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Modelagem de Curvas

Fonte: Material do Prof. Jack van Wijk

Prof. Márcio Bueno

{cgtarde,cgnoite}@marciobueno.com

Conteúdo

2

Curvas Paramétricas

Requisitos

Conceitos

Intepolação Linear

Interpolação de Lagrange

Curva de Bézier

Computação Gráfica - Márcio Bueno

Curvas Paramétricas

3

ttpttp

tptpt

tptpt

yx

yx

yx

d/)('d,d/)(d

)('),(')('

:curva a enteVetor tang

)(),()(

:aParamétric Curva

p

pt

p(t) p’(t)


Linha Tangente à Curva

4

)(')()(

:)( curva à tangente)( Linha

tsts

ts

ppq

pq

t

p(t) p’(t)

s

q(s)


Exemplo

5

]cossin,sin[cos

)(')()(

]cos,sin[)('

]sin,[cos)(

tsttst

tsts

ttt

ttt

ppq

p

p

tp(t)

p’(t)

s

q(s)


Modelagem de Curvas

6

Problema: Como definir uma curva suave?

Solução:

Especificar uma seqüência de pontos pi , i = 1,…, N, (pontos-

de-controle);

Gerar uma curva suave que interpola ou aproxima estes pontos-

de-controle.


Requisitos

7

Suave

nenhuma discontinuidade em direção e curvatura;

Controle Local

alteração de um ponto deve ter efeito apenas local;

Intuitivo e fácil de usar

sem oscilações, variação decrescente

Aproximar or interpolar?


Interpolação Paramétrica

8

1)(

:)( de Requisito

controle.-de-pontos dos balanceada média :Curva

. ponto o para deou de função a é )(

,)()(

:Padrão Fórmula

1

1

N

i

i

i

ii

i

N

i

i

tw

tw

blendingweightingtw

twt

p

pp


Interpolação Linear de Dois Pontos

9

p1

p2

t

.)(

e ,1)(

com ,)()(

ou ,)1()(

2

1

2

1

21

ttw

ttw

twt

ttt

i

i

i

pp

ppp


Interpolação Linear de N Pontos

10

p1

p2

t

contrário caso0

1 se1

1 se1

)(

com,1 ,)()(1

ititi

itiit

tw

Nttwt

i

i

N

i

i pp

p3

p4p5

t

wi

1 2 3 4 5

1

0


Interpolação Linear

11

Não é suave

Controle local

Intuitiva e fácil de usar

Interpola


Interpolação de Lagrange - 1

12

.pontos os interpola )( é, isto ,)( então

se0

se1)(

Se .,...,2,1 Seja

os?interpolad todosestejam controle-de-pontos os

que tal)( polinômiosencontrar podemos

,1 ,)()( Dado1

tk

ik

ikkw

Nk

tw

Nttwt

k

i

i

i

i

N

i

i

ppp

p

pp



13

42

13

2

3

6

1

)41)(31)(21(

)4)(3)(2()(

:4N para Exemplo

if0

if1)( satisfaz

)( :Lagrange de Polinômio

23

1

tttttt

tw

ik

ikkw

ji

jttw

i

ij

i



14 Computação Gráfica - Márcio Bueno


15

Suave

nenhuma discontinuidade em direção e curvatura

SEM controle local

Oscilações radicais, sem variações decrescentes!

Interpola


Curva de Bézier - 1

16

Quebra-cabeça: Defina uma curva suave que interpola o

primeiro e último ponto e aproxima os outros.

p1

p2

p3

p4



17

Solução para N=3:

3

2

21

2

3221

21

322

211

)1(2)1(

))1(())1)((1(

)()()1()(

)1()(

)1()(

ppp

pppp

qqp

ppq

ppq

tttt

tttttt

ttttt

ttt

ttt

p1

p2

p3

q2

q1

p(t)



18

Solution for N=4:

4

3

3

2

2

2

1

3 )1(3)1(3)1()( ppppp ttttttt

p1

p2 p3

p(t)

p4



19

.

)1(!)!(

!)(

com ,10 ,)()(

:pontos 1

,

0

,

iin

Ni

i

N

i

Ni

ttiiN

NtB

ttBt

N

pp


(Polinômio de

Bernstein)

Bézier curve - 5

20 Computação Gráfica - Márcio Bueno

Bézier curve - 6

21

Curva de Bézier geral:

• Grau = #pontos-1

• Suave

– nenhuma discontinuidade em direção e curvatura;

• SEM controle local

• Variações decrescentes, propriedade do

“convex hull”

• Interpola o primeiro e o último ponto e

aproxima os outros pontosComputação Gráfica - Márcio Bueno

Propriedade do “convex hull”

22

0)(

e 1)(

:se controle

- de-pontos dos hull"convex " do dentro contida está

curvaA pontos. os todoscontém que convexo polígono

menor o é :pontos de conjunto um de hull"Convex "

i

tw

tw

i

i


Exemplo da Propriedade do “Convex Hull”

23

Curva fora do

“convex hull”

Curva dentro do

“convex hull”


Curva de Bézier Cúbica

24

p0

p1 p2

p3


Juntando dois segmentos de Bezier

25

Continuidade posicional:

p3 = q0

Continuidade tangencial:

p3- p2 // q1- q0

p0

p2

p3q0

q2

q3

p1

q1


Quebra-cabeça 1: Limite na interpolação

26

Descubra por que uma curva que

interpola os pontos de controle

está contida no “convex hull”,

e é suave

não existe, nem graficamente nem matematicamente.


Quebra-cabeça 2: Dividir curva de Bezier

27

Encontre uma receita para dividir um segmento de curva

de Bezier cúbica em dois segmentos:

p0

p2

p3 q0

q1

q6

p1 q2 q3 q4

q5


Finalmente...

28

Curvas: interpolação de pontos

Interpolação é geralmente aplicável superfícies: interpolação

de curvas

Programa de Exemplo:

http://www.win.tue.nl/~vanwijk/2M050/spline.exe


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