Modelagem Tanque de Nível
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Exercícios Simulink: 1) Temos a simulação de um tanque de nível sob a influência de uma perturbação degrau nas vazões de alimentação. A figura descreve o sistema físico que será simulado. Assumindo que: - a densidade do líquido e a área da seção transversal do tanque A são constantes. - a relação entre a vazão e a carga é linear: 3 q h/R Balanço de massa no tanque: e s dm m m dt 1 2 3 dm q q q dt m V e V=Ah 1 2 dh h A q q dt R 1 2 q q dh h dt A A AR [L/T] Como a unidade dos termos da equação acima é comprimento por tempo, podemos concluir que o produto AR possui unidade de tempo. Dessa forma podemos introduzir uma constante de tempo AR . Assim:
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Modelagem Tanque de Nível
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Exercícios Simulink:
1) Temos a simulação de um tanque de nível sob a influência de uma perturbação degrau
nas vazões de alimentação. A figura descreve o sistema físico que será simulado.
Assumindo que: - a densidade do líquido e a área da seção transversal do tanque A são
constantes. - a relação entre a vazão e a carga é linear:
3q h / R
Balanço de massa no tanque:
e sdm m mdt
1 2 3dm q q qdt
m V e V=Ah
1 2dh h A q qdt R
1 2q qdh hdt A A AR
[L/T]
Como a unidade dos termos da equação acima é comprimento por tempo, podemos concluir que o produto AR possui unidade de tempo. Dessa forma podemos introduzir uma constante de tempo AR .
Assim:
1 2
0 rp
q qdh hdt A At h h
(Modelo dinâmico do processo)
No regime permanente:
1 20rp rp rpq q hA A
Subtraindo a equação do modelo dinâmico da equação do regime permanente:
1 1 2 2
0
rp rprp
rp
h hq q q qdhdt A At h h
Variáveis desvio:
1 1 1
2 2 2
rp
rp
rp
Q q qQ q qH h h
dH dhdt dt
Substituindo as variáveis desvio nas equações acima:
1 2
0 0
Q QdH Hdt A A
t H
(Modelo dinâmico em termos das variáveis desvio)
Aplicando a Transformada de Laplace:
0sH H 1 2Q Q HA A
1 2
1 2
1 2
1
1 1
1 11 1
Q QH s /A A
Q QHA s / A s /
Q QHA s A s
1 2
1 1Q QH
A s A s
1 21 1R RH Q Q
s s
1 21 1p pK K
H Q Qs s
Neste caso temos duas funções de transferência:
1 1pK
G ss
que representa 1
HQ
2 1pK
G ss
que representa 2
HQ
1 1 2 2H G Q G Q
Diagrama de blocos:
Para o exemplo em questão considere um tanque de 0,5 m de diâmetro e uma válvula na saída na linha atuando sob uma resistência linear (R) de 6,37 min/m2.
Serão simulados um degrau de 1 ft3 na vazão q1 a partir do tempo igual a 0 min (step) e um degrau de 1 ft3 na vazão q2 a partir do tempo igual a 10 min (step1).
Calcule inicialmente A e
22 20 5 0 196
2,A r , m
0 196 6 37 1 25AR , , , s
SIMULAÇÃO NO SIMULINK
++
2) Dois tanques de nível em série e sem interação:
Balanço no primeiro tanque:
11 1
dhA q qdt
Sabemos que:
11
1
hqR
Portanto:
1 1
1 1 1
dh hqdt A A R
Modelo dinâmico:
1 1
1 1
1 10 rp
dh hqdt A
t h h
No regime permanente:
1
1 1
0rprp hq
A
Variáveis desvio:
rpQ q q
1 1 1rpH h h
Subtraindo a equação do modelo dinâmico da equação do regime permanente:
1 1
1 1
10 0
dH HQdt A
t H
(Modelo dinâmico em termos das variáveis desvio)
Aplicando a transformada de Laplace:
11
1 1
HQsHA
1 1
11 1 11 1
Q RH QA s s
Função de transferência para o primeiro tanque:
1 1
1 1H R
sQ
Balanço no segundo tanque:
22 1 2
dhA q qdt
Sabemos que:
22
2
hqR
Portanto:
2 1 2
2 1 2 2
dh h hdt A R A R
Modelo dinâmico:
2 1 2
2 1 2
2 20 rp
dh h hdt A R
t h h
No regime permanente:
1 2
2 1 2
0rp rph h
A R
Subtraindo a equação do modelo dinâmico da equação do regime permanente:
2 1 2
2 1 2
20 0
dH H Hdt A R
t H
Aplicando a transformada de Laplace:
1 22
2 1 2
H HsHA R
2 1
22 1 2 1
HHA R s
Mas:
11
1 1RH Qs
e 2 2 2A R
Portanto:
22
AH 2
2
RA 1R
1
2 1R
s 1 1Q
s
2
21 2
11 1
RH Qs s
Função de transferência do processo:
2 2
1 2
11 1
H Rs sQ
Diagrama de blocos:
Onde: 1
1
11
Gs
e
22
2 1RGs
2
SIMULAÇÃO NO SIMULINK
Considere uma perturbação degrau unitário na entrada do primeiro tanque e os seguintes valores de parâmetros:
1
2
2
2
10 51
0 5
,R
A ,
3) Dois tanques de nível em série e com interação:
Os balanços nos dois tanques são os mesmos, porém a vazão de saída no tanque 1 é dada por:
1 1 21
1q h hR
Balanço no primeiro tanque:
11 1
dhA q qdt
Assim:
1 1 2
1 1 1 1 1
dh h hqdt A A R A R
1 1 2
1 1 1
1 10 rp
dh h hqdt A
t h h
No regime permanente:
1 2
1 1 1
0rp rprp h hq
A
Subtraindo a equação do modelo dinâmico da equação do regime permanente e aplicando as variáveis desvio:
1 1 2
1 1 1
10 0
dH H HQdt A
t H
Aplicando a transformada de Laplace:
1 21
1 1 1
H HQsHA
1
1 21 1
11 1
RH Q Hs s
Para o tanque 2:
22 1 2
dhA q qdt
2 1 2 2
2 1 2 1 2 2
2 20 rp
dh h h hdt A R A R A R
t h h
No regime permanente:
1 2 2
2 1 2 1 2 2
0rp rp rph h h
A R A R A R
Subtraindo a equação do modelo dinâmico da equação do regime permanente e aplicando as variáveis desvio:
2 1 2 2
2 1 2 1 2 2
20 0
dH H H Hdt A R A R A R
t H
Aplicando a Transformada de Laplace e sabendo que
11 2
1 1
11 1
RH Q Hs s
:
2 2 2 1 12 2 2
2 2 2 1 2 1 1 1
1 11 1
A R A R RsH H Q HA R A R A R s s
1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2
2 2 1 2
1 1s A R R s s A R A R A RA R R A
1 1s 2
2
1HA
1 1s
Q
21 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2A R A R s A R A R s A R s A R s A R 2 1 2 2A R A R 2 2 2 1
2 1
1H A R R Q A R
21 2 2 2 2 1 2 1 2 21A R s A R s A R s s H R Q
21 2 2 1 2 1 2 21s s A R s s H R Q
2
2 21 2 1 2 1 2 1
RH Q s A R s
Função de transferência do processo:
2 2
21 2 1 2 1 2 1
H RQ s A R s
Diagrama de blocos:
Onde:
21 2
1 2 1 2 1 2 1RG
s A R s
SIMULAÇÃO NO SIMULINK
Considere uma perturbação degrau unitário na entrada do primeiro tanque e os seguintes valores de parâmetros:
1
2
2
2 1
10 51
0 5
,R
A A ,
2
