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MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO NO ESTUDO DE FUNÇÕES NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Autora: Profa Ms Rosni Troyner1

Orientadora: Profa. Dra. Mary Ângela Teixeira Brandalise2

RESUMO

O presente artigo apresenta os resultados da aplicação do projeto de intervenção pedagógica, que faz parte Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, do Paraná. O trabalho desenvolvido na escola, optou pela modelagem matemática como metodologia para o ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Objetivou: a) identificar situações cotidianas que poderiam ser modeladas aplicando o conceito matemático de funções; b) utilizar a modelagem matemática no estudo das funções, afim e quadrática; c) criar seqüências de ensino para o estudo de funções a partir de situações reais; d) relacionar os resultados das situações de ensino estudadas com outros conteúdos da matemática ou outras áreas do conhecimento. O desenvolvimento do projeto se deu a partir da construção de uma unidade didática, com diversas situações de ensino. O trabalho desenvolvido está fundamentado nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, nos Parâmetros Curriculares Nacionais e estudiosos brasileiros de modelagem matemática. A implantação da intervenção pedagógica foi realizada na Escola Estadual Medalha Milagrosa- situada no município de Ponta Grossa – PR. O uso da modelagem matemática como metodologia para o ensino e aprendizagem de Matemática no desenvolvimento do projeto permitiu aos alunos vivenciarem as situações problemas descritas nas sequências de ensino da unidade didática e relacionar com situações do seu cotidiano. Os conteúdos matemáticos estudados na pesquisa permitiram interpretar os dados coletados e criar um modelo matemático para expressá-los. Fez com que os alunos se familiarizassem com o significado de função e comprendessem os conceitos matemáticos de função do primeiro e segundo graus, e suas aplicações.

Palavras-chave: Funções, Modelagem Matemática, Educação Matemática.

1 Professora de Matemática e Ciências Biológicas da Rede Pública do Estado do Paraná, especialista em Ciências Biológicas na área de reprodução humana, Mestre em Educação na área de Formação de Professores. Atua na Escola estadual Medalha Milagrosa e no Instituto de Educação Profº Cesar Prieto Martinez. Profª efetiva da FAFIT – Faculdades Integradas de Itararé e FASF- Faculdade Sagrada Família.

2 Profa. Dra. Mary Ângela Teixeira Brandalise, Universidade Estadual de Ponta Grossa, Departamento de Matemática e Estatística.Professora do Programa de Pós-Graduação em Educação da UEPG.

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1 INTRODUÇÃO

A matemática apresenta-se como disciplina obrigatória em todos os níveis da

Educação Básica da Educação Infantil ao Ensino Médio, porque ela é considerada

fundamental para a formação humana e profissional dos cidadãos.

Nas orientações curriculares nacionais para a área da Matemática é evidente

a preocupação em relacionar o ensino de matemática com a vida cotidiana, daí a

necessidade de abordagem dos conteúdos propostos na direção de uma formação

mais ampla do estudante, como indicam os Parâmetros Curriculares Nacionais e as

Diretrizes Curriculares para o Ensino da matemática do Estado do Paraná.

Entretanto, apesar do reconhecimento de sua importância para a formação

dos estudantes, o ensino de matemática em qualquer um dos níveis de

escolarização vem, há décadas, apresentando problemas, sendo responsável por

muitas das dificuldades enfrentadas pelos alunos em suas atividades curriculares.

Observando a realidade escolar, como professora de matemática no ensino

fundamental, foi possível perceber as dificuldades de muitos alunos na compreensão

de conceitos matemáticos e da sua aplicabilidade em situações reais da vida

cotidiana. Destaca-se entre eles o estudo de funções, especificamente a ideia

intuitiva de funções, função linear e a função quadrática, proposto para o nono ano

(9º) do Ensino fundamental, objeto da pesquisa que originou este artigo.

Geralmente o conteúdo matemático de função é apresentado pelos docentes

numa perspectiva de ensino tradicional, de forma mecânica e repetitiva a partir de

problemas e situações descontextualizadas, e, ao mesmo tempo com muitos

exercícios de fixação não relacionados às situações reais, somente com exemplos

oriundos do livros didáticos já experimentados. Nessa perspectiva, o aluno acaba se

desmotivando devido ao vazio de compreensão dos conceitos que a ele se

apresentam, pois o conteúdo torna-se finalidade em si mesmo, e não instrumento

capaz de facilitar o desenvolvimento do raciocínio matemático e tornar a

aprendizagem significativa.

A partir dessas constatações é que originou-se a proposta de trabalhar o

conteúdo matemático de funções que inicia no 9º ano do Ensino Fundamental com

função afim e a função quadrática, os quais se constituem pré-requisitos para as

séries iniciais do Ensino Médio, com a elaboração de uma unidade didática, que faz

parte do projeto de intervenção pedagógica na escola do PDE.

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De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná (PARANÁ, 2008, p.59), as funções estão presentes de diferentes formas e

em todas as áreas do conhecimento. Tais situações se modeladas matematicamente

podem ser resolvidas e auxiliar o homem em suas atividades do dia a dia. Dessa

forma é necessário estabelecer uma metodologia de ensino adequada para análise

dessas situações, e que identifique os diversos conceitos contidos nos conteúdos

matemáticos que envolvem a aprendizagem de funções. Cada conteúdo matemático

está impregnado de conceitos básicos e quando articulados com novas definições

que se pretende estudar, possibilitam a construção de novos conhecimentos.

Para o desenvolvimento da intervenção pedagógica na escola, optou-se pela

modelagem matemática como estratégia metodológica, pois ela apresenta condições

de inovação e criação, procurando trabalhar o conteúdo unido à realidade do aluno a

partir da construção de modelos matemáticos, ou seja, a matemática e a realidade

podem ser conectadas por meio da modelagem. Essa vinculação pode ser feita

mediante o uso dos processos matemáticos conhecidos, com a finalidade de

estudar, analisar, explicar e prever situações da vida cotidiana que nos cercam.

A preocupação inicial para a criação da proposta de intervenção pedagógica

foi à escolha de um tema. Bienbengut e Hein (2005 p.19), defendem que para

desenvolver um conteúdo programado, neste caso específico o de funções, é

necessário a utilização de um tema para ser transformado em modelo matemático, o

qual possibilite: incentivar o aluno a pesquisar; promover a sua habilidade em

resolver problemas; inseri-lo em temas de interesse; aplicar os conteúdos

matemáticos em situações cotidianas; e, por fim, propiciar o desenvolvimento de sua

criatividade. Como a modelagem matemática desenvolve a capacidade de ler,

interpretar, compreender, prever e simular situações, o tema escolhido em estudo é

orindo de investigações feitas com os próprios alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental.

Determinado a temática para estudo, foi elencado os objetivos que são:

a) identificar situações que possam ser modeladas aplicando o conceito

matemático de funções;

b) utilizar a modelagem matemática no estudo das funções, afim e

quadrática, no Ensino Fundamentalutilizar a modelagem matemática no

estudo das funções, afim e quadrática, no Ensino Fundamental;

d) criar seqüências de ensino para o estudo de funções a partir de situações

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reais;

e) relacionar os resultados das situações de ensino estudadas com outros

conteúdos da matemática ou outras áreas do conhecimento.

Delineados os objetivos para o desenvolvimento da intervenção pedagógica

na escola partiu-se para a sua implantação, realizada na Escola Estadual Medalha

Milagrosa - Ensino Fundamental, situada no município de Ponta Grossa – PR, na

região central da cidade, com aproximadamente 652 alunos matriculados nos

períodos matutino e vespertino.

Os alunos participantes do grupo de estudos para a aplicação da proposta de

intervenção pedagógica foram selecionados da seguinte forma: uma visita da

pesquisadora nas turmas de 9º ano ofertadas no turno matutino, convidando-os a

participarem do grupo de estudos no contraturno; além do convite verbal foi entregue

para cada aluno uma carta, relatando o propósito do trabalho e também a solicitação

de uma autorização dos pais à participação dos estudantes, atendendo assim as

normas da escola e de ética na pesquisa. Dos 70 (setenta) alunos matriculados no

9º ano, aceitaram participar 35 ( trinta e cinco), porém, por motivos de espaço físico

havia somente 18 (dezoito) vagas. Por esta razão optou-se pela realização de um

sorteio aleatório para composição dos elementos do grupo de estudos. Os alunos do

9º ano selecionados ingressaram na escola no 6º ano do Ensino Fundamental,

oriundos das Escolas Municipais de Ponta Grossa, sendo que a maioria pertencente

a classe média, com bom desenpenho escolar e que demonstram grande interesse

pelas atividades diversificadas da escola.

Os pais dos alunos selecionados foram convidados para uma reunião na

escola na qual lhes foi apresentado os objetivos e a metodologia do projeto de

intervenção pedagógica proposto, além de definidos alguns procedimentos e normas

para a participação e permanência dos alunos no grupo de estudos.

2 Modelagem Matemática no Ensino da Matemática: fundamentação téorica

A educação tem um papel fundamental no desenvolvimento das sociedades e

das pessoas, principalmente neste milênio, que requer a construção de uma escola

voltada para a cidadania. Entende-se que a escola, hoje, deve ir além de garantir

que os alunos aprendam a ler, a escrever e a contar. Ela deve ser um espaço que

permite pensar, aprender e agir para enfrentar e resolver problemas que se colocam

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diante das mudanças que ocorrem fora e dentrodela . Reforçando a idéia, as

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008,

p.21), afirmam que “entende-se a escola como o espaço de confronto e diálogo entre

os conhecimentos sistematizados e os conhecimentos do cotidiano popular”.

Consideramos que a finalidade do ensino é contribuir para a formação integral das

pessoas para que sejam capazes de compreender a sociedade e intervir nela com o

objetivo de melhorá-la.

A matemática contribui para a formação do cidadão, pois possibilita a

compreensão do mundo que o rodeia, uma vez que o conhecimento matemático

permeia muitas linguagens e práticas cotidianas. A educação matemática envolve as

múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento

matemático. Para o estudo dos conteúdos matemáticos na perspectiva proposta pela

Educação Matemática existem as tendências da educação matemática: história da

matemática, jogos matemáticos, etnomatemática, resolução de problemas mídia

tecnológicas e modelagem matemática. Neste trabalho a modelagem matemática foi

a metodologia norteadora do processo investigativo.

A modelagem é estudada e defendida por diversos autores. Biembengut

(1996, p. 1-14), afirma que a modelagem “é um processo que emerge da própria

razão e participa da nossa vida como forma de constituição e de expressão do

conhecimento”. Então, a modelagem pode ser expressa posterior a sentimentos

internos das observações e situações do cotidiano.

Já Bassanezi (1994, p. 57-61), tem a modelagem como uma arte a ser

desenvolvida transformando os problemas da vida real em problemas matemáticos

com a condição de resolvê-los e interpretá-los dentro das expectativas do mundo

real. O autor enfatiza a importância dos conhecimentos prévios do aluno que podem

ser valorizados e integrados a compreenssão dos conteúdos matemáticos Bassanezi

(2002, p. 24), também afirma que a modelagem só se torna eficiente a partir do

momento que temos consciência que ela é trabalhada com a aproximação da

realidade, isto é, que estamos elaborando sobre representações de um sistema ou

parte dele.

Na mesma linha de pensamento D' AMBRÓSIO, argumenta:

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O indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e busca através da reflexão a representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faca uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde define estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado de modelagem. (D'AMBRÓSIO, 1986, p. 65).

A partir das posições epistemológicas desses estudiosos, é possível entender

a concepção de modelagem de duas formas:

a) como metodologia para o processo ensino e aprendizagem;

b) ferramenta para resolução de problemas.

O trabalho desenvolvido na escola ,que originou este artigo, fundamentou-se

na modelagem como metodologia para o ensino e aprendizagem da matemática.

Cabe ressaltar que as demais tendências da educação matemática foram integradas

a modelagem, o que poderá ser verificado nas sequências de ensino propostas.

Esse procedimento vem ao encontro das Diretrizes Curriculares da Educação

Básica do Estado do Paraná que explicitam “a abordagem dos conteúdos

específicos podem transitar por todas as tendências da educação matemática”.

(PARANÁ, 2008, p.68).

Na utilização da modelagem matemática no estudo das funções, o aluno

resolve os problemas propostos, articulando-os com situações reais. Portanto, a

modelagem a partir de situações envolvendo dados coletados pelo aluno torna-se

um desafio para o mesmo, pois ele buscará esses dados no ambiente em que vive.

Nessa direção, BARBOSA (2002, p. 06), coloca a modelagem como ambiente de

aprendizagem no qual a articulação da investigação com outras áreas do

conhecimento se dá naturalmente.

Pensando dessa forma como seria o ensino da matemática?

De acordo com D'Ambrósio (1989, p.2), existem diversas linhas e propostas

de trabalho enfatizando como ensinar matemática. A autora argumenta que o aluno

deve ser o centro do processo educacional, um ser ativo no processo de construção

do conhecimento, já o professor tem o papel de orientador e mediador das

atividades propostas aos alunos e por eles realizadas. Observa-se que a proposta

parte do princípio que o aluno é interprete do mundo e de suas experiências e essas

interpretações acontecem inclusive quando se trata de um fenômeno matemático

caracterizando o verdadeiro “saber matemático”.

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Bassanezi (2002, p.174) afirma que “um modelo matemático é um conjunto

consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a

algum fenômeno – este pode ser físico, biológico, social ou psicológico”.

O autor defende que a modelagem matemática pode ser aplicada em diversos

conteúdos matemáticos, no caso específico desta pesquisa o conteúdo funções. A

idéia que se tem atualmente de funções está relacionada diretamente a teoria dos

conjuntos, desenvolvida a partir do século XX. Quando se relacionam grandezas

variáveis surge o conceito de função que é muito utilizado nas diversas áreas do

conhecimento. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais o estudo das

funções “Permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das

ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-

problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias

conexões dentro e fora da própria matemática“. (BRASIL, 1998, p.121).

A matemática tem como objetivo compreender a realidade por meio do

conhecimento, utilizando-se de instrumentos que permitam a interpretação, a criação

de significados, o desenvolvimento de raciocínio lógico para a resolução de

problemas, aproximando o aluno da realidade, contextualizando as informações

recebidas com os conteúdos propostos no currículo escolar para que o mesmo tenha

condições de participar no meio em que vive e nele interferir. A matemática, nessa

perspectiva, deve assumir um compromisso educacional e social com a formação

do aluno e sua inserção na sociedade.

Na intervenção pedagógica realizada na escola o estudo de funções foi

desenvolvido por meio de uma unidade didática, contendo diversas ssituações de

ensino que são atividades conduzidas pelo professor, em etapas propostas em

conjunto com os alunos, caracterizando-se por diferentes formas de apresentação

do conteúdo. Para a elaboração das situações de ensino foram definidos os

seguintes conteúdos:

• Noção intuitiva de função

• Conceito de função

• Formação de uma função

• Aplicação da lei de formação de uma função

• Função afim

• Função Polinomial do 2º grau (quadrática)

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A partir da definição dos conteúdos foram elaboradas as situações de ensino,

as quais serão discutidas na sequência.

SITUAÇÃO DE ENSINO 1 – Introdução ao estudo das funções

O objetivo desta situação de ensino foi possibilitar ao aluno a compreensão

da idéia intuitiva de funções e estabelecer dependências entre variáveis. Nela foram

propostas duas atividades:

Atividade 1 - Conceituando Funções:Inicialmente foi mostrado a imagem de paraquedistas, utilizando o

multimídias.

Imagem 1 - ParaquedistasFonte: http://www.google.com.br/images

Questionado aos alunos se eles já tinham visto uma apresentação de

paraquedismo e quais foram as impressões e sensações com a experiência, os

comentários foram diversos incluindo o momento do salto, a velocidade do

paraquedista, o tempo de duração do salto, os equipamentos e as normas de

segurança.

No diálogo com os estudantes procurou-se estabelecer relações entre os

comentários e foi observado que na linguagem comum, eles relacionaram

velocidade e tempo, e, ainda, explicaram como seria uma salto com paraquedas e

outro sem paraquedas. Complementando essa etapa de estudo foi distribuído um

texto, para leitura e reflexão e uma possível associação com a imagem mostrada, no

qual está explicitado os vários fatores que influenciam a velocidade do paraquedista.

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No texto há a relação da velocidade com os conceitos de queda livre, ação da

gravidade, tempo e resistência do ar.

Neste momento vários alunos compreenderam a intenção da imagem

apresentada e do texto estudado, quando questionados a respeito do que é ação da

gravidade e quando um corpo está queda livre, tiveram condições de responder

sem grandes dificuldades.

Em seguida foram feitos outros questionamentos: é possível afirmar que a

velocidade do paraquedista depende do tempo? Em caso afirmativo explique. Na

explicações os alunos afirmaram que sim, também relataram outras situações do

cotidiano que uma coisa depende da outra, foi refletido se o termo depende poderia

ser substituído por outro sem prejudicar o sentido da frase e após diversas

substituições chegou a palavra função, explicado pela professora que a velocidade

do salto esta em função do tempo, e se o tempo aumentar ou diminuir, a velocidade

também vai variar.

Finalizando a atividade com os alunos os comentários, exemplos e reflexões

desencadeados possibilitaram a compreensão da idéia de funções como intuitiva,

ainda não relacionada com dados e cálculos matemáticos.

Atividade 2 – Ampliando o conceito de funções e suas representações

Esta atividade foi iniciada com a leitura de um texto, que fala sobre a prática

de corrida, velocidade do corredor, e as vantagens de praticar o esporte. Feita a

leitura os alunos comentaram sobre outros esportes que trazem benefícios a quem

pratica. Relacionando com a atividade 1, também expressaram que a distância

percorrida depende da velocidade do corredor.

Como já haviam compreendido a idéia intuitiva de funções, conseguiram fazer

a associação do conceito ao texto lido. Complementando a discussão com os

estudantes outros exemplos de funções observadas na vida cotidiana foram por

eles citadas.

Em seguida foi apresentada uma situação cotidiana para a análise dos

alunos:

Uma pessoa com 60Kg que pratica corrida com uma velocidade de

9,6km/h gasta aproximadamente, 10kcal por minuto de exercício.

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Ao analisarem o problema os alunos imediatamente o associaram ao texto

lido. Com manifestações verbais, foram aumentando o tempo para verificação da

quantidade de calorias gastas, e anotando em seus cadernos. Foi sugerido que os

valores fossem organizados de forma mais clara e objetiva, surgindo a idéia de

colocar os dados obtidos em uma tabela. A figura 1 ilustra a atividade realizada:

Fig. 1 – tabela 1Fonte: atividade feita pelos alunos

Na mesma atividade referiu-se a tempo e a quantidade de calorias como

grandezas, e percebeu-se que os alunos não tinham conhecimento que tempo e

quantidade de calorias eram grandezas, foi explicado pela professora que se

referiam a grandezas físicas escalares. Para melhor esclarecer foi citado outros

exemplos de grandezas bastante usadas nas diferentes áreas do conhecimento,

como: temperatura, massa, comprimento entre outras. Em seguida questionou-se se

havia relação entre uma grandeza e outra, tempo e quantidade de calorias, e os

mesmos afirmaram que sim, a medida que aumenta o tempo de corrida também

aumenta a quantidade de calorias gastas, concluindo que uma depende da outra.

Foi possível estabelecer o conceito de função de forma simples, é uma grandeza

variável que depende de outras grandezas.

Analisando a situação de ensino 1, percebeu-se que após as explicações, e

revisões necessárias sobre os termos encontrados no texto as relações entre texto e

imagem foram compreendidas e associadas a situações do cotidiano do aluno e os

objetivos propostos para essa situação alcançados.

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SITUAÇÃO DE ENSINO 2 – Lei de formação de uma função

Aplicar a relação de grandezas dependentes e independentes na formação

de uma função e determinar simbolicamente a lei de formação de uma função foram

os objetivos propostos na situação de ensino 2, composta por três atividades, cujo

desenvolvimento está apresentados na sequência.

Atividade 1 - Formando e representando funções algebricamente

Na atividade foram utilizados os dados da tabela da atividade 2 da situação de

ensino 1. Foi proposto aos alunos que representassem utilizando letras os dados

não numéricos da tabela, momento em que houve muitas sugestões por parte deles,

uma vez que já haviam estudado as equações pelo fato de estarem no 9º ano. A

maioria deles disse que poderia ser utilizada as letras x ou y, até que um aluno

sugeriu utilizar a letra “t“ para representar o tempo e após a discussão coletiva a

letra ´Q´ para simbolizar quantidade.

Continuando com a atividade o objetivo era relacionar as variáveis, mas,

surgiram dúvidas quando a professora mencionou a palavra variável, cujo conceito

foi explicado detalhadamente. Os alunos evidenciaram saber o que é uma "equação"

e tentaram fazer analogias para representar a relação entre as variáveis, mas

perceberam que não era a mesma situação e após as explicações exemplificadas

da diferença entre o conceito matemático de equação e de função os alunos

compreenderam a lei de formação e a representação algébrica da função. Alguns

conceitos matemáticos básicos foram revistos nesta etapa, necessários ao

desenvolvimento da atividade proposta e os de variável dependente e independente

foram introduzidos.

Atividade 2 – Formando e apresentando funções por meio de diagrama

Como na atividade 1 os alunos já haviam compreendido a lei de formação de

uma função, na atividade 2 foi apresentado para eles a função y = x2 , para atribuir

valores a x e encontrar os valores para y. Imediatamente alguns alunos sugeriram

colocar em uma tabela como feito anteriomente na atividade 2 da situação de

ensino 1. Surgiram algumas dificuldades, tais como: que valores atribuir? pode -se

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usar números negativos, zero, decimais? Em conjunto com os estudantes foram

testados os valores da forma mencionada e verificado que é possível atribuir aos

mesmos diversos valores no campo dos números reais.

Fig. 2 – tabela 2Fonte: atividade feita pelos alunos

Após o preenchimento da tabela, a mesma passou a ser explorada pela

professora e alunos com indagações sobre o que representava os valores atribuidos

a x e a y, para se encontrar o par ordenado. Houve dificuldades nesse momento,

sendo necessária a revisão de conceitos de conjuntos numéricos repesentados por

conjunto A e conjunto B, atribuindo os valores de x os elementos do conjunto A e y aos elementos do conjunto B, destacando a relação de correspondência entre os

elementos do conjunto A aos do conjunto B, de acordo com a lei de formação da

função y = x2. . Finalmente, formaram-se os pares ordenados, os quais podem ser

representados de diferentes formas sendo uma delas o diagrama de flechas, que foi

explicado pela professora e realizada a representação pelos alunos.

Fig. 3 - Diagrama Fonte: construido pelos alunos, através da definição de função

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Sintetizando os conceitos matemáticos estudados retomou-se com os alunos

as formas de determinação de uma função concluindo-se que pode ser por fórmulas

matemáticas, regras ou Leis de Formação. Campiteli (2006, p. 22), expressa que

esse modo de definição “consiste em apresentar um conjunto de operações de tal

modo que por meio delas, se possa fazer corresponder a cada valor de A um valor

em B”.

Atividade 3 – Gráfico de uma função

A atividade 3 foi realizada como tarefa em pares de alunos. Eles realizaram

pesquisas em jornais, revistas e alguns livros buscando gráficos e tabelas que

representassem situações do dia a dia. Realizado o trabalho as duplas

apresentaram os resultados da pesquisa para a professora e colegas. Na discussão

foi refletido a importância da representação de situações do cotidiano

matematicamente por meio de tabelas e gráficos. Também foram retomadas as

atividades realizadas anteriormente e analisada a possibilidade de representá-las

gráficamente.

Foi sugerido uma nova situação-problema para os alunos, na qual os mesmos

inseriram os dados em uma tabela, fizeram os cálculos e construiram o gráfico no

papel milimetrado, orientados pela professora. Essa atividade despertou grande

interesse nos alunos principalmente na construção de tabelas e gráficos.

Maria Helena costuma abastecer seu carro no posto “Roda Viva”.

Da última vez em que abasteceu, o litro de gasolina custava R$ 2,70.

Fig. 3 – Gráfico 1Fonte: atividade feita pelos alunos

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A análise feita da situação de ensino 2, refere-se a lei de formação de uma

função, os alunos encontram algumas dificuldades, pois, inicia-se o conhecimento de

novos termos que até o momento não haviam visto, porém conseguiram realizar as

atividades propostas e outras complementares reforçando os conhecimentos

adquiridos.

SITUAÇÃO DE ENSINO 3 – Função polinomial do 1º grau

Na situação de ensino 3 os objetivos foram identificar função afim e seus

elementos, representá-las e interpretá-las graficamente. A atividade desta situação

está descrita abaixo

Atividade 1 – Identificando e Representando Função Afim

Foi apresentada aos alunos a situação problema que algumas empresas

prestadoras de serviços oferecem carros para aluguel, determinando um preço diário

mais acrescimo por quilometro rodado.

Carro popular: R$ 60,00 por dia mais R$ 0,60 por quilometro rodado.

Carro de luxo R$ 120,00 por dia mais R$ 1,10 por quilometro rodado.

Foi proposto que os alunos analisassem as possibilidades de expressar os

dados da situação em linguagem matemática. A partir das informações do problema

eles deveriam modelar os dados possibilitando a criação de uma fórmula que

permitisse calcular a quantidade a ser paga pela locação de um carro popular ou de

um carro de luxo, por dia, em função dos quilômetros rodados.

Para a realização da atividade retomou-se o conceito de função e várias

tentativas foram realizadas para expressar a situação problema apresentada. Na

tentativa de criação de um modelo matemático para representá-las os alunos

identificaram a variável dependente e a independente, concluindo que y era a

quantidade a ser paga e x os quilômetros rodados. Foram substituindo os valores e

ao mesmo tempo se deparando com situações desconhecidas, por isso várias

fórmulas foram criadas.

Neste momento foi explicado que a função do tipo estudado na situação

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problema é denominda de função polinomial do 1º Grau ou função afim e que é

expressa matematicamente nas formas:

f(x) = ax + b ou y= ax + b,

Identificadas as variáveis dependentes e independentes passou-se à

construção manual do gráfico para representá-la, no papel milimetrado. Os alunos

substituiram os dados na fórmula criada, utilizando 50 km rodado em um dia,

chegando ao seguinte valor:

preço da diária

↑

Quantidade a ser paga → y = 0,60x + 60 ↑

Preço do quilometro rodado

Para o valor de x = 50, substituindo temos:

y = 0,6. 50 + 60

logo y = 90

O valor a ser pago será de R$ 90,00.

Finalizando a situação de ensino 3 e analisando o comportamento dos alunos

com relação a atividade proposta percebeu-se que houve um avanço na

aprendizagem do conceito de função e suas aplicações, pois a cada conhecimento

novo a ser construído sempre se retomava os conhecimentos prévios necessários.

Como os alunos construíram os gráficos no papel milimetrado com facilidade foram

convidados para ir ao laboratório de informática conhecer o Sofware Geogebra,

chamado Programa Dinâmico para o estudo da Matemática, o qual agrega o estudo

da Geometria, Álgebra e Cálculo. Os alunos foram orientados para utilizá-lo na

construção de gráficos de funções, estratégia metodológica usada para

potencializar a aprendizagem. A atividade desenvolvida com o Software Geogebra

despertou o interesse dos alunos motivando-os à realização das tarefas

propostas. Como afirma Gaudêncio (2000, p.76) os recursos tecnológicos

apresentam vantagens "para o desenvolvimento do conceito de funções seriam,

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além do impacto positivo na motivação dos alunos, sua eficiência como ferramenta

de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e como instrumento facilitador nas

tarefas de resolução de problemas.''

Fig. 4 – gráfico 2

Fonte: construido pelos alunos pela definição do geogebra

SITUAÇÃO DE ENSINO 4 – Função polinomial do 2º grau

Os objetivos propostos para esta situação foram: identificar função quadrática

e seus elementos; representar graficamente a função quadrática, analisar e

interpretar gráficos de funções quadráticas.

Atividade 1 – Definindo e representando função polinomial de 2º grau (quadrática)

Para essa atividade a primeira participação dos alunos foi a observação das

construções próximas a escola, casas, edifícos comerciais e residenciais, clube,

igreja, construções históricas e até a construção da própria escola e relatar as

observações feitas ao grupo no retorno a escola. O grupo de alunos deslocou-se

juntamente com a professora até a parte externa da escola, onde foram observadas

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diversas edificações, Cada aluno fez suas anotações, não seguindo orientação

prévia. No relato das anotações os alunos mencionaram altura, espaço ocupado

número de andares, detalhes arquitetónicos entre outros. Neste momento houve a

interação do grupo com o assunto estudado. Em outras reflexões foi discutido o

aproveitamento de pequenos espaços para edificações, mostrando que as

construções arquitetônicas de hoje priorizam a qualidade de vida de seus

moradores. Essa habilidade de arquitetura em racionalizar espaços, substituindo

casas por edifícios é considerada uma valiosa competência matemática.

Percebeu-se que os alunos familiarizaram-se com a pesquisa por eles

realizada, que se tornou o modelo pesquisado. Questionou-se onde os

conhecimentos matemáticos estavam inseridos na pesquisa? Imediatamente, surgiu

a questão do espaço ocupado pela construção, que foi lembrado que seria a área

onde esta localizado as edificações pesquisadas, a forma das mesmas lembraram

figuras geométricas planas, na qual poderia ser calculado a área das edficações.

Retomando o conteúdo de áreas de figuras planas foi explicado pela professora

como calcular área de superfícies retangulares e quadrangulares, e proposto a

seguinte situação:

Para delimitar uma superfície, que deverá ser da forma retangular, dispõem-

se de 60 metros de cerca. Sendo que será aproveitada uma parede de

40 metros. Observe a figura:

Fig. 5- região retangularFonte: construção feita no software geogebra

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Analisando a situação proposta estableceu-se um intenso diálogo com os

alunos para se chegar ao reconhecimento da situação problema e a possível

resolução. Neste momento foram desencadeados alguns questionamentos: se a

área poderia ser determinada em função das dimensões da superfície? também se

era possível determinar uma fórmula que represente a área da superfície em função

do comprimento e da largura? Os alunos passaram a modelar os dados oferecidos

para criar uma fórmula ou lei de formação que respondesse as questões. Para

facilitar o desenvolvimento a figura foi representada com mais detalhes.

Fig. 6- região retangularFonte: construção feita no software geogebra

Determinando a fórmula (lei de formação) da função, foi questionado com os

alunos se havia semelhança com as fórmulas determinadas nas funções anteriores,

e um aluno mencionou que era do 2º grau. Mencionando que o expoente 2

caracteriza uma equação do 2º grau, neste caso uma função do 2º grau. Após a

manifestação do aluno foi explicado a função polinomial de 2º grau (função

quadrática), em que o maior expoente da variável x é 2, que pela definição da lei de

formação pode ser representada por:

f(x) = ax2+ bx + c ou y = ax2 + bx + c

Atividade 2 – Representando função quadrática por meio de gráfico.

Como já havia sido feita a representação de uma função quadrática, foi

sugerido a função : y = x2 – 4x + 3, para que os mesmos representassem por meio

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de um gráfico. Da mesma forma que já havia sido feito na função polinomial do

1ºgrau os alunos logo reconheceram as variáves, pois neste caso os dados já

estavam modelados, prontos para a resolução. Com os conhecimentos prévios

adquiridos elaboraram a tabela, substituiram os valores em x para a obtenção dos

valores em y. Com os dados tabelados foi esboçado um gráfico que não representou

uma reta como nas funções do 1º grau, pois, os pontos não se encontravam

alinhados, conclui-se que estavam construido um outro tipo de gráfico em forma de

curva que foi explicado denominar-se parábola. Complementou-se a atividade com

exemplos relacionados a outras ciências onde se encontram situações problemas

que podem ser representadas graficamente por meio de uma curva denominada

parábola, como o movimento de uma bola, detalhes arquitetônicos observados nas

construções da atividade 1 da situação de ensino 4, as quais os alunos chamaram

de arcos

Fig. 7 – gráfico 3

fonte: construído pelos alunos através da definição, no geogebra

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Analisando as atividades da situação de ensino 4 percebeu-se que os alunos

mostraram grande interesse, pelas atividades realizadas, principalmente quando a

proposta é uma atividade extraclasse, que dá sentido a aprendizagem, e que permite

concordar com a afirmação de Biembengut e Hein (2005, p. 13), que

“genericamente, pode se dizer que matemática e realidade são dois conjuntos

disjuntos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir”.

Atividade 3 - Pesquisa de Campo

Para concluir a intervenção pedagógica proposta foi realizado um trabalho

extraclasse com os alunos: uma visita a três operadoras de telefonia da cidade. As

orientações para a realização da atividade foram: divisão dos 18 alunos em três

grupo de seis, leitura prévia de um texto antes da saída a campo que abordava os

diversos planos de contas oferecidos pelas operadoras de celulares, as suas

vantagens em relação a custos e duração de ligações, para atrair cada vez mais

clientes.

Considerando o conceito de modelagem proposto por BIEMBENGUT (1996),

neste momento da atividade foi feito a interação dos alunos com o tema da

pesquisa, o reconhecimento da situação problema e a familiarização com o assunto,

para posteriormente definir um modleo matemático.

Para organizar a pesquisa as operadoras foram identificadas com as cores

vermelha, verde e azul e cada grupo pesquisou uma operadora, questionando o

custo fixo de dois planos oferecidos, o custo adicional dos planos por minuto e

fizeram a comparação dos planos pesquisados escolhendo um para apresentá-lo a

todos os participante do grupo de estudo. A preocupação inicial de alguns alunos foi

a elaboração da tabela para o preenchimento dos dados. Os grupos ficaram livres

para fazer uma pesquisa bem detalhada sobre o tema informações que foram

utilizados no processo da modelagem matemática

As três operadoras apresentaram diversos planos, mas os grupos optaram

por dois apenas, concsiderando na escolha o interesse pessoal dos alunos do

grupo. Foi dado a oportunidade de o aluno pesquisar a situação problema num

contexto real, o que tornou a aprendizagem mais significativa.

No grupo da operadora vermelha foram escolhidos os planos R$ 0,21

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ilimitado por chamada para todo o Brasil e o fixo mensal de R$ 35,00, mais adicional

de R$ 0,21 por minuto ilimitado. No grupo que representou a operadora azul os

planos pesquisados foram R$ 39,00, mais R$ 0,50 por minuto, e o plano R$ 35,00

mais R$ 0,25 ilimitado. O grupo verde optou pelo plano fixo de R$ 49,00 mensais e

pelo deR$ 36,00 mensais mais R$ 1,21 ilimitado.

Retornando a escola os dados foram organizados, discutidos e analisados

com o objetivo de transformá-los em linguagem matemática, momento este de

modelar matematicamente os dados pesquisados para chegar a fórmulas ou lei de

formação e encontrar a solução da situação problema pesquisada.

Após a análise feita, os planos escolhidos por cada grupo foram tabelados:

Operadoras Custo fixo mensal do plano Custo adicional por minuto em cada plano

Vermelha R$ 35,00 R$ 0,21 por minuto

Azul R$ 35,00 R$ 0,25 ilimitado

Verde R$ 36,00 R$ 1,21 ilimitado

Fig. 8 – Tabela 3Fonte: representanção da pesquisa feita nas operadoras de telefonia

Os grupos representando as operadoras expressaram os seus modelos

matemáticamente criando as seguintes funções:

Operadora vermelha : y = 35 + 0,21x

Operadora azul : C = 35 + 0,25t

Operadora verde: y = 36 + 1,21x

Para averiguar se os alunos haviam comprendido a situação de ensino

proposta foi retomado o conceito de função polinomial do 1º grau, a partir das

funções por eles modeladas.

Como atividade final os alunos fizeram alguns cálculos variando o tempo de

uso e verificaram quanto pagariam no plano escolhido de cada operadora.

Analisando a aplicação da situação de ensino percebe-se que os alunos

desenvolveram a capacidade de pesquisar, observar e interpretar os dados reais

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presentes na vida cotidiana, e transformá-los em situações que podem ser

resolvidas por meio da modelagem matemática.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

É possível afirmar que após descrever e analisar as atividades propostas no

projeto de intervenção pedagógica ´Modelagem matemática como estratégia de

ensino no estudo de funções no 9º ano do ensino fundamental´ os objetivos

inicialmente propostos de: identificação situações que possam ser modeladas

aplicando o conceito matemático de funções e a utilização da modelagem

matemática para a compreensão significativa de funções afins e quadrática foram

plenamente atingidos.

O uso da modelagem matemática como metodologia para o ensino e

aprendizagem de Matemática no desenvolvimento do projeto permitiu ao aluno

vivenciar as situações problemas descritas nas sequências de ensino da unidade

didática e relacionar com situações do seu cotidiano. Os conteúdos matemáticos

estudados na pesquisa permitiram interpretar os dados coletados e criar um

modelo matemático para expressá-los. Fez com que os alunos se familiarizassem

com o significado de função e comprendessem os conceitos matemáticos de função

do primeiro e segundo graus e suas aplicações.

A questão norteadora deste trabalho foi investigar em que medida a

modelagem matemática empregada no estudo de funções no 9º Ano do Ensino

Fundamental pode contribuir para tornar mais significativa a aprendizagem dos

alunos? Ao concluí-lo pode-se afirmar que apesar do pouco tempo dedicado a

realização das atividades o trabalho revelou a modelagem matemática como

Metodologia de ensino e aprendizagem de matemática que fornece aos alunos a

oportunidade de produzir seus próprios dados, investigar, analisar, discutir, criticar,

tornado-os assim coresponsáveis pelo seu proprio aprendizado. Ela também

promove nos alunos a habilidade de tomar a responsabilidade de resolver seus

problemas, preparando-os a vida futura. Dito de outro modo, os alunos estudarão

matemática porque terão interesse em resolver, interpretar, questionar e propor

soluções para os problemas que, de alguma forma lhes dizem respeito.

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REFERÊNCIAS

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PARANÁ, Secretaria do Estado da Educação. Superintendência de Educação. Departamento de Educação Básica. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática. Curitiba: 2008.

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