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MODELOS NÃO LINEARES BASEADOS EM CAMPOS DE TENSÕES

MIGUEL S. LOURENÇOEst. Doutoramento IST Lisboa mlourenco@jsj.pt

JOÃO F. ALMEIDA Professor Associado IST, ICIST Lisboa jalmeida@jsj.pt

SUMÁRIO Apresenta-se uma metodologia geral de análise não linear de elementos de betão estrutural, totalmente baseada em modelos de campos de tensões. De forma a prevêr a adaptação do “caminho das cargas” devido às propriedades não lineares dos materias, utiliza-se o conceito de estruturas adaptativas. Ilustra-se a técnica com a aplicação a exemplos simples e elabora-se uma análise não linear num caso prático. Palavras-chave: Modelos de Campos de Tensões, Estruturas Adaptativas, Análise Não Linear, Zonas de Descontinuidade. 1. INTRODUÇÃO Os modelos de campos de tensões são amplamente reconhecidos como um método consistente de análise e dimensionamento, verificação da segurança e pormenorização de elementos de betão estrutural. Baseados no teorema estático da teoria da plasticidade, este tipo de modelos são essencialmente aplicados na verificação da segurança aos Estados Limite Últimos em zonas de descontinuidade e assume-se, em geral, como condição suficiente para o dimensionamento, o estabelecimento de um modelo equilibrado que traduza as trajectórias de tensões no interior da região em estudo [9,10]. Em geral, o comportamento não linear de zonas de descontinuidade não é explicitamente considerada, pelo que a análise em serviço e a ductilidade são normalmente garantidas, de forma indirecta, através de uma adequada selecção do modelo e de uma apropriada pormenorização de armaduras [9,13]. As potencialidades do método dos elementos finitos têm-se traduzido numa generalizada aplicação destes modelos para a avaliação do comportamento não linear de zonas de descontinuidade em betão estrutural. Porém, reconhecem-se alguns inconvenientes desta

técnica, nomeadamente no que respeita à interpretação de dados e resultados, especialmente quando se aplicam a análises não lineares. Este artigo apresenta uma técnica alternativa de análise do comportamento não linear do betão estrutural, totalmente baseada em modelos de campos de tensões. De forma a prevêr a variação dos campos de tensões ao longo do processo de carregamento, devido às características não lineares dos materiais envolvidos, introduziu-se o conceito de estruturas adaptativas [8]. Por fim, apresenta-se um exemplo de aplicação prática com o objectivo ilustrar as potencialidades da técnica, salientando-se os aspectos mais relevantes. 2. FORMULAÇÃO A metodologia proposta consiste na consideração de elementos, sujeitos apenas a esforço axial, que representam os campos de compressões e tracções resultantes dos desvios das trajectórias das cargas no interior duma região de betão estrutural [1,2,3,8,12]. O estabelecimento do modelo pode, desta forma, ser baseado nos critérios habituais da elaboração de um modelo de escoras e tirantes, tendo em consideração que estes representam um campo de tensões, sendo as respectivas larguras determinadas de forma a garantir o equilíbrio em qualquer ponto [7]. Na Fig. 1a) é apresentado um modelo de dimensionamento de uma “viga com degrau” sujeita a um momento flector constante. Observam-se os campos de compressões e tracções e respectivas resultantes, assim como os nós, definidos como sendo zonas com importantes concentrações de tensões. Na Fig. prismáticas, em leque e tirantes,. Atdefinir as características mecânicas análise de estruturas estabelece-se relações constitutivas dos materiais im

a)

b) Figura 1: a) Modelo de Campos de Tensões de uma viga com degrau; b) Tirante e escora prismática e em leque.

2

1b) identificam-se os três tipos de elementos, escoras ravés da geometria dos campos de tensões é possível de cada elemento e aplicando as habituais técnicas de as equações de equilíbrio e compatibilidade, estando as plícitas no cálculo das extensões.

3

Equações de Equilíbrio (ver Fig. 2) Equações de Compatibilidade (ver Fig. 2)

0FNDADA

sT

cT

=+

onde, � A representa a matriz de incidências.

Amn toma o valor 1 ou -1 (consoante o sentido do elemento) se no nó m incide o elemento n, caso contrário toma o valor 0.

� Dc e Ds são matrizes constituídas pelos cosenos e senos, na diagonal principal, de cada elemento com a direcção x.

� N é um vector cujas componentes são constituídas pelos esforços axiais dos elementos [ ]n1

T NNN L=� F é o vector das forças aplicadas nos

nós num referencial global: [ ]ym1yxm1x

T FF|FFF LL=

Admitindo que Tc=ATDc e Ts=ATDs, ecombinando as submatrizes resultantes, tem-se [ ]sc

T TTT = . Assim as equações de equilíbrio podem ser escritas de forma condensada

0FTN =+

[ ] ⇔=δ+∆ 0DA|DA sT

cT 0T T =δ+∆

onde, � ∆ representa um vector com o alongamento total

de cada elementos: [ ]nn11T LL εε=∆ L

� δ é um vector com constituído pelos deslocamentos nodais no referencial global:

[ ]ym1yxm1xT | δδδδ=δ LL

α

i

j

Ln

N

N

elemen

t n

EAn

Fyj

Fyi

Fxj

n

n

Fxi

∆ i

∆ j

δ ix

y

δ j

Figura 2: Forças e deslocamentos nodais de um elemento genérico.

3. ESTRUTURAS ADAPTATIVAS De forma a ter em consideração a adaptação dos campos de tensões no interior da região, devido às características não lineares dos materiais, recorreu-se ao conceito de estruturas adaptativas [9]. Este principio baseia-se na minimização da energia de deformação da estrutura variando a sua geometria, garantindo as condições de equilíbrio e compatibilidade.

dVdUV∫ ∫ εσ= , Função objectivo min U, sujeito às restrições TN+F=0 e ∆∆∆∆+TTδδδδ=0

onde, V é o domínio de integração, σσσσ e εεεε representam as tensões e extensões do elemento, respectivamente. A título ilustrativo apresenta-se a viga representada na Fig. 3a) constituída por diversas barras com iguais características mecânicas (EA) e sujeita a cargas verticais. Minimizando a energia de deformação total do sistema obtém-se a estrutura apresentada na Fig. 3b) (salienta-se que se limitou a altura máxima da viga a z=8.0m). A minimização da energia de deformação conduz igualmente à minimização do trabalho das forças exteriores, pelo que os deslocamentos

obtidos na estrutura “adaptada” são inferiores aos resultantes de uma viga com uma forma aleatória e que utilize o máximo “gabarit” imposto de z=8.0m. Tratando-se de uma estrutura hiperstática as condições de compatibilidade são essenciais para a obtenção da solução óptima (ver Fig. 3b)). Refere-se, no entanto que, por diversas vezes os modelos de campos de tensões são isostáticos, sendo, nestes casos, suficiente o estabelecimento das condições de equilíbrio. Por fim, salienta-se que a transmissão de carga no interior de uma região de betão estrutural é sempre efectuada de forma a minimizar a energia, pelo que sempre que se alteram as condições de rigidez numa determinada zona, o caminho da carga adapta-se. Por este motivo, o conceito de estruturas adaptativas é essencial para desenvolvimento adequado de uma metodologia baseada em campos de tensões. 4. MODELOS DE CAMPOS DE TENSÕES ADAPTATIVOS A implementação de relações constitutivas não lineares na formulação apresentada anteriormente, constitui uma técnica alternativa aos convencionais modelos de elementos finitos, para a avaliação do comportamento não linear de regiões de betão estrutural. Neste caso particular consideraram-se as relações tensões/extensões apresentadas no Model Code 90 [4] para o betão e aço (ver Fig. 4), tendo em consideração as contribuição do betão entre fendas tension stiffening, no caso dos tirantes. Refere-se que, por vezes, foi adoptada uma curva tensão/extensão de classe C1, de derivada contínua, de forma a minimizar possíveis erros numéricos.

a)

100 kN 100 kN 100 kN 100 kN 100 kN

250 kN 250 kN

z=3.

00

5.00 5.00

375 kN

EA=const=20MN

5.00 5.00 5.00

δ=L/

30

375 kN

b)

100 kN

100 kN 100 kN 100 kN

100 kN

z=8.

00

5.00 5.00

169 kN

EA=const=20MN

5.00 5.00 5.00

δ=L/

100

169 kN

com compatibilidade

sem compatibilidade

250 kN 250 kN

(375 kN)(375 kN)

Figura 3: a) Geometria e deformada inicial; b) Geometria e deformada após a análise adaptativa.

Es1

σsr

σs

ε s

σsr1.3

σsy

σsu

Et1

εc

σc

fc

εc1εcuε sy εsu

Eci1

Tirante

Betão

não fendilhado

formação de fendas

fendilhação estabilizada

após plastificação

Figura 4: Relação constitutiva de um tirante de betão armado

4

5

A relação constitutiva proposta no MC90 [4] prevê a formação de um estado de fendilhação estabilizada, o que representa uma limitação na simulação de tirantes de betão armado em zonas de descontinuidade. De facto, é comum a existência de regiões com um padrão de fendilhação singular, zonas onde não é possível formar um mecanismo de fendilhação estabilizada, e.g. carga junto ao apoio (ver Fig. 5), viga com degrau, etc, condicionando de forma significativa o comportamento global da estrutura. O facto de não se observar um estado de fendilhação estabilizada, poderá estar relacionado com uma importante variação de tensão no tirante, impedindo a formação de outras fendas. Neste trabalho desenvolveu-se uma relação constitutiva de um tirante com fendilhação singular com base no Tension Chord Model. O modelo proposto por Marti et al. 1998 [6], baseia-se numa relação de tensões de aderência/escorregamento bi-linear, permitindo o desenvolvimento analítico das diversas variáveis. O modelo baseia-se na conhecida equação diferencial de escorregamento, obtida directamente das condições de equilíbrio e compatibilidade de um troço infinitésimal de um tirante com uma armadura de diâmetro φ e a área de betão efectiva circundante Ac (Fig. 7). Assume-se um comportamento elástico linear para o betão à tracção e bi-linear para as armaduras (Fig. 6).

σc

εsεsuεsy

σsy

σsu

σct

Es

Et

Ec

σs

s

τb

τb0

τb1

s1(σ =σ )s sy

εc

=2σct

=σct

Figura 6: Relações constitutivas e de aderência do betão e aço

q

q

dx

N N+dN Ac

φ

q

τb

q

τb

τb

τb

σc+dσc

σc+dσc

σc

σc

σs σs+dσs

s

Figura 7: Troço elementar de um tirante de betão armado

( )ccs

b2

AEqn1

E4

dxsd +ρ+

⋅φτ

=

onde n=Es/Ec e ρ=As/Ac

Figura 5: Caso típico de uma zona de descontinuidade com fendilhação singular

6

N

Ns;Nc

σc

σs

σsr σsy

εs

εc

ds/dx

s w

τb

τb1

τb0

τb1τb0

ltx1x0

x

li lj

δcδs;

σsy

σsh σsh

σch σch

x

< ctσ < ctσ

q q

q q

Figura 8: Tensões, extensões e escorregamento de um tirante com fendilhação estabilizada e esforço axial variável.

O desenvolvimento das expressões de equilíbrio e compatibilidade permitem definir as tensões, extensões e escorregamento no betão e armaduras na vizinhança da fenda. Na Fig. 8 são apresentados esses resultados. As relações constitutivas assumem uma forma significativamente diferente da habitual fendilhação estabilizada, conforme se observa na Fig. 9. No presente trabalho, a energia de deformação associada a um tirante com fendilhação singular foi determinada directamente a partir dos diagramas de tensões e extensões apresentados na Fig. 8. N, Ns e Nc – Esforço axial total, nas armaduras e betão, respectivamente. σs, σc – tensões nas armaduras e betão, respectivamente. σsr, σsy – tensão no aço na fenda e tensão de cedência das armaduras, respectivamente. σsh, σch – tensões no aço e betão na zona com aderência perfeita. σct – tensão de tracção do betão. εs, εs – extensões nas armaduras e betão. δs, δc – deslocamentos nas armaduras e betão. ds/dx – variação do escorregamento entre armaduras e betão. s – escorregamento. τb – tensões de aderência betão/aço. w – abertura de fendas.

σs

σsu

σsy

σsy

εsm

Relação Constitutiva (MC90)com fendilhação estabilizada

Relação Constitutivacom fendilhação singular

Figura 9: Comparação das relações constitutivas com fendilhação estabilizada e singular

5. EXEMPLO TESTE A título ilustrativo aplica-se a técnica proposta na estrutura apresentada na Fig. 10, considerando uma relação constitutiva elástica linear para a escora (elemento 2) e um comportamento não linear, de acordo com a Fig.4, para o tirante (elemento 1), admitndo um estado de fendilhação estabilizada e singular. As características geométricas e mecânicas são igualmente apresentadas na Fig.10. As matrizes que constituem o sistema governativo e as condições de equilíbrio e compatibilidade são igualmente apresentadas.

1

2

1

2

3

F

Fx1

Fy1

Fx3

Fy3

L

h=L/

tanθ

θ

(variáv

el

adapta

tiva)

E A

E A

Elemento 1

Elemento 2Ec = 32 GPaσcu= -50 MPa

Es = 210 GPaσsy = 500 MPa

ct

As = 10 mm2

Ac = 8000 mm2

Ac= 8000 mm2

σsu= 648 MPa

1 1

2 2σ = 2.8 MPa

Figura 10: Modelo teste de aplicação dos modelos de campos de tensões adaptativos A relação constitutiva para o tirante, para o caso de fendilhação estabilizada, pode ser linearizada em quatro patamares com rigidez EAi constante. Minimizando a energia de deformação total do sistema obtém-se distintos ângulos θ: - θ=59.7º (estado não fendilhado), θ=76.5º (fase de formação de fendas), θ=72.0º (fendilhação estabilizada) e θ=81.9º (fase pós-plastificação das armaduras). Efectuando análises fisicamente não lineares para a cada configuração do modelo e traçando quatro gráficos carga, deslocamento vertical do ponto 2, obtêm-se as curvas apresentadas na Fig. 11. A curva que representa a análise adaptativa é também apresentada na Fig. 11 e, tal como seria de prevêr, obtém-se uma curva que “procura” o mínimo

−−

=110011

A ,

θ

=

α

α=

cos001

cos00cos

D2

1c ,

θ

=

α

α=

sin000

sin00sin

D2

1s ,

=

2

1

NN

N

θθ−

−−θθ−−

=

sin0sin000

cos0cos101

T ,

−=

3y

2y

1y

3x

2x

1x

FFF

FFF

F ,

εε

=∆22

11

LL

,

δδδ−δδδ

=δ

3y

2y

1y

3x

2x

1x

=

−

+

θ−θ−−

00

F0

NN

sin0cos1

2

1 (equilíbrio)

=

δδ

θ−θ−

−+

εε

00

sincos01

LL

2y

2x

22

11 (compatibilidade)

100

200

300

400

0 2 4 6 8 10 12 14

[mm]

F[kN]

δ

θ=59.7º

θ=72.0º

θ=76.5º

θ=81.9º

(fendilhação estabilizada)Análise não linear Adaptativa

(fendilhação concentrada)Análise não linear Adaptativa

Figura 11: Diagramas carga/deslocamento

7

8

deslocamento. Verifica-se também que o comportamento que caracteriza a estrutura com uma relação consitutiva baseada numa fendilhação singular é substancialmente diferente. A Fig. 13, representa as tensões nas armaduras e a variação da configuração do modelo ao longo do processo incremental. Ilustra-se igualmente na Fig. 12 um gráfico que representa a variação da energia de deformação com a carga e o ângulo θ, observando-se claramente a configuração que minimiza a energia de deformação para cada passo de carga.

Salienta-se por fim que a formulação proposta foi já aplicada a diversos casos de análise de zonas de descontinuidade, tendo sido possível comprovar a qualidade dos resultados obtidos.

0

100

200

300

400

500

600

100

200 300 400 F [kN]

σsu

σs

[MPa]

Adaptaçãoda Geometria

Adaptação da Geometria

Análise não Linear

50

60

70

80

θ [graus]

F [kN]

θ=59.7º

θ=72.0º

θ=76.5º

θ=81.9º

σsy

1.3σsr

σsr

=59

.7º

θ

=72

.0º

θ(r

igid

ezfe

ndilh

ação

esta

biliz

ada)

(rig

idez

não

fend

ilhad

a)

=76.

5º

θ

(rigi

dez f

orm

ação

dafe

nda)

=81.9º

θ

(rigid

ezpó

s-plas

tificaç

ão)

200 300 400100

CARG

Avs

TEN

SÕES

NAS

ARM

ADU

RAS

(ELE

MEN

TO1)

CAR

GA

VSCO

NFI

GU

RAÇ

ÃOD

OM

OD

ELO

Figura 13: Configuração do modelo e tensões nas armaduras ao longo do processo de carregamento.

89

85

81

77

73

69

65

61

57 53 49

45 41 37 33

0

50

100

150

200

250300

350

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

θθθθ [graus]

F[kN]

Figura 12: Gráfico que relaciona a força aplicada, ângulo entre barras e energia de deformação

9

10.5

7.8

-0.1

-3.4

-4

-6.4

-4.8

-51 .

2-5

3.3

-53.

3- 5

2.2

-51 .

3-5

0.3

-51 .2

-53 .3

-53 .3

-52. 2

-51 .3- 5 0. 3

P/2=50 kN P/2=50 kN

P/2=50 kN P/2=50 kN

P/2=150 kN P/2=150 kN

P/2=150 kN P/2=150 kN

37.2

9.3

8.2

-6.7

-14.8

-20

-13.7

-154

.6- 1

57.1

-159

.8-1

5 7.6

-15 3

.8- 1

5 0. 7

-154.6

-15 7.1

-159. 8

-157.6

-1 53 .8-1 50 .7

P/2=250 kN P/2=250 kN

P/2=250 kN P/2=250 kN

49.4

11.6

9.3

10.3

6.2

-44.3

-42.9

-25 4

.9- 2

57.4

- 259

.8-2

62. 8

-26 4

.8-2

53.7

-254 .9

-257.4

-259.8

- 262.8

-26 4.8

-2 53. 7

P/2=350 kN P/2=350 kN

P/2=350 kN P/2=350 kN

69.7

10.6

9.3

9.3

9.3

-5.3

-103.3

-356

.9-3

59.1

-361

.4- 3

63.8

- 366

.5-3

65

-356 .9

- 35 9.1

-361.4

- 363.8

-366.5

- 365

P/2=450 kN P/2=450 kN

P/2=450 kNP/2=450 kN

11.6

91.3

-459

.2

-0.5

-136.1

11.8

10.6

10.9

-461

.8

- 467

.3

-464

.5

-470

.2

-470

.3

-45 9.2

-4 61 .8

- 464.5

-467.3

-470.3

-470.2

P/2=550 kN

P/2=550 kN

P/2=550 kN

P/2=550 kN

-559 .4

-571.5

-579.2

101.8

21.2

16.7

15.2

9.8

-181.5

16.4

-56 3

.6

-55 9

.4

-567

.5- 5

71.5

-574

.2-5

79. 2

-56 3.6

- 567.5

-574.2

200

400

600

800

1000

1200

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

wk [mm]

P [kN]

1.0

(1.28)

200

400

600

800

1000

1200

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

P [kN]

smε [% ]0

200

400

600

800

1000

1200

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

P [kN]

δ [mm]

Máxima Abertura de FendasExtensão médiaDeslocamento

Cargavs

Cargavs

Cargavs

Ensaios Experimentais

Modelo Campos Tensões Ensaios Experimentais

Modelo Campos Tensões

Modelo Campos Tensões

Ensaios Experimentais

Figura 14: Comparação de resultados obtidos pelos modelos de campos de tensões adaptativos e os ensaios experimentais de uma viga parede (Leohnardt, Walther, 1966 [5]) 6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO

PRÁTICA Os modelos de campos tensões adaptativos, apresentados anteriormente, foram aplicados num caso prático, relevando as potencialidades deste tipo de técnica para dimensionamento e análise de zonas de descontinuidade. A Fig. 15 representa os pilares e a secção transversal do tabuleiro de um viaduto com vãos correntes de 35.0m na Autoestrada A28. As cargas verticais, provenientes do tabuleiro, são transmitidas, aos pilares através de aparelhos de apoio do tipo “pot”. A carga de dimensionamento é de 8550 kN, por viga, tendo-se adoptado uma solução pós-tensionada no topo do pilar, de forma a reduzir a quantidade de armadura passiva garantido, simultaneamente, um

1.10 3.00 7.50 1.00

0.30

12.90

1.50

Ø1.00

i=6.5%

Ø1.00

Figura 15: Secção transversal do tabuleiro e pilares

10

adequado comportamento em serviço. Para o dimensionamento e pormenorização do capitel do pilar, foram elaborados dois modelos distintos (ver Fig.16), um para a fase de aplicação de pré-esforço, onde se prevê uma tracção provisória na face inferior das consolas e o segundo para as cargas verticais, que corresponde a um caso típico de carga junto ao apoio, onde se deverá dispôr de armaduras verticais para suspender parte da carga. A pormenorização de armaduras resultou directamente dos modelos de escoras e tirantes e são apresentadas na Fig.17.

1000 kN

4880 kN

430.7

430.7 kN

-17.7 MPa9766 kN

-494

376

-451

-242

494

-1000

-4880 -4894

-376

72-72

-4881

-1003

-2547

-2338

-758

0

-412

2

1710

kN

5131

kN

1710

kN

21.00 MPa

3420

kN

5131

kN85

51kN

22997879

1710

-2299-7879-9766

9766P

4.97 MPa

5880 kN

Figura 16: Modelos de dimensionamento para a fase de aplicação do pré-esforço e Estado Limite Último

Ø16//0.20

7Ø32 + 2Ø25c/3.00

5Ø16

5Ø25 + 2Ø32

7Ø327Ø32 + 2Ø25c/3.00

Ø12//0.10 (4r)

5Ø25 + 2Ø32

5Ø16

P=5880 kNAsp=5040mm2

Figura 17: Pormenorização de armaduras. Elaborou-se um modelo de campos de tensões adaptativo para avaliar o comportamento não linear da região. O modelo inicial teve em consideração ambos os mecanismos associados à fase de aplicação de pré-esforço e cargas verticais. Cada elemento representa uma ou mais camadas de armaduras e os campos de compressões foram orientados segundo o caminho de carga previsto. Ao longo do processo incremental verificou-se a carga e descarga de diversos elementos devido à adaptatividade dos campos de tensões.

Visto que durante a fase de aplicação do pré-esforço a região permanece não fendilhada, compararam-se os resultados obtidos, com um modelo de elementos finitos baseado na teoria da elasticidade, tendo-se verificado uma boa concordância dos resultados, nomeadamente no que se refere a deslocamentos e trajectórias de tensões (ver Fig. 18) Na Fig. 19, apresentam-se os modelos de análise para alguns dos passos de carga, assassociados, verificando-se a adequabilidade decasos de carga.

Figura 19: Modelos de campos de tensões para d Os resultados obtidos da análise permitiram tros diagramas correspondetes à tensão armaduras (Fig. 21), abertura de fendas (Fig. 2carga/deslocamento (Fig. 20) ao longo do procede carregamento. Refere-se que os resultaobtidos pela análise não linear são semelhantesobtidos através dos modelos de dimensionamapresentados na Fig. 16, nos passos de ccorrespondentes à fase de aplicação do pré-esfe para a carga de Estado Limite Último.

P P

Figura 18: Trajectórias elásticas de tensões na fase de aplicação do pré-esforço

im como os respectivos campos de tensões sta metodologia para situações com diversos

iversos casos de carga

açar nas 1) e sso dos

aos ento arga orço

δ

P, F

P=5880kNF=8550kN

P

FP=5880kN

F=0

Figura 20: Relação carga deslocamento

11

12

0

σs

σsy400

200

P

P=5880kN

PP

F

F P=5880kNF=8550kN

F=0

0

wk

P

P=5880kN

PP

F

F P=5880kNF=8550kN

F=0

P, F

0.16

P, F

G G+Q G G+Q

Figura 21: Tensões nas armaduras e abertura de fendas ao longo do processo incremental 7. CONCLUSÕES Este artigo apresenta uma técnica alternativa aos convencionais modelos de elementos finitos para a avaliação do comportamento não linear em zonas de descontinuidade de betão estrutural, baseada inteiramente no conceito de campos de tensões adaptativos. A metodologia apresentada proporciona a avaliação do comportamento estrutural de uma determinada região em todas as fases de carga, permitindo estudar aspectos relacionados com a ductilidade e comportamento em serviço em zonas de descontinuidade, aspectos frequentemente referidos como incovenientes na aplicação de modelos de campos de tensões. Finalmente, apresenta-se um exemplo da aplicação da técnica a um caso prático, observando-se a adaptação do “caminho da carga” ao longo do processo incremental e verificando-se a adequabilidade deste tipo de modelos a situações com diversos carregamentos. 8. REFERÊNCIAS [1] Almeida, J., Lourenço, M. (2005): Stress Field Models for Structural Concrete, fib

Symposium “Keep Concrete Attractive”, Vol. 1, pp 525-531, Budapest, 2005. [2] Lourenço, M., Almeida, J. (2006): Nonlinear Behaviour of Concrete Discontinuity Regions,

proceedings of 2nd International Congress Naples 2006, Naples, 2006. [3] Lourenço, M.; Almeida, J. – “Campos de tensões em zonas de descontinuidade”, Betão

Estrutural 2004, Porto, Novembro 2004. [4] CEB-FIP MC 90 (1993): Design of concrete structures. CEB-FIP-Model-Code 1990.

Thomas Telford, 1993. [5] Leonhardt F. and Walther R. (1966): “Wandartiger Träger”, DAfStb Heft 178, Wilhelm Ernst

& Sohn, Berlin [6] Marti, P., Alvarez, M., Kaufmann W., Sigrist V. (1998): Tension Chord Model for Structural

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13

[7] Muttoni, A.; Schwartz, J.; Thürlimann, B. (1996): Design of concrete structures with stress fields. Birkhäuser, Basel, 1996

[8] Rückert, K. (1991): Design and analysis with strut-and-tie models - computer-aided methods. IABSE Rep. V.62 (1991 a), 379-384

[9] Teuffel, Patrick (2004): Entwerfen adaptiver Strukturen. PhD Thesis. ILEK Universität Stuttgart 2004

[10] Schlaich, J.; Schäfer, K; Jennewein, M. (1987): Toward a consistent design for structural concrete. PCI-Journ. V.32 (1987), No.3

[11] Schlaich, J.; Schäfer, K. (1991): Design and detailing of structural concrete using strut-and-tie models. The Structural Engineer, Vol 69, No. 6, 1991

[12] Sundermann, W. (1994): Tragfähigkeit und Tragverhalten von Stahlbeton-Scheibentragwerken. Diss., Institut für Tragwerksentwurf und -konstruktion, Univ. Stuttgart, 1994.

[13] fib Bulletins 1 to 3 (1999): Structural concrete. Textbook on behaviour, design and performance - updated knowledge of the CEB/FIP Model Code 1990. Volume 1: Introduction - design process - materials. 244 pp., July 1999 Volume 2: Basis of design. 305 pp., July 1999 Volume 3: Durability - design for fire resistance -member design - assessment, maintenance and repair - practical aspects. fib Lausanne, July 1999