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Modelagem de volatilidade via modelos GARCH com erros assimétricos: abordagem Bayesiana

José Augusto Fioruci

Modelagem de volatilidade via modelos GARCH com erros assimétricos: abordagem Bayesiana

José Augusto Fioruci

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Sandes Ehlers

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências

Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como

parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre

em Ciências - Ciências de Computação e Matemática

Computacional. VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Agosto de 2012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura:________________________

______

A minha família, em especial aos meus pais,

José Airton Fioruci e Luzia Neuza Dalaqua, pelo

incentivo e o esforço pela minha formação.

Aos meus amigos do laboratório da estatís-

tica, pela amizade e apoio.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por me permitir estudar os mistérios da sua criação

e por ter me concedido saúde e sabedoria para realizar este trabalho.

A minha família, em especial aos meus pais que sempre me ajudam, apoiam e me

incentivam e a quem sempre estarei em dívida.

Ao meu orientador, Ricardo Sandes Ehlers, pela orientação, sugestões e amizade

que contribuíram no meu crescimento e na minha formação acadêmica.

Aos professores Francisco Louzada Neto e Mauricio Enrique Zevallos Herencia,

membros da banca de defesa, pelas valiosas sugestões feitas.

Aos professores Francisco Antonio Rojas Rojas e Marinho Gomes de Andrade Filho,

membros da banda de qualificação, pelas valiosas sugestões feitas.

Aos diversos amigos e colegas do ICMC, em especial aos amigos do laboratório da

estatística.

Aos professores e aos demais funcionários do ICMC pelo excelente convívio.

Por fim, agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnoló-

gico (CNPq) pelo auxilio financeiro concedido para o desenvolvimento deste projeto.

Resumo

A modelagem da volatilidade desempenha um papel fundamental em Econometria.

Nesta dissertação são estudados a generalização dos modelos autorregressivos condi-

cionalmente heterocedásticos conhecidos como GARCH e sua principal generalização

multivariada, os modelos DCC-GARCH (Dynamic Condicional Correlation GARCH).

Para os erros desses modelos são consideradas distribuições de probabilidade possivel-

mente assimétricas e leptocúrticas, sendo essas parametrizadas em função da assimetria

e do peso nas caudas, necessitando assim de estimar esses parâmetros adicionais aos

modelos. A estimação dos parâmetros dos modelos é feita sob a abordagem Bayesiana

e devido às complexidades destes modelos, métodos computacionais baseados em si-

mulações de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) são utilizados. Para obter

maior eficiência computacional os algoritmos de simulação da distribuição a posteriori

dos parâmetros são implementados em linguagem de baixo nível. Por fim, a proposta

de modelagem e estimação é exemplificada com dois conjuntos de dados reais.

Palavras-chave: series temporais, modelagem de volatilidade, modelos GARCH,

distribuições assimétricas, inferência Bayesiana.

Abstract

The modeling of volatility plays a fundamental role in Econometrics. In this disser-

tation are studied the generalization of known autoregressive conditionally heterosce-

dastic (GARCH) models and its main principal multivariate generalization, the DCC-

GARCH (Dynamic Conditional Correlation GARCH) models. For the errors of these

models are considered distribution of probability possibility asymmetric and leptokur-

tic, these being parameterized as a function of asymmetry and the weight on the tails,

thus requiring estimate the models additional parameters. The estimation of parame-

ters is made under the Bayesian approach and due to the complexities of these models,

methods computer-based simulations Monte Carlo Markov Chain (MCMC) are used.

For more computational efficiency of simulation algorithms of posterior distribution of

the parameters are implemented in low-level language. Finally, the proposed modeling

and estimation is illustrated with two real data sets.

Keywords: time series, volatility modeling, GARCH models, asymmetric distri-

butions, Bayesian inference.

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Retornos e Volatilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . . . . . . . 6

1.3 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Apresentação de Capítulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Distribuições Assimétricas 16

2.1 Método Univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Método Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 GED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Modelos GARCH 27

v

SUMÁRIO vi

3.1 Modelos Univariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Modelos Multivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Estimação dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Estudo de Simulação 40

5 Aplicação 47

5.1 Modelo Univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Modelo Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Considerações Finais e Conclusão 59

Bibliografia 61

A Estimativa Bayesiana dos parâmetros dos modelos 66

B Gráficos da simulação a posteriori dos parâmetros do modelo DCC-

GARCH com erros SST 71

Lista de Figuras

1.1 Petrobrás PN: (a) Gráfico da série, (b) Gráfico dos retornos. . . . . . . 4

1.2 Petrobrás PN: (a) Autocorrelação nos retornos, (b) Autocorrelação nos

quadrados dos retornos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Versão padronizada da distribuição Normal Assimétrica . . . . . . . . . 19

4.1 Gráficos das densidades utilizadas para os erros do modelo GARCH(1,1)

para gerar os dados artificiais: (a) SSN , (b) SST e (c) SSGED . . . 41

5.1 Série do IBOVESPA de 02/01/2001 até 28/12/2007. (a) Gráfico da série;

(b) Gráfico dos retornos; (c) Gráficos das autocorrelações dos retornos

e (d) Gráfico das autocorrelações do quadrado dos retornos. . . . . . . 50

5.2 A esquerda o histograma dos resíduos com a distribuição de probabili-

dade dos erros sobreposta e a direita o gráfico qqplot dos resíduos do

modelo com erros SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 (a) Densidade a posteriori do parâmetro de assimetria (γ) e (b) den-

sidade a posteriori da persistência (α1 + β1), para o modelo com erros

SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

vii

LISTA DE FIGURAS viii

5.4 Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo GARCH(1,1) com erros

SST e intervalo com 95% de credibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.5 Gráficos da série e dos retornos dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI. . 53

5.6 Autocorrelações dos retornos (primeira coluna) e dos retornos ao qua-

drado (segunda coluna) dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI. . . . . . . 54

5.7 Histogramas dos resíduos com as respectivas distribuições marginais so-

brepostas na coluna esquerda e gráficos qqplots dos resíduos na coluna

da direita: modelo com erros SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.8 Densidade a posteriori dos parâmetros de assimetrias (γ) e das persis-

tências (α1 + β1) do modelo com erros SST . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.9 Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo DCC-GARCH(1,1) com

erros SST e intervalo com 95% de credibilidade. . . . . . . . . . . . . . 58

B.1 Na coluna da esquerda os traços, na centro os gráficos das densidades

aproximadas e na direita o gráfico das autocorrelações da simulação da

distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo GARCH(1,1) com

erros SST aplicado ao conjunto de dados univariado do Capítulo 5. . . 72

B.2 Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrela-

ções do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a

série DAX. Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto

da dados multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.3 Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorre-

lações do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para

a série CAC40. Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao con-

junto da dados multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . 74

LISTA DE FIGURAS ix


lações do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para

a série NIKKEI. Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao con-

junto da dados multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . 75


lações dos parâmetros de correlação e do parâmetro de peso nas caudas.

Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados

multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Lista de Tabelas

2.1 Razões entre a massa de probabilidade presente a esquerda de −q com

a massa de probabilidade presente a direita de q(P (X<−q)P (X>q)

). . . . . . . 20

4.1 Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EAIC

no estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o

modelo selecionado foi o mesmo utilizado na geração dos dados. . . . . 44

4.2 Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EBIC



4.3 Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério DIC



5.1 Critérios para seleção dos modelos univariados. . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Critérios para seleção dos modelos multivariados. . . . . . . . . . . . . 55

A.1 Estimativas do GARCH univariado com erros N . . . . . . . . . . . . . 66

A.2 Estimativas do GARCH univariado com erros SSN . . . . . . . . . . . . 66

A.3 Estimativas do GARCH univariado com erros ST . . . . . . . . . . . . . 67

x

LISTA DE TABELAS xi

A.4 Estimativas do GARCH univariado com erros SST . . . . . . . . . . . . 67

A.5 Estimativas do GARCH univariado com erros GED. . . . . . . . . . . 67

A.6 Estimativas do GARCH univariado com erros SSGED. . . . . . . . . . 67

A.7 Estimativas do GARCH multivariado com erros N . . . . . . . . . . . . 68

A.8 Estimativas do GARCH multivariado com erros SSN . . . . . . . . . . 68

A.9 Estimativas do GARCH multivariado com erros ST . . . . . . . . . . . . 69

A.10 Estimativas do GARCH multivariado com erros SST . . . . . . . . . . . 69

A.11 Estimativas do GARCH multivariado com erros GED. . . . . . . . . . 70

A.12 Estimativas do GARCH multivariado com erros SSGED. . . . . . . . . 70

Capítulo 1

Introdução

1.1 Motivação

Modelagem de volatilidade (variância condicional) é de grande interesse em Economia.

Gráficos de dados financeiros mostram que existem períodos mais voláteis do que ou-

tros, sendo que esses períodos geralmente estão distribuídos em grupos, sugerindo assim

um grau de dependência no tempo. Outra característica que geralmente esta presente

em séries financeiras, é que, em geral choques negativos tem mais influencia na volati-

lidade do que choques positivos, caracterizando assim, um certo grau de assimetria na

volatilidade.

Para levar em conta a presença de grupos de volatilidade é necessário a utilização de

modelos heterocedásticos condicionais, ou seja, modelos que consideram que a variância

condicional de uma série temporal não é constante. Diversos modelos para volatilidade

foram propostos na literatura, sendo que os modelos autorregressivos condicionalmente

heterocedásticos (ARCH) propostos por Engle (1982), e sua generalização os modelos

GARCH (Bollerslev 1986), bem como os modelos de volatilidade estocástica (Taylor

1982) são os mais empregados.

1.1 Motivação 2

Variações em diversas séries financeiras podem ser correlacionadas, de forma que a

volatilidade de uma série pode sofrer influencia das volatilidades de outras séries. Com

o intuito de considerar essas correlações na estimação dos modelos GARCH, diversas

extensões multivariadas surgiram na literatura, sendo que os modelos CCC-GARCH

(Constant Conditional Correlation GARCH) proposto em Bollerslev (1990) e DCC-

GARCH (Dynamic Conditional Correlation-GARCH) propostos simultaneamente em

Engle (2002) e Tse & Tsui (2002) estão entre os mais conhecidos.

Muitas vezes a utilização da distribuição de probabilidade Normal Padrão para os

erros dos modelos GARCH não é suficiente para adequar as características de caudas

pesadas e assimetria dos retornos financeiros. Assim, tanto para os erros dos modelos

GARCH como para os erros dos modelos DCC-GARCH, nesta dissertação é estudado

a utilização de distribuições de probabilidade com caudas mais pesadas do que a dis-

tribuição Normal Padrão e também consideramos uma forma de tornar possivelmente

assimétrica (skew) essas distribuições. A estimação é feita sob o enfoque Bayesiano o

que possibilita analisar essas características através da distribuição a posteriori dos pa-

râmetros, uma vez que as distribuições de probabilidade utilizadas são parametrizadas

em função de parâmetros de peso nas caudas e de assimetria.

Na literatura poucos trabalhos surgiram utilizando o enfoque Bayesiano, mesmo

para os modelos univariados. Isto ocorre devido a complexidade desses modelos e ao

custo computacional da utilização de métodos computacionais baseados em simula-

ção de Monte Carlos via Cadeias de Markov (MCMC). Nesta dissertação, os métodos

MCMC são utilizados, mas para obter maior eficiência computacional os algoritmos de

simulação da distribuição a posteriori são implementados em linguagem de baixo nível.

As principais contribuições metodológicas deste trabalho são: o estudo de distribui-

ções possivelmente leptocúrticas e assimétricas para o termo do erro, tanto em modelos

univariados GARCH como nos modelos multivariados DCC-GARCH; abordagem Baye-

1.2 Conceitos Básicos 3

siana para estimação desses modelos; avaliação da adequação de alguns critérios para

seleção entre os modelos aqui estudados através de um estudo de simulação.

1.2 Conceitos Básicos

Nesta seção apresentamos alguns conceitos que serão utilizados nesta dissertação. Os

conceitos relacionados a séries temporais podem ser vistos detalhadamente em Moret-

tin (2008). Um excelente texto introdutório sobre os conceitos relacionados a inferência

Bayesiana e métodos computacionais pode ser encontrado em Lynch (2007). Estudos

mais avançados sobre os algoritmos Amostrador de Gibbs e Metropolis-Hastings podem

ser encontrados em Casella & George (1992) e Chib & Greenberg (1995), respectiva-

mente.

1.2.1 Retornos e Volatilidade

Considere Pt como sendo o preço de um ativo no instante t e pt como sendo o logaritmo

na base e do preço deste ativo (pt = log(Pt)). Assim o log-retorno ou simplesmente,

retorno no instante t, é definido como sendo:

yt = log(PtPt−1

)= pt − pt−1.

Como exemplo, a Figura 1.1 (a) apresenta o gráfico da série diária dos fechamentos

da ação da Petrobrás PN, no período de 2 de janeiro de 1995 à 27 de dezembro de

2000, e a Figura 1.1 (b) apresenta o gráfico dos retornos da mesma série.

Pela Figura 1.1 podemos notar algumas das principais propriedades dos retornos,

como por exemplo estacionaridade. Isto faz com que em geral, seja preferível trabalhar

com retornos do que com o preço dos ativos.


(a)

Tempo

Obs

erva

ções

0 500 1000 1500

1000

050

000

(b)

Tempo

Ret

orno

s

0 500 1000 1500

−0.

20.

1

Figura 1.1: Petrobrás PN: (a) Gráfico da série, (b) Gráfico dos retornos.

Outra características comum em séries de retornos financeiros consiste na existência

de autocorrelação nos quadrados dos retornos, enquanto que os retornos não possuem

autocorrelação ou em alguns casos possuem autocorrelação apenas nos primeiros lags.

Essa característica é exemplificada na Figura 1.2, onde para a mesma série da Petrobrás,

temos no gráfico (a) as autocorrelações dos retornos e no gráfico (b) as autocorrelações

dos quadrado dos retornos. Observe que no gráfico (a) existe autocorrelação apenas

para o lag 1, enquanto que no gráfico (b) existe autocorrelação para diversos lags.

Considerando uma série de retornos {yt, t = 1, . . . , T}, podemos escrever a dis-

tribuição conjunta dos retornos como o produto das distribuições de cada retorno,

condicionado os retornos anteriores:

p(y1, . . . , yT ) = p(y1)p(y2|I2)p(y3|I3) . . . p(yT |IT ), (1.1)


0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.6

Lag

AC

F

(a)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.6

Lag

AC

F

(b)

Figura 1.2: Petrobrás PN: (a) Autocorrelação nos retornos, (b) Autocorrelação nosquadrados dos retornos.

sendo It = {yt−1, yt−2, . . .} a informação prévia até o instante t.

A variância das distribuições condicionais da equação (1.1) convencionou-se chamar

de Volatilidade e será o objetivo da modelagem. O formato de escrever distribuição

conjunta dos retornos apresentado em (1.1) é muito utilizada nos modelos para volati-

lidade, pois nessa modelagem sempre estaremos interessados na informação disponível

no instante t com relação ao que ocorreu nos instantes anteriores.

Algumas das características que geralmente são encontradas em séries de retornos

financeiros são:

• Retornos são em geral não autocorrelacionados;

• A distribuição incondicional dos retornos apresenta caudas mais pesadas do que

a distribuição Normal;


• Os quadrados dos retornos são em geral autocorrelacionados;

• A volatilidade aparece em grupos de maior, ou menor, volatilidade;

• A volatilidade reage de modo diferente a valores positivos e negativos da série;

Os modelos que serão vistos no Capítulo 3 assumirão que a esperança de cada

distribuição condicional da equação (1.1) é zero, enquanto que a variância (vola-

tilidade) é uma função da informação passada. Ou seja, estes modelos assumi-

rão heterocedasticidade. Para fixar a notação, considere a volatilidade como ht =

V ar(yt|It) = E(y2t |It), sendo It a informação prévia até o momento t, ou seja,

It = (yt−1, yt−2, . . . , ht−1, ht−2, . . .).

A seguir apresentaremos uma breve descrição de alguns dos principais métodos de

simulação computacional baseados em Monte Carlo via Cadeias de Markov.

1.2.2 Métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov

Suponha que temos interesse em obter características (por exemplo: média e a variân-

cia) de uma distribuição a posteriori π(θ|y), mas não podemos obter essa informação

diretamente. Entretanto, suponha que podemos construir uma Cadeia de Markov,

com espaço de estados no espaço paramétrico Θ (conjunto de todos valores possíveis

de θ), que é simples para simular e cuja distribuição de equilíbrio seja dada por π(θ|y).

Por fim, sob algumas condições de regularidade, o Teorema 1.1 garante que podemos

utilizar os valores simulados da cadeia como base para sumarizar características da

posteriori π(θ|y). A demonstração do Teorema 1.1 pode ser encontrada em Tierney

(1994).

Teorema 1.1. Suponha que {Y (t)}Mt=1 é uma Cadeia de Markov irredutível, aperiódica

com núcleo de transição P (., .) e distribuição invariante π. Se P (y, .) é absolutamente


continua com respeito a π para todo y, então π é a única distribuição invariante de

P(.,.) e para toda função h que toma valores nos reais e integrável em relação a π,

temos1M

M∑t=1

h(Y (t)) −→∫h(y)π(y)dy,

quando M →∞, q.c.

Recentemente, com a evolução computacional, os métodos de Monte Carlo via Ca-

deias de Markov (MCMC) vem sendo cada vez mais utilizados, por conta da facilidade

na utilização e pela possibilidade de trabalhar com modelos complexos.

A seguir serão apresentados os dois métodos MCMC mais empregados, o Amostra-

dor de Gibbs e o Metropolis-Hastings.

Amostrador de Gibbs

Considere θ = (θ1, . . . , θk) um vetor de variáveis aleatórias. O Amostrador de Gibbs

consiste em um algoritmo para gerar uma Cadeia de Markov da distribuição con-

junta π(θ) a partir das distribuições condicionais de θi|θ−i, i = 1, . . . , k, sendo

θ−i = (θ1, . . . , θi−1, θi+1, . . . , θk).

As distribuições condicionais são obtidas a partir de:

π(θi|θ−i) = π(θ)∫π(θ) dθi

∝ π(θ).

Assim, a menos de uma constante, para obter a distribuição condicionais de θi|θ(i),

basta considerar apenas os termos da distribuição conjunta π(θ) que dependem de θi.

A seguir é apresentado o esquema do algoritmo Amostrador de Gibbs:

1. Determine valores iniciais para θ(0) e faça j = 0.


2. Obtenha um novo valor de θ(j+1) a partir de θ(j), através da geração sucessiva

dos valores:

θ(j+1)1 ∼ π(θ1|θ(j)

2 , θ(j)3 , . . . , θ

(j)k )

θ(j+1)2 ∼ π(θ2|θ(j+1)

1 , θ(j)3 , . . . , θ

(j)k )

...

θ(j+1)k ∼ π(θk|θ(j+1)

1 , θ(j+1)2 , . . . , θ

(j+1)k−1 )

3. Faça j = j + 1 e volte ao Passo 2.

Os passo 2 e 3 devem ser repetidos até que a distribuição estacionária seja alcançada.

Em geral, as primeiras simulações são descartadas como uma amostra de aquecimento.

Pode-se considerar apenas os últimos valores gerados a cada bloco de k-simulações,

com k > 1.

Observe que não é necessário conhecer a distribuição conjunta, mas é necessário

conhecer as distribuições condicionais completas. Se as distribuições condicionais com-

pletas coincidirem com alguma distribuição de probabilidade conhecida na literatura,

então deve-se gerar valores diretamente dessa distribuição. No caso, de uma ou mais

distribuições condicionais completas não coincidirem com alguma distribuição de pro-

babilidade conhecida, pode-se utilizar o algoritmo Metropolis-Hastings para simular da

distribuição conjunta. O algoritmo Metropolis-Hastings é apresentado a seguir.

Metropolis-Hastings

No algoritmo Metropolis-Hastings um valor é gerado de uma distribuição auxiliar (ou

distribuição proposta) e aceito com uma dada probabilidade. Este mecanismo de corre-

ção garante a convergência da cadeia para a distribuição de probabilidade de equilíbrio.


Considerando θ = (θ1, . . . , θk), suponha que deseja-se gerar valores da distribuição

conjunta π(θ) e a cadeia esteja no estado θ, um valor θ′ é gerado de uma distribuição

proposta q(·|θ). Note que a distribuição proposta pode depender do estado atual da

cadeia, por exemplo q(·|θ) poderia ser uma distribuição multivariada centrada em θ.

O esquema geral do algoritmo Metropolis-Hastings é apresentado a seguir:

1. Inicialize o contador j = 0 e determine um valor inicial θ(0).

2. Gere θ′ da distribuição proposta q(·|θ(j)).

3. Gere u ∼ U(0, 1).

4. Se u < p(θ′,θ(j)) então faça θ(j+1) = θ′. Caso contrário, faça θ(j+1) = θ(j).

5. Faça j = j + 1 e volte para o Passo 2.

No passo 4 a probabilidade de aceitação p(θ′,θ(j)) é dada por:

p(θ′,θ(j)) = min{

1, π(θ′) q(θ(j)|θ′)π(θ(j)) q(θ′|θ(j))

}. (1.2)

Observe, que a probabilidade de aceitação não depende de constantes normalizadoras,

ou seja, π(θ) pode ser conhecido a menos de uma constante. Os passo 2−5 devem ser

repetidos até que seja obtida a distribuição estacionária π(θ).

Na inferência Bayesiana o algoritmo Metropolis-Hastings é bastante utilizado para

gerar amostras da distribuição a posteriori, neste caso, a distribuição pretendida é

a posteriori π(θ|y) ∝ L(θ)π(θ), sendo L(θ) e π(θ) a função de verossimilhança e a

distribuição a priori de θ, respectivamente. Assim, se considerarmos como distribuição

proposta a priori π(θ), surge um caso especial, no qual a probabilidade de aceitação

1.3 Revisão Bibliográfica 10

apresentada em (1.2) fica resumida na razão de verossimilhanças:

p(θ(j),θ′) = min{

1, L(θ′)L(θ(j))

}.

Um caso mais geral do Metropolis-Hastings e que em alguns casos pode ser mais

eficiente computacionalmente, consiste em dividir θ = (θ1, . . . , θk) em p blocos

{θ1, . . . ,θp}, sendo que cada bloco contém um ou mais elementos, assim dentro de

cada iteração teremos o algoritmo aplicado p vezes. Por exemplo, definindo o ve-

tor θ−i = (θ1, . . . ,θi−1,θi+1, . . . ,θp) que contém todos os elementos de θ exceto θi,

suponha que na iteração j + 1 os blocos 1, 2, . . . , i − 1 já foram atualizados, isto é

θ(j)−i = (θ(j+1)

1 , . . . ,θ(j+1)i−1 ,θ

(j)i+1, . . . ,θ

(j)p ). Assim, para atualizar a i-ésima componente,

um valor θ′i é gerado da distribuição proposta q(·|θ(j)i ,θ

(j)−i ) e este valor candidato é

aceito com probabilidade:

p(θ′i,θ(j)i ) = min

1, π(θ′i|θ(j)−i ) q(θ

(j)i |θ′i,θ

(j)−i )

π(θ(j)i |θ

(j)−i ) q(θ′i|θ

(j)i ,θ

(j)−i )

. (1.3)

Aqui, π(θi|θ−i) é a distribuição condicional completa do bloco θi.

Note que o Amostrador de Gibbs é um caso especial do algoritmo Metropolis-

Hastings, no qual os elementos de θ são atualizados um de cada vez (ou em blocos),

tomando a distribuição condicional completa como proposta e neste caso, a probabili-

dade de aceitação é igual a 1.

1.3 Revisão Bibliográfica

Os modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) foram introduzidos

por Engle (1982) e têm como ideia básica que a volatilidade (variância condicional) em

um instante t não é constante e depende dos retornos passados. Bollerslev (1986) propôs


uma classe de modelos que considera que a volatilidade depende, além dos valores

passados dos retornos, também dos valores passados da volatilidade, estes modelos são

os considerados GARCH (Generalized ARCH ). Os modelos GARCH são considerados

mais parcimoniosos do que os ARCH, no sentido que, em geral descrevem a volatilidade

com menos parâmetros.

Desde a criação dos modelos GARCH diversas extensões multivariadas foram pro-

postas na literatura, uma revisão sobre vários desses modelos pode ser encontrada em

Bauwens et al. (2006). Os modelos multivariados mais utilizados foram propostos pelos

mesmos criadores dos modelos ARCH e GARCH, primeiramente foi proposto o modelo

CCC-GARCH (Constant Conditional Correlation GARCH) em Bollerslev (1990), esse

modelo considera correlação constante ao longo do tempo entre as séries de retornos.

Uma extensão do CCC-GARCH que hoje é mais utilizada é o modelo DCC-GARCH

(Dynamic Conditional Correlation GARCH) o qual foi proposto simultaneamente em

Engle (2002) e Tse & Tsui (2002), este modelo considera que a correlação entre as

volatilidades varia com o tempo através de um processo GARCH. Os modelos CCC-

GARCH e DCC-GARCH serão apresentados em detalhes na Seção 3.2.

Atualmente vem surgindo algumas abordagens Bayesianas para estimação dos mo-

delos GARCH. Ardia (2006) propõe um algoritmo para estimação Bayesiana do modelo

GARCH(1,1) com erros normais. O algoritmo consiste em amostrar valores da distri-

buição posteriori conjunta dos parâmetros, construindo assim, uma Cadeia de Markov

para ser utilizada na estimação dos parâmetros. Nos modelos GARCH as condicionais

completas da posteriori, em geral, não coincidem com funções de densidades de proba-

bilidade conhecidas na literatura, e assim, o algoritmo Metropolis-Hastings é utilizado.

Ainda no mesmo artigo, para melhorar o desempenho do algoritmo a amostragem é

feita por uma abordagem sugerida por Nakatsuma (1998), a qual utiliza uma transfor-

mação paramétrica e uma aproximação normal.


Devido a evidências na literatura de que muitas séries temporais financeiras tendem

a ter a curtose observada maior do que aquela considerada por um modelo GARCH

com erros normais, Ardia (2008) propõe a estimação Bayesiana do modelo GARCH(1,1)

com erros t-Student através de um algoritmo MCMC. A implementação em R de am-

bos algoritmos, pode ser encontrada no pacote bayesGARCH (Ardia 2011). Além da

distribuição t-Student, outra distribuição de probabilidade possivelmente leptocúrtica

que vem sendo usada para os erros do modelo GARCH é a GED (Generalized Error

Distribution), que pode ser encontrada na forma univariada e com uma das extensões

multivariada em Gómez et al. (1998).

Uma das preocupações atuais, tem sido com a evidência empírica de assimetria

nos retornos financeiros, não tratada pelos modelos GARCH, isto levou alguns pes-

quisadores a proporem extensões para o modelo. Nelson (1991) introduziu os modelos

EGARCH (Exponential GARCH), Glosten et al. (1993) introduziram os modelos GJR,

mas uma das extensões que mostrou-se mais promissora foi a APARCH (Asymmetric

Power ARCH) introduzidas por Ding et al. (1993). Os modelos APARCH generalizam

vários modelos GARCH assimétricos, entre eles, os EGARCH e os GJR (veja, Laurent

(2004)).

Outra forma de tratar a assimetria nos retornos através dos modelos GARCH con-

siste em assumir algum grau de assimetria na distribuição dos erros. Em Pipien (2006)

são revisados diversos métodos para inserir assimetria em qualquer distribuição de pro-

babilidade univariada, continua, unimodal e simétrica. Na literatura o método para

inserir assimetria que vem sendo mais explorado é o proposto em Fernandez & Steel

(1998) para distribuições de probabilidade univariadas e generalizado para as distri-

buições multivariadas em Bauwens & Laurent (2005). O método de Fernandez e Steel

transforma a distribuição de probabilidade simétrica em uma distribuição possivel-

mente assimétrica acrescentado apenas um parâmetro, o qual pode ser interpretado

como um parâmetro de assimetria, que no caso igual a 1 torna a distribuição simétrica,


se menor que 1, então a distribuição terá maior massa a esquerda da moda e se maior

que 1 terá maior massa a direita da moda. O método de Fernandez & Steel (1998) e

sua generalização multivarida de Bauwens & Laurent (2005) será explicada em detalhes

no Capítulo 2.

Outras propostas recentes para modelar características não captadas pelos modelos

GARCH usuais são: modelos com mudança de regime estocástica (Markov switching,

Bauwens et al. (2008), Ardia (2009)), e misturas de distribuições para os erros (ver

por exemplo Ausin & Galeano (2007)).

Outra classe de modelos para volatilidade são os modelos de Volatilidade Estocástica

(VE), propostos por Taylor (1982), os quais tem sido uma alternativa aos modelos da

família GARCH. Em alguns casos, estes modelos são conhecidos por modelarem melhor

a volatilidade do que os modelos GARCH (veja, Kim et al. (1998), Barossi-Filho

et al. (2010)), mas são considerados de difícil estimação, isso porque nesses modelos

não é possível obter a função verossimilhança de forma analítica, pois as volatilidades

aparecem como variáveis latentes. Iniciado, por Jacquier et al. (1994) os métodos

MCMC tem sido usados para estimar os parâmetros e as log-volatilidades do modelo

de VE do ponto de vista Bayesiano. Na classe de modelos VE também tem surgido

propostas na literatura para relaxar a hipótese de normalidade dos erros introduzindo-

se distribuições com caudas mais pesadas bem como distribuições assimétricas (ver

por exemplo, Liesenfeld & Jung (2000) e Cappuccio et al. (2004)). A utilização das

distribuições de probabilidade que serão obtidas no Capítulo 2 para os erros dos modelos

VE nos casos univariados e multivariados ficará como proposta futura de pesquisa nesta

dissertação.

1.4 Apresentação de Capítulos 14

1.4 Apresentação de Capítulos

No Capítulo 1 foi apresentada a motivação para o projeto e alguns conceitos básicos,

incluindo uma introdução aos conceitos de retornos e volatilidade em séries tempo-

rais e aos principais métodos computacionais baseados em Monte Carlo via Cadeias

de Markov (Amostrador de Gibbs e Metropolis-Hastings). Ainda neste capítulo, tam-

bém é feita uma revisão bibliográfica de alguns trabalhos referentes a distribuições

assimétricas e modelos GARCH.

O Capítulo 2 define o conceito de simetria em distribuições de probabilidade uni-

variadas e multivariadas e apresenta um método para obter uma generalização pos-

sivelmente assimétrica (dependendo do valor do parâmetro de assimetria) dessas dis-

tribuições, desde que estas sejam, contínuas e unimodais. O método é então aplicado

a três distribuições de probabilidade comumente utilizadas para os erros dos modelos

GARCH.

Os modelos GARCH, foco do estudo dessa dissertação, são apresentados no Ca-

pítulo 3. Inicialmente, são introduzidos os modelos univariados conhecidos como

GARCH(p,q), em seguida são apresentadas duas de suas generalizações multivaria-

das, os modelos CCC-GARCH e DCC-GARCH. Ainda, neste capítulo, é apresentado

dois algoritmos para simulação da distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo

DCC-GARCH. Lembrando que o modelo DCC-GARCH generaliza o modelo GARCH

univariado e portanto o mesmo algoritmo pode ser utilizado para o GARCH univariado.

No Capítulo 4 é apresentado um estudo de simulação para avaliar se alguns crité-

rios para seleção de modelos conhecidos na literatura são adequados para distinguir

entre os modelos aqui estudados. No Capítulo 5 os modelos estudados são aplicados a

dois conjuntos de dados reais, uma para os modelos univariados e outro para os mo-

delos multivariados, a estimação é feita utilizando uma implementação dos algoritmos

1.4 Apresentação de Capítulos 15

apresentados no Capítulo 3. Estes, então são comparados via critérios de seleção de

modelos e é feita a análise de resíduo para o modelo selecionado.

Por fim, no Capítulo 6 temos as considerações finais e a conclusão da dissertação.

Em seguida, são apresentadas as referências bibliográficas e o Apêndice A com as

estimativas a posteriori de todos os modelos utilizados no Capítulo 5.

Capítulo 2

Distribuições Assimétricas

Neste capítulo apresentaremos o método de Fernandez & Steel (1998) para inserir

assimetria em qualquer função de distribuição de probabilidade contínua, simétrica,

unimodal e definida nos reais. Em seguida apresentaremos o método de Bauwens

& Laurent (2005), o qual generaliza o método de Fernandez & Steel (1998) para as

distribuições multivariadas.

2.1 Método Univariado

Diversas propostas para introduzir assimetria em distribuições simétricas surgiram na

literatura, dentre elas podemos citar, Azzalini (1985), Fernandez & Steel (1998), Branco

& Dey (2001), Azzaline & Capitanio (2003), Jones & Faddy (2003). Mas devido a sim-

plicidade e generalidade neste capítulo nos concentraremos na proposta de Fernandez

& Steel (1998). Neste método os momentos são mais fáceis de serem calculados e não

é necessário obter a função de distribuição acumulada. Ainda, no contexto Bayesiano,

o método facilita a especificação das distribuições a priori separando os efeitos dos

parâmetros de assimetria e de cauda.

16

2.1 Método Univariado 17

Considere p(x) uma função de densidade unimodal, definida na reta e simétrica em

torno do zero. Neste caso, consideramos p(x) simétrica se p(x) = p(−x), para todo

x ∈ R. O método proposto em Fernandez & Steel (1998) é conhecido como método de

escala inversa de fatores. Este obtêm uma função de densidade s(x|γ) a partir de p(x)

a qual é assimétrica e possui o grau de assimetria indexado pelo parâmetro adicional

γ > 0. Quando o valor da variável aleatória é menor que zero então s(x|γ) ∝ p(xγ), caso

contrário, s(x|γ) ∝ p(xγ). A função de densidade de probabilidade s(x|γ) é apresentada

a seguir:

s(x|γ) = 2γ + γ−1

{p(xγ)I(−∞,0)(x) + p(x/γ)I[0,∞)(x)

}= 2

γ + γ−1p(xγ−sign(x)),

sendo IA(x) a função indicadora no conjunto A e sign(x) é igual a −1, se x < 0 e igual

a +1 , se x ≥ 0.

Algumas das principais características de s(x|γ) são apresentadas a seguir:

1. Se γ = 1 então obtemos o caso simétrico, isto é, s(x|γ = 1) = p(x).

2. s(x|γ) mantém a mesma moda da p(x). Como p(x) é unimodal e simétrica em

torno do zero, a moda sempre é no zero.

3. A massa de probabilidade a esquerda e a direita de zero é independente de p(x):

P (X ≥ 0) = 2γ1 + γ2

∫ ∞0

p(x/γ)dx = γ2

1 + γ2 ,

P (X ≤ 0) = 1− P (X ≥ 0) = 11 + γ2 ,

P (X ≥ 0)P (X ≤ 0) = γ2.

4. Assimetria a direita (esquerda) corresponde a γ > 1 (γ < 1).


5. A existência dos momentos de s(x|γ) depende unicamente dos momento absolutos

de p(x). O r-ésimo momento é dado por:

E(Xr|γi) = γr+1 + (−1)r/γr+1

γ + 1/γ Mr,

sendo

Mr = 2∫ ∞

0xr p(x) dx (2.1)

o r-ésimo momento absoluto de p(x).

6. A média e a variância são dados por:

µ = M1(γ − 1/γ) (2.2)

σ2 = (M2 −M21 )(γ2 + 1/γ2) + 2M2

1 −M2 (2.3)

7. A versão padronizada da função de densidade s(x|γ) é a distribuição de proba-

bilidade da variável aleatória Z = (X − µ)/σ, a qual é dada por:

p(z|γ) = s(zσ + µ|γ)dxdz

= s(zσ + µ|γ)σ

= 2σγ + γ−1p(z

∗), (2.4)

sendo,

z∗ =

(zσ + µ)γ, se z < −µ/σ

(zσ + µ)/γ, se z ≥ −µ/σ(2.5)

e p(z∗) a função de densidade simétrica calculada em z∗.

Como exemplo, se aplicarmos o método apresentado em (2.4) na distribuição de

probabilidade Normal Padrão, obtemos:

p(x|γ) = (2/π)1/2

γ + γ−1 exp{

(x∗)2

2

}, (2.6)


sendo, x∗ dado como em (2.5). No caso da função de distribuição simétrica p(x) ser

padronizada temos o segundo momento absoluto será dado porM2 = 1. Neste exemplo

então, temos M2 = 1 e aplicando (2.1) obtemos M1 = (2/π)1/2. Desta forma, das

expressões (2.2) e (2.3) obtemos a média a variância da versão assimétrica da Normal

Padrão:

µ = (2/π)1/2(γ − 1/γ)

σ2 = (γ2 + γ−1 − 1)− µ2.

A função de densidade (2.6) será referenciada no texto como SSN(0, 1, γ) (Standard

Skew Normal). A Figura 2.1 apresenta o gráfico dessa distribuição nas versões com

parâmetro de assimetria igual a 1, 0, 0, 7 e 1, 3, sendo respectivamente a versão simé-

trica, uma versão assimétrica a esquerda e uma versão assimétrica a direita. Observe

que no caso padronizado a função de densidade não possui moda igual a zero.

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

p(x|

γ)

γ = 1.0γ = 0.7γ = 1.3

Figura 2.1: Versão padronizada da distribuição Normal Assimétrica.

A assimetria torna-se mais evidente quando quando comparamos a massa de pro-

2.2 Método Multivariado 20

babilidade presente nas caudas da distribuição. Como exemplo, para a função de

densidade (2.6), a Tabela 2.1 apresenta os valores de P (X < −q)/P (X > q), isto é,

a razão entre a massa de probabilidade presente a esquerda de −q com a massa de

probabilidade presente a direita de q, sendo q ≥ 0. Observe que mesmo com γ = 0, 9,

o que graficamente seria próximo de simetria, a massa de probabilidade presente na

cauda esquerda não é próxima da massa de probabilidade presente na cauda direita.

Note que o valor desta razão aumenta quando aumentamos o valor de q.

Tabela 2.1: Razões entre a massa de probabilidade presente a esquerda de −q com amassa de probabilidade presente a direita de q

(P (X<−q)P (X>q)

).

q = 1 q = 2 q = 3γ = 0, 9 1,0192 1,5183 3,3238γ = 0, 7 1,0584 4,9009 119,7992

2.2 Método Multivariado

O conceito de distribuições simétricas em torno do zero apresentado na Seção 2.1 é

generalizado para distribuições multivariadas na definição a seguir (Bauwens & Laurent

(2005)):

Definição 2.1. Uma distribuição de probabilidade unimodal p(x) definida em Rm,

com E(X) = 0 e V ar(X) = Im é simétrica se, e somente se, para qualquer x,

p(x) = p(Qx) para qualquer matriz diagonal Q cujos elementos da diagonal são iguais

a 1 ou −1.

Considerando p(x) como na Definição 2.1 o método para inserir assimetria de

Bauwens & Laurent (2005) generaliza para o caso multivariado o método de Fernandez


& Steel (1998) apresentado na Seção 2.1. Este método é dado por:

s(x|γ) = 2m(m∏i=1

γi1 + γ2

i

)p(x∗), (2.7)

sendo, x∗ = (x∗1, . . . , x∗m)′, x∗i = xi/γi se xi ≥ 0 e x∗i = xiγi se xi < 0. Os parâmetros

de assimetria são dados por γ = (γ1, . . . , γm)′, com γi > 0. Se γi = 1 então a marginal

correspondente é simétrica.

Os momentos de p(x|γ) podem ser obtidos em função dos momentos absolutos das

distribuições marginais de p(x) como em Fernandez & Steel (1998). Isto é,

E(Xri |γi) = γr+1

i + (−1)r/γr+1

γi + 1/γiMr, (2.8)

sendo

Mr = 2∫ ∞

0xri p(xi) dxi,

para qualquer r ∈ N.

Em geral, mesmo p(x) sendo padronizada a distribuição resultante s(x|γ) não será

padronizada. Mas desde que o primeiro momento absoluto da distribuição marginal

p(xi) seja conhecido podemos utilizar a expressão (2.8) para obtermos o vetor de médias

µ = (µ1, . . . , µm)′ e o vetor de variâncias σ2 = (σ21, . . . , σ

2m)′ de s(x|γ). Como p(x)

é padronizada, é fácil ver que M2 = 1, logo da expressão (2.8) temos as médias e as

variâncias de p(x|γ):

µi = E(Xi|γi) = (γi − γ−1i )M1, (2.9)

σ2i = γ3

i + γ−3i

γi + γ−1i

M2 − µ2i = (γ2

i + γ−2i − 1)− µ2

i , (2.10)

para i = 1, . . . ,m.

Assim, a versão padronizada da função de densidade (2.7) é a distribuição de pro-


babilidade do vetor aleatório Z = (Z1, . . . , Zm)′, no qual Zi = (Xi − µi)/σi, a qual é

dada por:

p(z|γ) = 2m[m∏i=1

γi1 + γ2

i

σi

]p(z∗), (2.11)

sendo,

z∗i =

(ziσi + µi)/γi, se zi ≥ −µi/σi

(ziσi + µi)γi, se zi < −µi/σi.(2.12)

A seguir aplicaremos o método para as distribuições de probabilidade Normal, t-

Student e GED multivariadas. Vale lembrar que para obter o caso univariado das

distribuições a seguir, basta utilizar m = 1.

2.2.1 Normal

A distribuição Normal m-Variada denotada por N(0, Im) é definida como produto de

m distribuições Normais Padrão N(0, 1), logo possui distribuições marginais N(0, 1).

A distribuição N(0, Im) é dada por:

p(x) = 1(2π)m/2 exp

{−1

2

m∑i=1

x2i

}. (2.13)

Calculando o momento absoluto da N(0, 1), temos:

M1 = 2(2π)1/2

∫ ∞0

xi exp{−x

2i

2

}dxi

= 2(2π)1/2 . (2.14)

Logo, substituindo (2.14) em (2.9) obtemos as médias marginais da versão assimé-

trica da função de densidade (2.13):

µi = (2/π)1/2(γi − γ−1i ).


Para i = 1, . . . ,m. As variâncias marginais são obtidas diretamente da expressão

(2.10). Por fim, da expressão (2.11) obtemos a distribuição de probabilidade Normal

Assimétrica e Padronizada (SSN(0, Im,γ), Standard Skew Normal).

p(z|γ) =( 2π

)m/2 ( m∏i=1

γiσi1 + γ2

i

)exp

{−1

2

m∑i=1

z∗i2},

sendo, z∗i dado pelas expressões (2.12).

2.2.2 t-Student

Uma generalização multivariada da distribuição t-Student é definida como:

p(x|ν) = Γ((ν +m)/2)Γ(ν/2)[π(ν − 2)]m/2

(1 + x′x

ν − 2

)−(m+ν)/2

. (2.15)

Essa distribuição de probabilidade será denotada por ST (0, Im, ν) (Standard t-

Student), sendo essa padronizada e com distribuições marginais ST (0, 1, ν). A dis-

tribuição ST (0, Im, ν) satisfaz a Definição 2.1 e portanto, podemos aplicar o método

de Bauwens & Laurent (2005).

Calculemos inicialmente o primeiro momento absoluto da distribuição ST (0, 1, ν):

M1 = 2Γ((ν + 1)/2)Γ(ν/2)(π(ν − 2))1/2

∫ ∞0

xi

(1 + x2

i

ν − 2

)− ν+12

dxi

= 2Γ((ν + 1)/2)Γ(ν/2)(π(ν − 2))1/2

(ν − 2)(ν − 1)

= Γ((ν − 1)/2)√ν − 2

Γ(ν/2)√π

. (2.16)

Substituindo (2.16) na expressão (2.9) temos que o vetor de médias da versão assi-


métrica da função de densidade (2.15) são formados pelos elementos:

µi = (γi − γ−1i )Γ((ν − 1)/2)

√ν − 2

Γ(ν/2)√π

.

Por fim, da expressão (2.12) obtemos a distribuição de probabilidade t-Student

assimétrica e padronizada (SST (0, Im,γ, ν), Standard Skew t-Student).

p(z|γ, ν) =(

2√π

)m ( m∏i=1

γiσi1 + γ2

i

)Γ(ν+m

2 )Γ(ν2 )(ν − 2)m/2

(1 + z∗′

z∗

ν − 2

)−m+ν2

, (2.17)

sendo, σi e z∗i dado pelas expressões (2.10) e (2.12), respectivamente.

2.2.3 GED

A distribuição GED (Generalized Error Distribution) padronizada é escrita no caso

univariado como:

p(x|k) =[

Γ(3/k)Γ(1/k)

]1/2 exp{−[

Γ(3/k)Γ(1/k)x

2]k/2}

2Γ((k + 1)/k) . (2.18)

Essa distribuição generaliza a distribuição Normal podendo ter caudas mais leves

(k > 2) ou mais pesadas (k < 2) do que a Normal Padrão (N(0, 1)) e se k = 2 obtemos

a distribuição Normal.

Algumas generalizações multivariadas da distribuição GED foram propostas na li-

teratura, como por exemplo em Gómez et al. (1998) e Giller (2005), mas as marginais

dessas distribuições são difíceis de obter, assim como os momentos absolutos das mar-

ginais. Por este motivo, neste trabalho optou-se por utilizar a distribuição conjunta de

m variáveis aleatórias independentes, garantindo assim, que as marginais serão a distri-

buição apresentada em (2.18). Desta forma, a distribuição de probabilidade conjunta


do vetor aleatório X = (X1, . . . , Xm)′ é dada por:

p(x|k) =[

Γ(3/k)Γ(1/k)

]m/2 exp{−[

Γ(3/k)Γ(1/k)

]k/2∑mi=1 |xi|k

}[2Γ((k + 1)/k)]m . (2.19)

Como a distribuição (2.18) é padronizada, teremos E(X) = 0 e V ar(X) = Im

e assim podemos utilizar o método de Bauwens & Laurent (2005) para inserir assi-

metria. Para facilitar a notação referiremos a distribuição GED Multivariada como

GED(0, Im, k) e a distribuição resultante da aplicação do método e padronizada como

SSGED(0, Im,γ, k) (Standard Skew GED).

Calculemos inicialmente o primeiro momento absoluto da distribuiçãoGED(0, 1, k):

M1 = 2[

Γ(3/k)Γ(1/k)

]1/2 12Γ((k + 1)/k)

∫ ∞0

x exp−

[Γ(3/k)Γ(1/k)x

2]k/2 dx

=[

Γ(3/k)Γ(1/k)

]1/2 1Γ((k + 1)/k)

Γ((k + 1)/k)Γ(2/k)Γ(3/k)

= Γ(2/k)[Γ(1/k)Γ(3/k)]1/2 . (2.20)

Logo, substituindo (2.20) na expressão (2.8) temos que o vetor de médias da versão

assimétrica da função de densidade (2.19) é formado pelos elementos:

µi = (γi − γ−1i ) Γ(2/k)

[Γ(1/k)Γ(3/k)]1/2 , (2.21)

para i = 1, . . . ,m.

Por fim, substituindo (2.19) em (2.11) temos a distribuição de probabilidade GED


Assimétrica e Padronizada (SSGED(0, Im,γ, k), Standard Skew GED):

p(z|γ) = 2m[m∏i=1

γi1 + γ2

i

σi

] [Γ(3/k)Γ(1/k)

]m/2 exp{−[

Γ(3/k)Γ(1/k)

]k/2∑mi=1 |z∗i |k

}(2/k)m[Γ(1/k)]m , (2.22)

sendo µi, σ2i e z∗i dados por (2.21), (2.10) e (2.12), respectivamente.

Assim, como a distribuição SSN consiste em caso particular da SST , também

consiste em um caso particular da SSGED, com k = 2.

As distribuições de probabilidade apresentadas neste capítulo serão aplicadas no

contexto de modelos GARCH univariados e multivariados, os quais serão apresentados

em detalhes no Capitulo 3.

Capítulo 3

Modelos GARCH

Na modelagem estatística paramétrica de volatilidade, os modelos GARCH (Genera-

lized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) estão entre os principais modelos

empregados. O sucesso desses modelos deve-se principalmente à incorporação de cer-

tas características de dados financeiros em suas estruturas, tais como acomodação de

caudas pesadas e autocorrelação entre os quadrados de retornos financeiros.

É uma extensão natural considerar-se a modelagem simultânea de um conjunto de

séries de retornos definindo-se modelos GARCH multivariados. Podemos estar inte-

ressados por exemplo em estudar as relações entre as volatilidades e co-volatilidades

de vários mercados. Claramente, a construção de medidas de risco de um portfólio de

ativos financeiros será influenciada pela estrutura de dependência entre as séries que

compõem o portfólio.

Neste capítulo serão apresentados o modelo GARCH univariado de Bollerslev (1986)

e duas das principais extensões multivariadas, o CCC-GARCH de Bollerslev (1990) e

o DCC-GARCH de Engle (2002).

27

3.1 Modelos Univariados 28

3.1 Modelos Univariados

Considere y = {yt, t = 1, . . . , T} como uma série de retornos. O modelo GARCH(p,q)

é definido como:

yt = εt√ht , εt ∼ D(0, 1) (3.1)

ht = ω +p∑i=1

αiy2t−i +

q∑j=1

βjht−j, (3.2)

sendo os εt independentes e identicamente distribuídos e D(0, 1) uma distribuição de

probabilidade com média zero e variância 1. Então ht é a variância condicional (não

observável) de yt dada a informação prévia It = {yt−1, yt−2, . . . }. As restrições sufici-

entes de positividade e estacionaridade de ht são ω > 0, αi ≥ 0, i = 1, . . . , p, βj ≥ 0,

j = 1, . . . , q e ∑pi=1 αi +∑q

j=1 βj < 1.

Considerando a esperança e a variância de yt dado It, temos:

E[yt|It] =√htE[εt|It] =

√ht E[εt] = 0 (3.3)

V ar[yt|It] = E[y2t |It] = ht V ar[εt] = ht. (3.4)

Logo, podemos utilizar a equação (3.3) para calcular a esperança incondicional:

E[yt] = E[E[yt|It]] = E[0] = 0.

Considerando agora a equação (3.4) para calcular variância incondicional, temos:

V ar[yt] = E[y2t ] = E[E[y2

t |It]] = E[ht]. (3.5)


Assumindo que a série y seja estacionária das equações (3.2) e (3.5) é fácil ver que

E[y2t ] = ω

1−(∑p

i=1 αi +∑qj=1 βj

) . (3.6)

Da equação (3.6), temos que, para existir a variância incondicional de yt é necessário

que ∑pi=1 αi+

∑qj=1 βj < 1, justificando assim a restrição de estacionaridade do modelo.

Como da expressão (3.1) temos que εt = yt/√ht, podemos escrever a fdp condicional

do retorno yt em função da fdp de εt. Obtemos assim,

p(yt|It) = (ht)−1/2pε(yt/√ht), (3.7)

sendo pε a função de densidade de probabilidade de εt. Agora, podemos obter a função

de verossimilhança do modelo substituindo (3.7) em (1.1). Logo, a função de verossi-

milhança do modelo será dada por:

L(θ) =T∏t=1

(ht)−1/2pε(yt/√ht),

sendo θ = (ω, α1, . . . , αp, β1, . . . , βq)′ o conjunto de todos os parâmetros.

Vale notar que mesmo se εt ∼ N(0, 1) a distribuição incondicional de yt não é

a Normal, em particular tendo caudas mais pesadas do que a Normal. No entanto,

existe evidência na literatura de que muitas séries temporais financeiras tendem a ter a

curtose observada ainda maior do que aquela implicada por um modelo GARCH com

erros normais. Sendo assim, alguns autores têm proposto distribuições com caudas

mais pesadas do que a Normal para os erros εt. Por exemplo, a distribuição t-Student

com ν graus de liberdade (Baillie & Bollerslev (1989), Ardia (2008)).

Identificar a ordem de um modelo GARCH a ser ajustado a uma série pode ser

difícil. Em Morettin (2008) recomenda-se a utilização de modelos de ordem baixa (por


exemplo: (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2)) e escolhe-se o modelo com base em critérios, como

o AIC (Akaike 1974) e o BIC (Schwarz 1978), entre outros. O autor também afirma,

que na maioria das series financeiras um modelo GARCH(1,1) é o mais parcimonioso

para descrever a volatilidade.

Nesta dissertação, o desenvolvimento do algoritmo de estimação será focado no

modelo GARCH(1,1), já que modelos GARCH de outras ordens podem ser estimados

de forma semelhante. A distribuição de probabilidade dos erros será considerada na

forma assimétrica apresentada no Capítulo 2, lembrando que para obter o caso simétrico

basta fixar γ = 1.

Sob o enfoque Bayesiano é necessário determinar a distribuição a priori dos parâ-

metros do modelo. Para os parâmetros do GARCH(1,1) utilizaremos as distribuições

a priori propostas em Ardia (2006). Estás são normais truncadas no espaço paramé-

trico de cada um dos parâmetros, também assumiremos independência a priori entre

os parâmetros, desta forma obtemos: ω ∼ N(µω, σ2ω)I(ω>0), α1 ∼ N(µα, σ2

α)I(0<α<1)

e β1 ∼ N(µβ, σ2β)I(0<β<1), sendo µω, µα, µβ, σ2

ω, σ2α e σ2

β hiperparâmetros. A notação

N(µ, σ2)I(a<x<b), com b > a, representa a função densidade de probabilidade:

1φ(b)− φ(a) ×

1√2πσ2

exp(−(x− µ)2

2σ2

), x ∈ (a, b),

sendo φ(.) a função de densidade acumulada da distribuição normal com média µ e

variância σ2.

No caso, de utilizamos uma distribuição assimétrica, como as apresentadas no Ca-

pítulo 2, será necessário estimar o parâmetro assimetria, neste caso Fernandez & Steel

(1998) propuseram usar uma distribuição a priori Gama(a, b) para γ2. A idéia é esco-


lher os valores de a e b de modo que E(γ) = 1.

1 = Eγ2(γ) = ba

Γ(a)

∫ ∞0

γ (γ2)a−1e−bγ2dγ2

= ba

Γ(a)

∫ ∞0

(γ2)(a+0,5)−1e−bγ2dγ2

= ba

Γ(a)Γ(a+ 0.5)ba+0.5 ,

o que implica,

b =Γ

(a+ 1

2

)Γ(a)

2

. (3.8)

Considerando b como em (3.8) podemos fixar o valor de a controlando a variância

a priori e a probabilidade a priori de γ ∈ (0, 1). Fixando a = 0, 5 obtemos b ≈ 0, 32,

o que nos leva a V ar(γ) = π/2 − 1 ≈ 0, 57 e P (0 < γ < 1) ≈ 0, 58 o que parece ser

uma escolha razoável. Além disso, esta particular escolha é equivalente a especificar

γ ∼ N(0, 0, 64−1)I(γ>0), pois considerando Πγ e Πγ2 como as densidades a priori de γ

e γ2, respectivamente, temos:

Πγ (γ|a = 0, 5, b = 0, 32) = 2γ × Πγ2

(γ2|a = 0, 5, b = 0, 32

)∝ γ (γ2)1/2−1 exp(−0, 32 γ2)

∝ exp{−1

2 0, 64 γ2}

∝ exp{− γ2

2 (0, 64)−1

}, γ ∈ (0,∞).

Ainda, quando utilizarmos a distribuição SST (0, 1, γ, ν) apresentada em (2.17)

ou SSGED(0, 1, γ, k) apresentada em (2.22) devemos estimar o parâmetro de cauda

ν ou k, respectivamente. Neste caso, será utilizado ν ∼ N(µν , σ2ν)I(ν>2) e k ∼

N(µk, σ2k)I(k>0), sendo µν , µk, σ2

ν e σ2k hiperparâmetros.

Vale lembrar que a utilização da distribuição de probabilidade Normal para as

3.2 Modelos Multivariados 32

prioris, facilita a inserção de informação em uma determinada região de interesse atra-

vés dos parâmetros µ e σ2 da distribuição Normal (N(µ, σ2)), mesmo que no caso de

truncamento esses hiperparâmetros não representem a média e a variância, mas ainda

controlam a região de maior massa de probabilidade. A seguir apresentaremos os mo-

delos multivariados e logo, em seguida apresentaremos dois algoritmos de simulação

da distribuição a posteriori dos parâmetros que pode ser tanto usado para o modelo

multivariado quando para o modelo univariado.

3.2 Modelos Multivariados

Considere yt = (yt1, . . . , yt,m)′ como sendo um vetor de retornos no instante t para m

séries temporais. Assim, as extensões multivariadas dos modelos GARCH podem ser

escritas como:

yt = H1/2t εt, (3.9)

sendoHt a matriz de covariâncias condicionais eH1/2t a matrizm×m positiva definida,

obtida pela decomposição de Cholesky da matriz Ht. O vetor dos erros εt tem ordem

m× 1 e tem média e variância dado por:

E(εt) = 0

V ar(εt) = Im,

sendo, Im a matriz identidade de ordem m.

Assim, temos que a média e a variância do vetor yt condicionado na informação


prévia até o momento t (It = {yt−1,yt−2, . . .}), são dados por:

E(yt|It) = E(H1/2t εt|It) = H

1/2t E(εt) = 0

V ar(yt|It) = V ar(H1/2t εt|It) = H

1/2t V ar(εt)(H1/2

t )′ = Ht.

Diversas formas de especificar a matriz Ht foram propostas na literatura. Neste

trabalho, concentraremos em uma forma não linear de combinar GARCH univariados,

os modelos CC-GARCH (Conditional Correlation GARCH). Outros modelos conheci-

dos na literatura são os modelos VEC de Bollerslev et al. (1988) e os modelos BEKK

de Engle & Kroner (1995). Uma revisão das diversas formas de modelar a matriz de

covariâncias condicionais pode ser encontrada em Bauwens et al. (2006).

A primeira classe dos modelos CC-GARCH foi proposta em Bollerslev (1990), os

modelos CCC-GARCH (Constant Condicional Correlation GARCH), os quais definem

a matriz Ht como:

Ht = DtRDt,

sendo,

Dt = diag(h1/211,t, . . . , h

1/2mm,t), (3.10)

e hii,t é definido como em um GARCH univariado de qualquer ordem. Assim, se

especificarmos um GARCH(1,1) para cada variância condicional deDt , teremos, hii,t =

ωi + α1,iy2i,t−1 + β1,ihii,t−1, com ωi > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0 e αi + βi < 1, para i = 1, . . . ,m.

A matriz de correlações R = {ρij}j=1,...,mi=1,...,m é simétrica e positiva definida com ρii = 1.

Obviamente, ρij = ρji, logo, os parâmetros adicionais desse modelo serão todos ρij com

i > j, para i, j = 1, . . . ,m. Logo, é fácil ver que o número total de parâmetros desse

modelo é m(m + 5)/2. Desta forma, o número de parâmetros cresce rapidamente de

acordo com o número de séries, note que para 3 séries (m = 3), teremos 12 parâmetros,

enquanto que para 5 séries (m = 5), teremos 25 parâmetros.


Alguns modelos mais parcimoniosos foram propostos na literatura, sendo que Engle

(2002) e Tse & Tsui (2002) independentemente propuseram um modelo CC-GARCH

que considera que a matriz de correlações condicionais varie no tempo, este modelo é

conhecido como DCC-GARCH (Dynamic Conditional Correlation GARCH). Adotando

a abordagem de Engle (2002) a matriz de covariâncias é escrita como:

Ht = Dt Rt Dt,

sendo que, Dt é especificado como em (3.10) e Rt como:

Rt = diag(Qt)−1/2Qtdiag(Qt)−1/2

Qt = (1− a− b)R+ aµt−1µ′t−1 + bQt−1,

sendo µt = D−1t yt, R a matriz de covariâncias incondicionais de µt. As restrições de

estacionaridade dos parâmetros adicionais são a > 0, b > 0 e a+ b < 1.

Além de modelar a correlação condicional com variação no tempo, o modelo DCC-

GARCH também possui a vantagem de acrescentar apenas dois parâmetros indepen-

dentemente do número séries escolhidas. Sendo assim, se considerarmos o modelo

GARCH(1,1) para cada variância condicional em Dt, o número de parâmetros do mo-

delo será 3m+ 2. Logo, se considerarmos 3 séries (m = 3) teremos 11 parâmetros e se

considerarmos 5 séries (m = 5), teremos 17 parâmetros.

Assim como nos modelos univariados a função densidade de probabilidade dos retor-

nos nos modelos CC-GARCH pode ser obtida em função da densidade de probabilidade

escolhida para os erros εt. Considerando θ como o conjunto de todos os parâmetros

do modelo, podemos escrever a distribuição conjunta dos retornos como produto das


distribuições condicionais (θ foi omitido para simplificar a notação):

p(y1, . . . ,yT |θ) = p(y1)p(y2|y1)p(y3|y2,y1) . . . p(yT |IT ). (3.11)

Da expressão (3.9), obtermos as distribuições condicionais dos retornos em função da

distribuição dos erros:

p(yt|It) = |Ht|−1/2pεt(H−1/2t yt), t = 1, . . . , T. (3.12)

Assim, substituindo (3.12) em (3.11), obtemos a função de verossimilhança, que é dada

por:

L(θ) = p(y1, . . . ,yT ) =T∏t=1|Ht|−1/2pεt(H

−1/2t yt).

Para o modelo DCC-GARCH é fácil ver que:

L(θ) =T∏t=1

[m∏i=1

h−1/2ii,t

]|Rt|−1/2 pεt

((DtRtDt)−1/2yt.

)

Sob o enfoque Bayesiano é necessário determinar a distribuição a priori dos parâ-

metros do modelo. A proposta adotada neste trabalho consiste em estender para os

modelos multivariados a abordagem apresentada para os modelos univariados dos pa-

râmetros da volatilidade (ω, α1 e β1) e para o parâmetro de assimetria (γ), apresentada

na Seção 3.2. Para isso, assumiremos independência a priori estre os parâmetros do

modelos. Desta forma obtemos:

ωi ∼ N(µωi , σ2ωi

)I(ωi>0),

α1,i ∼ N(µαi , σ2αi

)I(0<αi<1),

β1,i ∼ N(µβi , σ2βi

)I(0<βi<1),

γi ∼ N(0, 0.64−1)I(γ>0),

3.3 Estimação dos Parâmetros 36

para i = 1, . . . ,m. Ainda nos resta determinar as prioris para os parâmetros da correla-

ção a e b e no caso de assumirmos a distribuição dos erros do modelo SST (0, Im,γ, ν)

ou SSGED(0, Im,γ, k), devemos determinar as prioris para os parâmetros de peso nas

caudas. Seguindo, a mesma abordagem anterior utilizaremos as prioris:

a ∼ N(µa, σ2a)I(0<a<1),

b ∼ N(µb, σ2b )I(0<b<1),

ν ∼ N(µν , σ2ν)I(ν>2), se εt ∼ SST (0, Im,γ, ν),

k ∼ N(µk, σ2k)I(k>0), se εt ∼ SSGED(0, Im,γ, k).

Vale lembrar, que para m = 1, o modelo DCC-GARCH resulta no modelo GARCH

univariado. Pois neste caso, teríamos Dt = {h1/211,t} e Rt = {1}, resultando em Ht =

{h11,t}. A seguir apresentaremos dois algoritmos para simulação da distribuição a

posteriori dos parâmetros do modelo DCC-GARCH.

3.3 Estimação dos Parâmetros

Neste trabalho serão considerados duas formas do algoritmo Metropolis-Hastings (apre-

sentado na Seção 1.2.2) para simulação dos parâmetros da distribuição a posteriori do

modelo DCC-GARCH(1,1), lembrando que, no caso particular m = 1 obtemos o mo-

delo univariado GARCH(1,1). No primeiro algoritmo consideraremos que a atualização

da cadeia é feita com um parâmetro por bloco e na segundo, consideraremos apenas

um bloco contendo todos os parâmetros. Para podemos simular na reta, consideramos

transformações em todos os parâmetros, tornando os reais como o espaço paramé-

trico de todos os parâmetros. A distribuição candidata será a distribuição Normal

centrada no ultimo valor da cadeia, obtemos assim algoritmos Metropolis-Hastings do

tipo passeio-aleatório.


Para simular da distribuição posteriori dos parâmetros consideramos as seguintes

transformações paramétricas: Se a distribuição dos erros for a SST então φ1 = log(ν−

2) e se for a SSGED então φ1 = log(k), para os demais parâmetros, teremos φ2 =

log(a/(1 + a)), φ3 = log(b/(1 + b)), φ4 = log(γ1), φ5 = log(ω1), φ6 = log(α1/(1 + α1)),

φ7 = log(β1/(1+β1)),. . ., φ4m = log(γm), φ4m+1 = log(ωm), φ4m+2 = log(αm/(1+αm)),

φ4m+3 = log(βm/(1 + βm)). A simulação na escala original dos parâmetros pode ser

obtida facilmente tomando as transformações inversas.

O primeiro caso do algoritmo Metropolis-Hastings que apresentaremos, consiste em

um caso particular do algoritmo apresentado na Seção 1.2.2. Aqui consideraremos cada

parâmetro como um bloco e todas as distribuições propostas como sendo a distribuição

Normal centrada no estado atual da cadeia. Desta forma, podemos utilizar a variância

de cada distribuição proposta para ajustar a taxa de aceitação do parâmetro corres-

pondente. A esse caso particular, chamaremos de MH np-Blocos e será apresentado a

seguir, considere np = 4m+ 3 como o número de parâmetros.

MH np-Blocos

1. Fixar ou especificar valores iniciais para φ(0)i , para i = 1, . . . , np e faça j = 0.

2. Para i = 1 até i = np faça:

Gere φ′i ∼ N(φ(j), σ2φi

) e u ∼ U(0, 1).

Se u ≤ pφi(φ′i, φ(j)i ), então faça φ(j+1)

i = φ′i. Caso contrário, faça φ(j+1)i = φ

(j)i .

3. Faça j = j + 1 e volte para 2.

Sendo a probabilidade de aceitação pφi(φ′i, φ(j)i ) é dada como em (1.3), mas com a

simplificação que neste caso, a razão da distribuição proposta se cancela. Lembramos,

que neste caso a distribuição em questão é a posteriori de φi|φ(−i) a qual é proporcional


ao produto da função de verossimilhança com a priori de φi (π(φi)), isto é,

pφi(φ′i, φ(j)i ) = min

1, π(φ′i|φ(j)i ,y)

π(φ(j)i |φ

(j)i ,y)

,sendo,

π(φ′i|φ(j)i ,y) ∝ L(φ(j+1)

1 , . . . , φ(j+1)i−1 , φ′i, φ

(j)i+1, . . . , φ

(j)np ) π(φ′i).

Considerando φ = (φ1, . . . , φnp)′, temos que o espaço paramétrico é Rnp, lembrando

que np é o número de parâmetros. Logo, podemos utilizar uma das formas mais

eficientes computacionalmente do Metropolis-Hastings, o passeio aleatório com apenas

um bloco (Chib & Greenberg 1995) , ou seja, a simulação de φ é feita gerando valores

diretamente da distribuição Normal np-Variada com média no estado anterior da cadeia

e matriz de covariâncias Σφ. Esse algoritmo é apresentado a seguir e referiremos a ele

nos capítulos seguintes, como MH 1-Bloco.

MH 1-Bloco

1. Fixar ou especificar valores iniciais para φ(0)i , para i = 1, . . . , np e faça j = 0.

2. Gere φ′ ∼ Nnp(φ(j),Σφ) e u ∼ U(0, 1).

3. Se u ≤ pφ(φ′,φ(j)), então faça φ(j+1) = φ′. Caso contrário, faça φ(j+1) = φ(j).

4. Faça j = j + 1 e volte para 2.

Como a distribuição geradora de φ′ escolhida é a Normal Multivariada com média

φ(j) e a densidade em questão é a posteriori de φ, substituindo em (1.2) resultará em:

pφ(φ′,φ(j)) = min{

1, π(φ′|y)π(φ(j)|y)

},


sendo,

π(φ|y) = L(φ)np∏i=1

π(φi).

Em geral o algoritmo MH 1-Bloco além de mais eficiente computacionalmente,

também gera resultados melhores do que o MH np-Bloco, mas este necessita da matriz

de covariâncias Σφ. Apesar da escolha de Σφ ser livre, a convergência do algoritmo será

mais rápida se utilizar a matriz de covariância dos parâmetros. Assim, uma estimativa

para Σφ consiste no inverso da matriz de Informação de Fisher, mas no caso dos

modelos GARCH essa matriz é difícil de ser obtida mesmo que numericamente. Deste

modo, uma alternativa consiste em utilizaremos o algoritmo MH np-Bloco para obter

uma amostra piloto da posteriori e com essa amostra estimar a matriz Σφ para em

seguida utilizarmos o algoritmo MH 1-Bloco.

As restrições de estacionaridade podem ser tratadas em ambos os algoritmos inse-

rindo uma restrição na distribuição priori. Mas em geral mesmo que a simulação seja

feita sem restrições o número de elementos da cadeia que não atende a restrição é baixo,

de forma que um tratamento mais simples consiste em apenas retirar da simulação da

posteriori os elementos que não atendem as restrições de estacionaridade.

Tendo a Cadeia de Markov gerada da distribuição a posteriori dos parâmetros, as

estimativa de Monte Carlo para uma característica g(.) de um determinado parâmetro

θi é dada por:

g(θi) = 1nc

nc∑j=1

g(θ(j)i ),

sendo nc o tamanho da cadeia.

A seguir apresentaremos um exemplo de aplicação dos modelos GARCH e DCC-

GARCH com as diferentes distribuições de probabilidade estudadas no Capítulo 2.

Capítulo 4

Estudo de Simulação

Neste capítulo será feito um estudo de simulação para verificar se alguns critérios co-

nhecidos na literatura são adequados para selecionar o melhor modelo entre aqueles que

estamos estudando nesta dissertação. Por conta do alto custo computacional envolvido

neste processo, nós restringiremos o estudo aos modelos univariados. Para gerar os

conjuntos de dados artificiais foi utilizado a linguagem R (R Development Core Team

2011) e para implementação do algoritmo de estimação foi utilizado a linguagem C.

Para geração dos conjuntos de dados artificiais, foram considerados os modelos

GARCH(1,1) com distribuição de probabilidade para os erros SSN , SST e SSGED,

essas densidade foram apresentados no Capítulo 2. Para cada modelo, foram gerados

conjuntos de dados de tamanho 500, 1000 e 2000. Para avaliarmos se os critério para

seleção de modelos são capazes de distinguir entre modelos com erros simétrico e mode-

los com erros assimétricos, mesmo quando o grau de assimetria é pequeno, utilizamos

na simulação dois valores para o parâmetro de assimetria γ = 0, 9 (pouco assimétrico)

e γ = 0, 7 (mais assimétrico), veja a Figura 4.1. Os demais parâmetros foram fixa-

dos, os parâmetros da volatilidade foram fixados nos valores: ω = 0, 05, α1 = 0, 07 e

β1 = 0, 88; para os modelos com erros SST o parâmetro ν foi fixado no valor 8 e para os

40

41

modelos com erros SSGED o parâmetro k foi fixado em 1, 3. Para cada configuração

do modelo, foram geradas 200 replicas.

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(a)

x

p(x|

γ)

γ = 1,0γ = 0,9γ = 0,7

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(b)

x

p(x|

γ)

γ = 1,0γ = 0,9γ = 0,7

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(c)

x

p(x|

γ)

γ = 1,0γ = 0,9γ = 0,7

Figura 4.1: Gráficos das densidades utilizadas para os erros do modelo GARCH(1,1)para gerar os dados artificiais: (a) SSN , (b) SST e (c) SSGED

Para cada conjunto de dados artificiais foram ajustados os modelos GARCH(1,1)

com erros assimétricos (SSN , SST e SSGED) e também com as respectivas distribui-

ções simétricas, as quais serão referenciadas no texto como N , ST e GED. O ajuste foi

feito utilizando o algoritmo MH np-Blocos, apresentado no Capítulo 3, foram geradas

Cadeias de Markov de tamanho 30 mil, sendo que as primeiras 10 mil foram descartadas

como amostra de aquecimento, com o restante foram obtidos os valores dos critérios

para seleção de modelos. Os valores escolhidos para os hiperparâmetros das distribui-

ções a priori são: µν = µk = µω = µα1 = µβ1 = 0 e σ2ν = σ2

k = σ2ω1 = σ2

α1 = σ2β1 = 100.

Desta forma, obtemos prioris com informação vaga em quase todo espaço paramétrico,

exceto para o parâmetro de assimetria, para o qual foi utilizado a priori descrita no

Capítulo 3.

Os critérios para seleção de modelos avaliados foram 3, sendo que os dois primeiros

consistem na média a posteriori dos critérios de informação de Akaike (EAIC) e do

Bayesiano (EBIC), o terceiro é o Desvio de Informação (DIC). Esses critérios "pena-

lizam" a função de verossimilhança do modelo de acordo com a sua complexidade, de

42

forma que os melhores modelos possuem maior valor da função de verossimilhança e

menos parâmetros. Os critérios de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC) foram proposto

em Akaike (1974) e Schwarz (1978), respectivamente, e são dados por:

AIC(M) = −2 log(LM(θ)) + 2npM ,

BIC(M) = −2 log(LM(θ)) + npM log(n),

sendo, M o modelo em questão, LM(θ) a função de verossimilhança de M calculado

no vetor de parâmetros estimado θ, npM o número de parâmetros do modelo e n o

número de observações da amostra. Valores menores do AIC e do BIC indicam o melhor

modelo. Os critérios AIC e BIC são bastante utilizados para abordagens clássica. Sob a

abordagem Bayesiana é preferível utilizarmos a estimativa da esperança a posteriori da

função de verossimilhança ( E(LM(θ))) no lugar da função de verossimilhança calculada

no ponto estimado (LM(θ)), esses critérios são conhecidos como EAIC (Brooks 2002)

e EBIC (Carlin & Louis 2001).

O Critério de Desvio de Informação (DIC) foi proposto em Spiegelhalter et al.

(2002) e é amplamente utilizado em inferência Bayesiana, especialmente quando mé-

todos MCMC são considerados. O desvio é definido como D(θ) = −2 log(LM(θ)) e D

como a esperança a posteriori de D(θ), essa esperança é utilizada como uma medida

da qualidade do ajuste do modelo com relação aos dados, quanto maior é o D, pior é o

ajuste. O número efetivo de parâmetros é definido como pD = D−D(θ). Desta forma,

o critério DIC de um modelo M é calculado como:

DIC(M) = pD + D,

valores menores do DIC indicam melhores modelos.

As Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3 apresentam a porcentagem de vezes que cada modelo foi

43

selecionado pelos critérios EAIC, EBIC e DIC, respectivamente. Nessas tabelas estão

destacados em negrito a porcentagem de vezes que o modelo selecionado foi o mesmo

que gerou os dados artificias.

Note que em todas as linhas os valores em negrito sempre são os maiores, mas

quando consideramos os conjuntos de dados de tamanho 500 a porcentagem de acertos

dos critérios é menor do que ocorre para os conjuntos de dados de tamanhos 1000 e 2000.

Durante o estudo nós notamos que para alguns conjuntos de dados de tamanho 500 a

Cadeia de Markov gerada não convergia, o que sugere que deve-se utilizar conjuntos

de dados maiores, o que em geral não é um problema quando trabalhos com séries

temporais. Possivelmente, isto influenciou no desempenho dos critérios para seleção

de modelos quando foram considerados conjuntos de dados de tamanho 500. Para os

demais conjuntos de dados, não foi notado problemas de convergência.

Descartando os conjuntos de dados de tamanho 500, podemos notar que todos os

critérios tiveram bom desempenho para os conjuntos de dados provindos das distribui-

ções com parâmetro de assimetria γ = 0, 7. Para os conjuntos de dados gerados com

γ = 0, 9 os critérios também mostraram-se adequados, mas a sensibilidade para distin-

guir entre o modelo simétrico e o assimétrico mostrou-se aumentar quando o tamanho

dos conjuntos de dados aumentam.

44

Tabela 4.1: Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EAICno estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o modelo selecionadofoi o mesmo utilizado na geração dos dados.

Dados Artificiais Modelos Ajustados

Modelos N N ST GED SSN SST SSGED

SSN 500 0,0% 0,0% 0,0% 95,0% 1,5% 3,5%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 93,0% 2,0% 5,0%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 92,0% 2,5% 5,5%

SSN 500 23,5% 1,5% 1,0% 69,0% 2,5% 2,5%(γ = 0, 9) 1000 11,5% 0,5% 0,5% 81,5% 4,0% 2,0%

2000 1,0% 0,5% 1,0% 92,0% 2,5% 3,0%

SST 500 0,0% 0,0% 0,0% 12,5% 77,5% 10,0%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 1,0% 91,0% 8,0%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 96,5% 3,5%

SST 500 5,5% 17,0% 2,5% 8,5% 58,5% 8,0%(γ = 0, 9) 1000 0,0% 12,5% 0,0% 1,5% 76,0% 10,0%

2000 0,0% 0,5% 0,0% 0,0% 93,5% 6,0%

SSGED 500 0,0% 0,0% 0,0% 0,5% 22,5% 77,0%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 11,5% 88,5%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 6,0% 94,0%

SSGED 500 0,0% 5,5% 14,0% 0,0% 21,0% 59,5%(γ = 0, 9) 1000 0,0% 1,0% 1,5% 0,0% 11,5% 86,0%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 4,0% 96,0%

45

Tabela 4.2: Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EBICno estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o modelo selecionadofoi o mesmo utilizado na geração dos dados.



SSN 500 0,0% 0,0% 0,0% 100,0% 0,0% 0,0%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 100,0% 0,0% 0,0%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 98,5% 1,0% 0,5%

SSN 500 25,0% 0,0% 0,5% 73,0% 1,0% 0,5%(γ = 0, 9) 1000 12,5% 0,0% 0,0% 87,5% 0,0% 0,0%

2000 2,5% 0,0% 0,5% 97,0% 0,0% 0,0%

SST 500 0,0% 0,0% 0,0% 40,0% 51,5% 8,5%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 11,0% 81,5% 7,5%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,5% 96,0% 3,5%

SST 500 9,5% 12,5% 2,5% 24,5% 44,5% 6,5%(γ = 0, 9) 1000 0,5% 11,5% 0,0% 6,5% 72,5% 9,0%

2000 0,0% 0,5% 0,0% 0,0% 93,5% 6,0%

SSGED 500 0,0% 0,0% 0,0% 5,0% 21,0% 74,0%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 0,5% 11,5% 88,0%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 6,0% 94,0%

SSGED 500 1,5% 4,5% 12,5% 5,5% 18,5% 57,5%(γ = 0, 9) 1000 0,0% 1,0% 1,5% 0,5% 11,5% 85,5%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 4,0% 96,0%

46

Tabela 4.3: Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério DIC noestudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o modelo selecionadofoi o mesmo utilizado na geração dos dados.



SSN 500 0,0% 0,0% 0,0% 84,5% 8,5% 7,0%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 88,5% 5,0% 6,5%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 88,5% 4,5% 7,0%

SSN 500 36,0% 6,0% 2,0% 47,5% 6,0% 2,5%(γ = 0, 9) 1000 17,5% 1,0% 1,5% 67,5% 9,0% 3,5%

2000 4,0% 1,0% 2,0% 83,5% 4,0% 5,5%

SST 500 0,0% 0,0% 0,0% 7,0% 85,5% 7,5%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 92,5% 7,5%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 96,5% 3,5%

SST 500 4,0% 30,0% 3,5% 5,5% 52,0% 5,0%(γ = 0, 9) 1000 0,0% 17,0% 1,0% 1,0% 72,5% 8,5%

2000 0,0% 1,5% 0,0% 0,0% 93,5% 5,0%

SSGED 500 0,0% 0,0% 0,0% 0,5% 32,5% 67,0%(γ = 0, 7) 1000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 13,5% 86,5%

2000 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 6,0% 94,0%

SSGED 500 0,0% 12,0% 17,5% 0,0% 22,5% 48,0%(γ = 0, 9) 1000 0,0% 2,0% 5,0% 0,0% 10,5% 82,5%

2000 0,0% 0,0% 0,5% 0,0% 4,0% 95,5%

Capítulo 5

Aplicação

Apresentaremos nesse capítulo dois exemplos de aplicação do modelo DCC-

GARCH(1,1), um univariado e um multivariado, lembrando que no caso univariado

o modelo DCC-GARCH(1,1) corresponde ao modelo GARCH(1,1). Para o termo

de erro do modelo são consideradas as distribuições de probabilidade SSN(0, Im,γ),

SST (0, Im,γ, ν) e SSGED(0, Im,γ, k) apresentadas no Capítulo 2, sendom o número

de séries modelas. Também utilizaremos os casos simétricos dessas distribuições, con-

siderando apenas γi = 1 para i = 1, . . . ,m. As distribuições simétricas serão referidas

como N , ST e GED.

A inferência dos modelos é feita sob a abordagem Bayesiana utilizando MCMC.

As Cadeias de Markov são geradas em 2 etapas utilizando os algoritmos apresentados

na Seção 3.3. Na primeira etapa é utilizado o algoritmo MH np-Blocos para gerar

uma Cadeia de Markov inicial, essa cadeia é então utilizada para estimar a matriz de

covariâncias dos parâmetros Σnp. A segunda etapa consiste em utilizar o algoritmo

MH 1-Bloco para gerar uma segunda Cadeia de Markov. Dessa segunda cadeia são

obtidas as estimativas de Monte Carlo. A implementação dos algoritmos de simulação

foi feita em linguagem C e as análises das Cadeias de Markov foram feitas no software

47

48

R (R Development Core Team 2011). Todas as simulações foram feitas utilizando um

computador equipado com processador core 2 duo de 2,0 GHz, 3 GB de memória RAM

e utilizando o sistema operacional Windows 7.

Os valores escolhidos para os hiperparâmetros das distribuições a priori são: µν =

µk = µa = µb = µωi = µαi = µβi = 0 e σ2ν = σ2

k = σ2a = σ2

b = σ2ωi

= σ2αi

= σ2βi

= 100,

para i = 1, . . . ,m. Desta forma, obtemos prioris com informação vaga em quase todo

espaço paramétrico, exceto para os parâmetros de assimetria, os quais utilizam as

prioris descritas no Capítulo 3.

As Cadeias de Markov geradas na primeira etapa são de tamanho 15 mil, sendo

as primeiras 5 mil descartadas como amostra de aquecimento. Na segunda etapa para

os modelos univariados são geradas cadeias de tamanho 50 mil, sendo as primeiras 20

mil descartadas, nos modelos multivariados são geradas cadeias de tamanho 200 mil,

sendo as primeiras 30 mil descartadas. As cadeias resultantes são considerados com

intervalos de 5 em 5, obtendo assim as simulações finais de tamanho 6 mil para os

modelos univariados e de 34 mil para os modelos multivariados. Para o conjunto de

dados univariado, o tempo computacional de cada modelo foi inferior a 1 minuto e para

o conjunto de dados multivariado o tempo computacional de cada modelo foi inferior

a 10 minutos. Para seleção dos melhores modelos são considerados os critérios EAIC,

EBIC e DIC, apresentados em detalhes no Capítulo 4.

A seguir utilizaremos as distribuições simétricas e assimétricas para os erros dos

modelos GARCH(1,1) e os aplicaremos a um conjunto de dados reais para assim sele-

cionaremos o melhor modelo com base nos critérios mencionados.

5.1 Modelo Univariado 49

5.1 Modelo Univariado

O conjunto de dados utilizado consiste nos retornos diários do Índice da Bolsa de

Valores de São Paulo (IBOVESPA), os retornos considerados foram multiplicados por

100 e partem do dia 02/01/2001 até o dia 28/12/2007, totalizando 1750 observações. Os

gráficos da série, dos retornos, das autocorrelações dos retornos e das autocorrelações

dos retornos ao quadrado são apresentados na Figura 5.1. Observe que mesmo tendo

uma forte tendencia de crescimento na série (gráfico (a)) os retornos (gráfico (b)) não

apresentaram autocorrelações (gráfico (c)). Por outro lado, os retornos ao quadrado

possuem autocorrelação para algumas defasagens (gráfico (d)), vimos no Capítulo 1

que essas características são comuns em retornos de séries temporais financeiras.

As estimativas das médias a posteriori dos parâmetros de cada modelo estão dispo-

níveis nas Tabelas de A.1 à A.6 do Apêndice A.

A Tabela 5.1 apresenta a média a posteriori dos critérios de Akaike e Bayesino

(EAIC e EBIC) e o critério de desvio de informação (DIC). Pela Tabela 5.1, temos que

o modelo com erros SST foi selecionado pelos três critérios. Tendo o modelo SST sido

selecionado como o melhor modelo, nas próximas análises será utilizado apenas este

modelo.

Tabela 5.1: Critérios para seleção dos modelos univariados.

Modelo EAIC EBIC DICN 6913,49 6929,89 6910,09ST 6889,27 6911,14 6884,76GED 6891,98 6913,85 6887,54SSN 6895,22 6917,09 6890,93SST 6877,23 6904,57 6871,63

SSGED 6880,98 6908,32 6875,72

Para testar as hipóteses de não autocorrelação dos resíduos assim como dos resíduos


(a)

Tempo

Obs

erva

ções

0 500 1000 1500

1020

3040

5060

(b)

Tempo

Ret

orno

s

0 500 1000 1500

−10

−5

05

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

(c)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

(d)

Figura 5.1: Série do IBOVESPA de 02/01/2001 até 28/12/2007. (a) Gráfico da série;(b) Gráfico dos retornos; (c) Gráficos das autocorrelações dos retornos e (d) Gráficodas autocorrelações do quadrado dos retornos.

ao quadrado é comum a utilização do teste de Box-Ljung. Aplicando esse teste com

defasagem igual a 20 aos resíduos do modelo com erros SST obtivemos a estatística

χ2 = 20, 50, resultando em um p-valor igual 0, 42. O mesmo teste foi aplicado aos re-

síduos ao quadrado, a estatística foi χ2 = 19, 55 e o p-valor igual a 0, 48. Desta forma,

com nível de significância 0, 05 a hipótese dos resíduos serem não autocorrelacionados

não foi rejeitada, assim como a hipótese dos resíduos ao quadrado serem não autocor-

relacionados. A Figura 5.2 apresenta no gráfico da esquerda o histograma dos resíduos

com a distribuição de probabilidade sobreposta, no gráfico da direita é apresentado o

qqplot dos quantis dos resíduos com os quantis teóricos da densidade SST , utilizando

os valores estimados para os parâmetros de peso nas caudas (ν) e de assimetria (γ).


−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

●

●● ●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●

●

−4 −2 0 2

−4

−2

02

4

Quantis amostrais

Qua

ntis

Teó

ricos

Figura 5.2: A esquerda o histograma dos resíduos com a distribuição de probabilidadedos erros sobreposta e a direita o gráfico qqplot dos resíduos do modelo com erros SST .

Uma das vantagens na utilização da abordagem Bayesiana é que podemos analisar

a distribuição a posteriori dos parâmetros ou mesmo de uma função dos parâmetros.

Assim podemos analisar a distribuição da persistência da volatilidade (α + β). A Fi-

gura 5.3 apresenta no gráfico direito a distribuição da persistência da volatilidade e no

gráfico esquerdo a distribuição do parâmetro de assimetria (γ) para o modelo GARCH

com erros SST . Nestes gráficos, temos que os retornos da série do IBOVESPA apre-

sentaram assimetria a esquerda, veja que praticamente toda a massa de probabilidade

do γ está a esquerda do 1,0 (valor de simetria). A série também apresentou um alto

grau de persistência na volatilidade, observe que aproximadamente toda a massa de

probabilidade está entre 0,90 e 1,0, sendo 1,0 o valor máximo. Os traço da Cadeia

de Markov, as densidades aproximadas e os gráficos das autocorrelações de todos os

parâmetros do modelo GARCH(1,1) com erros SST podem ser observados na Figura

B.1 do Apêndice B.

A Figura 5.4 apresenta o gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo com erros

SST , lembre que estamos utilizando os retornos multiplicados por 100 e portanto as

volatilidades estão multiplicadas por 10000.


0.80 0.90 1.00

02

46

812

(a)

gamma

0.85 0.90 0.95 1.00

05

1015

2025

(b)

alpha_1 + beta_1

Figura 5.3: (a) Densidade a posteriori do parâmetro de assimetria (γ) e (b) densidadea posteriori da persistência (α1 + β1), para o modelo com erros SST .

tempo

Vol

atili

dade

s

0 500 1000 1500

24

68

1012

14

Figura 5.4: Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo GARCH(1,1) com errosSST e intervalo com 95% de credibilidade.

5.2 Modelo Multivariado 53

5.2 Modelo Multivariado

Como exemplo de aplicação do modelo multivariado serão utilizados os retornos diários

do índices das bolsas de valores de Frankfurt(DAX), Paris(CAC40) e Tokio(Nikkei) no

período de 04/10/1991 à 30/12/1997, totalizando 1627 dias observados. Esses dados

estão disponíveis em http://robjhyndman.com/tsdldata/data/FVD1.dat. Na Figura

5.5 são apresentados os gráficos das séries na primeira coluna e dos respectivos retornos

na segunda coluna. Os retornos considerados neste exemplo estão multiplicados por

100.

DAX

Tempo

Obs

erva

ções

0 500 1000 1500

1500

3000

4500

DAX

Tempo

Ret

orno

s

0 500 1000 1500

−5

05

CAC40

Tempo

Obs

erva

ções

0 500 1000 1500

2000

3000

CAC40

Tempo

Ret

orno

s

0 500 1000 1500

−4

02

46

NIKKEI

Tempo

Obs

erva

ções

0 500 1000 1500

1400

020

000

NIKKEI

Tempo

Ret

orno

s

0 500 1000 1500

−6

−2

26

Figura 5.5: Gráficos da série e dos retornos dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI.


A Figura 5.6 apresenta na primeira coluna as autocorrelações dos retornos e na

segunda coluna as autocorrelações no quadrado dos retornos. Observe que, assim como

ocorreu com índice IBOVESPA no exemplo do modelo univariado, aqui também temos

as series dos retornos sem autocorrelação, mas as séries dos retornos ao quadrado com

autocorrelação.

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

DAX

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

DAX

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

CAC40

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

CAC40

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

NIKKEI

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

NIKKEI

Figura 5.6: Autocorrelações dos retornos (primeira coluna) e dos retornos ao quadrado(segunda coluna) dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI.

As estimativas dos modelos estão nas Tabelas de A.7 à A.12 do Apêndice A. A

Tabela 5.2 apresenta os critério de seleção de modelos obtidos pelo modelo multivariado

para cada uma das distribuições de probabilidade para os erros estudadas. Nesta tabela

podemos notar que os critérios EAIC e DIC selecionaram o modelo com erros SST como


sendo melhor e o critério EBIC selecionou o modelo com erros ST . Como o modelo

com erros SST foi selecionado pela maioria dos critérios, nas próximas análises será

utilizado apenas esse modelo.

Tabela 5.2: Critérios para seleção dos modelos multivariados.

Modelos EAIC EBIC DICN 13969,37 14028,71 13957,53ST 13823,24 13887,97 13810,36GED 13841,78 13906,52 13828,97SSN 13962,56 14038,09 13947,62SST 13819,53 13900,45 13803,32

SSGED 13839,34 13920,25 13823,48

Aplicando o teste de Ljung-Box com defasagem igual a 20 aos resíduos marginais

ao quadrado para cada uma das séries, obtivemos as estatísticas 9, 44, 25, 81 e 6, 97

resultando em p-valores iguais a 0, 97, 0, 17 e 0, 99 para as séries DAX, CAC40 e

NIKKEI, respectivamente. Desta forma, com nível de significância 0, 05 a hipótese

nula de não autocorrelação nos resíduos ao quadrado não foi rejeitada para nenhuma

série. A Figura 5.2 apresenta na coluna esquerda os histogramas dos resíduos com o

gráfico da distribuição de probabilidade marginal sobreposta, na coluna da direita são

apresentados os gráficos qqplots dos quantis dos resíduos com os quantis teóricos das

respectivas distribuições de probabilidade maginais.

A distribuição da posteriori da assimetria presente em cada uma das séries podem

ser analisadas na coluna esquerda da Figura 5.8, juntamente com as respectivas per-

sistências na coluna direita. Neste caso, temos que apenas os retornos da série DAX

apresentaram um significativo grau de assimetria, observe que o 1, 0 está fora da massa

de probabilidade. Para todas as série, a volatilidade apresentou um alto grau de per-

sistência, observe que a massa de probabilidade concentrou-se acima de 0, 90 nos três

gráficos. Os traço da Cadeia de Markov, as densidades aproximadas e os gráficos das

autocorrelações de todos os parâmetros do modelo DCC-GARCH(1,1) com erros SST


−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

DAX

x

f(x)

●

●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●

●

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Quantis amostrais

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Figura 5.7: Histogramas dos resíduos com as respectivas distribuições marginais sobre-postas na coluna esquerda e gráficos qqplots dos resíduos na coluna da direita: modelocom erros SST .

podem ser observados nas Figuras B.2 a B.5 do Apêndice B.


Figura 5.8: Densidade a posteriori dos parâmetros de assimetrias (γ) e das persistências(α1 + β1) do modelo com erros SST .


DAX

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s

0 500 1000 1500

04

812

Figura 5.9: Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo DCC-GARCH(1,1) comerros SST e intervalo com 95% de credibilidade.

Capítulo 6

Considerações Finais e Conclusão

Nesta dissertação estudamos o modelo GARCH e uma de suas generalizações multi-

variadas, o modelo Dynamic Condicional Correlation GARCH (DCC-GARCH). Na

literatura, as distribuições de probabilidade mais utilizadas para os erros do modelo

GARCH, assim como as versões multivariadas para os erros do modelo DCC-GARCH,

são a Normal, a t-Student e a GED, em suas versões padronizadas. Para essas distri-

buições de probabilidade no Capítulo 2 aplicamos o método apresentado em Bauwens

& Laurent (2005) para inserir assimetria e obtivemos assim versões assimétricas dessas

distribuições. A utilização de distribuições de probabilidade assimétricas para os erros

dos modelos GARCH consiste em uma alternativa para modelar o grau de assimetria

presente na volatilidade dos retornos de uma determinada série.

A abordagem Bayesiana para estimação desses modelos traz algumas vantagens,

como facilidade de interpretação e possibilidade de inserir informação a priori para

os parâmetros, mas está é pouco utilizada na literatura. Assim, como contribuição,

no Capítulo 3 fizemos o desenvolvimento de dois algoritmos Metropolis-Hastings para

simular da distribuição a posteriori dos parâmetros. Pela grande quantidade de cálculos

matemáticos e loops envolvidos nesses algoritmos foi necessária a utilização de uma

59

60

linguagem de baixo nível para a implementações. Optou-se então pela linguagem C, a

qual é considerada uma das linguagens mais eficientes para este tipo de aplicação. O

programa e o código fonte podem ser solicitados diretamente ao autor.

No Capítulo 4 foi feito um estudo de simulação com dados univariados, no qual pu-

demos obter um indicativo de que os critérios EAIC, EBIC e DIC são adequados para

distinguir entre os diversos modelos que trabalhamos nesta dissertação. Um exemplo

de aplicação do modelo GARCH e do modelo DCC-GARCH utilizando todas as dis-

tribuições de probabilidade estudadas nessa dissertação foi apresentada no Capítulo 5.

Neste exemplo e em outros testes preliminares os algoritmos com implementação em

linguagem C mostraram-se eficientes para gerar amostras da distribuição a posteriori,

gerando Cadeias de Markov longas (no Capítulo 5 foram geradas 50 mil para o GARCH

e 200 mil para o DCC-GARCH) em tempos computacionais aceitáveis (inferior a 1 mi-

nuto para o GARCH e inferior a 10 minutos para o DCC-GARCH).

Pelos critérios de seleção de modelos pudemos notar a melhor adequação dos mode-

los quando utilizam uma distribuição de probabilidade assimétrica para os erros, sendo

que nesses exemplos os modelos GARCH e DCC-GARCH selecionados, foram os que

utilizavam a distribuição de probabilidade SST (Standard Skew t-Student).

Como proposta de trabalhos futuros destacamos:

1. Estudo de simulação com os modelos multivariados;

2. Comparação dos modelos utilizando a estimava do VaR (Valor em Risco);

3. Utilização das distribuições assimétricas obtidas no Capítulo 2 para os modelos

de Volatilidade Estocástica Multivariados.

Referências

Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification. IEEE Tran-

sactions on Automatic Control 19 (6), 716–723.

Ardia, D. (2006). Bayesian estimation of the GARCH(1,1) model with normal inno-

vations. Student 5 (3-4), 283–298.

Ardia, D. (2008). Financial Risk Management with Bayesian Estimation of GARCH

Models: Theory and Applications, Volume 612 of Lecture Notes in Economics

and Mathematical Systems. Springer-Verlag.

Ardia, D. (2009). Bayesian estimation of a Markov-switching threshold asymmetric

GARCH model with Student-t innovations. Econometrics Journal 12 (1), 105–

126.

Ardia, D. (2011). bayesGARCH: Bayesian Estimation of the GARCH(1,1) Model

with Student-t Innovations in R. version 1-00.08.

Ausin, M. C. & Galeano, P. (2007). Bayesian estimation of the Gaussian mixture

GARCH model. Computational Statistics and Data Analysis 51, 2636–2652.

Azzaline, A. & Capitanio, A. (2003). Distributions generated by perturbations of

symmetry with emphasis on a multivariate skew-t distribution. Journal of the

Royal Statistical Society B (65), 367–389.

Azzalini, A. (1985). A class of distribubutions which includes the normal ones. Scan-

dinavian Journal of Statistics (12), 171–178.

61

REFERÊNCIAS 62

Baillie, R. & Bollerslev, T. (1989). The message in daily exchange rates: A conditi-

onal variance tale. Journal of Business and Economic Statistics 7 (3), 297–305.

Barossi-Filho, M., Achcar, J. & Souza, R. (2010). Modelos de volatilidade estocás-

tica em séries financeiras: uma aplicação para o IBOVESPA. Economia Apli-

cada 14 (1), 25–40.

Bauwens, L. & Laurent, S. (2005). A new class of multivariate skew densities, with

application to generalized autoregressive conditional heteroscedasticity models.

Journal of Business and Economic Statistics 23, 346–354.

Bauwens, L., Laurent, S. & Rombouts, J. V. K. (2006). Multivariate GARCHmodels:

a survey. Journal of Applied Econometrics 21 (1), 79–109.

Bauwens, L., Preminger, A. & Rombouts, V. K. (2008). Theory and inference for

a Markov switching GARCH model. Technical report, CORE Discussion Paper

2007/55.

Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity.

Journal of Econometrics 31, 307–327.

Bollerslev, T. (1990). Modeling the coherence in short-run nominal exchange rates:

a multivariate generalized arch model. Review of Economics and Statistics 72,

498–505.

Bollerslev, T., Engle, R. F. & Wooldridge, J. M. (1988). A capital asset pricing model

with time varying covariances. Journal of Political Economy (96), 116–131.

Branco, M. & Dey, D. (2001). A class of multivariate skew-elliptical distribution.

Journal of Multivariate Analysis (79), 79–113.

Brooks, S. P. (2002). Discussion on the paper by Spiegelhalter, Best,Carlin, and van

der Linde (2002). Journal of the Royal Statistical Society B 64, 616–618.

Cappuccio, N., Lubian, D. & Raggi, R. (2004). MCMC Bayesian estimation of a

REFERÊNCIAS 63

skew-GED stochastic volatility model. Studies in Nonlinear Dynamics and Eco-

nometrics 8 (2).

Carlin, B. P. & Louis, T. A. (2001). Bayes and Empirical Bayes Methods for Data

Analysis (second ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.

Casella, G. & George, R. (1992). Explaining the Gibbs sampler. The American Sta-

tistician 46 (3), 167–174.

Chib, S. & Greenberg, E. (1995). Understanding the Metropolis-Hastings algorithm.

The American Statistician 49 (4), 327–335.

Ding, Z., Granger, C. & Engle, R. (1993). A long memory property of stock market

returns and a new model. Journal of Empirical Finance 1 (1), 83–106.

Engle, R. (1982). Autoregressive conditional heterokedasticity with estimates of the

variance of U.K. inflation. Econometrica 55, 987–1008.

Engle, R. F. (2002). Dynamic conditional correlation - a simple class of multivariate

GARCH models. Journal of Business and Economic Statistics 20, 339–350.

Engle, R. F. & Kroner, F. K. (1995). Multivariate simultaneous generalized arch.

Econometric Theory (11), 122–150.

Fernandez, C. & Steel, M. (1998). On bayesian modeling of fat tails and skewness.

Journal of the American Statistical Association 93 (441), 359–371.

Giller, G. (2005). A generalized error distribution. Guiller Investments, 1–7.

20031222/1.

Glosten, L., Jagannathan, R. & Runkle, D. (1993). Relationship between the expec-

ted value and the volatility of the nominal excess return on stocks. Journal of

Finance 48, 1779–1801.

Gómez, E., Gómez-Villegas, M. & Marín, J. (1998). A multivariate generalization

of the power exponential family of distributions. Communications in Statistics -

REFERÊNCIAS 64

Theory and Methods 27 (3), 598–600.

Jacquier, E., Polson, N. & Rossi, P. (1994). Bayesian analysis of stochastic volatility

models. Journal of Business and Economic Statistics 12, 371–418.

Jones, M. C. & Faddy, M. J. (2003). A skew extension of the t-distribution, with

applications. Journal of the Royal Statistical Society B (65), 159–174.

Kim, S., Shepard, N. & Chib, S. (1998). Stochastic volatility: likelihood inference

comparison with ARCH models. Review of Economic Studies 65, 361–393.

Laurent, S. (2004). Analytical derivates of the APARCH Model. Computational Eco-

nomics 24, 51–57. 10.1023/B:CSEM.0000038851.72226.76.

Liesenfeld, R. & Jung, R. C. (2000). Stochastic volatility models: conditional nor-

mality versus heavy-tailed distributions. Journal of Applied Econometrics 15,

137–60.

Lynch, S. (2007). Introduction to Applied Bayesian Statistics and Estimation for

Social Scientists. Springer.

Morettin, P. (2008). Econometria Financeira - Um Curso em Séries Temporais Fi-

nanceiras. Edgar Blucher.

Nakatsuma, T. (1998). A Markov-chain sampling algorithm for GARCH models.

Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics 3 (2), 107–117.

Nelson, D. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach.

Econometrica 59, 347–370.

Pipien, M. (2006). Bayesian comparison of GARCH processes with skewness mecha-

nism in conditional distributions. Acta Physica Polonica 37 (11), 3105–3121.

R Development Core Team (2011). R: A Language and Environment for Statistical

Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing.

REFERÊNCIAS 65

Schwarz, G. (1978). Estimating the dimension of a model. Annals of Statistics 6 (2),

461–464.

Spiegelhalter, D. J., Best, N. G., Carlin, B. P. & Van der Linde, A. (2002). Bayesian

measures of model complexity and fit. Journal of the Royal Statistical Society

B 64, 583–639.

Taylor, S. (1982). Financial returns modelled by the product of two stochastic

processes-a study of the daily sugar prices 1961-75. In O. Anderson (Ed.), Time

Series Analysis: Theory and Practice, Volume 1, pp. 203–226.

Tierney, L. (1994). Markov chains for exploring posterior distributions. The Annals

of Statistics 22 (4), 1701–1728.

Tse, Y. K. & Tsui, A. K. C. (2002). A multivariate GARCH model with time-varying

correlations. Journal of Business and Economic Statistics 20, 351–362.

Apêndice A

Estimativa Bayesiana dos

parâmetros dos modelos

Tabela A.1: Estimativas do GARCH univariado com erros N .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)

ω 0,1478 0,0559 0,0663 0,1384 0,2793α 0,0591 0,0119 0,0387 0,0581 0,0850β 0,8944 0,0253 0,8363 0,8974 0,9353

Tabela A.2: Estimativas do GARCH univariado com erros SSN .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)

γ 0,8651 0,0285 0,8095 0,8642 0,9242ω 0,1380 0,0498 0,0612 0,1308 0,2568α 0,0557 0,0119 0,0360 0,0544 0,0822β 0,9014 0,0237 0,8468 0,9039 0,9403

66

67

Tabela A.3: Estimativas do GARCH univariado com erros ST .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)

ω 0,1271 0,0552 0,0491 0,1158 0,2609α 0,0550 0,0130 0,0336 0,0536 0,0869β 0,9060 0,0260 0,8415 0,9099 0,9450ν 10,4553 2,2843 7,0148 10,1673 16,1046

Tabela A.4: Estimativas do GARCH univariado com erros SST .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)

γ 0,8797 0,0298 0,8219 0,8794 0,9387ω 0,1242 0,0536 0,0472 0,1145 0,2551α 0,0541 0,0124 0,0343 0,0528 0,0821β 0,9088 0,0244 0,8496 0,9125 0,9457ν 11,3308 2,8419 7,2843 10,8319 18,1619

Tabela A.5: Estimativas do GARCH univariado com erros GED.Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)

ω 0,1433 0,0627 0,0551 0,1318 0,2910α 0,0582 0,0136 0,0351 0,0572 0,0876β 0,8976 0,0282 0,8319 0,9013 0,9409k 1,5064 0,0731 1,3625 1,5056 1,6521

Tabela A.6: Estimativas do GARCH univariado com erros SSGED.Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)

γ 0,8948 0,0283 0,8387 0,8953 0,9481ω 0,1373 0,0576 0,0537 0,1272 0,2714α 0,0562 0,0137 0,0326 0,0550 0,0863β 0,9023 0,0263 0,8472 0,9056 0,9437k 1,5642 0,0769 1,4157 1,5663 1,7105

68

Tabela A.7: Estimativas do GARCH multivariado com erros N .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)ω (DAX) 0,0354 0,0093 0,0202 0,0344 0,0565α (DAX) 0,0781 0,0137 0,0541 0,0771 0,1076β (DAX) 0,8843 0,0196 0,8415 0,8858 0,9188ω (CAC40) 0,0459 0,0144 0,0256 0,0433 0,0810α (CAC40) 0,0450 0,0096 0,0285 0,0441 0,0661β (CAC40) 0,9160 0,0183 0,8728 0,9186 0,9437ω (NIKKEI) 0,0567 0,0148 0,0321 0,0553 0,0898α (NIKKEI) 0,0886 0,0139 0,0645 0,0875 0,1189β (NIKKEI) 0,8840 0,0179 0,8454 0,8852 0,9149

a 0,0381 0,0137 0,0138 0,0374 0,0671b 0,5860 0,1749 0,1493 0,6192 0,8394

Tabela A.8: Estimativas do GARCH multivariado com erros SSN .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)γ (DAX) 0,8917 0,0273 0,8390 0,8912 0,9462ω (DAX) 0,0359 0,0095 0,0204 0,0349 0,0577α (DAX) 0,0762 0,0134 0,0527 0,0752 0,1054β (DAX) 0,8861 0,0196 0,8436 0,8875 0,9206γ (CAC40) 1,0345 0,0332 0,9724 1,0334 1,1030ω (CAC40) 0,0468 0,0149 0,0259 0,0442 0,0832α (CAC40) 0,0443 0,0095 0,0282 0,0435 0,0653β (CAC40) 0,9161 0,0184 0,8726 0,9189 0,9439γ (NIKKEI) 1,0225 0,0294 0,9662 1,0220 1,0815ω (NIKKEI) 0,0569 0,0150 0,0321 0,0552 0,0902α (NIKKEI) 0,0890 0,0139 0,0649 0,0879 0,1195β (NIKKEI) 0,8840 0,0179 0,8444 0,8854 0,9146

a 0,0387 0,0140 0,0135 0,0379 0,0683b 0,5801 0,1729 0,1610 0,6110 0,8366

69

Tabela A.9: Estimativas do GARCH multivariado com erros ST .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)ω (DAX) 0,0270 0,0092 0,0125 0,0258 0,0484α (DAX) 0,0678 0,0141 0,0442 0,0665 0,0990β (DAX) 0,9065 0,0201 0,8618 0,9085 0,9400ω (CAC40) 0,0426 0,0153 0,0213 0,0398 0,0801α (CAC40) 0,0393 0,0098 0,0227 0,0384 0,0611β (CAC40) 0,9279 0,0180 0,8847 0,9306 0,9551ω (NIKKEI) 0,0374 0,0127 0,0171 0,0360 0,0660α (NIKKEI) 0,0849 0,0138 0,0611 0,0838 0,1147β (NIKKEI) 0,8998 0,0161 0,8647 0,9012 0,9273

a 0,0424 0,0147 0,0157 0,0417 0,0738b 0,6624 0,1408 0,3132 0,6862 0,8669ν 8,1332 0,8491 6,6453 8,0770 9,9646

Tabela A.10: Estimativas do GARCH multivariado com erros SST .Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)γ (DAX) 0,8989 0,0292 0,8425 0,8985 0,9571ω (DAX) 0,0276 0,0093 0,0129 0,0265 0,0488α (DAX) 0,0675 0,0138 0,0439 0,0662 0,0978β (DAX) 0,9071 0,0198 0,8634 0,9088 0,9405γ (CAC40) 1,0450 0,0336 0,9803 1,0443 1,1119ω (CAC40) 0,0442 0,0166 0,0225 0,0409 0,0848α (CAC40) 0,0392 0,0096 0,0230 0,0383 0,0606β (CAC40) 0,9270 0,0187 0,8827 0,9299 0,9539γ (NIKKEI) 1,0079 0,0308 0,9486 1,0072 1,0691ω (NIKKEI) 0,0378 0,0127 0,0173 0,0364 0,0667α (NIKKEI) 0,0853 0,0138 0,0614 0,0842 0,1154β (NIKKEI) 0,8997 0,0162 0,8639 0,9009 0,9275

a 0,0433 0,0148 0,0163 0,0426 0,0741b 0,6495 0,1426 0,2938 0,6747 0,8548ν 8,1533 0,8477 6,6878 8,0850 9,9988

70

Tabela A.11: Estimativas do GARCH multivariado com erros GED.Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)ω (DAX) 0,0367 0,0114 0,0188 0,0352 0,0634α (DAX) 0,0742 0,0158 0,0477 0,0728 0,1091β (DAX) 0,8889 0,0232 0,8376 0,8912 0,9278ω (CAC40) 0,0477 0,0180 0,0239 0,0443 0,0908α (CAC40) 0,0432 0,0106 0,0251 0,0421 0,0668β (CAC40) 0,9187 0,0211 0,8693 0,9220 0,9496ω (NIKKEI) 0,0538 0,0166 0,0269 0,0519 0,0919α (NIKKEI) 0,0929 0,0165 0,0651 0,0915 0,1293β (NIKKEI) 0,8812 0,0207 0,8352 0,8831 0,9164

a 0,0386 0,0128 0,0158 0,0380 0,0659b 0,6473 0,1446 0,2707 0,6735 0,8525k 1,3849 0,0390 1,3095 1,3846 1,4629

Tabela A.12: Estimativas do GARCH multivariado com erros SSGED.Parâmetros Média Desv. Pad. Perc. (2,5%) Mediana Perc. (97,5%)γ (DAX) 0,9078 0,0284 0,8537 0,9074 0,9640ω (DAX) 0,0361 0,0114 0,0181 0,0347 0,0622α (DAX) 0,0729 0,0156 0,0467 0,0714 0,1073β (DAX) 0,8916 0,0231 0,8402 0,8939 0,9307γ (CAC40) 1,0352 0,0296 0,9816 1,0336 1,0963ω (CAC40) 0,0476 0,0172 0,0244 0,0445 0,0890α (CAC40) 0,0425 0,0105 0,0245 0,0416 0,0660β (CAC40) 0,9195 0,0204 0,8721 0,9225 0,9496γ (NIKKEI) 1,0145 0,0278 0,9612 1,0140 1,0707ω (NIKKEI) 0,0544 0,0170 0,0275 0,0523 0,0935α (NIKKEI) 0,0932 0,0169 0,0645 0,0917 0,1301β (NIKKEI) 0,8809 0,0212 0,8345 0,8828 0,9170

a 0,0392 0,0132 0,0155 0,0384 0,0672b 0,6355 0,1472 0,2500 0,6606 0,8476k 1,3923 0,0398 1,3152 1,3922 1,4721

Apêndice B

Gráficos da simulação a posteriori

dos parâmetros do modelo

DCC-GARCH com erros SST

71

72

Figura B.1: Na coluna da esquerda os traços, na centro os gráficos das densidadesaproximadas e na direita o gráfico das autocorrelações da simulação da distribuição aposteriori dos parâmetros do modelo GARCH(1,1) com erros SST aplicado ao conjuntode dados univariado do Capítulo 5.

73

Figura B.2: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelaçõesdo parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a série DAX. Modeloajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do Capítulo5.

74

Figura B.3: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrela-ções do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a série CAC40.Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados doCapítulo 5.

75

Figura B.4: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelaçõesdo parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a série NIKKEI.Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados doCapítulo 5.

76

Figura B.5: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelaçõesdos parâmetros de correlação e do parâmetro de peso nas caudas. Modelo ajustado:GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do Capítulo 5.

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