kbkgkpkpkp αββα



12 Exemplo 11: Ocupação de estações de metrô

• A figura abaixo apresenta um conjunto de n+1 estações de metrô.

• Suponha que no instante k = 0 todas as estações estão vazias.

• Sejam Ni(k) o número de passageiros presentes na estação 0 ≤ i ≤ n no instante k e

Ti(k) o número de passageiros transportados da estação i para a estação i+1 no

instante k.

• O modelo matemático para este sistema assume a forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=−+−=+ −

kNkT

kTkTkNkN

iii

iiii

α11 1



onde 0 < αi < 1, i ≠ n e αn = 0, indica o percentual de passageiros efetivamente

transportados.

• Conforme indicado na figura, suponha que ( ) 01 dkT =− , ou seja, a estação inicial

recebe um fluxo constante de passageiros.

13 Exemplo 12: Fundo de pensão

• Um fundo de pensão recolhe um percentual r do salário mensal s(k) de cada um de

seus mutuários, durante n meses.

• Após este período, o fundo paga a cada mutuário uma pensão constante e igual a

( )nsp ⋅ durante m meses, com 0 < p ≤ 1.

• Considere que o salário do mutuário varia de forma linear, na forma:

( ) kn

abaks

−+= .

• Considere também que o fundo aplica todo o montante recebido, com uma taxa de

retorno de q pontos percentuais ao mês.



• Ao final de n+m meses, os recursos do fundo devem ser nulos.

• O modelo matemático que fornece a evolução temporal dos recursos existentes no

fundo por mutuário, R(k), é dado na forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

=+=

−+=

++=−+=+=++=+

0

00

,...,1 ,11

,...,0 ,11

mnR

R

kn

abaks

mnnknpskRqkR

nkkrskRqkR

14 Exemplo 13: Reservatório de usina hidroelétrica

• v(k): volume de água armazenada;

• u(k): volume de água utilizado para a geração de energia elétrica;

• d(k): volume de água devido às chuvas;

• α: taxa de evaporação.



• A partir das variáveis acima, o modelo matemático assume a forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,11 vvkdkukvkv =+−−=+ α .

15 Exemplo 14: Modelo de enterramento larval

• Para desenvolver um modelo de tempo discreto para dispersão larval até a

pupariação, considere a seguinte notação:

� N é o número de larvas no experimento.

� i ∈ {0,1,2,...,q} representam os índices de pontos dispostos uniformemente e

em linha reta a partir do substrato alimentar. As posições i = 0 e i = q

correspondem aos limites da área de pupariação.

� k ∈ {0,1,2,...} representa o instante discreto de tempo.

� kiC , fornece o número de larvas na superfície, na posição i e no instante k.

� kiA , fornece o número de larvas enterradas, na posição i e no instante k.



� α representa a proporção de larvas que se enterram em cada posição, em um

dado instante discreto de tempo, em relação ao número de larvas na

superfície em cada posição e naquele instante.

� β representa a proporção de larvas em cada posição que se move uma posição

adiante em um dado instante discreto de tempo, em relação ao número de

larvas na superfície em cada posição e naquele instante.

� conseqüentemente, 1−α−β fornece a proporção de larvas que permanecem na

superfície e na mesma posição entre dois instantes consecutivos de tempo,

em relação ao número de larvas na superfície em cada posição e naquele

instante.

• Um conjunto adicional de proposições será adotado aqui para definir

apropriadamente o cenário do experimento:

� Para normalizar os resultados, N será considerado como sendo igual a 1.

Logo, kiC , e kiA , são valores reais no intervalo [0,1], ∀ i,k.



� α e β são considerados constantes ao longo do experimento.

� Como a região de pupariação tem um número finito de posições, para i < 0 e

i > q, 0, =kiC ∀ k, o que implica 0, =kiA ∀ k.

� A condição inicial em k=0 é definida como sendo 10,0 =C e 00, =iC para

i > 0, ou seja, as larvas estão todas na superfície na posição i=0.

• Por unidade de tempo, dadas as hipóteses acima, uma larva pode:

� Permanecer imóvel;

� Enterrar-se;

� Mover-se uma posição adiante.

Com isso, para i > k, 0, =kiC , o que implica 0, =kiA .

• Repare que as hipóteses acima indicam implicitamente que nenhuma larva pode se

mover para trás. Embora seja possível incorporar este tipo de movimento no

modelo (como também outros refinamentos), o termo adicional resultante

impediria a obtenção de uma solução algébrica geral em forma fechada.



• De acordo com a notação, hipóteses e conjunto de proposições acima, o modelo

discreto para enterramento larval assume a forma:

kikiki CAA ,,1, α+=+ (1)

( ) kikiki CCC ,1,1, 1 −+ β+β−α−= (2)

• A equação (1) pode ser interpretada como segue: a quantidade de larvas enterradas

na posição i no instante de tempo k+1 ( 1, +kiA ) é igual à quantidade de larvas já

enterradas naquela posição (kiA , ) adicionada à proporção fixa de larvas atualmente

na superfície na posição i e instante k ( kiC , α ).

• A equação (2) fornece a quantidade de larvas na superfície na posição i e instante

k+1 ( 1, +kiC ) como o número de larvas que estavam na superfície na posição i e

instante k ( kiC , ), adicionada à proporção de larvas que estavam na posição

anterior e se moveram adiante ( kiC ,1 −β ), subtraída de uma proporção de larvas que



estavam na superfície na posição i e instante k e se enterraram ( kiC ,α ), subtraída

de uma proporção de larvas que estavam na superfície na posição i e instante k e

se moveram adiante ( kiC ,β ).

16 Estimação de modelos lineares nos parâmetros

• Em muitas aplicações de modelagem matemática de sistemas dinâmicos e também

em filtragem de sinais, é comum a proposição de modelos na forma:

( )xb,fy = ,

onde Pℜ∈b é o vetor de parâmetros a determinar, Lℜ∈x é o vetor de entradas e

ℜ→ℜ×ℜ LPf : é a função que associa o vetor de entradas com a saída ℜ∈y .

• Repare que a forma da função f é especificada pelo vetor de parâmetros Pℜ∈b .

• Se o papel de cada parâmetro no vetor Pℜ∈b é bem definido e admite uma

interpretação física vinculada à natureza do processo em estudo, então o modelo

matemático é denominado paramétrico.



• Caso contrário, se o papel de cada parâmetro no vetor Pℜ∈b não é bem definido

e ele é pouco interpretável, então diz-se que o modelo é semi-paramétrico ou não-

paramétrico.

• A determinação do vetor de parâmetros Pℜ∈b geralmente depende da existência

de amostras que exprimem o comportamento de entrada-saída da função a ser

aproximada. Considere um conjunto de N amostras na forma:

Entradas

1 2 L L Saída

x11 x12 L x1L y1

x21 x22 L x2L y2

M M M M M

xN1 xN2 L xNL yN

• Para cada amostra l, também é possível definir os pares ( )ll y,x , l=1, ..., N, de

entrada-saída, com Ll ℜ∈x e ℜ∈ly .



• O vetor de parâmetros Pℜ∈b que melhor representa os dados de entrada-saída

disponíveis é aquele que resolve o seguinte problema de otimização:

( )( )∑=ℜ∈

−=N

lll yf

P1

2,min arg xbbb

• Se a função f for não-linear, então resulta um problema de otimização não-linear.

Neste caso, o ajuste de parâmetros não pode ser realizado de forma fechada, a

partir de uma equação algébrica. A solução numérica para o vetor Pℜ∈b deve ser

obtida de forma iterativa (LUENBERGER, 1979).

• Uma forma muito utilizada de simplificação do modelo matemático, e

consequente simplificação do problema de otimização associado, é a suposição de

que a saída pode ser obtida por uma combinação linear de funções da entrada, na

forma:

( ) ( ) ( ) ( ) PPP bfbfbfbfy ++++== −− xxxxb 112211, ... ,



onde as funções ℜ→ℜLif : , i=1, ..., P−1, são chamadas de funções-base da

combinação linear.

• O modelo matemático acima é linear nos parâmetros Pℜ∈b , pois mesmo que as

funções ℜ→ℜLif : , i=1, ..., P−1, sejam não-lineares, elas são fixas.

• Definindo a matriz PN×ℜ∈F e o vetor Nℜ∈y na forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

−

−

−

1

1

1

121

212221

111211

NPNN

P

P

fff

fff

fff

xxx

xxx

xxx

F

L

MMOMM

L

L

=

Ny

y

y

M

2

1

y

então o melhor vetor de parâmetros é aquele que resolve o seguinte sistema de

equações lineares:

ybF =⋅

• Repare que o sistema de equações lineares resultante tem mais equações que

incógnitas, pois sempre vale a relação N > P.



• Em termos matemáticos, esta situação pode levar a três cenários alternativos:

� Existem mais que N−P equações redundantes e o sistema de equações

lineares tem infinitas soluções;

� Existem N−P equações redundantes e o sistema de equações lineares

tem solução única;

� O sistema de equações lineares é inconsistente e não tem solução.

• Normalmente a situação encontrada na prática é a inconsistência do sistema de

equações lineares, motivada por dois fatores principais:

� Ruído no processo de amostragem (atuando sobre o vetor y);

� O modelo matemático representa uma aproximação do comportamento

de entrada-saída expresso pelos dados amostrados.

• Mesmo na presença de inconsistência, é possível buscar uma solução para o

sistema de equações lineares, na forma:

2

2min arg yFbbb

−=ℜ∈ P

,



onde

zzz TN

llz ==∑

=1

22

2, com Nℜ∈z .

• Resulta então um problema de quadrados mínimos, cuja solução é obtida pela

aplicação da condição necessária de otimalidade, produzindo:

( ) ( )[ ] 02

2=−−=− yFbyFb

byFb

bT

d

d

d

d

• Serão empregadas a seguir algumas propriedades de cálculo matricial, visando

obter as derivadas indicadas:

( ) ( )[ ] ( ) 0=+−−=−− yyFbyyFbFbFbb

yFbyFbb

TTTTTTT

d

d

d

d

yFFbFyFyFFbF TTTTT =⇒=+−− 002

• Se as P colunas de F forem linearmente independentes, então a matriz FFT , que

tem dimensão P × P, tem posto completo. Logo, é uma matriz inversível.



• Neste caso, multiplicando à esquerda por ( ) 1−FFT , obtém-se:

( ) ( ) ( ) yFFFbyFFFFbFFF TTTTTT 111 −−−=⇒= .

• Esta é a solução do problema de quadrados mínimos, permitindo assim obter o

vetor de parâmetros Pℜ∈b que produz a melhor aproximação do modelo

matemático aos dados. A matriz ( ) TT FFF1−

é chamada de pseudo-inversa da

matriz F. A condição de independência das colunas da matriz F é sempre

conseguida caso as funções-base ℜ→ℜLif : , i=1, ..., P−1, sejam distintas.

16.1 Estimação de modelos lineares

• Um caso particular relevante ocorre quando as funções-base são as próprias

entradas, produzindo o seguinte modelo matemático:

12211 +++++= LLL bxbxbxby ... ,

onde agora P = L+1.



• Para modelos matemáticos dessa forma, vale a solução via quadrados mínimos já

descrita, e a nova matriz F assume a forma:

=

1

1

1

21

22221

11211

NLNN

L

L

xxx

xxx

xxx

L

MMOMM

L

L

F .

16.2 Estimação de modelos polinomiais

• Um outro caso particular relevante ocorre quando existe apenas uma entrada e as

funções-base são potências da variável de entrada, produzindo um modelo

polinomial como segue:

PPPPP bxbxbxbxby +++++= −−

−−1

22

22

11 ... .

• Para modelos matemáticos dessa forma, vale a solução via quadrados mínimos já

descrita, e a nova matriz F assume a forma:



=

−−

−−

−−

1

1

1

21

22

21

2

12

11

1

NPN

PN

PP

PP

xxx

xxx

xxx

L

MMOMM

L

L

F .

17 Referências

BASSANEZI, R.C. & FERREIRA JR., W.C. “Equações Diferenciais com Aplicações”, Editora Harbra Ltda., 1988.

CADZOW, J.A. “Discrete-Time Systems: An Introduction With Interdisciplinary Applications”, Prentice Hall, 1973.

CASE, T.J. “An illustrated guide to theoretical ecology”, Oxford University Press, 449 p., 2000.

EDELSTEIN-KESHET, L. “Mathematical models in biology”, Random House, 586 p., 1988.

ELAYDI , S.N. “An Introduction to Difference Equations”, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2nd. edition, 1999.

GEROMEL, J.C. & PALHARES, A.G.B. “Análise Linear de Sistemas Dinâmicos: Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios”, Editora Edgard Blücher Ltda., 1a. edição, 2004.



GOLDBERG, S. “Introduction to Difference Equations with Illustrative Examples from Economics, Psychology, and Sociology”, 1958.

KULENOVIC, M.R.S. & MERINO, O. “Discrete "Dynamical" Systems and Difference Equations with Mathematica”, Chapman & Hall, 2002.

LUENBERGER, D.G. “Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models, and Applications”, Wiley, 1979.

MARDIA , K.V., KENT, J.T. & BIBBY , J.M. “Multivariate Analysis”, Academic Press, 1979.

RENSHAW, E. “Modelling biological populations in space and time”, Cambridge University Press, 403 p., 1991.

STRANG, G. “Introduction to Linear Algebra”, 4th edition, Wellesley Cambridge Press, 2009.

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