Modelos de risco coletivo para um periodo simples

introducaodistribuicao das indemnizacoes agregadas

modelos de frequencia e de severidadepropriedades da distribuicao de Poisson Composta

Formulas recursivas. Metodo de Panjer.Metodos aproximados

3. modelos de risco colectivo para um perıodosimples

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1 introducao

2 distribuicao das indemnizacoes agregadas

3 modelos de frequencia e de severidadedistribuicao do numero de sinistrosdistribuicao do montante de indemnizacao individual

4 propriedades da distribuicao de Poisson Composta

5 Formulas recursivas. Metodo de Panjer.

6 Metodos aproximados

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Introducao

No Modelo de Risco Colectivo o conceito essencial e o de umprocesso aleatorio gerador das indemnizacoes para uma carteira deapolices.

Considera-se a Carteira de uma forma global, em contraste com aabordagem seguida anteriormente, em que as apolices foramanalisadas de forma individual.

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Neste metodo, e feito o registo dos pagamentos a medida que vaosendo efectuados e seguidamente sao adicionados. Representamospor S as indemnizacoes agregadas, como uma soma aleatoria de Nmontantes de pagamentos individuais X1, . . . ,XN .Para um determinado perıodo de tempo, temos:

N - variavel aleatoria associada ao numero de indemnizacoesproduzidas pela carteira;

Xi - montante da i−esima indemnizacao;

S - v.a. das indemnizacoes agregadas para a carteira

S =N∑

i=1

Xi

sendo S = 0 quando N = 0.

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Admite-se ainda:

Xi ’s v.a.’s i.i.d. a X ;

N,X1, . . . ,XN mutuamente independentes.

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distribuicao das indemnizacoes agregadas

Tendo por objectivo a determinacao da distribuicao de S ,facilmente detectamos se constata a importancia dos modelosadoptados quer para o numero de indemnizacoes, N, quer para asindemnizacoes particulares, X , de forma a caracterizar a v.a. S .

A distribuicao de S e obtida a partir da distribuicao de N -distribuicao de frequencia - e a distribuicao de X - a v.a. deseveridade.

N e X sao modelados separadamente e a informacao acerca destasdistribuicoes e usada para obter informacoes acerca de S .

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Esta modelacao separada apresenta algumas vantagens:

O numero esperado de indemnizacoes sofre alteracao amedida que o numero de apolices seguras varia.

O impacto da retencao de dedutıveis (ou retencoes) e delimites nos montantes individuais e mais facilmente estudado.

A forma da distribuicao de S depende das formas dasdistribuicoes de X e N.

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O conhecimento das formas das distribuicoes de X e N e utilquando se pretende modificar as clausulas das apolices. Porexemplo, quando a cauda da distribuicao de X (a severidade) emais pesada que a da distribuicao da frequencia (N), a forma dacauda das distribuicoes agregadas (S) sera determinada peladistribuicao de X , sendo insensıvel a escolha da distribuicao de N.

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alguma notacao

FX - f.d. de X

pk = E [X k ] - momentos simples de ordem k , k = 1, 2, . . ., dav.a. X

MX (r) = E [erX ] - f.g.m. de X

MN(r) = E [erN ] - f.g.m. de N

MS(r) = E [erS ] - f.g.m. de S

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valor medio de S

E [S ] = E (E [S |N]) = E (NE [X ]) = E (Np1) = p1E [N]

variancia de S

Var [S ] = E (Var [S |N]) + Var(E [S |N])

= E (NVar [X ]) + Var(p1N)

= E [N]Var [X ] + p21Var [N]

= (p2 − p21)E [N] + p2

1Var [N]

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Tenha-se em atencao o seguinte:

1 E [S |N = n] = E [∑N

i=1 Xi |N = n] = E [∑n

i=1 Xi ] =∑ni=1 E [X ] = nE [X ]

2 Var [X ] = p2 − p21

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em suma...

O valor esperado das indemnizacoes agregadas e o produto domontante esperado para as indemnizacoes individuais(E [X ] = p1) - a severidade esperada - pelo numero esperadode indemnizacoes (E [N]) - a frequencia esperada.

A variancia das indemnizacoes agregadas e a soma de duascomponentes:

1 variabilidade dos montantes de indemnizacao individual(E [N]Var [X ]) - variabilidade da severidade

2 variabilidade do numero de indemnizacoes (p21Var [N]) -

variabilidade da frequencia

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f.g.m. de S

Recorrendo ao valor medio condicional,

MS(r) = E [erS ] = E (E [erS |N])

= E [(MX (r))N ] = E [exp(N log(MX (r))],

pelo queMS(r) = MN(log MX (r))

Exercıcio: Seja N uma v.a. Geometrica, N _ Geo(q) com f.m.p.

P[N = n] = pqn para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1− q.

Determinar MS(r) como funcao de MX (r). sol: MS (r) = p1−qMX (r)

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FS(x): funcao de distribuicao de S

Recorrendo ao TPT, deduz-se

FS(x) = P[S ≤ x ] =∞∑

n=0

P[S ≤ x |N = n]P[N = n]

=∞∑

n=0

P[n∑

i=1

Xi ≤ x ]P[N = n]

donde

FS(x) =∞∑

n=0

F ∗nX (x)p[N = n]

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fS(x): funcao de probabilidade de S

fS(x) =∞∑

n=0

f ∗nX (x)P[N = n]

Observacao: O desenvolvimento das expressoes de FS(x) e defS(x) apresenta em geral alguma complexidade, pelo que acaracterizacao da v.a. S atraves da sua f.g.m. podera ser muitovantajosa.

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Note-se que no caso de X ser uma v.a. discreta, entao S tambemo sera, representando fS(x) a sua f.m.p.:

fS(x) = P[S = x ] =∞∑

n=0

f ∗nX (x)P[N = n] =∞∑

n=0

P[n∑

i=1

Xi = x ]P[N = n]

onde, por convencao, f ∗0X (0) = 1.

Exercıcio:

Considere uma carteira de seguros que produz 0, 1, 2 ou 3 sinistros(=indemnizacoes) com probabilidades 0.1, 0.3, 0.4 e 0.2respectivamente, num perıodo fixo de tempo. Um sinistroindividual sera de montantes 1, 2, ou 3 com probabilidades 0.5, 0.4e 0.1 respectivamente.Calcular a f.m.p e a f.d. das indemnizacoes agregadas.

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Resolucao

As variaveis aleatorias N e X tem as seguintes f.m.p:

N =

{0 1 2 3

0.1 0.3 0.4 0.2

e

X =

{1 2 3

0.5 0.4 0.1,

de onde se depreende, imediatamente, que S toma valores entre 0e 9.O objectivo e determinar a f.d. e a f.m.p. de S , para o que senecessita de obter a terceira convolucao de fX (x), f ∗3X (x).

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Note-se que a (n + 1)−esima convolucao pode ser obtida de formarecursiva.

f∗(n+1)X (x) = P[

n+1∑i=1

Xi = x ]

=∑y

P[Xn+1 = y ]P[n∑

i=1

Xi = x − y ]

=∑y

fX (y)f ∗nX (x − y),

para n = 0, 1, 2, . . .

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x f ∗0X (x) f ∗1X (x) f ∗2X (x) f ∗3X (x) fS(x) FS(x)

0 1.0 0.0 0.00 0.000 0.1000 0.10001 0.0 0.5 0.00 0.000 0.1500 0.25002 0.0 0.4 0.25 0.000 0.2200 0.47003 0.0 0.1 0.40 0.125 0.2150 0.68504 0.0 0.0 0.26 0.300 0.1640 0.84905 0.0 0.0 0.08 0.315 0.0950 0.94406 0.0 0.0 0.01 0.184 0.0408 0.98487 0.0 0.0 0.00 0.063 0.0126 0.99748 0.0 0.0 0.00 0.012 0.0024 0.99989 0.0 0.0 0.00 0.001 0.0002 1.0000

n 0 1 2 3 - -P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2 - -

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Note-se que

o facto de a distribuicao da severidade ser contınua, nao permiteconcluir que, necessariamente, a distribuicao das indemnizacoesagregadas seja contınua.

Realmente, se P[N = 0] > 0 entao S e v.a. mista, sendo {S = 0}um ponto de massa de probabilidade, sendo contınua nos outroscasos.

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Exercıcio:

Seja N uma v.a. Geometrica, N _ Geo(q) com f.m.p.

P[N = n] = pqn para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1− q.

Suponha-se X uma v.a. Exponencial, i.e.,

FX (x) = 1− e−x , x > 0.

Verifique que a v.a. das indemnizacoes agregadas, S , e uma v.a.mista.

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FS(x)

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fS(x)

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distribuicao do numero de sinistrosdistribuicao do montante de indemnizacao individual

modelos de frequencia e de severidade

Analisemos alguns modelos para o numero de indemnizacoes(sinistros), N.

N _ Poisson(λ)

Seja N uma v.a. de Poisson de paramnetro λ, N _ Poisson(λ),i.e.,

P[N = n] =e−λλn

n!, n = 0, 1, 2, . . . , λ > 0

com f.g.m.MN(r) = exp{λ(er − 1)}.

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N _ Poisson(λ)⇒ S _ PC (λ,FX )

Trata-se de uma distribuicao adequada para descrever o numero desinistros quando se verifica uma proximidade entre a media e avariancia dos dados analisados, uma vez que

E [N] = Var [N] = λ.

Nestas condicoes, S tem uma distribuicao Poisson Composta,

S _ PC (λ,FX ).

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Nestas condicoes, obtem-se o seguinte:

momentos e f.g.m. de S

E [S ] = E [N]p1 ⇒ E [S ] = λp1

Var [S ] = E [N](p2 − p21) + p2

1Var [N] = λ(p2 − p21) + p2

1λ ⇒Var [S ] = λp2

MS(r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS(r) = exp{λ(MX (r)− 1)}

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No caso de os dados referentes ao numero de sinistros apontaremno sentido de E [N] < Var [N], tem sido sugerido

N _ BN(k, q)

o modelo Binomial Negativo de parametros k e q, N _ BN(k, q)com

P[N = n] =

(k + n − 1

n

)pkqn, n = 0, 1, 2, . . . e k > 0, 0 < q < 1.

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Para este modelo,

momentos e f.g.m. de N

E [N] = kqp < Var [N] = kq

p2

MN(r) =(

p1−qer

)k

N _ BN(k, q)⇒ S _ BNC (k , q,FX )

Nestas condicoes, diz-se que S tem distribuicao Binomial NegativaComposta.

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momentos e f.g.m. de S _ BNC (k , q,FX )

E [S ] = E [N]p1 ⇒ E [S ] = kqp p1

Var [S ] = E [N](p2−p21)+p2

1Var [N] ⇒ Var [S ] = kqp p2+ kq

p2 p21

MS(r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS(r) =(

p1−qMX (r)

)k

O caso particular de k = 1 corresponde a Geometrica.

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Outro modelo conveniente quando se verifica que E [N] < Var [N] eo seguinte:

v.a. estrutural

Seja Λ uma v.a. com f.d.p. fΛ(λ), λ > 0.Suponha-se que a v.a. N condicional a um valor de Λ = λ temdistribuicao de Poisson de parametro λ, i.e.,

N|Λ = λ _ Poisson(λ)

A Λ chama-se v.a. de estrutura e a sua f.d.p. funcao de estrutura.

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Uma situacao pratica de aplicacao deste tipo de modelos surgepara uma carteira de seguros em que o numero de sinistros e bemmodelado por uma Poisson, mas com alguma flexibilidade no querespeita ao parametro λ associado, de acordo com as diversasclasses da carteira.

Poisson mista

Neste caso diz-se que N tem uma distribuicao Poisson mista e asua f.m.p. e obtida com recurso ao Teorema da ProbabilidadeTotal:

P[N = n] =

∫ ∞0

P[N = n|Λ = λ]fΛ(λ)dλ

=

∫ ∞0

e−λλn

n!fΛ(λ)dλ

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Exercıcio:

Seja Λ _ Gama(α, β), i.e., uma v.a. com f.d.p. dada por

fΛ(λ) =βα

Γ(α)λα−1e−βλ, λ > 0,

onde Γ(α) e a funcao gama, Γ(α) =∫∞

0 xα−1e−xdx . E sabido que

MΛ(r) =

(β

β − r

)α, r < β.

Mostre que:

1 N _ BN(k , q) com k = α e p := 1− q = β1+β ;

2 E [Λ] = αβ e Var [Λ] = α

β2 , sendo novamente confirmados osresultados para N.

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N _ B(n, p)⇒ S _ BC (n, p,FX )

No caso em que N _ Binomial(n, p), diz-se que S temdistribuicao Binomial Composta.Verificam-se conclusoes analogas as obtidas para os modelosanteriores.

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Distribuicao do montante de indemnizacao individual

Quanto aos modelos associados as indemnizacoes particulares, X ,consideram-se, por um lado, modelos em que o calculo daconvolucao esta simplificado como e o caso dos modelos Normal eGama.

Contudo, referimos igualmente alguns modelos associadostradicionalmente a certos tipos de ramos de seguros, para os quaisa v.a. referente ao montante de indemnizacao e positiva eassimetrica positivamente (ou a direita).

Os modelos Lognormal, Pareto e Mistura de Exponenciais saosugeridos, numa primeira analise, para candidatos a modelacao dedados do ramo Incendio, enquanto que ao ramo AcidenteAutomovel esta associado o modelo Gama.

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Relembremos alguns resultados obtidos facilmente recorrendo aspropriedades da f.g.m:

se {Xi}ni=1 i.i.d. N(µ, σ2) =⇒∑n

i=1 Xi _ N(nµ, nσ2)

se {Xi}ni=1 i.i.d. Gama(α, β) =⇒∑n

i=1 Xi _ Gama(nα, β)

se {Xi}ni=1 i.i.d. Exp(1) =⇒∑n

i=1 Xi _ Gama(n, 1) -recorde-se que a Exp(1) corresponde a Gama(1, 1)

Para este ultimo caso, iremos determinar a expressao analıtica daf.d. das indemnizacoes agregadas S , FS(x), o que no caso geralcontitui uma tarefa de difıcil resolucao.

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Considere-se quefX (x) = e−x , x > 0.

Entao,

f ∗nX (x) =xn−1e−x

(n − 1)!, x > 0

ja que a soma de Exponenciais i.i.d. tem distribuicao Gama. Assim,

F ∗nX (x) =

∫ x

0

yn−1e−y

(n − 1)!dy

= 1−∫ ∞

x

yn−1e−y

(n − 1)!dy

integrando por partes...

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= 1−(−yn−1e−y

(n − 1)!|∞x +

∫ ∞x

(n − 1)yn−2e−y

(n − 1)!dy

)= 1−

(−0 +

xn−1e−x

(n − 1)!+

∫ ∞x

yn−2e−y

(n − 2)!dy

)= F

∗(n−1)X (x)− xn−1e−x

(n − 1)!= . . .

= F ∗0X (x)−n−1∑i=0

x ie−x

i !

= 1−n−1∑i=0

x ie−x

i !

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vindo finalmente,

FS(x) =∞∑

n=0

F ∗nX (x)P[N = n]

=∞∑

n=0

(1−

n−1∑i=0

x ie−x

i !

)P[N = n]

=∞∑

n=0

P[N = n]−∞∑

n=0

P[N = n]n−1∑i=0

x ie−x

i !

= 1− e−x∞∑

n=0

P[N = n]n−1∑i=0

x i

i !

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Ou seja, no caso de {Xi}ni=1 i.i.d. Exp(1),

probabilidade de excedencia

P[S > x ] = e−x∞∑

n=0

P[N = n]n−1∑i=0

x i

i !

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Propriedades da distribuicao de Poisson Composta

Teorema: soma de v.a.’s independentes PC e ainda PC

Sejam S1,S2, . . . ,Sm v.a.’s mutuamente independentes, com

Si _ PC (λi ; Fi ), i = 1, 2, . . . ,m;

entaom∑

i=1

Si _ PC

(λ :=

m∑i=1

λi ; F :=m∑

i=1

λi

λFi

)

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Demonstracao: Seja Mi (r) a f.g.m. associada a Fi , parai = 1, 2, . . . ,m. Entao, MSi

(r) = exp{λi (Mi (r)− 1)}. As v.a.’s Si

sao independentes pelo que a f.g.m. de S e igual ao produto dasf.g.m. das suas parcelas:

MS(r) =m∏

i=1

MSi(r)

= exp

(m∑

i=1

λi (Mi (r)− 1)

)

= exp

(λ

[m∑

i=1

λi

λMi (r)− 1

])com λ :=

∑mi=1 λi .

A expressao da f.g.m. de S caracteriza uma Poisson Compostacom os parametros respectivos.

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Em termos de seguros convenientes, este resultado torna osmodelos de Poisson Composta atractivos, de forma a combinarvarias carteiras numa so:

Se combinarmos m carteiras de seguros em que asindemnizacoes agregadas sao bem modeladas com a PoissonComposta e independentes (nao necessariamenteidenticamente distribuıdas), entao faz sentido considerar queas indemnizacoes agregadas para a carteira global temdistribuicao de Poisson Composta.

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Se considerarmos uma carteira de seguros para um perıodo dem anos com indemnizacoes anuais agregadas mutuamenteindependentes e distribuıdas de acordo com a PoissonComposta (nao necessariamente identicamente distribuıdas),entao faz sentido considerar para o perıodo total de m anosum modelo de Poisson Composto.

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Corolario:

Sejam m reais distintos x1, x2, . . . , xm; m v.a.’s independentesN1,N2, . . . ,Nm, com Ni _ P(λi ), i = 1, 2, . . . ,m.

Entao S =∑m

i=1 xiNi tem distribuicao de Poisson Composta com

parametro de frequencia λ =∑m

i=1 λi

montante de severidade com f.m.p.

P[X = xi ] =

{λiλ , i = 1, 2, . . . ,m0, outros casos

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Demonstracao: Comece-se por observar que

xiNi =

Ni∑k=1

xi =: Si ,

para i = 1, 2, . . . ,m. Quer dizer, Si _ PC (λi ,Fi ), com Fi f.d.degenerada em x = xi i.e., com f.g.m. associada Mi (r) = erxi .Pelo teorema anterior, S =

∑mi=1 Si =

∑mi=1 xiNi tem f.g.m.

MS(r) = exp

(λ

[m∑

i=1

λi

λerxi − 1

])

o que, definindo MX (r) :=∑m

i=1λiλ erxi , caracteriza a v.a. X .

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Os lemas que se seguem servem para ponto de partida paraconclusoes acerca do comportamento de combinacoes lineares dev.a.’s com distribuicao de Poisson.

Lema 1:

Toda a v.a. das indemnizacoes agregadas

S =N∑

j=1

Xj ,

com Xj discretas i.i.d. a X :

{xi , i = 1, 2, . . . ,mP[X = xi ] = πi ,

pode ser representada como combinacao linear de v.a.’s Ni do tipo

S =m∑

i=1

xiNi .

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Demonstracao: Considere-se Ni :=“node parcelas iguais a xi nasoma

∑Nj=1 Xj para i = 1, 2, . . . ,m.

Entao, N =∑m

i=1 Ni , vindo

S =N∑

j=1

Xj =m∑

i=1

Ni∑k=1

xi =m∑

i=1

xiNi .

Veremos mais adiante que no caso de S ter uma distribuicao dePoisson Composta, entao as v.a.’s Ni sao mutuamenteindependentes e de Poisson.

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Lema 2:

Considere-se Ni :=“node ocorrencias do acontecimento Ai em nprovas de Bernoulli”para i = 1, 2, . . . ,m. Denote-seπi := P[Ai ], com

∑mi=1 πi = 1 e

∑mi=1 Ni = n.

No modelo multinomial

P[N1 = n1, . . . ,Nm = nm] =n!

n1! . . . nm!πn1

1 . . . πnmm .

Entao

E

(exp

(m∑

i=1

riNi

))=

(m∑

i=1

πieri

).

Note-se que Ni _ Bernoulli(πi ) e que, dado que∑m

i=1 Ni = n,(N1, . . . ,Nm) tem distribuicao Multinomial(π1, . . . , πm).

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Demonstracao:Comece-se por notar que a f.g.m. de um vector aleatorio(N1, . . . ,Nm) e

M(N1,...,Nm)(r1, . . . , rm) = E

(exp

(m∑

i=1

riNi

)).

Neste caso,

E (exp(m∑

i=1

riNi )) =∑

n1,...,nmn1+...+nm=n

exp(m∑

i=1

rini )n!

n1! . . . nm!πn1

1 . . . πnmm

=∑

n1,...,nmn1+...+nm=n

n!

n1! . . . nm!(π1er1)n1 . . . (πmerm)nm

= (π1er1 + . . .+ πmerm)n

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f.g.m. de um vector aleatorio

Define-se a f.g.m para um vector aleatorio Z := (Z1, . . . ,Zn) como

MZ (r) := E(

e(r ,Z))

= E

(exp(

n∑i=1

riZi )

),

sendo r := (r1, . . . , rn) um vector de componentes reais.

O vector Z tem componentes independentes sse

MZ (r) =n∏

i=1

MZi(ri ).

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Teorema

Se S =∑m

i=1 xiNi _ PC (λ,FX ), com

X :

{xi , i = 1, . . . ,mP[X = xi ] = πi , ,

entao:

N1,N2, . . . ,Nm sao mutuamente independentes

Ni _ P(λi ), com λi := λπi , i = 1, . . . ,m.

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Demonstracao:Iremos constatar que naquelas condicoes

MN(r) =m∏

i=1

MNi(ri )

ficando portanto demonstrado que N1,N2, . . . ,Nm saomutuamente independentes. A expressao que obteremos paraMNi

(ri ) permitir-nos-a concluir que Ni _ P(λi ), com λi := λπi ,i = 1, . . . ,m. Seja N :=

∑mi=1 Ni ; entao

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MN(r) = E

(exp(

m∑i=1

riNi )

)

=∞∑

n=0

E

(exp(

m∑i=1

riZi )|N = n

)P(N = n)

=∞∑

n=0

(m∑

i=1

πieri

)ne−λλn

n!

= e−λ∞∑

n=0

(∑m

i=1 πieriλ)n

n!

= e−λ exp

(m∑

i=1

πieriλ

)

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= exp

(m∑

i=1

λπieri − λ

m∑i=1

πi

)

=m∏

i=1

exp (λπi (eri − 1))

=m∏

i=1

exp (λi (eri − 1))

=m∏

i=1

MNi(ri ).

com Ni _ P(λi ), i = 1, . . . ,m.

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toda a v.a. de Poisson e Poisson Composta

Note-se que qualquer v.a. N de Poisson com parametro λ pode serencarada como uma v.a. de Poisson Composta. Para tal, bastanotar que se pode escrever sempre

N =N∑

i=1

1 =N∑

i=1

Xi

com Xi i.i.d. a uma v.a. degenerada em 1.

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Estes resultados sao uteis para:

1. calculo da distribuicao de Poisson Composta com montante deindemnizacao individual discreto

comeca-se por calcular as f.m.p das v.a.’sx1N1, x2N2, . . . , xmNm;

calcula-se, de seguida, a convolucao das m f.m.p. anteriores

Obs.: Mesmo quando o montante de indemnizacao individual euma v.a. contınua, este metodo pode ser util apos uma“discretizacao”da v.a. associada.

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2. calculo do valor medio e variancia das indemnizacoes agregadasE (S) e Var(S), com S Poisson Composta com montante deindemnizacao discreto

E (S) = E (∑m

i=1 xiNi ) =∑m

i=1 xiλi =∑m

i=1 xi (λπi ) =λ∑m

i=1 xiπi = λp1

Var(S) = Var(∑m

i=1 xiNi ) =∑m

i=1 x2i λi =

∑mi=1 x2

i (λπi ) =λ∑m

i=1 x2i πi = λp2

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3. por vezes e conveniente encarar S como soma de v.a.’smutuamente independentes do tipo xiNi , i = 1, . . . ,m, comdistribuicao de Poisson Composta

de facto, podemos escrever aquelas v.a.’s como

xiNi =

Ni∑k=1

xi =

Ni∑k=1

Xk ,

com Xk i.i.d. a X ∗i , v.a. degenerada em xi . Pelo que

xiNi _ PC (λi ,Fi ), com Fi (x) =

{0, x < xi

1, x ≥ xi

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No exemplo que se segue sao explorados dois metodos de calculoda distribuicao das indemnizacoes agregadas. O primeiro refere-seao calculo directo, ja utilizado antes, e o segundo tem por base oresultado do teorema anterior.

Exemplo:

Considere S _ PC (λ,FX ) com λ = 0.8 e FX e f.d. associada af.m.p. dada por

x 1 2 3

fX (x) 0.25 0.375 0.375

Calcular fS(x) := P(S = x), para x = 0, 1, 2, . . . , 6.

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Comecaremos por obter a f.m.p. de S com recurso a

fS(x) = P[S = x ] =∞∑

n=0

f ∗nX (x)P[N = n] =∞∑

n=0

P[n∑

i=1

Xi = x ]P[N = n],

com λ = 0.8

x f ∗0X (x) f ∗1

X (x) f ∗2X (x) f ∗3

X (x) f ∗4X (x) f ∗5

X (x) f ∗6X (x) fS (x)

0 1.0 - - - - - - 0.4493291 - 0.25 - - - - - 0.0898662 - 0.375 0.0625 - - - - 0.1437853 - 0.375 0.1875 0.015625 - - - 0.1623574 - - 0.328125 0.070313 0.003906 - - 0.0499055 - - 0.281250 0.175781 0.023438 0.000997 - 0.0473606 - - 0.140625 0.263672 0.076172 0.007324 0.000244 0.030923... - - - - - ...n 0 1 2 3 4 5 6

P[N = n] =

= e−λ λn

n!0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164

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Aqui sao apresentados os calculos auxiliares para a f.d. de S deacordo com o resultado do teorema , com

m = 3, λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3,

S = 1.N1 + 2.N2 + 3.N3

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x P(N1 = x) P(2N2 = x) P(3N3 = x) P(N1 + 2N2 = x) P(N1 + 2N2 + 3N3 = x) = fS (x)0 0.818731 0.740818 0.740818 0.606531 0.4493291 0.163746 0.000000 0.000000 0.121306 0.0898662 0.016375 0.222245 0.000000 0.194090 0.1437853 0.001092 0.000000 0.222245 0.037201 0.1623574 0.000055 0.033337 0.000000 0.030974 0.0499055 0.000002 0.000000 0.000000 0.005703 0.0473606 0.000000 0.033337 0.033337 0.003288 0.030923... ...i 1 2 3λi 0.2 0.3 0.3

P(Ni = x) e−λ1λx

1x!

e−λ2λx

2x!

e−λ3λx

3x!

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Formulas recursivas. Metodo de Panjer.

Formulas recursivas; metodo de Panjer

No paragrafo anterior os resultados obtidos de forma a calcular adistribuicao das distribuicoes agregadas, exigiam que a severidadefosse discreta.

Estudaremos de seguida um metodo alternativo que exige, ainda,que a severidade tome valores no conjunto dos inteiros positivos.

O metodo e recursivo e o resultado em que se baseia sera deduzidopara o caso da frequencia de Poisson, embora seja referida umaexpressao mais geral para um certo tipo de frequencia que possaser calculada de forma recursiva (Panjer (1981)).

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Teorema:

Perante indemnizacoes agregadas com distribuicao de PoissonComposta, e no caso do montante de indemnizacao, X , tomarvalores nos inteiros positivos, i.e., tomar valores xi = i , e valida aseguinte expressao recursiva para a f.m.p de S :

fS(x) = P(S = x) =∞∑i=1

i

xλi fS(x − i)

para x = 1, 2, . . ., com λi = λπi , sendo πi = P(X = i), partindodo valor inicial fS(0) = e−λ.

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a respeito de fS(0)

Note-se que o valor inicial e obtido atraves do facto de oacontecimento de as indemnizacoes agregadas assumirem o valorzero ser equivalente ao acontecimento do numero deindemnizacoes ser nulo, uma vez que a severidade toma semprevalores positivos. Assim,

fS(0) = P(S = 0) = P(N = 0) = e−λ.

Desta forma, poderemos calcular recursivamente fS(1), fS(2), ... .

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Lema:

Nas condicoes anteriores,

f∗(n+1)X (x) =

∞∑i=1

(n + 1)i

xπi f∗(n)X (x − i).

Este lema estabelece uma relacao recursiva para as convolucoes dadistribuicao de X , que demonstraremos de seguida.Demonstracao: Comecemos por considerar os valores medioscondicionais

E

(X1|

n+1∑i=1

Xi = x

)= . . . = E

(Xn+1|

n+1∑i=1

Xi = x

)= C ,

com C constante ja que os Xi sao i.i.d. .

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Entao, somando estes valores,

n+1∑k=1

E

(Xk |

n+1∑i=1

Xi = x

)=

n+1∑k=1

C = (n + 1)C .

Por outro lado,

n+1∑k=1

E

(Xk |

n+1∑i=1

Xi = x

)= E

(n+1∑k=1

Xk |n+1∑i=1

Xi = x

)= x

pelo que se conclui que

C =x

n + 1.

Consequentemente,

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x

n + 1= E (X1|

n+1∑i=1

Xi = x)

=∞∑i=1

iP(X1 = i |n+1∑j=1

Xj = x)

=∞∑i=1

iP(X1 = i ,

∑n+1j=1 Xj = x)

P(∑n+1

j=1 Xj = x)

=∞∑i=1

iP(X1 = i).P(

∑n+1j=2 Xj = x − i)

P(∑n+1

j=1 Xj = x)

=∞∑i=1

iπif∗(n)X (x − i)

f∗(n+1)X (x)

demonstrando-se o lema.

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Demonstracao do teorema:

Vimos atras que

fS(x) = P[S = x ] =∞∑

n=0

f ∗nX (x)P[N = n] =∞∑

n=0

f ∗nX (x)e−λλn

n!

o que no caso de X ser discreta em 1, 2, 3, ... se reduz a

fS(x) =∞∑

n=1

f ∗nX (x)e−λλn

n!=∞∑

n=0

f∗(n+1)X (x)

e−λλn+1

(n + 1)!

ja que fS(0) = 0 para x 6= 0 e N e Poisson(λ)

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Aplicando o resultado do lema tem-se

fS(x) =∞∑

n=0

e−λλn+1

(n + 1)!

∞∑i=1

(n + 1)i

xπi f∗nX (x − i)

=∞∑i=1

i

xλπi

∞∑n=0

e−λλn

n!f ∗nX (x − i)

=∞∑i=1

i

xλi fS(x − i),

obtendo-se o pretendido.

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Exemplo:

Retomemos o exemplo anterior, uma vez que os montantes deindemnizacao sao inteiros positivos, para calcular a f.m.p. de S .

λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3.

Partindo do valor inicial

fS(0) = P[N = 0] = e−λ = e−0.8 = 0.449329,

e notando que X ≤ 3,

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fS(x) =∞∑i=1

i

xλi fS(x − i) =

min(x,3)∑i=1

i

xλi fS(x − i),

obtendo-se sucessivamente

fS(1) =

min(1,3)∑i=1

i

1λi fS(1−i) =

1

1λ1fS(1−1) = λ1fS(0) = 0.2fS(0) = 0.089866

fS(2) =

min(2,3)∑i=1

i

2λi fS(2− i) =

1

2(λ1fS(1) + λ2fS(0)) = 0.143785

fS(3) =

min(3,3)∑i=1

i

3λi fS(3−i) =

1

3(λ1fS(2) + λ2fS(1) + λ3fS(0)) = 0.162358

. . .

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formulas de Panjer(1981)

Para determinados modelos de distribuicao composta, referentes av.a.’s N cuja f.m.p. possa ser calculada de forma recursiva, adistribuicao da v.a. das indemnizacoes agregadas, S , pode ser, elapropria, calculada recursivamente, para os casos em que osmontantes de indemnizacao sao inteiros positivos. As expressoesrelativas aos casos referidos sao conhecidas por formulas dePanjer.

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f.m.p. de N obtida de forma recursiva

Suponha-se que X toma valores nos inteiros positivosxi = i = 1, 2, ... com probabilidades πi = P(X = i). Suponha-seainda que N tem f.m.p que pode ser calculada de forma recursiva,i.e.,

P(N = n + 1) =

(a +

b

n + 1

)P(N = n), n = 0, 1, 2, ...,

com a e b constantes.

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Obs.:As distribuicoes de Poisson e Binomial Negativa verificamesta expressao de recursividade:

N _ Poisson(λ), λ > 0

P(N = n+1) =e−λλn+1

(n + 1)!= (0+

λ

n + 1)

e−λλn

n!⇒ a = 0, b = λ

N _ BN(k , q)

P(N = n + 1) =

(k + n + 1− 1

n + 1

)pkqn+1

= (q +(k − 1)q

n + 1)

(k + n − 1

n

)pkqn ⇒ a = q, b = (k − 1)q

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Teorema: Panjer (1981)

nas condicoes definidas anteriormente e se a f.m.p. de N puder sercalculada recursivamente, a f.m.p. de S pode ser calculadarecursivamente atraves de

fS(x) =x∑

i=1

(a + bi

x)πi fS(x − i), x = 1, 2, ...,

comfS(0) = P(N = 0).

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casos particulares:

N _ Poisson(λ)

fS(x) =x∑

i=1

i

xλi fS(x − i), x = 1, 2, ...

fS(0) = P(N = 0) = e−λ.

N _ BN(k , q)

fS(x) = qx∑

i=1

(1 + (k − 1)i

x)πi fS(x − i), x = 1, 2, ...

fS(0) = P(N = 0) = pk .

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Obs. :

1 Se X assume apenas valore num conjunto finito de inteirospositivos xi = i = 1, 2, ..., k , entao

fS(x) =

min(x,k)∑i=1

(a + bi

x)πi fS(x − i), x = 1, 2, ...,

2 A aplicacao do metodo recursivo ainda e valida quando algunsdos πi sao nulos.

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Metodos aproximados

Quando o valor esperado do numero de sinistros, E (N), e muitoelevado, a utilizacao do metodo recursivo torna-se morosa.

Por outro lado, e frequente que para as indemnizacoes particulares,X , nao se conheca a distribuicao mas apenas alguns momentos.

Nestas circunstancias, torna-se conveniente encontrar uma solucaoaproximada.

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aproximacao a Normal

Quando o coeficiente de assimetria de S ,

γS :=E [(S − µS)3]

(σ2S)3/2

=µ3

µ3/22

; µS := E (S), σ2S := Var(S),

nao atinge um valor elevado (γS < 0.1) e razoavel utilizar aaproximacao a Normal de modo analogo ao realizado com omodelo de risco individual no capıtulo anterior.

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Assim, para uma carteira em que o numero esperado de sinistrosE [N] e elevado,

FS(x) ∼= Φ

(x − µS

σS

)

µS e σS para PC e BNC :

No caso da distribuicao de Poisson Composta,

µS = λp1 e σ2S = λp2

e no caso da distribuicao Binomial Negativa Composta,

µS = kqp p1 e σ2

S = kqp p2 + kq2

p2 p21 .

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Estas aproximacoes baseiam-se no seguinte

Teorema:

1 Se S _ PC (λ,FX ), entao

S∗ :=S − µS

σS=

S − λp1√λp2

d−−−→λ→∞

Z _ N(0, 1)

2 Se S _ BNC (k , q; FX ), entao

S∗ :=S − µS

σS=

S − kqp p1√

kqp p2 + kq2

p2 p1

d−−−→k→∞

Z _ N(0, 1)

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Aproximacao a Gama deslocada

Uma primeira abordagem e feita com recurso a distribuicao Gamadeslocada, considerando

FS(x) ∼=∫ x−x0

0

βαtα−1

Γ(α)e−βtdt,

ou, de forma equivalente,

FS(x) ∼=∫ x

x0

βα(z − x0)α−1

Γ(α)e−β(z−x0)dz =

∫ x

x0

fZ (z ;α, β, x0)dz ,

onde fZ (z ;α, β, x0) representa a f.d.p. duma v.a. Z comdistribuicao Gama de parametros (α, β), com localizacao x0.

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EntaoµZ = x0 +

α

βσ2

Z =α

β2

sendo γZ = 2√α

o coeficiente de assimetria de Z .

Os parametros sao escolhidos de forma a que o valor medio, a variancia eo ceficiente de assimetria de S calculados atraves da aproximacao referidacoincidam com os originais, i.e.,

µS ≡ µZ , σ2S ≡ σ2

Z , γS ≡ γZ

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aproximacao a Gama deslocada no caso S _ PC (λ,FX )

γS =λp3

(λp2)3/2.

Tal traduz-se em escolher para o modelo aproximado:

o parametro de forma α = 4λ (p2)3

(p3)2 ,

o parametro de escala β = 2p2p3,

o parametro de localizacao x0 = λp1 − 2λ (p2)2

p3.

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Aproximacao Normal Power (NP)

Para valores de x−µSσS

> 1,

FS(x) ∼= Φ

(− 3

γS+

√9

γ2S

+ 1 +6

γS.x − µS

σS

),

com Φ(.) a f.d. da N(0, 1), constitui uma boa aproximacao para adistribuicao das indemnizacoes agregadas, desde que o coeficientede assimetria nao seja excessivamente elevado (γS < 2).

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Nas aplicacoes praticas, e frequentemente requerido o calculo deum percentil de S , xε (ε pequeno, em geral) tal que

FS(xε) = P(S ≤ xε) = 1− ε,

o que se resolve de forma aproximada.

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Note-se queP(S > xε) = ε,

consistindo, portanto a solucao na obtencao da aproximacao (porinversao ) de

zε ∼= −3

γS+

√9

γ2S

+ 1 +6

γS.xε − µS

σS

o que implica que

xε ∼= µS +(

zε +γS

6(zε − 1)

),

com zε o percentil da N(0, 1) tal que Φ(zε) = 1− ε.

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Modelos de risco coletivo para um periodo simples

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