MODELOS ARFIMA E GRÁFICOS DE CONTROLE NO...
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JOSÉ HENRIQUE DA MATA MODELOS ARFIMA E GRÁFICOS DE CONTROLE NO MONITORAMENTO DO SPREAD DE PREÇOS DE UMA AÇÃO E SUA RESPECTIVA ADR Trabalho de Formatura apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do diploma de Engenheiro de Produção. São Paulo 2013
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JOSÉ HENRIQUE DA MATA
MODELOS ARFIMA E GRÁFICOS DE CONTROLE NO
MONITORAMENTO DO SPREAD DE PREÇOS DE UMA AÇÃO E SUA
RESPECTIVA ADR
Trabalho de Formatura apresentado à Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo para
obtenção do diploma de Engenheiro de
Produção.
São Paulo
2013
JOSÉ HENRIQUE DA MATA
MODELOS ARFIMA E GRÁFICOS DE CONTROLE NO
MONITORAMENTO DO SPREAD DE PREÇOS DE UMA AÇÃO E SUA
RESPECTIVA ADR
Trabalho de Formatura apresentado à Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo para
obtenção do diploma de Engenheiro de
Produção.
Orientador: Profa. Linda Lee Ho
São Paulo
2013
FICHA CATALOGRÁFICA
Mata, José Henrique da
Modelos ARFIMA e gráficos de controle no monitoramento do spread de preços de uma ação e sua respectiva ADR / J.H. da Mata. -- São Paulo, 2013.
171 p.
Trabalho de Formatura - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Produção.
1.Análise de séries temporais 2.Controle estatístico de pro-
cessos 3.Processos com memória longa I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Pro- dução II.t.
Aos meus pais e meus avós
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Professora Linda Lee Ho, por todo conhecimento,
dedicação e orientação aplicados na realização deste trabalho de formatura. Suas cobranças e
seus conselhos tiveram parte importante para que este pudesse se tornar um trabalho digno.
Devo agradecer também a todos os outros professores, tanto da Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo, quanto do Departamento de Engenharia de Produção, que
contribuíram com cinco anos de estudos e conhecimentos adquiridos.
Aos meus pais, Luís e Geralda, por serem responsáveis por toda minha base como
pessoa, mostrando sempre muita dedicação em me proporcionar possibilidades como a de
cursar esta universidade.
Ao meu irmão João Luís, meus avós Nestor e Eliete e outros familiares, pelo apoio.
À minha namorada Catherina, por estar presente em minha vida durante todo este ano,
sempre apoiando minhas decisões.
Aos meus companheiros de trabalho do Banco Itaú BBA, especialmente na área de
Trading, responsáveis em parte por meu crescimento profissional e conhecimento do mercado
financeiro.
Aos meus amigos Bruno, Gustavo, Victor, Fábio, Felipe, Sérgio, Fabrizio, Fernando e
Leonardo pela companhia de mais de dez anos de amizade.
Por último, a todos meus amigos da Escola Politécnica, em especial ao Lucas, André e
Luiz Henrique, pelas horas exaustivas de discussões sobre o mercado financeiro e momentos
de descontração na universidade.
“A felicidade só é verdadeira quando compartilhada"
(Christopher Johnson McCandless, conhecido como Alex Supertramp)
RESUMO
O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia para monitorar o spread entre o preço de
uma ação de uma empresa brasileira e sua respectiva ADR, quando esta é negociada fora do
mercado brasileiro. O método consiste em duas partes: primeiro um modelo ARFIMA é
ajustado à série formada pelo spread e em seguida o emprego de gráficos de controle é usado
para detectar desvios na média do spread, a partir de um valor de referência. Os limites de
controle dos gráficos de controle são determinados através de simulações que satisfazem um
ARL0 fixado e os valores do ARL1 também são determinados através de simulações para
vários níveis de desvio. Dois tipos de gráficos de controle são considerados: Shewhart e
CUSUM. Assim como esperado o CUSUM é melhor para detectar pequenos desvios
enquanto o Shewhart é melhor para desvios maiores.
Palavras-Chave: ADRs, modelos ARFIMA, gráficos de controle, monitoramento.
ABSTRACT
The aim of this project is to propose a methodology to monitor the spread of a Brazilian
company stock price and its respective ADR when it is traded out of Brazilian market. The
method consists of two parts: first an ARFIMA model is fitted to the spread series and then
employment of control charts are used to detect shifts of the average spread from a reference
level. Th control limits of the control charts are determined by simulations such that satisfy an
ARL0 fixed and values of ARL1 are also determined by simulations for various levels of
shifts. Two types of control charts are considered: Shewhart and CUSUM. As expected the
CUSUM is better to detect small shifts while the Shewhart is better for larger shifts.
Keywords: ADRs, ARFIMA models, control charts, surveillance.
LISTAS DE FIGURAS
Figura 2.1 - Gráfico da função de distribuição de probabilidade de uma normal .................... 33
Figura 2.2 - Histograma ............................................................................................................ 34
Figura 2.3 - Exemplo de Q-Q Plot para uma distribuição que não adere à distribuição teórica
(normal) .................................................................................................................................... 34
Figura 2.4 - Exemplo de correlograma com as f.a.c. e f.a.c.p., as estatísticas do teste de Box-
Pierce-Ljung e os intervalos de confiança ................................................................................ 38
Figura 4.1 - Diagrama de causa e efeito para o processo de formação do preço de um ativo
financeiro .................................................................................................................................. 53
Figura 4.2 - Exemplo de Gráfico de Controle .......................................................................... 55
Figura 5.1 - Gráfico de observações sucessivas EXCEL 2010 ................................................ 71
Figura 5.2 - PBR vs. PETR3 .................................................................................................... 72
Figura 5.3 - Correlograma EViews 7.0..................................................................................... 77
Figura 5.4 - Gráfico da f.a.c. através do R ............................................................................... 77
Figura 5.5 - Gráfico da f.a.c.p. através do R ............................................................................ 78
Figura 5.6 - Histograma (EViews 7.0) ..................................................................................... 78
Figura 5.7 - Q-Q Plot da série (EViews 7.0) ............................................................................ 79
Figura 5.8 - Estimaçãos dos parâmetros de um modelo ARFIMA (software R) ..................... 81
Figura 5.9 - Geração dos ruídos brancos (EXCEL 2010)......................................................... 82
Figura 5.10 - Gráfico dos resíduos da série modelada ............................................................. 83
Figura 5.11 - F.a.c. dos resíduos ............................................................................................... 83
Figura 5.12 - F.a.c.p. dos resíduos ............................................................................................ 84
Figura 5.13 - Série real vs. série estimada ................................................................................ 84
Figura 5.14 - Fluxograma do algoritmo de simulação dos limites de controle do gráfico do
tipo Shewhart ............................................................................................................................ 88
Figura 5.15 - Fluxograma do algoritmo de simulação dos limites de controle do gráfico
CUSUM .................................................................................................................................... 89
Figura 5.16 - Limites de controle para o gráfico do tipo Shewhart .......................................... 90
Figura 5.17 - Limites de Controle CUSUM para os respectivos valores de k ......................... 91
Figura 5.18 - Fluxograma do algoritmo de simulação do ARL fora de controle para o gráfico
do tipo Shewhart ....................................................................................................................... 94
Figura 5.19 - Fluxograma do algoritmo de simulação do ARL fora de controle para o gráfico
CUSUM .................................................................................................................................... 95
Figura 5.20 - Valores do ARL1 vs. variação da média ............................................................ 96
Figura 5.21 - Representação gráfica da melhoria proporcional................................................ 99
Figura 5.22 - Estatística CUSUM+ plotada juntamente com a série real ............................... 101
Figura 5.23 – Gráfico de controle CUSUM para monitoramento da média do spread entre
PBR e PETR3 ......................................................................................................................... 101
Figura 6.1 - Gráfico de observações sucessivas da nova série ............................................... 104
Figura 6.2 - Correlograma na nova série ................................................................................ 104
LISTAS DE TABELAS
Tabela 2.1 - Representação do teste ADF ................................................................................ 28
Tabela 2.2 - Representação do teste PP .................................................................................... 30
Tabela 3.1 - Resumo do modelo Box-Jenkins (explicações podem ser verificadas no texto) . 44
Tabela 5.1 - Etapas da metodologia.......................................................................................... 67
Tabela 5.2 - Resumo das séries de preços utilizadas ................................................................ 70
Tabela 5.3 - Exemplo do tratamento de dados ......................................................................... 70
Tabela 5.4 - Resumo estatístico via EXCEL 2010 ................................................................... 72
Tabela 5.5 - Teste ADF ............................................................................................................ 74
Tabela 5.6 - Teste PP ................................................................................................................ 75
Tabela 5.7 - Resumo dos parâmetros estimados....................................................................... 80
Tabela 5.8 - Limites de controle dos gráficos CUSUM para os respectivos valores de k ........ 91
Tabela 5.9 – Valores dos deslocamentos na média dos preços ................................................ 92
Tabela 5.10 - Valores do ARL1 para o corresponde valor de desvio na média (Gráficos
Shewhart) .................................................................................................................................. 93
Tabela 5.11 - Valores do ARL1 para o corresponde valor de desvio na média (Gráficos
CUSUM) ................................................................................................................................... 93
Tabela 5.12 - Comparação do ARL1 obtido para os gráficos CUSUM com k nas extremidades
.................................................................................................................................................. 97
Tabela 5.13 - Melhoria proporcional do ARL1 (comparação entre Shewhart e CUSUM) ...... 98
LISTA DE ABREVIATURA E SIGLAS
ADR American Depositary Receipts
VBA Visual Basic for Applications
EViews Econometric Views
RB Ruído Branco
DF Dickey Fuller
ADF Augmented Dickey Fuller
PP Phillips-Perron
JB Jarque-Bera
LB Ljung-Box
AR Modelo Autorregressivo
MA Modelo de Médias Móveis
ARMA Modelo Autorregressivo e de Médias Móveis
ARFIMA Modelo Autorregressivo Fracionário Integrado de Médias Móveis
CEP Controle Estatístico de Processo
LC Linha Central
LSC Limite Superior de Controle
LIC Limite Inferior de Controle
ARL Average Run Length
CMS Comprimento Médio de Sequência
EWMA Exponentially Weighted Moving Average
CUSUM Cumulative Sum
NYSE New York Stock Exchange
IOF Imposto sobre Operações Financeiras
BMF Bolsa de Mercadorias e Futuros
Bovespa Bolsa de Valores de São Paulo
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 15
1.1. A empresa .................................................................................................................. 15
1.2. Caracterização do problema ....................................................................................... 17
1.3. Relevância .................................................................................................................. 18
1.4. Objetivo ..................................................................................................................... 18
1.5. Estruturação do trabalho ............................................................................................ 19
1.6. Feeders de mercado e softwares estatísticos ............................................................. 19
1.6.1. Bloomberg .......................................................................................................... 20
1.6.2. Broadcast ............................................................................................................ 20
1.6.3. Microsoft Excel 2010 ......................................................................................... 20
1.6.4. EViews 7.0 ......................................................................................................... 20
1.6.5. Linguagem de programação e software estatístico R ......................................... 21
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 23
2.1. Introdução .................................................................................................................. 23
2.2. Séries Temporais ........................................................................................................ 23
2.3. Estacionariedade ........................................................................................................ 25
2.4. Normalidade ............................................................................................................... 31
2.5. Independência ............................................................................................................ 36
2.6. Ruído Branco ............................................................................................................. 39
3. MODELOS PARAMÉTRICOS PARA SÉRIES TEMPORAIS ..................................... 41
3.1. Modelos Lineares ....................................................................................................... 41
3.1.1. Modelos autorregressivos (AR) .......................................................................... 43
3.1.2. Modelo de médias móveis (MA) ......................................................................... 45
3.1.3. Modelos autorregressivos e de médias móveis (ARMA) .................................... 45
3.2. Processos com Memória Longa ................................................................................. 46
3.2.1. Modelo ARFIMA ............................................................................................... 47
4. CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP) .................................................... 51
4.1. Introdução .................................................................................................................. 51
4.2. CEP ............................................................................................................................ 52
4.3. Gráficos de Controle .................................................................................................. 54
4.3.1. Average Run Length (ARL) – uma medida de desempenho .............................. 58
4.3.2. Tipos de Gráfico de Controle ............................................................................. 59
4.3.3. Gráficos de controle com memória .................................................................... 63
4.3.4 Escolha dos gráficos e da estatística ................................................................... 65
5. METODOLOGIA E APLICAÇÃO AO CASO REAL ................................................... 67
5.1. Obtenção de dados ..................................................................................................... 68
5.2. Análise visual da série ............................................................................................... 71
5.3. Análise a partir de softwares estatísticos ................................................................... 72
5.4. Estimação de um modelo de memória longa ARFIMA ............................................ 79
5.5. Diagnóstico do modelo estimado ............................................................................... 81
5.6. Determinação dos limites de controle ........................................................................ 85
5.7. ARL fora de controle ................................................................................................. 91
5.8. Resultados .................................................................................................................. 96
5.8.1. Aplicação do Gráfico CUSUM k = 0.02 ao caso real ............................................ 99
6. CONCLUSÃO ................................................................................................................ 103
6.1. Validação do modelo proposto ................................................................................ 103
6.2. Principais resultados ................................................................................................ 105
6.3. Futuras análises para os próximos trabalhos ............................................................ 105
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................... 107
APÊNDICES .......................................................................................................................... 111
APÊNDICE A – CÓDIGOS DOS ALGORITMOS DE SIMULAÇÃO (VBA) ............... 111
ANEXOS ................................................................................................................................ 127
ANEXO A – TABELA DAS SÉRIES DE PREÇOS UTILIZADAS ................................ 127
15
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho de formatura foi desenvolvido em um grande banco de investimentos
brasileiro, com o objetivo de analisar uma série temporal formada pelo preço de alguns ativos
financeiros e assim desenvolver uma ferramenta de monitoramento on-line desta série. Para
modelar esta série financeira utilizaram-se conceitos sobre séries temporais (descritos no
capítulo 2 Revisão Bibliográfica).
A motivação para a realização deste trabalho surgiu da necessidade do banco em
iniciar a gestão de uma carteira mais ampla de ações e suas respectivas ADRs (ver seção 1.2).
É de grande importância para a instituição e mais especificadamente para a área em que o
aluno estagia o monitoramento on-line desses ativos, dado que qualquer variação no preço
deles pode significar uma possibilidade de realização de lucros.
Para realizar este estudo foram utilizados conceitos comuns em engenharia e finanças.
A primeira área de conhecimento trata-se do estudo de séries temporais e modelos
autorregressivos de previsão, importantes na modelagem da série de preços tratada aqui.
Já a segunda área de conhecimento é o Controle Estatístico de Processos, através da
utilização de gráficos de controle para monitorar o comportamento destes ativos,
possibilitando assim a detecção de períodos de anormalidade. Esta área de conhecimento foi
amplamente desenvolvida durante todo o curso de Engenharia de Produção.
1.1. A empresa
O trabalho de formatura foi realizado no Banco Itaú BBA S.A., onde o aluno realiza
seu estágio supervisionado. O Itaú BBA é o banco de atacado do grupo Itaú Unibanco Banco
Múltiplo, sendo resultado da fusão dos bancos BBA, cuja história será retratada a seguir, e das
áreas “corporate” do Itaú e Unibanco.
A história do banco começou com a associação entre os executivos bancários Fernão
Bracher e Antônio Beltran e o Creditanstalt, um dos bancos austríacos de maior porte e
tradição. Essa associação possibilitou a criação do BBA-Creditanstalt, em 1º de agosto de
1988, que contava com uma equipe de apenas 18 profissionais e um capital de US$ 20
milhões. A nova instituição atendia ao mercado brasileiro em operações financeiras com
16
características de atacado, por meio de um banco de investimento e uma distribuidora de
valores.
Em 1991, o BBA-Creditanstalt já contava com 179 profissionais e era a única
instituição financeira brasileira a coordenar o consórcio de bancos estrangeiros para
investimentos no programa de privatização de empresas estatais.
Em 2002 o BBA-Creditanstalt foi adquirido pelo Banco Itaú. Além da mudança no
corpo acionário – 95,75% das ações ficaram com o Banco Itaú e 4,25% com os executivos do
BBA – a nova instituição ganhou o nome de Itaú BBA e se tornou um braço do Banco Itaú
Holding Financeira. A instituição continuou especializada em grandes clientes, com áreas
próprias de crédito, tesouraria, internacional e mercado de capitais, além de dispor dos
serviços de um grande banco de varejo. No entanto, as áreas de financiamento de veículos, de
administração de recursos de terceiros, a corretora e o private banking passaram para o Banco
Itaú.
Em 2009, o banco passou por outra transformação importante. Foi neste ano em que o
Banco Central do Brasil aprovou a fusão do Banco Itaú com o Unibanco, mudando
substancialmente o ritmo da trajetória do Itaú BBA. Essa operação de associação do Banco
Itaú com o Unibanco criou o maior banco do país e o principal grupo financeiro do
Hemisfério Sul. Os ativos combinados somaram, naquela data, R$ 575 bilhões. O Itaú –
Unibanco passou a integrar ainda a lista das 20 maiores instituições financeiras do mundo.
Hoje, as principais atividades realizadas pelo banco contemplam os negócios de Banco
de Investimentos, Banco de Atacado e Tesouraria Institucional. O Itaú BBA atende grupos
econômicos com faturamento anual superior a R$ 150 milhões e investidores institucionais.
Seu amplo portfólio de produtos e serviços inclui investimentos em ativos, assessorias em
fusões e aquisições, oferta de ações, securitização, derivativos, operações estruturadas, cash
management, financiamentos e garantias, entre outros.
Dentro do Banco Itaú BBA, o aluno realizou o presente trabalho mais
especificadamente na área onde estagia, a Tesouraria Institucional, sendo responsável por
centralizar todas as operações de tesouraria do conglomerado (unidade de negócios geradora
de receitas e uma prestadora de serviços para as áreas comerciais de atacado, varejo e
mercado de capitais).
Dentre as cinco frentes de atividades na qual a Tesouraria Institucional está dividida, o
aluno realiza seu estágio supervisionado na mesa de operações de Equities e Commodities,
17
dentro da área de Trading, responsável pela gestão de risco e market making dos ativos com
risco de ações, índices de ações e commodities (metais, energia e agrícolas).
1.2. Caracterização do problema
Antes de caracterizar o problema que foi tratado neste trabalho de formatura, é
importante apresentar dois conceitos fundamentais que possibilitam ao leitor um melhor
entendimento do problema e conseqüente desenvolvimento da metodologia e soluções
propostas. O primeiro conceito é a ADR (American Depositary Receipts), que é o título de
uma empresa qualquer (a ação) negociada fora do seu mercado doméstico, mais precisamente
no mercado norte-americano. O principal objetivo para que as empresas brasileiras emitam
ADRs é a reação positiva que a mesma pode proporcionar no sentido de melhorar a qualidade
e acesso à informação (disclosure), aumentar a confiança do investidor, reduzir a assimetria
de informação e aumentar a liquidez.
O segundo conceito é a arbitragem, definida como sendo um processo envolvendo um
negócio num mercado e uma transação compensatória em outro mercado ao mesmo tempo e
em condições mais favoráveis. Basicamente o que se pode entender por arbitragem no
mercado financeiro é encontrar dois ativos essencialmente iguais, comprar o mais barato e
vender o mais caro, efetuando um retorno sem riscos.
Como dito anteriormente, o aluno realiza seu estágio supervisionado na mesa de
operações de Equities e Commodities (renda variável) de um banco de investimentos
brasileiro. O ponto focal do trabalho é a parte relacionada à gestão de risco de ações. Com o
intuito de se fortalecer no mercado e aumentar sua carteira de ações consideravelmente, a área
pretende monitorar o comportamento das ADRs e das ações de empresas brasileiras,
encontrando possibilidades claras de arbitragem. Para isso, torna-se necessária a existência de
métodos quantitativos e estatísticos para modelar e monitorar o preço dos dois ativos.
No desenvolvimento deste trabalho, o aluno utilizou e aprofundou a base de
conhecimentos estatísticos absorvidos durante o curso de Graduação em Engenharia de
Produção, através do estudo de séries temporais financeiras e econometria, além de aplicar os
conceitos de Controle Estatístico de Processo, a fim de realizar um monitoramento on-line do
processo.
18
1.3. Relevância
Muitas estratégias de investimento fazem parte do dia-a-dia de uma mesa de operações
em grandes tesourarias. Diversificar a carteira, ao possuir uma variedade considerável de
ativos e estratégias é um ponto importante na busca de uma relação ótima de risco e retorno.
A mesa de operações de Equities e Commodities do Banco Itaú BBA já possui uma
grande variedade de estratégias de investimento, além de investir em uma gama de ativos
financeiros. Porém, é de interesse de todos que esta carteira de ações se torne mais robusta,
contando também com a presença das ADRs de empresas brasileiras, visando iniciar
operações de arbitragem entre estes papéis e as respectivas ações de empresas brasileiras.
Diante deste cenário, o aluno identificou a necessidade de monitorar uma série
formada pelos preços destas ações e suas respectivas ADRs, considerando também uma
possível taxa de conversão entre moedas (ver seção 5). A elaboração desta ferramenta
quantitativa torna possível a detecção on-line de pequenas ou grandes variações na média dos
preços. Esse monitoramento tem uma importância fundamental nas rotinas da área onde o
aluno estagia, já que a partir dele será possível detectar possibilidades de arbitragem com
relativa antecedência, realizando um lucro considerável sem risco iminente.
1.4. Objetivo
O principal objetivo deste trabalho de formatura é elaborar e colocar em prática uma
metodologia que ajude a encontrar um modelo de previsão para esta relação entre os preços de
uma ação de uma empresa brasileira e sua respectiva ADR listada na Bolsa de Valores de
Nova Iorque, e assim fornecer insumos suficientes para a elaboração de gráficos de controle
para monitorar estes valores e detectar da maneira mais rápida possível situações de
arbitragem.
Para elaborar esta metodologia fez-se o uso do conhecimento adquirido pelo aluno
durante o curso de Graduação em Engenharia de Produção, principalmente no que tange
conhecimentos relacionados à estatística e à matemática aplicada. Além destes, fez-se uso
também de conhecimentos mais aplicados de finanças, como os estudos relacionados a séries
temporais financeiras e econometria.
19
1.5. Estruturação do trabalho
Nesta seção será apresentada a maneira como o trabalho está estruturado, com o
objetivo de ajudar a entender desde o desenvolvimento da revisão bibliográfica até a aplicação
da teoria em um caso real do mercado financeiro.
O trabalho está dividido em capítulos, resumidos abaixo:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica, que apresenta os principais referenciais
teóricos necessários no desenvolvimento da metodologia e posterior aplicação a
um caso real. Este capítulo contém desde conceitos básicos de estatística até
estudos econométricos mais elaborados;
Capítulo 3 – Modelos Paramétricos para Séries Temporais, em que são
apresentados os diferentes modelos estudados para tratar as séries temporais
financeiras. É neste capítulo onde foi introduzido o conceito de memória longa e
seus modelos característicos;
Capítulo 4 – Controle Estatístico de Processo, onde se definem os conhecimentos
necessários sobre o assunto e mais detalhes sobre os Gráficos de Controle, que são
uma ferramenta importante para o desenvolvimento deste trabalho, além de
detalhar seus parâmetros, que foram utilizados para monitorar o processo;
Capítulo 5 – Metodologia e Aplicação ao Caso Real, que contém a explicitação
completa da metodologia proposta para solução do problema, com dados teóricos,
além de sua aplicação ao caso real, de interesse do aluno e da instituição que ele
estagia;
Capítulo 6 – Conclusão, onde estão as principais conclusões feitas depois da
aplicação da metodologia, além dos principais desafios encontrados durante a
realização deste trabalho.
1.6. Feeders de mercado e softwares estatísticos
A realização de um trabalho de formatura depende também da qualidade dos dados
obtidos e utilizados como base histórica para determinação da metodologia e conseqüente
aplicação dela ao caso real. Dado isso, serão apresentados aqui os dois feeders de mercado
utilizados na obtenção das séries históricas. Além destes softwares, foi de extrema
importância na realização deste trabalho a utilização de softwares estatísticos, principalmente
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no tratamento das séries, fornecendo estatísticas importantes sobre normalidade,
independência e estacionariedade, além de auxiliar na determinação dos parâmetros ótimos de
modelagem.
Os feeders e softwares utilizados no trabalho de formatura foram:
1.6.1. Bloomberg
O terminal da Bloomberg, presente hoje em todas as instituições financeiras do
mundo, é a ferramenta mais utilizada pelos profissionais do mercado financeiro, tanto na
obtenção de dados, quanto na realização dos negócios e acompanhamento de notícias em
tempo real.
Foi através desta ferramenta que foi possível obter os dados das séries de preços das
ações e suas respectivas ADRs, utilizados na aplicação da metodologia proposta neste
trabalho.
1.6.2. Broadcast
O Broadcast é outro feeder de dados e notícias em tempo real utilizado no mercado
financeiro brasileiro, desenvolvido pela Agência Estado. Ele também foi utilizado na
obtenção de dados das séries que serviram como base histórica do presente trabalho.
1.6.3. Microsoft Excel 2010
O Excel 2010 foi utilizado no tratamento das séries temporiais, na realização dos
gráficos e também das simulações. Foi a partir dele que as séries tiveram seu tratamento
inicial, como a conversão de moedas do preço da ADR (ver seção 5.1).
Para a realização das simulações foram criados algoritmos através da plataforma VBA
(Visual Basic for Applications), que esta integrada ao Excel.
1.6.4. EViews 7.0
O EViews (Econometric Views) é um software estatístico desenvolvido pela
Quantitative Micro Software e ajudou na realização das análises das séries temporais, a partir
da construção de gráficos, correlogramas e testes de normalidade e estacionariedade.
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1.6.5. Linguagem de programação e software estatístico R
Outro software estatístico utilizado neste trabalho foi o R, que é uma linguagem de
programação e um ambiente para computação estatística e gráfica. Este software está
disponível como um Free Software, sob os termos da Free Software Foundation's GNU
General Public License na forma de código fonte.
Por conta disto, existem diversos packages, em que autores se utilizam de outros
pacotes de funções já criados e desenvolvem novas funções a partir deles. Na realização deste
trabalho foram utilizados três destes packages, principalmente na obtenção dos parâmetros
dos modelos ARFIMA (ver seção 3.2.1.) e na análise dos resíduos pós modelagem da série.
22
23
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. Introdução
O primeiro capítulo foi dedicado a apresentar ao leitor alguns conceitos e teorias
relevantes para o entendimento da metodologia e sua aplicação a um caso real (descrito no
capítulo 5). Neste capítulo serão introduzidos conceitos fundamentais no que se refere ao
estudo de séries temporais, financeiras ou não, controle estatístico de processo, além de
conceitos básicos de estatística e engenharia aplicada.
Estes conceitos ajudarão o leitor a entender a estrutura deste trabalho, assim como toda
sua metodologia a fim de analisar e modelar um ou mais ativos financeiros, possibilitando um
controle mais eficaz de monitoramento on-line dos mesmos.
2.2. Séries Temporais
Segundo Morettin e Toloi (2006), uma série temporal é qualquer conjunto de
observações ordenadas no tempo. Souza (1989) cita que uma classe de fenômenos cujo
processo observacional e consequente quantificação numérica gera uma sequência de dados
distribuídos no tempo é denominada série temporal.
Alguns exemplos clássicos de aplicações destas séries temporais, segundo Morettin e
Toloi (2006), são:
1. Valores diários de poluição na cidade de São Paulo;
2. Valores mensais de temperatura na cidade de Cananéia-SP;
3. Índices diários da Bolsa de Valores de São Paulo;
4. Precipitação atmosférica anual na cidade de Fortaleza;
5. Número médio anual de manchas solares;
6. Registro de marés no porto de Santos.
As séries temporais podem ser divididas em discretas e contínuas. Morettin e Toloi
(2006) afirmam que muitas vezes uma série temporal discreta é obtida através da amostragem
de uma série temporal contínua em intervalos de tempos iguais, . Em outros casos, temos
que o valor da série em um dado instante de tempo é obtido acumulando-se valores em
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intervalos de tempos iguais. Além disso, as séries podem ser analisadas sob dois enfoques
diferentes.
No primeiro enfoque, a análise é feita no domínio temporal, resultando em modelos
paramétricos (parâmetros finitos). O outro enfoque é analisar as séries temporais no domínio
das freqüências, que tem como resultado modelos não paramétricos.
Ainda segundo Morettin e Toloi (2006), os principais objetivos da análise de séries
temporais, sejam elas financeiras ou não, são:
1. Investigar o mecanismo gerador da série temporal;
2. Fazer previsões de valores futuros da série (no curto ou longo prazo);
3. Descrever apenas o comportamento da série, através da construção de gráficos, da
verificação da existência de tendências, ciclos e variações sazonais, da construção
de histogramas e de diagramas de dispersão;
4. Procurar periodicidades relevantes nos dados.
Independentemente do enfoque utilizado, são construídos modelos probabilísticos ou
modelos estocásticos, que devem ser simples e parcimoniosos. Entende-se por processo
estocástico aquele que é controlado por leis de probabilidade.
Segundo Morettin e Toloi (2006), um processo estocástico tem a seguinte definição:
Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família Z = Z(t), t ∈
T, tal que, para cada t ∈ T, Z(t) é uma variável aleatória. Nestas condições, um processo
estocástico é uma família de variáveis aleatórias (v.a.), que estão definidas em um mesmo
espaço de probabilidades Ω. Normalmente, o conjunto T pode ser tomado como sendo um
conjunto de números inteiros ou reais. Portanto, para cada t ∈ T e ω ∈ Ω, definimos X(t, ω).
Ainda segundo os mesmos autores, o conjunto dos valores de X(t), t ∈ T é chamado
de espaço dos estados S, do processo estocástico e os valores de X(t) podem ser chamados de
estados. Se o conjunto T for finito ou enumerável, como T = ℤ, o processo diz-se com
parâmetro discreto. Se T for um intervalo de ℝ teremos um processo com parâmetro contínuo.
Morettin e Toloi (2006) falam da necessidade de se introduzir algumas suposições
simplificadoras nos modelos utilizados para descrever séries temporais, conduzindo apenas à
análise de determinadas classes de processo estocástico. Assim, pode-se ter:
1. Processos estacionários ou não estacionários, de acordo com a independência ou
não relativamente à origem dos tempos;
25
2. Processos normais (Gaussianos) ou não normais, de acordo com as funções
densidade de probabilidade (fdp) que caracterizam os processos;
3. Processos Markovianos ou não-Markovianos, de acordo com a independência dos
valores do processo, em dado instante, de seus valores em instantes precedentes.
Estas três classes de processos serão descritas a seguir, pois representam uma parte
importante das análises que serão feitas no presente trabalho. O capítulo 3 apresentará
conceitos mais específicos sobre séries temporais.
2.3. Estacionariedade
Classifica-se um processo Z como sendo estacionário se ele se desenvolver no tempo
independentemente da escolha de uma origem dos tempos. Portanto, as características de Z(t
+ a), para todo a, são as mesmas de Z(t).
Alguns exemplos ajudam a entender o conceito de estacionariedade. Morettin e Toloi
(2006) exemplificam o conceito citando um avião em regime estável de voo horizontal.
Segundo eles, qualquer medida de vibração deste avião constitui um processo estacionário.
Existem duas principais formas de estacionariedade: fraca (ou ampla, ou de segunda
ordem) e estrita (ou forte). Para fins de desenvolvimento da referência bibliográfica utilizada
na realização deste trabalho, interessa apenas a primeira classe de estacionariedade e esta será
denominada apenas de processo estacionário.
Definição: Um processo estocástico Z = Z(t), t ∈ T diz-se estacionário de segunda
ordem, ou simplesmente estacionário se, e somente se:
1. E (Z(t)) = constante para todo t ∈ T;
2. Var (Z(t)) = σ2
= 0;
3. E Z2(t) < ∞, para todo t ∈ T;
4. (t1, t2) = Cov(Z(t1), Z(t2)) é uma função de |t1 – t2|.
Com o objetivo de verificar e comprovar as propriedades estacionárias dos dados
amostrais utilizados no presente trabalho serão realizados dois testes estatísticos. Porém, antes
de demonstrá-los, é necessário introduzir alguns conceitos importantes que ajudarão a
identificar a presença de comportamento estacionário em uma série temporal.
26
O primeiro conceito é conhecido como raiz unitária. Um processo estocástico
apresenta uma raiz unitária se a mesma se encontra sobre o círculo unitário, ou seja, a equação
característica do polinômio autorregressivo do processo tem o número um (1) como uma de
suas raízes.
Segundo Morettin (2011), dado um processo estocástico autorregressivo e
estacionário:
) (2.1)
onde RB é um ruído branco (ver a seção 2.6).
Um processo tem raiz unitária se
(2.2)
No caso de comprovada a hipótese de presença de raiz unitária, o processo apresenta a
característica de permanência dos efeitos de algum choque sofrido num instante passado.
Quando os efeitos destes choques aleatórios não são transitórios, e a série não apresenta um
comportamento estacionário.
Para comprovar a estacionariedade de uma série temporal, a literatura sugere a
realização de dois diferentes testes estatísticos. Estes testes vão verificar a existência de raízes
unitárias no processo estocástico.
O primeiro teste é conhecido como Teste de Dickey-Fuller, e foi sugerido por Dickey
e Fuller em 1979, em um artigo intitulado “Distribution of the Estimators for Autoregressive
Time Series with a Unit Root”. A partir de agora este teste será denotado por DF.
Para realização do teste, deve-se considerar o processo abaixo:
) (2.3)
Subtraindo , em (2.3), esta equação pode ser reescrita como:
(2.4)
(2.5)
27
com . O EQM (estimador de mínimos quadrados) será obtido por meio da
regressãoo de sobre , que consiste em testar a seguinte hipótese:
a) H0: = 0
b) H1: < 0
Supondo um modelo autorregressivo estacionário com média zero para testar a
hipótese acima, a seguinte estatística será utilizada:
(2.6)
com:
;
)
;
)
.
onde é o estimador de na regressão e T é o número de
observações.
A equação 2.6 pode então ser reescrita como:
)
(2.7)
Ainda segundo Morettin (2011), as distribuições das estatísticas (2.6 ou 2.7)
correspondentes são tabuladas. Um exemplo de valores críticos de para amostras com n =
100 e níveis de significância 0,01; 0,05 e 0,10 são dados, respectivamente, por -2,60; -1,95 e -
1,61. Assim, rejeita-se H0 se for menor que o valor crítico apropriado.
Como em casos práticos é muito difícil encontrar um processo dependente apenas de
, como suposto pelo teste DF, será utilizada, no presente trabalho, uma variação deste
teste, conhecida como teste de Dickey e Fuller Aumentado (ADF), também explicitado em
Morettin e Toloi (2006).
Para este teste deve-se considerar um processo autoregressivo AR(p) (ver seção 3.1.1.):
28
. )
.
(2.8)
onde é RB ~ ).
A estatística para este teste é semelhante à do teste DF e pode ser escrita como:
) )
(2.9)
e a distribuição de é tabulada.
Logo, testar a hipótese que o polinômio autoregressivo do processo acima, (B), tem
uma raiz unitária é equivalente a testar a hipótese que = 0. Ao longo do desenvolvimento
deste trabalho será utilizado o software EViews 7.0 para a elaboração do teste ADF.
Tabela 2.1 - Representação do teste ADF
Null Hypothesis: SERIES01 has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=30) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -69.30814 0.0001
Test critical values: 1% level -3.431804
5% level -2.862068
10% level -2.567094 *MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(SERIES01)
Method: Least Squares
Date: 10/04/13 Time: 00:00
Sample (adjusted): 2 3991
Included observations: 3990 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SERIES01(-1) -1.092374 0.015761 -69.30814 0.0000
C -9.32E-05 4.11E-05 -2.269102 0.0233 R-squared 0.546386 Mean dependent var -9.79E-07
Adjusted R-squared 0.546272 S.D. dependent var 0.003851
S.E. of regression 0.002594 Akaike info criterion -9.070583
Sum squared resid 0.026839 Schwarz criterion -9.067430
Log likelihood 18097.81 Hannan-Quinn criter. -9.069465
29
F-statistic 4803.618 Durbin-Watson stat 2.003333
Prob(F-statistic) 0.000000
A Tabela 2-1 ilustra a tela de saída do software com os resultados do teste ADF para
uma série qualquer. Podem-se observar alguns pontos importantes:
1. A primeira parte dos resultados mostra os parâmetros, a hipótese nula (série
temporal tem uma raiz unitária) e os valores críticos para os diferentes níveis de
confiança;
2. No exemplo, a estatística do teste ADF tem valor -69,31 e o nível descritivo é
0,0001. Como a estatística é menor que os valores críticos para os níveis de
confiança mostrados (1; 5 e 10%), rejeita-se a hipótese nula;
3. A segunda parte dos resultados refere-se ao modelo de regressão utilizado pelo
software para calcular a estatística ADF.
O segundo teste apresentado neste trabalho é conhecido como teste Phillips-Perron (PP) e
leva o nome de seus desenvolvedores, Peter C. B. Phillips e Pierre Perron. Embora este teste
também servir para verificar se a série é estacionária ou não, ele difere do teste ADF, pois
supõe que os erros sejam correlacionados e possivelmente heteroscedásticos.
Considere o modelo
(2.10)
em que a média deve satisfazer determinadas condições de regularidade, segundo Morettin
(2011).
Este teste considera algumas estatísticas um pouco modificadas, para que as mesmas
possam levar em conta a autocorrelação e heteroscedasticidade. A estatística do teste PP é
dada por
(2.11)
onde e são estimadores de
30
)
(2.12)
)
(2.13)
respectivamente, com os estimadores e calculados como
(2.14)
)
)
(2.15)
sendo que ) é conhecido como estimador de Newey-West (1987) e é definido por
)
(2.16)
Segundo Morettin (2006), Phillips e Perron sugerem a utilização de
(2.17)
e a estatística segue a mesma distribuição limite que .
Tabela 2.2 - Representação do teste PP
Null Hypothesis: SERIES01 has a unit root
Exogenous: Constant
Bandwidth: 17 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel Adj. t-Stat Prob.* Phillips-Perron test statistic -69.55866 0.0001
Test critical values: 1% level -3.431804
5% level -2.862068
10% level -2.567094 *MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Residual variance (no correction) 6.73E-06
HAC corrected variance (Bartlett kernel) 6.30E-06
31
Phillips-Perron Test Equation
Dependent Variable: D(SERIES01)
Method: Least Squares
Date: 10/04/13 Time: 00:00
Sample (adjusted): 2 3991
Included observations: 3990 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SERIES01(-1) -1.092374 0.015761 -69.30814 0.0000
C -9.32E-05 4.11E-05 -2.269102 0.0233 R-squared 0.546386 Mean dependent var -9.79E-07
Adjusted R-squared 0.546272 S.D. dependent var 0.003851
S.E. of regression 0.002594 Akaike info criterion -9.070583
Sum squared resid 0.026839 Schwarz criterion -9.067430
Log likelihood 18097.81 Hannan-Quinn criter. -9.069465
F-statistic 4803.618 Durbin-Watson stat 2.003333
Prob(F-statistic) 0.000000
A Tabela 2.2 representa um exemplo da tela de resultados do software EViews 7.0
para o teste PP. É importante deixar claro aqui a semelhança entre os dois testes, apesar da
estatística de teste ser alterada. Neste caso, pode-se rejeitar a hipótese nula de que a série tem
raiz unitária já que a estatística PP calculada é menor que os valores críticos.
2.4. Normalidade
A distribuição normal, também conhecida como Distribuição de Gauss ou Gaussiana é
considerada uma das distribuições mais importantes em estatística. Sua função de densidade
de probabilidade é descrita como:
)
e
∞ ∞ (2.18)
Os estimadores de µ e σ são, respectivamente, e , representados pelas equações
(2.19) e (2.20):
(2.19)
)
(2.20)
32
Se a variável aleatória X segue uma distribuição normal, escreve-se da seguinte forma:
) (2.21)
Se a média do processo, µ, for igual a zero (0) e seu desvio padrão σ for igual a um
(1), a distribuição é chamada de distribuição normal padrão. Sua função densidade de
probabilidade reduz-se a:
)
) (2.22)
Porém, qualquer distribuição ) pode ser transformada na distribuição padrão
através da seguinte transformação, em z:
(2.23)
A Figura 2.1 é conhecida como curva de Gauss, para uma distribuição normal.
Um ponto importante aqui que deve ser mencionado e será posteriormente
comprovado na sequência deste trabalho é o fato de que dificilmente será possível encontrar
séries de preços no mercado financeiro que apresentam um comportamente igual a uma
distribuição Gaussiana. Isso ocorre principalmente porque as séries de preços encontradas no
mercado financeiro apresentam caudas mais pesadas, com uma ligeira assimetria positiva.
Dado isso, se faz necessária a utilização de outros métodos e modelos mais sofisticados para
descrever o comportamento destas séries.
De acordo com Morettin (2011), há vários dispositivos gráficos que ajudam a avaliar a
forma de distribuição de uma série temporal e assim verificar sua normalidade. A maneira
mais simples de se fazer isso é analisar um histograma.
Ainda segundo Morettin (2011), o histograma consiste em construir retângulos
contíguos, a partir da divisão do espaço amostral em intervalos, geralmente com o mesmo
comprimento, definido por
)
(2.24)
33
Figura 2.1 - Gráfico da função de distribuição de probabilidade de uma normal
Fonte: Disponível em http://www.portalaction.com.br/1410-simula%C3%A7%C3%A3o-do-modelo-normal-com-
m%C3%A9dia-mu-e-desvio-padr%C3%A3o-sigma
Acesso em: 22 abr. 2013
onde é o centro do intervalo em que a observação faz parte e I-h;h é o indicador do
intervalo [-h,h].
O autor cita o fato de haverem diversas críticas quanto ao uso apenas de histogramas
para analisar a normalidade e o comportamento da série, já que o mesmo depende da escolha
de h e da posição inicial da grade. A Figura 2.2 mostra um exemplo de histograma.
Outro recurso interessante para visualizar a normalidade das séries e que será utilizado
no presente trabalho são os gráficos quantis-quantis, conhecidos como Q-Q Plots. Segundo
Morettin (2011), este procedimento compara os quantis dos dados da amostra verificada com
os quantis teóricos de uma distribuição normal, através da construção de um gráfico, onde se
avalia a aderência visualmente.
A Figura 2.3 trata-se de um exemplo deste gráfico, onde é traçada uma reta
correspondente à distribuição normal. Neste mesmo gráfico são plotados os pontos que
representam a amostra que será avaliada. A relação linear entre os quantis teóricos e
empíricos é diretamente proporcional à aderência dos pontos à reta-modelo.
34
Figura 2.2 - Histograma
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Figura 2.3 - Exemplo de Q-Q Plot para uma distribuição que não adere à distribuição teórica (normal)
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Um terceiro recurso utilizado neste trabalho para avaliar a normalidade de uma
amostra de dados é conhecido como teste de Jarque e Bera (1981,1987). Para a realização
deste último teste, parte-se do pressuposto que a série segue uma distribuição normal e que
seu comportamento pode ser descrito por um modelo linear.
0
400
800
1,200
1,600
2,000
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Series: SERIES01
Sample 1 3992
Observations 3991
Mean -8.43e-05
Median 0.000000
Maximum 0.022137
Minimum -0.023826
Std. Dev. 0.002606
Skewness -0.388352
Kurtosis 14.58090
Jarque-Bera 22402.90
Probability 0.000000
-.0100
-.0075
-.0050
-.0025
.0000
.0025
.0050
.0075
.0100
-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02 .03
Quantiles of SERIES01
Qu
an
tile
s o
f N
orm
al
35
Neste caso, segundo Morettin (2011), todos os momentos ímpares da distribuição
maiores do que dois (2) são nulos, e o coeficiente de assimetria A deve ser igual a zero. Por
outro lado, a medida de curtose K (quarto momento) será igual a três (3).
O terceiro e quarto momentos da distribuição normal são os utilizados no presente
trabalho, nomeados por Assimetria e Curtose e respectivamente dados por:
1. Assimetria (Skewness):
3
3)(
tZE
A (2.25)
2. Curtose (Kurtosis):
4
4)(
tZE
K (2.26)
Ao considerar uma amostra suficientemente grande de tamanho T, Z1,..., ZT, os
estimadores de A e K são:
(2.27)
(2.28)
onde
(2.29)
)
(2.30)
O Teste de Jarque e Bera, que tem um bom desempenho para grandes amostras,
baseia-se nas diferenças entre assimetria e curtose da distribuição da série em relação à
distribuição normal, dada por:
36
2
2
22 3ˆ
4
1
6
KÂ
TJB (2.31)
que segue uma distribuição Qui-quadrado com dois graus de liberdade.
Para testar a normalidade calculam-se as estimativas de A e K, para depois calcular JB
por (2.31) e comparar o valor obtido com o valor tabelado de uma distribuição qui-quadrado
com dois graus de liberdade, , com nível de significância apropriado.
2.5. Independência
Uma das características principais de séries temporais financeiras é a não dependência
linear entre seus dados. Isso implica, na prática, no fato de não ser possível prever preços ou
retornos em instantes de tempo futuros baseando-se em dados passados, refletindo a teoria de
um mercado eficiente.
Com o intuito de verificar essa dependência entre os dados em diferentes instantes de
tempo, os testes de autocorrelação podem ser aplicados para verificar se os coeficientes de
correlação são significativamente diferentes de zero, dado certo nível de significância.
Antes de especificar os testes, devem-se introduzir alguns conceitos importantes que
ajudam a entender o funcionamento dos mesmos.
Definição: Autocovariância é a covariância entre duas variáveis da série defasadas
por k intervalos de tempo, isto é:
) ) ) (2.32)
onde é a média ). Para uma amostra , ,..., , temos o estimador de :
) )
(2.33)
em que
e é a variância.
Definição: Função de autocorrelação (f.a.c.) é definida por
37
)
) (2.34)
e o estimador é
(2.35)
e é a variância, dada por:
)
(2.36)
sendo N o tamanho da amostra.
Para testar a hipótese conjunta de que todos os são simultaneamente iguais a zero
pode-se usar a estatística Q desenvolvida por Box e Pierce (1970), definida por:
(2.37)
onde N é o tamanho da amostra e m a defasagem (ou lag) considerado. A estatística Q em
grandes amostras segue uma distribuição qui-quadrado com m graus de liberdade.
Este teste foi posteriormente aperfeiçoado por Ljung e Box (1978) (LB). A estatística
LB possui mais poder estatístico para pequenas amostras que a estatística Q e propõe testar a
hipótese de que todos os coeficientes de autocorrelação sejam simultaneamente nulos sob um
grau de significância estatística. A estatística dada por:
)
(2.38)
segue uma distribuição (qui-quadrado) com m graus de liberdade e a hipótese nula de
independência é rejeitada para valores altos de LB.
Box, Jenkins e Reinsel (1994) propõem ainda a utilização das funções de
autocorrelação parcial (f.a.c.p.), de defasagem k para analisar também a dependência dos
elementos. Esta função é denotada e mede a correlação dependente entre dois elementos
da série, Zt e Zt-k depois de eliminada a influência de Zt-1, ... , Zt-k+1.
38
Este teste, além dos correlogramas, serão executados com o auxílio do software
EViews 7.0. Neste caso, o correlograma consiste na representação das f.a.c. e da f.a.c.p. da
série temporal em questão e está representado na Figura 2.4.
A Figura 2.4 também mostra a aplicação do teste Box-Pierce-Ljung para cada uma das
f.a.c., representando suas estatísticas (Q-Stat) e as probabilidades correspondentes à
distribuição .
Figura 2.4 - Exemplo de correlograma com as f.a.c. e f.a.c.p., as estatísticas do teste de Box-Pierce-Ljung e os
intervalos de confiança
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Para Morettin (2011) é necessária a utilização de outro procedimento para avaliar a
dependência dos dados. Segundo ele, podem-se comparar os valores das f.a.c. e f.a.c.p. da
série com níveis críticos, definidos por , onde n é o número efetivo de observações. A
hipótese nula de ausência de autorrelação e autocorrelação parcial é falsa se os valores
39
observados das f.a.c. e f.a.c.p. estiverem fora deste intervalo caracterizados pelos limites
críticos.
2.6. Ruído Branco
Neste item será apresentado um processo estocástico importante na literatura. Porém,
antes de introduzí-lo, é necessário apresentar alguns outros conceitos, como o de sequência
aleatória.
Morettin (2011) afirma que se Xn, n =1, 2,... é uma sequência aleatória definida no
mesmo espaço amostral Ω com T = 1, 2,.., pode-se escrever para todo n ≥ 1 que:
(2.39)
Na equação (2.39), os aj’s representam estados do processo e o espaço dos estados
pode ser tomado como conjuntos dos reais. Ainda segundo o autor, se as variáveis aleatórias
do processo tiverem a mesma distribuição e forem mutualmente independentes, elas serão
definidas como independentes e identicamente distribuídas (i.i.d., brevemente).
Definição: Diz-se que , t ∈ Z é um ruído branco discreto se as variáveis aleatórias
são não correlacionadas, isto é, Cov , = 0, t ≠ s.
Além disso, tal processo deverá ser estacionário, com E = μ e Var = .
Morettin (2011) define a notação para ruído branco como:
)
Que pode ser escrita de maneira um pouco diferente, quando a distribuição seguir uma
distribuição normal. Neste caso, pode-se escrever:
)
40
41
3. MODELOS PARAMÉTRICOS PARA SÉRIES TEMPORAIS
Neste capítulo serão descritos os principais modelos de séries de tempo, bem como
suas principais características, através de uma metodologia consagrada desenvolvida por Box
e Jenkins (1970). Morettin (2011) sugere a utilização desta metodologia para a construção de
um modelo paramétrico, a partir de um ciclo iterativo, cujos passos estão descritos a seguir:
1. Primeiro deve-se especificar uma classe geral de modelos. A partir desta classe, é
possível iniciar a fase de análise;
2. Na análise há a identificação de algum modelo base, através de suas
autocorrelações e autocorrelações parciais (pode-se também utilizar outros
critérios);
3. Após identificar o modelo, devem-se estimar seus parâmetros;
4. Por último, há uma fase de verificação e diagnósticos dos parâmetros estimados,
através da análise de resíduos.
A metodologia de Box e Jenkins considera a série temporal como sendo oriunda de
uma realização de um processo estocástico. A identificação dos modelos e parâmetros baseia-
se nas informações contidas na série, tratando o modelo com o menor número de parâmetros
possível (parcimônia). Como dito anteriormente, esta estratégia de identificação envolve a
repetição das etapas 1 a 4 diversas vezes, até encontrar o modelo que seja mais satisfatório.
3.1. Modelos Lineares
Os modelos lineares, que serão descritos nesta parte do presente trabalho, partem do
pressuposto que a série de dados seja gerada através de um sistema linear, cuja entrada é um
ruído branco. Também serão descritas nesta seção as funções de autocorrelação e
autocorrelação parcial, parte importante no processo de identificação, além das equações
genéricas de especificação dos modelos.
Através dos modelos de Box-Jenkins, será possível ter uma visão inicial dos principais
modelos lineares, para posterior compreensão de uma análise mais aprofundada sobre cada
um.
Os modelos Box-Jenkins são tais que a série é escrita como:
42
tqtp aBZB )()( (3.1)
onde B é o operador lag, ф e Ө são polinômios de graus p e q, respectivamente e ta é um
ruído branco RB (0, ).
Cabe aqui definir primeiramente o conceito do operador lag B, dado que esta notação
é comum na literatura. É usual trabalhar com operadores que defasam a variável em séries
temporais.
Um operador lag B como um operador linear é definido como:
itt
i ZZB (3.2)
As seguintes propriedades são válidas para o operador B:
1. O lag de uma constante é a própria constante ;
2. O operador lag segue a propriedade distributiva em relação à soma
;
3. É válida a propriedade associativa da multiplicação
;
4. Potências negativas de B significam um operador de avanço,
fazendo . Então, ;
5. Se a soma infinita )
;
6. Se a soma infinita ) ) )
.
A partir de (3.1), tem-se mais apropriadamente:
p
pp BBBB ...1)( 2
21 (3.3)
q
qq BBBB ...1)( 2
21 (3.4)
O polinômio ) define a parte autorregressiva (AR) do modelo enquanto o
polinômio ) define a parte denominada como média móvel (MA) do modelo. Logo,
define-se o modelo em (3.1) como ). Para exemplificar o modelo, será
considerado um ) que pode ser escrito como:
43
tt aBZB )()( 32
tt aBBBZBB )1()1( 3
3
2
21
2
21
3322112211 ttttttt aaaaZZZ
ttttttt aaaaZZZ 3322112211
No caso em que 1)( Bq se tem o modelo ARMA(p,0) ou melhor AR(p). Da mesma
forma, para o caso em que 1)( Bp se tem o modelo ARMA(0,q) ou simplesmente MA(q).
A condição de estacionariedade de um modelo AR(p) deve ser tal que as raízes do
polinômio 0)( Bp devem estar fora do círculo unitário. Para os modelos MA(q) a
estacionariedade é trivial, já que não há restrições sobre os parâmetros do modelo para que o
processo seja estacionário. Para um modelo ARMA(p,q) as condições de estacionariedade são
aquelas de um modelo AR(p).
Como )(Bp é finito, não há restrições sobre os parâmetros para assegurar a
invertibilidade de , tornando esta condição igualmente trivial. Para um modelo MA(q) a
inversibilidade ocorre sempre que as raízes do polinômio 0)( Bq estiverem fora do
círculo unitário. Já um modelo ARMA(p,q) tem a inversibilidade sob as mesmas condições de
um MA(q).
Um resumo deste comportamento dos modelos com relação à estacionariedade e
inversibilidade está na Tabela 3.1.
Os modelos autorregressivos (AR), de médias móveis (MA) e o ARMA, que possuí
termos autorregressivos e de médias móveis estão detalhados nas seções 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3,
respectivamente.
3.1.1. Modelos autorregressivos (AR)
Segundo Morettin e Toloi (2006), um modelo autorregressivo de ordem p, denotado
por AR(p) é tal que:
44
tptpttt aZZZZ 2211 (3.5)
onde ta é um ruído branco;
Tabela 3.1 - Resumo do modelo Box-Jenkins (explicações podem ser verificadas no texto)
Modelo Condições
AR ttp aZB )( 0)( Bp raízes fora do círculo unitário estacionário e
trivialmente inversível.
MA tqt aBZ )( 0)( Bq raízes fora do círculo unitário inversível e
trivialmente estacionário.
ARMA tqtp aBZB )()(
)...(Bp raízes fora do círculo unitário estacionário.
)...(Bq raízes fora do círculo unitário inversível.
Definindo o operador autorregressivo estacionário de ordem p
p
p BBBB ...1)( 2
21 (3.6)
pode-se escrever
tt aZB )( (3.7)
Através de uma combinação linear dos p valores passados da série e de um ruído
branco é possível chegar ao valor atual da série. Algumas características importantes deste
modelo serão relacionadas abaixo:
1. A função de autocorrelação de um processo autorregressivo é constituída de uma
mistura de polinômios, exponenciais e senóides amortecidas e é infinita em
extensão;
2. A função de autocorrelação parcial não é nula somente para defasagens menores
que p (veja Box, Jenkins e Reinsel, 1994).
45
Dado que o operador p
p BBBB 11)()( é finito, não há restrições
sobre parâmetros para assegurar a inversibilidade de Zt. Com isso é possível assegurar de
maneira trivial que o modelo é inversível. Quanto a estacionariedade, a condição será válida
se 0)( B tiver raízes fora do círculo unitário.
3.1.2. Modelo de médias móveis (MA)
Segundo Morettin e Toloi (2006), um modelo de médias móveis de ordem q, definido
por MA(q) é tal que, para um processo de média nula:
qtqttt aaaZ 2211 (3.8)
onde ta é um ruído branco;
Logo, para este modelo, o valor atual da série é uma média ponderada dele próprio
mais os q últimos valores de um processo ruído branco.
Considerando o operador q
q BBB 11)( , não há restrições sobre os
parâmetros j para que o processo seja estacionário. E utilizando um argumento parecido com
o caso anterior para explicar a existência de estacionariedade para os modelos AR(p), é
possível verificar que se as raízes de equação característica 0)( B estiverem fora do
círculo unitário, o modelo será inversível.
Outras características relevantes são:
1. A função de autocorrelação de um processo MA(q) se anula para defasagens
maiores do que q, sendo, portanto, finita;
2. A função de autocorrelação parcial se comporta por exponenciais e/ou senóides
amortecidas (veja Box, Jenkins e Reinsel, 1994).
3.1.3. Modelos autorregressivos e de médias móveis (ARMA)
Morettin e Toloi (2006) afirmam ser natural pensar no valor de uma variável no
instante t como sendo uma função de valores defasados da mesma variável. Dado isso, pode-
se concluir que os modelos autorregressivos são bastante populares em diversos campos de
estudo, como a Economia.
46
Eles sugerem ainda que, com o objetivo de criar um modelo parcimonioso, com o
menor número possível de parâmetros, é comum encontrar na prática muitas séries que
possuem termos tanto autorregressivos quanto de médias móveis.
Portanto, um modelo deste tipo, denotado por ARMA(p, q) pode ser escrito da forma
tqtqttptpttt aaaaZZZZ 22112211 (3.9)
Considerando
)(B e
)(B como sendo os operadores autorregressivos e de médias
móveis, pode-se escrever (3.3) na forma compacta:
tt aBZB )()( (3.10)
Segundo os autores, o processo será estacionário se as raízes de 0)( B estiverem
fora do círculo unitário (para melhores explicações ver seção 2.1) e invertível se todas as
raízes de 0)( B estiverem fora do círculo unitário. A condição de estacionariedade para o
processo ARMA(p, q) é a mesma que para um processo AR(1) e a condição de invertibilidade
é a mesma que para um processo MA(1).
Outras características relevantes são:
1. Se q < p então a função de autocorrelação consiste numa mistura de exponenciais
e/ou senóides amortecidas;
2. Se , os primeiro os não seguirão este padrão e;
3. A função de autocorrelação parcial, por sua vez, se comporta por exponenciais
e/ou senóides amortecidas (veja Box, Jenkins e Reinsel, 1994).
3.2. Processos com Memória Longa
Os processos caracterizados na seção 3.1., como por exemplo, o ARMA(p, q), são
referenciados na literatura como processos de “memória curta”, uma vez que sua função de
aucorrelação decresce rapidamente para zero. Morettin e Toloi (2006) demonstram que:
,...2,1, jCr j
j (3.11)
onde C > 0 e 0 < r < 1.
47
A expressão (3.11) garante que a função de autocorrelação é geometricamente
limitada. Define-se então um processo de memória longa como sendo um processo
estacionário em que sua função de autocorrelação decresce hiperbolicamente (suavemente)
para zero.
Ainda segundo os mesmos autores, isto pode ser definido como:
jCd
jj ,12
(3.12)
onde C > 0 e 0 < d < 0,5.
As primeiras evidências da existência deste tipo de processo aconteceram na década de
50, ligadas a estudos nos setores de Climatologia e Hidrologia, principalmente. As séries
apresentaram persistência nas autocorrelações amostrais, mostrando uma significativa
dependência entre observações separadas por um longo intervalo de tempo.
O fenômeno de memória longa (ML) foi notado por Hurst (1951, 1957), Mandelbrot e
Wallis (1968) e McLeod e Hipel (1978). Uma aplicação recente e importante deste tipo de
processo são os estudos na área de climatologia, principalmente na explicação de tendências
crescentes em temperaturas globais devido ao efeito estufa (ver Seater, 1993).
Dadas as características deste processo de memória longa, foram definidos dois
modelos importantes, nos quais a função densidade espectral é proporcional a 21, rr ,
para próximo de zero e o decaimento da função de autocorrelação segue a equação (3.11).
Mandelbrot e Van Ness (1968) introduziram primeiro o ruído gaussiano fracionário.
Mais tarde, Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981) introduziram o modelo ARIMA
fracionário, conhecido como ARFIMA.
3.2.1. Modelo ARFIMA
Morettin e Toloi (2006) descrevem primeiramente o operador de diferença fracionária
como sendo, para qualquer número real d > -1:
32 )2)(1(!3
1)1(
!2
11)()1( BdddBdddBB
k
dB k
ok
d (3.13)
Pode-se dizer que é um processo auto-regressivo fracionário integrado de média
móveis, ou ARFIMA(p, d, q) com d ∈
), se for estacionário e satisfazer a equação
48
tt
d aBZBB )()1)(( (3.14)
onde at é ruído branco, ) e ) são polinômios B de graus p e q, respectivamente.
Segundo estes autores, existem algumas razões especificas para a escolha desta família
de processos, no que se refere à modelagem de séries com comportamento de memória longa.
A principal delas é que o efeito do parâmetro d nas observações decai hiperbolicamente
conforme a distância aumenta, enquanto os efeitos dos parâmetros e decaem
exponencialmente.
Por isso, o parâmetro d deve ser escolhido com o objetivo de tentar explicar a estrutura
de correlação de ordens altas da série enquanto os outros parâmetros explicam a estrutura de
correlação de ordens baixas.
Hosking (1981) demonstra que o processo ARFIMA(p, d, q), dado pela equação (3.14)
é:
1. Estacionário se d <
e todas as raízes de ) estiverem fora do círculo
unitário;
2. Invertível se d >
e todas as raízes de ) estiverem fora do círculo
unitário.
As funções de autocorrelação e de densidade espectral também são demonstradas por
Hosking (1981), tal que, se Zt, dado pela equação (3.14), for estacionário e invertível, então:
1. ) existe e é finito;
2. existe e é finito.
O caso mais simples é o ruído branco fracionário, representado por ARFIMA(0, d, 0),
dado por:
tt
d aZB )1( (3.15)
Outro modelo ARFIMA muito utilizado na prática é o ARFIMA(1, d, 1), que pode ser
expresso por:
tt
d aBZBB )()1)((
tt
d aBZBB )1()1)(1(
49
11)()1( tttt
d aaZZB
11
32 )...]()2)(1(!3
1)1(
!2
11[ tttt aaZZBdddBdddB
121321 ...][...])2)(1(
!3
1)1(
!2
1[ tttttttt aaZdZZdddZdddZZ
50
51
4. CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP)
4.1. Introdução
O controle estatístico de processo, conhecido simplesmente pela sigla CEP, é um
conjunto de ferramentas estatísticas utilizado em diversas áreas da engenharia, responsável
principalmente por monitorar e melhorar a qualidade de um processo. Cabe aqui ressaltar
alguns conceitos básicos iniciais, necessários para o melhor entendimento desta ferramenta.
Portanto, serão definidos os conceitos de processo, variabilidade do processo e controle.
Processo: pode ser definido como um conjunto de atividades, que serão executadas
em sequência, até atingir um determinado objetivo. Pode ser definido também como sendo um
conjunto de causas responsáveis por gerar efeitos.
Variabilidade do processo: a variabilidade está presente em qualquer processo, seja
ele produtivo ou não, independente de quão bem ele seja projetado e operado. Duas unidades
produzidas pelo mesmo processo dificilmente serão idênticas, dada variabilidade do mesmo.
Essa variabilidade pode ser grande ou praticamente imperceptível. Por isso, é importante
reduzir a variabilidade em um processo para realizar um bom gerenciamento.
As causas desta variabilidade são divididas em dois principais grupos, as causas
comuns e as causas especiais. As primeiras são causas inerentes a qualquer tipo de processo
(variabilidade natural). Já as causas especiais são aquelas responsáveis pelas anormalidades
no processo e necessitam de maior atenção e capacidade de gerenciamento e detecção rápida.
Controle: monitorar uma determinada estatística com o intuito de observar qualquer
causa de variabilidade especial e assim auxiliar na sua prevenção e posterior correção.
Neste trabalho, a série que será tratada e posteriormente monitorada é uma série
temporal financeira. Portanto, embora estes conceitos previamente explicitados estejam mais
atrelados a um clássico processo produtivo, os mesmos podem ser relacionados com este tipo
de “processo”.
Ao analisar uma série de preços, ou como no caso do presente trabalho, uma série
formada pelo preço de três diferentes ativos financeiros, o processo consiste em todas as
atividades que são realizadas e que podem influenciar na determinação do produto final, que é
52
o preço dos ativos. Este preço pode ser influenciado e até formado por uma série se fatores
mercadológicos, parcialmente listados a seguir:
1. Decisões legislativas: alteração nas regras que regem o mercado que, no caso real
analisado neste trabalho, podem ser responsáveis por determinar outro patamar
para a série formada pela diferença de dois ativos financeiros que representam a
mesma coisa. Estas mudanças nas leis podem deixar mais caro ou mais barato a
conversão de um papel no outro, alterando o patamar do spread;
2. Mudanças nas empresas: ao analisarmos as ações de uma empresa real, qualquer
alteração na sua estrutura de governança ou na composição de seu conselho
administrativo pode provocar alterações significativas nos preços dos ativos;
3. Decisões políticas: estas decisões macroeconômicas podem ser responsáveis por
alterar os patamares de valor entre moedas, além de também representarem uma
possibilidade de mudança no preço de ações de empresas ligadas ao governo do
país;
4. Notícias: qualquer fato relevante noticiado pelas principais agências de notícias do
mundo é responsável também por influenciar na formação final do preço de um
ativo financeiro.
Portanto, estes fatores listados aqui podem ser responsáveis por alterar determinadas
características estatísticas do produto final, que neste caso é o preço do ativo. Estes fatores
podem fazer com que a média e a varãncia do processo se alterem e mudem de patamar.
Pode-se então representar o processo de formação de um ativo financeiro através de
um diagrama de causa e efeito, ilustrado na Figura 4.1.
4.2. CEP
Segundo Montgomery (2004), o controle estatístico de processo (CEP) pode ser feito
através de uma coleção de ferramentas de resolução de problemas, sendo útil na obtenção da
estabilidade do processo e na melhoria da capacidade através da redução da variabilidade.
Ainda segundo o mesmo autor, o CEP pode ser aplicado a quase todos os processos e
é constituído de sete principais ferramentas, listadas a seguir:
53
Figura 4.1 - Diagrama de causa e efeito para o processo de formação do preço de um ativo financeiro
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
1. Apresentação em histogramas ou ramo-e-folhas;
2. Folha de Controle;
3. Gráfico de Pareto;
4. Diagrama de causa-e-efeito;
5. Diagrama de concentração de defeito;
6. Diagrama de dispersão;
7. Gráfico de controle.
Independentemente de um processo ser bem planejado e mantido pelos seus agentes, é
inerente que exista certa quantidade de variabilidade. Essa variabilidade natural é efeito de
causas inevitáveis durante a existência do processo. Quando um processo apresenta somente
este tipo de variabilidade, ou seja, opera com causas aleatórias de variação, diz-se que o
mesmo está sob controle estatístico.
Por outro lado, sabe-se que outros tipos de variabilidade podem ocorrer
ocasionalmente, sendo estes últimos muito maiores e intensos que uma simples variabilidade
natural do processo e normalmente representam um nível inaceitável do desempenho do
processo. Estes processos, que operam na presença de causas atribuíveis, ou seja, que não
fazem parte do padrão de causas aleatórias, podem ser caracterizados como fora de controle.
54
Montgomery (2004) fala que, em geral, os processos de produção operarão em estado
sob controle, produzindo itens aceitáveis por períodos de tempo relativamente longos. No
entanto, causas atribuíveis ocorrerão eventualmente, resultando em um “deslocamento” para
um estado de fora de controle.
Ainda segundo o mesmo autor, o principal objetivo do controle estatístico de processo
é detectar rapidamente a ocorrência de causas atribuíveis das mudanças do processo, de modo
que a investigação do processo e a ação corretiva possam ser realizadas antes que o processo
fora de controle possa causar grandes perdas financeiras.
Com o intuito de analisar um processo financeiro, mais precisamente uma relação
entre preços de dois ativos correlacionados, o presente trabalho irá propor a utilização de
Gráficos de Controle como principal ferramenta de controle estatístico de processo, de modo
que qualquer variação desta relação entre preços e ativos possa ser detectada o mais rápido
possível, através de um monitoramento on-line do processo. Detalhes sobre os Gráficos de
Controle serão colocados na seção 4.3.
4.3. Gráficos de Controle
Como apresentado anteriormente, o gráfico de controle é uma ferramenta estatística
que permite realizar um monitoramento on-line de determinado processo, principalmente no
quer se refere à sua estabilidade e controle de qualidade. Ele é uma representação gráfica de
uma característica de qualidade ou estatística medida ou calculada (eixo das ordenadas) pelo
número da amostra ou o tempo (eixo das abscissas).
A Figura 4.2 representa um exemplo de Gráfico de Controle de Shewhart,
desenvolvido pelo Dr. Walter A. Shewhart, durante os anos 20.
Outro ponto que deve ser ressaltado aqui é que o presente trabalho irá utilizar somente
gráficos de controle para variáveis, já que a estatística que será monitorada é a média do
diferencial de preços de dois ativos financeiros. Quando a estatística a ser monitorada é
medida em uma escala numérica, ela é chamada de variável. Este tipo de ferramenta é
largamente utilizado no monitoramento da média ( ) e da variabilidade (R) de processos.
55
Figura 4.2 - Exemplo de Gráfico de Controle
Fonte: Disponível em http://www.edti.com.br/causas-de-variaca/
Acesso em: 28 jul. 2013
Um gráfico de controle típico é constituído por três principais linhas:
1. Linha Central (LC): representa o valor médio esperado da estatística em
monitoramento. Quando os valores da estatística monitorada encontram-se
próximos da linha central, significa que ele está sob controle e apenas causas
aleatórias estão presentes;
2. Limite Inferior de Controle (LIC): representa o valor mínimo aceitável para a
estatística em monitoramento. Para valores da estatística monitorada abaixo deste
nível é dito que o processo não está sob controle estatístico;
3. Limite Superior de Controle (LSC): representa o valor máximo aceitável para a
estatística em monitoramento. Acima deste nível também é dito que o processo
não está sob controle estatístico.
Ao observar o posicionamento da estatística a ser monitorada pelo gráfico de controle,
é possível decidir se o processo está ou não sob controle estatístico e consequentemente tomar
a decisão necessária para que permita ao mesmo voltar ao estado inicial, sob controle.
56
No caso do presente trabalho, serão utilizados gráficos de controle que auxiliarão no
monitoramento on-line da média do processo de formação do preço do ativo. Portanto, a
estatística a ser monitorada será a média da série real, que, como dito anteriormente, será
formada por três ativos, duas ações e uma relação entre moedas.
A primeira etapa para a construção de um gráfico de controle para monitoramento on-
line é determinar qual será a estatística a ser monitorada. Depois de definida, devem-se plotar
as observações desta estatística no eixo vertical do gráfico.
Segundo Montgomery (2004), há uma relação muito próxima entre gráficos de
controle e testes de hipótese. Isso pode ser demonstrado tomando-se um exemplo simples de
um processo em que se constrói um gráfico de controle para monitorar a média do processo
através de sua média amostral . Quando o processo está sob controle, os valores para a média
da amostra se localizam entre os limites de controle (inferior e superior) e a linha central deve
ser igual a algum valor . Quando a média amostral exceder algum dos limites de controle,
significa que a média deixou de valer e agora deve valer algum valor e é dito que
o processo não está mais sob controle estatístico.
Caracterizando o gráfico de controle como um teste de hipóteses, tem-se:
1. H0: processo está sob controle estatístico ( );
2. H1: processo está fora de controle estatístico ( ).
Sendo assim, a hipótese nula é rejeitada quando a estatística monitorada ultrapassa os
limites de controle (LSC e LIC).
A comparação entre gráficos de controle e teste de hipótese se torna muito útil quando
se quer analisar o desempenho desta ferramenta. Aqui é necessário ter alguns conceitos de
estatística básica para entender de maneira clara a relação com o desempenho do processo.
Considere então que a probabilidade de ocorrência de um erro do tipo I (rejeitar H0 quando o
mesmo é verdadeiro), que neste caso significa concluir que o processo está fora de controle
quando o mesmo se encontra sob controle estatístico, seja uma probabilidade α.
Este α também significa a probabilidade do gráfico de controle sinalizar um alarme
falso. A partir disto, pode-se concluir que, para um gráfico de controle cuja estatística
monitorada será denotada por e que possuí ambos os limites de controle (inferior e
superior), a probabilidade α será:
57
P[Zt > LSC ou Zt < LIC] = α (4.1)
Para um gráfico de controle unilateral, quando o único limite for o superior, esta
probabilidade será:
P[Zt > LSC] = α (4.2)
Neste caso se quer testar as hipóteses:
1. H0: ;
2. H1: .
O mesmo vale para um gráfico cujo limite será apenas o inferior. Neste caso, a
probabilidade α será:
P[Zt < LIC] = α (4.3)
E as hipóteses:
1. H0: ;
2. H1: .
A probabilidade α também está relacionada, de certa forma, com a distância existente
entre os limites de controle e a linha central. Esta distância e a probabilidade α são
inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o α escolhido, menor será a distância entra
estas linhas. Como conseqüência disto, pode-se concluir que se esta probabilidade α for a
menor possível, isto significa que a ferramenta apresenta probabilidade reduzida de sinalizar
um alarme falso, não influenciando de maneira errada um processo que está sob controle
estatístico.
Para Montgomery (2004), uma das considerações mais importantes sobre o uso de
gráficos de controle para monitoramento on-line do processo é seu uso em processos que
apresentam um comportamento estacionário. Este é o caso que o presente trabalho irá tratar,
dado que um dos pressupostos comprovados aqui antes de começar a modelar a série é que a
mesma apresente um comportamento estacionário, variando em torno de uma média fixa e de
maneira estável e previsível. Shewhart já avaliava em sua teoria que este comportamento deve
ser produzido por um processo sob controle estatístico.
58
A seqüência deste trabalho irá expor parâmetros importantes para a observação e
monitoramento da série real. Este parâmetro, conhecido como Average Run Length (ARL), é
uma medida importante de desempenho dos gráficos de controle.
4.3.1. Average Run Length (ARL) – uma medida de desempenho
Uma das principais medidas de desempenho dos gráficos de controle usada é o
Average Run Length (ARL). O desempenho de um gráfico de controle está relacionado com a
velocidade com que ele consegue detectar qualquer mudança de patamar do parâmetro
monitorado, que provavelmente está ligado a alguma causa especial. O ARL também significa
o número médio de amostras até a sinalização de que o processo não está mais sob controle
estatístico. Quanto mais rápido for a detecção, mais rápida será a decisão tomada pelos
agentes, fazendo com que o processo volte à estabilidade estatística.
O ARL, em português, Comprimento Médio da Seqüência (CMS) é, segundo
Montgomery (2004), o número médio de pontos que devem ser marcados antes que um ponto
indique uma condição de fora de controle estatístico. Isso significa que, dado um grau
específico de qualidade, o ARL representa o número de amostras avaliadas até que este
gráfico emita um sinal de alarme, podendo este ser verdade ou não.
Para qualquer gráfico de controle de Shewhart, define-se o ARL como sendo:
) (4.4)
onde X é um estado onde um ponto aparece fora dos limites de controle e esta probabilidade é
o mesmo α definido anteriormente, para um processo sob controle estatístico. Logo:
(4.5)
Este ARL0 é tal que, para um processo sob controle estatístico, deve ser o maior
possível, para evitar o surgimento de alarmes falsos. Quando o processo está fora de controle,
define-se β tal que:
(4.6)
onde β deve ser um valor que minimize o ARL1.
59
Estatisticamente, define-se α e β como sendo, respectivamente, os erros do tipo I e II,
caracterizados a seguir:
a) Erro do tipo I: probabilidade de detectar um alarme falso quando o processo
monitorado está sob controle;
b) Erro do tipo II: probabilidade de não detectar este alarme verdadeiro quando o
processo monitorado não está sob controle, ou seja, fora de controle estatístico.
Os conceitos caracterizados a priori surgem de um conceito parecido, conhecido como
RL, ou Run Length em inglês, que aparece na análise de distribuições cujas variáveis
aleatórias seguem uma distribuição geométrica. Neste caso, a probabilidade da estatística
aparecer fora dos limites de controle corresponde à probabilidade α de alarme falso, quando o
processo está sob controle estatístico ou a quando o processo está fora de controle
estatístico.
Ainda para um gráfico de controle do tipo Shewhart, a determinação deste ARL, assim
como a determinação dos seus limites de controle para alguns gráficos de controle, pode ser
determinada analiticamente. Porém, em outros casos mais complexos, a determinação desta
medida de desempenho se torna um pouco mais complicada, fazendo com que seja necessária
a utilização de métodos interativos e simulações. No caso real tratado neste trabalho, serão
realizadas simulações para obtenção destas medidas.
4.3.2. Tipos de Gráfico de Controle
Um gráfico de controle pode apresentar diferentes formas e assim ser classificado de
acordo com alguns parâmetros. Os critérios de caracterização destes gráficos variam e serão
listados a seguir:
1. Tipos de detecção (variações unilaterais ou bilaterais no parâmetro monitorado);
2. A estatística a ser monitorada é mensurável ou não;
3. Diferentes tipos de estatísticas que podem ser monitoradas;
4. Gráficos que consideram a relação entre os dados amostrais correntes com dados
passados (gráficos com memória – ver seção 4.3.3.).
No primeiro caso listado anteriormente, os gráficos de controle podem apresentar
diferenças quanto ao número de linhas de controle plotadas na ferramenta. Assim, estes
60
gráficos podem possuir uma ou duas linhas que representem os limites de controle, sendo
assim denominados unilaterais ou bilaterais.
O próximo caso caracteriza os gráficos de controle de acordo com o tipo de estatística
monitorada, mais precisamente se ela é ou não mensurável. No caso da estatística a ser
monitorada representar um aspecto mensurável, o gráfico de controle recebe o nome de
gráfico de controle para variáveis, enquanto no caso desta estatística ser determinada por uma
distribuição discreta, nomeia-se como gráfico de controle para atributos.
Este trabalho concentrará os esforços na utilização de gráficos de controle para
variáveis, dado que a estatística a ser monitorada será a média de um processo de formação do
preço de um ativo e este pode ser mensurado. Nestes casos, as características de maior
interesse em se monitorar são normalmente a média e a dispersão do processo. Com isso,
serão diferenciados a seguir estes dois tipos de gráfico de controle, os que monitoram a média
e a dispersão do processo.
Para as formulações a seguir, deve-se considerar que os dados estatísticos a serem
monitorados apresentem distribuição normal (ver seção 2.4.), ou seja, o processo Z(t) é tal
que:
) ) (4.7)
Quando se quer monitorar a média de um processo devem-se utilizar os gráficos de .
Supondo um gráfico bilateral, o teste de hipótese a ser considerado quando o objetivo é medir
a média de um processo, é o seguinte:
1. H0: µt = µ
2. H1: µt ≠ µ
Aqui, a principal estatística utilizada para monitorar a média de um processo é a
própria média amostral, representada por . Os gráficos de controle do tipo Shewhart para a
média costumam apresentar um excelente desempenho, além de serem fáceis de implantar.
O estimador para a média, denotado por , é representado pela seguinte estatística:
61
(4.8)
onde n é o número de elementos amostrais.
A média amostral deve se comportar de acordo com a distribuição normal a seguir,
onde é a média e é o desvio padrão do processo.
) (4.9)
Sendo assim, quando se conhece µ e σ2, contrói-se o gráfico de Shewhart para a média
amostral adotando três desvios padrão como principal característica dos limites de controle. A
seguir, tem-se a linha central e ambos limites de controle:
(4.10)
Como nem sempre é possível encontrar processos cuja média e desvio padrão sejam
conhecidos, é comum utilizar estimadores para estas estatísticas. Considerando um processo
em que m seja o número de amostras com n elementos, calcula-se então o estimador para
média através da seguinte fórmula:
(4.11)
enquanto que para o desvio padrão utiliza-se
(4.12)
onde cn, para uma amostra de tamanho n se calcula através de:
62
)
) (4.13)
A estatísica cn pode ser encontrada em tabelas presentes na literatura utilizada no
desenvolvimento da teoria deste trabalho.
A partir dos estimadores caracterizados anteriormente, pode-se então construir um
gráfico de controle para a média amostral , quando não são conhecidas as respectivas médias
e desvio padrão do processo. Assim, tem-se:
(4.14)
Cabe aqui definir também o estimador não tendencioso para a variância (σ2) do
processo, denotado por . Assim, a variância do t-ésimo grupo pode ser calculada por:
)
(4.15)
onde n é o número de elementos. Se m for o número de amostras, tem-se ainda:
(4.16)
Com isso é possível determinar todos os estimadores necessários para a construção de
um gráfico de controle , que será responsável por monitorar a média do processo através de
sua média amostral. Quando se quer monitorar outra estatística, como por exemplo, medidas
de dispersão dos dados, é usual utilizar gráficos de controle para R, S2
e S.
O mais comum é o gráfico de controle S2, responsável por monitorar a dispersão de
dados.
63
Segundo Montgomery (2004), o teste de hipótese que será considerado na construção
de um gráfico de controle bilateral para monitorar a dispersão de um processo é o seguinte:
1. H0: σt2
= σ2
2. H1: σt2
≠ σ2
A partir das equações 4.15 e 4.16 pode-se determinar o gráfico de controle para S2
que, quando não conhecido e configurado para três desvios padrão, apresenta a linha central e
ambos limites de controle como os a seguir:
(4.17)
onde n segue sendo o número de elementos da amostra.
4.3.3. Gráficos de controle com memória
Esta seção apresentará outro tipo de gráfico de controle que será utilizado para
monitorar a estatística escolhida na aplicação destas metodologias ao caso real. Os gráficos de
controle apresentados na seção 4.3.2 partem do pressuposto de que a estatística monitorada
depende unicamente do dado corrente. No entanto, existem ferramentas que consideram a
relação entre os dados amostrais correntes com dados passados.
Segundo Montgomery (2004), os gráficos do tipo Shewhart (apresentados aqui na
seção 4.3.2.) podem apresentar certa deficiência para monitorar pequenos desvios dos
parâmetros do processo, já que este acaba por negligenciar o fato de existirem relações entre
os dados amostrais atuais e os dados passados. Logo, este tipo de gráfico acaba por apresentar
bom desempenho apenas em processos cujas mudanças repentinas levem a grandes desvios.
Quando o desvio do paâmetro monitorada é pequeno e contínuo, os gráficos de Shewhart não
apresentam bom desempenho, fato este que faz com que seja necessária a utilização de outra
variante desta ferramenta para melhor monitoramento.
64
A partir disto, Montgomery (2004) propõe a utilização de duas alternativas, muito
eficazes, ao gráfico de Shewhart, quando pequenas mudanças do parâmetro são de interesse.
Estas alternativas são os gráficos de controle CUSUM (soma cumulativa) e o gráfico de
controle de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA). No desenvolvimento da
análise da série real será utilizado apenas o CUSUM, em comparação aos gráficos tradicionais
de Shewhart.
Segundo Montgomery (2004), os gráficos de controle de Shewhart se mostram muito
eficazes quando a magnitude da variação for de ou . Para mudanças menores no
patamar do parâmetro monitorado, estes gráficos já não apresentam comportamente tão
eficaz, sendo necessária a utilização de gráficos de controle da soma cumulativa, denotados
por CUSUM.
Os gráficos CUSUM incorporam toda a informação sequencial dos valores da amostra
monitorada, utilizando-se de somas cumulativas dos desvios destes valores de um valor-alvo
(no caso do presente trabalho, o valor-alvo é a média do processo). Estes gráficos foram
propostos por Page (1954) e posteriormente evoluídos por muitos autores, como Ewan (1963)
e Hawkins (1981; 1993a).
Ainda segundo Montgomery (2004), há duas maneiras de representar gráficos
CUSUM, que estão listados a seguir:
1. CUSUM tabular (algorítmico);
2. CUSUM na forma máscara V.
Destas duas representações, é preferível utilizar a primeira, o CUSUM tabular, que
será utilizado neste trabalho de formatura.
Considere Zt a t-ésima observação amostral do processo que está sendo monitorado.
Quando o processo está sob controle estatístico, o valor esperado de Zt deve ser e desvio
padrão .
O CUSUM tabular acumula os desvios da estatística a ser monitorada (que estão
acima ou abaixo do valor alvo), representando-os através das estatísticas e
, respectivamente. Estas estatísticas são conhecidas como CUSUMs unilaterais
superiores e inferiores e são calculada pelas equações (4.19) e (4.20).
65
) (4.18)
) (4.19)
onde:
k é usualmente chamado de valor de referência (ou valor de tolerância ou de folga)
deve ser variado conforme o tamanho da magnitude que se deseja detectar;
Zt é o valor atual da série temporal;
e
são os valore atuais da estatística, sendo que = 0
e = 0;
Montgomery (2004) sugere ainda a utilização de métodos analíticos para o cálculo do
k ideal. Porém, no presente trabalho, serão utilizados métodos de simulação para diferentes
valores de k.
4.3.4 Escolha dos gráficos e da estatística
Neste presente trabalho serão utilizados dois tipos de gráficos de controle para
monitorar a média do spread entre as ações da Petrobrás e sua respectiva ADR, já convertidas
na mesma moeda (conforme seção 1.4.). Serão utilizados os gráficos de Shewhart e CUSUM
para monitorar o preço médio do spread. Em ambos os casos, os limites de controle e o
desempenho do gráfico medido pelo ARL (ver seção 4.3.1.) serão obtidos via simulação.
Neste contexto, podem-se definir os seguintes testes de hipóteses vinculados aos gráficos:
1. H0: o processo analisado está sob controle estatístico;
2. H1: o processo analisado está fora de controle estatístico.
66
67
5. METODOLOGIA E APLICAÇÃO AO CASO REAL
Neste capítulo serão descritas as etapas necessárias para a análise e monitoramento dos
ativos financeiros. Estas etapas consistem desde a coleta de dados, até a análise através de
simulações, que vão determinar os limites de controle e o desempenho do gráfico de controle
para o problema proposto.
Além disto, esta metodologia proposta será aplicada a um caso real, de interesse do
aluno e do Banco Itaú BBA. O caso real é a verificação e o monitoramento do spread entre os
preços de dois ativos financeiros que representam a mesma empresa, mas que são negociados
em mercados diferentes. No caso deste trabalho, os dois ativos são as ações de uma empresa
brasileira e sua respectiva ADR, cujo conceito já foi definido no capítulo introdutório.
A Tabela 5.1 mostra quais são essas atividades, além de colocá-las em sequência para
proporcionar os melhores e mais interessantes resultados.
Tabela 5.1 - Etapas da metodologia
Etapas Descrição
1. Obtenção de dados Série de preços através de feeders de mercado
2. Análise visual da série Gráfico de observações sucessivas
É possível verificar estacionariedade?
Conclusão a partir da análise visual
3. Análise a partir de softwares
estatísticos
Testar estacionariedade: testes ADF e PP
Testar dependência de dados passados: f.a.c. e
f.a.c.p.
Comparação com níveis críticos e teste de Box-
Pierce-Ljung
Observar normalidade: histograma, gráfico Q-Q
Plot e teste de normalidade Jarque-Bera
4. Estimação dos parâmetros para um
modelo de memória longa ARFIMA
Estimar ARFIMA(p,d,q) para a média da série
Identificação da ordem do modelo através da
utilização do software estatístico R
5. Diagnóstico do modelo estimado Análise completa dos resíduos
f.a.c. e f.a.c.p. dos resíduos
Normalidade e comportamento dos resíduos
Verificação do modelo estimado
68
6. Determinação dos limites de controle Determinar os limites de controle de modo que o
ARL0 seja igual a um valor especificado
7. ARL fora de controle Simular, a partir dos limites especificados na
etapa 6, o ARL1 fora de controle
8. Resultados Comparar o desempenho dos gráficos de controle
Avaliação qualitativa
Aplicação na prática
Segue detalhamento das etapas caracterizadas acima:
5.1. Obtenção de dados
Nesta etapa serão obtidos e coletados todos os dados reais e históricos que servirão
como base para o modelo proposto. Aqui, através da utilização de feeders de dados do
mercado financeiro, como a Bloomberg e a Broadcast (Agência Estado), já citados no
primeiro capítulo do presente trabalho, é possível obter séries temporais financeiras históricas,
que consistem em uma sequência temporal de preços de ativos financeiros, caracterizando um
processo estocástico.
Este estudo utilizará uma série temporal formada pela diferença de preços de uma ação
de uma companhia brasileira e sua respectiva ADR (ver capítulo 1). Como esta ADR
representa a empresa fora de seu mercado doméstico, às vezes esta não é negociada na mesma
moeda que a respectiva ação no mercado doméstico. Quando isso acontecer, deve-se também
coletar os preços que representem a taxa de conversão das duas moedas envolvidas.
Utilizando os dois provedores de dados, foi possível obter as três séries temporais base
para a aplicação da metodologia ao caso real. Estes dados se encontram no anexo A. Os três
ativos financeiros que serão tratados, são:
1. Série de preços de uma ação de uma empresa brasileira;
2. Série de preços de sua respectiva ADR, negociada na Bolsa de Valores de Nova
Iorque (NYSE);
3. Taxa de conversão do Real Brasileiro frente ao Dólar Americano.
69
Por fatores de alta liquidez dos ativos em ambos os mercados, fato que evita distorções
nos dados e facilita a adequação estatística aos modelos, o trabalho será conduzido utilizando-
se uma série de preços das ações ordinárias da Petróleo Brasileiro S.A., mais conhecida como
Petrobrás, uma das companhias mais conhecidas e conceituadas no mercado brasileiro.
PETR3 é o ticker da empresa no mercado nacional, e representa as ações ordinárias da
companhia. Ela é negociada na BMF&Bovespa, a Bolsa de Valores de São Paulo, cujas ações
das mais importantes companhias nacionais podem ser negociadas. Esta mesma ação pode ser
encontrada fora do mercado brasileiro, mais especificadamente na Bolsa de Valores de Nova
Iorque (New York Stock Exchange – NYSE), através de sua ADR.
Esta ADR é negociada através do ticker PBR. Um fato importante que deve ser
relatado aqui é que esta ADR representa duas ações, ou seja, uma PBR negociada na NYSE
representa duas (2) PETR3 negociadas na BMF&Bovespa. Com isso, deve-se tratar a séries
considerando este ratio de conversão. Ao comprar uma PBR, o investidor está fazendo a
mesma coisa que comprar duas ações PETR3, só que em outro mercado.
Outro fato relevante é a moeda em que é negociada a ADR da Petrobrás. Neste caso,
como a ADR é negociada numa Bolsa de Valores encontrada nos Estados Unidos da América,
ela representa um valor em dólares americanos (USD). Com isso, deve-se coletar também a
série de preços desta taxa de conversão, conhecida como USDBRL, para o mesmo período em
questão.
A Tabela 5.2 representa um breve resumo dos três diferentes ativos financeiros que
terão suas séries de preços coletadas para posterior tratamento.
Para obter a melhor representação deste caso, será utilizado como base histórica o
período de 21 de junho de 2013 a 05 de julho de 2013. O período em questão é relativamente
curto, mas como o objetivo de trabalho é monitorar dados on-line destes ativos, foi escolhido
retirar preços intraday com espaço de um (1) minuto entre eles. Isso faz com que a série em
questão tenha um número suficientemente grande de dados (entre 3.500 e 4.000 dados) e
represente de maneira mais eficaz o problema a ser selecionado.
Este período de tempo foi escolhido com outro propósito também, já que decisões
políticas afetam os preços destes ativos. Após a retirada do IOF (Imposto sobre Operações de
Crédito, Câmbio e Seguros) para investidores estrangeiros, este spread se deslocou um pouco,
mantendo-se constante novamente em outro patamar, já que o custo para realizar a arbitragem
70
entre a ação e sua ADR foi reduzido. Logo, o período em questão já considera esta nova
legislação.
Tabela 5.2 - Resumo das séries de preços utilizadas
Ativo Ticker Bloomber
Ação ordinária da Petrobrás PETR3 BS Equity
ADR das ações ordinárias da Petrobrás PBR US Equity
Taxa de conversão Real - Dólar USDBRL Currency
De posse das três séries de preços em questão, o primeiro passo é transformá-las em
uma única série que represente esta diferença ou spread de preços.
1. Obter a série de preços da ADR (PBR), negociada em dólares americanos (USD);
2. Realizar a conversão das taxas de câmbio ADR (USD) ADR (BRL) da seguinte
forma:
) )
onde ADR (USD) é o preço da ADR cotado em dólares americanos, USDBRL é a
taxa de conversão destes dólares em reais e o número dois (2) representa o ADR
Ratio citado anteriormente.
3. Obter a série que representa a diferença entre a ação e a ADR já negociada em
reais brasileiros (BRL);
4. Realizar uma segunda diferenciação, para deixar a série com média zero e facilitar
os cálculos posteriores.
Na tabela 5.3 se têm um exemplo que representa parte dos dados utilizados no
trabalho, do dia 01 de Julho de 2013 às 10:30.
Tabela 5.3 - Exemplo do tratamento de dados
Data PBR (USD) PETR3 USDBRL PBR (BRL) SPREAD
01/07/2013 10:30 13,38 14,85 2,2355 14,955495 0,105495
71
5.2. Análise visual da série
O objetivo desta etapa é analisar alguns aspectos visuais da série temporal de preços,
após a construção de gráficos e histogramas, para que sejam definidas algumas características
importantes que serão imprescindíveis nas próximas etapas desta análise.
O primeiro gráfico que deve ser analisado aqui é o gráfico de observações sucessivas
da série de preços correspondente ao spread entre a PETR3 e a PBR, já com a conversão das
moedas, representado pela Figura 5.1 e realizado através do EXCEL 2010.
Figura 5.1 - Gráfico de observações sucessivas EXCEL 2010
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Pela Figura 5.1 é possível identificar um comportamento estacionário, dado que a
média se mantêm praticamente constante e muito próxima à zero (0), independente de alguns
períodos onde esta se mostra relativamente deslocada. A comprovação da estacionariedade é
indispensável para a continuidade da análise e estimação dos modelos.
A Figura 5.2 representa as duas séries de preços, tanto da ADR já convertiva em reais
quanto da própria ação, com o intuito de auxiliar na verificação dos deslocamentos mais
acentuados na média deste spread. Como o caso estudado neste trabalho de formatura esta
relacionado com conceitos de arbitragem, não há necessariamente fatores econômicos que
expliquem sempre estes deslocamentos na média do spread. Quando qualquer player agir em
72
apenas um mercado de maneira abrupta, deslocando o preço de apenas um título,
possivelmente ocorrerá uma possibilidade de arbitragem, dado deslocamento do spread entre
os preços.
Figura 5.2 - PBR vs. PETR3
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
5.3. Análise a partir de softwares estatísticos
O primeiro software utilizado aqui será o Excel 2010, que fornecerá um breve resumo
estatístico sobre a série real, mostrado aqui através da Tabela 5.4.
Tabela 5.4 - Resumo estatístico via EXCEL 2010
Spread PBR x PETR3
Média -4.12*10-16
Erro padrão 0.000283359
Mediana -0.000364227
Moda 0.013013273
73
Desvio padrão 0.017238405
Variância da amostra 0.000297163
Curtose 1.13173305
Assimetria 0.463151036
Intervalo 0.153079
Mínimo -0.063965477
Máximo 0.089113523
Soma -1.5238*10-12
# de observações 3701
Pode-se verificar através dos dados da Tabela 5.4, que a série formada pelo spread
entre os preços destes ativos apresenta assimetria positiva, além do valor 1,13 para a medida
de curtose. Estes dados serão utilizados para verificar se a série em questão pode ser descrita
como uma distribuição normal.
Serão utilizados também os dois principais softwares estatísticos deste trabalho, o
EViews 7.0 e R. Estes softwares ajudarão a obter informações importantes sobre a série.
Neste caso, apesar de visualmente a série apresentar comportamento estacionário, a
utilização destes softwares comprovarão isso através dos testes de raiz unitária, já citados
anteriormente, como o ADF e o teste PP (ver seção 2).
O teste ADF (Augmented Dickey-Fuller) verifica a estacionariedade da série sob a
hipótese nula (H0: série apresenta raiz unitária). A Tabela 5.5 mostra os resultados obtidos
para a série real através do teste ADF, realizado pelo EViews 7.0. O valor da estatística foi -
6,16, com p < 10-4
º que comprova que a hipótese nula é rejeitada e a série pode ser
considerada como estacionária.
Isso acontece também no segundo teste, o PP (Philips-Perron), que igualmente
verificará a estacionariedade da série sob a mesma hipótese nula. A Tabela 5.6 contém os
resultados obtidos a partir do teste PP, também realizados com o software EViews 7.0. Neste
caso, o valor da estatística foi -45,54 com p < 10-4
, comprovando assim a não existência de
raiz unitária e consequentemente sua estacionariedade.
74
Tabela 5.5 - Teste ADF
Null Hypothesis: SERIES01 has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 8 (Automatic - based on SIC, maxlag=29) t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -6.156280 0.0000
Test critical values: 1% level -3.431935
5% level -2.862126
10% level -2.567125
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(SERIES01)
Method: Least Squares
Date: 10/13/13 Time: 12:24
Sample (adjusted): 10 3701
Included observations: 3692 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
SERIES01(-1) -0.074495 0.012101 -6.156280 0.0000
D(SERIES01(-1)) -0.644621 0.019306 -33.38955 0.0000
D(SERIES01(-2)) -0.485621 0.021811 -22.26463 0.0000
D(SERIES01(-3)) -0.379029 0.022905 -16.54770 0.0000
D(SERIES01(-4)) -0.284754 0.023246 -12.24983 0.0000
D(SERIES01(-5)) -0.217535 0.022964 -9.472872 0.0000
D(SERIES01(-6)) -0.162447 0.022011 -7.380134 0.0000
D(SERIES01(-7)) -0.114819 0.020158 -5.695984 0.0000
D(SERIES01(-8)) -0.079309 0.016423 -4.829108 0.0000
C 5.16E-06 0.000175 0.029488 0.9765
R-squared 0.344300 Mean dependent var 6.12E-06
Adjusted R-squared 0.342697 S.D. dependent var 0.013120
S.E. of regression 0.010637 Akaike info criterion -6.246325
Sum squared resid 0.416572 Schwarz criterion -6.229494
Log likelihood 11540.72 Hannan-Quinn criter. -6.240334
F-statistic 214.8193 Durbin-Watson stat 2.005277
Prob(F-statistic) 0.000000
Como a série foi considerada estacionária, deve-se verificar a dependência de dados
passados, através das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial, f.a.c. e f.a.c.p.
respectivamente. O objetivo desta etapa é verificar, através do comportamento das
autocorrelações e autocorrelações parciais, qual modelo de séries de tempo melhor se encaixa
à série real.
Uma maneira de se analisar estas funções é através da representação gráfica, em que
serão plotados os valores da autocorrelação e da autocorrelação parcial, para serem
75
comparados com o nível crítico padrão ( ) definidos no referencial teórico de
significância.
Tabela 5.6 - Teste PP
Null Hypothesis: SERIES01 has a unit root
Exogenous: Constant
Bandwidth: 40 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel Adj. t-Stat Prob.*
Phillips-Perron test statistic -45.53889 0.0001
Test critical values: 1% level -3.431931
5% level -2.862124
10% level -2.567124
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Residual variance (no correction) 0.000147
HAC corrected variance (Bartlett kernel) 0.000616
Phillips-Perron Test Equation
Dependent Variable: D(SERIES01)
Method: Least Squares
Date: 09/30/13 Time: 01:09
Sample (adjusted): 2 3701
Included observations: 3700 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
SERIES01(-1) -0.289213 0.011568 -25.00073 0.0000
C -1.28E-06 0.000199 -0.006417 0.9949
R-squared 0.144583 Mean dependent var -2.11E-06
Adjusted R-squared 0.144351 S.D. dependent var 0.013113
S.E. of regression 0.012129 Akaike info criterion -5.985821
Sum squared resid 0.544063 Schwarz criterion -5.982461
Log likelihood 11075.77 Hannan-Quinn criter. -5.984625
F-statistic 625.0366 Durbin-Watson stat 2.509870
Prob(F-statistic) 0.000000
Com o auxílio do EViews 7.0, é possível gerar o correlograma, caracterizado pela
Figura 5.3. Esta figura mostra então a dependência da série de seus dados passados, que pode
ser considerada como uma forte dependência. Além disso, pode-se observar também um
padrão de comportamento especial, já que a função de autocorrelação não decai
exponencialmente para zero, e sim hiperbolicamente. Esta é a primeira evidência de que a
76
série deverá ser modelada através de modelos de memória longa, ou ARFIMA (ver seção 3
sobre modelos paramétricos).
O software R fornece como principal saída para este estudo os gráficos das f.a.c. e
f.a.c.p., já com os níveis críticos também destacados no gráfico, o que facilita a observação de
dependência. Assim, neste caso, pode-se observar uma forte dependência até a 200ª ordem
(valores das f.a.c. maiores que os níveis críticos, até a 200ª amostra), fato que comprova a
necessidade de utilizar modelos de memória longa. As Figuras 5.4 e 5.5 explicitam este fato.
Além disto, o teste de Box-Pierce-Ljung comprovou a hipótese de dependência entre os
elementos para praticamente todas as defasagens, ao comparar a estatística Q com os valores
de referência, chegando a probabilidades menores de 10-4
.
A próxima característica que deve ser observada para a série, logo após a
comprovação de estacionariedade e esta análise de dependência da série com seus valores
anteriores é a normalidade, ou seja, se a distribuição de probabilidade dos preços da série em
questão se comporta como uma distribuição normal.
Este estudo é importante para a continuidade do trabalho, já que se a distribuição de
probabilidades pudesse ser expressa apenas como uma distribuição normal, não haveria
necessidade de utilizar modelos paramétricos mais complexos para representá-la. A primeira
etapa aqui é observar o histograma da série em questão, caracterizado pela Figura 5.5.
Analisando o histograma da série na Figura 5.6, pode-se observar que a distribuição
em questão aparenta estar um pouco deslocada para a direita, o que pode ser comprovado pela
sua assimetria positiva e igual a 0,46 (Tabela 5.4). Visualmente, também se pode perceber a
presença de caudas relativamente pesadas, comprovadas pelo valor da curtose.
O gráfico Q-Q Plot (Figura 5.7) também mostra a não normalidade da série, já que
alguns pontos empíricos não aderem à reta teórica. Além deste último, é importante realizar
também o teste de Jarque-Bera, que se trata de um recurso estatístico para comprovar a
normalidade dos dados (ver seção 2.1). A partir dos valores de curtose e assimetria
apresentados na Tabela 5.4, é possível calcular esta estatística e compará-la com o nível
crítico , com 5% de significância. Como a estatística JB = 329,83 é maior que o nível
crítico (5,9915), rejeita-se a hipótese nula de que a série em questão se comporta de acordo
com uma distribuição normal.
77
Figura 5.3 - Correlograma EViews 7.0
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Figura 5.4 - Gráfico da f.a.c. através do R
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
78
Figura 5.5 - Gráfico da f.a.c.p. através do R
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
A partir destes resultados, comprova-se que a série não apresenta comportamento
similar ao de uma distribuição normal, o que leva à necessidade de utilizar modelos
paramétricos mais complexos para descrever seu comportamento.
Figura 5.6 - Histograma (EViews 7.0)
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
0
100
200
300
400
500
600
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
Series: SERIES01Sample 1 3701Observations 3701
Mean 6.77e-17Median -0.000364Maximum 0.089114Minimum -0.063965Std. Dev. 0.017238Skewness 0.462963Kurtosis 4.128584
Jarque-Bera 328.6244Probability 0.000000
79
Figura 5.7 - Q-Q Plot da série (EViews 7.0)
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
5.4. Estimação de um modelo de memória longa ARFIMA
A partir da análise das f.a.c. e f.a.c.p. (forte correlação serial), há necessidade de
modelar a série estudada através de um modelo de memória longa, já previamente
caracterizado na revisão bibliográfica. Por se tratar de uma série temporal cuja função de
autocorrelação decresce suavemente para zero, sugere-se a utilização de modelos ARFIMA.
Neste caso, será ajustada à média do processo um modelo ARFIMA(p, d, q) com d ∈
), que satisfaz a equação
tt
d aBZBB )()1)(( (5.1)
-.08
-.06
-.04
-.02
.00
.02
.04
.06
.08
-.08 -.04 .00 .04 .08 .12
Quantiles of SERIES01
Qu
an
tile
s o
f N
orm
al
80
onde at é ruído branco e ) e ) são polinômios B de graus p e q, respectivamente. Além
disso, ) é o operador de diferença fracionária.
Para estimar os parâmetros de um modelo ARFIMA foi utilizado o software R e três
diferentes packages. Como este software é open source, diferentes autores atualizam e
melhoram as funções dele, criando novos packages que servem para tratar determinados tipos
de problema. Com o objetivo de obter os melhores resultados possíveis na estimação de um
modelo ARFIMA, foram utilizados os seguintes packages do software R:
1. Package ARFIMA;
2. Package FracDiff;
3. Package Forecast.
Ao utilizar esses três diferentes pacotes do software foi possível obter os parâmetros
de um modelo ARFIMA(p,d,q) ótimo para representar a série real.
A Figura 5.8 mostra a saída do software, já com os parâmetros estimados e uma lista
de funcionalidades pós-determinação do modelo.
O software R auxilia na determinação dos parâmetros do modelo ideal para a série em
questão. O modelo ajustado é um ARFIMA(1,d,1), o que corresponde a um modelo com uma
parcela autorregressiva (grau 1), uma parcela de média móvel (também grau 1) e um número
real ∈ correspondente ao operador de diferença fracionária.
Logo, pode-se definir um ARFIMA(1,d,1) para modelar a média deste processo real,
cujas estimativas estão representadas na Tabela 5.7:
Tabela 5.7 - Resumo dos parâmetros estimados
Parâmetros Estimados
d 0,185
0,980
0,886
0,016
81
Onde:
é o componente da parcela autorregressiva;
é o componente da parcela de médias móveis;
é o parâmetro do operador de diferença fracionária;
são os elementos da série temporal;
são ruídos brancos.
Figura 5.8 - Estimaçãos dos parâmetros de um modelo ARFIMA (software R)
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Tem-se então um modelo ARFIMA que descreve o comportamento da média do
processo real analisado no presente trabalho. A partir destes parâmetros será possível
comprovar a eficiência deste modelo em descrever a série real e posteriormente realizar as
simulações necessárias para determinar os limites de controle e verificar o desempenho de
diferentes tipos de gráfico de controle em monitorar este processo.
5.5. Diagnóstico do modelo estimado
Esta etapa consiste em analisar os resíduos at para averiguar a adequação do modelo
proposto para a média. Para isso, devem-se analisar os valores da f.a.c. e f.a.c.p dos resíduos.
O software R utilizado para estimá-los fornece uma análise completa dos resíduos,
representada aqui através das Figuras 5.10, 5.11, 5.12.
Antes de analisar as f.a.c. e f.a.c.p. dos resíduos, é importante verificar se o mesmo
apresenta comportamento similar a um ruído branco, podendo ser descrito então através de
uma distribuição normal.
82
Com os valores da curtose (0,068) e da assimetria (-0,073) calculou-se a estatística JB
e assim compará-la com o nível crítico de com 5% de significância (5,9915). Neste caso,
JB = 4,0462 e pode-se então comprovar a hipótese de que os resíduos se comportam como
uma distribuição Gaussiana.
Figura 5.9 - Geração dos ruídos brancos (EXCEL 2010)
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Dado que estes resíduos se comportam como uma distribuição normal, deve-se então
analisar suas funções autocorrelação e autocorrelação parcial, representadas pelas Figuras
5.11 e 5.12. A partir destas figuras, percebe-se que as correlações da série foram eliminadas,
comprovando assim a adequação do modelo.
Na Figura 5.10 estão os resíduos at do modelo proposto. Pode-se observar que estes
resíduos não apresentam tendência, se comportando de maneira aleatória, dentro de uma faixa
de valore. É possível perceber também um comportamento estacionário destes resíduos,
comprovando que o modelo ARFIMA(1, d, 1) proposto é adequado.
As Figuras 5.11 e 5.12 representam os valores de autocorrelação e autocorrelação
parcial dos resíduos at. Pode-se observar que estes valores estão dentro dos níveis críticos, ou
seja, que a autocorrelação e a autocorrelação parcial dos resíduos foi eliminada no modelo
proposto.
Uma última maneira de se comprovar a adequação do modelo proposto é visualizar
graficamente a série real e a série estimada. Este gráfico está na Figura 5.13 e, a partir dele,
83
pode-se comprovar também a adequação do modelo proposto, pois a série estimada apresenta
o mesmo comportamento da série real.
Figura 5.10 - Gráfico dos resíduos da série modelada
Fonte: Elaborado pelo autor (2012)
Figura 5.11 - F.a.c. dos resíduos
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
84
Figura 5.12 - F.a.c.p. dos resíduos
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Figura 5.13 - Série real vs. série estimada
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
85
5.6. Determinação dos limites de controle
Segundo a literatura exposta na seção 2, é comum utilizar limites de controle com três
desvios padrão para cada lado. Isso significa que o limite superior de controle será
representado pelo valor da estimativa da média do processo mais três vezes o valor da
estimativa do seu desvio padrão. O mesmo vale para o limite inferior, em que subtrái-se esta
parcela de três desvios padrão ao invés de somar. Porém, dado a complexidade do problema
proposto (utilização de modelos paramétricos relativamente complexos), estes limites de
controle serão determinados via simulação.
Esta simulação considera a existência de um ARL0, a partir do qual se pode definir o
processo sob controle estatístico. Este ARL, já definido na seção 4.3.1, será igual a um valor
pré-estabelecido, coerente com a realidade do mercado financeiro e principalmente de uma
mesa de operações. Defini-se então o ARLespec = ARL0.
O ARL0 é o número médio de amostras necessárias até a sinalização de um alarme
falso. Isso significa dizer que este ARL0 é definido matematicamente pelo inverso da
probabilidade α de soar este alarme falso. Segundo Montgomery (2004), este ARL pode ser
definido analiticamente para os gráficos de controle de Shewhart utilizados para monitorar a
média do processo ( ). Neste caso, o ARL em controle é igual a 370, o que significa dizer que
a cada 370 amostras o gráfico consegue detectar uma situação de fora de controle estatístico.
Esta determinação analítica é possível dada distribuição conhecida dos processos
monitorados, além de pressupostos que não são iguais aos observados nas séries temporais.
No caso deste trabalho, serão utilizados dois diferentes tipos de gráficos na realização
do monitoramento on-line da média amostral do processo. Primeiro, será utilizado um gráfico
de controle do tipo Shewhart com o intuito de monitorar a média do processo.
Para este tipo de gráfico serão obtidos os limites de controle, tanto inferior quanto
superior, através de simulações. Definindo um ARLespec igual a 100, será possível determinar
estes limites através do programa desenvolvido no EXCEL 2010 e cujo algoritmo se encontra
na seção de apêndices. Este valor definido para o ARL foi feito em comum acordo junto à
mesa de operações do banco, representando um valor que está de acordo com as
características do mercado. Cabe ressaltar que este valor deve ser suficientemente grande
(levando em considerações as características específicas de cada mercado) dado que para um
processo definido sob controle estatístico qualquer alarme soado seria falso.
86
Como o intervalo de tempo entre as amostras obtidas como base histórica é pequeno,
normalmente representado por um (1) minuto, e considerando a dinâmica envolvida nos
mercados de ações, tanto local quando internacional, principalmente relacionados a questões
de arbitragem, a definição do ARLespec igual a 100 é bastante útil na prática. Com este ARL
será possível detectar alarmes falsos entre períodos menores que duas horas.
O segundo tipo de gráfico utilizado será o CUSUM. Para este gráfico, os limites de
controle também serão obtidos através de algoritmos de simulação (representados através de
fluxogramas), utilizando o mesmo ARLespec do caso anteriore as estatísticas CUSUM+ e
CUSUM-. A seguir, estão os algoritmos utilizados para obter os limites de controle, denotados
por LCfinal, através de simulação, para os gráficos do tipo Shewhart e CUSUM,
respectivamente.
1. Gráfico do tipo Shewhart
Para o gráfico de controle do tipo Shewhart, foi desenvolvido um algoritmo, cujo
fluxograma é mostrado na Figura 5.14. Neste caso, o algoritmo é executado apenas uma vez,
já levando em consideração o número de simulações necessárias para obtenção do ARL.
Como previamente citado na seção 3.2.1, os modelos utilizados neste tipo de série
temporal apresentam relações infinitas entre os dados, ou seja, o t-ésimo elemento da série
depende de todos os outros elementos anteriores. Sendo assim, é válido ressaltar aqui que o
algoritmo transforma essa dependência em vetores, representados por arfima(n), ar(n), ma(n),
que representam as parcelas originadas pelos parâmetros d, e .
Portanto, é possível definir:
1. LCinicial: limite de controle inicial cujo valor será somado à precisão da iteração;
2. : precisão da iteração do limite de controle (quanto aumenta o limite de
controle até atingir o patamar ideal);
3. : média dos ARLs obtidos via simulação (principal objetivo do algoritmo);
4. . : número de simulações geradas pelo algoritmo;
5. são os coeficientes do modelo ARFIMA (1, d, 1).
87
2. CUSUM
Para os gráficos de soma cumulativa, também foi desenvolvido um algoritmo, que se
comporta de maneira muito similar ao do gráfico do tipo Shewhart. Seu fluxograma esta
representado pela Figura 5.15. O algoritmo é replicado para cinco valores de referência k
(0,001; 0,005; 0,01; 0,015; 0,02).
A principal diferença entre os dois algoritmos é o cálculo e consequente utilização da
estatística CUSUM+, que será comparada com os valores encontrados para os limites de
controle.
A lógica de ambos os algoritmos é a mesma. Defini-se um limite de controle inicial e
um passo, ou precisão, com que eles aumentam. Soma-se este passo até que o limite de
controle final seja tal que o ARL fique igual a 100.
88
Figura 5.14 - Fluxograma do algoritmo de simulação dos limites de controle do gráfico do tipo Shewhart
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
89
Figura 5.15 - Fluxograma do algoritmo de simulação dos limites de controle do gráfico CUSUM
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
90
Para os gráficos do tipo Shewhart foi possível encontrar os valores para os limites de
controle cuja média dos ARL é 100, obtendo:
1. LIC = -0,0502146;
2. LSC = +0,0502146;
Já com os limites de controle determinados, é possível desenhar o gráfico de controle
representado pela Figura 5.16, onde se pode observar 41 pontos fora dos limites de controle.
Figura 5.16 - Limites de controle para o gráfico do tipo Shewhart
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Já para os gráficos CUSUM foram derterminados os limites de controle para os
respectivos valores de referência k. Com o intuito de apresentar resultados mais simplificados,
serão expostos aqui os limites de controle encontrados para os gráficos CUSUM+, limites
estes que serão usados na próxima etapa, onde se utiliza estes valores para obter os
respectivos ARL1 fora de controle.
Como esperado pela literatura, os limites de controle do gráfico CUSUM são
inversamente proporcionais ao valor de referência k. A Tabela 5.8 apresenta estes resultados e
a figura 5.16 representa a relação entre k e os limites encontrados. Vale ressaltar aqui que,
como estes limites de controle determinados servirão de base para a obtenção dos ARLs fora
91
de controle, utilizou-se apenas a estatística CUSUM+, responsáveis por captar deslocamentos
positivos na média do spread.
Tabela 5.8 - Limites de controle dos gráficos CUSUM para os respectivos valores de k
k LCfinal
0,001 0,1429586
0,005 0,0927391
0,010 0,0513262
0,015 0,0309878
0,020 0,0181983
Figura 5.17 - Limites de Controle CUSUM para os respectivos valores de k
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Como os gráficos de controle CUSUM apresentam desempenho melhor para pequenos
deslocamentos no parâmetro monitorado, foram escolhidos desde valores de referência
pequenos, que serão importantes na comparação de desempenho entre os diferentes tipos de
gráfico, a valores como k = 0,02, importante para o monitoramento do caso real.
5.7. ARL fora de controle
Após a determinação dos limites de controle finais (dado ARL estipulado), a próxima
etapa desta metodologia consiste em simular condições especiais em que o processo (série
temporal) encontra-se fora de controle estatístico. Para isso, utilizam-se como base os mesmos
algoritmos utilizados na determinação dos limites de controle, dada similar lógica entre eles.
92
Neste caso, os algoritmos (representados pelas Figuras 5.18 e 5.19) serão responsáveis por
calcular o ARL médio para cada situação fora de controle (estimar ARL1).
Caracteriza-se uma situação como fora de controle quando a média do processo
apresentar valores diferentes daqueles originalmente gerados pela série temporal estudada.
Considera-se então, para um processo sob controle, que a média é zero, ou seja, o spread
entre os preços da ação e sua respectiva ADR seja nulo.
Em situações fora de controle estatístico, esta média apresenta valores diferentes de
zero. Portanto, para gerar situações em que não há um controle estatístico, é necessário
deslocar a média do processo para valores diferentes de zero, referenciados a partir do desvio
padrão estimados para a série.
Após deslocar a média do processo de acordo com os parâmetros citados
anteriormente (parâmetros estes escolhidos para atender às necessidades reais do mercado
financeiro), simula-se a série temporal com o intuito de determinar os valores de ARL1 e
assim estudar o desempenho destes gráficos.
Para os gráficos CUSUM, como o deslocamento da média será positivio, utiliza-se a
estatística CUSUM+ com o intuito de obter os valores de ARL1 em situações fora de controle
estatístico.
A Tabela 5.9 representa esses valores de deslocamento da média.
Tabela 5.9 – Valores dos deslocamentos na média dos preços
Δσ Δ
0 0,000000
0,025 0,000393
0,05 0,000785
0,1 0,001570
0,15 0,002355
0,2 0,003140
Como o intuito deste trabalho é analisar e encontrar a melhor ferramenta de
monitoramento on-line de uma série temporal formada por ativos financeiros serão realizadas
diversas simulações para diferentes níveis de desvio, possibilitando assim comparar estas
ferramentas (gráfico do tipo Shewhart vs. CUSUM).
93
As Tabelas 5.10 e 5.11 representadas a seguir mostram os valores dos ARLs fora de
controle, determinados para cada nível de desvio na média, através das simulações feitas com
os algoritmos expostos nas Figuras 5.18 e 5.19.
Tabela 5.10 - Valores do ARL1 para o corresponde valor de desvio na média (Gráficos Shewhart)
Gráfico tipo Shewhart
Δσ Δ ARL1
0 0,000000 101,41058
0,025 0,000393 52,50060
0,05 0,000785 30,48746
0,1 0,001570 17,61067
0,15 0,002355 12,98397
0,2 0,003140 10,45033
Tabela 5.11 - Valores do ARL1 para o corresponde valor de desvio na média (Gráficos CUSUM)
Gráfico CUSUM
Δσ Δ ARL1
k
0.001 0.005 0.01 0.015 0.02
0 0.000000 99.63594 100.70718 99.77115 101.97349 100.94870*
0.025 0.000393 28.80496 29.07215 28.87531 28.72047 28.41434*
0.05 0.000785 19.12425 18.74757 18.22617 18.47105 17.94576*
0.1 0.001570 13.34898 12.59737 11.87273 11.80611 11.56785*
0.15 0.002355 11.02372 10.19250 9.41359 9.26444 9.07735*
0.2 0.003140 9.64946 8.81949 8.04923 7.82736 7.65949*
94
Figura 5.18 - Fluxograma do algoritmo de simulação do ARL fora de controle para o gráfico do tipo Shewhart
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
95
Figura 5.19 - Fluxograma do algoritmo de simulação do ARL fora de controle para o gráfico CUSUM
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
96
5.8. Resultados
Para o gráfico de Shewhart, pode-se perceber, a partir da Tabela 5.10, que a medida de
desempenho ARL1 decai exponencialmente conforme aumenta o desvio na média do processo.
Este comportamento é o esperado segundo a literatura e o conceito de gráficos de controle
para monitoramento on-line da média de um processo. Quanto maior for o desvio na média,
menor será o número de amostras analisadas até detectar um alarme falso e por consequência
melhor será o desempenho do gráfico.
No caso da média monitorada apresentar um desvio de , o gráfico do tipo
Shewhart desenvolvido para o caso real seria capaz de detectar esse deslocamento de patamar
após a observação de aproximadamente 10 amostras, o que corresponde a 10 minutos. Isso
comprova o bom desempenho da ferramenta, já que para o caso em questão, é necessário
detectar qualquer deslocamento o mais rápido possível, permitindo assim a tomada de
decisões. Esse número se mostra de acordo com as expectativas da mesa de operações de
Equities do Banco Itáu BBA, dado que conseguir captar esse deslocamento em apenas 10
minutos trará clara vantagem competitiva perante outros agentes do mercado financeiro,
possibilitando assim a realização da arbitragem entre os ativos e conseqüente lucro financeiro.
A Figura 5.20 representa este comportamento. Quanto maior for o desvio na média do
processo, mais rapidamente o gráfico soará um alarme falso, possibilitando a tomada de
decisão por parte dos agentes financeiros.
Figura 5.20 - Valores do ARL1 vs. variação da média
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
97
Para os gráficos de controle de soma cumulativa, pode perceber uma melhora no
desempenho (menores valores de ARL) para maiores desvios na média, o que está de acordo
com a literatura e com o resultado obtido de maneira similar para os gráficos anteriores.
Qualquer que seja a ferramenta utilizada, seja ela um gráfico do tipo Shewhart ou um gráfico
de soma cumulativa, eles vão apresentar ARLs menores quanto maior for o desvio na
estatística a ser monitorada.
Isso se deve ao fato de estes gráficos servirem para captar mudanças significativas na
estatística. Assim que houver estes deslocamentos na estatística, o gráfico necessitará de
menos medidas para soar o alarme e possibilitar a tomada de decisão. A Tabela 5.11 mostra
de maneira clara a evolução destes ARLs para os diferentes valores de referência k.
É importante ressaltar aqui a comparação entre o desempenho dos diversos gráficos
CUSUM construídos, ou seja, se estes gráficos apresentam comportamentos melhores ou
piores dados valores de referencia k escolhidos.
Utilizando também os valores obtidos na Tabela 5.11, é possível verificar que, embora
com uma magnitude pequena, os gráficos CUSUM com maior valor de referência apresentam
desempenho melhor do que aqueles com menor k.
Isso pode ser verificado através da Tabela 5.12, construída a partir da Tabela 5.11,
apenas para exemplificar esta melhora no desempenho. Comparando os gráficos CUSUM
com k = 0,001 e k = 0,02 (os dois extremos), pode-se observar que o último apresenta ARLs
menores para todos os desvios na média, caracterizando assim um melhor desempenho.
Tabela 5.12 - Comparação do ARL1 obtido para os gráficos CUSUM com k nas extremidades
Gráfico CUSUM
Δσ Δ ARL1
k
0.001 0.02
0 0.000000 99.63594 100.94870
0.025 0.000393 28.80496 28.41434
0.05 0.000785 19.12425 17.94576
0.1 0.001570 13.34898 11.56785
98
0.15 0.002355 11.02372 9.07735
0.2 0.003140 9.64946 7.65949
Cabe ressaltar também o fato de, assim como os gráficos do tipo Shewhart, os gráficos
CUSUM conseguirem detectar o maior deslocamento da média em menos de 10 minutos
(aproximadamente 8 minutos). Isso continua a comprovar a teoria de que estas ferramentas
podem se tornar muito úteis ao monitorar este spread entre ações e suas respectivas ADRs.
Quanto menor for este ARL, mais rápido se dará a tomada de decisão para realizar a
arbitragem, possibilitando assim maior realização de lucros.
Comparando o desempenho de ambos os gráficos, chega-se-se à conclusão que os
gráficos que apresentam memória, como os de soma cumulativa, apresentam melhores
desempenhos que os gráficos clássicos de Shewhart, para todos os níveis de desvio da média
do processo considerados. Isso comprova o referencial teórico apresentado na seção 4.
Outro fator que também comprova parte da teoria apresentada é o fato de,
proporcionalmente, os gráficos CUSUM apresentarem melhor desempenho nos menores
desvios da média. Assim como apresentado na seção 4, os gráficos CUSUM são as melhores
ferramentas quando se quer monitorar possíveis desvios pequenos.
Isto pode ser observado pela Tabela 5.13, em que são apresentados estes valores de
melhoria proporcional. A Figura 5.21 também mostra este desempenho, através de sua
representação gráfica.
Tabela 5.13 - Melhoria proporcional do ARL1 (comparação entre Shewhart e CUSUM)
Δmédia ARL1 Shewhart CUSUM k = 0,02 Melhoria (%)
0.000000 101.41058 100.94870 0.46%
0.000393 52.50060 28.41434 45.88%
0.000785 30.48746 17.94576 41.14%
0.001570 17.61067 11.56785 34.31%
0.002355 12.98397 9.07735 30.09%
0.003140 10.45033 7.65949 26.71%
99
Como concluído nesta etapa, os gráficos de controle CUSUM apresentam desempenho
melhor que os gráficos de controle . Para o problema em questão, optou-se então por estes,
dado desempenho satisfatório. Ainda referenciando-se ao problema real, entende-se que é
melhor utilizar os gráficos CUSUM com k = 0,02 como valor referencial, já que esta
ferramenta deve ser capaz de captar sensivelmente mudanças na média dos preços da ordem
de 0,02.
Esta mudança é efetiva em termos reais, sendo considerada pela mesa de operações do
banco como nível ideal para se tomar uma decisão de arbitragem. Quando o diferencial entre
a ação da empresa e sua ADR atingirem este patamar de diferença é do interesse da área que
seja tomada uma decisão, ora de vender uma e comprar a outra, ora o inverso.
Figura 5.21 - Representação gráfica da melhoria proporcional
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
5.8.1. Aplicação do Gráfico CUSUM k = 0.02 ao caso real
Tomando o gráfico CUSUM com valor de referência k = 0.02 como ferramenta para
monitorar o spread entre os preços das ações ordinárias da Petrobrás e sua respectiva ADR, é
possível verificar, para o período em questão (mesmo período utilizado como base história),
100
que este gráfico apresenta um desempenho muito bom no que se refere a captar possíveis
deslocamentos positivos na média.
Para comprovar isto é necessário analisar o gráfico da série real em conjunto com a
estatística CUSUM+, que será plotada juntamente com seu respectivo limite de controle. Com
isso, é possível perceber o excelente desempenho do gráfico para captar as maiores distorções
nestes preços. Isso fica claro, para a série real em questão, ao verificar o que ocorre perto do
ponto 750 da série (correspondente ao período um pouco antes do fechamento do dia 2 de
Julho e a abertura do dia 3 de Julho).
Neste período é fácil observar o início de uma tendência de deslocamento positiva na
média deste spread, que pode ter ocorrido devido a um grande movimento de apenas um dos
ativos. Isso é comum nestes casos, já que os ativos são negociados por diferentes players no
mercado. Possivelmente no período em questão, algum player grande pode ter causado esta
distorção nos preços, ao negociar apenas um dos ativos em um dos mercados.
A partir da Figura 5.2 exposta no início deste capítulo é possível observar que, neste
período, ocorreu um grande deslocamento positivo nos preços destes ativos, seguido de uma
queda repentina. Esses grandes movimentos abrem espaço para arbitragem, já que os dois
ativos são negociados em mercados diferentes e não conseguem ter um tempo igual de
resposta.
Perto do ponto 1.000 a série apresenta seu maior pico de alta, em que a diferença entre
os preços chegou a atingir quase 21 centavos (10 centavos são perceptíveis nos gráficos e os
outros 11 correspondem ao valor em que a série foi diferenciada inicialmente para facilitar
sua modelagem).
A Figura 5.22 mostra que o gráfico CUSUM em questão conseguiria captar este
deslocamento da média, justamente perto do seu início. Ao detectar esta descrepância, a mesa
de operações de Equities do banco seria capaz de captar esta mudança no patamar da média,
realizando a arbitragem desde o início de sua ascensão. A mesma figura também possibilita
verificar o desempenho do gráfico ao captar outros movimentos como este.
Além disto, gráfico representado na figura 5.23 mostra a estatística CUSUM+ plotada
juntamente com seu limite de controle, o que permite visualizar que esse gráfico conseguiría
captar todos os momentos onde houve alterações significativas (para cima) na média dos
preços, durante o período utilizado como base histórica.
101
Figura 5.22 - Estatística CUSUM+ plotada juntamente com a série real
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Figura 5.23 – Gráfico de controle CUSUM para monitoramento da média do spread entre PBR e PETR3
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
102
103
6. CONCLUSÃO
Neste capítulo serão apresentadas as principais conclusões do presente estudo, além de
futuras análises a serem feitas sobre o tema. Cabe ressaltar aqui que, para fins de validação,
realizou-se um estudo paralelo, com apenas uma parte da série de preços utilizada como base
histórica, com o intuito de deixar claro que o modelo proposto na seção 6 está de acordo com
a realidade.
6.1. Validação do modelo proposto
Para validar a adequação do tipo de modelo paramétrico proposto no presente
trabalho, foi feito um estudo paralelo com a mesma série histórica utilizada como base para a
realização do projeto. Como se pode verificar pela Figura 5.1, a série de preços formada pelo
spread entre os preços da PETR3 e da PBR apresenta um período caracterizado pelo rápido
aumento da diferença entre esses preços, causando um pico de alta destacado no gráfico.
Entre as amostras de número 750 e 1000 da série histórica, pode-se perceber
claramente este breve período de distorção, provavelmente causado pela ação de um player
específico apenas em um mercado, originando esta situação. Assim como apresentado na
literatura, esse momento específico poderia ter causado uma distorção no estudo do modelo
ideal, fazendo com que a série inteira apresentasse forte dependência dos valores anteriores.
Para concluir que uma série de preços intraday formada por uma ação e sua respectiva
ADR apresenta comportamento caracterizado por modelos de memória longa ARFIMA, foi
realizado um estudo onde se considerou apenas os preços após este período de ascenção,
formados pelas amostras retiradas entre as de número 1000 e 3700 da série histórica.
A Figura 6.1 representa o gráfico de observações sucessivas deste novo período. A
partir destes dados é possível realizar, com o auxílio do EViews 7.0, o correlograma para a
série em questão, com o intuito de observar o comportomanto de suas funções de
autocorrelação e autocorrelação parcial.
A Figura 6.2 representa este correlograma, que mostra uma forte dependência de
dados anteriores, que decai hiperbolicamente para zero, caracterizando assim o tratamento da
série como ARFIMA.
104
Figura 6.1 - Gráfico de observações sucessivas da nova série
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
Figura 6.2 - Correlograma na nova série
Fonte: Elaborado pelo autor (2013)
-.08
-.06
-.04
-.02
.00
.02
.04
.06
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500
SERIES01
105
6.2. Principais resultados
Assim como exposto no capítulo 5, onde a metodologia proposta no presente trabalho
foi aplicada à série histórica, os gráficos de controle desenvolvidos no trabalho através das
simulações apresentaram um bom desempenho em situações onde a média dos preços foi
deslocada para cima. Ambos os gráficos de controle desenvolvidos aqui seriam capazes de
perceber esta mudança de patamar e assim sinalizar uma alteração, possibilitando ao usuário
da ferramenta tomar a decisão rapidamente e assim realizar a arbitragem entre os ativos
financeiros.
Os gráficos de controle de soma cumulativa, CUSUM, apresentam desempenho
proporcional melhor em casos onde a mudança deste patamar da média é pequena. A tabela
5.13 deixa clara esta comparação entre o desempenho de ambos os tipos de gráficos. Portanto,
é possível concluir que, para monitorar o spread entre os preços de uma ação de uma empresa
brasileira e sua respectiva ADR pode-se utilizar gráficos do tipo CUSUM, pois apresentam
resposta mais rápida.
E como provado na seção 6.1, a utilização de modelos de memória longa ARFIMA na
modelagem deste tipo de série financeira também se mostrou eficaz, possibilitando uma boa
adequação do modelo e a realização de simulações confiáveis para determinação dos limites
de controle e dos ARL1 fora de controle.
Outro fator que comprova a solução proposta neste trabalho foi a aplicação de um
gráfico CUSUM com k = 0,02 para o período passado. Nesta aplicação, foi possível verificar
que a estatística CUSUM+ se mostrou eficiente em detectar os períodos de aumento na média
do processo.
6.3. Futuras análises para os próximos trabalhos
Durante a realização do presente trabalho, um dos maiores desafios foi o total
entendimento da base teórica, principalmente no que se refere ao estudo das séries temporais
financeiras e sua modelagem a partir de modelos paramétricos, dado que esta área de
conhecimento não foi desenvolvida ao longo do curso de Engenharia de Produção.
A modelagem da série a partir de modelos de memória longa ARFIMA também foi
um grande desafio no desenvolvimento desta metodologia, já que pouco se conhecia sobre
este tipo de modelo paramétrico.
106
As etapas caracterizadas pelas simulações também foram difíceis de realizar, já que,
para obter resultados eficientes, foi necessário gerar um número suficientemente grande de
simulações, o que consumiu tempo e recursos computacionais.
As próximas etapas requeridas para o desenvolvimento deste estudo, com maior
profundidade, estão listadas abaixo:
1. Continuação das análises dos processos de memória longa ARFIMA e sua
adequação no que tange séries de preços de ativos financeiros com intervalos
próximos;
2. Realização de um maior número de simulaçãos, para diferentes desvios na média
do processo e outros valores de referência k para comprovação dos resultados aqui
obtidos;
3. Utilização de outros gráficos de controle de memória, como por exemplo, o
EWMA (ver seção 4.3.3).
Por fim, concluí-se que a utilização de modelos ARFIMA e gráficos de controle com
memória se mostram eficientes para analisar o spread formado entre uma ação e sua ADR,
possibilitando assim captar situação para a realização da arbitragem e consequente obtenção
de lucros sem risco iminente.
107
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Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Industrial, 2007. Disponível em:
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ago. 2013.
110
111
APÊNDICES
APÊNDICE A – CÓDIGOS DOS ALGORITMOS DE SIMULAÇÃO (VBA)
Simulação dos limites de controle para Shewhart
Sub Arfima()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim l As Integer
Dim simul As Long
Dim d As Double
Dim fi As Double
Dim theta As Double
Dim teste As Double
Dim Arfima(5000) As Double
Dim ar(5000) As Double
Dim ma(5000) As Double
Dim z(5000) As Double
Dim soma(5000) As Double
Dim media As Double
Dim desvio As Double
Dim arl(100000) As Double
Dim count As Long
Dim arlest As Double
Dim deltalc As Double
Dim lcinicial As Double
Dim arlmedio As Double
Dim somaarl As Double
lcinicial = Cells(7, 3)
arlest = Cells(5, 3)
112
deltalc = Cells(6, 3)
simul = Cells(4, 3)
media = 0
desvio = 0.0106
d = Cells(2, 3)
fi = Cells(3, 3)
theta = Cells(8, 3)
Arfima(0) = d
ar(0) = fi
For i = 1 To 4999
Arfima(i) = (-1 * Arfima(i - 1) * (d - i)) / (i + 1)
Next
For j = 1 To 4999
ar(j) = -1 * ar(0) * Arfima(j - 1)
Next
Do While arlmedio < arlest
somaarl = 0
For count = 1 To simul
arl(count) = 1
k = 0
Randomize
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
113
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = ma(k)
Do While z(k) < lcinicial And z(k) > -1 * lcinicial
k = k + 1
t = k
teste = 0
For l = 1 To k
soma(l) = (Arfima(l - 1) * z(t - 1)) + (ar(l - 1) * z(t - 1))
t = t - 1
teste = teste + soma(l)
Next
Randomize
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = teste + ma(k) - (ma(k - 1) * theta)
arl(count) = arl(count) + 1
If k > 4999 Then Exit Do
114
Loop
somaarl = somaarl + arl(count)
Next
Cells(3, 11) = somaarl / simul
arlmedio = somaarl / simul
lcinicial = lcinicial + deltalc
Loop
Cells(4, 11) = lcinicial - deltalc
End Sub
Simulação do limite de controle superior para o gráfico CUSUM
Sub Arfima()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim l As Integer
Dim t As Integer
Dim e As Integer
Dim simul As Long
Dim d As Double
Dim fi As Double
Dim theta As Double
Dim teste As Double
Dim arfima(5000) As Double
Dim ar(5000) As Double
Dim ma(5000) As Double
Dim z(5000) As Double
115
Dim soma(5000) As Double
Dim media As Double
Dim desvio As Double
Dim arl(100000) As Double
Dim count As Long
Dim arlest As Double
Dim deltalc As Double
Dim lcinicial As Double
Dim arlmedio As Double
Dim somaarl As Double
Dim cusummais(5000) As Double
Dim aleat(5000) As Double
Dim lot As Integer
lcinicial = Cells(7, 3)
arlest = Cells(5, 3)
deltalc = Cells(6, 3)
simul = Cells(4, 3)
media = 0
desvio = 0.0106
d = Cells(2, 3)
fi = Cells(3, 3)
theta = Cells(8, 3)
arfima(0) = d
ar(0) = fi
For i = 1 To 4999
arfima(i) = (-1 * arfima(i - 1) * (d - i)) / (i + 1)
Next
For j = 1 To 4999
ar(j) = -1 * ar(0) * arfima(j - 1)
Next
116
lot = 1
Do While arlmedio < arlest
somaarl = 0
For count = 1 To simul
arl(count) = 1
k = 0
Randomize
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = ma(k)
cusummais(k) = 0
Do While cusummais(k) < lcinicial
k = k + 1
t = k
teste = 0
For l = 1 To k
soma(l) = (arfima(l - 1) * z(t - 1)) + (ar(l - 1) * z(t - 1))
t = t - 1
117
teste = teste + soma(l)
Next
Randomize
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = teste + ma(k) - (ma(k - 1) * theta)
cusummais(k) = Application.WorksheetFunction.Max(0, cusummais(k - 1) + z(k) -
(media + Cells(9, 3).Value))
arl(count) = arl(count) + 1
If k > 4999 Then Exit Do
Loop
somaarl = somaarl + arl(count)
Next
Cells(3, 11) = somaarl / simul
arlmedio = somaarl / simul
lcinicial = lcinicial + deltalc
Cells(lot, 13) = arlmedio
lot = lot + 1
Loop
118
Cells(4, 11) = lcinicial - deltalc
End Sub
Simulação do ARL fora de controle para Shewhart
Sub Arl_Arfima()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim l As Integer
Dim t As Integer
Dim e As Integer
Dim simul As Long
Dim d As Double
Dim fi As Double
Dim theta As Double
Dim teste As Double
Dim arfima(5000) As Double
Dim ar(5000) As Double
Dim ma(5000) As Double
Dim z(5000) As Double
Dim soma(5000) As Double
Dim media As Double
Dim desvio As Double
Dim arl(100000) As Double
Dim count As Long
Dim arlest As Double
Dim deltalc As Double
Dim lcinicial As Double
Dim arlmedio As Double
Dim somaarl As Double
119
Dim cusummais(5000) As Double
Dim cusummenos(5000) As Double
Dim aleat(5000) As Double
Dim var As Double
var = Cells(10, 3).Value
lcinicial = Cells(7, 3)
arlest = Cells(5, 3)
deltalc = Cells(6, 3)
simul = Cells(4, 3)
media = 0
desvio = 0.0106
d = Cells(2, 3)
fi = Cells(3, 3)
theta = Cells(8, 3)
arfima(0) = d
ar(0) = fi
For i = 1 To 4999
arfima(i) = (-1 * arfima(i - 1) * (d - i)) / (i + 1)
Next
For j = 1 To 4999
ar(j) = -1 * ar(0) * arfima(j - 1)
Next
somaarl = 0
For count = 1 To simul
arl(count) = 1
k = 0
Randomize
120
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = ma(k) + var
cusummais(k) = 0
cusummenos(k) = 0
Do While z(k) < lcinicial And z(k) > -1 * lcinicial
k = k + 1
t = k
teste = 0
For l = 1 To k
soma(l) = (arfima(l - 1) * z(t - 1)) + (ar(l - 1) * z(t - 1))
t = t - 1
teste = teste + soma(l)
Next
Randomize
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
121
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = teste + ma(k) - (ma(k - 1) * theta) + var
arl(count) = arl(count) + 1
If k > 4999 Then Exit Do
Loop
somaarl = somaarl + arl(count)
Next
Cells(3, 11) = somaarl / simul
arlmedio = somaarl / simul
Cells(4, 11) = lcinicial - deltalc
End Sub
ARL fora de controle para CUSUM
Sub Arl_Arfima()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim l As Integer
Dim t As Integer
122
Dim e As Integer
Dim simul As Long
Dim d As Double
Dim fi As Double
Dim theta As Double
Dim teste As Double
Dim arfima(5000) As Double
Dim ar(5000) As Double
Dim ma(5000) As Double
Dim z(5000) As Double
Dim soma(5000) As Double
Dim media As Double
Dim desvio As Double
Dim arl(100000) As Double
Dim count As Long
Dim arlest As Double
Dim deltalc As Double
Dim lcinicial As Double
Dim arlmedio As Double
Dim somaarl As Double
Dim cusummais(5000) As Double
Dim aleat(5000) As Double
Dim var As Double
var = Cells(10, 3)
lcinicial = Cells(7, 3)
arlest = Cells(5, 3)
123
deltalc = Cells(6, 3)
simul = Cells(4, 3)
media = 0
desvio = 0.0106
d = Cells(2, 3)
fi = Cells(3, 3)
theta = Cells(8, 3)
arfima(0) = d
ar(0) = fi
For i = 1 To 4999
arfima(i) = (-1 * arfima(i - 1) * (d - i)) / (i + 1)
Next
For j = 1 To 4999
ar(j) = -1 * ar(0) * arfima(j - 1)
Next
somaarl = 0
For count = 1 To simul
arl(count) = 1
k = 0
Randomize
124
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = ma(k) + var
cusummais(k) = 0
Do While cusummais(k) < lcinicial
k = k + 1
t = k
teste = 0
For l = 1 To k
soma(l) = (arfima(l - 1) * z(t - 1)) + (ar(l - 1) * z(t - 1))
t = t - 1
teste = teste + soma(l)
Next
125
Randomize
aleat(k) = Rnd
If aleat(k) = 1 Then
aleat(k) = 0.99999999
End If
If aleat(k) = 0 Then
aleat(k) = 0.00000001
End If
ma(k) = Application.WorksheetFunction.NormInv(aleat(k), media, desvio)
z(k) = teste + ma(k) - (ma(k - 1) * theta) + var
cusummais(k) = Application.WorksheetFunction.Max(0, cusummais(k - 1) + z(k) - (media
+ var + Cells(9, 3).Value))
arl(count) = arl(count) + 1
If k > 4999 Then Exit Do
Loop
somaarl = somaarl + arl(count)
Next
Cells(3, 11) = somaarl / simul
arlmedio = somaarl / simul
126
Cells(4, 11) = lcinicial - deltalc
End Sub
127
ANEXOS
ANEXO A – TABELA DAS SÉRIES DE PREÇOS UTILIZADAS
# PBR PETR3
USDBRL
# PBR PETR3
USDBRL
# PBR PETR3
USDBRL
1 13,38 14,85 2,2355 1234
12,06 13,54 2,2647 2467
13,0899
14,73 2,2624
2 13,38 14,85 2,2351 1235
12,0597
13,54 2,2649 2468
13,069 14,71 2,2621
3 13,44 14,93 2,2354 1236
12,055 13,54 2,2656 2469
13,06 14,71 2,2619
4 13,41 14,89 2,2351 1237
12,04 13,51 2,264 2470
13,05 14,71 2,2619
5 13,405 14,89 2,2359 1238
12,033 13,51 2,2658 2471
13,04 14,69 2,2618
6 13,369 14,86 2,2357 1239
12,0499
13,53 2,265 2472
13,04 14,7 2,2614
7 13,36 14,84 2,2361 1240
12,065 13,57 2,265 2473
13,065 14,71 2,2633
8 13,36 14,85 2,2365 1241
12,08 13,58 2,2645 2474
13,06 14,7 2,2636
9 13,32 14,82 2,2365 1242
12,095 13,59 2,2666 2475
13,07 14,71 2,2638
10 13,311 14,8 2,2367 1243
12,08 13,6 2,2663 2476
13,08 14,74 2,2641
11 13,3 14,79 2,2363 1244
12,085 13,6 2,2666 2477
13,101 14,74 2,2623
12 13,31 14,78 2,2362 1245
12,0807
13,6 2,2668 2478
13,1 14,74 2,2634
13 13,3 14,78 2,2359 1246
12,085 13,61 2,2668 2479
13,1 14,73 2,2638
14 13,29 14,78 2,2359 1247
12,09 13,61 2,2655 2480
13,1 14,73 2,2638
15 13,3 14,77 2,2359 1248
12,09 13,61 2,2662 2481
13,1 14,75 2,2639
16 13,2199
14,67 2,2359 1249
12,11 13,62 2,2665 2482
13,119 14,76 2,2639
17 13,191 14,65 2,2356 1250
12,105 13,62 2,2649 2483
13,13 14,74 2,2627
18 13,205 14,67 2,2359 1251
12,09 13,61 2,265 2484
13,12 14,75 2,2628
19 13,2185
14,67 2,2353 1252
12,08 13,58 2,2661 2485
13,1215
14,75 2,2618
20 13,19 14,66 2,2348 1253
12,099 13,61 2,2649 2486
13,13 14,74 2,2599
21 13,2 14,66 2,2348 1254
12,1 13,61 2,2646 2487
13,15 14,77 2,2598
22 13,165 14,62 2,2353 1255
12,1 13,6 2,2653 2488
13,14 14,75 2,2604
23 13,17 14,6 2,2348 1256
12,0992
13,6 2,2655 2489
13,14 14,75 2,26
128
24 13,17 14,63 2,2348 1257
12,1 13,59 2,2657 2490
13,14 14,75 2,2608
25 13,15 14,59 2,2339 1258
12,0999
13,6 2,2661 2491
13,14 14,76 2,2608
26 13,15 14,59 2,2339 1259
12,1 13,6 2,266 2492
13,13 14,75 2,261
27 13,162 14,61 2,2338 1260
12,0875
13,59 2,2639 2493
13,15 14,75 2,2599
28 13,16 14,6 2,2329 1261
12,085 13,59 2,2643 2494
13,17 14,77 2,2583
29 13,12 14,55 2,2339 1262
12,1 13,6 2,265 2495
13,16 14,76 2,2593
30 13,12 14,57 2,2348 1263
12,1 13,61 2,2646 2496
13,15 14,77 2,2608
31 13,15 14,59 2,2345 1264
12,08 13,6 2,266 2497
13,15 14,75 2,2617
32 13,1651
14,6 2,2325 1265
12,068 13,57 2,266 2498
13,14 14,75 2,2617
33 13,175 14,61 2,2304 1266
12,07 13,57 2,266 2499
13,13 14,74 2,2619
34 13,19 14,61 2,2323 1267
12,0755
13,58 2,2662 2500
13,13 14,74 2,2617
35 13,18 14,6 2,2324 1268
12,0701
13,58 2,2664 2501
13,14 14,74 2,2618
36 13,17 14,6 2,2337 1269
12,0885
13,59 2,2666 2502
13,1351
14,75 2,2618
37 13,18 14,62 2,2338 1270
12,07 13,59 2,2653 2503
13,13 14,74 2,2619
38 13,2 14,63 2,233 1271
12,07 13,58 2,265 2504
13,135 14,74 2,2614
39 13,21 14,65 2,2334 1272
12,09 13,6 2,2661 2505
13,13 14,74 2,2607
40 13,2186
14,64 2,2328 1273
12,12 13,62 2,2656 2506
13,14 14,75 2,2599
41 13,2099
14,65 2,2327 1274
12,1 13,62 2,2661 2507
13,15 14,74 2,2593
42 13,24 14,67 2,2317 1275
12,1 13,61 2,2645 2508
13,167 14,75 2,2584
43 13,26 14,69 2,2303 1276
12,085 13,6 2,266 2509
13,17 14,76 2,2586
44 13,25 14,66 2,2301 1277
12,085 13,6 2,2649 2510
13,18 14,78 2,2585
45 13,27 14,68 2,2303 1278
12,1 13,61 2,2645 2511
13,195 14,79 2,2592
46 13,27 14,68 2,2303 1279
12,105 13,62 2,2666 2512
13,21 14,82 2,2589
47 13,27 14,68 2,2288 1280
12,07 13,59 2,2667 2513
13,23 14,83 2,2589
48 13,27 14,67 2,2294 1281
12,07 13,59 2,2666 2514
13,24 14,84 2,2584
49 13,25 14,66 2,2292 1282
12,105 13,61 2,2666 2515
13,2357
14,84 2,2578
50 13,25 14,67 2,2292 1283
12,1075
13,61 2,2668 2516
13,245 14,84 2,2575
51 13,27 14,68 2,2301 1284
12,1399
13,64 2,2675 2517
13,2685
14,86 2,2583
129
52 13,28 14,69 2,2297 1285
12,1503
13,66 2,2675 2518
13,27 14,88 2,258
53 13,26 14,69 2,2302 1286
12,16 13,67 2,2675 2519
13,2599
14,86 2,2574
54 13,25 14,66 2,2307 1287
12,15 13,66 2,2668 2520
13,23 14,8 2,2564
55 13,25 14,67 2,2307 1288
12,18 13,68 2,2661 2521
13,17 14,77 2,2565
56 13,27 14,7 2,2303 1289
12,21 13,73 2,2661 2522
13,155 14,73 2,2562
57 13,26 14,68 2,2312 1290
12,21 13,72 2,2645 2523
13,155 14,73 2,2571
58 13,24 14,67 2,2318 1291
12,1975
13,71 2,2654 2524
13,157 14,73 2,257
59 13,23 14,66 2,2313 1292
12,209 13,71 2,2641 2525
13,17 14,75 2,258
60 13,2 14,62 2,2318 1293
12,215 13,71 2,2611 2526
13,16 14,75 2,2579
61 13,22 14,63 2,2319 1294
12,225 13,72 2,2599 2527
13,16 14,74 2,2575
62 13,22 14,64 2,2315 1295
12,27 13,73 2,2585 2528
13,171 14,76 2,2577
63 13,2 14,64 2,2318 1296
12,2403
13,73 2,2585 2529
13,205 14,79 2,2573
64 13,2 14,62 2,2307 1297
12,27 13,75 2,259 2530
13,21 14,79 2,2578
65 13,1915
14,62 2,2305 1298
12,309 13,81 2,2591 2531
13,21 14,81 2,2583
66 13,19 14,63 2,2308 1299
12,3225
13,82 2,2576 2532
13,2 14,79 2,2584
67 13,183 14,61 2,2308 1300
12,31 13,8 2,2569 2533
13,19 14,8 2,2593
68 13,18 14,61 2,2313 1301
12,32 13,8 2,2568 2534
13,19 14,81 2,2598
69 13,18 14,61 2,2308 1302
12,33 13,81 2,2561 2535
13,2 14,8 2,2594
70 13,195 14,61 2,2307 1303
12,28 13,74 2,2537 2536
13,21 14,81 2,2589
71 13,19 14,61 2,2308 1304
12,32 13,77 2,2524 2537
13,2075
14,81 2,2584
72 13,19 14,62 2,2308 1305
12,305 13,77 2,2538 2538
13,205 14,81 2,2579
73 13,18 14,62 2,2303 1306
12,2899
13,74 2,2541 2539
13,215 14,81 2,2584
74 13,205 14,62 2,2302 1307
12,255 13,7 2,254 2540
13,21 14,81 2,2578
75 13,2 14,63 2,2307 1308
12,2585
13,7 2,2537 2541
13,235 14,84 2,2585
76 13,199 14,62 2,2306 1309
12,28 13,73 2,2536 2542
13,232 14,83 2,2584
77 13,2035
14,63 2,2308 1310
12,2799
13,73 2,2535 2543
13,25 14,85 2,2576
78 13,2 14,62 2,2305 1311
12,295 13,74 2,2527 2544
13,22 14,83 2,2579
79 13,209 14,63 2,2314 1312
12,255 13,72 2,2518 2545
13,225 14,82 2,2577
130
80 13,23 14,64 2,2307 1313
12,265 13,72 2,2515 2546
13,2375
14,82 2,258
81 13,23 14,64 2,2301 1314
12,25 13,72 2,2515 2547
13,1 14,77 2,2691
82 13,25 14,66 2,2304 1315
12,2628
13,72 2,2512 2548
13,105 14,76 2,2689
83 13,25 14,68 2,2307 1316
12,26 13,71 2,2519 2549
13,1 14,76 2,2694
84 13,27 14,69 2,2302 1317
12,23 13,69 2,2526 2550
13,12 14,78 2,2699
85 13,27 14,7 2,2307 1318
12,215 13,66 2,253 2551
13,17 14,81 2,2696
86 13,276 14,69 2,2308 1319
12,225 13,68 2,2534 2552
13,13 14,78 2,2695
87 13,29 14,71 2,2292 1320
12,22 13,68 2,2532 2553
13,16 14,82 2,2699
88 13,2798
14,69 2,2298 1321
12,23 13,69 2,2526 2554
13,17 14,83 2,2696
89 13,27 14,69 2,2298 1322
12,21 13,67 2,2528 2555
13,18 14,84 2,2696
90 13,28 14,68 2,2287 1323
12,215 13,67 2,2532 2556
13,2 14,87 2,2704
91 13,31 14,71 2,2287 1324
12,24 13,69 2,252 2557
13,2083
14,88 2,2704
92 13,31 14,71 2,2292 1325
12,3 13,74 2,2513 2558
13,21 14,89 2,2706
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12,275 13,75 2,2517 2559
13,22 14,9 2,2704
94 13,3135
14,73 2,2288 1327
12,2554
13,71 2,2515 2560
13,3 14,99 2,2706
95 13,32 14,73 2,2277 1328
12,3 13,77 2,2524 2561
13,29 14,97 2,2705
96 13,329 14,73 2,2277 1329
12,285 13,75 2,254 2562
13,3001
15 2,2699
97 13,335 14,76 2,2277 1330
12,3 13,76 2,2541 2563
13,31 14,98 2,2695
98 13,32 14,73 2,2277 1331
12,2901
13,78 2,255 2564
13,3 14,98 2,2694
99 13,31 14,73 2,2283 1332
12,28 13,77 2,2565 2565
13,32 14,98 2,268
100 13,31 14,73 2,2282 1333
12,24 13,72 2,2591 2566
13,335 15,01 2,2677
101 13,313 14,73 2,2277 1334
12,21 13,71 2,2595 2567
13,4 15,08 2,268
102 13,31 14,71 2,2282 1335
12,25 13,75 2,2591 2568
13,42 15,11 2,2679
103 13,29 14,7 2,2277 1336
12,26 13,75 2,2578 2569
13,44 15,12 2,2674
104 13,31 14,71 2,2278 1337
12,247 13,74 2,2608 2570
13,43 15,15 2,2673
105 13,31 14,71 2,2277 1338
12,19 13,68 2,2627 2571
13,418 15,11 2,2677
106 13,3 14,7 2,2283 1339
12,18 13,68 2,2631 2572
13,36 15,06 2,2676
107 13,3091
14,71 2,228 1340
12,185 13,71 2,2635 2573
13,38 15,07 2,2679
131
108 13,31 14,71 2,2263 1341
12,185 13,7 2,2647 2574
13,37 15,07 2,2689
109 13,315 14,72 2,2256 1342
12,18 13,7 2,265 2575
13,34 15,03 2,2684
110 13,305 14,71 2,2258 1343
12,18 13,7 2,2656 2576
13,34 15,04 2,2689
111 13,3 14,71 2,2267 1344
12,17 13,69 2,2664 2577
13,2815
14,97 2,2689
112 13,29 14,7 2,2273 1345
12,16 13,67 2,2657 2578
13,28 14,97 2,2688
113 13,3 14,7 2,2277 1346
12,2 13,7 2,265 2579
13,28 14,97 2,2682
114 13,3 14,7 2,2278 1347
12,2 13,7 2,2631 2580
13,24 14,91 2,269
115 13,29 14,72 2,2286 1348
12,185 13,66 2,2612 2581
13,21 14,88 2,2684
116 13,27 14,68 2,2283 1349
12,19 13,68 2,2625 2582
13,25 14,91 2,2675
117 13,26 14,67 2,2283 1350
12,1715
13,67 2,2631 2583
13,24 14,91 2,268
118 13,27 14,67 2,2276 1351
12,17 13,65 2,2622 2584
13,25 14,92 2,268
119 13,24 14,64 2,2269 1352
12,165 13,66 2,2626 2585
13,25 14,93 2,2685
120 13,27 14,66 2,2269 1353
12,165 13,64 2,2626 2586
13,25 14,94 2,268
121 13,2899
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12,165 13,65 2,2613 2587
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12,16 13,63 2,2613 2588
13,22 14,89 2,2684
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124 13,31 14,7 2,2257 1357
12,19 13,66 2,2626 2590
13,22 14,88 2,2679
125 13,3 14,69 2,2259 1358
12,18 13,66 2,2625 2591
13,24 14,9 2,2679
126 13,32 14,7 2,2261 1359
12,2 13,68 2,262 2592
13,23 14,9 2,2681
127 13,31 14,71 2,2266 1360
12,185 13,66 2,2617 2593
13,24 14,91 2,2662
128 13,31 14,71 2,2278 1361
12,2 13,67 2,2623 2594
13,26 14,96 2,267
129 13,27 14,69 2,2277 1362
12,195 13,68 2,2625 2595
13,28 14,93 2,267
130 13,27 14,68 2,2277 1363
12,2 13,67 2,2605 2596
13,31 14,97 2,2669
131 13,25 14,66 2,2276 1364
12,205 13,68 2,2615 2597
13,25 14,91 2,2664
132 13,27 14,66 2,2265 1365
12,225 13,7 2,2617 2598
13,2485
14,91 2,2669
133 13,27 14,66 2,2278 1366
12,237 13,74 2,2614 2599
13,23 14,89 2,2676
134 13,27 14,67 2,2283 1367
12,24 13,74 2,2596 2600
13,21 14,87 2,2668
135 13,25 14,66 2,2287 1368
12,2396
13,75 2,2592 2601
13,22 14,9 2,2668
132
136 13,25 14,65 2,2282 1369
12,23 13,73 2,2603 2602
13,242 14,9 2,2664
137 13,25 14,67 2,2271 1370
12,2 13,7 2,2594 2603
13,2 14,87 2,267
138 13,25 14,65 2,2276 1371
12,2 13,69 2,2624 2604
13,19 14,86 2,2684
139 13,25 14,65 2,2275 1372
12,21 13,72 2,262 2605
13,1799
14,84 2,2675
140 13,275 14,69 2,2295 1373
12,259 13,75 2,2622 2606
13,17 14,84 2,267
141 13,25 14,66 2,2272 1374
12,26 13,74 2,2612 2607
13,17 14,83 2,2664
142 13,24 14,65 2,2281 1375
12,26 13,76 2,2597 2608
13,19 14,84 2,2665
143 13,26 14,68 2,2283 1376
12,26 13,76 2,2607 2609
13,18 14,84 2,2669
144 13,26 14,68 2,2285 1377
12,2685
13,77 2,2587 2610
13,1949
14,84 2,2659
145 13,245 14,67 2,2286 1378
12,26 13,76 2,26 2611
13,2 14,85 2,2654
146 13,255 14,66 2,2287 1379
12,24 13,73 2,2584 2612
13,21 14,84 2,2649
147 13,25 14,67 2,2287 1380
12,2443
13,72 2,2599 2613
13,2 14,84 2,264
148 13,27 14,68 2,2288 1381
12,24 13,74 2,2577 2614
13,23 14,85 2,2639
149 13,27 14,68 2,2283 1382
12,25 13,75 2,2577 2615
13,22 14,84 2,2639
150 13,265 14,67 2,2282 1383
12,23 13,74 2,2594 2616
13,22 14,84 2,2644
151 13,28 14,69 2,2278 1384
12,26 13,74 2,2588 2617
13,22 14,83 2,2645
152 13,26 14,67 2,2275 1385
12,25 13,73 2,259 2618
13,22 14,84 2,2644
153 13,28 14,68 2,2274 1386
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154 13,29 14,68 2,2267 1387
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155 13,295 14,68 2,2258 1388
12,3799
13,81 2,2499 2621
13,2798
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156 13,29 14,68 2,2259 1389
12,325 13,76 2,2502 2622
13,27 14,89 2,2629
157 13,29 14,69 2,2256 1390
12,27 13,7 2,2505 2623
13,25 14,89 2,2626
158 13,29 14,68 2,2255 1391
12,2 13,62 2,2508 2624
13,25 14,88 2,2619
159 13,26 14,66 2,2253 1392
12,238 13,68 2,2493 2625
13,255 14,87 2,262
160 13,27 14,66 2,2248 1393
12,17 13,62 2,2512 2626
13,21 14,83 2,2619
161 13,28 14,67 2,2252 1394
12,12 13,55 2,2517 2627
13,205 14,83 2,2624
162 13,26 14,65 2,225 1395
12,13 13,54 2,2523 2628
13,2 14,82 2,2625
163 13,26 14,65 2,2249 1396
12,14 13,57 2,2533 2629
13,2 14,81 2,2625
133
164 13,26 14,64 2,225 1397
12,175 13,62 2,2527 2630
13,19 14,8 2,2629
165 13,26 14,64 2,2247 1398
12,138 13,58 2,2533 2631
13,18 14,79 2,2633
166 13,26 14,64 2,2245 1399
12,17 13,62 2,2505 2632
13,13 14,75 2,2639
167 13,2799
14,65 2,2247 1400
12,2075
13,64 2,2533 2633
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168 13,29 14,68 2,2226 1401
12,17 13,63 2,2527 2634
13,14 14,75 2,264
169 13,2899
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12,17 13,6 2,2533 2635
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170 13,275 14,65 2,2235 1403
12,17 13,61 2,2509 2636
13,15 14,76 2,264
171 13,285 14,64 2,2222 1404
12,1801
13,64 2,2533 2637
13,17 14,81 2,2643
172 13,28 14,65 2,223 1405
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13,18 14,82 2,2645
173 13,2751
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13,18 14,81 2,2649
174 13,27 14,64 2,2235 1407
12,17 13,6 2,2532 2640
13,18 14,81 2,2645
175 13,27 14,65 2,2241 1408
12,24 13,69 2,2509 2641
13,17 14,8 2,2643
176 13,28 14,66 2,2244 1409
12,29 13,75 2,2515 2642
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177 13,27 14,65 2,2246 1410
12,28 13,73 2,2536 2643
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178 13,27 14,67 2,2244 1411
12,26 13,71 2,2533 2644
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180 13,2899
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13,1399
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13,16 14,8 2,2635
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186 13,305 14,68 2,2236 1419
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13,16 14,79 2,2636
187 13,31 14,68 2,2235 1420
12,25 13,71 2,2532 2653
13,15 14,77 2,2638
188 13,305 14,67 2,2223 1421
12,2325
13,7 2,2553 2654
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189 13,31 14,66 2,2218 1422
12,24 13,69 2,2551 2655
13,13 14,77 2,2639
190 13,32 14,67 2,2195 1423
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13,12 14,76 2,264
191 13,325 14,67 2,2195 1424
12,248 13,69 2,2543 2657
13,11 14,74 2,2639
134
192 13,325 14,67 2,2201 1425
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13,1222
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12,2995
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13,1 14,74 2,2653
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12,3 13,76 2,2559 2667
13,1 14,73 2,266
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203 13,32 14,67 2,2187 1436
12,325 13,79 2,256 2669
13,09 14,71 2,2661
204 13,33 14,67 2,2182 1437
12,29 13,76 2,2557 2670
13,09 14,74 2,2669
205 13,32 14,66 2,218 1438
12,2985
13,77 2,2555 2671
13,03 14,67 2,2675
206 13,325 14,66 2,2187 1439
12,325 13,77 2,2558 2672
13 14,63 2,2674
207 13,34 14,69 2,2199 1440
12,31 13,79 2,2571 2673
13 14,62 2,2674
208 13,34 14,69 2,2181 1441
12,31 13,78 2,2566 2674
13,05 14,67 2,2675
209 13,34 14,68 2,2179 1442
12,3 13,77 2,2569 2675
13,04 14,68 2,2666
210 13,335 14,68 2,2176 1443
12,29 13,76 2,2572 2676
13,05 14,68 2,2667
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12,31 13,78 2,2568 2677
13,06 14,69 2,2661
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12,3 13,76 2,2572 2678
13,06 14,7 2,2663
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12,3 13,78 2,2569 2679
13,07 14,7 2,2668
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12,2996
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13,08 14,71 2,2672
215 13,3275
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12,2799
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13,0675
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12,28 13,74 2,2565 2683
13,06 14,69 2,2678
218 13,33 14,67 2,2176 1451
12,28 13,76 2,2572 2684
13,06 14,69 2,2684
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12,279 13,75 2,2576 2685
13,04 14,68 2,2686
135
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12,28 13,74 2,257 2686
13,04 14,69 2,2684
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12,295 13,78 2,2564 2687
13,05 14,68 2,2689
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12,29 13,77 2,2582 2688
13,05 14,7 2,2694
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12,3 13,8 2,2592 2689
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12,3 13,79 2,2607 2690
13,05 14,71 2,2688
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12,2935
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229 13,34 14,7 2,2196 1462
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13,09 14,73 2,268
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12,3 13,79 2,2605 2696
13,1 14,72 2,2675
231 13,34 14,68 2,2195 1464
12,3 13,79 2,2584 2697
13,08 14,73 2,2682
232 13,33 14,69 2,2202 1465
12,307 13,79 2,2613 2698
13,08 14,72 2,2686
233 13,33 14,69 2,2202 1466
12,27 13,77 2,2617 2699
13,08 14,72 2,2694
234 13,34 14,7 2,2199 1467
12,25 13,73 2,2614 2700
13,08 14,72 2,2692
235 13,36 14,71 2,2198 1468
12,26 13,74 2,2616 2701
13,09 14,72 2,269
236 13,36 14,72 2,2205 1469
12,26 13,75 2,261 2702
13,088 14,72 2,2695
237 13,36 14,72 2,2206 1470
12,255 13,74 2,2601 2703
13,08 14,72 2,2693
238 13,38 14,75 2,2208 1471
12,26 13,75 2,2598 2704
13,08 14,72 2,2688
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12,22 13,72 2,2602 2705
13,05 14,69 2,2696
240 13,39 14,78 2,2214 1473
12,25 13,73 2,2603 2706
13,059 14,69 2,2694
241 13,4085
14,77 2,2206 1474
12,25 13,74 2,2604 2707
13,05 14,71 2,2691
242 13,395 14,77 2,2213 1475
12,27 13,74 2,2593 2708
13,04 14,66 2,2686
243 13,39 14,76 2,2214 1476
12,291 13,76 2,2583 2709
13,05 14,68 2,2689
244 13,39 14,76 2,2216 1477
12,279 13,75 2,2587 2710
13,045 14,69 2,2691
245 13,39 14,76 2,2219 1478
12,2762
13,77 2,2587 2711
13,05 14,68 2,2687
246 13,3899
14,77 2,2217 1479
12,28 13,75 2,2587 2712
13,04 14,67 2,2685
247 13,39 14,76 2,2217 1480
12,2875
13,77 2,2592 2713
13,0249
14,65 2,2688
136
248 13,39 14,75 2,2209 1481
12,27 13,75 2,2592 2714
13,01 14,65 2,2692
249 13,395 14,76 2,2208 1482
12,27 13,77 2,2603 2715
13,01 14,64 2,2691
250 13,4 14,76 2,2199 1483
12,27 13,76 2,2606 2716
13 14,63 2,2691
251 13,41 14,77 2,2208 1484
12,26 13,75 2,261 2717
12,985 14,6 2,2688
252 13,42 14,77 2,2193 1485
12,27 13,75 2,2617 2718
13,0284
14,64 2,2679
253 13,44 14,8 2,2196 1486
12,245 13,74 2,2613 2719
13,04 14,65 2,2676
254 13,43 14,8 2,2202 1487
12,25 13,74 2,2612 2720
13,06 14,7 2,2672
255 13,425 14,79 2,2211 1488
12,24 13,72 2,2618 2721
13,05 14,69 2,2675
256 13,425 14,78 2,2216 1489
12,2 13,7 2,2617 2722
13,05 14,66 2,2667
257 13,425 14,79 2,2221 1490
12,202 13,7 2,2613 2723
13,04 14,66 2,268
258 13,43 14,8 2,2231 1491
12,21 13,69 2,2617 2724
13,038 14,65 2,2679
259 13,43 14,8 2,2228 1492
12,21 13,69 2,2633 2725
13,01 14,62 2,2679
260 13,42 14,8 2,2226 1493
12,2 13,69 2,2631 2726
13,0044
14,61 2,2679
261 13,41 14,8 2,2229 1494
12,18 13,67 2,2641 2727
13,02 14,63 2,2679
262 13,42 14,81 2,2231 1495
12,182 13,68 2,2638 2728
13,02 14,64 2,268
263 13,42 14,8 2,2221 1496
12,18 13,69 2,2628 2729
13,03 14,66 2,268
264 13,42 14,81 2,2222 1497
12,16 13,65 2,2626 2730
13,04 14,66 2,2677
265 13,415 14,79 2,2221 1498
12,19 13,68 2,2613 2731
13,04 14,65 2,2681
266 13,38 14,75 2,2222 1499
12,2125
13,7 2,262 2732
13,03 14,65 2,2677
267 13,3804
14,76 2,2219 1500
12,211 13,68 2,2622 2733
13,03 14,68 2,2671
268 13,38 14,76 2,2227 1501
12,24 13,72 2,2617 2734
13,04 14,66 2,2671
269 13,375 14,74 2,2224 1502
12,27 13,75 2,2621 2735
13,045 14,67 2,2671
270 13,36 14,73 2,2228 1503
12,28 13,79 2,2622 2736
13,055 14,68 2,2679
271 13,365 14,74 2,2226 1504
12,3 13,79 2,2628 2737
13,05 14,67 2,2669
272 13,385 14,77 2,2224 1505
12,32 13,83 2,2615 2738
13,06 14,69 2,2673
273 13,39 14,76 2,2225 1506
12,29 13,79 2,2617 2739
13,07 14,7 2,2677
274 13,39 14,75 2,2224 1507
12,3 13,81 2,2601 2740
13,065 14,69 2,2674
275 13,39 14,76 2,222 1508
12,2875
13,81 2,2622 2741
13,07 14,69 2,2673
137
276 13,39 14,76 2,2225 1509
12,28 13,79 2,2597 2742
13,07 14,7 2,2671
277 13,38 14,76 2,2226 1510
12,3 13,81 2,2597 2743
13,065 14,69 2,2676
278 13,3723
14,74 2,2225 1511
12,29 13,8 2,2597 2744
13,06 14,67 2,2676
279 13,42 14,79 2,2216 1512
12,3 13,81 2,2601 2745
13,01 14,64 2,2681
280 13,42 14,8 2,2217 1513
12,305 13,83 2,2622 2746
13,02 14,65 2,2681
281 13,435 14,81 2,2215 1514
12,31 13,82 2,2628 2747
13,04 14,66 2,2681
282 13,43 14,8 2,2221 1515
12,28 13,79 2,2606 2748
13,035 14,66 2,2681
283 13,45 14,82 2,222 1516
12,31 13,84 2,2628 2749
13,0301
14,66 2,2675
284 13,43 14,8 2,2228 1517
12,3 13,81 2,2632 2750
13,03 14,65 2,2675
285 13,42 14,8 2,2231 1518
12,31 13,83 2,2628 2751
13,04 14,66 2,2679
286 13,4 14,77 2,2232 1519
12,3 13,81 2,2617 2752
13,05 14,67 2,2685
287 13,4 14,77 2,2231 1520
12,282 13,8 2,2632 2753
13,07 14,68 2,2682
288 13,39 14,76 2,2241 1521
12,29 13,79 2,2621 2754
13,06 14,69 2,2682
289 13,37 14,75 2,2235 1522
12,2801
13,79 2,2628 2755
13,06 14,69 2,2674
290 13,4 14,77 2,2231 1523
12,29 13,8 2,2629 2756
13,06 14,69 2,2674
291 13,41 14,79 2,2235 1524
12,2779
13,77 2,2605 2757
13,06 14,69 2,2666
292 13,401 14,78 2,2231 1525
12,29 13,79 2,2611 2758
13,06 14,7 2,2674
293 13,42 14,79 2,2228 1526
12,28 13,78 2,2615 2759
13,07 14,71 2,2674
294 13,4 14,78 2,2232 1527
12,29 13,81 2,2632 2760
13,045 14,69 2,2703
295 13,39 14,77 2,2236 1528
12,29 13,8 2,2632 2761
13,02 14,66 2,2703
296 13,38 14,76 2,2231 1529
12,31 13,83 2,2629 2762
13,03 14,67 2,2696
297 13,375 14,75 2,2231 1530
12,302 13,81 2,2629 2763
13,03 14,68 2,2695
298 13,375 14,75 2,2241 1531
12,28 13,77 2,2637 2764
13,01 14,66 2,2694
299 13,375 14,75 2,2235 1532
12,268 13,77 2,2642 2765
13,02 14,64 2,269
300 13,37 14,76 2,2238 1533
12,29 13,8 2,2614 2766
13,01 14,64 2,269
301 13,37 14,76 2,2238 1534
12,3 13,79 2,2617 2767
13,01 14,63 2,2689
302 13,36 14,78 2,2241 1535
12,289 13,8 2,2614 2768
13 14,63 2,2686
303 13,35 14,75 2,2239 1536
12,29 13,8 2,2642 2769
13,01 14,63 2,2687
138
304 13,36 14,75 2,2243 1537
12,298 13,81 2,2638 2770
13,02 14,65 2,2687
305 13,35 14,74 2,2246 1538
12,3 13,81 2,2641 2771
13,05 14,7 2,2689
306 13,35 14,75 2,226 1539
12,29 13,8 2,2618 2772
13,05 14,7 2,2687
307 13,36 14,76 2,2256 1540
12,2999
13,81 2,2624 2773
13,06 14,7 2,2681
308 13,34 14,76 2,2261 1541
12,3 13,82 2,2638 2774
13,054 14,69 2,2676
309 13,34 14,74 2,2265 1542
12,29 13,8 2,2621 2775
13,03 14,67 2,2678
310 13,335 14,74 2,2268 1543
12,298 13,8 2,2633 2776
13,04 14,67 2,267
311 13,33 14,75 2,2271 1544
12,2999
13,8 2,2637 2777
13,06 14,68 2,2666
312 13,3328
14,75 2,227 1545
12,3 13,81 2,2632 2778
13,04 14,68 2,2671
313 13,32 14,72 2,2267 1546
12,3 13,81 2,2625 2779
13,06 14,68 2,2669
314 13,35 14,75 2,2261 1547
12,2996
13,81 2,2619 2780
13,06 14,68 2,2669
315 13,3549
14,76 2,2254 1548
12,2875
13,81 2,2625 2781
13,055 14,68 2,2665
316 13,36 14,76 2,225 1549
12,28 13,78 2,2622 2782
13,06 14,67 2,2662
317 13,36 14,75 2,2257 1550
12,29 13,79 2,2633 2783
13,07 14,7 2,2661
318 13,36 14,76 2,2256 1551
12,29 13,79 2,2637 2784
13,07 14,7 2,2661
319 13,34 14,74 2,2261 1552
12,2885
13,79 2,2636 2785
13,069 14,7 2,2659
320 13,34 14,74 2,2259 1553
12,26 13,77 2,2635 2786
13,08 14,7 2,266
321 13,35 14,74 2,2261 1554
12,27 13,77 2,2635 2787
13,08 14,7 2,2664
322 13,365 14,76 2,226 1555
12,28 13,8 2,2635 2788
13,08 14,7 2,2667
323 13,37 14,78 2,2261 1556
12,28 13,79 2,2635 2789
13,08 14,7 2,267
324 13,37 14,77 2,2261 1557
12,29 13,78 2,2632 2790
13,08 14,73 2,2665
325 13,37 14,77 2,2264 1558
12,2899
13,79 2,2632 2791
13,09 14,73 2,2664
326 13,38 14,77 2,2261 1559
12,29 13,81 2,2634 2792
13,105 14,75 2,2667
327 13,36 14,76 2,2269 1560
12,29 13,8 2,264 2793
13,1 14,73 2,2671
328 13,36 14,76 2,2267 1561
12,28 13,78 2,2637 2794
13,1 14,73 2,2674
329 13,36 14,77 2,2273 1562
12,297 13,81 2,264 2795
13,095 14,73 2,2675
330 13,37 14,77 2,2276 1563
12,2999
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12,28 13,79 2,2632 2797
13,06 14,71 2,2678
139
332 13,35 14,76 2,2289 1565
12,2755
13,79 2,2631 2798
13,0599
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333 13,355 14,75 2,2281 1566
12,3 13,79 2,2627 2799
13,07 14,72 2,2675
334 13,38 14,8 2,2276 1567
12,301 13,81 2,2623 2800
13,07 14,72 2,2674
335 13,37 14,77 2,2283 1568
12,3054
13,8 2,2622 2801
13,1 14,74 2,2669
336 13,37 14,79 2,2294 1569
12,31 13,81 2,2605 2802
13,11 14,76 2,267
337 13,37 14,79 2,2293 1570
12,297 13,8 2,2622 2803
13,11 14,75 2,2668
338 13,365 14,8 2,2304 1571
12,31 13,8 2,2599 2804
13,1 14,75 2,2669
339 13,365 14,78 2,2304 1572
12,31 13,8 2,2614 2805
13,09 14,74 2,267
340 13,365 14,79 2,2305 1573
12,29 13,79 2,2632 2806
13,09 14,73 2,267
341 13,365 14,78 2,2309 1574
12,295 13,8 2,2632 2807
13,07 14,72 2,2669
342 13,365 14,8 2,2319 1575
12,3 13,79 2,2634 2808
13,07 14,7 2,2665
343 13,365 14,79 2,2318 1576
12,29 13,79 2,2634 2809
13,04 14,68 2,267
344 13,35 14,77 2,2308 1577
12,29 13,79 2,2604 2810
13,04 14,67 2,2661
345 13,36 14,8 2,2304 1578
12,29 13,81 2,2604 2811
13,03 14,66 2,2664
346 13,36 14,8 2,2306 1579
12,3099
13,81 2,2632 2812
13,02 14,66 2,266
347 13,361 14,78 2,2301 1580
12,3 13,81 2,2632 2813
13,02 14,66 2,2666
348 13,36 14,79 2,2294 1581
12,312 13,82 2,2637 2814
13,02 14,65 2,2669
349 13,36 14,77 2,2295 1582
12,32 13,83 2,2632 2815
13,03 14,69 2,2666
350 13,36 14,77 2,2289 1583
12,2975
13,8 2,2637 2816
13,05 14,68 2,2675
351 13,365 14,78 2,2299 1584
12,3 13,82 2,2632 2817
13,0655
14,7 2,2671
352 13,365 14,78 2,2299 1585
12,3099
13,83 2,2633 2818
13,0525
14,69 2,2671
353 13,365 14,78 2,2299 1586
12,29 13,8 2,2633 2819
13,08 14,7 2,267
354 13,35 14,77 2,2304 1587
12,298 13,81 2,2619 2820
13,08 14,71 2,2666
355 13,35 14,77 2,2303 1588
12,292 13,8 2,2619 2821
13,07 14,7 2,2666
356 13,365 14,78 2,23 1589
12,2901
13,8 2,2632 2822
13,06 14,68 2,2666
357 13,37 14,79 2,2298 1590
12,3055
13,79 2,2629 2823
13,06 14,68 2,2666
358 13,365 14,78 2,2304 1591
12,3 13,79 2,2629 2824
13,04 14,67 2,2671
359 13,365 14,78 2,2305 1592
12,3099
13,8 2,2622 2825
13,02 14,65 2,2673
140
360 13,365 14,79 2,2304 1593
12,305 13,8 2,2627 2826
13,03 14,64 2,267
361 13,36 14,77 2,2294 1594
12,3 13,8 2,2622 2827
13,03 14,65 2,2672
362 13,3204
14,75 2,2294 1595
12,3 13,8 2,2598 2828
13,02 14,65 2,2679
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13,02 14,66 2,2674
364 13,315 14,75 2,2299 1597
12,3 13,8 2,2622 2830
13,04 14,67 2,2677
365 13,325 14,75 2,2304 1598
12,31 13,81 2,2625 2831
13,02 14,66 2,2677
366 13,29 14,71 2,2313 1599
12,31 13,8 2,2625 2832
13,03 14,67 2,2677
367 13,29 14,7 2,2315 1600
12,31 13,81 2,2608 2833
13,05 14,69 2,2681
368 13,28 14,71 2,2313 1601
12,31 13,81 2,2603 2834
13,05 14,69 2,2683
369 13,26 14,69 2,2316 1602
12,32 13,82 2,2616 2835
13,05 14,69 2,2683
370 13,265 14,68 2,2317 1603
12,32 13,82 2,2612 2836
13,05 14,69 2,2686
371 13,25 14,67 2,2319 1604
12,32 13,83 2,2607 2837
13,03 14,67 2,2698
372 13,26 14,67 2,2319 1605
12,32 13,82 2,2596 2838
13,03 14,67 2,2696
373 13,29 14,7 2,231 1606
12,315 13,83 2,2599 2839
13,03 14,67 2,2695
374 13,285 14,7 2,2314 1607
12,315 13,84 2,2615 2840
13,03 14,68 2,2693
375 13,27 14,71 2,2324 1608
12,31 13,83 2,2621 2841
13,03 14,69 2,2695
376 13,2616
14,68 2,2324 1609
12,315 13,82 2,2625 2842
13,0379
14,68 2,2691
377 13,25 14,67 2,2326 1610
12,3085
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12,304 13,81 2,2627 2844
13,04 14,69 2,2693
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13,06 14,7 2,269
381 13,26 14,67 2,2319 1614
12,26 13,8 2,2628 2847
13,07 14,72 2,2696
382 13,26 14,68 2,2319 1615
12,26 13,78 2,2622 2848
13,07 14,72 2,2695
383 13,26 14,67 2,2325 1616
12,26 13,79 2,2617 2849
13,065 14,74 2,2699
384 13,26 14,68 2,232 1617
12,25 13,76 2,2617 2850
13,07 14,73 2,2696
385 13,27 14,69 2,231 1618
12,245 13,75 2,2613 2851
13,07 14,73 2,2701
386 13,27 14,7 2,2313 1619
12,21 13,73 2,2615 2852
13,06 14,71 2,2699
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12,21 13,73 2,2617 2853
13,06 14,72 2,2699
141
388 13,28 14,7 2,2309 1621
12,215 13,71 2,2619 2854
13,055 14,71 2,2699
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12,21 13,71 2,262 2855
13,06 14,72 2,2698
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12,23 13,74 2,2617 2861
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13,05 14,69 2,2695
397 13,24 14,75 2,2447 1630
12,26 13,77 2,2598 2863
13,05 14,7 2,2695
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13,0401
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12,25 13,76 2,2612 2867
13,05 14,7 2,2696
402 13,285 14,77 2,2429 1635
12,26 13,75 2,2607 2868
13,045 14,7 2,2694
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12,2551
13,76 2,2612 2869
13,05 14,7 2,2696
404 13,27 14,76 2,2437 1637
12,265 13,77 2,2604 2870
13,06 14,7 2,2695
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12,28 13,78 2,2604 2871
13,06 14,7 2,2696
406 13,27 14,76 2,2428 1639
12,285 13,78 2,2603 2872
13,05 14,7 2,2696
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13,06 14,72 2,2688
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13,05 14,7 2,2694
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12,31 13,81 2,2602 2876
13,05 14,68 2,2696
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12,31 13,81 2,2607 2877
13,0403
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13,04 14,69 2,2694
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12,32 13,8 2,2596 2879
13,05 14,69 2,2694
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12,3077
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13,03 14,66 2,2686
415 13,25 14,72 2,241 1648
12,31 13,79 2,2588 2881
13,02 14,66 2,2682
142
416 13,24 14,72 2,2413 1649
12,31 13,79 2,2591 2882
13 14,63 2,2684
417 13,28 14,75 2,2411 1650
12,3186
13,8 2,2597 2883
12,98 14,62 2,2688
418 13,282 14,77 2,2402 1651
12,312 13,8 2,2587 2884
12,97 14,61 2,2678
419 13,28 14,76 2,2402 1652
12,3 13,8 2,2587 2885
12,98 14,61 2,2675
420 13,26 14,74 2,2404 1653
12,3 13,79 2,2591 2886
12,98 14,6 2,2677
421 13,25 14,73 2,2401 1654
12,3099
13,79 2,2591 2887
12,985 14,62 2,2679
422 13,25 14,73 2,24 1655
12,3017
13,78 2,2592 2888
13 14,62 2,2675
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12,31 13,79 2,2589 2889
12,99 14,62 2,2677
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12,31 13,8 2,2603 2890
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12,31 13,81 2,2575 2891
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12,313 13,81 2,2579 2893
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13,02 14,66 2,2681
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13,02 14,64 2,268
430 13,21 14,68 2,2404 1663
12,32 13,82 2,2567 2896
13,01 14,64 2,268
431 13,2 14,67 2,2405 1664
12,3 13,79 2,2573 2897
13,0101
14,65 2,2678
432 13,19 14,66 2,2404 1665
12,3055
13,8 2,2572 2898
13,02 14,64 2,2676
433 13,19 14,67 2,241 1666
12,31 13,8 2,2546 2899
13,01 14,64 2,2678
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14,68 2,2406 1667
12,32 13,8 2,2562 2900
13,02 14,64 2,267
435 13,22 14,69 2,2404 1668
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13,01 14,64 2,2675
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13,01 14,63 2,2673
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12,31 13,81 2,2538 2904
13,015 14,63 2,2674
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12,316 13,81 2,2568 2905
13,0076
14,62 2,2671
440 13,2101
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13 14,61 2,2667
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12,3196
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143
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12,31 13,83 2,2587 2910
12,97 14,57 2,2652
445 13,24 14,72 2,2404 1678
12,31 13,83 2,2583 2911
12,965 14,57 2,2656
446 13,23 14,71 2,2403 1679
12,32 13,82 2,2589 2912
12,96 14,56 2,266
447 13,22 14,7 2,2404 1680
12,319 13,82 2,2588 2913
12,98 14,56 2,2656
448 13,2299
14,72 2,2397 1681
12,31 13,82 2,2589 2914
12,99 14,59 2,2655
449 13,22 14,7 2,2409 1682
12,3 13,79 2,2585 2915
13,02 14,63 2,2653
450 13,2 14,67 2,2408 1683
12,291 13,79 2,2578 2916
13,03 14,64 2,2652
451 13,21 14,7 2,2403 1684
12,29 13,79 2,2584 2917
13,02 14,62 2,2655
452 13,21 14,69 2,2403 1685
12,3 13,81 2,2599 2918
13,02 14,63 2,2664
453 13,22 14,69 2,2404 1686
12,29 13,79 2,2599 2919
13,02 14,62 2,2666
454 13,2 14,69 2,241 1687
12,28 13,78 2,2603 2920
13,015 14,64 2,2669
455 13,19 14,68 2,2404 1688
12,29 13,79 2,2603 2921
13,02 14,63 2,2668
456 13,17 14,64 2,2408 1689
12,3 13,81 2,26 2922
13,03 14,63 2,267
457 13,16 14,63 2,2409 1690
12,3 13,81 2,2598 2923
13,04 14,65 2,2667
458 13,17 14,64 2,2404 1691
12,3077
13,8 2,2597 2924
13,015 14,62 2,2659
459 13,18 14,65 2,2409 1692
12,31 13,8 2,2578 2925
13,009 14,61 2,2663
460 13,19 14,66 2,2411 1693
12,31 13,81 2,2578 2926
13,03 14,63 2,2661
461 13,1999
14,67 2,241 1694
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13,04 14,63 2,2655
462 13,21 14,68 2,241 1695
12,3199
13,8 2,2576 2928
13,03 14,63 2,2659
463 13,2 14,68 2,2404 1696
12,33 13,82 2,2571 2929
13,03 14,63 2,266
464 13,2 14,67 2,2397 1697
12,309 13,8 2,2572 2930
13,03 14,63 2,2662
465 13,18 14,66 2,2396 1698
12,3 13,77 2,2582 2931
13,03 14,63 2,266
466 13,173 14,65 2,2395 1699
12,29 13,77 2,2589 2932
13,09 14,71 2,2654
467 13,17 14,62 2,239 1700
12,28 13,76 2,2593 2933
13,1 14,74 2,2654
468 13,18 14,64 2,2387 1701
12,28 13,77 2,2594 2934
13,12 14,76 2,2653
469 13,18 14,63 2,2389 1702
12,28 13,76 2,2597 2935
13,12 14,75 2,2659
470 13,18 14,65 2,2389 1703
12,275 13,75 2,2592 2936
13,11 14,75 2,2657
471 13,17 14,63 2,2384 1704
12,28 13,76 2,2582 2937
13,08 14,72 2,2659
144
472 13,155 14,62 2,2395 1705
12,28 13,75 2,259 2938
13,06 14,71 2,2669
473 13,159 14,62 2,2391 1706
12,27 13,74 2,2566 2939
13,07 14,71 2,2655
474 13,1485
14,6 2,2395 1707
12,27 13,74 2,2586 2940
13,06 14,7 2,2659
475 13,12 14,59 2,2404 1708
12,27 13,74 2,2583 2941
13,09 14,73 2,2664
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12,27 13,76 2,2572 2942
13,11 14,74 2,2664
477 13,11 14,58 2,2406 1710
12,27 13,75 2,2548 2943
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478 13,09 14,58 2,2403 1711
12,265 13,73 2,2562 2944
13,12 14,75 2,2645
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12,2623
13,73 2,2568 2945
13,15 14,77 2,2641
480 13,1 14,56 2,242 1713
12,255 13,72 2,2567 2946
13,19 14,8 2,2636
481 13,1097
14,56 2,2416 1714
12,26 13,73 2,2543 2947
13,19 14,8 2,2642
482 13,15 14,63 2,2414 1715
12,27 13,73 2,2569 2948
13,18 14,8 2,263
483 13,16 14,63 2,2412 1716
12,27 13,73 2,2572 2949
13,18 14,81 2,2631
484 13,16 14,64 2,2414 1717
12,23 13,7 2,2577 2950
13,165 14,79 2,2632
485 13,16 14,63 2,2409 1718
12,2377
13,7 2,2577 2951
13,18 14,78 2,2605
486 13,159 14,64 2,2411 1719
12,2 13,67 2,2552 2952
13,2 14,81 2,2615
487 13,13 14,6 2,2413 1720
12,188 13,67 2,2559 2953
13,2 14,83 2,2605
488 13,14 14,62 2,2418 1721
12,18 13,65 2,2562 2954
13,18 14,8 2,2602
489 13,14 14,61 2,2413 1722
12,1797
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490 13,13 14,61 2,2408 1723
12,1775
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491 13,1299
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12,16 13,63 2,2554 2958
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12,18 13,66 2,2571 2959
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12,18 13,66 2,2578 2960
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12,18 13,64 2,2578 2961
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12,17 13,63 2,2572 2962
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12,17 13,63 2,2571 2963
13,21 14,81 2,2575
498 13,11 14,55 2,24 1731
12,15 13,6 2,2571 2964
13,2199
14,8 2,2561
499 13,1 14,55 2,2403 1732
12,15 13,6 2,2568 2965
13,24 14,83 2,2564
145
500 13,11 14,56 2,2399 1733
12,16 13,61 2,2568 2966
13,2099
14,81 2,2564
501 13,12 14,57 2,24 1734
12,17 13,61 2,2567 2967
13,21 14,81 2,2564
502 13,12 14,57 2,2403 1735
12,15 13,61 2,2582 2968
13,2085
14,79 2,2571
503 13,1 14,55 2,2403 1736
12,15 13,6 2,2577 2969
13,215 14,79 2,2569
504 13,09 14,55 2,2403 1737
12,16 13,6 2,2575 2970
13,21 14,79 2,257
505 13,11 14,55 2,2392 1738
12,141 13,6 2,2546 2971
13,2 14,79 2,2579
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12,16 13,6 2,2566 2973
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508 13,12 14,57 2,2383 1741
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13,241 14,84 2,257
509 13,1077
14,54 2,2386 1742
12,1799
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510 13,08 14,53 2,2383 1743
12,18 13,62 2,2571 2976
13,24 14,85 2,257
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12,18 13,62 2,2571 2977
13,22 14,83 2,257
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12,18 13,63 2,2564 2978
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12,15 13,61 2,2559 2979
13,2375
14,84 2,2565
514 13,11 14,55 2,2388 1747
12,17 13,61 2,2546 2980
13,2425
14,83 2,2551
515 13,1175
14,56 2,2388 1748
12,16 13,6 2,2564 2981
13,28 14,86 2,254
516 13,09 14,54 2,2402 1749
12,14 13,57 2,2568 2982
13,26 14,83 2,255
517 13,07 14,51 2,2397 1750
12,1425
13,59 2,2545 2983
13,27 14,86 2,255
518 13,08 14,52 2,2389 1751
12,1699
13,61 2,2572 2984
13,26 14,85 2,2541
519 13,04 14,5 2,2392 1752
12,14 13,6 2,2547 2985
13,26 14,83 2,2545
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12,13 13,57 2,2573 2986
13,251 14,83 2,255
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12,12 13,57 2,2572 2987
13,24 14,82 2,255
522 13,04 14,48 2,2388 1755
12,105 13,54 2,2572 2988
13,2499
14,84 2,2546
523 13,02 14,45 2,2397 1756
12,12 13,56 2,2572 2989
13,24 14,83 2,2545
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12,14 13,58 2,2557 2990
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525 13 14,45 2,2394 1758
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526 13 14,45 2,2393 1759
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13,2215
14,81 2,255
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146
528 13 14,44 2,2387 1761
12,1299
13,56 2,2547 2994
13,21 14,8 2,255
529 13,015 14,44 2,2383 1762
12,125 13,56 2,2551 2995
13,21 14,81 2,2546
530 13,05 14,49 2,2383 1763
12,11 13,55 2,2563 2996
13,19 14,78 2,2542
531 13,06 14,49 2,2373 1764
12,11 13,55 2,2563 2997
13,21 14,79 2,2543
532 13,05 14,48 2,2361 1765
12,13 13,57 2,2563 2998
13,1975
14,77 2,2546
533 13,05 14,47 2,2364 1766
12,13 13,56 2,2573 2999
13,21 14,8 2,255
534 13,05 14,49 2,2375 1767
12,11 13,55 2,2559 3000
13,215 14,81 2,255
535 13,055 14,49 2,2372 1768
12,09 13,53 2,2571 3001
13,23 14,82 2,2552
536 13,06 14,49 2,2375 1769
12,1 13,53 2,2574 3002
13,2299
14,82 2,255
537 13,06 14,49 2,2372 1770
12,1 13,54 2,2578 3003
13,2 14,8 2,2555
538 13,05 14,48 2,2381 1771
12,105 13,54 2,2584 3004
13,18 14,78 2,255
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544 13 14,45 2,2397 1777
12,28 13,8 2,2661 3010
13,13 14,7 2,2536
545 12,99 14,45 2,2394 1778
12,3 13,81 2,2655 3011
13,145 14,69 2,2534
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12,3 13,83 2,2656 3012
13,139 14,68 2,2516
547 13 14,44 2,2383 1780
12,31 13,83 2,2657 3013
13,15 14,69 2,2506
548 13 14,44 2,2373 1781
12,29 13,83 2,2661 3014
13,17 14,7 2,2499
549 13 14,43 2,2373 1782
12,3297
13,85 2,2657 3015
13,16 14,7 2,251
550 12,99 14,41 2,2369 1783
12,325 13,86 2,2666 3016
13,14 14,67 2,2501
551 12,9855
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12,31 13,85 2,2665 3017
13,14 14,65 2,2495
552 12,967 14,41 2,2394 1785
12,3 13,85 2,2665 3018
13,11 14,64 2,2505
553 12,95 14,38 2,2382 1786
12,29 13,84 2,2676 3019
13,08 14,6 2,2496
554 12,94 14,37 2,2388 1787
12,29 13,82 2,2675 3020
13,09 14,62 2,2492
555 12,94 14,38 2,2408 1788
12,29 13,84 2,2673 3021
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147
556 12,9 14,36 2,2404 1789
12,2945
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13,11 14,64 2,2492
557 12,88 14,34 2,2409 1790
12,27 13,8 2,2675 3023
13,1 14,61 2,2495
558 12,9 14,34 2,2419 1791
12,24 13,79 2,2684 3024
13,1 14,63 2,2498
559 12,905 14,36 2,2427 1792
12,2672
13,8 2,2681 3025
13,0693
14,59 2,25
560 12,9 14,35 2,2425 1793
12,2601
13,8 2,2692 3026
13,069 14,58 2,2495
561 12,9 14,35 2,2427 1794
12,27 13,81 2,2683 3027
13,059 14,57 2,2493
562 12,903 14,35 2,2423 1795
12,289 13,82 2,2681 3028
13,06 14,58 2,2501
563 12,86 14,32 2,2434 1796
12,3 13,84 2,2681 3029
13,08 14,6 2,2496
564 12,86 14,32 2,2432 1797
12,2929
13,83 2,268 3030
13,07 14,59 2,2494
565 12,85 14,29 2,2428 1798
12,3 13,83 2,2675 3031
13,07 14,6 2,2497
566 12,84 14,27 2,2413 1799
12,31 13,85 2,2673 3032
13,08 14,62 2,2498
567 12,835 14,26 2,2406 1800
12,31 13,84 2,2673 3033
13,07 14,61 2,2501
568 12,85 14,27 2,2408 1801
12,338 13,88 2,268 3034
13,075 14,6 2,25
569 12,835 14,26 2,2404 1802
12,34 13,89 2,2682 3035
13,08 14,63 2,2499
570 12,823 14,26 2,2415 1803
12,34 13,89 2,2685 3036
13,079 14,6 2,2506
571 12,82 14,26 2,2417 1804
12,35 13,89 2,2681 3037
13,09 14,62 2,2506
572 12,83 14,27 2,2415 1805
12,355 13,89 2,2675 3038
13,1 14,64 2,2503
573 12,85 14,29 2,2416 1806
12,38 13,93 2,2673 3039
13,1 14,64 2,2509
574 12,84 14,29 2,2408 1807
12,38 13,92 2,2675 3040
13,105 14,66 2,2501
575 12,8499
14,29 2,2403 1808
12,3915
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13,11 14,65 2,2512
576 12,85 14,29 2,2407 1809
12,3702
13,93 2,2669 3042
13,1 14,64 2,2511
577 12,83 14,26 2,2403 1810
12,38 13,92 2,2675 3043
13,1 14,64 2,2506
578 12,827 14,26 2,2394 1811
12,37 13,93 2,2675 3044
13,0945
14,64 2,2503
579 12,84 14,26 2,2392 1812
12,36 13,91 2,2676 3045
13,11 14,65 2,2496
580 12,84 14,27 2,2394 1813
12,37 13,92 2,2671 3046
13,11 14,65 2,2497
581 12,85 14,27 2,2388 1814
12,395 13,95 2,2665 3047
13,12 14,65 2,2495
582 12,82 14,25 2,2388 1815
12,37 13,93 2,2671 3048
13,13 14,66 2,2492
583 12,85 14,25 2,2376 1816
12,37 13,92 2,2675 3049
13,13 14,66 2,2481
148
584 12,84 14,26 2,2377 1817
12,3762
13,92 2,268 3050
13,12 14,63 2,2476
585 12,84 14,25 2,2375 1818
12,383 13,94 2,2676 3051
13,13 14,64 2,2466
586 12,85 14,27 2,2372 1819
12,38 13,93 2,268 3052
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587 12,85 14,26 2,2378 1820
12,3398
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13,14 14,64 2,2466
588 12,85 14,28 2,238 1821
12,34 13,89 2,2675 3054
13,18 14,69 2,2461
589 12,85 14,27 2,2382 1822
12,32 13,86 2,2675 3055
13,17 14,7 2,2461
590 12,88 14,31 2,2382 1823
12,3185
13,86 2,2678 3056
13,18 14,69 2,2459
591 12,8735
14,29 2,2381 1824
12,3 13,85 2,2683 3057
13,18 14,69 2,246
592 12,8701
14,3 2,2388 1825
12,29 13,84 2,2684 3058
13,15 14,68 2,2461
593 12,88 14,3 2,2382 1826
12,2915
13,83 2,2685 3059
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594 12,88 14,32 2,2392 1827
12,29 13,83 2,2682 3060
13,14 14,64 2,2465
595 12,87 14,29 2,2389 1828
12,2921
13,84 2,2682 3061
13,12 14,62 2,247
596 12,87 14,29 2,2388 1829
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597 12,87 14,3 2,2382 1830
12,31 13,87 2,2685 3063
13,1 14,61 2,2467
598 12,87 14,29 2,2382 1831
12,33 13,91 2,2683 3064
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599 12,88 14,32 2,2382 1832
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13,11 14,61 2,2461
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12,33 13,88 2,2696 3068
13,13 14,65 2,2464
603 12,89 14,31 2,2383 1836
12,33 13,89 2,2701 3069
13,137 14,66 2,2467
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12,34 13,91 2,2701 3070
13,13 14,64 2,2475
605 12,88 14,31 2,2384 1838
12,35 13,91 2,2701 3071
13,12 14,64 2,2475
606 12,898 14,33 2,2383 1839
12,32 13,89 2,2706 3072
13,11 14,64 2,2471
607 12,91 14,33 2,2386 1840
12,33 13,89 2,2699 3073
13,13 14,63 2,2476
608 12,94 14,36 2,2384 1841
12,315 13,87 2,2698 3074
13,13 14,65 2,2467
609 12,96 14,37 2,2384 1842
12,325 13,89 2,2699 3075
13,13 14,64 2,2466
610 12,94 14,38 2,2387 1843
12,36 13,91 2,2699 3076
13,13 14,65 2,2466
611 12,93 14,37 2,2393 1844
12,35 13,92 2,2699 3077
13,13 14,63 2,2459
149
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12,36 13,93 2,2696 3078
13,16 14,67 2,2462
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12,368 13,92 2,2696 3079
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14,7 2,246
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616 12,85 14,27 2,2387 1849
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13,24 14,78 2,2459
617 12,8207
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12,3725
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12,3898
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13,28 14,8 2,246
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12,4 13,97 2,2708 3086
13,27 14,78 2,2445
621 12,84 14,29 2,2408 1854
12,4 13,97 2,2703 3087
13,26 14,78 2,2451
622 12,84 14,27 2,2399 1855
12,42 13,99 2,2711 3088
13,24 14,75 2,2442
623 12,82 14,27 2,2399 1856
12,42 14 2,2703 3089
13,25 14,75 2,2424
624 12,8 14,24 2,2406 1857
12,44 14,01 2,2706 3090
13,25 14,74 2,2422
625 12,8 14,23 2,2413 1858
12,469 14,05 2,2704 3091
13,26 14,74 2,2426
626 12,8 14,25 2,2417 1859
12,49 14,06 2,2701 3092
13,26 14,75 2,2415
627 12,805 14,24 2,2422 1860
12,49 14,07 2,2702 3093
13,26 14,76 2,2415
628 12,81 14,25 2,2428 1861
12,4925
14,07 2,2681 3094
13,232 14,74 2,242
629 12,791 14,24 2,2428 1862
12,5 14,07 2,271 3095
13,2337
14,72 2,2417
630 12,785 14,25 2,2432 1863
12,49 14,07 2,2715 3096
13,25 14,73 2,2414
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12,48 14,04 2,2713 3097
13,25 14,75 2,2413
632 12,7 14,14 2,2438 1865
12,48 14,07 2,2704 3098
13,25 14,74 2,239
633 12,67 14,11 2,2435 1866
12,49 14,08 2,2706 3099
13,25 14,73 2,2389
634 12,6717
14,11 2,2434 1867
12,4925
14,08 2,2713 3100
13,24 14,72 2,239
635 12,7099
14,15 2,2429 1868
12,5 14,08 2,2721 3101
13,267 14,76 2,2392
636 12,72 14,15 2,2422 1869
12,49 14,08 2,2716 3102
13,27 14,76 2,239
637 12,742 14,19 2,2424 1870
12,507 14,09 2,2711 3103
13,27 14,76 2,2388
638 12,741 14,19 2,2433 1871
12,5 14,09 2,2721 3104
13,27 14,75 2,2382
639 12,71 14,15 2,2437 1872
12,51 14,08 2,2711 3105
13,268 14,75 2,2376
150
640 12,7092
14,15 2,2439 1873
12,49 14,07 2,2711 3106
13,2601
14,75 2,238
641 12,7 14,14 2,2453 1874
12,49 14,07 2,2703 3107
13,27 14,77 2,2387
642 12,705 14,15 2,2453 1875
12,4815
14,07 2,2701 3108
13,27 14,74 2,2386
643 12,695 14,15 2,2453 1876
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13,27 14,76 2,2386
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12,4899
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13,27 14,75 2,2376
645 12,72 14,16 2,2453 1878
12,48 14,06 2,2705 3111
13,27 14,75 2,238
646 12,729 14,18 2,2449 1879
12,49 14,05 2,2696 3112
13,27 14,75 2,2382
647 12,73 14,17 2,2449 1880
12,48 14,04 2,2691 3113
13,2699
14,76 2,238
648 12,69 14,14 2,2452 1881
12,47 14,04 2,2684 3114
13,26 14,75 2,2385
649 12,715 14,15 2,2448 1882
12,465 14,02 2,2695 3115
13,257 14,75 2,239
650 12,71 14,14 2,2452 1883
12,4583
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13,26 14,76 2,2386
651 12,74 14,19 2,2448 1884
12,43 14,02 2,2692 3117
13,26 14,75 2,2394
652 12,72 14,17 2,2476 1885
12,42 13,99 2,2691 3118
13,26 14,76 2,2394
653 12,72 14,16 2,247 1886
12,4299
13,99 2,2695 3119
13,26 14,76 2,2389
654 12,71 14,16 2,2469 1887
12,43 13,99 2,2695 3120
13,26 14,76 2,2393
655 12,71 14,17 2,2477 1888
12,421 13,98 2,2696 3121
13,2621
14,77 2,2402
656 12,71 14,18 2,2484 1889
12,425 13,99 2,2699 3122
13,26 14,74 2,2394
657 12,71 14,19 2,2509 1890
12,41 13,98 2,2694 3123
13,26 14,74 2,2395
658 12,72 14,19 2,2512 1891
12,41 13,97 2,2685 3124
13,25 14,74 2,2403
659 12,7165
14,21 2,2513 1892
12,41 13,98 2,2687 3125
13,235 14,73 2,2406
660 12,725 14,19 2,2501 1893
12,4 13,98 2,269 3126
13,23 14,72 2,2413
661 12,7583
14,22 2,2491 1894
12,4 13,98 2,2695 3127
13,2215
14,72 2,2408
662 12,78 14,25 2,2483 1895
12,38 13,95 2,2698 3128
13,21 14,72 2,2419
663 12,73 14,2 2,2483 1896
12,369 13,92 2,2701 3129
13,2 14,7 2,2426
664 12,7307
14,2 2,2484 1897
12,35 13,92 2,2705 3130
13,2 14,69 2,2415
665 12,73 14,2 2,2494 1898
12,35 13,91 2,271 3131
13,2 14,69 2,2415
666 12,71 14,18 2,2502 1899
12,34 13,9 2,2706 3132
13,2 14,68 2,242
667 12,72 14,19 2,2498 1900
12,34 13,9 2,2701 3133
13,19 14,7 2,2422
151
668 12,72 14,2 2,2498 1901
12,32 13,89 2,2705 3134
13,18 14,67 2,242
669 12,72 14,2 2,2508 1902
12,33 13,91 2,269 3135
13,19 14,67 2,242
670 12,72 14,19 2,2507 1903
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13,1999
14,68 2,2425
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672 12,68 14,15 2,2507 1905
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13,188 14,67 2,2415
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14,66 2,2414
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13,18 14,67 2,241
675 12,59 14,06 2,2529 1908
12,4099
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13,19 14,67 2,241
676 12,57 14,04 2,2524 1909
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677 12,61 14,1 2,2524 1910
12,4 13,97 2,2711 3143
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678 12,595 14,06 2,2508 1911
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679 12,62 14,1 2,2512 1912
12,3801
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13,19 14,68 2,2412
680 12,61 14,09 2,2508 1913
12,4 13,97 2,272 3146
13,21 14,68 2,2407
681 12,63 14,09 2,2502 1914
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13,21 14,69 2,2412
682 12,64 14,1 2,2507 1915
12,3578
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13,23 14,73 2,2414
683 12,67 14,16 2,2527 1916
12,3601
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684 12,68 14,17 2,2523 1917
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13,25 14,74 2,2404
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14,73 2,2387
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13,25 14,73 2,2386
152
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12,3401
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153
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757 12,72 14,18 2,2495 1990
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758 12,71 14,16 2,2493 1991
12,405 14,03 2,2781 3224
13,379 14,83 2,2308
759 12,735 14,2 2,2494 1992
12,39 14,01 2,2782 3225
13,38 14,82 2,2308
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12,385 14,01 2,2782 3226
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13,39 14,84 2,2302
769 12,75 14,24 2,2488 2002
12,355 13,96 2,277 3235
13,39 14,83 2,2303
770 12,745 14,23 2,2489 2003
12,36 13,96 2,2775 3236
13,385 14,83 2,2302
771 12,745 14,23 2,2486 2004
12,3599
13,98 2,2801 3237
13,4 14,84 2,2284
772 12,73 14,21 2,2485 2005
12,36 13,98 2,2795 3238
13,415 14,86 2,2282
773 12,76 14,23 2,2488 2006
12,36 13,98 2,2797 3239
13,4 14,85 2,2297
774 12,74 14,2 2,2487 2007
12,3596
13,97 2,2793 3240
13,41 14,86 2,2297
775 12,745 14,21 2,2487 2008
12,37 14,01 2,2796 3241
13,42 14,87 2,2302
776 12,74 14,21 2,2499 2009
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13,429 14,86 2,2289
777 12,76 14,24 2,2502 2010
12,3501
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13,405 14,86 2,2289
778 12,75 14,2 2,2497 2011
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13,41 14,85 2,2278
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12,35 13,97 2,2765 3245
13,4209
14,87 2,2271
155
780 12,78 14,24 2,2497 2013
12,36 13,97 2,2761 3246
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12,355 13,95 2,2761 3247
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782 12,82 14,25 2,2497 2015
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12,35 13,96 2,2752 3249
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14,83 2,2258
784 12,58 14,1 2,2612 2017
12,3599
13,96 2,2752 3250
13,3801
14,81 2,2262
785 12,57 14,12 2,2621 2018
12,37 13,97 2,2745 3251
13,4 14,8 2,2246
786 12,65 14,17 2,2621 2019
12,372 13,98 2,2751 3252
13,4 14,82 2,2246
787 12,65 14,18 2,2607 2020
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13,4 14,82 2,225
788 12,65 14,17 2,2599 2021
12,381 13,99 2,275 3254
13,395 14,83 2,226
789 12,65 14,17 2,2606 2022
12,38 13,98 2,2756 3255
13,4 14,81 2,2264
790 12,71 14,24 2,2598 2023
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14,24 2,2603 2024
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792 12,79 14,32 2,2607 2025
12,3501
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156
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13,37 14,77 2,2257
835 13,04 14,6 2,2587 2068
12,42 14 2,2681 3301
13,38 14,76 2,2246
157
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12,4 13,98 2,2703 3302
13,36 14,75 2,2249
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12,39 13,97 2,2706 3303
13,3699
14,75 2,2241
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13,3778
14,75 2,2218
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12,35 13,93 2,2711 3309
13,38 14,75 2,2222
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12,365 13,93 2,2712 3310
13,38 14,76 2,2228
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12,35 13,94 2,2715 3311
13,39 14,76 2,2222
846 13,06 14,63 2,2617 2079
12,3599
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12,35 13,93 2,2725 3313
13,38 14,77 2,2221
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13,37 14,75 2,2229
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12,31 13,9 2,2741 3315
13,375 14,76 2,2229
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13,39 14,73 2,2229
851 13,0615
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859 13,05 14,65 2,2648 2092
12,33 13,9 2,2715 3325
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860 13,05 14,64 2,2652 2093
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13,3 14,75 2,236
861 13,05 14,64 2,2647 2094
12,26 13,81 2,2741 3327
13,289 14,75 2,2391
862 13,05 14,63 2,265 2095
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158
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13,22 14,71 2,2421
865 13,15 14,72 2,2636 2098
12,3 13,88 2,2731 3331
13,26 14,75 2,2417
866 13,1062
14,69 2,2634 2099
12,31 13,89 2,273 3332
13,23 14,7 2,2426
867 13,06 14,63 2,2641 2100
12,285 13,85 2,2726 3333
13,25 14,72 2,2405
868 13,07 14,65 2,2636 2101
12,3 13,85 2,2726 3334
13,2492
14,74 2,2402
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870 13,09 14,66 2,2633 2103
12,31 13,87 2,2716 3336
13,24 14,73 2,24
871 13,09 14,66 2,2627 2104
12,29 13,86 2,2729 3337
13,2215
14,7 2,24
872 13,1 14,67 2,2622 2105
12,275 13,85 2,2728 3338
13,21 14,71 2,2421
873 13,11 14,66 2,2608 2106
12,29 13,85 2,2724 3339
13,21 14,7 2,2434
874 13,1208
14,7 2,2607 2107
12,29 13,86 2,272 3340
13,215 14,7 2,2436
875 13,1 14,66 2,2603 2108
12,298 13,86 2,2724 3341
13,195 14,7 2,243
876 13,145 14,7 2,2597 2109
12,29 13,86 2,2722 3342
13,21 14,68 2,2425
877 13,17 14,73 2,2603 2110
12,29 13,86 2,2725 3343
13,25 14,72 2,2415
878 13,16 14,71 2,2597 2111
12,3 13,89 2,2735 3344
13,26 14,74 2,242
879 13,17 14,72 2,2595 2112
12,298 13,87 2,2728 3345
13,25 14,74 2,242
880 13,16 14,72 2,2597 2113
12,2786
13,86 2,2733 3346
13,2499
14,73 2,2421
881 13,16 14,7 2,2598 2114
12,28 13,84 2,2733 3347
13,29 14,79 2,2421
882 13,14 14,71 2,2596 2115
12,26 13,84 2,273 3348
13,29 14,79 2,2425
883 13,12 14,65 2,2592 2116
12,26 13,84 2,2732 3349
13,27 14,78 2,2426
884 13,13 14,68 2,2596 2117
12,25 13,83 2,2729 3350
13,29 14,78 2,242
885 13,12 14,66 2,2598 2118
12,28 13,86 2,2726 3351
13,26 14,75 2,2401
886 13,13 14,68 2,2597 2119
12,28 13,84 2,2727 3352
13,28 14,75 2,2387
887 13,14 14,68 2,2582 2120
12,2789
13,84 2,2726 3353
13,22 14,69 2,24
888 13,14 14,68 2,2587 2121
12,275 13,84 2,2725 3354
13,23 14,7 2,2393
889 13,15 14,69 2,2584 2122
12,27 13,83 2,2731 3355
13,27 14,73 2,2373
890 13,15 14,71 2,2594 2123
12,255 13,81 2,2727 3356
13,26 14,73 2,238
891 13,17 14,73 2,2587 2124
12,27 13,84 2,2726 3357
13,265 14,71 2,2376
159
892 13,22 14,76 2,2585 2125
12,26 13,84 2,2726 3358
13,24 14,71 2,238
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12,265 13,84 2,272 3359
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13,211 14,7 2,2395
895 13,2 14,76 2,2603 2128
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14,7 2,2401
896 13,16 14,74 2,2617 2129
12,2796
13,85 2,2716 3362
13,21 14,69 2,2402
897 13,14 14,73 2,2622 2130
12,27 13,83 2,2703 3363
13,21 14,69 2,2402
898 13,13 14,71 2,2622 2131
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899 13,12 14,7 2,2614 2132
12,2897
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13,2 14,68 2,2401
900 13,13 14,71 2,2616 2133
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13,2296
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901 13,13 14,71 2,2618 2134
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903 13,1475
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12,28 13,84 2,269 3369
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13,24 14,68 2,2361
906 13,16 14,75 2,2617 2139
12,285 13,84 2,2688 3372
13,22 14,66 2,238
907 13,19 14,76 2,2618 2140
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12,265 13,83 2,2703 3376
13,23 14,69 2,2357
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12,265 13,84 2,2703 3381
13,2515
14,7 2,2357
916 13,16 14,74 2,2617 2149
12,26 13,83 2,2703 3382
13,26 14,72 2,2369
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12,275 13,83 2,2702 3383
13,2668
14,72 2,2371
918 13,145 14,7 2,2617 2151
12,265 13,84 2,27 3384
13,2665
14,74 2,2381
919 13,14 14,71 2,2616 2152
12,275 13,84 2,2704 3385
13,2672
14,73 2,2382
160
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12,28 13,84 2,2702 3387
13,22 14,7 2,2405
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13,26 14,72 2,2382
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13,28 14,73 2,2376
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12,6601
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13,28 14,72 2,2381
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12,6501
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12,6399
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940 13,22 14,79 2,2615 2173
12,6355
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13,33 14,8 2,2391
941 13,215 14,79 2,2615 2174
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946 13,25 14,84 2,2631 2179
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12,63 14,21 2,2672 3413
13,3 14,77 2,2397
161
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12,63 14,21 2,2667 3414
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12,6383
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13,31 14,8 2,2383
950 13,245 14,84 2,2634 2183
12,65 14,23 2,2652 3416
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13,2899
14,78 2,2438
962 13,25 14,85 2,2637 2195
12,67 14,25 2,2666 3428
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13,28 14,77 2,2443
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12,71 14,3 2,2691 3434
13,3 14,8 2,245
969 13,19 14,79 2,2647 2202
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13,3 14,82 2,2445
970 13,15 14,74 2,2641 2203
12,72 14,31 2,2694 3436
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971 13,15 14,74 2,2641 2204
12,74 14,35 2,2696 3437
13,295 14,8 2,2442
972 13,145 14,73 2,2636 2205
12,74 14,35 2,2696 3438
13,3 14,79 2,2436
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13,3 14,81 2,2433
974 13,16 14,75 2,2631 2207
12,73 14,36 2,27 3440
13,31 14,82 2,2436
975 13,15 14,74 2,2635 2208
12,73 14,33 2,2695 3441
13,31 14,82 2,2442
162
976 13,135 14,72 2,2634 2209
12,735 14,34 2,2695 3442
13,29 14,79 2,245
977 13,12 14,7 2,2629 2210
12,735 14,34 2,2692 3443
13,3 14,8 2,2444
978 13,11 14,68 2,2628 2211
12,735 14,35 2,2694 3444
13,32 14,83 2,2446
979 13,115 14,69 2,2628 2212
12,73 14,35 2,2694 3445
13,31 14,82 2,2447
980 13,1 14,67 2,2626 2213
12,715 14,32 2,269 3446
13,315 14,82 2,2441
981 13,085 14,65 2,2626 2214
12,69 14,3 2,2686 3447
13,31 14,81 2,2428
982 13,09 14,65 2,2626 2215
12,71 14,3 2,2671 3448
13,29 14,79 2,2422
983 13,08 14,65 2,2622 2216
12,715 14,32 2,2677 3449
13,31 14,8 2,2427
984 13,08 14,64 2,2624 2217
12,7 14,32 2,268 3450
13,3 14,8 2,2436
985 13,0775
14,64 2,2632 2218
12,7 14,3 2,2682 3451
13,295 14,8 2,2436
986 13,07 14,65 2,2641 2219
12,67 14,28 2,2681 3452
13,29 14,8 2,2438
987 13,075 14,65 2,2638 2220
12,69 14,28 2,2681 3453
13,28 14,78 2,2441
988 13,01 14,6 2,2653 2221
12,71 14,32 2,2678 3454
13,26 14,75 2,2431
989 13,025 14,61 2,2646 2222
12,7 14,31 2,268 3455
13,25 14,74 2,2441
990 13,05 14,62 2,2641 2223
12,7 14,31 2,2685 3456
13,24 14,73 2,2442
991 13,05 14,64 2,2649 2224
12,695 14,32 2,2692 3457
13,27 14,78 2,2442
992 13,06 14,65 2,2646 2225
12,695 14,31 2,2691 3458
13,27 14,76 2,2442
993 13,06 14,63 2,2643 2226
12,66 14,3 2,2724 3459
13,2899
14,78 2,2436
994 13,05 14,62 2,2643 2227
12,67 14,3 2,2713 3460
13,24 14,75 2,2441
995 12,93 14,51 2,2658 2228
12,69 14,31 2,2706 3461
13,24 14,74 2,2448
996 12,82 14,39 2,2656 2229
12,71 14,33 2,2701 3462
13,25 14,76 2,2442
997 12,8 14,36 2,266 2230
12,715 14,33 2,2706 3463
13,26 14,74 2,2452
998 12,66 14,25 2,2663 2231
12,72 14,35 2,271 3464
13,26 14,78 2,2446
999 12,63 14,19 2,2669 2232
12,71 14,35 2,2711 3465
13,27 14,77 2,2446
1000
12,64 14,18 2,2668 2233
12,73 14,36 2,2708 3466
13,27 14,78 2,2446
1001
12,639 14,2 2,2669 2234
12,77 14,4 2,27 3467
13,26 14,77 2,2441
1002
12,59 14,15 2,268 2235
12,79 14,42 2,2693 3468
13,26 14,77 2,2441
1003
12,6 14,15 2,2669 2236
12,79 14,41 2,2691 3469
13,27 14,76 2,2442
163
1004
12,59 14,13 2,2664 2237
12,8088
14,42 2,2686 3470
13,245 14,74 2,2436
1005
12,56 14,1 2,2683 2238
12,77 14,4 2,268 3471
13,25 14,75 2,2422
1006
12,5685
14,1 2,2674 2239
12,76 14,39 2,2691 3472
13,2501
14,76 2,2452
1007
12,56 14,13 2,2671 2240
12,79 14,41 2,2691 3473
13,26 14,77 2,2448
1008
12,59 14,16 2,2666 2241
12,81 14,44 2,2686 3474
13,26 14,77 2,2446
1009
12,63 14,16 2,2659 2242
12,84 14,46 2,2681 3475
13,28 14,79 2,2449
1010
12,5507
14,1 2,2656 2243
12,82 14,45 2,2682 3476
13,25 14,78 2,2456
1011
12,57 14,11 2,2654 2244
12,8557
14,49 2,2675 3477
13,259 14,77 2,2462
1012
12,66 14,2 2,2649 2245
12,87 14,51 2,2686 3478
13,27 14,78 2,2454
1013
12,68 14,21 2,2654 2246
12,8757
14,53 2,2691 3479
13,265 14,78 2,2452
1014
12,6545
14,2 2,2654 2247
12,86 14,51 2,2695 3480
13,27 14,78 2,2452
1015
12,649 14,19 2,2659 2248
12,85 14,5 2,2694 3481
13,25 14,77 2,246
1016
12,58 14,1 2,2659 2249
12,8699
14,51 2,2696 3482
13,26 14,77 2,2459
1017
12,579 14,11 2,2661 2250
12,84 14,49 2,2701 3483
13,26 14,77 2,2459
1018
12,5399
14,06 2,2648 2251
12,87 14,52 2,2701 3484
13,268 14,77 2,2458
1019
12,529 14,08 2,2678 2252
12,88 14,51 2,271 3485
13,265 14,79 2,2475
1020
12,5 14,06 2,2675 2253
12,88 14,54 2,271 3486
13,28 14,81 2,2472
1021
12,4745
14,02 2,2681 2254
12,9 14,57 2,2711 3487
13,26 14,8 2,2451
1022
12,45 13,98 2,2664 2255
12,86 14,53 2,2707 3488
13,29 14,8 2,246
1023
12,53 14,07 2,2665 2256
12,859 14,49 2,2706 3489
13,298 14,83 2,2465
1024
12,52 14,03 2,2649 2257
12,847 14,49 2,2716 3490
13,29 14,81 2,2447
1025
12,47 14 2,2649 2258
12,83 14,48 2,2706 3491
13,29 14,83 2,2449
1026
12,41 13,94 2,2649 2259
12,84 14,49 2,2716 3492
13,28 14,8 2,2468
1027
12,421 13,94 2,2636 2260
12,85 14,52 2,2711 3493
13,28 14,82 2,246
1028
12,38 13,9 2,2639 2261
12,86 14,52 2,271 3494
13,3 14,84 2,245
1029
12,4 13,9 2,2634 2262
12,87 14,53 2,2706 3495
13,3 14,83 2,2452
1030
12,48 13,98 2,2641 2263
12,89 14,53 2,2703 3496
13,32 14,85 2,2452
1031
12,505 14,03 2,2643 2264
12,91 14,56 2,2701 3497
13,3 14,83 2,2459
164
1032
12,52 14,06 2,2644 2265
12,88 14,54 2,2699 3498
13,3 14,83 2,2459
1033
12,5283
14,05 2,2627 2266
12,8601
14,5 2,27 3499
13,31 14,84 2,2447
1034
12,52 14,04 2,263 2267
12,89 14,53 2,2695 3500
13,31 14,84 2,2446
1035
12,505 14,01 2,2639 2268
12,88 14,53 2,2694 3501
13,31 14,84 2,2457
1036
12,5 14,02 2,2642 2269
12,88 14,52 2,2691 3502
13,315 14,85 2,2457
1037
12,53 14,06 2,2627 2270
12,87 14,51 2,269 3503
13,31 14,85 2,2458
1038
12,54 14,07 2,2643 2271
12,882 14,52 2,2689 3504
13,31 14,85 2,2467
1039
12,51 14,05 2,2635 2272
12,88 14,52 2,2693 3505
13,31 14,85 2,2455
1040
12,47 13,99 2,265 2273
12,89 14,54 2,2691 3506
13,32 14,85 2,2466
1041
12,4369
13,97 2,263 2274
12,9 14,54 2,2695 3507
13,32 14,86 2,2449
1042
12,42 13,96 2,2628 2275
12,9051
14,55 2,2686 3508
13,325 14,87 2,2472
1043
12,47 14 2,266 2276
12,9 14,55 2,2685 3509
13,3 14,85 2,2482
1044
12,42 13,97 2,2663 2277
12,92 14,57 2,2684 3510
13,29 14,86 2,2495
1045
12,445 13,97 2,2664 2278
12,92 14,56 2,2688 3511
13,29 14,86 2,2492
1046
12,425 13,95 2,2647 2279
12,9 14,56 2,2685 3512
13,3 14,86 2,2497
1047
12,4101
13,95 2,2659 2280
12,9 14,54 2,2682 3513
13,29 14,86 2,2505
1048
12,41 13,95 2,2675 2281
12,91 14,56 2,2684 3514
13,29 14,85 2,2496
1049
12,42 13,97 2,2685 2282
12,93 14,56 2,2673 3515
13,285 14,84 2,2502
1050
12,43 13,97 2,269 2283
12,93 14,57 2,2675 3516
13,285 14,84 2,2504
1051
12,42 13,95 2,2695 2284
12,9099
14,55 2,2684 3517
13,31 14,87 2,2496
1052
12,415 13,97 2,269 2285
12,89 14,52 2,2682 3518
13,315 14,88 2,2487
1053
12,4 13,95 2,2682 2286
12,89 14,52 2,2683 3519
13,32 14,88 2,2492
1054
12,42 13,97 2,2672 2287
12,897 14,53 2,2684 3520
13,3 14,85 2,2486
1055
12,41 13,96 2,2678 2288
12,895 14,53 2,2692 3521
13,31 14,86 2,2486
1056
12,41 13,95 2,2667 2289
12,8901
14,53 2,2695 3522
13,31 14,86 2,2481
1057
12,42 13,96 2,2664 2290
12,88 14,53 2,2696 3523
13,31 14,86 2,2477
1058
12,42 13,95 2,2665 2291
12,88 14,51 2,2687 3524
13,319 14,87 2,2469
1059
12,415 13,95 2,267 2292
12,8899
14,52 2,2691 3525
13,3175
14,88 2,2492
165
1060
12,4 13,93 2,2649 2293
12,87 14,51 2,2683 3526
13,315 14,88 2,2491
1061
12,39 13,92 2,2646 2294
12,88 14,51 2,2687 3527
13,3 14,89 2,2483
1062
12,33 13,87 2,2676 2295
12,88 14,52 2,2688 3528
13,29 14,87 2,2501
1063
12,305 13,85 2,268 2296
12,88 14,51 2,2688 3529
13,29 14,86 2,2502
1064
12,305 13,85 2,268 2297
12,9 14,54 2,2691 3530
13,3 14,87 2,2501
1065
12,355 13,89 2,2675 2298
12,9199
14,55 2,2687 3531
13,3 14,87 2,2499
1066
12,335 13,88 2,2677 2299
12,92 14,55 2,268 3532
13,29 14,87 2,2503
1067
12,34 13,88 2,267 2300
12,93 14,56 2,2678 3533
13,281 14,85 2,2503
1068
12,335 13,87 2,2665 2301
12,93 14,57 2,2679 3534
13,2724
14,84 2,2506
1069
12,31 13,85 2,2671 2302
12,92 14,57 2,2684 3535
13,275 14,85 2,251
1070
12,29 13,82 2,2669 2303
12,92 14,57 2,2682 3536
13,275 14,87 2,253
1071
12,3 13,83 2,2673 2304
12,92 14,56 2,268 3537
13,28 14,86 2,2521
1072
12,3 13,83 2,267 2305
12,9199
14,57 2,2685 3538
13,26 14,84 2,2531
1073
12,26 13,8 2,2675 2306
12,918 14,57 2,2685 3539
13,26 14,87 2,2566
1074
12,28 13,81 2,267 2307
12,9199
14,57 2,2685 3540
13,269 14,85 2,2546
1075
12,2701
13,8 2,2656 2308
12,91 14,56 2,2685 3541
13,26 14,86 2,2538
1076
12,28 13,8 2,2653 2309
12,91 14,57 2,2674 3542
13,27 14,85 2,2536
1077
12,28 13,79 2,2671 2310
12,91 14,57 2,268 3543
13,26 14,83 2,2537
1078
12,28 13,81 2,266 2311
12,93 14,58 2,268 3544
13,265 14,85 2,2532
1079
12,279 13,81 2,2667 2312
12,915 14,57 2,2691 3545
13,285 14,87 2,2537
1080
12,3 13,82 2,2662 2313
12,92 14,57 2,2684 3546
13,27 14,87 2,2539
1081
12,32 13,84 2,2654 2314
12,92 14,57 2,2677 3547
13,2838
14,88 2,2546
1082
12,29 13,81 2,2659 2315
12,9 14,55 2,2694 3548
13,27 14,87 2,2543
1083
12,27 13,79 2,2657 2316
12,9 14,54 2,2684 3549
13,2775
14,86 2,2548
1084
12,2201
13,75 2,2648 2317
12,9 14,55 2,2692 3550
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1085
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13,27 14,88 2,2561
1086
12,2099
13,72 2,265 2319
12,89 14,54 2,269 3552
13,28 14,88 2,2547
1087
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13,27 14,87 2,2544
166
1088
12,2299
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13,2601
14,86 2,2544
1089
12,245 13,75 2,2646 2322
12,85 14,5 2,2682 3555
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1090
12,234 13,74 2,2643 2323
12,845 14,49 2,2682 3556
13,26 14,86 2,2541
1091
12,22 13,74 2,2643 2324
12,85 14,49 2,2688 3557
13,2501
14,84 2,2546
1092
12,21 13,72 2,2639 2325
12,855 14,49 2,2688 3558
13,25 14,85 2,2541
1093
12,21 13,71 2,2649 2326
12,85 14,47 2,2683 3559
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1094
12,205 13,7 2,2645 2327
12,87 14,51 2,2679 3560
13,27 14,86 2,2536
1095
12,215 13,71 2,2627 2328
12,89 14,53 2,2677 3561
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1096
12,174 13,69 2,264 2329
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13,27 14,86 2,253
1097
12,185 13,69 2,262 2330
12,87 14,51 2,2676 3563
13,275 14,86 2,2531
1098
12,18 13,71 2,2628 2331
12,87 14,5 2,2671 3564
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1099
12,17 13,7 2,2648 2332
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1100
12,175 13,69 2,265 2333
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1101
12,16 13,68 2,2637 2334
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13,3 14,87 2,2504
1102
12,1837
13,7 2,2654 2335
12,87 14,52 2,268 3568
13,3 14,88 2,2502
1103
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1104
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12,8599
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13,2925
14,87 2,2509
1105
12,24 13,78 2,265 2338
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1106
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1107
12,24 13,75 2,2635 2340
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13,29 14,87 2,2495
1108
12,255 13,77 2,2642 2341
12,875 14,51 2,2688 3574
13,295 14,87 2,2496
1109
12,31 13,82 2,2654 2342
12,87 14,51 2,2676 3575
13,3 14,87 2,2498
1110
12,32 13,85 2,2645 2343
12,86 14,5 2,2691 3576
13,3 14,86 2,2492
1111
12,31 13,82 2,2649 2344
12,85 14,5 2,2689 3577
13,29 14,82 2,2497
1112
12,3085
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12,86 14,49 2,2688 3578
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1113
12,315 13,85 2,2652 2346
12,8689
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13,282 14,85 2,2496
1114
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1115
12,285 13,8 2,2646 2348
12,87 14,5 2,2685 3581
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167
1116
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1117
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1118
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1119
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1120
12,25 13,79 2,2657 2353
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13,295 14,89 2,2527
1121
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12,8975
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1122
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1123
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1124
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1125
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1126
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1127
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1128
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1129
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1130
12,2299
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1131
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12,91 14,56 2,2673 3597
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1132
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1133
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12,91 14,55 2,2683 3599
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1134
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12,9 14,53 2,2684 3600
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1135
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12,903 14,54 2,2683 3601
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1136
12,19 13,69 2,2648 2369
12,9091
14,54 2,2681 3602
13,34 14,92 2,2513
1137
12,1993
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12,91 14,56 2,2678 3603
13,3485
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1138
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12,91 14,56 2,2684 3604
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1139
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1140
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1141
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1142
12,19 13,7 2,2645 2375
12,945 14,59 2,2685 3608
13,36 14,93 2,2522
1143
12,205 13,71 2,2642 2376
12,9375
14,58 2,268 3609
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168
1144
12,185 13,69 2,2643 2377
12,93 14,58 2,2684 3610
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1145
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1146
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1147
12,1675
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1148
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12,94 14,6 2,269 3614
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1149
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1150
12,1775
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12,98 14,64 2,2679 3616
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1151
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12,99 14,64 2,268 3617
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1152
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12,96 14,6 2,2678 3618
13,3791
14,95 2,2507
1153
12,181 13,68 2,2625 2386
12,96 14,61 2,2682 3619
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1154
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1155
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12,96 14,63 2,2684 3621
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1156
12,1685
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12,97 14,63 2,2675 3622
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1157
12,19 13,69 2,2644 2390
12,969 14,63 2,2675 3623
13,355 14,92 2,2527
1158
12,1885
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12,985 14,64 2,2679 3624
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1159
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1160
12,1775
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12,97 14,64 2,2679 3626
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1161
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1162
12,19 13,69 2,264 2395
12,97 14,62 2,2676 3628
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1163
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1164
12,23 13,71 2,262 2397
12,94 14,61 2,2689 3630
13,38 14,95 2,2524
1165
12,23 13,72 2,2614 2398
12,94 14,59 2,2688 3631
13,379 14,96 2,2516
1166
12,16 13,64 2,2613 2399
12,94 14,59 2,269 3632
13,391 14,97 2,251
1167
12,15 13,63 2,2594 2400
12,94 14,59 2,2686 3633
13,41 14,99 2,2511
1168
12,15 13,64 2,2604 2401
12,93 14,59 2,2692 3634
13,42 14,99 2,2499
1169
12,16 13,65 2,2605 2402
12,95 14,61 2,2689 3635
13,4199
14,99 2,2499
1170
12,14 13,64 2,262 2403
12,93 14,57 2,2694 3636
13,415 14,97 2,2501
1171
12,1475
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12,93 14,58 2,2695 3637
13,4 14,95 2,2511
169
1172
12,145 13,64 2,2597 2405
12,93 14,58 2,2705 3638
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1173
12,1575
13,65 2,261 2406
12,93 14,58 2,2707 3639
13,3925
14,98 2,2516
1174
12,1599
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12,935 14,58 2,2713 3640
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1175
12,1599
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12,94 14,62 2,2715 3641
13,4 14,97 2,2509
1176
12,18 13,66 2,2605 2409
12,95 14,61 2,2713 3642
13,4035
14,99 2,2508
1177
12,18 13,67 2,2615 2410
12,95 14,61 2,2714 3643
13,4 14,97 2,2509
1178
12,1605
13,67 2,2606 2411
12,95 14,62 2,2717 3644
13,4 14,99 2,2508
1179
12,16 13,65 2,2615 2412
12,95 14,62 2,2711 3645
13,42 15 2,2511
1180
12,1724
13,67 2,2603 2413
12,9501
14,62 2,2707 3646
13,42 14,98 2,2501
1181
12,16 13,66 2,261 2414
12,95 14,62 2,2706 3647
13,42 14,99 2,25
1182
12,155 13,65 2,261 2415
12,96 14,61 2,2701 3648
13,41 14,96 2,2505
1183
12,16 13,64 2,2596 2416
12,945 14,62 2,2704 3649
13,401 14,97 2,2511
1184
12,17 13,66 2,2596 2417
12,977 14,62 2,2696 3650
13,4 14,97 2,2512
1185
12,17 13,64 2,2596 2418
12,985 14,65 2,2691 3651
13,39 14,96 2,2522
1186
12,16 13,66 2,262 2419
12,98 14,63 2,2684 3652
13,399 14,98 2,2531
1187
12,16 13,65 2,2603 2420
12,97 14,63 2,2684 3653
13,4 14,97 2,2522
1188
12,17 13,66 2,2601 2421
12,97 14,64 2,2695 3654
13,4 14,99 2,2509
1189
12,175 13,67 2,2614 2422
12,97 14,65 2,2694 3655
13,39 14,96 2,2509
1190
12,18 13,66 2,26 2423
12,98 14,65 2,2694 3656
13,4 14,98 2,2513
1191
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12,9574
14,62 2,2687 3657
13,4 14,98 2,2519
1192
12,18 13,68 2,2599 2425
12,96 14,64 2,269 3658
13,39 14,98 2,2516
1193
12,18 13,69 2,2614 2426
12,97 14,64 2,269 3659
13,3999
14,99 2,2521
1194
12,185 13,67 2,2609 2427
12,98 14,65 2,269 3660
13,38 14,96 2,2531
1195
12,18 13,66 2,2614 2428
12,988 14,66 2,269 3661
13,39 14,99 2,2536
1196
12,171 13,67 2,2602 2429
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1197
12,17 13,66 2,26 2430
12,98 14,66 2,2695 3663
13,37 14,95 2,2551
1198
12,17 13,65 2,26 2431
12,9755
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13,36 14,95 2,2552
1199
12,16 13,64 2,2611 2432
12,96 14,63 2,2696 3665
13,36 14,95 2,2552
170
1200
12,155 13,64 2,2611 2433
12,961 14,63 2,2694 3666
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1201
12,15 13,65 2,2606 2434
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1202
12,15 13,66 2,2604 2435
12,98 14,65 2,2695 3668
13,3625
14,96 2,2571
1203
12,15 13,64 2,2599 2436
12,97 14,64 2,2696 3669
13,372 14,98 2,2566
1204
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12,9783
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13,39 15 2,2565
1205
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12,97 14,65 2,2695 3671
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1206
12,14 13,64 2,2604 2439
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13,391 15 2,2564
1207
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13 14,67 2,2693 3673
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1208
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1209
12,08 13,57 2,2635 2442
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1210
12,08 13,57 2,264 2443
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1211
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1212
12,09 13,57 2,264 2445
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1213
12,09 13,58 2,2632 2446
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1214
12,09 13,57 2,2625 2447
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1215
12,07 13,57 2,2625 2448
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1216
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1217
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1218
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1219
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1220
12,11 13,61 2,2626 2453
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1221
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13,42 15,02 2,2563
1222
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13,01 14,68 2,2685 3688
13,42 15,03 2,2557
1223
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1224
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15,03 2,2547
1225
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171
1228
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1229
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1230
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1231
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1232
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1233
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3700
13,41 15,03 2,2535
3701
13,42 15,03 2,2545
