* Assistente Técnico em Mecatrônica – Móveis Designer. Graduando em Engenharia Mecatrônica na

Faculdade Eniac. E-mail: adrianosena_01@hotmail.com

** Estudante de engenharia Mecatrônica – Graduando em Engenharia Mecatrônica na Faculdade Eniac. E-mail: guilherme_m7@hotmail.com *** Técnico de Atendimento Avançado-Atlas Schindler Elevadores. Graduando em Engenharia Mecatrônica na Faculdade Eniac. E-mail: ruf_leonan@hotmail.com

Modelagem, Simulação e Análise de Dinamômetro Aplicado ao

Sistema de Controle de Silo Dosador de Polietileno.

Adriano Sena

Guilherme Ribeiro

Leonan Pereira

Resumo

Este projeto tem a finalidade de modelagem de um sistema dinamômetro,

introduzido na indústria. Mostrar que o dinamômetro aplicado ao silo dosador tem a

capacidade de medir a força peso em função do deslocamento e é utilizado em uma

função de dosagem, para obter o controle da vazão de grãos (polímeros). O

desenvolvimento deste trabalho tem como objetivo apresentar a modelagem e a

simulação usando como ferramenta o software MATLAB® e o modelo básico deste

processo, no caso, o sistema massa-mola-amortecedor, observando o

comportamento deste sistema na simulação e analise dos gráficos obtidos na

simulação, aplicando as equações, funções de transferência de segunda ordem e

apresentar as pesquisas bibliográficas proporcionadas neste artigo.

Palavra chave: modelagem, polímeros, massa-mola-amortecedor MATLAB®.

1. Introdução

A relação abordada neste artigo foi à modelagem de um sistema de massa mola

para um silo dosador, funcionando com o conceito do dinamômetro, com

elaborações do projeto e cálculos a ser desenvolvidos.

O desenvolvimento dessa modelagem visa à automatização do sistema, com uma

melhor precisão na dosagem dos granulados (polímeros) de polietileno, com

cálculos mais precisos para o conceito de utilizar a espessura e o dimensionamento

das molas deste processo.

2

Os cálculos da modelagem são inseridos para demonstrar e simplificar com clareza

a elasticidade do dinamômetro, processando a abertura e o fechamento para as

misturas do polietileno e obter variadas tipos de cores, no exemplo de uma garrafa

pet, que precisa de certa mistura de material para conseguir a cor desejada.

O modelo matemático é constituído por uma ou mais equações diferenciais ou dinâmicas, além de, eventualmente, um ou mais equações algébricas. O modelo matemático pode ser apresentado de varias formas equivalentes, nas quais as variáveis internas do sistema, em geral, não são a mesma. (Maya 2011, p. 09)

É estimado o objetivo de desenvolver analises para melhorar toda a perda de

material e ser eficaz no tempo de produção, com isso obtendo qualidade sem perda.

2. Desenvolvimento

2.1 Fundamentação Teórica

Neste capitulo será abordado os conceitos e as aplicações referente ao projeto de

modelagem, assim como as definições dos elementos nele contido.

2.1.1 Conceitos e aplicações

A aplicação abordada neste trabalho acadêmico foi à modelagem de um

dinamômetro conforme a figura (1), utilizado em um sistema de silos dosadores

demonstrado na figura (2), onde foram desenvolvidos cálculos e analises gráficas

através do software MATLAB®.

Os cálculos usados neste artigo tiveram como base as leis de Newton e de Hooke,

equações diferenciais foram usadas para a obtenção da função de transferência

deste sistema.

Figura 1 – Dinamômetro

Fonte: Dados do Autor

3

Figura 2 – Silo dosador

Fonte: AWK – silo dosador

Segundo Brockman (2013, p. 206): “Uma vez reunidas às equações de estado,

podemos reuni-las em uma tabela e calcular os valores numéricos dos parâmetros

para cada estado”.

Com a implantação deste sistema foi constatado uma melhoria significativa, devido à

redução de desperdício, dosagem equilibrada e de fácil controle em sua troca de

produto na linha de produção, conforme a figura (3).

Figura 3 – Silo dosador

Fonte: technoservice

A modelagem deste sistema teve como principio a melhoria e qualidade do produto,

onde seu resultado foi obtido através da transformada de Laplace.

2.1.2 Definições dos elementos

Massa: quantidade de matéria que um corpo possui, fisicamente falando, esta

matéria e responsável pela resistência de movimento deste determinado corpo, onde

o seu peso é a força pela qual a terra exerce por este corpo, que dado pela equação

(1)

𝑚 =𝜔

𝑔

(1)

4

Onde:

𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎(𝐾𝑔)

𝜔 = 𝑝𝑒𝑠𝑜(𝐾𝑔𝑓)

𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒(9,81𝑚𝑠2⁄ )

O peso de um corpo pode variar de ponto para outro, porem a sua massa continua a

mesma.

Força: medida usada para deslocar uma determinada massa, conforme a segunda

lei de Newton afirma, a força é sempre diretamente proporcional ao produto da

aceleração de um corpo pela sua massa, conforme a equação (2) representada

abaixo.

Conforme Halliday (2006, p. 97) “Primeira lei de Newton: Se nenhuma força

resultante atua sobre um corpo (𝐹𝑟𝑒𝑠⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0), a velocidade do corpo pode mudar; ou

seja, o corpo não pode acelerar”.

𝐹 = 𝑚 × 𝑎

(2)

Onde:

𝐹 = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎(𝑁)

𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎(𝐾𝑔)

𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 (𝑚 𝑠2⁄ )

Halliday (2006) afirma que a resultante de aceleração é proporcionada pela soma

dos componentes de força ao longo do mesmo.

5

3. Modelos de sistemas matemáticos

3.1 Sistema MMA linear

Para a modelagem de sistemas mecânicos de translação faz-se a utilização das leis

de Newton, para um sistema (MMA) massa-mola-amortecedor, logo este sistema

pode representar um dinamômetro, o diagrama de corpo livre demonstra as forças

que são exercidas, onde a massa exerce uma força peso para baixo e o

amortecedor (atrito com as paredes) mais mola exercem forças contrarias, logo é

linear e proporcional à força peso, a equação (3) que descreve este sistema é

demonstrada a seguir:

𝑀 =𝑑2(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)

(3)

Figura 4 – (a) Sistema massa-mola-amortecedor. (b) Diagrama de corpo livre

Fonte: Dorf (2011, p.33)

3.1.2 Equações:

Somando as forças aplicadas sobre M e utilizando a segunda lei de Newton, resulta.

6

𝑀 =𝑑2(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)

(4)

Onde k é uma constante de mola de uma mola ideal e b é a constante de atrito. A equação (4) é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. (Dorf 2011, p. 33).

3.1.3Transformada de Laplace

A habilidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite que o analista considere o uso da Transformada de Laplace. O método substitui as equações diferenciais de difícil solução por equações algébricas relativamente fáceis de serem resolvidas. A solução da resposta no domínio do tempo é obtida através das seguintes operações: (Dorf 2011, p. 36 – 37)

Obter as equações diferenciais linearizadas.

Resolver a equação algébrica resultante para a transformada da variável de

interesse.

Para ilustrar a utilidade da transformada de Laplace e os passos envolvidos na

analise do sistema, reconsidere o sistema MMA, segundo a equação:

𝑀 =𝑑2(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)

(5)

Deseja – se obter a resposta, y, como uma função do tempo. A transformada de

Laplace da equação é:

𝑀 (𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0−) −𝑑𝑦

𝑑𝑡(0−)) + 𝑏(𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0−)) + 𝑘𝑌(𝑠) = 𝑅(𝑠)

(6)

Quando

𝑟(𝑡) = 0, 𝑒 𝑦(0−) = 𝑦0, 𝑒 𝑑𝑦

𝑑𝑡|𝑡=0−

= 0

(7)

7

tem - se

𝑀𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑀𝑠𝑦0 + 𝑏𝑠𝑌(𝑠) − 𝑏𝑦0 + 𝑘𝑌(𝑠) = 0

(8)

Resolvendo – se para Y(s), obtêm-se:

𝑌(𝑠) =(𝑀 + 𝑏)𝑦0

𝑀𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘=

𝑝(𝑠)

𝑞(𝑠)

(9)

3.1.4 Função de transferência de sistemas lineares

Dorf (2011) afirma que a função de transferência é definida através da analogia

entre a transformada de Laplace da variável de saída e a transformada de Laplace

da variável de entrada, logo com condições iniciais nulas, ou seja, iguais a zero.

Funções de transferência só podem ser determinadas para sistemas lineares e

estacionários (que tem valores constantes), sistemas contrários chamados de

sistemas variante no tempo não se utilizam a transformada de Laplace.

A função de transferência do sistema MMA, que será modelado através da equação

10, logo abaixo:

𝑀𝑠2𝑌(𝑠) + 𝑏𝑠𝑌(𝑠) + 𝑘𝑌(𝑠) = 𝑅(𝑠)

(10)

Logo, a função de transferência é conforme a equação 11:

𝑆𝑎í𝑑𝑎

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎= 𝐺(𝑠) =

𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠)=

1

𝑀𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘

(11)

Onde:

𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎

𝐵 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

𝐾 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑎

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4. Resultados

Figura 5 – gráfico teste 1

Fonte: Simullink, MATLAB® 2012.

𝑀 = 5,𝐵 = 7, 𝐾 = 1

Conforme a figura (5) acima que representa um gráfico onde foi usada uma carga

de 5𝐾𝑔 com uma constante de amortecimento dimensionado para 7𝑁. 𝑠𝑚⁄ e na

constante de mola foi usado 1𝑁𝑚⁄ , pois neste caso trabalhamos com uma

constante nula, onde foi constatado que o sistema estabilizou em 35 segundos, onde

ao atingir este tempo o abastecimento será cortado, que resultará em 5𝐾𝑔 de

polímeros com a cor pré-estabelecida conforme a produção necessária.

9

Figura 6 – gráfico teste 2

Fonte: Simullink, MATLAB® 2012

𝑀 = 3,𝐵 = 2, 𝐾 = 1

Neste caso foi usada uma massa maior que o coeficiente de amortecimento,

conforme a figura (6) demonstra acima, com uma massa de 3𝐾𝑔 e o coeficiente de

amortecimento dimensionado para 2𝑁. 𝑠𝑚⁄ . Percebemos que houve um pico no

instante 7 segundos tendendo a estabilizar em 17 segundos.

10

Figura 7 – gráfico teste 3

Fonte: Simullink, MATLAB® 2012

𝑀 = 3,𝐵 = 10,𝐾 = 30

O gráfico acima representado na figura (7) demostra uma simulação com uma

massa de 3𝐾𝑔, o coeficiente de amortecimento dimensionado com 10𝑁. 𝑠𝑚⁄ e uma

constante de mola 30𝑁𝑚⁄ . Percebesse que Devido ao alto valor da constante de

elasticidade da mola tivemos uma estabilidade rápida, cerca de 5 segundos, porem

pouco segura devido ao efeito chicote no amortecimento.

5. CONCLUSÃO

Com o projeto, objetivamos demonstrar um sistema com base em um dinamômetro,

com o intuito de evidenciar como o processo simplifica a separação de polímeros

coloridos, para obter uma cor desejável pela indústria.

Para desenvolver a modelagem deste processo foi necessário pesquisar todas as

variáveis do sistema massa-mola-amortecedor a serem utilizados como referencias,

amortecedores, atuadores, e derivados de massa-mola.

Com a devida pesquisa, o grupo decidiu trabalhar na modelagem de um

dinamômetro com a aplicação em um (Silo dosador), com isso foi utilizado o

11

software MATLAB® para simular as equações, usando a transformada de Laplace. A

partir dos resultados obtidos este artigo demonstra um modelo matemático,

introduzido no sistema do dinamômetro, massa mola amortecedor, é eficiente para a

conclusão dos fatores que influenciam no tempo de resposta da mola e de todo o

sistema de amortecimento.

Com isso o sistema fica estável com sua características pré-definidas, mostrado no

gráfico do MATLAB®, pode concluir que os valores

𝑀 = 5𝐾𝑔, 𝐵 = 7𝑁. 𝑠𝑚⁄ , 𝐾 = 1𝑁

𝑚⁄ foram o que melhor se encaixaram para essa

estabilidade, por fim, este artigo mostra a pratica desenvolvida e empregada no

decorrer do projeto.

12

6. Referências

Dorf, Richard C.: Sistemas de controle moderno / Richard C. Dorf, Robert H.

Bishop; tradução e revisão técnica Jackson Paul Matsuura – [Reimpr.]. – Rio de

Janeiro: LTC 2011.

Leonardi, Fabrizio: Controle essencial / Fabrizio Leonardi e Paulo Maya. – São

Paulo: Pearson Prentice, 2011.

Ogata, Katsuhiko: Engenharia de controle moderno / Katsuhiko Ogata; tradutora

Heloísa Coimbra de Souza; revisor técnico Eduardo Aoun Tannuri. – 5. Ed. –São

Paulo: Pearson Prentice, 2010.

Brockman, Jay B.: Introdução à engenharia e solução de problemas / Jay B.

Brockman; tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. – [Reimpr.]. – Rio de

Janeiro: LTC, 2013.

Halliday, David, 1916 – Fundamentos de física. v.1 : mecânica / David Halliday,

Robert Resnik, Jearl Walker; tradução Flávio Meneses de Aguiar, José Wellington

Rocha Tabosa. – Rio de Janeiro: LTC, 2006.