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X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade

Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência

1

MODELAGEM MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO E

APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

Emerson Tortola1

Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão - FECILCAM [email protected]

Veridiana Rezende2

Universidade Estadual de Maringá - UEM [email protected]

Talita Secorun dos Santos3

Universidade Estadual de Maringá - UEM [email protected]

Resumo: Em busca de estratégias que contribuam para o ensino e a aprendizagem da

Matemática, desenvolvemos um Projeto de Iniciação Científica, realizado junto ao

NUPEM – Núcleo de Pesquisa Multidisciplinar da FECILCAM – Faculdade Estadual

de Ciências e Letras de Campo Mourão, cujo cerne de nossa pesquisa foi a Modelagem

Matemática na perspectiva da Educação Matemática. Além de estudos teóricos da

literatura brasileira sobre Modelagem Matemática, no decorrer de nosso trabalho

desenvolvemos três atividades de Modelagem Matemática com alunos de Ensino

Fundamental (em apenas uma das atividades ocorreu a participação de três alunos do

Ensino Médio). Neste artigo, nosso objetivo principal é apresentarmos as atividades que

realizamos no projeto e os resultados do desenvolvimento delas junto aos alunos.

Palavras-chave: Cotidiano; Educação Matemática; Modelagem Matemática.

Introdução

Este trabalho é resultado do Projeto de Iniciação Científica, realizado junto ao

NUPEM – Núcleo de Pesquisa Multidisciplinar da FECILCAM – Faculdade Estadual

de Ciências e Letras de Campo Mourão e teve por objetivo principal estudar e propor a

Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino e aprendizagem com a intenção

1 Aluno do programa de iniciação científica do Núcleo de Pesquisa Multidisciplinar (NUPEM) e

acadêmico do curso de Matemática da Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo

Mourão (FECILCAM). 2 Professora do Departamento de Matemática da FECILCAM. Doutoranda do Programa de Pós-

Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da Universidade Estadual de Maringá

(UEM). 3 Professora do Departamento de Matemática da FECILCAM. Mestre pelo Programa de Pós-

Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da Universidade Estadual de Maringá

(UEM).

mailto:[email protected]






2

de contribuir com a prática docente e para um aprendizado matemático mais

significativo para os alunos, levando em conta os aspectos sócio-culturais aos quais

estes estão submetidos.

No decorrer de nosso trabalho desenvolvemos três atividades de Modelagem

Matemática com alunos de Ensino Fundamental e Médio, sendo duas delas de nossa

autoria realizada com alunos de Ensino Fundamental, e uma baseada no artigo de

Sant‟Ana e Sant‟Ana (2007), única atividade que teve a participação de três alunos do

Ensino Médio. As atividades e os resultados obtidos com o desenvolvimento delas com

os alunos estão relatados neste artigo.

Modelagem Matemática no ensino

Em busca de estratégias que além de motivar o ensino e aprendizagem da

Matemática possibilitem um ambiente propício à discussão e principalmente contribuam

para a construção de um conhecimento matemático mais significativo para os alunos,

encontramos a Modelagem Matemática, pois em consonância com Almeida e Dias

(2004) a Modelagem Matemática pode ser uma alternativa para despertar maior

interesse e desenvolver um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos

conteúdos da Matemática.

De acordo com Santos e Bisognin (2007, p.103) existem diversas concepções de

Modelagem Matemática, no entanto, elas possuem a mesma essência, a ideia de utilizar

situações cotidianas para o ensino e aprendizagem da Matemática, possibilitando aos

alunos melhor compreensão dos conteúdos matemáticos que lhes são propostos, e

também a perceberem importância nos conteúdos, uma vez que as atividades propostas

referem-se à realidade em que estão inseridos.

Para Barbosa (2004), o objetivo da Modelagem Matemática é “(...) colocar

lentes críticas sobre as aplicações da matemática” (p.2). Este mesmo autor crê que a

Modelagem “(...) pode potencializar a intervenção das pessoas nos debates e tomadas de

decisões sociais que envolvem aplicações da Matemática” (p.2), contribuindo para que

os alunos apresentem melhores resultados na identificação e solução de problemas reais.

Em conformidade com os PCN (1997)




3

(...) um currículo de Matemática deve procurar contribuir, de um lado,

para a valorização da pluralidade sociocultural, impedindo o processo

de submissão no confronto com outras culturas; de outro, criar

condições para que o aluno transcenda um modo de vida restrito a um

determinado espaço social e se torne ativo na transformação de seu

ambiente (p. 25).

A Modelagem Matemática age neste sentido, valorizando as práticas cotidianas

do aluno e suas experiências adquiridas por meio de um processo sócio-cultural.

No decorrer do nosso projeto buscamos desenvolver atividades que ao mesmo

tempo seduzissem os alunos tratando de questões de seus cotidianos e contribuíssem

para o aprendizado matemático. As atividades foram elaboradas na tentativa de

utilizarmos o segundo e o terceiro caso para atividades de Modelagem Matemática

sugerido por Barbosa (2004),

(...) no caso 2 os alunos deparam-se apenas com o problema para

investigar, mas têm que sair da sala de aula para coletar dados; (...) no

caso 3 trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas „não-

matemáticos‟, que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos.

Aqui, a formulação do problema, a coleta de dados e a resolução são

tarefas dos alunos (p. 4-5).

Deste modo, desenvolvemos as atividades primeiramente apresentando um tema

não-matemático para os alunos, a partir do qual formulamos um problema, de modo que

a busca pela solução deste problema levou os alunos a levantarem hipóteses, simplificá-

las e coletarem dados para resolver matematicamente o problema proposto. O relato das

atividades encontra-se a seguir.

Atividade 1 – Medir a área da superfície corporal: Será que é possível?

Nossa primeira atividade foi baseada em Sant‟Ana e Sant‟Ana (2007) e consistiu

no primeiro contato do acadêmico-pesquisador com um ambiente de aprendizagem

proporcionado pela Modelagem Matemática.

Ocorreu no primeiro encontro com um grupo de cinco alunos participantes do

Estágio de Iniciação Científica na 3ª OBMEP (2007) – Olimpíada Brasileira de

Matemática das Escolas Públicas, dos quais três eram alunos do Ensino Médio e dois do




4

Ensino Fundamental. Nesta situação, propomos aos estudantes4 a questão: Será que é

possível medir a área da superfície corporal do aluno 4A? O aluno 5A respondeu

prontamente: “Claro que dá”. Neste momento os alunos, que ariscaram alguns palpites,

mas sem muito sucesso, foram convidados a medir tendo como “ferramentas” apenas

um pedaço de barbante não-elástico e régua.

Os alunos foram divididos em dois grupos, denominados por Grupo A (com três

alunos do Ensino Médio) e Grupo B (com dois alunos do Ensino Fundamental), e cada

grupo deveria medir um de seus integrantes. O Grupo A terminou a atividade

rapidamente, enquanto o Grupo B encontrou dificuldades para solucionar a atividade,

necessitando de ajuda do acadêmico-pesquisador para concluí-la.

Comentamos da importância de medir a área da superfície corporal, dando como

exemplo sua utilização na medicina. Questionamos aos grupos sobre os valores que

encontraram medindo os colegas e se eles achavam que estavam corretos. E para

confirmarem seus resultados apresentamos três fórmulas5 utilizadas para o cálculo da

Área da Superfície Corporal: “Fórmula para crianças de 3 a 30 kg”: A1=(m+4)/30;

“Fórmula dos fisiologistas”: A2=(0,11) 3 ²m ; e “Fórmula de Mosteller”: A3 = mh /60.

Onde A representa área da superfície corporal, m a massa corporal e h a altura.

Os resultados obtidos pelos grupos, tanto pela medição realizada, bem como

pelas fórmulas apresentadas, são expostos na Tabela 1 (em metros quadrados).

Tabela 1 – Área da Superfície Corporal encontrada pelos grupos

Grupo Modelagem A1 A2 A3

A 1,66 2,36 1,81 1,83

B 1,73 1,96 1,61 1,59

Esta atividade abordou conceitos de geometria, pois os alunos necessitaram

aproximar partes do corpo em formas geométricas, como por exemplo, a cabeça em

esfera e o tronco em cilindro, para que pudessem calcular a área pretendida e chegar a

4 Enumeramos os alunos de acordo com o número de participantes em cada atividade seguindo

uma ordem alfabética para assim preservar suas identidades. Desta forma, cada uma das três

atividades apresentadas segue nova numeração, sucedida pelas letras A - atividade da Área da

superfície corporal, C - atividade com o Computador ou Q - atividade da Quadra. 5 As três fórmulas foram encontradas em Sant‟Ana e Sant‟Ana (2007).




5

uma solução. Ao final da atividade discutimos sobre os resultados encontrados, se eram

ou não convincentes e todos concordaram que a solução encontrada era aceitável.

Pedimos para os alunos responderem individualmente um questionário, por meio

do qual percebemos que atividades deste tipo não são realizadas com frequência nas

escolas, isto pode ser constatado pelas respostas dos alunos: “Já estudei problemas que

envolviam área, porém nada parecido com esta atividade” (aluno 3A). “Eles [a escola]

não tem esse hábito. [...] No meu colégio, nós estudamos principalmente a teoria, mas

sem nenhuma aplicação prática” (aluno 1A).

Com esta atividade percebemos como os alunos sentem a divisão da matemática

em teoria e prática, o que muitas vezes acaba dificultando o aprendizado. Já com

atividades de Modelagem os alunos sentem-se mais motivados, como percebemos nos

relatos a seguir: “Este tipo de atividade é importante pois pode ajudar a resolver

problemas do cotidiano (...)” (aluno 3A), “o contato real com a situação-problema

ajuda a desenvolver a capacidade de interar a teoria com a prática (...)” (aluno 5A) e

“a aula fica mais dinâmica, divertida e eu aprendo mais que uma aula normal (...) No

geral gostei muito da atividade e gostaria de fazer outras semelhantes (...)” (aluno 4A).

Atividade 2 – Estudando Matemática com o auxílio do computador

A segunda atividade foi desenvolvida com um grupo de alunos da quarta série

do Ensino Fundamental de uma Escola Pública do município de Terra Boa - PR, com a

intenção de explorar conteúdos matemáticos por meio do computador, mais

especificamente com o software Microsoft Excel, que até o momento da atividade

poucos alunos tinham conhecimento. O tema desta atividade foi o Orkut, um site de

relacionamentos que estava em evidência na época da pesquisa e que era sempre

discutido pelos alunos no Laboratório de Informática com o acadêmico-pesquisador que

também era estagiário e monitor de informática nesta escola.

O grupo, composto por quinze alunos das duas quartas séries da escola, foi

escolhido por sorteio, a critério das professoras regentes das turmas. Os encontros foram

semanais, e duraram três meses, sempre realizados no contra turno no Laboratório de

Informática cedido pela própria escola dos alunos.




6

Inicialmente pedimos para os alunos responderem um questionário para verificar

qual a relação deles com a informática e percebermos quais eram suas expectativas em

relação à Matemática. Detectamos que a maioria dos alunos reconhece a importância,

mas não entendem o porquê de se estudar Matemática. Como observamos nas suas

justificativas sobre a importância do estudo da Matemática: “Para aprender mais coisas

e ficar mais inteligente nas aulas” (aluno 11C) ou “Porque é muito importante para o

nosso futuro” (aluno 7C). Também constatamos que poucos têm acesso à internet, e os

que têm, não são habituados a utilizá-la como instrumento favorável ao estudo.

Ainda no primeiro encontro ensinamos o jogo – Batalha Naval que tem por

objetivo explorar o conceito de par ordenado e possibilitou aos alunos entenderem o

sistema cartesiano, um dos princípios básicos do software Excel.

No encontro seguinte, propomos a seguinte questão: Será que existe Matemática

no Orkut? Muitos alunos duvidaram dessa possibilidade, então os convidamos a

pesquisarem a respeito do Orkut, a fim de conhecerem um pouco sobre sua história.

Nestas pesquisas, realizadas na internet, que havia disponível no local, os alunos

encontraram vários dados, inclusive gráficos com informações sobre o Orkut, que os

levaram a concluir que o site está mais envolvido com os números do que imaginavam.

Nestas pesquisas, a quantidade de participantes do Orkut, que apresentou um

aumento considerável nos últimos anos, chamou a atenção dos alunos, nos levando a um

problema: A quantidade de participantes do Orkut continuará sempre aumentando?

Este problema nos direcionou a outras duas questões, que tivemos como meta

responder com os alunos: Qual a quantidade de participantes que está aumentando a

cada dois meses? Este número poderá continuar crescendo de modo tão acelerado

como vem ocorrendo? Para resolverem estas questões, os alunos tiveram que coletar

dados, os quais foram organizados em uma tabela com auxílio do Excel, possibilitando

a construção de um gráfico (Figura 1), que representa a evolução do número de usuários

do Orkut desde sua criação até o momento da pesquisa.




7

0

10000000

20000000

30000000

40000000

50000000

60000000

70000000

QUANTIDADE DE

USUÁRIOS

AUMENTO

EVOLUÇÃO DO Nº DE USUÁRIOS DO ORKUT

22/01/04

15/07/04

28/01/05

10/04/06

06/06/06

07/08/06

18/10/06

05/12/06

19/01/07

09/04/07

30/06/07

20/08/07

Figura 1 – Evolução do Número de usuários do Orkut

Analisando o gráfico os alunos concluíram que nem sempre a quantidade de

usuários continuará aumentando, podendo se estabilizar ou até mesmo diminuir, o que

pode ocorrer devido ao surgimento de uma nova atração na internet que seja mais

interessante que o Orkut ou quando todos os interessados já tiverem criados suas contas.

No entanto, para chegarem a tal solução os alunos estudaram diversos conceitos

matemáticos sugeridos pelos PCN (1997) para alunos de 4ª série: as quatro operações

elementares da Matemática, porcentagem, par ordenado, plano cartesiano, organização,

análise e tabulação de dados e representações e interpretações de gráficos e tabelas.

Além disto, eles aprenderam a lidar com a aparência e design de seus gráficos e tabelas.

Para revisarem o que aprenderam com esta atividade, preparamos um

questionário relacionado com Internet e Orkut, para que os próprios alunos

entrevistassem seus colegas da escola e fizessem a tabulação dos dados, construindo

tabelas e gráficos no Excel. Para isto, escolhemos uma das questões e os resultados

obtidos pelos alunos que são apresentados na Tabela 2.

Tabela 2 – Questão 6: Você tem conta no Orkut?

Sim Não Não respondeu Nº de entrevistados

3ª A 10 14 0 24

3ª B 4 11 1 16

4ª A 5 9 0 14

4ª B 11 13 0 24

Total 30 47 1 78

Total (%) 38,46% 60,26% 1,28% 100%




8

A partir da Tabela 2, os alunos construíram dois gráficos, um de barras (Figura

2), e outro com a porcentagem, conceito abordado especificamente para uma melhor

análise destes dados e construção do gráfico de setores (Figura 3).

05

10

1520

2530

35

4045

50

Nº DE

PESSOAS

3ª A 3ª B 4ª A 4ª B Total

TURMAS

6- VOCÊ TEM CONTA NO ORKUT?

SIM

NÃO

NÃO

RESPONDEU

Figura 2 - Gráfico de Barras referente à

tabela 2

6- VOCÊ TEM CONTA NO ORKUT?

38%

61%

1%

SIM

NÃO

NÃO

RESPONDEU

Figura 3 - Gráfico de Setores referente à

tabela 2

Ao término das atividades fizemos uma reflexão geral dos encontros com os

alunos e para nossa satisfação deixaram claro que gostaram dos encontros e aprenderam

Matemática de um modo diferente, como podemos observar nos relatos apresentados a

seguir: “eu achei legal foi muto bom aprendi muito sobre matematica fisemos

atividades muitos legais apredemos muito mais sobre o orkut e sobre o exel enfim eu

gostei muito pra min foi otimo eu adorei as aulas de matematetica” (aluno 9C). E “O

que eu mais gostei nas aulas de matematica foi as pesquisas, o excel, o plano

cartesiano, o jogo batalha naval, e muito mais. nas aulas aprendemos a fazer graficos,

porcetagem, seguencia, etc. E também aprendemos que a matematica esta em [todos]os

lugares.” (aluno 1C).

Atividade 3 – Custeando o término da construção de uma quadra esportiva

Esta atividade foi desenvolvida com uma turma de alunos da 5ª série do Ensino

Fundamental de uma Escola Estadual do município de Terra Boa - PR, da qual o

acadêmico-pesquisador era professor regente. Foi proposto aos alunos um problema da

realidade escolar destes alunos: É possível calcular o orçamento aproximado para o

término da construção da quadra esportiva da escola que se apresenta apenas com a

cobertura pronta? Esta obra já foi requerida ao governo do estado do Paraná e segundo

o diretor foi recentemente aprovada.




9

Para responder a questão proposta surgiu a necessidade de resolver inicialmente

outras questões: Quais os materiais necessários para a construção da quadra? Qual a

quantidade necessária de cada material? Quais os preços e os custos desses materiais?

Quanto é cobrado de mão-de-obra para uma obra como esta? E finalmente, é possível

calcular o custo total da construção da quadra de nossa escola?

O objetivo deste trabalho foi introduzir o conteúdo Números Racionais, optando

por uma diferente maneira de ensinar. Percebemos a empolgação dos alunos em

resolver o problema já que muitos disseram ter pais ou parentes pedreiros.

Para início da atividade foi necessário medir a quadra, pedimos para os alunos se

dividirem em cinco grupos para facilitar a medição, que para a surpresa deles deveria

ser feita com canudinhos. A reação em geral foi a mesma: “com canudinhos?”,

entretanto mostraram-se interessados na realização desta tarefa.

Figura 4 – Foto da quadra esportiva da

escola

Figura 5 – Alunos medindo a quadra com

canudinhos

Após a coleta dos dados voltamos à sala e fizemos as conversões necessárias,

encontrando as seguintes medidas para a quadra: 55,104 metros de comprimento;

23,124 metros de largura e 3,198 metros de altura. Um fato interessante percebido pelos

alunos é a regularidade na divisão por 10 e por 100, graças às conversões: “Nossa! Olha

que legal professor... só a vírgula que muda de lugar” (aluno 6Q). Aproveitamos este

momento para ensinar os alunos a utilizarem calculadora.

Para nos auxiliar com os dados para a atividade, procuramos um pedreiro da

cidade, que não pôde ir à sala de aula, mas nos auxiliou no cálculo da quantidade de

materiais. Apresentamos aos alunos estas quantidades, e os deixamos encarregados de

pesquisar os preços dos materiais nos depósitos de construção da cidade. Por meio das

pesquisas dos alunos, verificamos quais os preços mais baratos da cidade. Construímos




10

uma tabela no quadro com a quantidade necessária de cada material, de acordo com as

informações do pedreiro, e o preço total de cada material (ver tabela 3).

Tabela 3 – Preço dos materiais de acordo com a quantidade necessária na construção da quadra

MATERIAL QUANTIDADE PREÇO TOTAL DO MATERIAL

Lajotas 31.820 unidades R$ 10.182,40

Ferragem 800 quilos R$ 4.420,00

Areia 300 metros R$ 19.500,00

Pedra 250 metros R$ 15.000,00

Cimento 600 pacotes R$ 12.600,00

Cal 800 pacotes R$ 5.600,00

Questionamos aos alunos como calcular o montante total necessário à

construção da quadra, inclusive com a mão-de-obra dos pedreiros, que nesta obra seria

em torno de R$18000,00, para os três meses, contando com o serviço de cinco

pedreiros. Desta forma, junto com os alunos, obtivemos à seguinte expressão

matemática que pode ser considerada o modelo matemático para a situação em questão:

CT = PL + PF + PA + PP + PC + PK + M,

onde, CT representa o Custo Total que seria gasto na construção, PL o preço das lajotas,

PF o preço das barras de ferro, PA o preço da areia, PP o preço das pedras, PC o preço do

cimento, PK o preço do cal e M o preço da mão-de-obra. Com este modelo pudemos

concluir que o custo da construção dessa quadra ficaria em torno de R$ 81.952,40,

preço que os alunos concordaram que a Escola sozinha não teria condições de bancar,

por isso é preciso da ajuda do Governo do Estado.

Os alunos ficaram admirados com o resultado e satisfeitos por terem solucionado

o problema proposto. Este trabalho possibilitou o estudo de vários conceitos

matemáticos indicados pelos PCN como requisitos para 5ª série, como conversões,

unidades de medidas, áreas, perímetros, operações elementares com números racionais

em particular os decimais, construção de tabelas, uso de tecnologias (calculadora). E

deixamos uma sugestão para o uso de softwares como, por exemplo, o Excel para o

auxílio dos cálculos e construção das tabelas, porém, não foi possível utilizarmos

devido à falta de tempo. Outro ponto que consideramos positivo na realização desta

atividade foi o (re)conhecimento e valorização do trabalho realizado pelos pedreiros,

bem como da percepção da quantidade de conceitos matemáticos que eles utilizam.




11

Considerações Finais

Podemos concluir que o desenvolvimento deste trabalho contribuiu de alguma

forma com cada um dos alunos que participaram das atividades propostas, pois além de

aprenderem, discutirem e revisarem conteúdos matemáticos, eles estudaram a

Matemática de forma dinâmica, em situações que talvez nunca tivessem imaginado,

como por exemplo, no Orkut, na quadra da escola, no serviço dos pedreiros, medindo a

área da superfície corporal de uma pessoa, enfim, em situações que fazem parte de seu

meio e chamam a atenção dos alunos, contribuindo na compreensão e construção de um

conhecimento matemático mais significativo, crítico e reflexivo.

Este trabalho teve contribuição especial para a formação do acadêmico-

pesquisador, proporcionando-lhe reflexões sobre o Ensino da Matemática, diversas

leituras de textos de Modelagem Matemática, o contato direto com alunos da Educação

Básica, a participação em eventos de Educação Matemática e a escrita deste trabalho.

Referências

ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem

Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. In: Bolema. Rio Claro, 2004.

BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Porque? Como? In:Veriati. 2004.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

SANT‟ANA, A. A.; SANT‟ANA, M. F. Modelagem Matemática: uma experiência

inicial. In: Anais do V CNMEM. 2007.

SANTOS, L. M. M.; BISOGNIN, V. Experiências de ensino por meio da modelagem

matemática na educação fundamental. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A.D.;

ARAÚJO, J. L. Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira:

pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007.

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