Administração da Produção e Sistemas de Informação

MODELOS QUANTIT~TIVOS DEAPOIO AS DECISOES - 11

Pierre Jacques EhrlichProfessor do Departamento de Informática e

Métodos Quantitativos da EAESP/FGV.E-mail Ehrlich@eaesp.fgvsp.br

RESUMO:O sucesso da aplicação de técnicas de Análise das Decisões como apoio em problemas com umúnico objetivo predominante abriu caminho para estudos de problemas mais ambiciosos como os dedecisões com multicritérios e decisões e de grupo (estes dois tipos utilizam metodologias muito semelhan-tes). Como evolução natural da Análise das Decisões, resultou a metodologia MAUT (Multi-Attribute UtilityTheory). Seu rigorismo teórico torna as aplicações difíceis para um analista menos preparado. Como conse-qüência, surgiu a metodologia AHP IAnalytic Hierarchy Process)de utilização extremamente simples. Acrítica ao AHP veio da escola européia que criou uma série de métodos conhecidos pela abreviação co-mum: MCDA (Multicriteria Decision Aid).

ABSTRACT:Thesuccess of Decision Analysis as support for problems with a single predominant obiectiveopened the road to more ambitious decision problems with Multicriteria and Group Decisions (these two usesimilar techniques). The natural evolution of Decision Analysis is the MAUT (Multi-Attribute Utility Theory).Its theoretical rigor makes it difficult to be used by non-specifical/y trained analysts. As a consequence,appeared the AHP (Analytic Hierarchy Process) extremely easy to use. The criticism on the AHP came from theEuropean school with several methods known under the name MCDA (Multicriteria Decision Aid).

A primeira parte deste artigo foi publicada na RAE - Revista deAdministração de Empresas, v. 36, n.1, p. 33-41, jan./fev./mar. 1996.

KEY WORDS decision support, multicriteria, multi-attribute, conflicting objectives.

PAlAVRAS-CHAVE: apoio à decisão, multicritério, multi-atributo, objetivos conflitantes.

44 RAE - Revista de Administração de Empresas São Paulo, v. 36, n. 2, p. 44-52 Abr./Maio/Jun. 1996

MODELOS QUANTITATIVOS DE APOIO ÀS DECISÕES - 1/

A primeira parte deste artigo tratou,essencialmente, da apresentação da mode-lagem para apoio às decisões e da partemais clássica, ou monocritério, que se de-senvolveu sob o nome de Análise das De-cisões. Concluindo essa primeira parte,apresentou-se, como introdução aos pro-blemas multicritérios e de decisões em gru-po, um exemplo utilizando o softwareHiview-,

Esta segunda parte do artigo tratará dosproblemas de decisão sobre os quais sãocontemplados objetivos que tanto podeminteragir numa mesma direção de satisfa-ção como em direções opostas. A exposi-ção a seguir tem como essência a estru-turação global que permite contemplaresses diversos objetivos, assim como os"compromissos" (tradeoffs) de compati-bilização entre eles.

Para a maioria dos problemas de inte-resse prático é necessário que se analisem,simultaneamente, vários atributos de cadaalternativa. Ou seja, os problemas de deci-são requerem urna visão global que com-preenda vários critérios.

Em um problema de decisão, os várioscritérios correspondem aos aspectos queidentificamos cornoimportantes para atin-gir o objetivo de classificação das alterna-tivas segundo nossos desejos (ou valores).Normalmente, começamos um problemade decisão pela especificação dos nossosobjetivos, ou seja, dos critérios Cl' C2, ••.•

Estabelecemos uma métrica para estes cri-térios, de modo a poder ordená-los segun-do o grau de "desejabilidade", e, a seguir,listamos as alternativas de ação (a., a2, .•.

- isto é, que pertencem ao conjunto A, dealternativas ou de ações). O processo cos-tuma ser de "idas e vindas" entre os crité-rios e as alternativas. Novos critérios pas-sam a ser contemplados e novas alternati-vas, criadas. Ao final, obtém-se duas tabe-las: uma de critérios e outra, de alternati-vas. As alternativas são avaliadas, paracada critério, pelas medidas ou ordenaçõesquanto aos seus atributos Xi.

Um exemplo clássico é o da procura deuma nova residência. Desejamos que essacasa seja grande, barata e com boa vizi-nhança. O objetivo global é que a residên-cia seja a mais adequada possível. Numprocesso de decomposição hierárquica,este objetivo global foidecomposto em três

//'Y/ij /~/Paraa maioria dos problemas <,d~nteresse/r)rót7icoé /I?I ~J/ . ~.lI/ffi~cessário que<'s~,ar{~S~,f~W

. símultaneali1~t.e,~riosatributos de cada alfef'nêltiva.Ou~~ja~Qsproblemas de

-> //.v

decisão requeremyrna visãoglobal que compre~nd~//vários éntêriw

/ /

critérios: tamanho, preço e vizinhança. Oobjetivo que se refere ao tamanho é claroe pode ser medido em m-, o que se refereao preço também é claro, e medido em R$,mas quanto à vizinhança, o objetivo émaisnebuloso, por ser um conceito menos níti-do: seria necessário decompor este objeti-vo em diversos sub-objetivos, corno tem-po de transporte, criminalidade, acessopara compras etc.Destes sub-objetivos re-sulta um número índice numa escala talque: "IDO = omelhor" e "O = o pior". Apósa utilização de um critério de seleção de"suficiência", onde só são mantidas as al-ternativas com um desempenho mínimoem cada objetivo - área mínima para a fa-mília, preço máximo que podemos pagare qualidade mínima de vizinhança -,são selecionadas três habitações, segun-do estas especificações:

-Alternativa Área (mZ) Preço (R$) V'rtíntlança

H1H2H3

160200210

180.000240.000230.000

908090

A primeira observação é que a alterna-tiva H2 é 1/ dominada'? pela alternativa H3,de modo que somente sobram, para com-petir, as alternativas H1 e H3.

Aprimeira seleção,por suficiência e pordominância, é extremamente útil e impor-tante. Para se selecionar entre as alternati-vas sobreviventes, é preciso construir umnúmero índice, sorna ponderada dos va-lores dos objetivos (e das suas interações),onde cada peso reflita a importância rela-tiva do objetivo, a escala na qual este foimedido e a relação de troca entre um obje-tivo e outro.

© 1996, Revista de Administração de Empresas / EAESP/ FGV,São Paulo, Brasil.

1. Da empresa inglesa Krysalis.

2. Uma alternativa é dominadaquando, para todos os critérios,ela não é melhor que a do-minadora e é pior em pelo me-nos um critério.

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3. Alguns autores preferem int-ciar a classificação com duas li-nhas de pensamento. A primeiralinha, normativa, corresponde àda metodologia MAUT. Muitoembora as demais se configuremcomo de apoio às decisões, narealidade todas o são.

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Amaioria dos problemas de decisãonãotem somente um objetivo. Objetivos múl-tiplos e conflituosos são a norma. A com-paração e as trocas entre objetivos de na-tureza e de mensuração muito diferentesconstituem-se em tarefa difícil.

As metodologiasO processo de seleção da melhor alter-

nativa ou de um conjunto das melhoresalternativas origina diversas escolas, den-tre as quais se destacam três" grandes li-nhas de atuação:

• a primeira, chamada MAUT (Multi-Attribute Utility Theory),parte da cons-trução de utilidades individuais paracada critério (5UF), para, dentro deste,quantifícar e ordenar as preferências, eda agregação das diversas SUFem umaúnica função de utilidade (MAUF),quecomporta a importância de cada crité-rio, além das substituições (tradeoffs) edos seus relacionamentos. As alternati-vas são, então, ordenadas de acordo cornos valores obtidos na MAUF;

• a segunda, chamada AHP (Analytic-Hierarchy Process), inicia o processopela decomposição hierárquíca do obje-tivo global em critérios, sendo estes, porsua vez, decompostos de forma a se ob-ter uma cascata em vários níveis, até quese atinja o patamar mais elementar decada ramo. As alternativas são, então,comparadas aonível mais elementar doscritérios. Para cada critério, a intensida-de da preferência é estabelecida entrecada par de alternativas, numa escalasubjetiva (1,2,3,5,7,9, e valores interme-diários, onde 1= indiferença e 9 = prefe-rência extrema).Após o cálculo (de auto-vetor) resultam pesos relativos de pre-ferência para cada seqüência de compa-rações. Por sua vez, em cada nível oscritérios também são comparados aospares, num processo idêntico ao anterior,para especifícar suas importâncias rela-tivas. Para cada alternativa, resulta umasoma ponderada dos pesos de preferên-cia em cada critério, multiplicados pelorespectivo peso de importância destemesmo critério;

• a terceira é chamada MCDA (Muti-Criteria Decision Aid), ou escola euro-péia. O processo de decomposição doobjetivo é semelhante ao do AHP, e ascomparações entre alternativas também

são feitas no último nível de decompo-sição e aos pares, mas, em vez de umamedida de intensidade de preferência,o resultado ébinário (ou quase) em cadacritério. A análise sobre o conjunto doscritérios conduz a uma desclassificação(outranking) da alternativa perdedora oupromoção de classe (surc1assement) da ga-nhadora. Constroem-se classes (comodejogadores de tênis), e, em cada uma de-las, ocorre a ordenação das alternativas.

Na prática, todos os procedimentos aca-bam sendo utilizados como de apoio àsdecisões. Conseqüentemente, surge umalegítima procura por simplificações, que,por força de certo rigor, tornam mais fácila operação das ferramentas.

Processo da Multi-Attribute UtilityTheory (MAUT)

Os diversos critérios podem não ser in-dependentes. Por exemplo, na análise depropostas de trabalho, pode-se desejar omáximo de saúde, tempo e dinheiro; en-tretanto, o valor atribuído ao dinheiro de-pende dos outros dois critérios. O proces-so MAUT é o único que se propõe a anali-sar o difícil problema da interação entreos critérios.

Para a agregação das utilidades (valori-zações) dos vários critérios, a forma aditivaé a mais intuitiva e a mais simples:

U(x11 Xz ,x3, X41 XSf x61 x7' Xa) = k1u/xl) +k2u2Xz+ .. " + kg~(X8)'

Esta forma deve ser utilizada sempreque possível. Ela mostra a grande facili-dade nos procedimentos quando podemosseparar as utilidades para cada critério iso-ladamente e agregar o conjunto na partefinal da avaliação das alternativas. Infeliz-mente, nem sempre o problema é tão sim-ples.

Analisemos as condições para que hajaum meio de agregação que, de uma formamais geral, resulte numa MAUF mul-tilinear (a forma aditiva é um caso maissimples de uma multilinear). O métodoMAUT procura analisar as relações entreos diversos critérios antes de definir umaforma funcional para aMAUF que agregaas diversas utilidades.

Para se poder definir e obter as diver-sas utilidades de cada critério, é precisoque cada uma delas não dependa do nível

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dos outros atributos (valores nos critérios).Isto equivale a dizer que uj(x) não se mo-difica quando o nível dos atributos nosseus critérios se altera. Numa notação maisformal, é preciso haver uma independên-cia em relação aos intervalos. Assim, paraum critério c., se [u(x') - u(x".)] = k*[u.(x"') - uj(x""j)]' kj não deve' depende; d~valor dos outros critérios.

Havendo uma loteria, a condição ante-rior precisa ser estendida para uma inde-pendência de utilidade. Essa independên-cia ocorre quando a relação entre as pro-babilidades da loteria e sua utilidade (ouseu equivalente certo) não depende dovalor dos outros critérios. Satisfeitas essascondições, é possível definir a formamultilinear.

Para simplificar a notação, com três cri-térios, haveria este resultado:

U(:lS.'~ x3) = lsu,(x) + k2~(~) + kSu3(x.)+ klZUl(X)U2(XZ) + k13u/X1)U3(X3) +~u2(JS)lis(X3) + ~Ul(Xl)~(~)~~)'

Com dois critérios, este resultado:U(X1,X2) = k1u1(X1) + k2u2(X2) +kUl(Xl)~(X2)' onde k = 1 - (k) + k2).

Seja X1Mo máximo de Xl e xlmo mínimo,de modo que u(x1m)= O e U(XlM)= 1.

Seja X2Mo máximo de x2 e x2mo mínimo,de modo que u(x2m) = O e u(x2,) = 1.

Então: k1 = U(X1M,x2m)e ~ = U(xlm, X2M).

Verificamos que, também para a MAUF,U(x1m, x2m)= O e que U(xIM' X2M)= 1.

A forma aditiva é um caso particularda forma multiplicativa, na qual:

S k=l.,

Uma MAUF aditiva assuiiiã forma:U(x" Xz,x3) = ls u1(:lS.)+ kz~(X2)+ kp3(X3)·

É muito mais fácil trabalhar com umaforma aditiva. Sua existência está condi-cionada à independência de pares em re-lação aos demais critérios:

• um par de critérios (C;, c.) é preferenci-almente independente dÓs outros crité-rios quando as taxas de troca entre eles(que depende dos seus valores) não de-pende do valor dos outros critérios. Isto

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quer dizer que as curvas de indiferençanão se mudam quando o nível dos ou-tros critérios se altera;

• havendo uma loteria envolvendo os doiscritérios, eles são aditivamente indepen-dentes se uma loteria L, com 50% de (osdois no valor máximo) e 50% com (osdois no valor mínimo) é indiferente auma outra loteria L2 com 50% de (umcritério no valor máximo e o outro novalor mínimo) e 50% de (um critério novalor mínimo e o outro critério no valormáximo).

Cabe ao analista verificar estas condi-ções durante o processo de modelagem.

Os problemas de independência sãoilustrados, a seguir, por alguns exemplos.

Suponhamos um projeto para a explo-ração de determinado recurso natural,buscando os melhores resultados possí-veis. O objetivo global "melhores resulta-dos possíveis" é decomposto em dois cri-térios: C1 - o resultado financeiro [ondequanto maior xI' maior será UI(Xl)]' e C2-o nível de impacto sobre o meio ambiente[onde quanto menor x2'maior será U2(X2)].

Neste caso, a desejabilidade de um crité-rio não é afetada pela do outro critério (in-dependência de intervalo) e a MAUFmultilinear é possível. Em caso de incerte-za quanto aos resultados, se houver indi-ferença (o que não é evidente) entre loteri-as do tipo Ll e L2' ela se simplifica para aforma aditiva: U(x1,x.) = k, ul (x.) + kzU2(X2).

Este é o caso mais simples. Sempre quepossível, convém modelar o problema dedecisão (principiando pelas decomposi-ções hierárquicas e escolhendo os critériosmais convenientes) de modo a resultar nasimplificação.

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Para o sub-objetívo Performance, resultou:

Ranking for Performance Goal

AltemativeCoyoteMounain LionWolf

• Fuel Economy

Utility0.5000.6070.500

====-~.._...._._._._._._...._.J

Power

Preference Set ~ Truck.set

E, para o objetivo global:

Ranking for Best Truck Ooal

AlternativeCoyoteMountain LionWolf

• Performance

Utility0.7500.5740.286

----------=---

Price • Styling

Preference Set = Truck.set

4. Da empresa Logical Deci-síons, USA. Estesoftware servepara MAUT, AHP ou para simplesponderação.

5. KEENEY,R. Value focusedthinking. USA: Harvard UniversityPress, 1992.

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Um outro exemplo é a situação em quealguém esteja desejando consumir aomáximo café e açúcar. Como ele gosta decafé com açúcar e de açúcar no café, a dis-ponibilidade dos dois conjuntamente au-menta a utilidade global. Isto equivale adizer que L1 é preferível a L2 e que não háindependência aditiva. Resulta umaMAUF multilinear: U(xj' x.) = kju/xl) +kZU2(X2) + ku/x])uZ(x2), onde k > O.

Se, em vez de café e açú-car, o problema tivessesido o do consumo de ar-roz e de trigo, levando-seem consideração o fato deque para o ato de se ali-mentar é valorizado "pelomenos um dos dois", L2seria preferível a Lj' A função seria a mes-ma, mas resultaria k < O.

Entretanto, se o primeiro problema ti-vesse sido consumir café somente comuma proporção fíxa de açúcar que cor-

AlternatlveNameMountaln LlonGoyoteWolf

responde a determinado gosto (e vice-ver-sa), a questão teria sido simplifícada paraum caso e critério únicos. Vemos, nestecaso, a importância do cuidado em mon-tar a estrutura do modelo.

Após a aceitação de uma estrutura deMAUF, digamos aditiva, como obter ospesos k? Comparamos os critérios dois adois, e definimos duas situações:

A: u] = 1 e ~ =0B: UI = O e u2 = 1

Pergunta-se: qual das duas situações éa preferida?

Sendo, por exemplo, a situação A, evi-dentemente o decisor atribui mais valor aocritério CI•

Reduz-se UI até uma situação de indife-rença r, onde o decisor é indiferente entreBel.

Digamos, situação 1: u] = 0,3 e ~ = 1-Deduz-se que kz/k] = 0,3.Observando que kl + k, = 1, resulta: k,

= 0,77 e k, = 0,23.Havendo vários critérios, escolhe-se um

só como base de referência para compara-ções: o mais valorizado de todos. No casodo exemplo foi CI'

Um outro exemplo: o uso de LogicalDecisions" para ordenar a preferência en-tre três caminhões, em função de quatrocritérios, segundo estes dados:

• os critérios Fuel Economy e Power fo-ram agregados em um sub-objetivo cha-mado Performance;

• foram estabelecidas utilidades para cadacritério quantitativo e pesos para o cri-tério qualitativo;

• foram analisados os tradeoffs entre crité-rios, para a construção de utilidadesaditivas: uma para o sub-objetivo e ou-tra para o objetivo.

StylingMediocreMuscularNondescript

Price11000900015000

Fuel Economy212316

Power130109175

ométodo MAUT é de uma solidez teó-rica incontestável. A escolha (e a existên-cia) da Utilidade Agregada é condiciona-da a verificações prévias que somente oMAUT se propõe a realizar. Keeney-mos-

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tra uma grande variedade de aplicaçõesbem-sucedidas do MAUT e o modo de li-dar com as aparentes violações das condi-ções de independência. O método MAUTrequer um bom detalhamento de informa-ções e também muita habilidade por partedo consultor que assessora o corpo decisor.

Analytic Hierarchy Process (AHP)O AHP, mantendo uma estrutura

normativa como o MAUT, procura umamaior simplicidade na modelagem do pro-cesso de decisão, de modo a permitir umatotal compreensão da parte decisor, a cati-var sua confiança e a propiciar uma maiorparticipação na estruturação do problema.O preço a pagar por tantos benefícios é degrandes compromissos com o rigorismoteórico.

De qualquer modo, apesar da estruturanormativa, o AHP acaba sendo utilizadocomo ferramenta de apoio às decisões. Suasimplicidade o toma bastante popular, tan-to para decisões individuais como em gru-po. De fato, seu uso é muito difundidoentre usuários que - quando bem avisa-dos das limitações do AHP, e com habili-dades para tirar proveito das suas quali-dades - acabam tendo uma boa ferramen-ta de apoio às decisões.

A classificação das alternativas em or-dem de preferência é sempre feita por meiode uma função aditiva.

O processo requer as seguintes etapas:

• decompor o objetivo, em uma estruturahierárquica;

• listar as alternativas;• comparar, aos pares, os critérios ligados

a um mesmo nó, para cada nível hierár-quico, para que, assim, obtenham-se asimportâncias desses critérios;

• comparar as alternativas aos pares, paracada critério, para que, assim, obte-nham-se as preferências;

• determinar os pesos relativos a cada con-junto de comparações; determinar ospesos relativos por meio do "auto-vetor"; verificar a consistência;

• agregar o conjunto, de modo a se classi-ficarem as alternativas.

As comparações são sempre feitas numaescala subjetiva de I, 3, 5, 7, 9, onde 1 sig-nifica indiferença e 9, preferência extrema.

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A escala foi construída partindo-se doprincípio de que a percepção humana nãoconsegue distinguir mais do que sete (maisou menos dois) níveis diferentes. O pro-cesso permite utilizar os valores interme-diários, aceita inconsistências (ilustradasmais adiante) e recomenda que o índice deinconsistência relativa não exceda 0,10.Voltaremos a falar sobre este índice de in-consistência.

Tomemos como exemplo um problemade aplicação de dinheiro: como aplicar R$250.000. O objetivo global (goal) foi decom-posto em quatro critérios: rentabilidade,segurança, liquidez, e facilidade de gestão.Num processo de comparações aos pares,atribuem-se (subjetivamente) as importân-cias relativas para os critérios:

INVESTIR R$ 250.000, sem mexer, por três meses no mínimo

Compare the relativa IMPORTANCE with respect to: GOAL

SEGURAN LlQUIDEZ GESTÃO

RENTAB 1. (2,0)3,0

SEGURAN (2,0) (3,0)LlQUIDEZ 2,0

Row element Is _ rimes mora thafl column 91smfJnt un!BSS encJas6d in O

SEGURAN

Abbreviation DeflnltlonGoal INVESTIR R$ 250.000, sem mexer, por três meses no mínimoRENTAB

L1QUIDEZGESTAO

RENTAB ,251

SEGURAN ,109

L1QUIDEZ ,334

GESTÃO ,307

-Inconsistency Hatlo =0,09

Importâncias estabelecidas pelo decisor:R >- S; G = L; G >- R com os:

iRS= 3; 4r. = 1; iRG = 112; ~L = 'ih; ÍsG =.'l/3;~=2.

Observamos que iLG = 2, mas, para ha-ver consistência perfeita, seria necessárioque fosse iLS * isc;= 2/3. Esta inconsistênciaé considerada aceitável, desde que as im-portâncias relativas reflitam o sentimentodo decisor. Um índice de inconsistênciasexpressa o conjunto de casos como oexemplificado. Aqui, esse índice resultouem 0,09.O considerado aceitável é até 0,10.

Node:O

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Vejamos a classificação dos propósitos:Os "pesos" normalizados (soma igual aum) são obtidos por meio de um cálculode "auto-vetor".

Por um processo inteiramente análogo,as preferências pelas alternativas são ob-tidas para cada critério. A título de exem-plo, vejamos as preferências para o crité-rio gestão.

INVESTIR R$ 250.000, sem mexer, por três meses no mínimoNade: 40000

Compare lhe relative PREFERENCE with respect lo: GESTÃO -c GOAL

Pcupanca Fundos I Bolsa BR I Bolsa NY Fixo US Cash U$[múvels (9.0) (8,0) I (7,0) I (3,0) 2,0) (9,0)

Poupanca 2,0 3,0 I 8,0 9,0 1,0

Fundos I 2,0 I 5,0 8,0 (3.0)Bolsa BR I , 7,0 5,0 (2,0)

Bolsa NY I I (2,0) (9.0)_FíxoUS I (8,0)-

Rowe!smentls_limesmora ihBn ruumtlQlemenf unIe:J:.j ecoasea m O

-Abbrevlatlon Oefinition

Goal INVESTIR R$ 250.000 por três meses, no mínimo, sem mexer_GESTÃOImóveisPaupancaFundos Fundos de Bancos ou de FinanceirasBolsa BR Mix na Bolsa no BrasilBolsa NY Mix na bolsa de NYFixo US Time Deposit ou Treasure Bonds ou semelhanteCash U$ I Dollares Cash ao abrigo como Travellers Checks

Imóveis ,022_

Poupanca ,292

Fundos ,181

Bolsa BR ,141

Bolsa NY ,033_

Fixo US ,036_

Cash U$ ,297

Inconsistency Ratío ~0,05

6. Elimination et Choix Traduisantla Realité. Comercializado peloLAMSADE.

7. Preference Ranking Organi-zation Method of EnrichmentEval u atio ns/B eo metri c aiAnalysis for Interactive Aid,O software correspondente,PROMCALC, é comercializadopela Universidade Livre de Bru-xelas. Defato, PROMETHEEpodeser utilizado como um métodonormativo, tal como o AHP.

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O processo se repete para os outros cri-térios, e a classificação final é obtida dasoma ponderada das preferências de cadaalternativa pela respectiva importância docritério,

o Multi-Criteria Decision Aid (MCDA)OMCDApode ser visto como um crité-

rio de oposição às escalas numéricas doABP. Seus adeptos observam que, noexemplo anterior, faz sentido classificar asimportâncias como R >- S, mas que a rela-çãonumérica 3 é totalmente desprovida deinterpretação racional. A partir dessa ob-servação, a proposta é que a sua funçãoseja de mero apoio às decisões, dentro daslimitações de propósitos mais modestos.

• P.a propõe encontrar um subconjuntode ações tão restrito quanto possível (oideal é uma só ação), procurando iden-tificar a solução ótima, Seesta não for en-contrada, então que o seja pelo menosum subconjunto de soluções satisfató-rias. O intuito é conduzir à escolha deuma açãovencedora,comoo fazemmode-los normativos como o MAUT e oAHP;

• P.b propõe classificar as ações em cate-gorias predefinidas (do tipo: aceita, re-jeita, põe de lado para reconsideraçõesfuturas);

• P.g como passo seguinte a P.B, se possí-vel, ordenar as classes e, dentro destas,as ações;

• P.d descreve as conseqüências das ações,sem tentar classificá-las. O intuito é aju-dar o decisor a melhor entender o pro-blema da decisão.Tipicamente,seriao ca-so de análise de cenários e de simulações.

O MCDA também parte do fim de umprocesso de decomposição hierárquica e aspreferências dentro de cada critério sãoestabelecidas por comparações aos pares(como noAHP). Entretanto,no MCDA, aspreferências dentro de cada critério sãoestabelecidas por um pseudo-critério (as-sim chamado para acomodar relações for-tes e relações fracas). Os métodos maisconhecidos são o ELECTRE6e PROME-THEE/GAIN.

Vamos descrever, a seguir, um dos pro-cessos de estabelecimento de importân-cias e de preferências.

As relações para um critério (preferências)Para cada critério, utilizam-se as medi-

das originais de desempenho (preço, ve-locidade, concentração de gazes etc.) ouuma escala qualitativa (muito confortável,pouco confortável etc.), ou ainda uma fun-ção de utilidade Ui para o critério CiO

As alternativas são comparadas, aospares, para cada critério.

Para cada critério C. são estabelecidoslimiares, que podem ser medidos em ter-mos absolutos ou relativos:

• limiar de indiferença Pio• limiar de preferência qi'• limiar de veto Vi;• limiar de comparabilidade ri.

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MODELOS QUANTITATIVOS DE APOIO ÀS DECISÕES-li

Estes limiares podem corresponder a li-mites estritos (tipo menor ou maior) ouaceitar a igualdade. Para facilitar a nota-ção, vamos mostrar apenas o caso estrito.

Para um critério, vamos apresentar aspossíveis relações (preferências) entre duasalternativas, a e b, no contexto de umexemplo: decisão quanto à compra de umapartamento, sendo o critério C, o preçode um apartamento. A função de utilida-de terá o sentido inverso da medida origi-nal pois, se o preço de a for inferior ao pre-ço de b, u(a) > u(b).

• Relação R: a e b somente podem ser com-paráveis se [u(a) - u(b)] < r. Caso contrá-rio, não são comparáveis, por pertence-rem a classes diferentes; seriam aparta-mentos de preços muito díspares. Nota-ção: aRb.Se aRb, então bRa. A relação aRa é im-possível.O limiar r pode ser diretamente em uni-dades monetárias (ou da corresponden-te utilidade), ou um múltiplo de u(a), ouum múltiplo de u(b).

• Condição V: para continuarem no pro-cesso, a e b não podem infringir o limiarde veto v:

u(a) > v e u(b) > v.

Não posso ultrapassar meu orçamento.Novamente, dependendo de cada situa-ção, v pode ser medido em termos abso-lutos ou relativos. Em caso de infração,a alternativa é totalmente desclassificadado processo de seleção.

• Relação I: a é indiferente a b se a diferen-ça é pequena: alb se [u(a) -u(b)] < p.Novamente, p pode ter uma medida ab-soluta. Entretanto, são importantes oscasos em quep é uma proporção de u(a)ou de u(b), em razão dos distintos mo-dos de se definir o limiar p e tambémporque a diferença pode ser estabelecidaem valor absoluto.Sempre ala, por outro lado, se aIb entãobla se o limiar p for fixo. Em alguns mé-todos, o limiar p depende da direção daproposição e a simetria pode não ocorrer.

• Relação P: a é preferível a b se a diferen-ça é significativa:

aPb se [u(a) - u(b)] >q.

Dado aPb, quando o limiar for q fixo,não pode ocorrer bPa. Entretanto, alguns

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métodos utilizam limiares que depen-dem da direção da proposição.

• Relação Q: a é fracamente preferível ab se a diferença estiver entre as duas aci-ma:

aQb se q < [uía) - u(b)] < p.

Dado aQb, quando os limiares p e q sãofixos não pode ocorrer bQa. Entretanto, al-guns métodos utilizam limiares que de-pendem da direção da proposição.

A razão para a construção dessa estru-tura de comparações baseia-se na dificul-dade de um decisor estabelecer uma fun-ção de utilidade contínua e precisa (não éo caso com preços dos apartamentos, maspoderia ser com um outro critério, comoqualidade dos transportes).

Como referido, quando os limiares sãoespecificados em termos relativos (em opo-sição a valores absolutos), as relações re-sultantes entre alternativas, para o critérioem análise, podem ser diferentes se os li-miares forem calculados em relação a u(a)ou a u(b).

As relações entre alternativasAs alternativas são comparadas aos pa-

res para um processo de outranking (des-classificação). Na sua definição mais ge-ral, uma alternativa a desclassifica outraalternativa, b, notação aSb, se, na opiniãodo decisor, houver suficiente evidênciapara efetuar esta desclassificação. Umexemplo de condição de desclassificação:uma alternativa a desclassifica a alternati-va b, notação aSb, se em todos os critérioshouver comparabilidade, e também se aPbou alb. Pode ou não ocorrer a simetria aSbsimultânea com bSa.

Esse exemplo é muito restritivo e podeconduzir a um processo pouco conclusi-vo. De um modo geral, é preciso estabele-cer medidas de concordância e de dis-cordância para o ouiranking.

Do processo de comparação, aos pa-res, de todas as alternativas, resultamclasses. Dentro de uma mesma classe es-tão tanto alternativas que não se desclas-sificam entre si como as que se desclas-sificam mutuamente (e que, portanto,continuam comparáveis). As alternativasque não passaram pelo limiar do vetoforam totalmente desclassificadas doprocesso. Entretanto, assim que uma al-ternativa é desclassificada por aSb (semque haja bSa) ou por aRb {não compará-

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8. A • escola trancorona", deestatístíca.descritiva, destaca-sepelas suas contribuições a estalinha de pensamento.

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vel), origina-se outra classe. A esta, vi-rão se agregar as alternativas que nãodesclassificam as colegas de classe e tam-bém as que não são desclassificadas porestas últimas.

A ordenação das alternativas dentro deuma classe também é feita aos pares e poderesultar em pontos, segundo diversos pro-cessos de comparação, entre os quais este,cujos passos são apresentados a seguir:

• comparando todos os critérios, cada al-ternativa ganha um ponto por relação Pe meio ponto (ou outra proporção) porrelação Q. A ordenação é feita pela somados pontos obtidos em cada alternativa,dentro de cada classe;

• os pontos acima são ponderados por Ín-dices de importância k, do correspon-dente critério.

Neste processo de comparação, pre-miam-se somente as "vitórias". Também épossível penalizar uma alternativa pelas"derrotas", mantendo-se neutralidade nos"empates".

Com princípios tão gerais, o MCDA éuma abertura para a construção de diver-sos métodos. Um outro exemplo ilustraeste dado.

O problema é escolher um carro entresete alternativas, a partir de quatro critéri-os: preço, conforto, velocidade e estilo,conforme estas especificações:

Preço ($)conrorto (E,M,F)Velocidade (V.L)Estilo (B,O)

12:34567300 250 250 200 200 200 100E EMMMFfV LVVlVlB BBOBBO

(E = Excelente; M = Médio; F = Fraco; V = Veloz; L =Lento; B = Bonito; O = Ordinário)

Comecemos estabelecendo os limiarespara os critérios:

• preço: diferença de 50 = I; diferença de100 =: diferença de 150 ou mais = R;

• conforto: [E - F] = R; outras diferenças=P;

• velocidade: qualquer diferença = P;• estilo: qualquer diferença = P.

Passemos, agora, a utilizar a medida deouiranking, que, acima, havia sido mostra-da como pouco conclusiva.

Relação R em preço: 7Rl, 7R2, 7R3. Emconforto: lR6, lR7, 2R6, 2R7.

A análise dos critérios aos pares mostraque: 152,1531 de modo que 1não está com2 e 3. Quanto a 2 e 3 com 4, 5 e 6 observa-mos as relações 5: 255,354,355,356.

O agrupamento pode ser feito em trêsclasses: 14,5,6, 7}; 12, 3}; {I, 4, 5}.

A classe (2,4) foi eliminada frente à [2,3J, já que 354.

E assim resolvemos um problema Pb,Para ordenar as alternativas dentro de

cada classe, passando a um problema Pg.,podemos utilizar algumas outras das su-gestões apresentadas. Cada classe propõetrocas (tradeoffs) entre critérios de um mododiferente, segundo o número e a importân-cia dos critérios.

Diferentes modos de definir os limiaresou a relação de outranking 5 resultariam emdiferentes agrupamentos", De fato, com ointuito de simplificar a apresentação, noexemplo assumimos a condição 5 de modoparecido a uma dominância. Métodos bemmais conclusivos para O ordenamento oua seleção de alternativas utilizam concei-tos de concordância e de discordância parachegar a condições de desclassificação(outranking). O

BIBLIOGRAFIA SUPLEMENTAR

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Artigo recebido pela Redação da RAE em maio/1996, avaliado e aprovado para publicação em maio/1996.