METODOLOGIAS PARA ABORDAGEM DA TEORIA DOS GRAFOS NO ENSINO MÉDIO: EXPERIÊNCIAS VIVENCIADAS POR MEIO DE

OFICINAS DE LABORATÓRIO

Lauro Chagas e Sá [Bolsista Pibic/Facitec], Sandra Aparecida Fraga da Silva [orientadora]

Coordenadoria do Curso de Licenciatura em MatemáticaGrupo de Pesquisa em Práticas Pedagógicas de Matemática – Grupem

Instituto Federal do Espírito Santo – IfesCampus Vitória

lauro_sa@live.com, sandrafraga7@gmail.com

Resumo – Nas últimas décadas, pesquisas da área de Educação e Educação Matemática sugerem a abordagem da Teoria dos Grafos no Ensino Fundamental e Médio, como viés para discussão de problemas de matemática aplicada ao cotidiano escolar. Nesse cenário, no ano de 2009, o Currículo Básico da Escola Estadual do Espírito Santo, passou a prever o ensino da Teoria dos Grafos nos dois últimos anos do Ensino Médio. Face à inclusão curricular da Teoria dos Grafos, emerge a necessidade de se discutir este tópico com alunos de licenciatura e docentes da Educação Básica. Compartilhamos neste trabalho experiências vivenciadas por meio de oficinas de laboratório, que foram realizadas no Instituto Federal do Espírito Santo, na Universidade Federal do Espírito Santo e na Universidade Estadual da Bahia. As oficinas introduzem definições e conceitos relacionados à Teoria dos Grafos, apresenta e discute propostas para inserção desse tópico na educação básica. As discussões são orientadas à luz da História da Matemática, da Resolução de Problemas, da Modelagem Matemática e do Uso de Materiais Manipulativos, com atividades pertencentes a cada uma destas metodologias. Verificamos que o desenvolvimento da Teoria dos Grafos nos remete a problemas serem simples em sua compreensão, e, portanto, acessíveis e oportunos para o Ensino Médio.

Palavras-chave: Teoria dos Grafos, Abordagens metodológicas, Ensino Médio, Oficinas.

Abstract – In recent decades, research in the area of Education and Mathematics Education suggest the approach of Graph Theory in Elementary and Secondary Education as bias for discussion of problems of applied mathematics at the school routine. In this scenario, in 2009, the Espírito Santo Basic Curriculum, provides the teaching of Graph Theory in the last two years of high school. Given the curricular inclusion of Graph Theory, emerges the need to discuss this topic with undergraduate students and teachers of Basic Education. Share this job experiences through workshops laboratory, which were held at the Federal Institute of the Holy Spirit, the Federal University of Espírito Santo and Bahia State University. The workshops introduce definitions and concepts related to graph theory, presents and discusses proposals for inclusion of this topic in education. The discussions are geared to light the History of Mathematics, Problem Solving, Mathematical Modeling and Use of Manipulative Materials with activities pertaining to each of these methodologies. We found that the development of graph theory leads us to problems are simple in their understanding, and therefore accessible and timely for the High School.

Key-words: graph theory, methodological approaches, high school, Workshops.

INTRODUÇÃO

O desenvolvimento de teorias matemáticas que relacionam elementos de conjuntos discretos é bastante recente se comparado à história da “matemática contínua”. Exemplo disso é a Teoria dos Grafos, formulada já no século XVIII e que, ainda assim, foi “redescoberta muitas vezes” (HARARY, 1973, apud BOAVENTURA NETTO [1], p. 2). Além disso, o

desenvolvimento dessa teoria foi impulsionada somente no século XX, pelos problemas de otimização no campo da pesquisa operacional, já que, até então, suas aplicações eram feitas em áreas disjuntas, como circuitos elétricos e química orgânica.

Nas últimas décadas, pesquisas da área de Educação e Educação Matemática (BRIA, [2]; MUNIZ JUNIOR [3]; MALTA [4]; DEGGERONI [5]) sugerem a abordagem da Teoria dos Grafos no Ensino Fundamental e Médio, como viés para discussão de problemas de matemática aplicada ao cotidiano escolar. Nesse cenário, no ano de 2009, o Currículo Básico da Escola Estadual do Espírito Santo [6], passou a prever o ensino da Teoria dos Grafos nos dois últimos anos do Ensino Médio: na forma de introdução conceitual para o segundo ano e como ferramenta para resolução de problemas no terceiro ano. Podemos dizer, como Malta ([4], p.11), que “a Teoria dos Grafos apresenta aspectos pertinentes que merecem espaço no currículo da Escola Básica”. Contudo, para que essa abordagem possa ser efetivada de forma adequada, é importante que os professores tenham conhecimento específico e pedagógico acerca do tema em questão.

Face à inclusão da Teoria dos Grafos no Currículo Base da Escola Estadual do Espírito Santo, emerge necessidade de se discutir conteúdos da matemática discreta com alunos de Licenciatura em Matemática durante sua formação inicial. Acreditamos, assim como Lorenzato [7] que os cursos de licenciatura devem propiciar, além do contato com diversos materiais de ensino, reflexões sobre como utilizar corretamente e adequadamente esses diferentes materiais didáticos. Os futuros professores precisam vivenciar experiências que os ajude a verificar que é possível mudanças de estratégias e métodos de intervenção, cooperação, reflexão e análise de modos de ensinar e aprender, o Laboratório de Ensino de Matemática constitui-se de um espaço propício para esse fim.

Esta pesquisa tem caráter qualitativo e foi desenvolvida por meio de estudos de casos a partir da produção e utilização de diferentes atividades didáticas para abordagem de Teoria dos Grafos na educação básica. Os estudos começaram, voluntariamente, em maio de 2012, com estudo piloto em turmas de Médio, e foram incentivados a partir de agosto do mesmo ano, com o financiamento de Bolsa de Iniciação Científica pelo Fundo de Apoio à Ciência e Tecnologia do Município de Vitória (Facitec-Vitória). Atualmente, esta pesquisa está inserida no Projeto “Investigações sobre atividades didáticas desenvolvidas para o Pibid no Laboratório de Matemática do Ifes/Vitória”.

Este artigo é um recorte da pesquisa e apresenta as oficinas realizadas e conclusões obtidas em relação à inserção da Teoria dos Grafos na Educação Básica. Antes, porém, situamos o leitor em relação à Teoria dos Grafos, que foi nosso foco de pesquisa.

UMA BREVE INTRODUÇÃO1 À TEORIA DOS GRAFOS

No início do século XVIII, especula-se que os cidadãos da cidade russa de Königsberg costumavam passar suas tardes de domingo caminhando em torno de sua cidade. A própria cidade consistiu em quatro áreas de terra separadas pelo Pregel sobre a qual há sete pontes, tal como ilustrado na Figura 1. O problema que os cidadãos fixaram era caminhar ao redor da cidade, cruzando cada uma das sete pontes apenas uma vez e, se possível, retornar ao seu ponto de partida.

1 Outras definições e teoremas sobre grafos podem ser encontrados em Lovász, Pelikán e Vesztergombi [10] e Jurkiewicz [11].

Figura1. KönisbergFonte: HOPKINS; WILSON [8], p. 198

Em 1730, Leonhard Euler chega a Russia para ocupar a cadeira de Filosofia Natural na Academia de Ciências de São Petersburgo. Três anos mais tarde, com a saída Daniel Bernoulli, ele tornou-se o principal matemático da Academia, que, nessa época, tinha lançado uma revista de matemática, chamada de Commentarii Academia e Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Esta revista foi, durante muito tempo, abastecida com contribuições de Euler. Segundo Boyer ([9], p. 324), “os editores não tinham que se preocupar com a falta de material enquanto a pena de Euler trabalhasse”.

Após tomar conhecimento da notoriedade de Euler, em 1736, o prefeito de uma cidade próxima a Könisberg enviou uma carta a Euler em nome de Heinrich Kiihn, um professor de matemática local. As mensagens trocadas inicialmente não foram recuperadas, mas uma carta datada de 09 de março indica que eles haviam discutido o problema. Parte dessa carta enviada a Euler está apresentada a seguir.

Você prestaria a mim e a nosso amigo Kiihn o mais valioso serviço, colocando-nos muito em dívida com você, culto Senhor, se você nos enviasse a solução, que você conhece bem, para o problema das sete pontes Könisberg, juntamente com uma prova. [...] Eu adicionei um esboço das referidas pontes [...] (SACHS; STIEBITZ; WILSON [12], p. 134)2.

Quatro dias após receber essa última mensagem do prefeito, Euler escreveu a Giovanni Marinoni, um matemático e engenheiro italiano que morava em Viena. Nessa carta, verificamos que Euler percebeu a necessidade de sistematizar um novo campo da Matemática – era o surgimento da Teoria dos Grafos. Euler não precisou de mais de uma quinzena para resolver o enigma. No dia 03 de abril, o matemático enviou a resposta ao prefeito da cidade próxima a Konisberg, apresentando sua solução para o problema:

Assim você vê, mais nobre senhor, como este tipo de solução tem pouca relação com a matemática, e eu não entendo por que você espera que um matemático para produzi-lo, ao invés de qualquer outra pessoa, já que a solução baseia-se na razão e sua descoberta não depende de qualquer princípio matemático. Devido a isso, eu não sei por que questões comuns que têm tão pouca relação com a matemática são resolvidos mais rapidamente pelos matemáticos do que por outros (HOPKINS; WILSON [8], p. 201)3.

2 Tradução livre de “You would render to me and our friend Kiihn a most valuable service, putting us greatly in your debt, most learned Sir, if you would send us the solution, which you know well, to the problem of the seven Kinigsberg bridges, together with a proof. […] I have added a sketch of the said bridges…”.3Tradução livre de “Thus you see, most noble Sir, how this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle. Because of this, I do not know why even questions which bear so little relationship to mathematics are solved more quickly by mathematicians than by others”.

Para divulgar sua solução a comunidade científica da época, Euler escreveu a sua solução em seu artigo célebre no Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae sob o título "Solutioproblematis anúncio geometriamsituspertinentis". O artigo (EULER, [13]) é dividido em vinte e um parágrafos numerados, dos quais o primeiro atribui o problema à geometria da posição4, os próximos oito são dedicados à solução do Problema das Sete Pontes de Könisberge os demais generalizam o problema. Embora datado de 1736, o jornal de Euler só foi publicado em 1741, com reimpressão em 1752.

Após passar por um século de pouco desenvolvimento, a Teoria dos Grafos apresenta-se na segunda metade do século XX, impulsionada pelos problemas de aplicação em diversas áreas. Boaventura Netto [1] cita a utilização de modelos de grafos no estudo de circuitos elétricos por Kirchhoff, em 1847, na enumeração dos isômeros dos hidrocarbonetos alifáticos saturados, por Cayley dez anos mais tarde. Contudo, é importante ressaltar também que “o termo grafo só foi utilizado pela primeira vez por Sylvester em 1878” (BOAVENTURA NETTO [1], p. 2).

Anos mais tarde, a teoria dos Grafos passa por um período de estagnação, chegando a ser considerada, em 1936, “um campo morto” (BOAVENTURA NETTO [1], p. 2). Como campo de pesquisa aplicada, a Teoria dos Grafos começou a ser discutida a partir de 1956, principalmente, graças ao advento dos computadores e sob o impulso de técnicas que constituem a Pesquisa Operacional. Segundo Lóss [14], os Grafos têm sua significativa participação nacional a partir do I Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, em 1968.

A Educação Matemática têm acompanhado o desenvolvimento da Teoria dos Grafos e desde o início deste século vêm refletindo sobre a abordagem deste tema na Educação Básica, principalmente com os trabalhos de Bria [2], Muniz Junior [3], Malta [4], Deggeroni [5] e Gualandi [15]. Além disso, diversos trabalhos foram apresentados em eventos da área, principalmente no IX Encontro Nacional de Educação Matemática, realizado no estado de Minas Gerais, entre 18 e 21 de julho de 2007, quando foi apresentada uma comunicação científica e foram realizados quatro minicursos. No Espírito Santo, três eventos merecem destaque: a realização de uma oficina no Pólo Universitário de São Mateus/UFES, a inclusão da Teoria dos Grafos no Currículo Estadual e a pesquisa de Gualandi [15].

O primeiro registro de atividades sobre a Teoria dos Grafos em um curso capixaba de Matemática é datado de agosto de 2004, quando o Pólo Universitário de São Mateus da Universidade Federal do Espírito Santo realizou sua Semana da Matemática. Neste evento, uma oficina intitulada "Álgebra linear e Teoria dos Grafos", ministrada por Nair de Abreu e Carla Oliveira. É importante ressaltar que o foco dessa oficina era a discussão sobre Grafos Espectrais, que relacionam a representação matricial de um grafo com os conceitos de autovalor e autovetor, utilizados em álgebra linear. Dessa forma, podemos dizer que a presença da Teoria dos Grafos sob ponto de vista da educação veio somente com o Currículo Básico da Escola Estadual, em 2009.

AS OFICINAS REALIZADAS

As oficinas ministradas durante a pesquisa de iniciação científica podem ser agrupadas em duas fases: a que é posterior ao estudo da metodologia de resolução de problemas e a que é posterior ao estudo das metodologias de modelagem matemática, história da matemática e uso de materiais manipulativos. Com efeito, cada uma das oficinas procurou apresentar

4 Até o século XIX, este problema estava associado à Geometria da Posição. Contudo, esta geometria, segundo Debuiche (2012), não possui grandezas, números ou quantidades, o que desvincula os Grafos dessa Teoria.

metodologias disponíveis para o ensino de Grafos, mas também se aprofunda no desenvolvimento de uma perspectiva metodológica.

À priori, objetivávamos atender apenas alunos do Pibid, mas a alta demanda na procura pela oficina acarretou uma ampliação do público alvo. As oficinas atenderam aos demais alunos da Licenciatura em Matemática do Ifes/Vitória, professores da rede Estadual de Educação, bolsistas do Pibid da Universidade Federal do Espírito Santo e participantes do Encontro Baiano de Educação Matemática.

A tabela a seguir apresenta as oficinas realizadas, destacando a data, local, duração e quantidade de participantes. Em seguida, comentamos brevemente cada uma das experiências vivenciadas.

Tabela 1. Oficinas realizadas

Identificação Data Local Cidade Duração Quant. de participantes

Oficina 1 01/06/2012 LEM/Ifes Vitória - ES 2 horas 17Oficina 2 15/08/2012 SRE Carapina Vitória - ES 2 horas 52Oficina 3 15/08/2012 SRE Carapina Vitória - ES 2 horas 42Oficina 4 07/06/2013 LEM/Ifes Vitória - ES 4 horas 14Oficina 5 14/06/2013 UFES Vitória - ES 4 horas 18Oficina 6 03 e 04/07/2013 UNEB T. de Freitas - BA 3 horas 11

Total 154

A primeira oficina intitulada “Ensinando Grafos por meio de resolução de problemas no Ensino Médio” foi realizada com dezessete participantes entre bolsistas do Pibid/Ifes, alunos da Licenciatura em Matemática e professores da rede pública e privada da Grande Vitória. As discussões realizadas nessa oportunidade foram baseadas em estudo voluntário do atual bolsista do Pibic juntamente com a licencianda Talita Moraes Modolo, bolsista do Pibid/Ifes. Muitas das atividades já haviam sido aplicadas em sala de aula e apresentadas em publicações (SÁ; PALMEIRA [16]; SÁ; SILVA [17]). Verificamos, nesse momento, que a metodologia de resolução de problema apresenta-se como forte aliada do professor de matemática para abordagem da Teoria dos Grafos no Ensino Médio.

Imagens 2 e 3. Oficina “Ensinando Grafos por meio de resolução de problemas no ensino médio”, em 31/05/2012, no Laboratório de Ensino de Matemática do Ifes.

As oficinas 2 e 3 foram realizadas sob o título “Atividades com Grafos no Ensino Médio: do currículo para sala de aula” durante o 3º Encontro de Interação do Multicurso

Matemática, que é um programa de formação continuada, desenvolvido pela Fundação Roberto Marinho e que mescla educação presencial, por meio de grupos de estudos e encontros de interação, com a aprendizagem em rede, em plataformas virtuais. Na ocasião, professores da Rede Estadual de do Espírito Santo se reuniram na Superintendência Regional de Educação (SRE Carapina) para participar das oficinas que aconteceram nos turnos matutino e vespertino.

Imagens 4 e 5. Oficina “Atividades com Grafos no Ensino Médio: do currículo para sala de aula”, em 15/08/2012, no Auditório da Superintendência Regional de Educação – SRE Carapina.

Durante essa oficina, aplicou-se um questionário exploratório com os 94 participantes e constatou-se que 77% dos professores presentes não estudaram Grafos durante sua formação inicial e 87% nunca abordaram este conteúdo durante suas aulas de matemática. Nessa oportunidade, verificou-se também que o desconhecimento da teoria e de atividades que contemplem esse conteúdo são os principais argumentos utilizados pelos professores que não abordam Grafos em suas aulas.

Já na segunda fase da pesquisa, realizamos a quarta oficina, intitulada “Teoria dos Grafos em atividades didáticas”, pela qual tivemos oportunidade de introduzir definições e conceitos relacionados à Teoria dos Grafos, apresentar e discutir propostas para inserção desse tópico na educação básica. As discussões foram orientadas à luz da História da Matemática, da Resolução de Problemas e do Uso de Materiais Manipulativos com atividades pertencentes a cada uma destas metodologias. Verificamos que o desenvolvimento da Teoria dos Grafos nos remete a problemas simples em sua compreensão, e, portanto, acessíveis e oportunos para o Ensino Médio.

A Oficina 5, “Teoria dos Grafos: história, problemas e aplicação”, procurou apresentar a principalmente a relação entre modelagem matemática e teoria dos grafos. Inicialmente, apresentamos o desenvolvimento histórico da Teoria dos Grafos e, em seguida, lançamos mão de problemas sugeridos para o Ensino Básico. O ponto alto do uso de modelagem deu-se por meio de uma curiosa aplicação: o Método de Pesquisa Google. Para tanto, exibimos parte da aula do Prof. Paulo Cezar, ministrada em Janeiro de 2013, durante o Programa de Aperfeiçoamento de Professores do Ensino Médio (PAPMEM/SBM)5. Nessa oportunidade, verificamos que esse exemplo de aplicação sugere uma interface entre a matemática escolar e a compreensão do desenvolvimento da tecnologia.

5 A videoconferência está disponível no link http://strato.impa.br/videos/2013-papmem/jan/papmem2013_22012013_pcezar_01.flv

Imagens 8 e 9. Oficina “Teoria dos Grafos: história, problemas e aplicação”, em 07/06/2013, no Laboratório de Ensino de Matemática do Ifes.

A sexta oficina “Atividades didáticas sobre Teoria dos Grafos: a inclusão da Matemática Discreta na Educação Básica” foi realizada no contexto do XV Encontro Baiano de Educação Matemática, realizado em Teixeira de Freitas. Os Encontros Baianos de Educação Matemática (EBEM) ocorrem desde 1986 e atualmente têm periodicidade de dois anos. A iniciativa de organizar eventos dessa natureza no estado da Bahia tem o propósito de criar espaços de comunicação e intercâmbio entre os professores que ensinam Matemática em todos os níveis escolares.

Imagens 9 e 10. Oficina “Teoria Atividades didáticas sobre Teoria dos Grafos: a inclusão da Matemática Discreta na Educação Básica”, em 14/06/2013, no Universidade Estadual da Bahia – Campus X.

Nesta oficina, o público participante era majoritariamente formado por alunas de pedagogia e professoras da educação infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental. Contudo, a utilização de materiais manipulativos, que era a principal metodologia adotada, proporcionou uma maior compreensão referente ao tema Grafos.

CONCLUSÃO

A alta demanda na procura pelas oficinas acarretou uma ampliação do público alvo. Além dos bolsistas do Pibid/Ifes, as oficinas atenderam a outros alunos da Licenciatura em Matemática do Ifes/Vitória, a professores da rede Estadual de, a bolsistas do Pibid da Universidade Federal do Espírito Santo e a participantes do Encontro Baiano de Educação Matemática. Esse fato corroborou nossa hipótese de que para que seja realizada uma efetiva abordagem da Teoria dos Grafos, é importante que os professores tenham conhecimento específico e pedagógico acerca do tema em questão.

As oficinas ministradas durante essa pesquisa promoveram uma reflexão acerca das metodologias de resolução de problemas de modelagem matemática, de história da matemática e de uso de materiais manipulativos. Com efeito, acreditamos que esta oportunidade diversificou as alternativas para o ensino de matemática e também no que diz respeito a perspectivas metodológicas.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos ao Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) e à Fundo de Apoio à Ciência e Tecnologia do Município de Vitória (Facitec) pela oportunidade de realizar a Pesquisa de Iniciação Científica. Agradecemos também aos colegas do Grupo de Pesquisa em Práticas Pedagógicas de Matemática e do Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo pelas discussões e contribuições no decorrer da pesquisa. Agradecemos também aos participantes da oficina, por gentilmente contribuir para o desenvolvimento de trabalhos dessa natureza, pois reconhecemos que esse espaço de interlocução com os sujeitos da pesquisa ampliam as possibilidades de reflexão sobre os processos de ensino aprendizagem da matemática.

REFERÊNCIAS

[1] BOAVENTURA NETTO, P. O. Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos. 4.ed. São Paulo: E. Blücher, 2006.

[2] BRIA, J. Grafos no Ensino Fundamental e Médio: Matemática, Interdisciplinaridade e Realidade. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE), Rio de Janeiro, 2001.

[3] MUNIZ JUNIOR, I. Encontrando, minimizando e planejando percursos: uma introdução à teoria dos grafos no ensino médio. 134f. Dissertação (Mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, Rio de Janeiro, 2007.

[4] MALTA, G. H. S. Grafos no ensino médio: uma inserção possível. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, Porto Alegre, 2008.

[5] DEGGERONI, R. Uma introdução à teoria dos Grafos no Ensino Médio. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2010.

[6] ESPÍRITO SANTO (ESTADO). Secretaria da Educação. Currículo Básico Escola Estadual - Ensino médio: área de Ciências da Natureza. Vitória: SEDU, 2009.

[7] LORENZATO, Sergio (Org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006.

[8] HOPKINS, B.; WILSON, R. J..The truth about Konisberg. The College Mathematics Journal, vol. 35, n. 03, p. 198-207, mai, 2004.

[9] BOYER, Carl B. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2010.[10] LÓVASZ, L.; PELIKÁN, J.; VESZTERGOMBI K. Matemática discreta: elementar e

além. Tradução de Ruy de Queiroz. Rio de Janeiro: SBM, 2005.[11] JURKIEWICZ, S. Grafos: Uma introdução. Programa de Iniciação Científica da

OBMEP 2007. N. 5. Parte integrante da coleção de 2007. Também disponível em <http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic2010/Apostila5-grafos.pdf>. Acesso em: 26 de maio de 2012.

[12] SACHS, H.; STIEBITZ, M.; WILSON, R. J.. An historical note: Euler’s Konisberg Letters. Journal of Graph Theory, vol. 12, n. 01, p. 133-139, 1988.

[13] EULER, L. Solution d'um problème appartenant à la géométrie de situation, par Euler. Nouvelles Annales de Mathématiques,1 série, tome 10, p. 106-119. Traduzido do Latim por E. Coupy, 1851.

[14] LÓSS, Z. E.. O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional no Brasil. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Programa de Engenharia de Produção, Rio de Janeiro, 1981.

[15] GUALANDI, J; H. Investigações matemáticas com grafos para o ensino. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ciências e Matemática. Belo Horizonte, 2012.

[16] SÁ, L. C. ; PALMEIRA, C. A. . Primeiras atividades didáticas para o ensino de Grafos no Ensino Médio. In: Anais daIII Jornada de Iniciação à Docência. Vitória, 2012.

[17] SÁ, L. C.; SILVA, S. A. F.. De Konisberg a Vitória: o problema das pontes da capital capixaba em uma atividade didática sobre grafos. In: Anais da VI Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Campinas, 2012