Modelagem e Comportamento Dinâmico de um Sistema com Rigidez

Não-Linear e Amortecimento Eletromecânico

Adriano César Mazotti UNESP - FEB - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

17033-360, Bauru, SP

adriano-mazotti@hotmail.com

Bento Rodrigues de Pontes Jr. , Marcos Silveira UNESP - Universidade Estadual Paulista, FEB, DEM

17033-360, Bauru, SP

brpontes@feb.unesp.br, m.silveira@feb.unesp.br

José Manoel Balthazar

UNESP - Universidade Estadual Paulista, IGCE, DEMAC

13506-900, Rio Claro, SP

jmbaltha@rc.unesp.br

Resumo: A facilidade de controle dos parâmetros elétricos num dispositivo eletromecânico faz

com que essa classe de equipamentos possua uma ampla gama de aplicações em ambientes

industriais e não-industriais. Esses dispositivos aparecem em aplicações como atuadores,

absorvedores de vibrações (amortecedores), sensores e, também, em captadores de energia

(energy harvester). Esse trabalho apresenta resultados do estudo de um sistema eletromecânico

com rigidez não-linear. O problema tratado tem a configuração de um absorvedor de vibrações

(amortecedor) eletromecânico interagindo com um sistema mecânico vibratório. Os resultados

apresentam as influências dos componentes elétricos (resistência e capacitância) em relação ao

efeito do amortecimento eletromecânico agindo sobre o subsistema mecânico e as faixas onde

ocorrem comportamentos caóticos, que podem ou não ser desejáveis dependendo da aplicação do

dispositivo.

Palavras Chave: Amortecedor Eletromecânico, Controle de Vibrações, Comportamento Caótico

1. Introdução

Os dispositivos que operam utilizando sistemas compostos de subsistemas de diferentes

domínios físicos (mecânico, elétrico, etc..) tem se tornado foco de uma ampla gama de pesquisas.

Para aplicações industriais ou para a criação de novos produtos de uso pessoal, os dispositivos

complexos multi-domínio tornaram se uma alternativa em substituição a dispositivos mais simples,

que são constituídos por apenas um domínio físico e com funções bastante limitadas. Esses

denominados sistemas multi-domínio, principalmente os eletromecânicos, podem ser usados em

uma vasta gama de aplicações, por exemplo, amortecedores [11], atuadores e dispositivos

piezoelétricos [3], captadores de energia mais conhecidos como dispositivos de colheita de energia

(energy harvester) [6]. A gama de utilização se estende ao uso aeroespacial, naval, médico,

industrial, automobilístico, civil e vários outros. A vertente que pode fazer o uso crescer ainda mais

é a possibilidade de transformar movimento ou vibração (energia cinética) em energia elétrica [5].

Uma configuração de amortecedor (absorvedor) magnetoreológico foi aplicada num sistema

vibratório (tipo Duffing) por Tusset e Balthazar [9], e nesse estudo o foco foi a supressão do

comportamento caótico nesse sistema dinâmico. Um estudo sobre absorvedores de vibração foi

apresentado por Felix, Chong e Balthazar através de resultados obtidos com simulações numéricas

sobre redução do efeito Sommerfeld em estruturas excitadas por motor CC alimentado com fonte

de potência limitada, cuja estrutura continha rigidez não-linear e amortecimento devido a materiais

viscoelásticos [4]. Bayiroğlu, Alişverişçi e Ünal estudaram a resposta de transportadores oscilantes

não-lineares excitados por fonte não-ideal (potência limitada). Essa pesquisa mostrou a resposta

através de estudo analítico e numérico do problema [2]. Um exemplo importante é o das aplicações

654

energéticas, nas quais os dispositivos de colheita de energia (energy harvester) como apresentado

no trabalho de Abedelkefi, Hajj e Nayfeh que trata de cilindros oscilantes acoplados a dispositivos

piezelétricos, cujas vibrações dos cilindros submersos em meio fluido, são induzidas por vórtices, e

os dispositivos piezelétricos agem como transdutores captando a energia mecânica da vibração e

convertendo em energia elétrica. Esse estudo mostrou a interferência da carga resistiva e da carga

capacitiva presente em materiais piezelétricos [1]. Uma das aplicações dos dispositivos

piezelétricos é a substituição de pequenas baterias em sistemas embarcados e/ou de operação

remota [8]. A grande capacidade de variações e aplicações dos dispositivos eletromecânicos

resultou em diversos resultados de pesquisas. A diversidade de métodos de modelagem e de

variação de parâmetros a ponto de adequar o modelo a uma utilização, ou a outra, mostra que a

pesquisa sobre os sistemas multi-domínio ainda tem muitas configurações para serem exploradas.

Nesse artigo apresenta-se a modelagem e análise do comportamento dinâmico de um sistema

eletromecânico (multi-domínio) de dois graus de liberdade, sendo um mecânico e um elétrico. O

subsistema mecânico é constituído de inércia (massa), rigidez e o amortecimento viscoso linear. O

subsistema elétrico é um circuito RLC em série, ou seja, tem resistência, indutância e capacitância.

Os dois subsistemas são acoplados através de um transdutor de bobina móvel. O objetivo foi obter

conhecimento sobre o comportamento dinâmico desse sistema eletromecânico. Mostra-se a

influência sobre o amortecimento aparente do subsistema mecânico através do ajuste dos

parâmetros elétricos, principalmente a resistência e a capacitância. Os resultados existentes e

técnicas utilizadas em outras pesquisas servem de base para a pesquisa desenvolvida nesse artigo.

2. Representação do Sistema Eletromecânico

O modelo proposto consiste de um sistema eletromecânico, formado por dois domínio de

natureza física distinta, sendo modelado pelas leis físicas correspondentes. Neste trabalho, o

subsistema mecânico, também chamado de domínio mecânico será considerado como uma inércia,

uma rigidez e um amortecedor, cujos parâmetros são: massa ; rigidez elástica linear , rigidez

elástica não-linear e amortecimento viscoso linear . Uma força de excitação harmônica externa

é aplicada sobre a massa m do corpo. O subsistema elétrico, ou domínio elétrico, é

representado pelos componentes da indutância , a capacitância e a resistência , sendo

considerado o circuito RLC com ligação em série.

O transdutor de energia é o dispositivo responsável pela conversão de energia entre um

domínio e outro, em outras palavras, comuta a energia de uma natureza, em energia de uma

natureza diferente. Um microfone é um exemplo de transdutor, que transforma sons em impulsos

elétricos. Outros tipos de transdutores foram estudados para conversão de energia mecânica em

energia eléctrica, os dispositivos piezoelétricos [10] e os transdutores eletrostáticos [7,10]. No

presente trabalho, o tipo de transdutor utilizado é um transdutor de bobina móvel, cuja função é

converter excitação mecânica em corrente elétrica e vice-versa [5].

A excitação harmônica externa é aplicada no subsistema mecânico. Pelo fato de ser

aplicada ao conjunto mecânico, faz com que o transdutor ligado ao circuito RLC comporte-se como

um amortecedor. A Figura 1 mostra o esquema dos dois subsistemas ligados formando o sistema

eletromecânico.

Figura 1: Representação esquemática do sistema eletromecânico.

655

3. Equações Governantes da Dinâmica

A partir da modelagem matemática do sistema eletromecânico apresentado nesse estudo, são

realizadas duas análises do comportamento dinâmico: uma sobre o sistema na forma linear (rigidez

linear) e uma sobre o sistema com rigidez não-linear. As equações foram obtidas pela dedução das

energias cinética e potencial, para o domínio mecânico, e pelas energias magnética e elétrica para o

domínio elétrico, com aplicação das equações de Lagrange [5]. As equações do transdutor

eletromecânico de bobina móvel relacionam a força mecânica aplicada a bobina móvel com a

corrente elétrica e a tensão elétrica gerada nos terminais da bobina com a velocidade [5].

Respeitando a geometria vetorial presente no transdutor, mostrada na figura 2 abaixo, as equações

podem ser expressas de acordo como é mostrado na Equação (1) da tensão contra eletromotriz e na

Equação (2) da força de Laplace [5].

Figura 2: Representação dos vetores do transdutor.

(1)

(2)

No sistema de equações, o deslocamento do corpo de massa m , como mostrado na Figura 1,

será denominado e a sua derivada , a velocidade. A carga elétrica será denominada e sua

derivada , a corrente elétrica. Considerando essas coordenadas, as equações governantes podem

ser expressas como o sistema de equações Equação (3).

[ ]

(3)

4. Respostas do Sistema Eletromecânico

Os parâmetros mecânicos base (fundamentais) para as simulações numéricas do sistema

eletromecânico foram baseados na faixa de grandeza encontrada em uma suspensão típica de um

veículo de passeio (automóvel). Considerou-se a quarta parte da massa de um automóvel, a qual foi

considerada como sendo de 250 kg, os outros parâmetros foram escolhidos de modo que a rigidez

mecânica e a força máxima do amortecedor eletromecânico fossem aproximados aos valores

usados em um amortecedor mecânico viscoso. A Tabela 1 mostra os parâmetros base utilizados nas

simulações do sistema eletromecânico linear e não-linear.

[Kg] Massa 250,00

[N.s/m] Amortecimento Viscoso 0,00

[H] Indutância 0,762749

[Ω] Resistência 0,824354 – 200,00

[F] Capacitância (1250 – 2500)E-6

[N] Amplitude da Força Externa 5000,00

[Hz] Frequência da Força Externa 0,00 – 20,00

[T.m] Acoplamento Eletromecânico 502,6548

Tabela 1: Valores de base dos parâmetros

656

Algumas simulações foram realizadas usando rigidez linear e outras usando rigidez não-linear

(tipo Duffing), os valores dos parâmetros usados para que fossem obtidas tais características de

rigidez são mostrados na Tabela 2.

Tipo de rigidez Rigidez linear [N/m] Rigidez não-linear [N/m³]

Linear 4E4 0

Duffing -4E4 4E7

Tabela 2: Valores de rigidez usados no sistema linear e valores de rigidez Duffing usados no sistema

não-linear.

Para determinar a relação entre os parâmetros do subsistema elétrico e e um

amortecimento mecânico equivalente, é levado em consideração o sistema eletromecânico com a

rigidez linear cujos parâmetros são mostrados na Tabela 1 e na Tabela 2. Foram determinadas as

curvas do coeficiente de amortecimento adimensional (equivalente) (zeta), usando o Método do

Decremento Logarítmico para valores de entre 0,824354 Ω até 200 Ω e para três valores de ,

1400E-6 F, 1700E-6 F e 2000E-6 F. Considerou-se nessa simulação a vibração livre, com condição

inicial de deslocamento em 0,1 m (ou seja, a resposta sem influência de força externa). A curva

obtida é mostrada na Figura 3.

Figura 3: Curvas coeficiente de amortecimento em função de para diferentes valores de

(1400E-6 F, 1700E-6 F e 2000E-6 F), obtidas pelo decremento logarítmico das respostas do

sistema eletromecânico com rigidez linear =4E4 N/m e =0 N/m³.

Com base em diversas simulações (explorações) feitas sobre esse sistema eletromecânico, é

entendido que o comportamento desse sistema com rigidez não-linear (tipo Duffing) pode ser

alterado dependendo dos valores de , enquanto que o amortecimento ainda continua tendo reação

semelhante para a mesma faixa de valores de observados na Figura 3.

As alterações no comportamento dinâmico do sistema em função de podem ser observadas

no diagrama de bifurcação da Figura 4. O diagrama de bifurcação foi obtido com o valor de

mantido constante em 0,824354 Ω, com valores de variando de 1250E-6 F até 2500E-6 F e

frequência de excitação externa a 1 Hz. Os demais parâmetros usados são os mostrados na

Tabela 1 e Tabela 2. Considerando as diferentes regiões observadas no diagrama e explorações

sobre a resposta do sistema feitas para uma série de valores de foi observado que a faixa

compreendida entre os valores de aproximadamente 1250E-6 F até 1590E-6 F e de 2300E-6 F até

2500E-6 F apresentam regime caótico. Foi observado também que na faixa onde vale entre

aproximadamente 1590E-6 F e 1810E-6 F o sistema mostra comportamento quase-periódico e para

valores de entre aproximadamente 1810E-6 F até 2300E-6 F a dinâmica é periódica com 1

período em relação a .

657

Figura 4: Diagrama de bifurcação da capacitância no intervalo de 1250E-6 F até 2500E-6 F obtido através da

simulação do sistema com rigidez não-linear ( =-4E4 N/m e =4E7 N/m³) forçado

harmonicamente 1 Hz).

A Figura 5 mostra a resposta do sistema simulado para o valor de de 1400E-6 F e os demais

parâmetros são os usados para obtenção do diagrama de bifurcação da Figura 4. A resposta do

sistema para valendo 1400E-6 F exemplifica o comportamento observado para a faixa de de

aproximadamente 1250E-6 F até 1590E-6 F e de 2300E-6 F até 2500E-6 F. A resposta do sistema

eletromecânico mostrada na Figura 5 indica (aponta) uma dinâmica caótica.

Figura 5: Resposta do sistema eletromecânico para o valor de de 1400E-6 F e 1 Hz:

Histórico no tempo (a), Plano de fase (b), FFT (c) e Mapa de Poincaré (gerado com 20.000

pontos) (d).

(a) (b)

(c) (d)

658

5. Conclusões

Os parâmetros elétricos, resistência e capacitância, interferem no comportamento dinâmico do

sistema e foi observado que o parâmetro elétrico, resistência, tem maior influência no

amortecimento aparente do subsistema mecânico, principalmente em valores próximos de 100 Ω,

proporcionando maior efeito de amortecimento. O pico de amortecimento, contudo, varia para cada

valor do parâmetro elétrico, capacitância. Os resultados mostrados no diagrama de bifurcação

(parâmetro de controle capacitância) obtidos do sistema com rigidez não-linear (subsistema

mecânico - tipo Duffing), indicam que o parâmetro elétrico, capacitância, pode ser usado como

parâmetro de controle quando o objetivo é evitar regiões caóticas e ajustar o sistema para regiões

com comportamento periódico. Este trabalho apresentou apenas alguns tópicos desse tema de

pesquisa devido à restrição no número de páginas disponíveis.

6. Agradecimentos

Os autores agradecem os auxílios concedidos pela CAPES, CNPq e FAPESP.

7. Referências

[1] Abdelkefi, A., Hajj, M. R., and Nayfeh, A. H., 2012. “Phenomena and modeling of

piezoelectric energy harvesting from freely oscillating cylinders”. Nonllinear Dyn, DOI

10.1007/s11071-012-0540-x.

[2] Bayiroğlu, H., Alişverişçi, G. F. and Ünal, G., 2012. “Nonlinear Response of Vibrational

Conveyers with Nonideal Vibration Exciter: Superharmonic and Subharmonic Resonance”.

Mathematical Problems in Engineering, DOI: 10.1155/2012/717543.

[3] Erturk, A., Inman, D.J., 2008. “On mechanical modeling of cantilevered piezoelectric vibration

energy harvesters”. Journal of Intelligent Material Systems and Structures.

[4] Felix, J. L. P., Chong, W. and Balthazar, J. M., 2012. “The Non-ideal Problem Behavior Using

a Dynamic Vibration Absorber with Nonlinear Essential Stiffness and Time-dependent Damping

Properties”. Journal of Multi-body Dynamics, 460352.

[5] Preumont, A., 1999. “Mechatronics Dynamics of Electromechanical and Piezoelectric

Systems”. Netherlands: Springer.

[6] Priya, S., Inamn, D.J., 2009. “Energy Harvesting Technologies”, Springer, New York.

[7] Sinclair, I. R., 2001. “Sensors and Transducers”. 3th ed, New York: Butterworth-Heinemann,

[8] Sodano, H. A., Inamn, D. J. and Park, G., 2005. “Comparison of piezoelectric energy harvesting

devices for recharging batteries”, Journal of Intelligent Material Systems And Structures, Vol. 16.

[9] Tusset, A. M. and Balthazar, J. M.. 2012. “On the Chaotic Suppression of Both Ideal and Non-

ideal Duffing Based Vibrating Systems, Using a Magnetorheological Dmaper”. Differ Equ Dyn

Syst (Jan&Apr 2013) 21(1&2):105–121, DOI 10.1007/s12591-012-0128-4.

[10] Yamapi, R. 2003. “Dynamics and sychronization of electromechanical devices with a Duffing

nonlinearity”. Ph.D. Thesis, University of Abomey-Calavi, Bénin.

[11] Yamapi, R., 2006. “Dynamics of an Electromechanical Damping Device with Magnetic

Coupling”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 11, 907-921.

659