Modelagem de SistemasComplexos: panorama

Fernando Fagundes Ferreira

Organização da Palestra

Classificação de SistemasTeoria do CaosSistemas ComplexosTeoria dos JogosCooperaçãoRedes ComplexasModelos Baseados em Agentes

Tipos de Sistemas

Espectro da Complexidade

Alta

Baixa ou Nula

Prev

isib

ilida

de

Imprevisibilidade

Simples e ComplicadoQuando um sistema tem um conjunto finito de respostas que pode serrelacionado a um input, isto significa que a relação entre causa e efeito estáclara. Quando o número de elementos é pequeno, estes são chamados de sistemas simples.

Um sistema complicado é fruto de um projeto sofisticado que envolve muitaspartes (pode ser milhões de peças) que desempenham uma função específica. Estas partes são interdependentes com outras para que o resultado desejadoocorra. O resultado final é previsível e compreensível a partir do papel de cadaunidade constituinte.

Caos: Definição

“Caos aparentemente é ruidoso (aparenta ser estocástico) mas é um sistema determinístico que

exibe dependência e sensíbilidadeàs condições iniciais e , a sua

trajetória no longo prazo se da de forma aperiódica”

Edward Lorenz e o Efeito Borboleta

Lorenz criou um toy model para simular o tempo em seu computador em 1960

• previsão do tempo era considerado "menos do que ciência" naquele momento.

• Usando um conjunto de 12 equações seu computador simulava o tempo.

• No inverno de 1961, querendo examinar uma seqüência de maior

comprimento, Lorenz tomou um atalho. Em vez de começar toda a corrida

acabou, ele começou no meio.

• Para dar à máquina suas condições iniciais, ele digitou os números diretamente

da impressão, em algum ponto do tempo (ele evitou recomeçar do zero)

• Ele foi buscar uma xícara de café.

• Quando voltou, uma hora mais tarde, a seqüência tinha evoluído de forma

diferente

Atrator de Lorenz

AtratoresUm atrator é um conjunto de pontos para a quala dinâmica evolui depois de um longo tempo.

Pode ser um ponto , círculo ou um torus, etc..

Um atrator é estranho se ele tiver uma dimenãonão inteira - Nesta caso temos um Atrator de umsistema caótico (dinâmica caótica)

Ele é dito estranho pois uma vez o sistema entrano atrator (atinge), os estados vizinhos divergemum dos outros de forma exponencial

Sistemas Complexos

Sistemas feitos com muitos agentes (Large Systems)Agentes interagem entre si que aprendem ou adaptamApresentam não linearidade (feedbacks)Exibem propriedades emergentes Auto-organização (não possuem controle central)Pode gerar inovação

Agregado : valor médio (Ibovespa)

AgentesAdaptativos

Agentes Competem entre si Podem adaptar

Impacto no ambiente

Influência do agregadoSobre os indivíduos

Agentes Sistemas

Organismos PopulaçõesPopulações ComunidadesComunidades EcossistemaFirmas EconomiaAnticorpos Sistema ImunológicoInvestidores Mercado Financeiro

Agentes são autônomos mas podem estar interconectados (grandes redes) Interagente (trocam e processam informação) Tomam decisões (seguindo regras simples) Imprevisíveis, mas exibem padrões ou regularidades estatísticas Ele não foi projetado por alguém (ainda não). E´ um resultado coletivo Não linear e possui feedbacks no sistemas de interação individual e agregada Alguns sistemas são adaptativos. Mudança de comportamento, característica

ou estratégia. Esta propriedade aumenta a chance de sobrevivência da espécie. (Variabilidade, flexibilidade, aprendizado)

Sistemas Complexos

Emergência eAuto-organização

http://www.youtube.com/watch?v=b8eZJnbDHIg&feature=related

A emergência é o surgimento de propriedades que não são inferidas ou deduzidas a partir das característicasdos elementos considerados individualmente. (todo é maior que a soma das partes)

Auto-organização é o aparecimento de estruturas (ordem) ou padrões que resultam de decisões individuais sem a presença de um agente central e controlador

http://www.youtube.com/watch?v=kr_hspRf6ck

1. coesão 2. separação 3. Alinhamento

Craig Reynolds propôs:1. Voe rumo ao centro de massa dos vizinhos2. Mantenha distância dos outros pares 3. Mantenha velocidade próxima dos seus

vizinhos

Formigas: insetos sociaisNum formigueiro existe total organização:As tarefas são bem divididas entre as formigas

Cabe a formiga rainha a função de reprodução da colônia. as sentinelas (segurança), as enfermeiras (cuidam das larvas)operárias (fazem os túneis do formigueiro e buscam alimentos)As formigas são insetos que sentem o cheiro das coisas através de suas antenasComunicam-se entre si através de liberação de feronomas (compostos químicos)Algumas formigas podem picar e passar um tipo de ácido que pode irritar a vítima.O acasalamento da formiga rainha acontece num vôo nupcial. Após a fecundação o macho morre e a rainha perde as asas antes de botar os ovos.

O ninho é uma belíssima arquitetura, com passagens formando redes. São secos e Temperatura controlada. Elas regulam a quantidades de indivíduos que executam certas tarefas (flexíveis)Sacrificam-se pelas outras. Notável a cooperação entre elas.

http://www.youtube.com/watch?v=YxdhD5HIFL8

Cérebro

.

Excitação : ligam, ou mandam mensagens excitatórias

Inibição : desligam, ou mandam mensagens inibitórias

O neurônio soma as mensagens que entram, será

estimulado se as mensagens excitatórias excederem as

inibitórias e vice-versa

Definições

Def I : Um sistemas complexo é um sistema de muitos componentesconectados por redes grandes que interagem sem a mediação de um controle central. Os agente operam regras simples que dão origem a um comportamento complexo por meio de um sofisticado processamento de informação e adaptação via aprendizado ou evolução

Def II : Sistema complexo é um sistema multiagente que exibe comportamento que é emergente e auto-organizado(pode ser adaptativo)

Antes da Complexidade

Os cientistas acreditavam que o futuro era preditível com um número suficientes de dados

Ao dissecar partes distintas do sistema poderia se revelar como todo o sistema funciona

Fenômenos podem ser reduzidos a simples relações de causa e efeito

Acreditava-se na possibilidade de prever e controlar o futuro

Aumentar os níveis de controle sobre a natureza iria melhorar a nossa qualidade de vida

Muitos Aspectos Envolvidos!

Muitos estudos têm examinado separadamente

aspectos individuais do modelo, no entanto,

analisar os sistemas sociais complexos requer estudar

não apenas os seus componentes, mas também

como elas estão relacionadas

(Ostrom, 2009).

Orga

Surpreendente Convergência de Disciplinas

BiologiaEcologia

MeteorologiaGeologia

Matemática

Quimica

PsicologiaCiênciasSociais

Economia

Física

Computação

A Modelagem de Sistemas Complexos permite desenvolver uma linguagem comum da interface entre Física, Computação, Ciências Biológicas e Sociais sendo capaz de promover a exploração direta destas novas técnicas e analogias. Sistemas complexos: uma abordagem interdisciplinar

Ferramentas x Sistemas Complexos

Teoria de Jogos Redes Complexas Autômato celular Inteligência Artificial Mecânica Estatística Inferência Bayesiana Teoria da Informação Softwares: python, C++, R,

matlab, netlogo, etc…

Jogos

Várias opções (jogadas possíveis) para cada jogador

Jogadas podem ser: Sequenciais ou Simultâneas

Pagamento ou Recompensa (payoff)

Objectivo de maximizar ganho próprio

A Teoria dos Jogos procura determinar, por meio de regras, as atitudes que os jogadores

devem tomar para assegurar os melhores resultados para si, com base no que ele

imagina que serão os contra movimentos dos outros participantes. O resultado depende,

além da estratégia própria de um agente e das condições do ambiente, das estratégias

escolhidas por outros agentes, que possivelmente têm estratégias diferentes ou objetivos

comuns. Supomos que os jogadores tenham um determinado grau de racionalidade.

Teoria dos Jogos

Teoria dos Jogos

Equilíbrio de Nash:

Um par de estratégias p*,q* (uma para cada jogador) diz-se um equilíbrio de Nash sse são as melhores respostas mútuas, i.e:

e*)*,(*),( 11 qpeqpe ≤ *)*,()*,( 22 qpeqpe ≤

Dilema do Prisioneiro

Confessar ou Calar ?

Dilema do Prisioneiro

(5, 5) (1,10)

(10,1) (2,2)

confessar

confessar

calar

calar

PrisioneiroA

PrisioneiroB

Dilema do Prisioneiro

(5, 5) (1,10)

(10,1) (2,2)

confessar

confessar

calar

calar

Prisioneiro A

Prisioneiro B

Dilema do Prisioneiro

(5, 5) (1,10)

(10,1) (2,2)

confessar

confessar

calar

calar

Equilíbrio de Nash

Dilema do Prisioneiro

1984 Robert Axerold promove um campeonato . Várias pessoas submeteram estratégias Estas estratégias são programas de computador que vão operar por 100

rounds Anatole Rapoport vence o campeonato com a estratégia TIT FOR TAT Comece cooperando e depois faça o que o outro fizerliçoes

1- Estratégias devem inicialmente ser legais –evita retaliações2- Punir – é bom cooperar, mas continuar cooperando não-exploração3- Perdão –uma qualidade de uma boa estratégia é saber perdoar4- Consistência- estratégia aleatórias tentem a ser retaliadas

Evolução e Cooperação

Mutação

Seleção Natural

Cooperação GenomaCélulas

Organismos multicelularesAnimais sociais

Humanos

Emergência da Cooperação

http://evolucionismo.org/profiles/blogs/as-cinco-regras-basicas-para-a

A interação se dá entre indivíduos que partilham de certo nível de parentesco, ou seja, alguns dos mesmos alelos

Hamilton obteve uma regra muito simples que mostra em que situações a seleção de parentesco é eficiente e pode produzir a cooperação: r > c/bEntão, cooperar é evolutivamente vantajoso quando o coeficientede parentesco (o grau de relação entre o individuo que coopera com o que se beneficia) for maior do que a razão entre o custo para o que coopera e o benefício para que recebe a cooperação.

Seleção de Parentesco (Kin selection)

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Altruísmo recíproco (direto)

Porém, esta regra, e a modalidade de seleção que ela encabeça,

não nos diz muito sobre como a cooperação (e o altruísmo)

entre indivíduos não aparentados pôde evoluir. A primeira pista

para foi proposta por Robert Trivers, na forma do chamado

"altruísmo recíproco", aqui chamado de "reciprocidade direta",

que pode ser 'traduzido' pela expressão "uma mão lava a outra".

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Altruísmo Indireto

Na reciprocidade indireta é a reputação do individuoque é o cerne do processo. Por isso a habilidade nãosó de reconhecer outros indivíduos, mas de secomunicar, torna-se fundamental. Este processo podelevar a evolução da inteligência social e da linguagem.A reputação passa a ser o ingrediente principal dasinterações é a habilidade de 'fofocar', portanto, deum linguagem complexa acaba por ser essencialneste contexto.

A reciprocidade indireta depende de interações entre indivíduos diferentes em ocasiões diferentes, portanto, se baseará na 'fama' destes indivíduos, ou seja, do que eles fizeram (cooperaram ou desertaram) com outros indivíduos em outras interações. Se na reciprocidade direta é preciso ter um 'rosto', no tipo indireto é o 'nome' que conta

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Altruísmo de Rede

• Os desertores tendem a se proliferar mais do que os cooperadores, sendo, desta forma, favorecidos pela seleção natural, e acabam por dominar a população, contudo acabam por reduzir a aptidão média da mesma.

• A maioria das populações exibe certa estruturaçãoque limita os tipos de interação e com quem cada um pode interagir. (Formam redes ou grades)

• Desertores não pagam custos, e os seus vizinhos não recebem nenhum benefício. Nesse cenário, os cooperadores podem prevalecer, ao formarem clusters nesta rede, onde se ajudam mutuamente.

• A regra que emerge daí é b/c > k mostra as condições para que a cooperação possa evoluir. Onde k é o número médio de vizinhos e, claro, c é o custo da cooperação e b, o benefícios da cooperação

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Seleção de Grupos ou Seleção Multi-níveis

-População está dividida em grupos-Cooperadores ajudam outros cooperados intra-grupo-Desertores não ajudam ninguém-Os indivíduos reproduzem proporcionalmente a suasrecompensas (payoff)-Se um grupo atinge um certo tamanho, ele se divide em doispara isso, outro grupo deve ser extinto (população constante)

Decorre das regras que alguns grupos crescem mais que outros

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Problemas Ambientais

Esgotamentode Recursos

Perda deBiodiversidade

Poluição

Efeito estufa Desmatamento da floresta amazonica Lixo que pessoas jogam na praia, mas não em casa Pesca em excesso Congestionamento? Densidade de pessoas na favela

Tragédia dos Comuns

• Dinâmica: Os donos dos animais que ali se alimentam têm o interesse comum de preservá-lo. Mas como a entrada é totalmente livre, individualmente, estão impedidos de barrar os outros. O benefício de cada animal a mais no pasto é do seu dono, mas o custo que ele gera é dividido por todos. De forma suicida, todos os usuários do pasto são levados a trazer o maior número de animais possível. E deixam que comam sem limite, até que o pasto acabe.

• ARTICLE: published in 1968 by Garrett Hardin.

“…the main difficulty in solving environmental problems is the conflict between the short-term interests of the individual and

the long-term welfare of society”.- ecologist Garrett Hardin

Toda vez que um recurso natural é aberto , a competição pelo mesmo leva a um final sinistro: o seu esgotamento. A imagem que ele usa é a de um pasto público.

“Tragédia dos Comuns”

Someone or some group must take responsibility for maintaining a resource or it

will become depleted.

Jogo do Bem Público

Soluções segundo Hardin:As duas melhores são limitar o acesso a uma comunidade pequena de usuários, que se auto governa, ou privatizar o recurso. Nessa última, a conservação passaa ser do interesse do dono, cujo incentivo é maximizar o valor dos seus bens. Uma terceira é criar uma agência regulatória. Mas, em geral, a agência acaba distante do problema e, por isso, cria um excesso de regras e burocracia.

Seria possível apostar na mudanças em atitudes e comportamentos humanos.

Jogo do Bem Público

1- Cada um doa uma quantia (a seu gosto )de recurso (ou dinheiro) 2- Soma todas as doações e divida em partes iguais

Jogo do UltimatoImagine uma situação onde você e outra pessoa anônima estão em salas separadas, sem poder trocar informação. Um sorteio com uma moeda decide quem fará uma proposta de dividir R$ 100.

Digamos que você ganhou. Você deve fazer uma simples proposta de como dividir o dinheiro entre vocês dois, e a outra pessoa só pode dizer sim ou não. Ela também conhece as regras e o total de dinheiro a ser dividido.

Se a resposta for sim, o negócio é feito. Se a resposta for não, ninguém ganha nada. Em ambos os casos, o jogo termina e não pode ser repetido. O que você faria? Se te oferecerem 10%, você aceitaria R$ 10 para o outro ficar com R$ 90, ou preferiria ficar com nada?

E se fosse 1%? Seria R$ 1 melhor que nada?.

Então, qual seria sua oferta? Você se surpreenderia com o

resultado de vários experimentos:

- dois terços ofereceram entre 40 e 50%

- apenas 4% ofereceram menos que 20%

- metade dos respondentes rejeitaram ofertas de menos de 20%

Jogo do Ultimato

Reny-Erdos Livre de EscalaAlbert-Barabasi

Rede Bancaria Artificial Rede Bancaria Brasileira

Distribuição do grau dos nós da rede livre de escalaLei de Potência

Leis de Potência em Cidades

α

Bettencourt, L et al. PNAS104.17 (2007): 7301.

Leis de Potência em CidadesBettencourt, L et al. PNAS104.17 (2007): 7301.

Modelagem Baseada em Agentes

Modelagem em Sistemas Complexos

Modelos Baseados em Agentes

O que é um modelo?

É uma representação simplificada de um sistema real cujo Objetivo é capturar o que tem de mais relevante para explicar ou reproduzir ou prever um padrão ou fenômeno.

A tarefa de construir um modelo pressupõe um objetivo. O modelo pretende capturar pelo menos um aspecto darealidade que seja de interesse. Assim como um mapa, a escala e’ importante.o

Melhor modelo para o Universo é o próprio Universo

ModeloPor que modelar?

a)Para fazer previsãob)Para explicarc)Para nortear a coleta de dadosd)Para fazer novas analogias e)Para ter novos insightsf) Para promover o exercício científico da menteg)Para construir teoriash) Para superar as limitações

Simulação

O que é uma simulação?

Simulação consiste em um algoritmo implementado em uma linguagem de máquina e pode ser visto como uma tecnologia computacional para testar hipóteses ou uma espécie de laboratório virtual. Ela mimetiza o sistema real.

Modelo Baseado em Agentes•Modelos baseados em agentes podem ser utilizados para simular fenômenos reais por meio da construção de entidades (agentes) computacionais individuais com propriedades específicas e regras simples de interações .

•Um agente apresenta um comportamento que é consequência de sua percepção sobre o ambiente e de sua interação com outros agentes.

•Das interações entre muitos agentes podem emergir fenômenos globais ou comportamentos coletivos: divisão do trabalho, inteligência, etc...

•Assim, empregam-se agentes computacionais para estudar a emergência dos fenômenos coletivos a partir dos comportamentos individuais nos casos em que não é possível compreendê-los de maneira dedutiva ou analítica.

• Com o uso de agentes computacionais pode-se buscar compreender as estruturas complexas observadas em sistemas sociais e biológicas.

Modelo Baseado em Agentes

• São modelos computacionais em que a unidade básica queinterage são chamados agentes. Eles podem ser indivíduos, animais,empresas, células, vírus, automóveis, etc. Estes agentes sãoheterogêneos em algum aspecto e seguem um conjunto de regras oucomportamentos.

•Um agente é uma entidade artificial (objeto ou programa decomputador) capaz de controlar suas próprias ações e tomar decisõesbaseada na sua percepção do meio ambiente e social na busca de umou mais objetivos.

ABM consiste de entidades de vários tipos dotados de memória e capacidade cognitiva limitadas cujos comportamentos

são interdependentes (networks)

Modelo Baseado em Agentes

Propriedades :• Autonomia• Habilidade Social• Reatividade e Proatividade• Memória• Capacidade de Aprendizado ou Adaptação• Racionalidade Limitada

População Red e Blue querem morar em um local que tenha alguns vizinho do mesmo tipo, mas não a maioria. Eles são relativamente Tolerantes. Existem residências vazias (black cell)

Regras: A cada passo, o agente olha para a vizinhança e se tiver menos de q% de vizinhos iguais, ele fica triste e muda para outro local, caso contrário, ele fica na residência.

Modelo de Segregação de Schelling

Modelo do Bar El Farol

Consiste em um modelo para descrever o comportamento coletivode N pessoas (agentes) que frequentam um bar com capacidade para60 lugares sentados.

Toda quinta-feira ao entardecer, os agentes gostariam de ir ao bar esentar para ouvir música. Mas tem poucas mesas. Assim, elesprecisam decidir se vão ao bar El farol, correndo o risco de ficarem empé ou se vão para casa.

Dinâmica: Os agentes tem memória (lembram as m semanaspassadas mais recentes ) . Eles tem racionalidade limitada (usam Sestratégias para tomar decisões). O aprendizado se dá por meio deuma função chamada payoff que contabiliza a diferença entre onúmero de vezes que tomou a decisão certa contra número de vezesque tomou a decisão errada. Ele escolhe aquela estratégia

com maior pontuação.

Modelo Baseado em AgentesJogo da Minoria

soma-se zero.

-1 ou 1

Modelo Jogo da Minoria

padrão decisão

00 +

01 -

10 -

11 +

padrão decisão

00 -

01 +

10 -

11 +

Estratégia 1 individuo i Estratégia 2 individuo i

Payoffi,1=100 Payoffi,2=71

Variação do preço: 10101010101

Decisão: ai,1 = -1

Modelo Baseado em Agentes

Ui,s (t+1)=Ui,s(t)- aiA

Modelo Baseado em Agentes

Qual o Mecanismo de Mercado ?

Payoff(s,t+1)=Payoff(s,t) –a(s) A(t) Jogo da Minoria

Payoff(s,t+1)=Payoff(s,t) +a(s) A(t) Jogo da Maioria

Payoff(s,t+1)=Payoff(s,t) +a(s) A(t+1) Dollar Game

Número de Jogadores podem variar Grande Canônico

Simulação – condições iniciais– Uma comunidade virtual é

criada em uma rede quadrada

– Cada agente (Unidade doméstica - UD) tem 8 vizinhos, extratores ou não-extratores;

– Cada agente i possui uma taxa de desconto di;

– Cada agente i possui uma renda alternativa RAi;

– O estoque inicial de palmeiras jussara é dado.

UD UDUD

UD UD

UD

UD

UDUD

UDi

Taxa de desconto di

Renda alternativa RAi

Condições da simulação

• N = 49

• Renda Alternativa (à extração de palmito)– Heterogeneidade entre os agentes: distribuição normal,

com média R$ 600,00 e desvio padrão R$ 150,00;

• Renda por extração de palmito– R$ 300,00

• Taxa de desconto:– Homogênea para todos os agentes;– Três cenários: d=0 d=0,2 e d=0,9.

• Tmax = 2000 períodos

• Dinâmica populacional do Euterpe edulis (Silva Matos et. al. 1999)

Cenário 1 – Política atual de proibição

• A exploração do palmito jussara não é permitida;

• A tomada de decisão, o monitoramento e a aplicação das punições são externas à comunidade;

• A punição depende de uma probabilidade ρ de ser flagrado pela políciaambiental;

• Quando os extratores são flagrados, recebem uma punição λ. Entretanto, a multa é paga pela associação dos moradores da comunidade(compartilhada com todos os membros);

• Não há pressão de pares (peer-pressure) para a conservação do recursopelos agentes. Pelo contrário, os agentes percebem incentivos paraextrair ao ver seus vizinhos extraindo.

Cenário 2 – Política de gestão comunitária

• Engajamento entre membros da comunidade é necessário para a gestão do recurso;

• A tomada de decisão, o monitoramento e a aplicação de punições são internos à comunidade: os agentes engajados assumem os custos de organização;

• Indivíduos que não extraem podem ser indivíduos engajados, com probabilidade φ;

• Indivíduos engajados incorrem em mais custos de organização, na medida em que a quantidade de vizinhos que extraem é maior. Entretanto, possuem uma margem de tolerância γ, somente a partir da qual decidem agir;

Cenário 2 – Política de gestão comunitária

• Indivíduos extratores sofrem pressão de pares e são punidos proporcionalmente à quantidade de vizinhos engajados que possuem.

• Indivíduos extratores nunca assumem custos de organização

UD UDUD

UD UD

UD

UD

UDUD

Resultados – Modelo de Proibição, d=0

Estoque final de palmeiras no modelo de proibição estatal, conforme a probabilidade de punição ρ e a severidade da punição, representada por

λ, quando a taxa de desconto d=0.

Resultados – Modelo Comunidade, d=0

Estoque final de palmeiras no modelo de gestão comunitária do recurso, conforme a proporção φ de agentes engajados e margem de tolerância

γ, quando a taxa de desconto d=0.

Resultados – Modelo de Proibição, d=0,2

Estoque final de palmeiras no modelo de proibição estatal, conforme a probabilidade de punição ρ e a severidade da punição, representada por

λ, quando a taxa de desconto d=0,2.

Resultados – Modelo Comunidade, d=0,2

Estoque final de palmeiras no modelo de gestão comunitária do recurso, conforme a proporção φ de agentes engajados e margem de tolerância

γ, quando a taxa de desconto d=0,2.

Conclusão• Na maior parte das condições testadas, o estoque final de palmito

no modelo de gestão comunitária foi superior ao modelo de proibição estatal;

• Em algumas condições, o estoque final no modelo de gestão comunitária foi superior até ao estoque que seria obtido caso não houvesse ação humana no meio, o que sugere que há uma taxa de extração ótima do ponto de vista biológico, que poderia ser explorada para fins comerciais;

• Para uma proporção de agentes engajados relativamente baixa (0,2), já houve resultados muito positivos;

• Em diversas condições, a flexibilização das normas atuais para a exploração do palmito juçara por comunidade quilombolas seria mais eficaz para a preservação da espécie, simultaneamente trazendo benefícios do ponto de vista social.

MODELO SUGARSCAPE

Epstein & Axtell (1996)

Regenera com taxa Gx: Seleção Natural

aleatoriamente

aleatoriamente

Desigualdade na distribuição de saúde e riqueza

Riqueza

Desigualdade na distribuição de riqueza

OUTRAS APLICAÇÕES DO SUGARSCAPE

"Nós não herdamos o mundo de nossos antepassados -tomamos emprestado de nossos filhos ".

Provérbio Kashmiri

A simplicidade é o último grau de sofisticação

Leonardo Da Vinci

Fim

Obrigado!