MODELAGEM BOND GRAPH E O ESTUDO DE CASO ... -...
93
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO MODELAGEM BOND GRAPH E O ESTUDO DE CASO DE UM MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA RENATO DE ABREU FERNANDES CAMPOS DOS GOYTACAZES/RJ 2011
Transcript of MODELAGEM BOND GRAPH E O ESTUDO DE CASO ... -...
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
MODELAGEM BOND GRAPH E O ESTUDO DE CASO DE UM
MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
RENATO DE ABREU FERNANDES
CAMPOS DOS GOYTACAZES/RJ
2011
RENATO DE ABREU FERNANDES
MODELAGEM BOND GRAPH E O ESTUDO DE CASO DE UM MOTOR DE
CORRENTE CONTÍNUA
Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense
Campus Campos-Centro como requisito parcial para a
conclusão do Curso de Bacharelado em Engenharia de
Controle e Automação
Orientador: Alexandre Carvalho Leite, MSc.
CAMPOS DOS GOYTACAZES/RJ
2011
MODELAGEM BOND GRAPH E O ESTUDO DE CASO DE UM MOTOR DE
CORRENTE CONTÍNUA
RENATO DE ABREU FERNANDES
Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense
Campus Campos-Centro como requisito parcial para a
conclusão do Curso de Bacharelado em Engenharia de
Controle e Automação
Aprovada em 13 de janeiro de 2011
Banca avaliadora:
.....................................................................................................................................................
Alexandre Carvalho Leite (Orientador)
Mestre em Engenharia e Tecnologia Espaciais / Mecânica Espacial e Controle
Instituto Federal Fluminense
.....................................................................................................................................................
Adelson Siqueira Carvalho
Mestre em Engenharia de Produção
Instituto Federal Fluminense
.....................................................................................................................................................
Rafael Rivelino da Silva Bravo
Mestre em Engenharia Mecânica
Instituto Federal Fluminense
2
AGRADECIMENTOS
A Deus por me proporcionar todas as condições necessárias para alcançar meus
objetivos pessoais e profissionais.
Aos meus pais que me apoiaram e me aconselharam do começo ao fim nas minhas
decisões.
Aos meus irmãos por estarem sempre ao meu lado nos momentos da minha vida.
A minha namorada pelo companheirismo, amizade e conselhos.
Ao Instituto Federal Fluminense de Campos pela excelente educação e formação
profissional em uma excelente e promissora área de trabalho.
Aos excelentes professores que contribuíram na minha capacitação ao longo desses
cinco anos, sempre com muita paciência, dedicação e boa vontade.
Aos meus colegas de turma pelos momentos inesquecíveis passados juntos e apoio na
elaboração deste trabalho.
Ao amigo Gustavo Maciel pelo importante suporte na parte final deste trabalho.
Ao professor Alexandre C. Leite que, mesmo distante, concordou em me orientar
neste trabalho.
3
"O que você deixa para trás não é o que é gravado em monumentos de pedra, mas o que é tecido nas
vidas de outros."
Péricles
4
RESUMO
A necessidade de obtenção de melhores resultados no que diz respeito à simulação de
sistemas dinâmicos faz com que os modelos sejam cada vez mais bem elaborados, onde a
finalidade é eliminar a diferença entre as respostas com o sistema real e o modelo virtual.
Com intuito de minimizar este problema, este trabalho irá propor uma técnica generalizada de
modelagem gráfica, Bond Graph, que possibilita tratar diferentes tipos de sistemas dinâmicos
utilizando apenas uma notação. A técnica Bond Graph foi utilizada neste trabalho como
metodologia para modelagem de um motor de corrente contínua com característica de atrito
não-linear. A experimentação foi realizada no kit feedback – Servo Fundamentals Trainer e a
aquisição do sinal foi feita por uma placa de aquisição. Softwares de simulação como o
MATLAB® / SIMULINK e o 20-sim® foram utilizados respectivamente para tratamento de
dados experimentais e simulação dos modelos matemáticos obtidos. Por fim, os resultados
foram apresentados e comparados, mostrando a eficiência e facilidade na implementação de
modelos mais elaborados por meio da utilização da técnica Bond Graph.
Palavras-chave: Bond Graph, Grafo de Ligação, Motor de Corrente Contínua, Modelo Não
Linear, 20-sim®.
5
ABSTRACT
The simulation of dynamic systems can be improved by the accuracy of the
implemented mathematic models; the aim is to match simulated and measured signals. Thus,
methods and modeling techniques capable of implementing linear and non-linear
characteristics of a physical system are employed in this work. The Bond Graph modeling
approach was used in this Monograph as a modeling methodology to the study case of a direct
current motor with non-linear friction profile. The kit feedback - Servo Fundamentals Trainer
is the testbed, a data acquisition board was used to store the samples of the measured signals.
The objective of the experiments is the validation of the mathematic model derived from a
bond-graph of a DC motor. Simulation softwares like MATLAB® / SIMULINK and 20-sim®
were used in order to smooth noisy measurement data and simulate the derived mathematic
model. At last, results were presented and compared, showing the facility and the efficient do
make better models by using the Bond Graph modeling approach.
Keywords: Bond Graph. DC Motor. Nonlinear Model. 20-sim®.
6
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 – Semi-seta representando o sentido do fluxo de potência ..................................... 20
Figura 2.2 – Tetraedro de Estado.............................................................................................. 21
Figura 2.3 – Representação do elemento resistor em Bond Graph .......................................... 23
Figura 2.4 – Representação do elemento capacitor em Bond Graph........................................ 23
Figura 2.5 – Representação do elemento indutor em Bond Graph ........................................... 24
Figura 2.6 – Representação convencional das fontes em Bond Graph. (a) Fonte de Esforço ou
Tensão, (b) Fonte de Fluxo ou Corrente ................................................................................... 25
Figura 2.7 – Representação do Transformador ideal em Bond Graph ..................................... 26
Figura 2.8 – Representação do Girador ideal em Bond Graph ................................................. 27
Figura 2.9 – Junção do tipo “0” ................................................................................................ 28
Figura 2.10 – Junção do tipo “1” .............................................................................................. 29
Figura 2.11 – Circuito elétrico contendo uma fonte de tensão e um resistor. (a) Circuito
elétrico, (b) Bond Graph do circuito elétrico ............................................................................ 30
Figura 2.12 – Circuito elétrico contendo uma fonte de corrente e um resistor. (a) Circuito
Elétrico, (b) Bond Graph do circuito elétrico ........................................................................... 30
Figura 2.13 – Circuito RLC em série ....................................................................................... 36
Figura 2.14 – Passos para construção do Bond Graph do circuito RLC em série .................... 36
Figura 2.15 – Passos para sinalização da direção e sentido do fluxo de potência do circuito
RLC em série ............................................................................................................................ 37
Figura 2.16 – Passos para definição das causalidades dos elementos do circuito RLC série .. 37
Figura 2.17 – Circuito RLC paralelo ........................................................................................ 38
Figura 2.18 – Passos para construção do Bond Graph do circuito RLC em paralelo .............. 38
Figura 2.19 – Etapas para sinalização da direção e sentido do fluxo de potência e definição
das causalidades do circuito RLC em paralelo ......................................................................... 38
Figura 2.20 – Circuito RLC misto ............................................................................................ 39
Figura 2.21 – Partes do circuito RLC misto ............................................................................. 40
Figura 2.22 – Bond Graphs das Partes do Circuito RLC Misto ............................................... 40
7
Figura 2.23 – Estrutura do Bond Graph do Circuito RLC Misto ............................................. 41
Figura 2.24 – Passos para sinalização da direção e sentido do fluxo de potência e numeração
das ligações do circuito RLC misto .......................................................................................... 41
Figura 2.25 – Bond Graph do circuito RLC misto ................................................................... 42
Figura 2.26 – Circuito RLC série com terminais para medição da tensão de saída ................. 44
Figura 2.27 – Bond graph equivalente ao circuito da figura 2.26 ............................................ 44
Figura 2.28 – Procedimentos para obtenção das equações de estado do circuito RLC série ... 45
Figura 3.1 – Circuito equivalente do motor DC ....................................................................... 52
Figura 3.2 – Ramo elétrico do circuito do motor DC em Bond Graph .................................... 54
Figura 3.3 – Representação em BG do girador GY modelando a indução eletromagnética no
motor DC .................................................................................................................................. 54
Figura 3.4 – Ramo mecânico do motor DC em Bond Graph ................................................... 55
Figura 3.5 – Modelo em Bond Graph do circuito equivalente do motor DC ........................... 56
Figura 3.6 – Equações dos componentes do modelo do circuito equivalente do motor DC .... 56
Figura 3.7 – Tela inicial do software 20-sim® ......................................................................... 60
Figura 3.8 – Elementos selecionados para montagem do modelo do motor DC...................... 61
Figura 3.9 – Modelo em Bond Graph do motor DC construído no software 20-sim® ............ 61
Figura 3.10 – Ambiente simulador do 20-sim@ ...................................................................... 62
Figura 3.11 – Janela de configuração da simulação do 20-sim® ............................................. 62
Figura 3.12 – Simulação do modelo do motor DC com todos os parâmetros iguais a um (1) . 63
Figura 3.13 – Modelo do motor DC no MATLAB®/SIMULINK ........................................... 64
Figura 3.14 – Simulação do modelo do motor DC no MATLAB®/SIMULINK .................... 65
Figura 4.1 – Unidade mecânida 33-100.................................................................................... 67
Figura 4.2 – Unidade analógica 33-110 ................................................................................... 68
Figura 4.3 – Ligação para aplicar diferentes degraus (tensão) à unidade mecânica ................ 68
Figura 4.4 – Osciloscópio digital TENMA 72-8395 ................................................................ 70
Figura 4.5 – Ligações das pontas de prova do osciloscópio digital ao kit feedback ................ 70
Figura 4.6 – Print screen da tela do osciloscópio digital para o degrau de 1V ........................ 71
Figura 4.7 – Amostra de dados do canal 1 ............................................................................... 72
Figura 4.8 – Plotagem no MATLAB dos dados adquiridos pelo software DSO ..................... 72
8
Figura 4.9 – Placa de aquisição DAQ da National Instruments ............................................... 73
Figura 4.10 – Plotagem no MATLAB dos dados da tensão de saída adquiridos pela placa de
aquisição DAQ ......................................................................................................................... 74
Figura 4.11 – Resposta ao degrau de 1 Volt no BG linear do motor DC (20-sim®) ............... 77
Figura 4.12 – Comparação das respostas do kit feedback e da simulação de seu modelo BG
linear (MATLAB®) ................................................................................................................. 78
Figura 4.13 – Equação constitutiva linear do atrito (20-sim®) ................................................ 79
Figura 4.14 – Curva atrito X velocidade angular do modelo linear (KARA, 2003) ................ 80
Figura 4.15 – Curva atrito X velocidade angular do modelo não linear (KARA, 2003) ......... 80
Figura 4.16 – Dados da corrente elétrica do kit para 1 volt de entrada (MATLAB®) ............. 82
Figura 4.17 – Layout principal da ferramenta cftool (MATLAB®) ........................................ 82
Figura 4.18 – Ajuste da curva da corrente elétrica do kit para 1 V de entrada (MATLAB®) . 83
Figura 4.19 – Valores obtidos para toda a faixa de degraus aplicados ao kit feedback ............ 84
Figura 4.20 – Curva modelada através dos valores de corrente em regime estacionário
(MATLAB®) ............................................................................................................................ 84
Figura 4.21 – Parâmetros da equação quadrática do modelo não linear do atrito do Kit
(MATLAB®) ............................................................................................................................ 85
Figura 4.22 – Modelo Bond Graph do atrito não linear (20-sim®) ......................................... 86
Figura 4.23 – Respostas do kit feedback, da simulação do modelo BG linear e não linear
(MATLAB®) ............................................................................................................................ 87
9
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Variáveis de potência e energia para alguns domínios ........................................ 22
Tabela 2.2 – Causalidades dos elementos primários ................................................................ 31
Tabela 3.1 – Descrição das variáveis da figura 3.1 .................................................................. 53
Tabela 4.1 – Rotações em regime permanente do kit feedback para entradas do tipo degrau. 76
Tabela 4.2 – Parâmetros do modelo BG linear do motor DC. ................................................. 76
Tabela 4.3 – Respostas em regime permanente do modelo BG linear do motor DC. .............. 77
Tabela 4.4 – Respostas em regime permanente do modelo BG não linear do motor DC. ....... 86
10
LISTA DE SÍMBOLOS
P(t) Potência.
e(t) Esforço.
f(t) Fluxo.
p(t) Momento.
q(t) Deslocamento.
R Resistência.
C Capacitância.
I Indutância.
Se Fonte de esforço.
Sf Fonte de Fluxo.
TF Transformador Ideal.
m Módulo de Transformação.
GY Girador Ideal.
r Módulo de Giração.
0 Junção do tipo “0”.
1 Junção do tipo “1”.
Matriz formada pelas variáveis de co-energia.
x Matriz formada pelas variáveis de energia.
A Matriz dinâmica ou de sistema.
B Matriz de controle ou de entrada.
u(t) Sinal de entrada.
C Matriz de saída ou de sensores.
D Matriz de transmissão direta.
I Matriz Identidade.
Va(t) Tensão da armadura.
11
Ra Resistência da armadura.
La Indutância da armadura.
J Momento de Inércia da carga.
f Coeficiente de atrito viscoso.
ia(t) Corrente da armadura.
E(t) Força contra-eletromotriz.
w(t) Velocidade angular do motor.
Ch1 Canal 1.
Ch2 Canal 2.
K Ganho da planta.
T Constante de tempo da planta.
12
LISTA DE SIGLAS
BG Bond Graph.
DC Direct Current.
CC Corrente Contínua.
TCC Trabalho de Conclusão de Curso.
DAQ Data Acquisition.
LAI Laboratório de Automação Industrial.
20-sim® Software de simulação de sistemas dinâmicos.
DVM Digital Voltimeter.
DSO Digital Storage Osciloscope.
USB Universal Serial Bus.
PC Personal Computer.
MATLAB® / SIMULINK Software utilizado para cálculos e simulações de sistema de
controle.
UM-33-100 Unidade Mecânica – 33-100 do kit de treinamento Feedback.
UM-33-110 Unidade Analógica – 33-110 do kit de treinamento Feedback.
13
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES ...................................................................................................... 6
LISTA DE TABELAS ............................................................................................................... 9
LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................... 10
LISTA DE SIGLAS ................................................................................................................. 12
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................. 15
1.1 – Apresentação. .................................................................................................................. 15
1.2 – Objetivos. ......................................................................................................................... 16
1.3 – Justificativa e Motivação. ................................................................................................ 16
1.4 – Metodologia de Pesquisa. ................................................................................................ 16
1.5 – Estrutura do Trabalho. ..................................................................................................... 17
CAPÍTULO 2 – BOND GRAPH ............................................................................................. 18
2.1 – Origem do Bond Graph ................................................................................................... 18
2.2 – Estado da Arte ................................................................................................................. 19
2.3 – A Técnica Bond Graph .................................................................................................... 20
2.3.1 – Fundamentação ............................................................................................................. 20
2.3.2 – Resistência .................................................................................................................... 22
2.3.3 – Capacitância.................................................................................................................. 23
2.3.4 – Indutância ..................................................................................................................... 24
2.3.5 – Fontes de Tensão e Corrente ........................................................................................ 25
2.3.6 – Elementos Transdutores ............................................................................................... 25
2.3.7 – Elementos de Junção .................................................................................................... 27
2.3.7.1 – Junção do Tipo “0” .................................................................................................... 27
2.3.7.2 – Junção do Tipo “1” .................................................................................................... 28
2.3.8 – Causalidades ................................................................................................................. 29
14
2.4 – Procedimentos de Construção dos Bond Graphs de Circuitos Elétricos ......................... 33
2.4.1 – Etapa (1): Construção da Estrutura do Bond Graph ..................................................... 33
2.4.2 – Etapa (2): Sinalização da Direção e Sentido da Potência ............................................. 34
2.4.3 – Etapa (3): Definição das Causalidades dos Elementos ................................................. 34
2.5 – Exemplos de Circuitos Elétricos Modelados por Bond Graphs ...................................... 35
2.5.1 – Circuito RLC Série ....................................................................................................... 35
2.5.2 – Circuito RLC Paralelo .................................................................................................. 37
2.5.3 – Circuito RLC Misto ...................................................................................................... 39
2.6 – Formulação das Equações de Estado a Partir dos Bond Graphs ..................................... 42
2.6.1 – Obtenção das Equações de Estado e Função de Transferência do Circuito RLC Série
através do Bond Graph Equivalente ......................................................................................... 43
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÃO DO BOND GRAPH NA MODELAGEM DE UM MOTOR
DC ............................................................................................................................................. 52
3.1 – Modelagem Bond Graph do Circuito Equivalente do Motor DC .................................... 54
3.2 – Simulação Computacional do Bond Graph do Motor DC ............................................... 59
CAPÍTULO 4 – AQUISIÇÃO DE DADOS E MODELAGEM BOND GRAPH DO KIT
FEEDBACK ............................................................................................................................. 66
4.1 – Kit feedback – Servo Fundamentals Trainer ................................................................... 67
4.2 – Aquisição de Dados no Kit .............................................................................................. 69
4.2.1 – Aquisição com o Osciloscópio Digital (Digital Storage Osciloscope - DSO) TENMA
72-8395 ..................................................................................................................................... 69
4.2.2 – Aquisição com a Placa de Aquisição (DAQ) da National Instruments ........................ 73
4.3 – Ajuste dos Parâmetros do Modelo Bond Graph Linear do Motor DC ............................ 75
4.4 – Ajuste dos Parâmetros do Modelo Bond Graph Não-Linear do Motor DC .................... 79
CAPÍTULO 5 – COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES ............................................................ 88
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 90
15
CAPÍTULO 1- INTRODUÇÃO
1.1 – Apresentação.
Com a rápida evolução da tecnologia nos dias atuais, sistemas dinâmicos se tornam
cada vez mais complexos e são amplamente utilizados em diversos tipos de empresas e
indústrias. Por esta razão surge a necessidade de se utilizar ferramentas de análise e estudo
destes sistemas de maneira a alcançar objetivos como qualidade, desempenho, redução de
custo e tempo.
Porém, a não utilização de ferramentas adequadas para uma dada aplicação pode não
oferecer os resultados desejados ou até inviabilizar os objetivos em questão. No caso de
aplicações mais complexas, como processos térmicos e químicos, a utilização de muitos tipos
de ferramenta de análise, modelagem e simulação pode inviabilizar o projeto, pois o tempo
gasto para conclusão do mesmo pode se tornar grande e o custo elevado devido à
complexidade de se integrar todos os estudos.
Com intuito de minimizar este grande problema, este trabalho propõe uma técnica de
modelagem gráfica que possibilita tratar diferentes tipos de sistemas dinâmicos utilizando
apenas uma notação, diferentemente de técnicas clássicas de modelagem que são dedicadas
exclusivamente, por exemplo, ao domínio elétrico. Esta técnica de modelagem é capaz de
descrever gráfica e matematicamente o comportamento de sistemas dinâmicos físicos como o
mecânico, elétrico, hidráulico, pneumático, termodinâmico dentre outros utilizando uma única
notação.
Devido às suas características, que serão descritas com mais detalhes no capítulo 2,
adotou-se a técnica Bond Graph (Grafos de Ligação) como ferramenta de análise e
modelagem de sistemas dinâmicos.
16
1.2 – Objetivos.
O principal objetivo deste TCC é encontrar um modelo Bond Graph de um motor de
corrente contínua que descreva fielmente o comportamento de um motor de corrente contínua
real. Para isso, foi utilizado as unidades 33-100 e 33-110 do kit feedback, que se encontra
atualmente no Laboratório de Automação Industrial, como uma plataforma experimental onde
serão feitos testes e os mesmos serão verificados/validados com o modelo equivalente em
Bond Graph parametrizado.
1.3 – Justificativa e Motivação.
Modelagem matemática e análise de sistemas dinâmicos como elétrico, mecânico e
hidráulico dentre outros são temas comumente abordados em diversos ramos da engenharia.
Portanto, o fato da abordagem Bond Graph apresentar um método generalizado para
modelagem destes sistemas influenciou significativamente na escolha do tema. Além dessa
característica, o Bond Graph também permite: analisar o fluxo de potência de todos os
elementos do sistema dinâmico, sendo possível conhecer todas as características e influências
que os elementos oferecem (sofrem) ao (do) resto do sistema; formular as equações de estado
do sistema, possibilitando a implementação dos modelos BG obtidos em softwares de
simulação; fragmentar modelos muito grandes, tornando as análises mais organizadas e mais
fáceis. Estes e outros aspectos foram de essenciais e motivadores para a escolha do Bond
Graph como método de modelagem neste trabalho.
1.4 – Metodologia de Pesquisa.
Inicialmente foi feito um levantamento das bibliografias sobre o tema e em seguida
iniciou-se o processo de familiarização gradativa dos softwares de simulação Bond Graph.
Fez-se necessário o estudo da plataforma experimental a ser utilizada de maneira a conhecer a
forma de ligação das unidades do kit e seu funcionamento com intuito de obter os dados
17
necessários para a modelagem do sistema. A utilização correta de equipamentos de medição e
aquisição de dados do kit também foi pesquisada de forma criteriosamente para que os dados
correspondessem exatamente aos experimentos realizados. Por fim, simulações com softwares
foram realizadas com objetivo de verificar e validar os modelos obtidos.
1.5 – Estrutura do Trabalho.
Este trabalho está organizado em cinco capítulos.
O primeiro capítulo inicia com a parte introdutória, na qual estão descritos os
objetivos, a justificativa para escolha do tema, a motivação, a metodologia de pesquisa
utilizada no decorrer do trabalho.
No segundo capítulo é introduzida a técnica Bond Graph. Os principais conceitos
sobre o assunto são explicados e aplicados aos circuitos eletrônicos.
No terceiro capítulo é apresentada a modelagem Bond Graph de um motor de corrente
contínua. Após descrição do funcionamento e particularidades do motor de corrente contínua,
utiliza-se os conceitos e fundamentos físicos na construção e simulação do modelo.
No quarto capítulo foi feita uma breve introdução sobre o kit feedback, são
apresentadas as formas utilizadas para aquisição dos dados da planta, a descrição dos
problemas encontrados e as etapas requeridas para elaboração e validação do modelo Bond
Graph não-linear do motor DC.
No quinto capítulo são apresentados as conclusões e os comentários finais.
18
CAPÍTULO 2 – BOND GRAPH
2.1 – Origem do Bond Graph
O termo e a técnica de modelagem Bond Graph foram criados e apresentados à
comunidade acadêmica pelo professor Henry Martin Paynter em 1959 (Paynter, 1958 e 1959).
Desde sua criação centenas de livros e artigos foram publicados por H. Paynter e outros
pesquisadores e colaboradores nos Estados Unidos e no resto do mundo.
H. Paynter iniciou seus estudos em 1950 com o intuito de desenvolver uma teoria
geral de sistemas de engenharia. Sua idéia era que energia e potência fossem variáveis
fundamentais que pudesse permitir todas as interações físicas. Uma das razões da criação do
Bond Graph, segundo Paynter, foi a generalização do conceito de diagrama elétrico e
eliminação de algumas de suas limitações (Paynter, 2000).
O treinamento e experiência adquiridos por Paynter na área de sistemas hidroelétricos
de potência o fizeram perceber as analogias existentes entre Transmissão (condutos de fluidos
e linhas elétricas), Transdução (turbinas e geradores) e Controle (Reguladores de velocidade e
tensão). Quando estas analogias foram traduzidas em equações, as diferenças encontradas
entre os dois sistemas foram completamente diluídas. No dia 24 de Abril de 1959, Paynter
apresentou a técnica Bond Graph como uma disciplina formal.
Na década de 60, esta técnica foi amplamente difundida pelos professores Karnopp e
Rosenberg (1978, 2000) nos Estados Unidos e na Europa por Thoma em 1975. No Brasil
podemos citar trabalhos importantes: Speranza Neto (1992, 1995), Tiago Filho (1994), Bruno
C. Pedroza (1997) e Adair Villas Boas Martins (2004).
19
2.2 – Estado da Arte
A dissertação de (Mosterman, 1997) desenvolveu uma teoria formal de modelagem
híbrida baseada nos princípios físicos. Foi mostrada uma metodologia para monitoramento,
predição de sistemas dinâmicos de diagnósticos originados do comportamento dinâmico,
baseado em uma modelagem Bond Graph híbrida. Resultados de simulações em um reator
nuclear demonstraram o sucesso da abordagem.
Na dissertação de mestrado de (Martins, 2004), estuda-se a simulação de fenômenos
transitórios em tubulações e centrais hidrelétricas usando aplicativos de uso geral baseado na
metodologia dos grafos de ligação (Bond Graph). Ao final do trabalho, propõe-se uma
modelagem original da turbina hidráulica como um transformador não linear e um modelo de
eficiência, carga elétrica e regulador de velocidade. Esta modelagem é usada para simular
rejeição parcial e total de carga e aceitações de sistemas de potência elétrica isolados: um caso
tirado da literatura clássica e um estudo recente da Usina Hidrelétrica Santa Clara em Minas
Gerais, Brasil.
Na dissertação de mestrado de (Ferreira, 2006), é proposto um procedimento de
modelagem de sistemas físicos (mecânicos) orientado ao objeto, no qual se constrói diagrama
de blocos baseado no grafo de ligação (Bond Graph) do sistema, para obtenção de sua
resposta dinâmica.
No artigo de (Oliveira et. al., 2006) é apresentada uma introdução ao problema de
representação de sistemas físicos nos cursos de engenharia elétrica, com foco no processo de
ensino, aprendizagem e cognição de conceitos. É proposta a utilização do Bond Graph na
representação de máquinas elétricas visando uma melhor abordagem didática.
A dissertação de mestrado de (Leite, 2007) tem como principal objetivo definir um
procedimento de modelagem modular para análise da dinâmica de veículos com estrutura
flexível utilizando os elementos generalizados da técnica dos grafos de ligação (Bond Graph)
e um ambiente de simulação com conceito de diagrama de blocos. Como objetivo secundário,
propõe-se analisar a influência da flexibilidade estrutural na dinâmica de um veículo qualquer,
de forma genérica e, em particular, no caso de uma viatura blindada de transporte pessoal.
20
2.3 – A Técnica Bond Graph
Bond Graph é uma representação gráfica do fluxo de potência ou comportamento
dinâmico de um sistema físico, o qual pode ser de domínio elétrico, mecânico, pneumático,
hidráulico, térmico dentre outros. Independentemente do domínio físico, dois componentes
podem ser modelados pelo mesmo elemento proposto pela Técnica Bond Graph, onde o fluxo
de energia é processado da mesma forma.
Nesta seção será explicada a técnica de Bond Graphs de forma geral, aplicável para
qualquer domínio físico. Entretanto, para fins didáticos, a explicação dos componentes
passivos será sempre exemplificada em analogia com sistemas elétricos.
2.3.1 – Fundamentação
A potência, P(t), equação 2.1, é descrita como produto entre as variáveis conjugadas
de potência contidas em cada ligação: a variável esforço, do termo original effort, e(t), e a
variável fluxo, do termo original flow, f(t) (Pedroza, 1997).
( ) ( ) ( ) ( )
A semi-seta ou ligação, do termo original bond, representa o sentido do fluxo de
potência. A figura 2.1 ilustra a representação da semi-seta.
Figura 2.1 – Semi-seta representando o sentido do fluxo de potência.
21
A partir destes conceitos podemos definir mais dois tipos de variáveis, denominadas
variáveis de energia, as quais são importantes na descrição de sistemas dinâmicos. Na notação
geral elas descrevem o momento, do termo original momentum, p(t), e o deslocamento, do
termo original displacement, q(t) (Pedroza,1997).
O momento é definido como integral da variável esforço no tempo, isto é:
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
( )
De forma análoga, o deslocamento é definido como integral da variável fluxo, ou seja:
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
( )
Com objetivo de simplificar as relações entre as variáveis de potência e de energia, a
figura 2.2 ilustra o “Tetraedro de Estado” (Karnopp et al., 2000) . Esta mostra os quatro tipos
de variáveis que são abordadas nos modelos dos sistemas físicos associadas com os quatro
vértices do tetraedro de estado.
Figura 2.2 – Tetraedro de estado (Karnopp et al., 2000).
22
A tabela 2.1 relaciona alguns tipos de sistemas físicos com as variáveis de potência e
de energia. Estas variáveis são intercambiáveis e dependem de definição arbitrária. Como este
trabalho trata com aplicação específica da técnica de Bond Graphs, adota-se as variáveis
conforme a tabela 2.1.
Tabela 2.1 – Variáveis de potência e energia para alguns domínios (Pedroza,1997).
Domínio Físico Esforço e(t) Fluxo f(t) Momento p(t) Deslocamento q(t)
Mecânico
Translação Força Velocidade
Quantidade de
Movimento Deslocamento
Mecânico
Rotação Torque
Velocidade
Angular
Quant. de Mov.
Angular Ângulo
Hidráulico/
Pneumático Pressão
Fluxo de
Volume
Quant. Mov. De
Pressão Volume
Elétrico Tensão Corrente Fluxo Magnético Carga
2.3.2 – Resistência
A resistência, representada pelo símbolo R é abordada de forma generalizada para os
diferentes tipos de sistemas físicos. A resistência se comporta como um resistor elétrico cuja
função é dissipar energia. A relação constitutiva entre as variáveis de potência, esforço
(tensão) e fluxo (corrente), que descreve esta dissipação de energia pode ser equacionada pela
seguinte equação (Martins,2004).
( ) ( ) ( )
A figura 2.3 apresenta o Bond Graph convencional para a resistência.
23
Figura 2.3 – Representação do elemento resistor em Bond Graph.
2.3.3 – Capacitância
A Capacitância, representada no Bond Graph pelo símbolo C, é o elemento capaz de
armazenar energia. Este elemento relaciona a variável de potência, o esforço (tensão) e(t),
com a integral da variável fluxo, deslocamento (carga) q(t) conforme a seguinte relação
(Martins, 2004):
( ) ∫ ( )
( ) ( )
A equação (2.5) pode ser reescrita como:
( )
∫ ( )
( )
A figura 2.4 apresenta o Bond Graph convencional para a capacitância.
Figura 2.4 – Representação do elemento capacitor em Bond Graph.
24
2.3.4 – Indutância
A Indutância, representada no Bond Graph pelo símbolo I, é um elemento passivo e
relaciona a variável de potência fluxo f(t) com a variável integral quantidade de movimento p
conforme a seguinte relação (Martins, 2004):
( ) ∫ ( )
( ) ( )
A equação (2.7) pode ser reescrita como:
( )
∫ ( )
( )
Ou
( ) ( )
( )
A figura 2.5 apresenta o Bond Graph para o elemento indutor.
Figura 2.5 - Representação do elemento indutor em Bond Graph.
25
2.3.5 – Fontes de Tensão e Corrente
As fontes são elementos que fornecem energia ao sistema. O símbolo S, letra inicial do
termo original source, pode vir acompanhado da letra e ou da letra f. O símbolo Se representa
uma fonte de esforço (tensão) e o Sf representa uma fonte de fluxo (corrente).
A figura 2.6 mostra as simbologias utilizadas para fontes.
Figura 2.6 – Representação convencional das fontes em Bond Graph:
(a) Fonte de Esforço ou Tensão, (b) Fonte de Fluxo ou Corrente.
2.3.6 – Elementos Transdutores
Os elementos transdutores conservadores de energia conecta dois domínios de energia.
Esta conexão é feita utilizando dois tipos de elementos: o transformador ideal, cujo símbolo é
TF, e o girador ideal, cujo símbolo é GY. O TF transforma energia entre domínios de mesma
natureza ampliando ou reduzindo um sinal, como por exemplo, uma alavanca que transforma
energia mecânica translacional em energia mecânica rotacional, transformadores de potências
nos circuitos elétricos, caixas de engrenagens, etc.
A figura 2.7 apresenta o Bond Graph do transformador ideal.
26
Figura 2.7 – Representação do transformador ideal em Bond Graph.
A lei constitutiva que rege o elemento de transformação direta é (Martins, 2004):
( )
Onde m é o módulo de transformação.
Outro tipo de transformador é o GY, que transforma energia entre domínios diferentes
e de forma inversa, ou seja, relaciona as variáveis de esforço de entrada com o fluxo de saída
e o fluxo de entrada com o esforço de saída conforme mostrado na equação (2.11). Um
exemplo de Girador é o motor elétrico, que transforma energia elétrica em energia mecânica.
( )
Onde r é o módulo de giração.
Em Bond Graph, os giradores ideais são apresentados conforme a figura 2.8.
27
Figura 2.8 – Representação do girador ideal em Bond Graph (Martins, 2004).
2.3.7 – Elementos de Junção
Para que um Bond Graph seja montado faz-se necessário interligar os componentes e
ligações através de elementos de junção onde ocorre o acúmulo ou dissipação de energia.
Estes elementos têm a função de relacionar as variáveis de potência que estão ligadas a eles.
Existem dois tipos de elementos de junção: Junção do tipo “0”, do termo original 0-junction, e
junção do tipo “1”, do termo original 1-junction (Martins, 2004).
2.3.7.1 – Junção do Tipo “0”
Todos os elementos ligados a uma junção do tipo “0” estão sujeitas a ação de um
mesmo esforço ou tensão, ou seja, a junção do tipo “0” é usada para elementos que estão
conectados em paralelo no domínio elétrico.
A junção do tipo “0” é uma generalização da lei de Kirchhoff de correntes (lei dos
nós), cuja definição diz que a soma das correntes que entram em um nó de um circuito
elétrico é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó.
Em Bond Graph, a junção do tipo “0” pode ser representada como mostra a figura 2.9.
28
Figura 2.9 – Junção do tipo “0”.
Por definição, na junção “0” tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
E
( )
2.3.7.2 – Junção do Tipo “1”
Todos os elementos ligados a uma junção do tipo “1” estão sujeitas a ação de um
mesmo fluxo ou corrente, ou seja, a junção do tipo “1” é usada para elementos que estão
conectados em série no domínio elétrico.
A junção do tipo “1” é uma generalização da lei de Kirchhoff de tensões (lei das
malhas), cuja definição diz que a soma das quedas de tensões em uma malha de um circuito
elétrico é igual à soma das elevações de tensões na mesma malha.
Em Bond Graph, a junção do tipo “1” pode ser representada como mostra a figura
2.10.
29
Figura 2.10 – Junção do tipo “1”.
Por definição, na junção “1” tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
E
( )
2.3.8 – Causalidades
A causalidade permite indicar no Bond Graph se os elementos conectados estão
recebendo ou fornecendo as variáveis de potência, esforço e fluxo. A causalidade é
identificada através de uma barra vertical denominada barra causal, do termo original causal
stroke. A barra está sempre localizada em uma das extremidades de cada ligação com intuito
de indicar qual é o sentido da variável de esforço naquela ligação, ou seja, para que lado a
variável esforço atua como entrada (Martins, 2004).
Portanto, cada ligação deve conter a indicação de sentido da potência e da causalidade,
não obstante estes serem completamente independentes. O sentido da potência indica qual
sentido a potência é positiva. A causalidade indica a relação de causa e efeito entre as
variáveis de potência. A causalidade em elementos primários pode ser caracterizada como:
necessária, restrita, integral, derivativa e arbitrária.
30
A causalidade será de caráter necessário quando o elemento indicado for uma fonte de
esforço ou fluxo, pois as fontes por sua natureza determinam os sentidos das variáveis de
potência. Na fonte de esforço, a barra causal deve estar localizada obrigatoriamente na
extremidade mais distante (em relação à fonte) da ligação que conecta a fonte de esforço ao
resto do sistema, ou seja, o modelo conectado à fonte tem como entrada o esforço e como
saída o fluxo. Já na fonte de fluxo, a barra causal deve estar localizada obrigatoriamente na
extremidade mais próxima (em relação à fonte) da ligação que conecta a fonte de fluxo ao
resto do sistema, ou seja, o modelo conectado à fonte de fluxo tem como entrada o fluxo e
como saída o esforço. Veja o exemplo mostrado na figura 2.11 para uma fonte de esforço e o
exemplo da figura 2.12 para uma fonte de fluxo.
Figura 2.11 – Circuito elétrico contendo uma fonte de tensão e um resistor:
(a) Circuito elétrico, (b) Bond Graph do circuito elétrico.
Figura 2.12 – Circuito elétrico contendo uma fonte de corrente e um resistor:
(a) Circuito Elétrico, (b) Bond Graph do circuito elétrico.
31
A causalidade será definida com restrita em elementos onde ocorre o fluxo de potência
através dos mesmos: Junção do tipo “0”, Junção do tipo “1”, Transformador e Girador. Nos
elementos de Indutância I e Capacitância C, a causalidade é definida como integral ou
derivativa de acordo com o elemento e o tipo de sistema (Martins, 2004).
Finalmente, a causalidade arbitrária é utilizada em elementos do tipo resistor. Devido a
sua característica dissipativa, a causalidade definida de acordo com o resto do modelo, sendo
inserida em qualquer um dos lados. A tabela 2.2 adaptada de (Martins, 2004) apresenta em
forma sintética as causalidades de cada elemento primitivo.
Tabela 2.2 – Causalidades dos elementos primários.
CAUSALIDADES
Caráter Bond Graph Bond Graph
NECESSÁRIO
INTEGRATIVO
DERIVATIVO
ARBITRÁRIO
RESTRITIVO
32
No caso das junções, a quantidade de possibilidades irá variar de acordo com a
quantidade de ligações que ela realiza.
Os elementos C e I são normalmente analisados com causalidade integrativa. Porém,
em alguns casos, a solução é utilizá-los com causalidade derivativa. Veja o item 2.4.2.
33
2.4 – Procedimentos de Construção dos Bond Graphs de Circuitos Elétricos
Apresentados todos os elementos primitivos que compõe um Bond Graph, faz-se
necessário estabelecer um procedimento para unir os elementos que compõem um
determinado modelo sem desrespeitar as leis físicas que regem o sistema. Uma vez construído
o modelo utilizando a técnica Bond Graph é possível chegar-se ao modelo matemático
manipulando as equações constitutivas dos elementos passivos [R, C, I] que formam os
campos característicos e as equações de restrição dos elementos [TF, GY, 0, 1] que formam a
estrutura de junção.
Os domínios físicos possuem diferentes formas de serem analisados, devido suas
características particulares, porém a técnica Bond Graph pode ser aplicada a qualquer tipo de
sistema físico citado anteriormente. Neste TCC esta técnica será aplicada inicialmente ao
domínio elétrico para fins didáticos e posteriormente (no próximo capítulo) a um sistema
eletromecânico como estudo de caso.
O procedimento padrão para construção do Bond Graph de um circuito elétrico pode
ser dividido em três etapas ordenadas: Construção da estrutura do Bond Graph, sinalização da
direção da potência e definição das causalidades dos elementos.
2.4.1 – Etapa (1): Construção da Estrutura do Bond Graph
De acordo com (Karnopp, 2000) e (Martins, 2004), o método de construção da
estrutura do Bond Graph pode ser resumido através dos seguintes passos:
1. Para cada nó do circuito com mesmo potencial ou tensão, deve-se colocar uma
junção do tipo “0”.
2. Entre cada par de junções do tipo “0” deve-se inserir junção do tipo “1”,
ligadas aos respectivos elementos que estejam sob ação da mesma diferença de
potencial.
3. Adicionam-se as fontes de tensão e de corrente.
34
4. Elimina-se o potencial terra e sua respectiva junção do tipo “0”. Caso não haja
o potencial terra escolhe-se uma tensão de referência e elimina-a.
5. Simplificar o Bond Graph. As junções que não estão conectadas a nenhum
elemento, devem ser eliminadas. Deve-se utilizar junção do tipo “0” para
elementos ou ramos do circuito que estão conectados em paralelo e junção do
tipo “1” para os elementos ou ramos do circuito que estão conectados em série.
2.4.2 – Etapa (2): Sinalização da Direção e Sentido da Potência
Segundo (Karnopp, 2000) e (Martins, 2004), a rotina para ordenação da direção e
sentido da potência nos Bond Graph não depende da natureza e da energia do sistema a ser
modelado ao qual será a mesma para sistema de diferentes domínios físicos. Os passos para
sinalização da direção e sentido da potência são:
1. Sinalizar o sentido da potência da(s) fonte(s). A direção vai variar de acordo
com a forma de construção da estrutura do Bond Graph.
2. Se o modelo tiver apenas uma fonte, o sentido da potência nos outros
elementos irá se propagar conforme o sentido estabelecido inicialmente pela
fonte.
3. Se o modelo tiver duas ou mais fontes de tensão ou corrente, o sentido da
potência nos outros elementos irá se propagar uniformemente conforme o
sentido estabelecido inicialmente por cada fonte. Porém, em um determinado
momento pode acontecer de uma ligação receber potências com sentidos
diferentes. Neste caso a ligação deve utilizar apenas um sentido, que é
escolhido de acordo com as características das fontes.
2.4.3 – Etapa (3): Definição das Causalidades dos Elementos
Por sugestão, esta etapa ocorre depois de sinalizar o sentido da potência no Bond
Graph. A realização da etapa (3) antes da etapa (2) não influencia na construção de um BG. O
35
procedimento para assinalar a causalidade aos Bond Graphs (SCAP: Sequential Causality
Assignment Procedure), segundo (Karnopp, 2000), pode ser dividido nas seguintes etapas:
1. Assinalam-se as causalidades de caráter necessário, que são as causalidades
das fontes de esforço [Se] e fontes de fluxo [Sf].
2. Assinalam-se as causalidades de caráter integral em todos os elementos de
Indutância [I] e Capacitância [C] que admitem tal causalidade.
3. Assinalam-se as causalidades de caráter restrito em todos os elementos
transformadores [TF] e indiretos [GY].
4. Assinalam-se as causalidades também de caráter restrito nos elementos de
junções dos tipos “0” e “1”.
5. De acordo com as causalidades já assinaladas, assinalar as causalidades de
caráter arbitrário nos elementos de resistência [R].
6. Devem-se utilizar as causalidades de caráter derivativo em casos que as
causalidades de caráter integral não possam ser utilizadas, devido o
comportamento do modelo.
2.5 – Exemplos de Circuitos Elétricos Modelados por Bond Graphs
Seguindo as etapas e os passos propostos no item 2.4, representam-se os circuitos
propostos a seguir utilizando a técnica de modelagem Bond Graph.
2.5.1 – Circuito RLC Série
A figura 2.13 apresenta o esquema de ligação dos componentes de um circuito RLC
em série.
36
Figura 2.13 – Circuito RLC em série.
A figura 2.14 ilustra na notação Bond Graph os passos propostos na etapa (1).
Figura 2.14 – Passos para construção do Bond Graph do circuito RLC em série.
Após concluir a primeira etapa, pode-se observar que a estrutura do BG foi construída.
Agora devem-se utilizar as etapas (2) e (3) para conclusão do mesmo.
A figura 2.15 ilustra os passos propostos pela etapa (2).
37
Figura 2.15 – Passos para sinalização da direção e sentido do fluxo de potência do circuito
RLC em série.
E finalmente, a figura 2.16 ilustra os passos propostos pela etapa (3).
Figura 2.16 – Passos para definição das causalidades dos elementos do circuito RLC em série.
O Bond Graph do circuito RLC série é apresentado no passo quatro (4) da figura 2.16.
2.5.2 – Circuito RLC Paralelo
A figura 2.17 apresenta o esquema de ligação dos componentes de um circuito RLC
paralelo.
38
Figura 2.17 – Circuito RLC paralelo.
A figura 2.18 ilustra na notação Bond Graph os passos propostos pela etapa (1).
Figura 2.18 – Passos para construção do Bond Graph do circuito RLC em paralelo.
As etapas (2) e (3) são ilustradas na figura 2.19.
Figura 2.19 – Etapas para sinalização da direção e sentido do fluxo de potência e definição
das causalidades do circuito RLC em paralelo.
39
O gráfico apresentado pela etapa (3) da figura 2.19 representa o Bond Graph, relativo
ao circuito RLC paralelo. Pode-se observar que na etapa (3), a causalidade do elemento C não
está ilustrada como causalidade integral, e sim como causalidade derivativa. Isto acontece
quando 2 ou mais elementos fornecem a variável esforço a uma junção do tipo “0” ou quando
2 ou mais elementos fornecem a variável fluxo a uma junção do tipo “1”. O elemento Se, que
possui causalidade necessária, fornece o esforço a junção do tipo “0” e os outros elementos
podem variar a sua causalidade, respeitando as regras citadas no item 2.2.7.
2.5.3 – Circuito RLC Misto
Muitos circuitos que aparentam ser complexos à primeira vista podem ser traduzidos
para a notação Bond Graph de forma rápida (Karnopp et al, 2000). Como exemplo, considere
o circuito mostrado na figura 2.20.
Figura 2.20 – Circuito RLC misto.
Uma das principais características da técnica BG é que ela permite modelar partes de
um sistema separadamente e depois conectar as mesmas. Com isto, O circuito da figura 2.20
foi dividido em três partes, como mostra a figura 2.21.
40
Figura 2.21 – Partes do circuito RLC misto.
Fazendo uso dos passos propostos pela etapa (1), referente ao item 2.4, as estruturas
dos Bond Graphs das partes indicadas na figura 2.21 são apresentadas na figura 2.22.
Figura 2.22 – Bond Graphs das partes do circuito RLC misto.
A parte 1 da figura 2.22 mostra o Bond Graph da parte do circuito contendo a fonte de
tensão em série com o resistor R1. A parte 2 representa o elemento capacitor, que está em
paralelo com a parte 1 e a parte 3. ab e cd representam ligações duplas, do termo original 2-
port. Na parte 3, os componentes L1 e C2 estão em paralelo, porém os dois juntos estão em
série com as outras partes do modelo. A parte 4 mostra o BG contendo as ligações duplas
entre cd e ef; Além disso, observa-se que os componentes C3 e L2 estão em paralelo entre si;
O subconjunto formado por eles está em série com o R2; E finalmente, o novo subconjunto
formado pelos três componentes está em paralelo com as outras partes do modelo.
41
Com todas as partes do circuito devidamente modeladas, a união das partes forma a
estrutura do Bond Graph do circuito RLC misto. A figura 2.23 apresenta o BG do circuito.
Figura 2.23 – Estrutura do Bond Graph do circuito RLC misto.
A etapa (2) do item 2.4 descreve todos os passos para a realização da sinalização do
BG. Posteriormente utilizaremos o Bond Graph para extrair as equações de estado dos
componentes do modelo. Portanto, a numeração de cada ligação se faz necessária, pois isto
permite assinalar as variáveis de esforço, fluxo, momento e deslocamento de cada ligação
com o número correspondente. A figura 2.24 apresenta o Bond Graph com a sinalização da
direção e do sentido da potência e com a numeração das ligações.
Figura 2.24 – Passos para sinalização da direção e sentido do fluxo de potência e numeração
das ligações do circuito RLC misto.
42
Por fim, A figura 2.25 apresenta o Bond Graph completo do circuito, utilizando os
procedimentos descritos na etapa (3) do item 2.4, onde são inseridas as causalidades dos
componentes.
Figura 2.25 – Bond Graph do circuito RLC misto.
Note que com a numeração de cada ligação no BG, não é mais necessário manter as
numerações nos componentes. Uma vez as ligações numeradas e sinalizadas, o Bond Graph
está pronto para mais análises. Na próxima seção, será feita uma formulação das equações de
estados e função de transferência do BG apresentado no item 2.4.1.
2.6 – Formulação das Equações de Estado a Partir dos Bond Graphs
Uma vez terminada a construção de um Bond Graph, as equações que descrevem o seu
comportamento podem ser escritas de forma a serem aplicadas a diversos ramos da
engenharia. Estas equações possuem informações necessárias à modelagem matemática do
sistema em questão. A partir do Bond Graph, a obtenção das equações de estados se dá
relacionando as variáveis de potência, esforço e fluxo, com as variáveis integrais dos
elementos C e I de causalidade integral associando-se as leis constitutivas que regem cada
elemento do grafo. O número de equações será equivalente ao número de elementos
capacitivos e inerciais de causalidade integral que existem no sistema. No caso dos elementos
C e I apresentarem causalidade derivativa, uma relação algébrica será fornecida e não
participará do sistema de equações de estado.
43
Quando o modelo é pequeno e simples, as equações de estado podem ser escritas sem
a necessidade de uma análise mais aprofundada do modelo. No entanto, com o aumento da
complexidade e tamanho do modelo, um procedimento organizado é necessário para escrever
as equações. Baseado em (Karnopp, 2000) e (Martins, 2004), o procedimento para a
formulação das equações de estado a partir dos Bond Graphs são os seguintes:
1. Enumerar de forma ordenada todas as ligações do Bond Graph, considerando a
direção do fluxo de potência.
2. Identificar as variáveis de entrada do modelo, podendo ser do tipo fonte de
esforço E(t) ou fonte de fluxo F(t).
3. De acordo com as leis constitutivas dos elementos C e I de causalidade
integral, associar as variáveis de energia, momento p e deslocamento q, com as
respectivas variáveis de estado.
4. Identificar nos elementos C e I as respectivas variáveis de co-energia. O
esforço e, é identificado pela derivada da quantidade de movimento, ou seja, e
= , e o fluxo f, é identificado pela derivada do deslocamento, ou seja, f = .
5. Formular e identificar as leis constitutivas dos elementos dissipadores de
energia R e de transformação TF e GY.
6. A partir das relações constitutivas das junções dos tipos “0” e “1”, devem-se
relacionar as variáveis de estado de acordo com o sentido da potência e suas
respectivas causalidades.
7. Substituir as relações constitutivas dos elementos do modelo de forma a obter-
se as equações de estado do sistema.
2.6.1 – Obtenção das Equações de Estado e Função de Transferência do
Circuito RLC Série através do Bond Graph Equivalente
O circuito RLC série modelado anteriormente terá que sofrer uma pequena alteração,
pois para que se possa equacionar o modelo na forma de função de transferência, uma relação
entre a saída e a entrada do modelo deve existir. Desta forma, o circuito RLC série é
apresentado na figura 2.26.
44
Figura 2.26 – Circuito RLC série com terminais para medição da tensão de saída.
Utilizando os passos apresentados no item 2.4, o Bond Graph deste modelo é ilustrado
na figura 2.27.
Figura 2.27 – Bond graph equivalente ao circuito da figura 2.26.
Os procedimentos para formulação das equações de estado são apresentados na figura
2.28.
45
Figura 2.28 – Procedimentos para obtenção das equações de estado do circuito RLC em série.
As relações mostradas na figura 2.28 são:
Leis constitutivas da Junção do tipo “1”:
46
( )
E
( )
Leis constitutivas da Junção do tipo “0”:
( )
E
( )
Lei constitutiva do elemento de capacitância:
( )
Lei constitutiva do elemento de indutância:
( )
A variável de co-energia, o esforço e, é identificada pela derivada da quantidade de
movimento, ou seja:
( )
47
A variável de co-energia, o fluxo f, é identificada pela derivada do deslocamento, ou
seja:
( )
Lei constitutiva do elemento de resistência:
( )
De acordo com o passo 7, deve-se substituir as relações constitutivas dos elementos do
modelo de forma a obter-se as equações de estado do sistema. Neste caso como o modelo
possui apenas duas variáveis de causalidade integral, duas equações de estado serão formadas.
A primeira equação será obtida através da equação (2.22), fazendo a seguinte substituição:
( )
A segunda equação de estado será obtida substituindo em primeira instância a equação
(2.17) na equação (2.22):
( )
As variáveis de potência e1, e3 e e4 são conhecidas e as seguintes substituições devem
ser feitas:
48
( )
( )
( )
Das equações (2.25) e (2.27) obtém-se a equação de estado do sistema:
[
] [
] [ ] [
] , ( )- ( )
Segundo (Ogata, 2003), a forma reduzida da equação de estado é:
( ) ( )
Onde representa as variáveis de co-energia do sistema:
[
] ( )
O vetor x corresponde às variáveis de energia do sistema:
[ ] ( )
A matriz A, composta pelos dados dos parâmetros I2, R3 e C5 do sistema está
representada por:
49
[
] ( )
A matriz B, cujos coeficientes correspondem à atuação das fontes de entrada, que é
identificada pela matriz u(t):
[ ] ( )
( ) , ( )- ( )
Para concluir as análises e elaborar o modelo em espaço de estado e a função de
transferência, o primeiro passo é encontrar a equação de saída. Segundo (Ogata, 2003), a
equação de saída pode ser escrita como:
( )
Considerando sempre D=0, tem-se:
( )
Sendo y igual à saída do modelo, C a matriz de saída e x as variáveis de saída do
sistema, a matriz C deve ser encontrada sendo . Substituindo as equações obtidas em
e6, tem-se:
50
( )
Assim, pode-se afirmar que o modelo matemático do circuito RLC série representado
em espaço de estados é:
[
] [
] [ ] [
] , ( )-
[
] [ ] ( )
Tendo a representação do modelo em espaço estado, é possível obter a função de
transferência equivalente. Segundo (Ogata, 2003), a relação entre funções de transferências e
equações no espaço estado por ser descrita como:
( ) ( ) ( )
Considerando sempre D=0, tem-se:
( ) ( ) ( )
Substituindo as matrizes A, B, C e I na equação (2.40):
51
( ) [
] *[
] [
] + [ ] ( )
Resolvendo a equação acima, pode-se afirmar que a função de transferência do
circuito RLC série é:
( )
( )
Estes são apenas alguns recursos que esta técnica possui. Porém, é importante frisar
que o objetivo do Bond Graph não é obter o modelo em espaço de estados e nem função de
transferência, e sim obter o modelo Bond Graph. Este caminho foi mostrado como forma de
familiarização da técnica e das equações de uma forma mais aprofundada.
Na prática, as equações de estado do modelo são encontradas e implementadas
automaticamente com o uso de alguns softwares de programação e simulação de modelos
Bond Graphs. A linguagem utilizada pelos softwares responsáveis por isso é chamada de
Modelica. Esta conecta as variáveis de potência dos elementos do modelo em questão,
relacionando suas equações e permitindo também a parametrização das equações constitutivas
dos elementos BG.
A construção de um modelo Bond Graph em um software é, na maioria das vezes,
realizadas graficamente, onde os elementos desejados são selecionados e depois conectados.
À medida que os elementos são conectados, o código Modelica do modelo é gerado
automaticamente em outro ambiente. Isto facilita bastante o papel do programador, que irá se
preocupar em encontrar apenas com o modelo Bond Graph.
52
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÃO DO BOND GRAPH NA MODELAGEM DE
UM MOTOR DC
A modelagem tradicional de máquinas elétricas se dá através da representação de seus
efeitos eletromagnéticos internos, o que resulta nos circuitos elétricos equivalentes, que são
resolvidos para obter equações elétricas que descrevem o comportamento eletromagnético
destas máquinas.
Existem diversas formas de fazer a modelagem matemática de um motor DC, sendo
uma delas o uso da teoria de Bond Graph. Nela o fluxo de energia em uma máquina elétrica é
representado sem a necessidade de um circuito equivalente, podendo-se facilmente incluir
elementos mecânicos e elétricos na modelagem. O modelo em Bond Graph permite uma
análise mais completa e dinâmica do sistema.
O motor de corrente contínua, o qual é controlado pela tensão aplicada na armadura,
pode ser ilustrado pelo circuito equivalente da figura 3.1.
Figura 3.1 – Circuito equivalente do motor DC.
53
A descrição das variáveis envolvidas é apresentada na tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Descrição das variáveis da figura 3.1.
Variáveis Descrição
Va(t) Tensão de comando do motor (Volts)
Ra Resistência da armadura do motor (Ohms)
ia(t) Corrente na armadura do motor (Ampères)
La Indutância da armadura do motor (Henry)
E(t) Força contra eletromotriz do motor (Volts)
f Coeficiente de amortecimento viscoso (Kg. /Séc)
w(t) Velocidade angular do motor (rad/s)
J Inércia da carga (Kg. )
Uma Tensão Va(t) é aplicada a armadura do motor e uma corrente ia(t)
circula e provoca a rotação do seu eixo (rotor). Com a rotação do eixo
(rotor) é gerada uma força contra eletromotriz E(t). Com a elevação da
velocidade do motor, E(t) aumenta e ia(t) diminui. Num motor ideal (sem
perdas), a corrente da armadura diminui substancialmente, tendendo a zero
e o valor da força contra eletromotriz E(t) assume valor próximo ao valor
da tensão aplicada Va(t). Deste modo, a variação da velocidade do motor é
proporcional à variação da tensão aplicada ao mesmo (Va(t)), em ambos os
sentidos. (Navarro, 2008).
Para obter o modelo em Bond Graph do sistema da figura 3.1, deve ser feita uma
análise tanto dos componentes de domínio elétrico quanto dos componentes de domínio
mecânico. Por meio da abordagem efetuada no capítulo 2, os componentes elétricos podem
ser modelados. Na sequência serão detalhados os elementos mecânicos.
54
3.1 – Modelagem Bond Graph do Circuito Equivalente do Motor DC
Analisando a figura 3.1, nota-se que a fonte de tensão, a resistência da armadura e o
indutor estão em série. Portanto, o modelo deste ramo é:
Figura 3.2 – Ramo elétrico do circuito do motor DC em Bond Graph.
A transformação de energia elétrica em energia mecânica rotacional é representada em
BG pelo elemento GY, onde o torque de saída é proporcional à corrente de entrada e a força
contra-eletromotriz é proporcional à velocidade angular do motor. Assim, o modelo em BG
do motor DC envolve o girador com módulo de giração r:
Figura 3.3 – Representação em BG do girador GY modelando a indução eletromagnética no
motor DC.
No ramo mecânico, apesar deste assunto não ter sido abordado anteriormente, também
é bastante simples de se obter o modelo em Bond Graph. Lembrando que no domínio
mecânico o esforço é representado pelo torque e o fluxo é representado pela velocidade
55
angular, devem-se recorrer às equações constitutivas do atrito viscoso e do momento inercial
para elaboração do modelo. O coeficiente de atrito oferece uma resistência ao modelo a
velocidade angular, da mesma forma que o resistor oferece uma resistência ao fluxo de
corrente. Portanto, o atrito do ramo mecânico é representado em BG pelo elemento R. O
momento inercial da carga mecânica também possui o mesmo princípio de um indutor
elétrico. Assim, o momento de inércia do ramo mecânico é representado em BG pelo
elemento I.
Da mesma forma que o indutor e o resistor dividem a mesma corrente no ramo
elétrico, o coeficiente de atrito e o momento de inércia dividem a mesma velocidade angular.
Assim, pode-se dizer que o modelo em BG do ramo mecânico é:
Figura 3.4 – Ramo mecânico do motor DC em Bond Graph.
Com isso, as análises do sistema são concluídas e o modelo do circuito equivalente do
motor DC pode ser construído simplesmente juntando as partes que foram modeladas
separadamente, lembrando de respeitar o fluxo de potência e as causalidades dos elementos
que compõe o sistema. O modelo em Bond Graph do circuito equivalente do motor DC,
mostrado na figura 3.1, é apresentado na figura 3.5.
56
Figura 3.5 – Modelo em Bond Graph do circuito equivalente do motor DC.
Utilizando os passos propostos no item 2.6, podem-se determinar as equações dos
componentes do modelo, extrair o modelo em espaço de estados e a função de transferência.
As equações dos componentes do movimento são:
Figura 3.6 – Equações dos componentes do modelo do circuito equivalente do motor DC.
57
Para encontrar as equações de estado, devem-se encontrar as equações de e ,
que correspondem às variáveis de co-energias do modelo. Substituindo as equações tem-se:
( ) ( )
( )
e
( )
Das equações (3.1) e (3.2) obtém-se a equação de estado do sistema:
[
]
[
]
[ ] [
] , ( )- ( )
Sendo:
[
]
( )
e
[ ] ( )
58
A matriz C a matriz de saída, a equação de saída pode ser modelada como y = f6,
sendo f6 a rotação do motor DC. Portanto:
( )
A equação de estado de saída é:
[
] [
] ( )
Onde a matriz C é igual à:
[
] ( )
Para encontrar a função de transferência do modelo, deve-se recorrer à equação 2.40.
A função de transferência do modelo encontrada é:
( )
( ) ( )
Onde G(s) é uma relação de tensão como entrada e velocidade angular do eixo do
motor como saída.
Apesar dos modelos representarem o comportamento do sistema, estes ainda são
modelos aproximados do circuito equivalente do motor DC real. Isto se dá devido às equações
constitutivas dos componentes utilizados que descrevem apenas os comportamentos lineares
59
de cada elemento, o que na realidade não acontece. Em um sistema real, algumas
características como a resistência e o atrito variam seu comportamento de acordo com a
temperatura e velocidade angular na qual o motor se encontra, alterando o comportamento
dinâmico do sistema. Essa variação de características e de influências de determinados
componentes sobre o sistema recebe o nome de não-linearidades. A questão é: como obter
esse modelo não-linear do circuito equivalente do motor DC de forma fácil? Bond Graph é
uma das respostas. As equações que constituem os elementos podem ser modificadas,
substituindo as constantes por equações não-lineares, ou seja, equações que podem apresentar
diferentes perfis. O detalhamento destas modificações feitas nas equações dos componentes
do modelo será abordado no próximo capítulo.
3.2 – Simulação Computacional do Bond Graph do Motor DC
Além da capacidade de modelar diferentes tipos de sistemas dinâmicos, o Bond Graph
permite que os modelos sejam simulados computacionalmente. Softwares como
OpenModelica®, Dymola®, 20-sim® dentre outros, desenvolvidos em algumas das
universidades mais importantes do mundo, permitem construir os modelos em Bond Graph de
forma fácil e simulá-los. A simulação permite a visualização do comportamento dinâmico de
cada elemento, obtendo assim uma análise completa do modelo.
Para fim de teste, o modelo do motor DC será montado com parâmetros default do
software, ou seja, com as constantes dos elementos iguais a um (1). O software que será
utilizado neste TCC é o 20-sim®, devido à sua rápida e fácil utilização. A verificação será
feita através do software MATLAB®, no qual também permite simulação dos modelos
construídos em diagrama de blocos,
A interface inicial do 20-sim® com o usuário é mostrada na figura 3.7.
60
Figura 3.7 – Tela inicial do software 20-sim®.
Na Aba Library (biblioteca), ficam localizados os elementos que podem ser utilizados
para a montagem dos modelos. Os elementos necessários para compor um Bond Graph estão
localizados na pasta Bond Graph. Para selecionar um determinado componente, basta clicar
e arrastar o mesmo para área quadriculada (à direita). Após arrastar todos os elementos
desejados, deve-se selecionar a ferramenta Connect (Conectar), destacada na figura 3.8, para
ligar um componente ao outro. As particularidades das ligações como os fluxos de potência e
as causalidades são configuradas automaticamente. O modelo do motor DC é apresentado na
figura 3.9.
Após a construção do modelo, deve-se clicar em Check Complete Model
(Verificação Completa do Modelo) para verificar se há erros de elaboração. Com a
confirmação de que não há erros ou avisos, pode-se iniciar a simulação. As equações
constitutivas de cada elemento do modelo podem ser visualizadas e/ou alteradas clicando duas
vezes sobre o elemento desejado.
61
Figura 3.8 – Elementos selecionados para montagem do modelo do motor DC.
Figura 3.9 – Modelo em Bond Graph do motor DC construído no software 20-sim®.
Para Simular, basta clicar na ferramenta Simulate (Simular). Uma nova janela irá
aparecer, como mostra a figura 3.10.
62
Figura 3.10 – Ambiente simulador do 20-sim®.
Antes de executar a simulação, deve-se clicar na ferramenta Plot para configurar as
curvas do gráfico. Uma janela para configuração do gráfico irá aparecer, como mostra a figura
3.11.
Figura 3.11 – Janela de configuração da simulação do 20-sim®.
63
Na primeira curva, foi escolhida a variável esforço gerada pela fonte de esforço, ou
seja, Se\p.e. Para adicionar outras curvas, o botão Add Curve (Adicionar Curva) deve ser
usado. A segunda variável escolhida foi o fluxo que passa no elemento I1, ou seja, I1\p.f.
Além disso, outras opções podem ser alteradas para que o gráfico represente melhor cada
situação.
Terminada a escolha das configurações, a simulação é iniciada quando o usuário clica
na ferramenta Run Simulation (Executar Simulação). O gráfico gerado, que contém as
informações da tensão aplicada ao modelo e a velocidade angular do motor DC, é mostrado
na figura 3.11.
Figura 3.12 – Simulação do modelo do motor DC com todos os parâmetros iguais a um (1).
64
Com a função de transferência do modelo, dada pela equação 3.9, um modelo em
diagrama de blocos pode ser construído e simulado no MATLAB@/SIMULINK. Ajustando
todos os parâmetros iguais a 1, tem-se a seguinte função de transferência:
( )
( )
Com esta função de transferência, pode-se montar facilmente no
MATLAB®/SIMULINK o modelo do motor DC. A figura 3.12 apresenta o modelo e a
simulação é mostrada na figura 3.13.
Figura 3.13 – Modelo do motor DC no MATLAB®/SIMULINK.
65
Figura 3.14 – Simulação do modelo do motor DC no MATLAB®/SIMULINK.
Comparando os gráficos das figuras 3.11 e 3.13, pode-se afirmar que os modelos
possuem respostas idênticas, verificando os dois modelos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
Tempo em segundos [s]
Velo
cid
ade a
ngula
r [r
pm
]
Experimento entrada em degrau de 1V
Velocidade angular
Setpoint
66
CAPÍTULO 4 – AQUISIÇÃO DE DADOS E MODELAGEM BOND
GRAPH DO KIT FEEDBACK
O principal objetivo da simulação é utilizá-la para representar fielmente uma planta de
processo real, permitindo que qualquer mudança na planta, nos parâmetros do controlador
dentre outros fatores sejam previamente testados, evitando possíveis problemas nos
equipamentos e componentes do processo. Muitos modelos aproximados da planta de
processo são modelos lineares que na maioria dos casos são suficientemente aceitáveis, neste
caso o princípio da superposição é sempre obedecido. Porém, algumas aplicações necessitam
de modelos que apresentem respostas mais fiéis ao sistema real. Por esse motivo os modelos
lineares são modificados para apresentar respostas mais próximas da planta do processo. Estes
modelos modificados são denominados modelos não-lineares. Para determinar o modelo não-
linear de uma planta, devem-se fazer aquisições dos dados da mesma para diferentes
amplitudes de cargas, que podem ser tanto positivas quanto negativas. Analisando os dados do
processo pode-se notar a não obediência o princípio da homogeneidade. Através disto, são
feitas modificações nas constantes de alguns componentes do modelo, o que indica a presença
de não-linearidades. Os ajustes nestes elementos são feitos substituindo as constantes da
equação constitutiva por equações não-lineares modeladas através dos dados coletados.
Na aplicação abordada por este trabalho, o motor DC, essas alterações podem ser
facilmente implementadas no modelo Bond Graph do motor, apresentado na figura 3.5. Neste
capítulo será feita uma breve introdução sobre o kit feedback, serão mostradas as formas
utilizadas para aquisição dos dados da planta, descrevendo os problemas e obstáculos
encontrados e as etapas necessárias para elaboração e validação do modelo Bond Graph do
motor de corrente contínua com características não-lineares.
67
4.1 – Kit feedback – Servo Fundamentals Trainer
O kit feedback, localizado no Laboratório de Automação Industrial (LAI) do IFF-
Campos, é composto por três (3) unidades: A unidade mecânica ( Mechanical Unit 33-100),
a unidade analógica (Analogue Unit 33-110) e a unidade digital (Digital Unit 33-120). As
unidades utilizadas neste foram a mecânica e a analógica. A unidade mecânica possui um
motor dc e componentes eletromecânicos que podem ser atuados pela unidade analógica ou
manualmente. Uma fonte de tensão (-15V a 15V a 1,5 A e +5V a 0,5 A) fornece energia à
unidade mecânica que se comunica com a unidade analógica através de um cabo de 34 vias. A
figura 4.1 mostra a unidade mecânica.
Figura 4.1 – Unidade mecânica 33-100 (Feedback®).
A unidade analógica possui circuitos eletrônicos que permitem uma grande faixa de
aplicações em servo controle, como a possibilidade de implementação de um PID analógico
para controle de velocidade ou de posição do motor da unidade mecânica. Esta placa possui
representações e descrições dos componentes e funções que permitem uma fácil identificação.
Os elementos da placa possuem bornes de conexão e são interligados através de fios elétricos.
A figura 4.2 mostra a unidade analógica.
68
Figura 4.2 – Unidade analógica 33-110 (Feedback®).
Um experimento é montado para que seja possível aplicar degraus de diferentes
amplitudes à unidade mecânica. As conexões dos fios nas unidades analógicas e mecânicas
são mostradas na figura 4.3.
Figura 4.3 – Ligação para aplicar diferentes degraus (tensão) à unidade mecânica
(Feedback®).
Na figura 4.3, 1 conecta o borne do degrau 10V/ -10V a entrada do potenciômetro; 2 é
o potenciômetro, P3, que permite ajustar a tensão que será aplicada à unidade mecânica; 3
conecta a saída de P3 à entrada superior do potenciômetro da Mech Unit; 4 conecta a saída
(Volts) do tacogerador a entrada DVM da unidade mecânica; 5 representa a ligação do cabo
de 34 vias entre as unidades e 6 mostra os bornes para conexão da fonte de tensão.
69
Feitas as ligações, basta ajustar P3 para fornecer a tensão desejada a Mech Unit e
acionar a chave de três posições, próxima à conexão 1. Quando pressionada para frente
aplica-se um degrau positivo; para trás aplica-se um degrau negativo e na posição central
nenhuma tensão é aplicada. A tensão de saída ou velocidade angular do tacogerador é
mostrada no display da unidade mecânica.
4.2 – Aquisição de Dados no Kit
4.2.1 – Aquisição com o Osciloscópio Digital (Digital Storage Osciloscope -
DSO) TENMA 72-8395
O osciloscópio digital é um equipamento bastante útil e permite fazer leituras de sinais
analógicos através das chamadas pontas de prova. Ele possui dois (2) canais de leituras que
podem ser selecionados e configurados de acordo com a aplicação. Além das principais
funções que um osciloscópio possui, o DSO (Digital Storage Osciloscope) possui a função
de salvar em sua memória interna os dados lidos e também a função “print screen” da tela
contendo as formas de ondas dos canais e as configurações selecionadas para aquela
aplicação. Os dados podem ser copiados para um pendrive através de sua entrada USB,
localizada na parte frontal do equipamento. A figura 4.4 mostra o osciloscópio digital.
Este equipamento possui também um software chamado DSO. Após sua instalação,
um cabo de comunicação USB conecta o PC ao Osciloscópio (maiores detalhes no manual do
equipamento). A conexão é estabelecida pelo software e diversas funções são habilitadas
como por exemplo ver a forma de onda dos canais, exportar dados para um arquivo com
formato do Excel e ainda operar o equipamento remotamente modificando as configurações
do hardware.
70
Figura 4.4 – Osciloscópio digital TENMA 72-8395.
Após conhecer o equipamento, o mesmo foi conectado ao kit feedback para adquirir os
dados do degrau regulado pelo potenciômetro P3 e a tensão de saída do tacogerador. As
conexões das pontas de prova, devidamente calibradas, foram realizadas de acordo com a
figura 4.5.
Figura 4.5 – Ligações das pontas de prova do osciloscópio digital ao kit feedback
(Feedback®).
71
De acordo com a figura 4.5, O canal 1, representado por Ch1, adquire os dados da
tensão de saída do motor e o a canal 2, representado por Ch2, adquire os dados da corrente da
armadura. O borne da unidade mecânica de Armature Current fornece uma tensão
proporcional à corrente da armadura do kit, ou seja, 1V (Volt) corresponde à 1A (Ampère),
permitindo a utilização do osciloscópio para este propósito.
Foram realizados sete experimentos, onde os degraus regulados pelo potenciômetro
foram: 0V, 1V, 2V, 3V, -1V, -2V e -3V. A figura 4.6 apresenta o print screen da tela do
osciloscópio para uma entrada em degrau de 1V.
Figura 4.6 – Print screen da tela do osciloscópio digital para uma entrada em degrau de 1V.
Utilizando o software do DSO, foi possível também fazer a aquisição dos dados e
exportá-los para um arquivo do Excel. Alguns dados adquiridos do canal 1 são mostrados na
figura 4.7. Os dados tanto do canal 1 quanto do canal 2 possuem 250 amostras cada e tempo
de amostragem de 80 ms.
72
Figura 4.7 – Amostra de dados do canal 1.
Utilizando o MATLAB® para o tratamento dos dados, as curvas podem ser
visualizadas na figura 4.8.
Figura 4.8 – Plotagem no MATLAB® dos dados adquiridos pelo software DSO.
Apesar das curvas possuírem o mesmo resultado, um problema foi encontrado em
relação ao período de amostragem, impossibilitando a continuidade das análises. O
experimento real e os dados adquiridos deveriam ter o mesmo tempo de duração, porém isto
0 50 100 150 200 250-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Amostras
Mili
Volts e
Mili
Am
pere
s
Rotacao
Corrente
73
não ocorreu. O experimento real, mostrado na figura 4.6, teve um tempo de duração de
aproximadamente 4,5 segundos, enquanto os dados adquiridos pelo software do equipamento
registraram um tempo de duração de 20 segundos.
Após algumas tentativas para interpretar o problema, resolveu-se adquirir os dados
utilizando outro tipo de sistema de aquisição de dados disponível no laboratório devido ao
fato do período de amostragem apresentar intervalos muito elevados, podendo prejudicar e
invalidar conclusões posteriores.
4.2.2 – Aquisição com a Placa de Aquisição (DAQ) da Nation al Instruments
Outra maneira de se fazer as aquisições dos dados do kit feedback, foi utilizando a
placa de aquisição DAQ, fabricada pela National Instruments, que fica localizada no LAI ou
no laboratório de Mecatrônica do IFF-Campos. Foi elaborado no software LABVIEW® um
programa para ler os dados das entradas analógicas da placa de aquisição a um período de
amostragem de 10 ms. A placa de aquisição é mostrada na figura 4.9.
Figura 4.9 – Placa de aquisição DAQ da National Instruments.
Os dados adquiridos foram perfeitamente verificados com o experimento real
realizado no kit. Assim, a próxima etapa de determinação dos parâmetros da planta pode ser
74
iniciada. A figura 4.10 mostra a tensão de saída no tacogerador no intervalo de tempo de
interesse.
Figura 4.10 – Plotagem no MATLAB® dos dados da tensão de saída adquiridos pela placa de
aquisição DAQ.
Segundo (Leite, 2006), a indutância no circuito da armadura é suficientemente
pequena, na ordem de 7.67 mH, a qual pode ser desprezada. Desta maneira, a equação 3.9
pôde ser simplificada e a função de transferência do modelo do kit feedback pôde ser reescrita
como:
( )
( )
Ao analisar a figura 4.10, percebe-se que é possível determinar uma função de
transferência aproximada por um sistema de primeira ordem sem tempo morto (Ogata, 2003).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Experimento degrau 1V
Tensão d
e e
ntr
ada [
V]
Tensão de entrada
Tensão de saída no tacogerador
75
A equação 4.2 é composta pelo ganho da planta, representado pela letra K, e a constante de
tempo da planta, representada por T, em segundos.
( )
( )
Aplicando os procedimentos de análise sugeridos por (Ogata, 2003), a função de
transferência aproximada por um sistema de primeira ordem sem tempo morto da figura 4.10
é:
( )
( )
Como matematicamente as equações 4.1 e 4.3 são idênticas, pode-se atribuir r = K = 1
e J.Ra = T = 0.45, tornando G(s) = G1(s). Trabalhos recentes sobre o kit feedback,
apresentam a constante de tempo mecânica do motor com um valor próximo de 0.20
segundos. Como a constante de tempo mecânica atual é de aproximadamente 0.45 segundos, a
mudança de algumas características pode ser atribuída ao uso do kit com maior freqüência
pelos alunos, o que pode ter ocasionado um desgaste de alguns componentes tanto elétricos
quanto mecânicos.
4.3 – Ajuste dos Parâmetros do Modelo Bond Graph Linear do Motor DC
No modelo Bond Graph do motor DC, deve ser feito um ajuste dos parâmetros dos
elementos que compõem o modelo, a fim de obter uma resposta semelhante às do kit
feedback. A resposta desejada é a rotação que o motor atinge para uma determinada entrada.
Essa entrada é uma tensão (V) que cobre uma faixa de 0 a 10 Volts. Ela é regulada através de
um potenciômetro (P3) na unidade analógica do kit.
76
A Tabela 4.1 apresenta as rotações em regime permanente do kit feedback para 10
entradas diferentes, cobrindo toda a faixa em um sentido de rotação.
Tabela 4.1: Rotações em regime permanente do kit feedback para entradas do tipo
degrau.
Entrada em Degrau
[V]
Tensão de Saída do Motor
[V]
Rotação do Motor
[rad/s]
1 1.0148 42.4998
2 1.8860 78.9857
3 2.7220 113.9974
4 3.6290 151.9825
5 4.4400 185.9472
6 5.3500 224.0580
7 6.1600 257.9808
8 6.4200 268.8696
9 6.4000 268.0320
10 6.4000 268.0320
Para converter de volts para rad/s, deve se multiplicar a tensão de saída do motor por
41,88 rad/s/V. Segundo FEEDBACK, para uma rotação de 1000 rpm medida no tacogerador,
a tensão gerada pelo mesmo deve ser de aproximadamente 2,5 V.
Os valores mostrados na tabela 4.1 serão tomados como principal objetivo da
modelagem final para o comportamento de regime permanente do motor. Sendo assim, o
modelo BG parametrizado deverá apresentar respostas próximas das que foram apresentadas
na Tabela 4.1 em regime permanente quando submetido aos respectivos degraus.
Após os elementos do modelo BG linear do motor DC, elaborado no software de
simulação 20-Sim®, serão parametrizados de acordo com a tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Parâmetros do modelo BG linear do motor DC.
Elementos BG Parâmetros Valores Unidades
Se Va 1,2,...,10 Volt [V]
R Ra 1.0 Ohm [Ω]
R1 f 0.005 [Kg. /Séc]
GY r 1.015 -
I La 0.00767 Henry [H]
I1 J 0.45 [Kg. ]
77
A resposta obtida para uma entrada em degrau de 1V é mostrada na figura 4.11.
Figura 4.11 – Resposta ao degrau de 1 Volt no BG linear do motor DC (20-sim®).
As respostas em regime permanente do modelo Bond Graph do motor DC, cobrindo
toda a faixa, são apresentadas na tabela 4.3.
Tabela 4.3 – Respostas em regime permanente do modelo BG linear do motor DC.
Entrada em Degrau
[V]
Tensão de Saída do Modelo BG Linear
[V]
1 0.98
2 1.96
3 2.94
4 3.92
5 4.90
6 5.88
7 6.86
8 7.84
9 8.82
10 9.80
78
Com isso, pode-se plotar um gráfico a fim de comparar os resultados do motor e da
simulação. A figura 4.12 apresenta os resultados obtidos até o momento utilizando o software
MATLAB®.
Figura 4.12 – Comparação das respostas do kit feedback e da simulação de seu modelo BG
linear (MATLAB®).
Analisando a figura 4.12, percebe-se que existe uma diferença entre os resultados
obtidos. Essa diferença pode ser tanto aceitável quanto não-aceitável. Isso depende das
especificações da modelagem desejada. Neste trabalho esta diferença será considerada como
não aceitável, sendo necessário utilizar técnicas de modelagem não lineares a fim de obter
melhores resultados. Pode-se observar também que a partir da entrada em degrau de
amplitude de oito 8V, a resposta do kit feedback não varia mais o seu valor, ou seja, o motor
satura e para qualquer entrada com amplitude acima de 8V a resposta permanecerá sempre a
mesma. A saturação é uma característica não linear do processo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Comparação das respostas do kit FEEDBACK e da simulação de seu modelo Bond Graph linear
Step [V]
Tensão d
e s
aíd
a e
m r
egim
e p
erm
anente
[V
]
Kit FEEDBACK
Bond Graph Linear do Motor DC
79
4.4 – Ajuste dos Parâmetros do Modelo Bond Graph Não-Linear do Motor
DC
Nos sistemas dinâmicos reais, existem diversas características que podem influenciar
ou alterar o seu comportamento. Características como materiais dos componentes, tamanho
dos componentes, temperatura de operação, ruído, atrito dentre outros. No caso do motor do
kit, será feita uma modelagem do atrito, que possui um comportamento não linear. O modelo
linear do atrito é a equação constitutiva que rege o elemento R1 do modelo Bond Graph do
motor. Esta equação apresenta sempre o mesmo resultado para qualquer valor de velocidade,
ou seja, para qualquer rotação que o motor estiver, a força de atrito que será sempre a mesma.
Como se pôde perceber através dos dados adquiridos, isto não acontece. Então para tornar o
modelo do motor não linear, será feita uma modelagem do comportamento do atrito com o
aumento da velocidade angular do motor. A equação constitutiva do modelo linear é mostrada
na figura 4.13. Para ter acesso aos parâmetros e as equações do componente para clicar duas
vezes sobre o mesmo.
Figura 4.13 – Equação constitutiva linear do atrito (20-sim®).
80
Esta equação descreve um comportamento constante para todas as velocidades
angulares assumidas pelo motor, como mostra a figura 4.14.
Figura 4.14 – Curva atrito X velocidade angular do modelo linear (Kara, 2003).
O modelo matemático não linear da curva do atrito X velocidade é freqüentemente
representado pela transição do atrito estático para o cinético por um termo exponencial da
velocidade como mostra a figura 4.15. Matematicamente isso pode ser representado por uma
equação linear por partes.
Figura 4.15 – Curva atrito X velocidade angular do modelo não linear (Kara, 2003).
81
Pode-se perceber que a figura 4.15 apresenta comportamentos assimétricos para os
dois sentidos de rotação. Neste trabalho será feita apenas a modelagem do atrito para ω > 0
devido alguns problemas encontrados no kit feedback, como a mudança freqüente dos
parâmetros do Kit.
Para fazer a modelagem do atrito não linear seria necessário ter um sensor de torque
no kit feedback e obter uma equação exponencial como mostra a figura 4.15 para ω > 0. O
Kit não possui um sensor de torque, mas existe um sensor de corrente que possui uma relação
proporcional com o torque. Portanto, a análise para modelagem não linear do atrito será feita
através dos dados da corrente do Kit ao invés do torque. A relação exponencial será
aproximada por uma quadrática através da interpolação dos valores obtidos nas análises dos
gráficos de corrente para cada entrada. Depois de modelada, os parâmetros e as equações
substituirão os que foram mostrados na figura 4.13.
Analisando as curvas das correntes adquiridas para os 10 degraus, pôde-se perceber
que seria muito difícil estabelecer um valor da corrente em regime permanente, pois a mesma
possui uma freqüência elevada. Foi necessária então a utilização da ferramenta do
MATLAB® chamada cftool (curve fitting tool – ferramenta de ajuste de curva), que é
utilizada para ajuste e obtenção de modelos de curvas. Para acessar esta ferramenta, basta
digitar no Command Window do MATLAB® o comando cftool.
Os dados de corrente adquiridos para a onda quadrada de amplitude 1V é apresentado
na figura 4.16. Nota-se que a dificuldade para encontrar um valor médio da corrente em
regime permanente é grande, sendo necessária a utilização do cftool para ajustar a curva.
82
Figura 4.16 – Dados da corrente elétrica do kit para 1 volt de entrada (MATLAB®).
Digitado o comando no MATLAB®, abrirá uma tela como mostra a figura 4.17. Para
adicionar os dados do eixo X e do eixo Y, deve-se clicar em Data. Para ajustar ou obter a
curva desejada basta clicar em Fitting e escolher a melhor opção para o caso em questão.
Figura 4.17 – Layout principal da ferramenta cftool (MATLAB®).
0 5 10 15 20 25 30-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15Curva de corrente elétrica para um degrau de 1 volt no Kit FEEDBACK
Tempo [s]
Corr
ente
Elé
tric
a [
A]
83
Para ajustar uma curva dos dados selecionados em Data foi selecionado um ajuste do
tipo Smoothing Spline, com o parâmetro de suavização igual a 0.7. O ajuste da curva é
mostrado na figura 4.18.
Figura 4.18 – Ajuste da curva da corrente elétrica do Kit para 1 volt de entrada (MATLAB®).
Através desta curva ajustada, mostrada na figura 4.17, é possível obter um valor para a
corrente em regime permanente. Este procedimento deve ser feito para toda a faixa de
degraus, obtendo assim 10 valores. Feito isso, os valores encontrados são mostrados na figura
4.19.
84
Figura 4.19 – Valores obtidos para toda a faixa de degraus aplicados ao kit feedback.
Aproveitando o uso da ferramenta cftool do MATLAB®, é possível obter uma
equação quadrática que descreva o comportamento representado na figura 4.18. Utilizando o
tipo de ajuste Polynomial e escolhendo a opção quadratic polynomial, a curva modelada e
seus parâmetros são mostrados na figura 4.20.
Figura 4.20 – Curva modelada através dos valores de corrente em regime estacionário
(MATLAB®).
1 2 3 4 5 6 7-0.3
-0.28
-0.26
-0.24
-0.22
-0.2
-0.18
-0.16Valores das correntes em regime permanente para as 10 entradas do tipo degrau
Tensão medida no Tacogerador [V]
Corr
ente
Elé
tric
a [
A]
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-0.28
-0.26
-0.24
-0.22
-0.2
-0.18
Tensão de saída [V]
Corr
ente
eltrica [
A]
Curva do modelo não linear do atrito do kit FEEDBACK
i vs. w
fit 1
85
Os parâmetros da curva modelada podem ser visualizados na figura 4.21, onde foram
encontrados os parâmetros de uma equação quadrática, mostrada na figura 4.19 como fit 1.
Figura 4.21 – Parâmetros da equação quadrática do modelo não linear do atrito do kit
(MATLAB®).
Com o modelo não linear do atrito, basta agora implementar esta equação no modelo
Bond Graph do motor DC do kit. Para isso, as equações e os parâmetros apresentados na
figura 4.13 devem ser substituídos pelos que são apresentados na figura 4.22.
86
Figura 4.22 – Modelo Bond Graph do atrito não linear (20-sim®).
As respostas em regime permanente do modelo Bond Graph não linear do motor DC,
cobrindo toda a faixa, são apresentadas na Tabela 4.4.
Tabela 4.4 – Respostas em regime permanente do modelo BG não linear do motor DC.
Entrada em Degrau
[Volts]
Tensão de Saída do Modelo BG Não Linear
[Volts]
1 0.98
2 1.85
3 2.71
4 3.57
5 4.43
6 5.3
7 6.14
8 6.98
9 7.84
10 8.7
87
E, finalmente, a comparação das respostas do kit feedback com os modelos linear e
não linear pode ser visualizada na figura 4.23.
Figura 4.23 – Respostas do kit feedback, da simulação do modelo linear e não linear
(MATLAB®).
Analisando a figura 4.23, pode-se observar que houve uma melhora bastante
significativa do modelo não linear para o modelo linear, tornando a resposta o mais próximo e
fiel possível do que é na realidade no kit feedback, desconsiderando a saturação a partir do
degrau de 8 volts. É possível também modelar a parte em que o modelo satura, porém isso não
será abordado neste trabalho devido a necessidade de implementação de outro modelo não
linear para descrever este comportamento. A proposta deste trabalho é apenas demonstrar os
procedimentos para obter modelos Bond Graphs que descrevam características não lineares e
não obter o melhor modelo possível para o estudo de caso.
Portanto, pode-se dizer que o modelo Bond Graph do motor DC obtido atendeu às
especificações, apresentando valores bastante próximos do sistema real na faixa de operação
de 1V até 7V, onde a tensão ou velocidade de saída varia em relação a entrada aplicada. Isto
permite uma confiabilidade maior no modelo de simulação, melhoria nos ajustes finos dos
parâmetros dos controladores que poderão vir a ser utilizados na planta.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10Comparação das respostas do kit FEEDBACK, simulação de seu modelo Bond Graph linear e do modelo BG não linear
Step [V]
Tensão d
e s
aíd
a e
m r
egim
e p
erm
anente
[V
]
Kit FEEDBACK
BG Não-Linear
BG Linear
88
CAPÍTULO 5 – COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES
Este TCC apresentou a técnica de modelagem Bond Graph aplicado a problemas
comuns de engenharia, como circuitos eletrônicos analógicos e o motor de corrente contínua.
A técnica demonstrou ser bastante simples e eficiente, permitindo uma análise completa de
todos os componentes envolvidos. A liberdade de fragmentar o sistema em algumas partes,
trabalhá-las separadamente e então uni-las, formando um só modelo, proporciona também
uma grande vantagem para sistemas de multidomínio onde as análises no domínio elétrico são
abordadas de forma diferente no domínio mecânico.
A aplicação com o motor DC foi considerada como de extrema importância para este
trabalho devido à sua alta aplicabilidade nas universidades e indústrias. A simplicidade,
acessibilidade e a robustez também são fatores que valorizam ainda mais a aplicação. Além
disso, para fazer as análises experimentais foi necessária a utilização de equipamentos de
medição e aquisição importantes.
A utilização de softwares de simulação como o 20-sim® e o MATLAB® foi
necessária para que os dados fossem tratados, verificados e validados. O 20-sim® comparado
com os outros softwares de simulação de modelos Bond Graphs foi o que apresentou maiores
vantagens por ter uma interface amigável, ser bastante intuitivo e de fácil utilização. Além dos
componentes BG`s, o 20-sim® também possui as bibliotecas com componentes elétricos,
mecânicos, hidráulicos e térmicos, permitindo sua utilização em outras aplicações.
Foram encontrados diversos obstáculos até se conseguir os resultados desejados e
apresentados neste TCC, Como: problemas com a utilização dos equipamentos para fazer a
aquisição dos dados do kit feedback; Problemas com o aterramento dos circuitos do kit;
Problemas com softwares de simulação dos modelos Bond Graphs; Escassez de referências
bibliográficas publicadas no Brasil, sendo necessário pesquisas em sites internacionais dentre
outras.
Fica como sugestões para trabalhos futuros a utilização da técnica Bond Graph para
aplicações de domínios diferentes, como o hidráulico, térmico, mecânico dentre outros e
modelagem não-linear da resistência elétrica do motor DC utilizando a técnica de modelagem
89
Bond Graph, com intuito de eliminar o erro de regime permanente para a faixa em que o
motor satura.
Finalmente pode-se afirmar que os resultados propostos inicialmente neste TCC foram
concluídos e validados. O modelo não linear implementado no Bond Graph do motor,
demonstrou resultados melhores que o modelo linear. A construção do modelo e simulação
utilizando o software 20-sim® foi essencial para a conclusão deste trabalho, pois tudo foi
possível ser feito e entendido de uma forma mais fácil e rápida. E principalmente, a técnica de
modelagem Bond Graph superou todas as expectativas, demonstrando ser versátil,
interessante, amigável, robusta no que diz respeito à modelagem de sistemas físicos
dinâmicos, proporcionando obter modelos com representações fiéis do sistema real em estudo.
Além disto, espera-se que novos trabalhos sejam desenvolvidos utilizando a técnica de
modelagem abordada neste trabalho.
90
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FEEDBACK®, Instruments Ltda. Analogue Servo – Fundamentals Trainer – 33-002.
Ed.03.
FERREIRA, F. M. Modelagem de Sistemas Mecânicos utilizando Procedimentos
Modulares. Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2006. Disponível em: <
http://www.ime.eb.br/arquivos/teses/se4/mec2006/mec_Dissertacao_2006_Fabio_Ferreira_12
012006.pdf >. Acesso em: 16 dez. 2010.
KARA, T.; EKER, I. Nonlinear Modeling and Identification of a DC Motor for
Bidirectional Operation with Real Time Experiments. Gaziantep: Department of
Electrical and Electronics Engeneering, Division of Control Systems, 2003.
KARNOPP, D. C.; MARCOLIS, D. L.; ROSENBERG, R. C. System Dynamic: Modeling
and Simulation of Mechatronic Systems. 3rd ed., 2000.
LEITE, A. C. Model Based Fault Detection on a Reaction Whell. Guaratinguetá, 2006.
LEITE, I. C. Análise Dinâmica de Veículos com Estrutura Flexível através de Técnicas
Modulares de Modelagem. Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2007.
MARTINS, A. V. B. O Uso da Técnica dos Grafos de Ligação para a Simulação de
Centrais Hidrelétricas em Regime Transitório. Itajubá: Universidade Federal de Itajubá,
2004. Disponível em: < http://adm-net-a.unifei.edu.br/phl/pdf/0030593.pdf >. Acesso em:
16 dez. 2010.
MOSTERMAN, P. J. Hybrid Dynamic Systems: A Hybrid Bond Graph Modeling
Paradigm and its Application in Diagnosis. Nashville: Electrical Engeneering, 1997.
91
Disponível em: < http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.126.4686 >.
Acesso em: 16 dez. 2010.
NAVARRO, C. de M. Projeto de um controlador adaptativo por modelo de referência
(MRAC) para um disco rotativo diretamente acoplado ao eixo de um motor de corrente
contínua. Monografia: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Campos,
Campos dos Goytacazes, 2008.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição. LTC. Rio de Janeiro, RJ, 2003.
OLIVEIRA, D. N.; JR, H. C.; TEIXEIRA, V. S. C. Modelagem Bond Graph e o Ensino de
Engenharia Elétrica – Representação das Máquinas Elétricas. Passo Fundo: Universidade de
Passo Fundo, set. 2006. Disponível em: < http://www.dee.ufma.br/~fsouza/anais/arquivos/
1_247_286.pdf >. Acesso em: 16 dez. 2010.
PEDROZA, B. C. Obtenção de Equações Descritivas de Grafos de Ligação por Inspeção.
Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, dez. 1997.
