MODELOS DE FENDILHAÇÃO PARA O BETÃO · adicional era acompanhada pela queda brusca de tensões,...

MODELOS DE FENDILHAÇÃO PARA O

BETÃO

Joaquim António Oliveira de Barros

Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho

OBJECTIVO

No presente trabalho faz-se uma breve descrição dos principais modelos de simulação

do comportamento do betão simples (não armado) fendilhado, propostos até à data.

1 - INTRODUÇÃO

As estruturas constituídas por materiais de matriz cimentícia, reforçadas ou não com

armaduras apresentam, geralmente, comportamento não linear. O grau de não linearidade

depende, basicamente, do comportamento e interacção dos elementos constituintes do

material, do estado de tensão-deformação aplicado ao material pelas solicitações actuantes e

da susceptibilidade dos materiais fendilharem.

Quando encarado ao nível granular, o betão é constituído por elementos com

diferentes propriedades. Devido a esta heterogeneidade desenvolvem-se microfendas [Mie84],

preponderantemente nas interfaces entre os inertes e a pasta de cimento, originando-se uma

microestrutura anisotrópica com micro zonas de dano mais intenso que acabam por degenerar

em bandas de fendilhação. A fendilhação é, consequentemente, uma das principais fontes da

não linearidade apresentada pelas estruturas de betão. Uma adequada simulação numérica do

comportamento deste tipo de estruturas passa por uma ajustada modelação dos fenómenos

associados à fendilhação do betão. Por este facto, tem-se assistido, desde o fim da década de

sessenta, a um considerável esforço de desenvolvimento de modelos de fendilhação para a

simulação do comportamento de estruturas de materiais frágeis.

Na simulação do comportamento de estruturas de materiais de matriz cimentícia têm

sido utilizados modelos macro- e micromecânicos. Nos primeiros são definidas leis

constitutivas para o material pressupondo-se que qualquer domínio finito do material possa

ser caracterizado por um determinado estado de tensão e deformação médio homogéneo,

Modelos de fendilhação para o betão 1

1

sendo por isso o material considerado como um meio contínuo. A simplificação conceptual

destes modelos resulta do compromisso entre as disponibilidades correntes dos recursos de

cálculo automático e a precisão de resultados que se entende suficiente para o problema a

analisar. A heterogeneidade dos elementos constituintes dos materiais de matriz cimentícia

revela, no entanto, que os conceitos subjacentes aos modelos macromecânicos são uma

simplificação da realidade, dado que, quando observado ao nível das partículas (nível

granular) a distribuição de tensões e extensões no seio do material é heterogénea. A

complexidade do problema parece assim indicar que dever-se-ia recorrer a modelos

micromecânicos para modelar, com realismo, o comportamento deste tipo de materiais. Nas

secções seguintes descrevem-se, sumariamente, alguns dos mais relevantes modelos

macromecânicos, micromecânicos e mistos (macro- micromecânicos), propostos para a

simulação do comportamento do betão.

2 - MODELOS MACROMECÂNICOS

Nos modelos macromecânicos os fenómenos associados ao comportamento do

material são encarados a uma escala macroscópica. Assim, as estruturas de betão não

fendilhado (sem fendas macroscópicas), quando analisadas sob o ponto de vista

macroscópico, podem ser modeladas como um meio contínuo e isotrópico, sendo aplicáveis

leis constitutivas formuladas em termos de tensões médias e extensões médias.

Os principais modelos macromecânicos de fendilhação poder-se-ão agrupar em duas

classes: modelos de fendas discretas e modelos de fendas distribuídas. Nos últimos anos têm

ainda sido propostos modelos mistos, isto é, modelos em que os conceitos associados aos

anteriores modelos podem ser aplicados em simultâneo, mas a zonas diferentes da estrutura,

de acordo com o estado de fendilhação alcançado.

Nos modelos de fendas discretas, os elementos não fendilhados (elementos tipo j na

Figura 1a1 são modelados pela lei constitutiva representada na Figura 1a2, enquanto a lei

traçada na Figura 1a3 modela os mecanismos que se estabelecem entre as faces da fenda

durante a abertura desta. Estes mecanismos são, usualmente, simulados por intermédio da

introdução de elementos de mola (elementos k na Figura 1a1) ou elementos de interface

[Rot88,Sca89].

Nos modelos de fendas distribuídas, quando num ponto de amostragem de um

elemento finito o material fica fendilhado (elemento m na Figura 1b1), as fendas consideram-

se distribuídas no volume do material associado ao ponto de amostragem em causa. A lei


2

constitutiva apresentada na Figura 1b2 modela o comportamento macroscópico do betão

fendilhado em termos de extensões totais. Caso se considere a deformação do betão

fendilhado como a soma da deformação do betão entre fendas com a deformação nas fendas

[Bor86a,Rot88], a lei constitutiva do betão fendilhado passa a ser descrita pela associação da

lei constitutiva do betão entre fendas (Figura 1b3.1) com a lei constitutiva que descreve o

comportamento da fenda (Figura 1b3.2).

kj

w

jm

l

fct

uw

fct

w

G f

+

(a) (b)

(a1

)1

(b )

) )(b

)

)(b

2

3

2

3.1 3.2(b )

(a

(a

ctf

u = w /lu

fctfct

b u f

jj


3

Figura 1 - Principais classes de modelos macromecânicos de fendilhação: modelo de fendas discretas (Gf -

energia de fractura [Hil76]; wu - abertura crítica da fenda) (a); modelo de fendas distribuídas (b).

Modos de fractura

Na Figura 2 representa-se os principais modos de fractura que podem ocorrer em

estruturas de materiais frágeis. Em estruturas submetidas a estado plano de tensão, somente se

desenvolvem os modos I e II de fractura.

MODO I(tracção)

MODO II(corte)

MODO III(anti-plano)

Figura 2 - Modos I, II e III de fractura.

O modo I de fractura (abertura relativa das faces da fenda no plano da estrutura) e o

modo II de fractura (deslizamento relativo das faces da fenda no plano da estrutura) podem ser

modelados desde que se conheça os respectivos parâmetros de fractura. Estes são a energia

dissipada em cada um destes modos de fractura, a resistência à tracção e corte do material e as

equações das curvas que descrevem o decréscimo das tensões com o aumento das

deformações. A lei representada na Figura 1a3, denominada no presente trabalho por lei de

amolecimento (“softening” na nomenclatura inglesa), simula o modo I de fractura. A energia

de fractura é a energia despendida na formação de uma fenda de área unitária, podendo ser

quantificada a partir da área sob a curva -w representada da Figura 1a3 [Hil76]. Os

parâmetros de fractura são considerados propriedades intrínsecas do material. Nos materiais

frágeis não é, contudo, fácil nem claro classificarem-se determinadas grandezas como sendo

propriedades intrínsecas do material, pois a investigação experimental

[Kot83,Mie84,Mob89,Wan89,Wan&Li90,Hor91,Noo92] tem evidenciado que propriedades

tais como a energia de fractura, a resistência e a forma das curvas de amolecimento são

influenciadas por factores estranhos ao material, dos quais se destacam o tipo de equipamento


4

de ensaio, as propriedades das fronteiras entre o equipamento e os provetes, o tamanho dos

provetes e a orientação da betonagem do provete face à direcção de actuação das solicitações

aplicadas pelo equipamento. Porém, a análise comparativa entre resultados experimentais e

resultados obtidos com modelos numéricos demonstra que os modelos de fendilhação que

utilizam a resistência, a energia de fractura, a forma da curva de amolecimento e a largura da

banda de fendilhação como parâmetros de fractura intrínsecos ao material permitem obter

resultados bastante satisfatórios em termos de previsão do comportamento de estruturas

constituídas por materiais frágeis.

Na maior parte dos casos, as fendas originam-se em modo I de fractura, mas

progridem sujeitas a modos I e II de fractura (modo de fractura misto). É exemplo desta

situação a viga submetida a quatro pontos de carga, representada na Figura 3, em que se

admitiu o desenvolvimento de uma fenda no plano de simetria da viga (fenda F1) e uma fenda

no vão de corte (fenda F2). Ambas as fendas originam-se devido à tensão principal máxima

de tracção ter ultrapassado a resistência do material à tracção. Contudo, enquanto a fenda F1

progride em modo I de fractura, dado só se desenvolverem tensões normais ao plano da fenda,

a fenda F2 progride em modo de fractura misto, dado actuarem tensões normais e de corte na

boca da fenda (zona 2 e 3 da fenda F2). Em consequência deste facto, as direcções das tensões

principais variam ao longo do carregamento, obrigando a fenda F2 a tomar uma trajectória

curvilínea.

Figura 3 - Viga submetida a quatro pontos de carga [Noo92].

2.1 - Modelos de fendas discretas

A propagação de uma fenda num material frágil caracteriza-se pela separação e/ou

deslizamento das faces da fenda, pelo que introduz uma descontinuidade geométrica no meio

considerado contínuo à escala macroscópica. Os conceitos subjacentes aos modelos de fendas


5

discretas pretendem modelar a referida descontinuidade geométrica e os mecanismos de

interacção que se estabelecem entre as faces da fenda.

Nos primeiros modelos de fendas discretas [Ngo67,Nil68] as fendas só podiam

progredir ao longo das fronteiras dos elementos finitos. Assim, quando num nó a resistência à

tracção era alcançada, os lados dos elementos finitos anexos a esse nó eram separados por

intermédio da introdução de um nó suplementar (ver Figura 1a1). A introdução do nó

adicional era acompanhada pela queda brusca de tensões, do valor da resistência do material à

tracção (fct) para o valor nulo. Contudo, a investigação experimental

[Eva68,Wal80,Hor91,Noo92] tem evidenciado que a fenda ou zona fissurada tem ainda

capacidade para reter tensões de tracção durante o processo de fendilhação do material. A

rugosidade e fricção das faces da fenda, os mecanismos de arranque, aderência e atrito dos

inertes e/ou fibras (no betão reforçado com fibras [Barr94a]) são alguns dos mecanismos que

possibilitam que o betão simples (não armado) fendilhado consiga desenvolver alguma

capacidade resistente, pós-fendilhação.

Tendo em consideração estes aspectos, Hillerborg [Hil76] e seus colaboradores

propuseram o modelo de fenda fictícia (“fictitious crack model”) que tem estado na base da

maior parte dos subsequentes modelos de fendilhação [Rot88,Sca89,Dah90,Alf92]. O modelo

de fenda fictícia é esquematicamente descrito na Figura 4.

ctf

l l

FF

A B

w

A

A,B

l l

B

l

l

f ctf ct

wu w

Zona de fractura(a)

(b)

(c) (d)

A

A,B

B

Figura 4 - Descrição esquemática do modelo de fenda fictícia [Hil80].


6

Neste modelo considera-se que um elemento de material frágil traccionado pode ser

caracterizado por intermédio da modelação das duas seguintes zonas de comportamento (ver

Figura 4): zona de fractura onde se desenvolve a fendilhação (zona B) e zona de material não

fendilhado a nível macroscópico (zona A). Na zona de fractura, a um acréscimo do estado de

deformação corresponde um decréscimo do estado de tensão, comportamento este modelado

pelo ramo B da Figura 4b. Devido ao decréscimo do estado de tensão na zona de fractura, o

material envolvente a esta zona entra em descarga, sendo o seu comportamento simulado pelo

ramo A representado na Figura 4b. Até ao início da fendilhação o comportamento do material

é descrito, em termos de tensões-extensões (- ), pelo ramo A ascendente da Figura 4c. Após

a fendilhação, a zona de fractura é modelada pela lei constitutiva tensão-abertura de fenda

(w) representada na Figura 4d (curva de amolecimento) e o material fora da zona de

fractura é modelado pelo ramo A descendente assinalado na Figura 4c.

Após a separação do nó em dois nós, estes são ligados por elementos tipo mola ou

elementos de interface, cujas leis constitutivas, formuladas com base em resultados

experimentais, pretendem simular o comportamento das fendas [Rots88,Sca89,Qur93].

Suportado em investigação experimental realizada na Universidade de Tokyo, Qureshi

[Qur93] desenvolveu, recentemente, leis constitutivas para implementação em elementos de

interface de simulação dos principais fenómenos de interacção entre o betão fendilhado e as

armaduras.

Nos modelos de fendas discretas referidos até ao momento, a concepção da fenda

como uma descontinuidade física num meio contínuo é de facto modelada. Contudo, estes

modelos têm alguns inconvenientes, dado que a introdução de nós suplementares na malha,

para materializar a progressão da fenda, conduz ao crescimento da semibanda e à necessidade

de se recalcular a matriz de rigidez global da estrutura. Utilizando-se métodos de resolução de

sistemas de equações cujo tempo de cálculo aumenta com a semibanda da matriz de rigidez da

estrutura, o tempo de resolução de um problema não linear aumentará consideravelmente.

Este inconveniente pode ser ultrapassado utilizando-se o método dos gradientes conjugados

introduzido por Álvaro Azevedo e Barros [Aze90] no código computacional FEMIX [Aze92],

dado que a forma como aquele método foi implementado, torna o tempo de resolução do

sistema de equações independente da largura da semibanda da matriz de rigidez da estrutura.

Um outro inconveniente destes modelos de fendilhação é a obrigatoriedade de se saber, à

priori, o caminho que a fenda tomará ao longo do processo de fendilhação, por forma a dispor

lados de elementos finitos no trajecto da(s) fenda(s) prevista(s). Trata-se de um requisito

difícil de atender, principalmente em estruturas de geometria e acções complexas.

Para ultrapassar estas dificuldades, Ingrafea e Saouma [Ing85] desenvolveram

algoritmos que adaptam interactivamente a topologia da malha de elementos finitos à


7

progressão das fendas, sendo ao mesmo tempo minimizada a semibanda através da

renumeração automática da malha. É contudo de salientar que a complexidade destes

algoritmos e o tempo de CPU que requerem, limitam o seu uso a aplicações em que se

desenvolvem pequeno número de fendas predominantes, sendo portanto modelos

vocacionados para o estudo da iniciação e progressão de fendas principais. Além disto, a

adaptação da malha à progressão das fendas pode conduzir a elementos bastantes distorcidos,

com o consequente aumento de erro na solução obtida.

Com o objectivo retirar a imposição de alinhar as fendas pelos lados dos elementos,

Blaauwendraad [Bla81] e Scarpas [Sca89] desenvolveram modelos baseados na formulação

de fendas discretas em que é permitida a progressão de fendas no interior de elementos finitos.

No primeiro trabalho são introduzidos graus de liberdade suplementares por forma a modelar

o abrupto gradiente de tensões que se gera tanto na formação de uma fenda dentro de um

elemento, como na intersecção da fenda com as armaduras. Scarpas recorre aos conceitos da

mecânica da fractura linear [Bro86] e não linear [Hil76] para detectar o caminho de

progressão das fendas. Para a determinação do estado de tensão na vizinhança da fenda,

Scarpas utiliza elementos singulares de 6 e 8 nós. As fendas podem progredir ao longo dos

lados do elemento finito ou atravessá-lo entre os seus nós de canto (fenda inclinada). Contudo,

este método requer, ainda, uma renumeração da malha, pelo menos local. A armadura que

atravessa uma fenda é modelada por elementos de mola cuja lei constitutiva pretende simular

o efeito de cavilha das armaduras (“dowel effect”) na direcção tangencial às faces da fenda e o

mecanismo de arranque das armaduras (“pull-out”) na direcção da fenda (normal ao plano das

faces da fenda).

Os conceitos da mecânica da fractura não linear e as sugestões propostas por

Hillerborg [Hil85,Hil89] são o suporte do modelo de fendilhação discreta desenvolvido por

Alfaiate [Alf92] em 1992. Neste modelo as fendas continuam a poder progredir apenas ao

longo dos lados dos elementos. Contudo, a energia de fractura e as leis constitutivas dos

elementos de interface (somente a rigidez correspondente ao modo I de fractura é simulada)

dispostos nas fronteiras dos elementos são corrigidas por forma a que seja simulado o

comportamento do caminho real das fendas. A lei constitutiva -w da fenda que progride ao

longo de um lado de um elemento que faz um determinado ângulo com a fenda real é

adaptada por forma a que a energia de fractura consumida por esta fenda “fictícia” seja igual à

energia consumida pela fenda real. Tal como no trabalho de Rots [Rot88], os elementos de

interface são colocados na malha desde o início da análise. Tal procedimento obriga a que seja

atribuída uma adequada rigidez aos elementos de interface, por forma a simular o

comportamento não fendilhado do betão. Rots [Rot88] verificou que a atribuição de valores

elevados ao módulo que simula a rigidez da fenda correspondente ao modo I de fractura

(aproximadamente 5 vezes o valor do módulo de elasticidade do betão) e o uso da integração


8

de Gauss nos elementos de interface conduzia a instabilidades numéricas. Por tal facto, este

autor recomenda a utilização da integração de Lobatto ou de Newton-Codes nos elementos de

interface [Rot90]. Durante a fase em que o betão não está fendilhado, Alfaiate atribui uma

rigidez “infinita” aos elementos de interface por intermédio da aplicação de funções de

penalização. Neste último trabalho são também propostos novos critérios de abertura e

evolução de fendas para os modelos de fendas discretas.

2.2 - Modelos de fendas distribuídas

Os modelos macromecânicos mais utilizados são aqueles que encaram o betão

fendilhado como um conjunto de fendas paralelas entre si e distribuídas numa determinada

porção do material. Estes modelos não obrigam à alteração da topologia da malha de

elementos finitos nem colocam, à priori, condicionalismos à orientação das fendas. Por isto, a

metodologia associada à fendilhação distribuída tem sido a mais utilizada pelos investigadores

que estudam o comportamento de estruturas constituídas por materiais frágeis [Dar91].

2.2.1 - Modelos ortotrópicos

Quando numa estrutura discretizada por elementos finitos o critério de abertura de

fenda é violado num ponto de amostragem, o modelo de fendas distribuídas assume que na

área associada a esse ponto desenvolvem-se fendas paralelas entre si, passando o material a

modelar-se como um meio contínuo ortotrópico. A resistência à tracção do material (fct) ou a

extensão correspondente à resistência à tracção ( cr) (ou mesmo uma determinada extensão

de tracção limite [Cop80,Oka91]) são as variáveis normalmente empregues nos critérios

utilizados para definir o início da fendilhação. Assim, quando a tensão principal máxima de

tracção ( I) ultrapassa fct ou a extensão principal máxima de tracção ( I) ultrapassa

determinada extensão de tracção limite, cr ou outra, origina-se um conjunto de fendas

normais a I ou a I , conforme o critério adoptado, sendo as fendas distribuídas na porção de

material representativo do ponto de amostragem. Os eixos de ortotropia do material tomam as

direcções normal e tangencial à fenda (encarada como fenda típica do conjunto de fendas

paralelas e disseminadas no material).


9

Nos primeiros modelos de fendas distribuídas [Ras68,Val72,ASC82] a rigidez do betão

fendilhado na direcção da fenda (ortogonal às faces da fenda) e a rigidez de corte eram

desprezadas, sendo a lei constitutiva definida pela seguinte lei ortotrópica:

ntd

ttd

nnd

ntd

ttd

nnd

cE

000

00

000

(1)

em que n e t são as direcções normal e tangencial à fenda (ver Figura 5) e Ec é o módulo de

elasticidade longitudinal do material intacto, transversal à fenda. Neste modelos, após o início

da fendilhação, o efeito do coeficiente de Poisson era desprezado.

t

nt

nn

nn

nt

n

tt tt

Figura 5 - Tensões e extensões no sistema local da fenda.

Contudo, além de previsões incorrectas na resposta das estruturas e na topologia de

fendilhação, este modelo evidenciou, ainda, problemas de instabilidade numérica devido à

queda brusca da rigidez do betão após o início da fendilhação (modo I de fractura modelado

pelo ramo A da Figura 6) [Sch72,Sui73,Lin75].

fct

AB

nn

nn

cr

Ec

C

Ec

Ec

cr

'

Figura 6 - Leis constitutivas correspondentes ao modo I de fractura: ramo A - resistência nula após o início da

fendilhação; ramo B - o material fendilhado desenvolve alguma capacidade de retenção de tensões de

tracção.


10

Trabalhos de investigação experimental [Gop85,Cor86,Hor91,Mie91a,Barr92]

respeitantes ao modo I de fractura têm revelado que o betão fendilhado tem uma certa

capacidade de retenção de tensões de tracção na direcção normal às fendas, que diminui

durante o processo de fendilhação. No betão simples designa-se por amolecimento ("tension-

softening" na nomenclatura inglesa) à capacidade de transferência de tensões do betão

fendilhado, enquanto no betão armado atribuí-se a designação de endurecimento [Barr94b]

("tension-stiffening" na nomenclatura inglesa), que é superior à do betão simples, devido aos

mecanismos de transferência de tensões que se estabelecem entre as armaduras e o betão entre

fendas).

A investigação experimental centrada no modo II de fractura revela que o betão

simples [Div87,Noo92] e o betão armado [Wal80] desenvolvem mecanismos que permitem a

este material fendilhado apresentar uma certa capacidade de resistência ao corte, que diminui

durante o processo de fendilhação. No betão simples, o embricamento dos inertes das faces da

fenda, a irregularidade geométrica das superfícies das faces desta e os nichos de material

intacto que as ligam são os principais responsáveis pela capacidade de transmissão de tensões

de corte entre as faces da fenda [Wal80,Mie91a,Mie91b]. No betão armado, além destes

mecanismos, também o efeito de cavilha das armaduras (“dowel effect”) e a resistência que

estas oferecem à abertura das fendas contribui para a rigidez de corte deste material compósito

fendilhado [Wal80]. Tendo em conta estes mecanismos, o betão fendilhado passou a ser

modelado pela seguinte lei constitutiva:

ntd

ttd

nnd

ntd

ttd

nnd

c

c

c

G

E

E

00

00

00

(2)

em que é um parâmetro negativo que traduz a degradação da rigidez na direcção normal ao

plano da fenda (ramo B da Figura 6). No cálculo da matriz de rigidez, os modelos baseados

em formulações totais tomavam o valor nulo para rigidez na direcção da fenda (ou um valor

residual positivo por questões de estabilidade numérica) [Cop80,Fig83,Dam84,Pov91],

enquanto no cálculo das forças nodais equivalentes o estado de tensão correspondente ao

estado de deformação instalado era obtido respeitando a lei de amolecimento adoptada. Nos

modelos baseados na rigidez secante e em formulações totais [Lei86], o parâmetro é

substituído pelo parâmetro ' representado na Figura 6 (ramo C), assumindo valores

compreendidos entre 1 e 0, de forma a traduzir a diminuição da rigidez com o evoluir da

fendilhação. Nos primeiros modelos constitutivos a lei de amolecimento era definida sem

consistência teórica ou suporte experimental suficiente, pelo que a forma desta lei e o

parâmetro (ver Figura 6) atendia às seguintes principais considerações:


11

- no betão simples a inclinação da curva é mais acentuada que no betão armado;

- a inclinação da curva não deve ser exagerada para não provocar problemas de

instabilidade numérica;

- no betão armado o parâmetro é relacionado com a cedência das armaduras e com

a orientação relativa entre as fendas e a armadura [Fig83,Pov91];

Na expressão (2), é o factor de retenção de rigidez de corte do betão fendilhado,

variando entre 1 e 0, e Gc é o módulo de elasticidade transversal do material intacto.

Na maior parte dos modelos que se baseiam numa lei constitutiva do tipo da prescrita

em (2) atribuí-se um valor constante ao factor de retenção da rigidez de corte

[Sui73,Lin75,Lei86]. Darwin [Dar91] refere que entre 0.5 e 0.05 tem proporcionado que os

modelos captem com suficiente rigor o comportamento de estruturas de betão. São contudo

inúmeros os trabalhos [Rot85,Bor86a,Rot87,Rot88] que evidenciam uma incorrecta previsão

do comportamento quando se utiliza constantes. Devido à excessiva rigidez de corte que se

assume com tal procedimento, principalmente em fases adiantadas do processo de

fendilhação, assiste-se geralmente a uma sobrestimação da carga de colapso e a soluções mais

rígidas que as obtidas experimentalmente. Esta ocorrência evidencia-se, principalmente, nas

estruturas em que o modo II de fractura é relevante [Rot87]. Por este motivo, o decréscimo de

com o aumento da extensão normal à fenda tem sido o procedimento mais utilizado para

atender à degradação da rigidez de corte com o evoluir do processo de fendilhação

[Dam84,Kol84,Rot84,Rot88,Barz90,Pov91].

Nos primeiros modelos ortotrópicos, o critério energético proposto por Hillerborg

[Hil76] não era utilizado, pois o módulo de rigidez correspondente ao modo I de fractura

Ec não era explicitamente relacionado com a energia de fractura dissipada na zona de

fendilhação. Bazant e Cedolin [Baz79] verificaram que os modelos constitutivos que se

apoiavam em critérios de resistência e não em critérios energéticos, conduziam a resultados

que dependiam da topologia da malha de elementos finitos adoptada na discretização da

estrutura. Esta constatação veio evidenciar que os modelos de fendilhação deveriam simular a

energia consumida durante o processo de fractura e deveriam incluir um procedimento que

relacione a energia de fractura dispendida na banda de fendilhação com a topologia da malha

de elementos finitos.


12

2.2.2 - Modelos de banda fendilhada

Com o objectivo de tornar os resultados independentes da malha adoptada na

discretização da estrutura, Bazant e Oh [Baz83a] introduziram nos modelos ortotrópicos o

conceito de largura de banda de fendilhação (“crack band width”) dando origem ao modelo de

banda fendilhada (“crack band model - CBM”). No CBM, a formulação associada ao

fenómeno de amolecimento é caracterizada por três parâmetros: energia correspondente ao

modo I de fractura, resistência à tracção uniaxial e largura da banda de fendilhação. Sob o

ponto de vista da Ciência dos Materiais, este último parâmetro traduz a dimensão da zona

onde se processa a fendilhação e foi relacionado com a máxima dimensão dos inertes (é

sugerida a dimensão de aproximadamente três vezes a dimensão do maior inerte). Sob o ponto

de vista da modelação numérica por intermédio do MEF, este parâmetro deve estar

relacionado com a dimensão dos elementos finitos e com a inclinação das fendas

relativamente aos lados da malha [Dah90,Rot85,Oli90a]. A objectividade dos resultados foi

obtida fazendo-se intervir os anteriores três parâmetros de fractura no módulo que traduz a

rigidez correspondente ao modo I de fractura. No CBM somente o modo I de fractura foi

tratado e os parâmetros de fractura são considerados como propriedades do material. O

modelo de banda fendilhada é, conceptualmente, semelhante ao modelo de fenda fictícia de

Hillerborg. Contudo, enquanto neste último modelo a deformação é formalmente

independente da largura da zona de fractura, no CBM a deformação é distribuída na largura da

zona de fissuração, na qual é assumido um comportamento em estado plano de deformação. O

modelo de banda fendilhada foi formulado em termos de deformações totais e foi pioneiro da

maior parte dos modelos de fendilhação distribuída que têm sido propostos nos últimos anos

[Bor85,Lei86,Rot88,Yam90,Gaj90,Gaj91]. Em todos estes modelos a utilização de um

parâmetro afecto à largura da banda de fendilhação ou de um comprimento característico tem

como objectivo localizar o amolecimento na zona de fractura, pelo que segundo o ponto de

vista da simulação numérica segundo o MEF, este comprimento deve estar associado às

características da malha de elementos finitos adoptada na discretização da estrutura.

O modo II de fractura foi introduzido por Rots [Rot83] no modelo de banda fendilhada

resultando a seguinte lei constitutiva:

nt

tt

nn

c

cc

c

nt

tt

nn

d

d

d

G

EE

E

d

d

d

00

011

011

E

22

22

c .

(3)


13

O efeito do coeficiente de Poisson incluído nesta lei constitutiva assume, contudo, um valor

constante, não modelando, assim, o comportamento descrito por Kupfer [Kup69]. Segundo

este autor, quando o betão está comprimido, o coeficiente de Poisson é aproximadamente

constante até um valor da ordem dos 80% da resistência à compressão, aumentando para

estados de tensão superiores a este limite.

2.2.3 - Modelos de dano

Modelos de dano contínuo

Segundo a filosofia da mecânica do dano contínuo introduzida por Kachanov [Kac58],

os parâmetros e incluídos nas expressões (2) e (3) podem ser encarados como variáveis de

dano que simulam a degradação da rigidez do betão com o evoluir da fendilhação. Mazars

[Maz82] foi um dos primeiros autores a aplicar a mecânica do dano contínuo aos betões. De

entre os modelos de dano contínuo, o modelo de dano isotrópico tem sido aquele que mais

tem sido usado na modelação do comportamento de estruturas de betão

[Sim87,Oll88,Oli90b,Far93]. Dos principais méritos dos modelos de dano deve-se salientar a

simplicidade e robustez dos algoritmos numéricos. Tal facto torna estes modelos bastante

atractivos para a sua utilização em análise de estruturas de grande porte.

Na Figura 7 representa-se uma forma de interpretação física do conceito de dano.

0 < d < 1t

d 1

ef

=(1-d) ef

Et(1-d ) 0

E 0

d =0

tensões reais

ef

c,

=(1-d)AA ef

A

0

oo

c,

(a) (b)

Figura 7 - Interpretação física de área efectiva, Aef, tensão efectiva, ef, e dano, d; (a) relação uniaxial tensão-

extensão para o modelo de dano (b).


14

A degradação das propriedades mecânicas do material pode ser traduzida por um decréscimo

da porção de área da secção por onde são transmitidas as tensões, isto é, a secção efectiva

diminui com a evolução do dano. Os modelos de dano recorrem, por isso, ao conceito de

secção ou tensão efectiva. Segundo a Figura 7, a tensão efectiva é a tensão que deve existir no

material não danificado (representado pela secção efectiva, Aef) submetido ao mesmo estado

de deformação que produz o estado de tensão no material danificado.

O modelo de dano contínuo inclui basicamente as seguintes três directrizes:

(i) caracterização do dano por intermédio de uma variável ou conjunto de

variáveis.

(ii) estabelecimento da tensão efectiva ou da lei constitutiva em função das

referidas variáveis de dano.

(iii) definição das leis que traduzem a evolução do dano.

No modelo de dano isotrópico apresentado por Oliver [Oli90b], o comportamento não

linear do material é controlado por intermédio de uma única variável escalar. Esta variável

traduz o decréscimo de rigidez do material durante o processo evolutivo de deformação. Faria

[Far93] desenvolveu um modelo de dano vocacionado para a análise dinâmica de estruturas

de betão, introduzindo duas variáveis de dano, uma que traduz a degradação do material em

compressão e outra a degradação em tracção, dado que a evolução do dano apresentado pelo

betão não é a mesma em compressão e tracção. Para uma variável de dano, a lei constitutiva

traduz-se pela equação,

:1 0Dd (4)

em que d é a variável de dano, D0 é a matriz de elasticidade linear do material e e são o

tensor das tensões e das extensões, respectivamente, significando o símbolo : produto

tensorial, nesta notação. No trabalho de Simo [Sim87] e Faria [Far93] a lei constitutiva

formula-se em tensões efectivas.

A evolução do dano é obtida por via da seguinte equação:

tt rGd (5)

em que r t é o dano limite no instante t. A função escalar G, cujos valores variam de 0 a 1,

traduz-se para determinado instante t por:

tt

t

t rrr

rA

r

rrG

*

*

*

01exp1 . (6)


15

Para avaliar o estado de dano alcançado e para definir situações de carga, descarga e recarga é

introduzido uma variável denominada de extensão equivalente . Esta variável traduz o

critério de dano, o qual é formulado no espaço das deformações ou no espaço das tensões não

danificadas. Existem principalmente três modelos de definição de critério de dano: modelo

com degradação em tracção, somente; modelo com igual degradação em tracção e

compressão; modelo com desigual degradação em tracção e compressão.

A metodologia subjacente ao critério de dano é, conceptualmente, semelhante ao

critério de cedência do material na plasticidade. Assim, o dano ocorre quando a extensão

equivalente ultrapassa o valor de dano limite rt, o qual é obtido por intermédio da seguinte

expressão:

tsrr st 0max,max 0 (7)

em que max s é a máxima extensão equivalente alcançada até ao instante em análise. O dano

limite no instante t, rt, é conceptualmente semelhante ao parâmetro de endurecimento

utilizado na plasticidade. Na expressão (7) r0 é o dano inicial que é obtido em função das

propriedades do material. Na equação (6) r* é o dano limite inicial que é uma propriedade do

material (r f Ect c* / ) e o parâmetro A é obtido a partir da seguinte expressão:

02

11

2

0,

ctb

cf

fl

EGA (8)

em que Gf é a energia de fractura do material e lb é um comprimento característico do

elemento finito, cujo objectivo é tornar os resultados independentes da malha de elementos

finitos adoptada na discretização da estrutura.

O algoritmo numérico descreve-se nos seguintes passos (conhece-se a extensão no

instante t, t, a variável de dano dt-1 e a extensão equivalente rt-1 no instante t-1):

(i) calcula-se A a partir da equação (8);

(ii) calcula-se as tensões não danificadas ( ot

otD : );

(iii) calcula-se a extensão equivalente t de acordo com o critério de dano adoptado;

(iv) actualiza-se o valor do dano limite rt por intermédio da expressão (7). Se t = 0, r0 é

o r inicial (r*) obtido a partir das propriedades do material (fct e Ec,0);

(v) actualiza-se a variável de dano por intermédio da equação (5);

(vi) actualiza-se as tensões por intermédio da equação (4).


16

A simplicidade do algoritmo não é consideravelmente afectada quando se introduz as

deformações plásticas na formulação dos modelos de dano contínuo, por forma a ser

modelado o comportamento irreversível do betão [Far93]. O mesmo acontece quando se faz

depender, da velocidade de carga, as propriedades mecânicas do material [Far93].

A simplicidade da formulação e dos algoritmos dos modelos de dano isotrópico têm,

contudo, algumas contrapartidas que devem ser tidas em conta quando se pretende modelar o

comportamento dum material altamente anisotrópico como o do betão fendilhado,

principalmente o do betão reforçado com armaduras não ortogonais. Este tipo de modelos

dificilmente simulam com rigor suficiente o comportamento de estruturas em que

predominam zonas de material simultaneamente fendilhado e submetido a elevados estados de

compressão na direcção transversal, dado que nestes casos a isotropia do dano é inadequada

para modelar este complexo comportamento. Significa isto que a resposta de estruturas

semelhantes aos painéis testados por Vecchio e Collins [Vec82], cujo comportamento é

característico de uma grande variedade de componentes estruturais reais, dificilmente será

devidamente captada com este tipo de modelos. Além disto, considerar-se que a degradação

da rigidez associada às deformações distorcionais é igual à degradação da rigidez associada às

deformações extensionais, conceito este implícito nos modelos de dano isotrópico, não parece

ser um princípio apoiado pelos resultados da investigação experimental. Por fim refira-se que

dentro do contexto do método dos elementos finitos MEF, a matriz de rigidez é nos modelos

de dano, calculada pressupondo-se comportamento linear, o que pode conduzir à necessidade

de um grande número de iterações em problemas com acentuada não linearidade material.

Na tentativa de contornar estas deficiências, modelos de dano anisotrópico têm sido

propostos [Kra81,Sua84]. Contudo, a complexidade das suas formulações é bastante superior

à apresentada pelos modelos de dano isotrópico, pelo que a simplicidade e rapidez dos

algoritmos numéricos ficam comprometidos, perdendo-se por este facto as vantagens que os

modelos de dano isotrópico evidenciam face a outros modelos constitutivos.

Modelos de dano compósito

Os conceitos dos modelos de dano foram também utilizados por Willam no

desenvolvimento dum modelo de dano compósito [Wil84]. Neste modelo um elemento de

betão fendilhado é tratado como um elemento homogéneo equivalente em que a deformação

normal à banda de fractura é igual à deformação do elemento compósito, isto é, do elemento

constituído por uma fase de betão intacto mais uma fase de propagação de fendas. Da

equivalência entre a energia dissipada no elemento compósito e no elemento homogéneo

equivalente, obtém-se os módulos de rigidez que traduzem o amolecimento do material. Neste

trabalho tanto o amolecimento correspondente ao modo I de fractura como ao modo II de

fractura são simulados. Os módulos correspondentes a estes modos de fractura vêm em função


17

de um comprimento característico que é o cociente entre o volume da banda de fendilhação e

o volume do elemento, introduzindo assim o efeito de escala intrínseco ao fenómeno de

amolecimento.

Tal como no modelo de dano compósito, Yamaguchi et al. [Yam90] considera um

elemento de betão fendilhado como um elemento constituído por duas fases: betão intacto

mais fendas distribuídas. Impondo determinadas restrições estáticas e cinemáticas ao elemento

compósito e recorrendo a técnicas de homogeneização utilizadas na mecânica dos materiais

compósitos, obtém uma lei constitutiva anisotrópica. As componentes desta lei vêm em

função das propriedades e percentagem volumétrica de cada fase que constitui o compósito.

Se as fendas se distribuírem em todo o volume do elemento, o presente modelo degenera no

modelo de banda fendilhada de Bazant e Oh [Baz83a]. No modelo de Yamaguchi é necessário

quantificar a percentagem volumétrica de cada fase, apresentando por isso dificuldades

semelhantes às atribuídas aos modelos que incluem um parâmetro associado à largura da

banda de fendilhação.

2.2.4 - Modelos baseados na teoria da plasticidade

Se após a fendilhação o betão entre fendas estiver submetido a um estado de tensão de

compressão superior a aproximadamente 30% da sua resistência à compressão, os modelos

constitutivos devem incluir um procedimento que simule o comportamento elasto-plástico

deste material. As paredes resistentes às acções horizontais, as vigas altas e as almas das vigas

caixão são alguns dos exemplos em que o betão pode apresentar, simultaneamente,

fendilhação e elevadas compressões na direcção transversal. A teoria da plasticidade [Che82]

tem sido utilizada, não somente, na modelação do comportamento do betão à compressão,

como também em tracção.

Wiliam et al. [Wil86] introduziram os conceitos da teoria da plasticidade (associada)

no modelo de dano compósito, passando a fendilhação a ser tratada segundo a formulação

convencional utilizada na simulação do comportamento elasto-plástico do betão em

compressão. Todavia, em vez do módulo de endurecimento tem-se agora o módulo de

amolecimento que se expressa em função dos parâmetros de fractura, da geometria e

orientação da banda de fendilhação. O amolecimento correspondente ao modo I e II de

fractura são formulados identicamente, sendo por isso necessário quantificar, não somente a

energia de fractura correspondente ao modo I de fractura, G fI , como também a correspondente

ao modo II de fractura, G fII . Quando o volume da banda de fendilhação se aproxima do

volume do elemento representativo, este modelo de dano compósito degenera num modelo de


18

dano contínuo. Para as restantes situações, a inclusão do volume relativo da banda de

fendilhação no módulo de amolecimento aproxima o modelo de dano compósito dos modelos

não locais.

Nos modelos que utilizam a teoria da plasticidade para também simular a fendilhação

do betão [Oña87,Wil87,Fee93] são utilizadas funções de cedência apropriadas para simular o

comportamento do betão no quadrante das compressões, das tracções e das compressões-

tracções. A objectividade dos resultados destes modelos é garantida por intermédio da

introdução da energia dissipada durante o carregamento e de um comprimento característico

nas leis constitutivas. No modelo de Oñate et al. [Oña87] somente é tido em conta a energia

dissipada durante o processo de fendilhação em modo I de fractura, sendo o comprimento

característico, a raiz quadrada da área do ponto de amostragem. No quadrante das tracções é

utilizada a superfície de cedência de Mohr-Coulomb, enquanto a superfície de cedência de

Von Mises foi aplicada na simulação do comportamento do betão no quadrante das

compressões. Feenstra [Fee93] além do amolecimento em tracção considera também o

amolecimento em compressão, dado que parte do pressuposto de que estes dois fenómenos

têm génese idêntica: desenvolvimento de microfendilhação. O amolecimento em compressão

é modelado por intermédio dos parâmetros de fractura em compressão: energia de fractura em

compressão, resistência à compressão e comprimento característico. Este último parâmetro é

considerado igual ao utilizado no amolecimento em tracção, sendo obtido em função da área e

tipo de elemento finito utilizado na discretização da estrutura. O amolecimento em tracção é

governado por uma lei exponencial que relaciona a tensão efectiva com uma variável de dano,

quantificada por intermédio do trabalho realizado na deformação irreversível de tracção.

Similarmente, o amolecimento em compressão é simulado por uma lei parabólica que

relaciona a tensão efectiva com uma variável de dano, que é quantificada por intermédio do

trabalho dissipado na deformação irreversível de compressão. A objectividade dos resultados

face à malha de elementos finitos utilizada na discretização da estrutura, é garantida fazendo

depender a inclinação das curvas de amolecimento dos respectivos parâmetros de fractura (de

tracção ou compressão).

2.2.5 - Modelos de fendas localizadas no interior dos elementos


19

Recentemente foram propostos modelos [Kli91,Olo94] em que se utilizam funções de

forma para simular a descontinuidade no campo de deslocamentos de um elemento finito,

introduzida pelo desenvolvimento de uma fenda no interior desse elemento. Os deslocamentos

relativos da face da fenda são transferidos para os deslocamentos dos nós do elemento por

intermédio de funções de forma, que traduzem o posicionamento da fenda no interior do

elemento e apresentam uma descontinuidade na zona da fenda. O comportamento da fenda e

do betão intacto envolvente são caracterizados por leis constitutivas próprias, sendo a matriz

de rigidez do elemento fendilhado obtida por intermédio da imposição da continuidade do

campo de tensões na banda fendilhada e no betão intacto envolvente. Neste modelo foram

somente desenvolvidas funções de forma (as que traduzem a descontinuidade associada à

abertura de fenda) para elementos de três e quatro nós. Além disto, o comportamento não

linear do betão não fendilhado, a possibilidade real de se desenvolverem mais que uma fenda

por elemento e destas rodarem ao longo do carregamento são situações não tratadas naqueles

trabalhos, parecendo ser complexa a sua implementação. Por estes factos, trata-se de um

modelo que deve ser ainda bastante trabalhado para poder ser aplicado à análise de estruturas

correntes de betão.

2.2.6 - Modelos baseados no princípio da decomposição das deformações

Nos modelos baseados neste conceito, o incremento de deformação no betão

fendilhado é a soma do incremento de deformação nas fendas, ou mais propriamente na banda

fendilhada, com o incremento de deformação no betão entre fendas - material exterior à banda

de fendilhação - (ver Figura 8). Os modos I e II de fractura são simulados nas leis

constitutivas atribuídas às fendas. Cada fenda é caracterizada por uma lei constitutiva própria

definida no seu sistema local. Além da fendilhação, este conceito permite também, de forma

directa, simular outros fenómenos tais como a plasticidade, temperatura, retracção, fluência,

ou outros. Nestes casos, o incremento da deformação no betão entre fendas é decomposto nos

incrementos de deformação associados aos fenómenos actuantes no betão, sendo estes

incrementos de deformação regidos por leis constitutivas intrínsecas a esses fenómenos

[Bor85,Bor86a,Bor86b,Bor87,Bor89c].


20

- betão entre fendas

- banda de fendilhação

( )b

) f

1 =2

1

2

s nnf

f ct

fnne

f

ID

Modo I de fractura Modo II de fractura

fs nt

fnte

f

ID

I

b f = +

Figura 8 - O betão fendilhado como a associação de fendas mais betão entre fendas.

No modelo com decomposição das deformações pode-se aplicar ao betão entre fendas,

de forma transparente os procedimentos convencionais utilizados na análise elasto-plástica do

betão. Comparativamente com este modelo, os que simulam todo o comportamento do betão

no âmbito da teoria da plasticidade suportam-se em formulações mais complexas [Fee93],

dado que utilizam, usualmente, diferentes funções de cedência para simular o comportamento

à tracção e à compressão. Além deste facto, a utilização generalizada da plasticidade requer

especial cuidado na detecção do quadrante das tensões principais a que corresponde o estado

de tensão actuante no material, por forma a ser seleccionada a correcta lei uniaxial equivalente

que rege o comportamento do material. Este fenómeno é principalmente delicado quando o

material está traccionado numa direcção e comprimido na direcção transversal, isto é, quando

se encontra no quadrante das tracções-compressões [Abe91].

2.2.6.1 - Modelos de multifendas fixas

A análise experimental desenvolvida por Vecchio e Collins [Vec82] revelou que nos

painéis armados ortotropicamente podem, numa determinada porção de material, ocorrer

fendas com diferentes direcções. Esta constatação levou Borst e Nauta [Bor85] ao

desenvolvimento de um modelo de multifendas fixas. Segundo este modelo, num determinado

ponto de amostragem, uma nova fenda pode-se originar desde que I > fct e o ângulo entre I

(tensão principal máxima de tracção) e a direcção das fendas existentes seja maior que

determinado ângulo limite, definido empiricamente. Assim, por ponto de amostragem pode-se

desenvolver mais que uma fenda não necessariamente ortogonais. Apesar do ângulo limite

introduzir alguma “subjectividade” a este tipo de modelos, diversos têm sido os modelos de


21

multifendas fixas propostos [Dah90,Gaj90,Gaj91] e que têm revelado excelente desempenho

na simulação do comportamento do betão fendilhado.

Segundo o conceito da decomposição das deformações aplicado ao betão fendilhado,

= eb f (9)

em que , eb e f são o vector dos incrementos das deformações no betão fendilhado,

no betão entre fendas e nas fendas, respectivamente, relativamente ao sistema global de eixos,

significando os índices b, e e f, betão, elástico e fenda, respectivamente. Para estruturas

submetidas a estado plano de tensão, o vector f é caracterizado pelas seguintes

componentes:

f

xxf

yyf

xyf

T

(10)

em que x, y são os eixos do referencial global. Se num ponto de amostragem arbitrário

existirem m fendas, as componentes de deformação dessas fendas, no seu respectivo sistema

local de eixos, convertem-se para o sistema global de eixos por intermédio da seguinte

relação:

f fN e (11)

em que e f é o vector dos incrementos das deformações das m fendas, no respectivo

referencial local, assim constituído,

... ...e e e ef fif

mf

T

1 , (12)

apresentando cada fenda as seguintes componentes de deformação (ver Figura 9):

e ef

nnf

ntf

T

(13)

em que ennf e nt

f são as deformações normal e tangencial à fenda, correspondentes ao

modo I e II de fractura, respectivamente. A matriz N , define a orientação das fendas

relativamente ao referencial global:

... ...N N N Ni m

1

, (14)

apresentando a matriz N de cada fenda a seguinte constituição:

22

2

2

sincoscossin2

cossinsin

cossincos

N

(15)


22

em que é o ângulo entre o eixo global dos xx e a direcção normal ao plano da fenda (ver

Figura 9). No modelo de fendas fixas N é constante, dado que a orientação das fendas

permanece invariável durante todo o processo de cálculo.

t

snn

+

fs

fnt

ntf

efnn

n

x

y

Figura 9 - Tensões e deformações duma fenda no seu referencial.

A lei constitutiva das fendas é definida no seu referencial pela seguinte relação:

s D ef f f (16)

em que s f é o vector dos incrementos de tensão das fendas existentes no ponto de

amostragem. Se existirem m fendas no ponto de amostragem,

... ...s s s sf fif

mf

T

1

, (17)

sendo cada fenda constituída pelas seguintes componentes:

s s sf

nnf

ntf

T

(18)

em que snnf e snt

f são as tensões normal e tangencial à fenda, respectivamente, (ver Figura 9)

e

... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

... ...

D

D

D

D

f

f

if

mf

10 0

0 0

0 0

(19)

inclui as leis constitutivas das m fendas, nos respectivos referenciais locais, apresentando a lei

constitutiva de cada fenda a seguinte constituição:


23

f

II

f

If

D

DD

0

0 (20)

em que DIf e DII

f são os módulos de rigidez correspondentes ao modo I e II de fractura,

respectivamente. O conceito da decomposição das deformações do betão fendilhado é

aplicado nas Figuras 10 e 11, na obtenção de expressões que relacionam os módulos DIf e DII

f

com os parâmetros convencionais de degradação de rigidez extensional () e de corte (),

incluídos nas expressões (2) e (3).

nn,u nn

ct

nn

nn,cr

f

G /lf b

DI

betão fendilhado betão banda de fendilhação

= +

= +

f

cE

cE

G /lf b

ct

nn

f ct

nn

f

nnnn,crnn,u nnb f

f

cE

nn nnb

nnf =>

1 1 1

E E Dc c If

=> D EIf

c

1

Figura 10 - Conceito da decomposição das deformações do betão fendilhado aplicado ao modo I de fractura.

nt

= G nt

=

betão fendilhado betão intacto

ntb

+

nt

nt

nt

nt

nt

cG

nt

= +

IID

nt

f

nt

cG

nt

ntnt

=G ntntc cb

fb

banda de fendilhação

= Dnt

IIf f

nt

=ntf t

/lblb

nt

t fnt

nt ntb

ntf =>

1 1 1

G G Dc c IIf

=> D GIIf

c

1

Figura 11 - Aplicação do conceito da decomposição das deformações a um elemento sob modo II de fractura.

A investigação experimental desenvolvida sobre elementos de betão fendilhado tem

revelado [Rei86,Div87,Noo92] que a abertura e deslizamento das faces da fenda dependem da


24

tensões normal e razante às referidas faces. Constata-se que o deslizamento entre as faces da

fenda é tanto mais elevado quanto maior for a abertura da fenda (menor embricamento entre

os inertes das faces da fenda) e menor for a tensão de confinamento (tensão normal de

compressão às faces da fenda). Assim, Df deveria ser uma matriz cheia não simétrica e os

seus termos de rigidez deveriam traduzir a história da fendilhação ocorrida no material. As

leis constitutivas que resultam da investigação experimental são, normalmente, não lineares e

os seus termos dependem de parâmetros que, por vezes, não dependem somente do tipo de

material mas também das condicionantes do ensaio. Assim, a “ambiguidade” de alguns destes

parâmetros torna questionável o interesse em utilizar leis constitutivas formalmente

complexas na simulação numérica do comportamento de estruturas de betão. Além disto, a

não simetria de Df conduz a matrizes de rigidez não simétricas com o consequente aumento

considerável do tempo de cálculo na resolução, por elementos finitos, de um problema não

linear material. Rots [Rot88] constatou que ao se permitir que num ponto de amostragem se

desenvolva mais que uma fenda, não necessariamente ortogonais, os fenómenos de interacção

no processo de fendilhação podem ser captados, mesmo que o comportamento de cada fenda

seja simulado por uma lei constitutiva diagonal. A interacção entre as fendas existentes num

determinado ponto de amostragem pode, ainda, ser simulada por intermédio dos parâmetros

de fractura atribuídos à nova fenda [Rot88].

O vector dos acréscimos de tensão no referencial global relaciona-se com o vector dos

acréscimos das componentes de tensão nas fendas por intermédio da seguinte relação:

s Nf T . (21)

Admitindo-se que o betão entre fendas encontra-se em regime linear elástico, a lei

constitutiva

Deb b

(22)

modela o seu comportamento, em que Deb é a matriz de elasticidade linear para estruturas

submetidas a estado plano de tensão,

2

100

01

01

1 2

cb

e

ED . (23)

A lei constitutiva que rege o comportamento do betão fendilhado é determinada por

intermédio dos seguintes procedimentos:

Substitui-se as equações (9) e (11) em (22) e faz-se intervir as equações (16) e (21)

obtendo-se,

e D N D N N Df f T

eb T

eb

1

(24)


25

e

Defb (25)

em que,

D D D N D N D N N Defb

eb

eb f T

eb T

eb

1

(26)

é a matriz elasto-fendilhada. Repare-se que as relações (21) e (24) traduzem uma restrição

estática e cinemática, respectivamente, obtendo-se os estados de tensão e de deformação nas

fendas a partir dos estados de tensão e de deformação macroscópicos. Tal procedimento é,

conceptualmente, semelhante ao proposto nos modelos dos microplanos (descritos na secção

3) [Baz85,Car93a]. Contudo, no presente modelo a orientação e número de fendas depende do

estado de tensão actuante no material e do critério de abertura de fenda, enquanto no modelo

dos microplanos a orientação e número de microplanos fica definido pela regra de integração

utilizada na resolução numérica das equações de equilíbrio.

Às expressões (25) e (26) pode-se dar a seguinte configuração:

dIDb

e (27)

em que,

d N D N D N N Df T

eb T

eb

1

, (28)

que pode ser encarado como o tensor de dano, dentro da filosofia dos modelos de dano. O

número de fendas, a sua orientação N , o estado de deformação nas fendas Df

e o estado

de deformação no betão entre fendas b

eD define o grau de anisotropia que caracteriza o

tensor de dano. Assim, e comparativamente com os modelos de dano isotrópico, o presente

modelo revela-se mais adequado para a simulação do comportamento anisotrópico do betão

fendilhado.

2.2.6.2 - Modelos de fendas rotativas

Até ao princípio dos anos 80 os modelos de fendas distribuídas apoiavam-se no

pressuposto de que a direcção das fendas permanecia invariável durante o carregamento da

estrutura. Por ponto de amostragem podia-se abrir, no máximo, duas fendas ortogonais entre

si, denominando-se por isso de modelos de fendas fixas ortogonais

[Sui73,Fig83,Dam84,Pov91]. A investigação experimental [Vec82,Bhi87] veio, contudo,

evidenciar que as fendas podiam “rodar” durante o carregamento da estrutura. Constatou-se


26

que quanto maior era o grau de ortotropia em termos de reforço das armaduras, maior era a

rotação das tensões e extensões principais. Constatou-se, ainda, que as fendas acompanhavam

de perto a direcção das tensões principais (ou extensões principais, dada a referida quase

coaxialidade).

O modelo de multifendas fixas deverá ser provavelmente o mais sofisticado dado que,

permitindo o desenvolvimento de mais do que duas fendas por ponto de amostragem não

necessariamente ortogonais, pode simular com maior realismo o comportamento das

estruturas. É, contudo, um modelo de elevada complexidade a nível de implementação

computacional, como reconhece Crisfield e Wills [Cri89] e Borst [Bor91], dada a dificuldade

em controlar, simultaneamente, a abertura, o fecho e a reabertura de fendas em determinado

ponto de amostragem.

O modelo de fendas rotativas evita as dificuldades apontadas ao modelo de

multifendas fixas dado que, por ponto de amostragem, existe um ou, no máximo, dois

conjuntos de fendas ortogonais que acompanham a orientação das tensões e extensões

principais.

Cope [Cop80] foi provavelmente um dos primeiros investigadores a utilizar modelos

de fendilhação que permitem que as fendas “rodem” durante o carregamento. No modelo

deste autor, nova fenda origina-se, em determinado ponto de amostragem de betão já

fendilhado, quando a extensão principal máxima de tracção é superior a determinada extensão

limite e o ângulo de I com as anteriores fendas é superior a um determinado ângulo limite. Os

eixos de ortotropia rodam, tomando as direcções da nova fenda e sendo a história da

fendilhação desse ponto de amostragem transferida para a nova lei constitutiva ortotrópica.

Este tipo de modelos foram criticados por Bazant [Baz83b], dado que pressupõem que os

microdefeitos da estrutura do material rodam com a rotação dos eixos de ortotropia, o que é

fisicamente difícil de admitir. Contudo, os ensaios experimentais realizados por Vecchio e

Collins [Vec82] revelaram que a orientação das fendas aproximou-se da orientação média

entre as tensões e as extensões principais de tracção, as quais apresentaram um desfasamento

entre si que não ultrapassou os 15º e que o desenvolvimento de uma nova fenda conduzia ao

fecho das existentes nessa zona. Assim, no modelo de fendas rotativas a orientação da fenda

deve ser encarada como a orientação da fenda mais activa. Além disto, tem-se verificado

[Wil87,Rot88,Cri89] que em certas estruturas, principalmente naquelas cuja rotura é

governada, fundamentalmente, pelo modo II de fractura, os modelos de fendas rotativas

simulam com maior grau de aproximação o seu comportamento. Geralmente os modelos de

fendas rotativas prevêem uma menor capacidade resistente que a prevista segundo os modelos

de fendas fixas, dado que a degradação de rigidez acentua-se pela possibilidade de as fendas

rodarem em concordância com as extensões/tensões principais.


27

Bazant [Baz83b] demonstrou que os primeiros modelos ortotrópicos de fendas

rotativas não tinham consistência matemática, dado que não era garantida a coaxialidade entre

as tensões e extensões principais, pois esta só é obtida se o factor de retenção de corte for

definido de tal forma que a referida coaxialidade seja garantida [Baz83c]. Bazant e Cedolin

[Baz83c] demonstraram que o factor de retenção da rigidez de corte, , ficava definido

impondo-se a condição de coaxialidade. Mais tarde diversos autores

[Gup84,Wil87,Rot88,Cri89,Hu90] concluíram, por outras vias, que a coaxialidade somente

era garantida se fosse caracterizado pela expressão proposta por Bazant e Cedolin [Baz83c].

Para se determinar o factor de retenção de rigidez de corte que assegura a coaxialidade

entre as tensões e as extensões principais, começe-se por admitir que em determinado estado

do carregamento a coaxialidade é preservada, isto é, a direcção das tensões principais coincide

com a direcção das extensões principais. Se no estado subsequente se desenvolver um

pequeno incremento de extensão e tensão de corte 12 e 12 , as direcções das extensões

e das tensões principais rodam dos seguintes ângulos:

tan2 12

1 2

(29)

e

tan22 12

1 2

(30)

se 12 1 2 e 2 12 1 2 em que 1 , 2 e 1 , 2 são, respectivamente, as

extensões e tensões principais correspondentes ao estado de coaxialidade anterior. Para que a

coaxialidade seja preservada terá que donde resulta,

21

21

12

12

2

cG . (31)

Utilizando o princípio da decomposição das deformações do betão fendilhado, representado

na Figura 11, obtém-se,

2121

21

2

c

cf

IIG

GD . (32)

que caracteriza o modo II de fractura do modelo de fendas rotativas, formulado com base no

conceito da decomposição das deformações [Rot88,Bor91].

2.2.6.3 - Comportamento não linear do betão entre fendas


28

O comportamento não linear do betão entre fendas pode ser simulado por intermédio

de um modelo elasto-plástico com endurecimento, formulado com base na teoria associativa

do escoamento plástico [Owe80,Che82,Zie89]. Pela aplicação do princípio da decomposição

das deformações, o incremento de extensão no betão fendilhado, com o betão entre fendas em

regime elasto-plástico, decompõe-se nas seguintes parcelas:

epb f

(33)

em que epb

eb

pb

é o vector dos incrementos das componentes de extensão elasto-

plástica ocorridas no betão entre fendas e pb

é o vector dos incrementos das componentes de

extensão plástica. O betão entre fendas é governado pela seguinte lei:

Depb

epb (34)

em que Depb

é a lei constitutiva do betão em regime elasto-plástico [Owe80],

D DD a a D

h a D aepb

eb e

b T

eb

Teb

(35)

sendo a o vector fluxo obtido a partir da derivação da função de cedência [Owe80], f , em

relação às componentes de tensão,

fa (36)

e h é um escalar dependente das características do endurecimento estabelecido para o material.

Substituindo (33) em (34) e desenvolvendo um procedimento similar ao descrito na

secção 2.2.6.1 obtém-se

Depfb

(37)

em que,

b

ep

Tb

ep

Tfb

ep

b

ep

b

epf DNNDNDNDDD ˆˆˆˆˆ1

(38)

é a lei constitutiva do betão fendilhado, com o betão entre fendas em regime elasto-plástico.

Se o betão entre fendas estiver em regime linear (em descarga pode-se admitir que o

comportamento do betão é linear) substitui-se na equação (38) Depb

por Deb, definida na

expressão (23). Se o betão estiver em regime elasto-plástico não fendilhado, a lei constitutiva

que simula o seu comportamento é a definida na equação (34). Se o betão estiver em regime

linear não fendilhado, o seu comportamento é simulado pela relação (22). Se nas leis

constitutivas do material não for simulado o amolecimento em compressão, deverá ser

definido um critério que estabeleça o limite da capacidade deformacional do betão em

compressão. Alcançado este limite, é corrente atribuir o valor nulo ao estado de tensão e à


29

rigidez do material do respectivo ponto de amostragem, pelo que se considera que esse

material perde toda a capacidade de resistência e rigidez.

A expressão (38) aplica-se tanto aos modelos de fendas fixas como aos modelos de

fendas rotativas.

2.2.7 - Modelos mistos de fendas fixas e rotativas

Recentemente Gajer [Gaj91] desenvolveu um modelo constitutivo que trabalha

simultaneamente com os conceitos dos modelos de fendas fixas e rotativas. Segundo este

modelo, num ponto de amostragem pode-se desenvolver, no máximo, duas fendas. A primeira

fenda permanece fixa e se ocorrer uma segunda fenda esta pode rodar durante o carregamento.

Os módulos de amolecimento associados a cada fenda são ajustados durante o evoluir da

fendilhação, por forma a se ter em conta a mudança de orientação relativa das fendas.

Mais recentemente foi proposto um modelo [Lin94] que também inclui os conceitos

dos modelos de fendas fixas e rotativas, simultaneamente. Neste modelo é adoptado um

diagrama bilinear de amolecimento. Enquanto o estado de tensão-extensão se encontrar no

primeiro ramo do diagrama de amolecimento a fenda permanece fixa, tendo-se atribuído ao

factor de retenção da rigidez de corte valores entre 0 e 0.2. Quando o estado de tensão-

extensão passar para o segundo ramo do diagrama de amolecimento, a fenda passa a poder

rodar em correspondência com a direcção da tensão principal máxima de tracção. A

coaxialidade não é, contudo, garantida neste modelo, dado se perder durante a fase em que a

fenda permanece fixa. A filosofia deste modelo suporta-se na análise do comportamento

experimental de provetes que apresentam rotura mista (modos I e II de fractura) e na análise

do desempenho dos modelos de fendas fixas e rotativas na simulação destes ensaios. Segundo

a opinião dos autores do referido trabalho, o padrão de fendilhação ocorrido nestes provetes é

melhor simulado pelos modelos de fendas fixas do que pelos modelos de fendas rotativas.

Referem ainda que a orientação da fenda é estabelecida, principalmente, durante a fase

correspondente ao primeiro ramo do diagrama de amolecimento e que o modelo de fendas

fixas é demasiado rígido na fase correspondente ao segundo ramo do diagrama. Contudo, das

análises numéricas efectuadas nestes trabalhos verifica-se que a simulação do comportamento

de estruturas não é significativamente melhorada pelo desempenho destes modelos.

Comparativamente com os modelos de multifendas fixas, e em termos de tratamento

numérico da fendilhação, os anteriores dois modelos são mais simples, dado que por ponto de


30

amostragem somente se desenvolve uma (modelo de Lin e Zimmermann [Lin94]) ou duas

(modelo de Gajer e Dux [Gaj91]) fendas.

2.3 - Modelos mistos de fendas discretas e distribuídas

Como os modelos de fendas discretas e de fendas distribuídas não podem, por si só,

reproduzir integralmente o comportamento de estruturas constituídas por materiais frágeis em

todas as fases de solicitação destas, têm sido, nos últimos anos, propostos modelos que

utilizam, em simultâneo, os conceitos dos modelos de fendas discretas e de fendas

distribuídas. São exemplo destes modelos os propostos por Rots [Rot92] e Scarpas [Sca91]. O

modelo de Rots baseia-se no modelo de banda fendilhada de Bazant e Oh [Baz83a], sendo,

contudo, os elementos completamente fendilhados (esgotada a energia correspondente ao

modo I de fractura) retirados da malha, por forma a permitir a relaxação dos elementos

vizinhos. Com este procedimento, este autor pretende evitar a ocorrência de estados de

deformação fictícios nos elementos fronteiros à zona de fractura (espúrios cinemáticos), que

se geram devido à continuidade de deslocamentos em que o MEF se baseia. Pretende, ainda,

eliminar o desenvolvimento de estados incorrectos de fendilhação (espúrios de fendilhação) e

de distribuição imprópria de tensões principais (espúrios de tensão) [Bor89a,Bor89b]. Para se

captar com rigor suficiente o traçado das fendas é necessário, contudo, empregar malhas

bastante refinadas. Nos exemplos analisados por Rots as respostas obtidas com este modelo

enquadram-se entre as respostas que se obtêm com o modelo de fendas discretas e o de fendas

distribuídas, tendo-se contudo verificado, ainda, a ocorrência de espúrios cinemáticos.

No modelo de Scarpas [Sca91] os conceitos dos modelos de fendas distribuídas são

aplicados durante a fase em que num ponto de amostragem a energia de fractura ainda não foi

totalmente consumida, isto é, enquanto as microfissuras da zona fendilhada não degenerarem

numa macrofenda. Quando o material não tem mais capacidade de transferir tensões devido

ao esgotamento da energia de fractura, a zona fendilhada degenera numa macrofenda,

passando esta área da estrutura a ser tratada pelos conceitos dos modelos de fendas discretas.

Os inconvenientes anteriormente apontados aos modelos de fendas discretas não são, contudo,

totalmente evitados no modelo de Scarpas.


31

3 - MODELOS MACRO- MICROMECÂNICOS

Dada a contínua evolução das capacidades de hardware tem-se assistido nos últimos

anos ao desenvolvimento de modelos constitutivos cuja formulação resulta da interpretação

do comportamento do material a uma escala inferior à do nível macroscópico. O modelo dos

microplanos é exemplo deste facto, podendo-se considerar na transição entre os modelos

macro- e micromecânicos. Neste modelo as propriedades constitutivas do material são

caracterizadas por relações entre tensões e extensões em planos de diferentes orientações,

denominados de microplanos. Os microplanos podem ser interpretados fisicamente como as

microfendas, vazios ou as zonas de fraca aderência que se desenvolvem na interface entre os

inertes e a matriz. O número e orientação de microplanos depende do grau de integração

adoptado na resolução numérica das equações de equilíbrio, podendo-se simular, assim, o

grau de anisotropia do material.

Cada microplano é governado por leis constitutivas que incluem parâmetros

determinados por intermédio de ensaios experimentais. Nos primeiros modelos de

microplanos [Baz84,Baz85] o comportamento do material é simulado apenas por uma relação

tensão normal-extensão normal ao microplano, não sendo por isso modelada a rigidez de corte

garantida pela natureza granular do material das faces das microfendas. No entanto, a

disposição dos microplanos, a sua diferente orientação e as leis de descarga adoptadas

naqueles trabalhos permitiram obter resultados satisfatórios para os exemplos analisados,

conquanto as respostas numéricas [Baz84] tenham sido sempre mais flexíveis que as reais, tal

como seria de esperar face à não explícita consideração da rigidez de corte.

Nos trabalhos de Carol, Bazant e Prat [Car93a,Car93b], além da relação tensão-

extensão normal ao microplano, é também definida a relação tensão de corte-extensão de

corte em cada microplano. As leis constitutivas ao nível dos microplanos juntamente com as

equações de equilíbrio e as relações entre extensões nos microplanos (denominadas de

extensões microscópicas) e extensões médias do material (denominadas de extensões

macroscópicas) permitem obter as leis constitutivas do material. A relação entre as extensões

microcópicas e as extensões macroscópicas é obtida por intermédio de restrições cinemáticas

[Baz84,Baz85] sendo por isso as extensões nos microplanos a projecção do tensor das

extensões macroscópicas nos referidos microplanos, isto é,

ijmp nT )( (39)

em que mp representa o tensor das extensões microscópicas que actuam no microplano e T(n)

simboliza o operador que projecta o tensor das extensões macroscópicas ij nos microplanos,

sendo função dos cosenos directores n dos microplanos. O tensor das extensões microscópicas


32

é composto pela extensão normal ao microplano N e pela extensão de corte Tr , que por sua

vez se decompõem em duas componentes no plano do microplano. A extensão normal é a

soma da extensão volumétrica V com a extensão de desvio D .

São principalmente duas as razões que conduziram à opção da restrição cinemática em

detrimento da restrição estática na formulação dos modelos dos microplanos. A primeira

razão resulta de instabilidades numéricas ocorridas após o início do amolecimento de provetes

analisados segundo o modelo dos microplanos que integravam uma restrição estática [Baz85].

A segunda razão prende-se com a interpretação física do comportamento microscópico do

material. A distribuição de tensões nos elementos constituintes do material é bastante irregular

devido à heterogeneidade da sua microestrutura, não sendo por isso muito real que as tensões

nos microplanos sejam obtidas a partir da projecção do tensor das tensões macroscópicas nos

microplanos. Por sua vez, a deformação dos potenciais microplanos depende de forma

relevante das deformações impostas pelos inertes, deformações estas cuja distribuição é mais

homogénea que a distribuição de tensões. Assim, é razoável admitir-se que as extensões nos

microplanos sejam a projecção do tensor das extensões macroscópicas nos microplanos.

Em correspondência com V, D e Tr são definidas tensões no microplano N, D e Tr,

que são obtidas [Car90a] por intermédio das seguintes relações:

.;; TrTrTrDDDVVV FFF (40)

No trabalho de Carol et al. [Car90a], para se simular o fenómeno da dilatância, fricção

interna e grau de confinamento externo a que o material pode estar submetido, é introduzida a

extensão volumétrica v na lei constitutiva que rege o comportamento distorcional ao nível do

microplano, isto é, VTVTrTr F ,, . As funções FV, FD e FTr (ou FTr,V) são dependentes de

alguns parâmetros materiais cuja determinação é realizada por intermédio de análise

experimental. O relativo elevado número destes parâmetros é um dos inconvenientes deste

modelo. Para betões convencionais de resistência normal, Bazant [Baz88] explicitou alguns

destes parâmetros em função das constantes elásticas do material (módulo de Young e

coeficiente de Poisson) e propôs valores para outros, diminuindo consideravelmente o número

de parâmetros materiais a serem fornecidos como dados do problema.

A relação entre as tensões nos microplanos e o tensor das tensões macroscópicas, ij ,

obtém-se da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais, resultando a seguinte equação

[Car93b]:

dnfTrTrNNijij 23

4 (41)


33

em que o termo da esquerda representa o trabalho virtual desenvolvido pelas macrotensões

numa esfera de raio unitário, e os termos da direita representam o trabalho virtual realizado

pelas microtensões em facetas (microplanos) que discretizam a superfície da referida esfera. A

função f(n) depende da orientação dos microplanos. A integração da equação (41)

[Baz84,Baz85] é realizada numericamente, como a soma do valor que a função a ser integrada

assume num número seleccionado de pontos de amostragem. A cada ponto de amostragem

corresponde um microplano com determinada orientação. A orientação dos microplanos

simula o grau de anisotropia do material. Para integrar a equação (41) com precisão suficiente

[Baz85] é necessário utilizar um elevado número de pontos de amostragem (28 pontos são

utilizados nos trabalhos de Carol et al. [Car90a,Car90b]), o que torna este modelo mais

dispendioso em termos de tempo de cálculo automático, quando comparados com modelos

macromecânicos convencionais.

Em termos de procedimentos numérico, o modelo dos microplanos é de relativa

simplicidade. Assim, obtidas as componentes das extensões macroscópicas determina-se, por

intermédio das relações (39), as extensões nos microplanos. As tensões nos microplanos são

obtidas por intermédio da aplicação das leis constitutivas dos microplanos, genericamente

representadas em (40). Introduzindo na relação (41) as tensões nos microplanos e resolvendo-

a numericamente obtém-se o tensor das tensões macroscópicas.

Na Figura 12 representa-se, esquematicamente, o modelo constitutivo associado aos

modelos dos microplanos. Os procedimentos representados nesta figura podem ser traduzidos

numa subrotina ou conjunto de subrotinas, constituindo a substrutura que modela o

comportamento do material, num programa de cálculo automático convencional de análise

não linear material de estruturas baseado no MEF [Car93a].

Nívelmacroscópico

Nívelmicroscópico

Extensões

Tensões

ij

ij

(dados)

(resultados)

restrição

cinemática

princípio dos

trabalhos virtuais

leis aonível dosmicroplanos

V D Tr,

V , Tr D,

Figura 12 - Representação esquemática do modelo constitutivo do modelo dos microplanos [Car93a].


34

Para calcular a matriz constitutiva tangente tg

ijklD que é utilizada no cálculo da matriz

de rigidez, a relação (41) é formulada em termos incrementais e substitui-se o tensor dos

incrementos das tensões macroscópicas pela sua igualdade constitutiva, ij ijkltg

klD , e as

tensões incrementais nos microplanos pelas respectivas igualdades constitutivas (equação (40)

em termos incrementais), resultando uma equação que expressa a lei constitutiva

macroscópica, Dijkltg , em função das leis constitutivas associadas aos microplanos (leis

constitutivas microscópicas).

Nos últimos anos o modelo dos microplanos tem sido reformulado por forma a incluir

conceitos de dano contínuo [Car93b,Car93c], conceitos do contínuo não local [Baz90] e

conceitos da mecânica da fractura [Car93c]. No modelo dos microplanos integrando os

princípios da mecânica do dano contínuo é utilizado os conceitos de dano, tensão efectiva e

extensão equivalente, obtendo-se em substituição da equação (41) uma outra equação de

equilíbrio cujo termo da esquerda da igualdade é o tensor de dano do material (dano

macroscópico) e os termos da direita traduzem o dano nos microplanos (dano microscópico).

As leis constitutivas dos microplanos são formuladas em termos de tensões efectivas,

resultando a inclusão de variáveis de dano que caracterizam a degradação da rigidez

(volumétrica, de desvio e corte) do sistema de microplanos, ou equivalentemente, a redução

da fracção de área do microplano que transfere tensões. A restrição cinemática juntamente

com a aplicação do princípio dos trabalhos virtuais conduz à obtenção do tensor de dano

macroscópico. Obtém-se, assim, uma nova versão do modelo dos microplanos, não sendo

agora necessário conhecerem-se as leis constitutivas dos microplanos, mas sim as leis

evolutivas do dano nos microplanos (dV , dD e dT ). Carol [Car93c] utilizou funções do

seguinte tipo: VVV Gd , DDD Gd e TrTrTr Gd em que G é uma função

exponencial que depende de parâmetros materiais obtidos por intermédio da interpretação do

comportamento experimental do material.

Os conceitos dos modelos de multifendas fixas distribuídas foram também integrados

no modelo dos microplanos [Car93c]. É utilizado uma restrição estática entre o tensor das

tensões macroscópicas e das tensões nas multifendas, sendo estas últimas, por isso, a

projecção do tensor macroscópico no sistema de eixos de cada fenda. As leis que regem o

comportamento e evolução das fendas são definidas em termos de tensões e extensões

referidas ao sistema local das fendas. É definida uma superfície hiperbólica de fractura com

três parâmetros materiais, sendo simulados os modos I e II de fractura por intermédio das

respectivas energias de fractura. No modelo desenvolvido por Carol et al. [Car93c] admitiu-se

comportamento linear elástico para o betão entre fendas e utilizou-se doze pontos de

amostragem para a integração das equações de equilíbrio, o que significa que a evolução da

fendilhação é analisada em doze microplanos, igualmente espaçados e de direcções fixas.


35

Os conceitos de dano e de contínuo não local foram também introduzidos por Bazant e

Ozbolt no modelo dos microplanos [Baz90]. Segundo a mecânica do contínuo não local, a

tensão num ponto depende não somente da extensão nesse ponto mas também das extensões

num certo domínio vizinho desse ponto. A teoria do contínuo não local é utilizada na tentativa

de evitar os problemas de instabilidade e perda de objectividade característicos do fenómeno

de amolecimento. No modelo destes autores, as variáveis que controlam o amolecimento são

variáveis de dano que são calculadas a partir das extensões macroscópicas. A aplicação dos

conceitos do contínuo não local ao modelo dos microplanos resume-se à determinação das

variáveis de dano, dado que são obtidas a partir de extensões macroscópicas não locais. As

extensões não locais nos microplanos são também são obtidas por intermédio duma restrição

cinemática.

4 - MODELOS MICROMECÂNICOS

O modelo mais sofisticado deverá ser, porventura, aquele que encara o material ao

nível atómico. Não será contudo um modelo para o presente século, dadas as limitações

actuais em termos de hardware. Modelos micromecânicos que modelam o comportamento dos

materiais ao nível granular têm sido avançados [Roe86,Sch91], mas a sua aplicação restringe-

se a provetes de pequenas dimensões. É exemplo destes modelos o "lattice model" aplicado

por Schlangen e Van Mier [Sch91,Sch93], em que o betão, considerado como um material

constituído por duas fases - inertes e matriz cimentícia - é discretizado por uma trama de

barras. A simulação da heterogeneidade do material pode ser efectuada por três métodos. Num

deles, efectua-se uma distribuição aleatória da resistência das barras. Num outro método é

gerada a estrutura granular do material considerando-se os inertes como círculos (ou esferas,

no caso 3D). A distribuição dos círculos (inertes) em determinado plano é realizada por

intermédio de uma equação proposta por Walraven [Wal80], que determina a probabilidade de

um arbitrário ponto no volume do material estar no interior dum círculo de determinado

diâmetro, pelo que os inertes ficam posicionados aleatoriamente. É sobreposta uma trama de

barras sobre este meio (também considerado betão numérico), tendo as barras um tamanho

duas a três vezes inferior ao diâmetro dos inertes de menor dimensão. A resistência atribuída

às barras depende do material que simula. Assim, a barra terá a resistência do inerte, da matriz

ou da interface inerte-matriz, caso se encontre no interior de um círculo (inerte), fora deste

(matriz) ou a atravessar a fronteira do círculo, respectivamente. O principal inconveniente

deste método é o elevado número de barras necessário para simular o material. Por isso,

Schlangen e Van Mier propõem uma terceira formulação do "lattice model" em que a trama de

barras é constituída com base na união de pontos distribuídos aleatoriamente. Neste caso, a


36

heterogeneidade do material é simulada por intermédio do diferente comprimento e inclinação

das barras.

Em todos estas versões do "lattice model", quando a tensão máxima numa barra

alcança a sua resistência, essa barra é removida do reticulado. Os resultados apresentados por

Schlangen e Van Mier revelam que o "lattice model" capta com rigor suficiente o

comportamento de provetes submetidos à tracção uniaxial, à flexão e ao corte.

5 - CONCLUSÕES

A simulação do comportamento do betão fendilhado tem sido efectuada por

intermédio de modelos macromecânicos e micromecânicos, correspondendo a interpretações

do comportamento do material à escala macroscópica e granular, respectivamente. Quanto

maior for a capacidade dos modelos para simular o comportamento microscópico do material

mais simples são as leis constitutivas, mas mais poderoso terá que ser o hardware.

Os modelos macromecânicos são, ainda, os mais utilizados na simulação do

comportamento de estruturas de betão. De entre estes modelos destacam-se os modelos de

fendas discretas e os modelos de fendas distribuídas. Os primeiros são vocacionados para a

simulação da propagação de um pequeno número de fendas predominantes (estudos da

Mecânica da Fractura). A principal vantagem dos modelos de fendas discretas relativamente

aos modelos de fendas distribuídas consiste na melhor previsão do espaçamento e abertura das

fendas. Contudo, estes modelos requerem, geralmente, uma renumeração da malha, que

mesmo que seja realizada automaticamente, despende considerável tempo de cálculo, e pode

dar origem a malhas com elementos bastante distorcidos. Com o hardware actual, as estruturas

de grande porte em betão armado, solicitadas por carregamentos complexos, em que a

fendilhação é imprevisível e variada, dificilmente podem ser analisadas por modelos de fendas

discretas. Mesmo partindo do pressuposto de, conceptualmente, ser possível modelar todas as

fissuras, o tempo de cálculo exigido a tal análise será muito superior ao que é necessário

utilizando-se qualquer modelo de fendas distribuídas.

A utilização de modelos de fendas distribuídas é principalmente indicada para

estruturas armadas em que não se preveja o desenvolvimento de pequeno número de fendas

predominantes e a ocorrência de roturas frágeis. Dos modelos de fendas distribuídas

destacam-se os modelos ortotrópicos, os de banda fendilhada, os de dano e os baseados na

teoria da plasticidade. Em todos os modelos macromecânicos, as leis constitutivas que regem

o comportamento do betão fendilhado devem ser explicitadas em função dos parâmetros de


37

fractura, por forma a se garantir a objectividade dos resultados. A simplicidade da formulação

e dos algoritmos é a principal vantagem dos modelos de dano contínuo isotrópico. Contudo,

estes modelos têm algumas limitações na simulação do comportamento anisotrópico do betão.

Por sua vez os modelos de dano contínuo anisotrópico são bastante complexos. Os modelos

que simulam o comportamento global do betão por intermédio da teoria da plasticidade têm

como principal vantagem a uniformidade da formulação de simulação do comportamento do

betão em tracção, compressão e tracção-compressão. É contudo delicada a definição do

critério que, em função do estado multiaxial de tensão do material, atribui a correspondente lei

uniaxial equivalente, que governa o comportamento do material.

Nos modelos de fendas distribuídas pode-se simular, em determinado ponto de

amostragem, a ocorrência de vários conjuntos de fendas fixas com diferente orientação

(modelos de multifendas fixas) ou o desenvolvimento de fendas que rodam durante o

carregamento (modelos de fendas rotativas). Nos modelos de fendas distribuídas é

especialmente interessante o modelo de multifendas fixas e o modelo de fendas rotativas,

ambos formulados com base no princípio da decomposição das deformações do betão

fendilhado, dado que este conceito permite, de forma directa, simular os fenómenos que mais

correntemente actuam sobre o betão (plasticidade, retracção, fluência, viscoelasticidade, etc.)

Apesar da relativa facilidade de implementação dos modelos de fendas distribuídas

nos códigos computacionais baseados no método dos elementos finitos, a sua utilização

generalizada a qualquer tipo de estrutura pode conduzir a previsões incorrectas do seu

comportamento. A utilização de modelos de fendas distribuídas a aplicações em que o uso de

modelos de fendas discretas seria mais apropriado sobrestima, geralmente, a carga de rotura e

a rigidez da estrutura na fase correspondente ao seu amolecimento. Além disto, pode ainda

conduzir ao desenvolvimento de estados incorrectos de fendilhação e de distribuição

imprópria de tensões principais.

Como os modelos de fendas discretas e de fendas distribuídas não podem, por si só,

reproduzir integralmente o comportamento de estruturas constituídas por materiais frágeis em

todas as fases de solicitação destas, têm sido propostos modelos que trabalham,

simultaneamente, com os conceitos dos modelos de fendas discretas e de fendas distribuídas.

Contudo, estes modelos apresentam, ainda, alguns dos inconvenientes apontados aos modelos

de fendas discretas e de fendas distribuídas.

Dos modelos na fronteira entre os modelos macro- e micromecânicos, deu-se

exclusiva atenção ao modelo dos microplanos. Pode-se concluir que estes modelos revelam

grande potencial para simular o comportamento de materiais frágeis de matriz cimentícia. No

entanto, e comparativamente com outros modelos constitutivos, o tempo de cálculo é

consideravelmente superior, dado que além dos ciclos associados usualmente a qualquer


38

programa de análise não linear material de estruturas segundo o MEF, têm-se ainda que

integrar numericamente as equações de equilíbrio que relacionam o tensor das tensões

macroscópicas com as tensões nos microplanos. Lajes, cascas e outras estruturas de grande

porte não podem ainda, por isso, serem analisadas com este tipo de modelos, pelo que estes

modelos encontram-se ainda limitados à análise de pequenos provetes de betão simples.

Finalmente refira-se que, face às limitadas capacidades dos actuais computadores, a análise de

estruturas reais é, ainda, impossível de ser realizada com modelos micromecânicos, de que é

exemplo o "lattice model" descrito neste trabalho.

6 - BIBLIOGRAFIA

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MODELOS DE FENDILHAÇÃO PARA O BETÃO · adicional era acompanhada pela queda brusca de tensões,...

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