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Posies relativas entre duas retas

Duas retas que pertencem ao mesmo plano so

chamadas de reta coplanares. Existem dois tipos de

retas coplanares: paralelasou concorrentes.

* Duas retas coplanares so paralelasse, e somente se,

so coincidentes ou no tm ponto em comum.

* Duas retas so concorrentesse, e somente se, elas

tm um nico ponto comum.

Temos dois casos de retas concorrentes:

1 caso: Quando as retas possuem um ponto em

comum e formam ngulos retos, elas so chamadas deretas perpendiculares.

2 caso: Quando as retas possuem um ponto em

comum, mas no formam ngulo retos, elas so

chamadas de retas oblquas.

Quando duas retas no so coplanares, ou seja, no

existe um plano que as contenha, elas so chamadas

de reversas.

Observe a figura seguinte:

No existe um plano que contm r e s ao mesmo

tempo, e, portanto, = (retas reversas no tm

ponto em comum).

Observe o seguinte paraleleppedo reto-retangular:

Note que as retas AB e CD so reversas.

Um caso particular de retas reversas quando elas so

ortogonais. So ortogonais quando existe uma reta

perpendicular a uma delas e paralela outra.

Observe a seguinte imagem:

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As retas r e s so ortogonais.

Se re sso retas ortogonais, ento toda reta paralela a

re concorrente com s perpendicular a s.

Resumo:

Exerccios Resolvidos:

01) Considere o paraleleppedo reto-retngulo

representado abaixo e classifique cada uma das

afirmaes a seguir como V (verdadeira) ou F (falsa).

a)As retas AB e BCso concorrentes.

b)As retas EF e AB so paralelas.

c)As retas AB e DF so paralelas.

d)As retas AB e BCso perpendiculares.

Resoluo:

Analisando afirmao por afirmao, conclumos que:

* A letra A verdadeira, pois as retas AB e BCsocoplanares e possuem apenas um ponto em comum,

caracterizando o caso de retas concorrentes.

* A letra B verdadeira, pois EF e AB so coplanares

e no possuem nenhum ponto em comum,

caracterizando o caso de retas paralelas. Voc deve

estar se perguntando: coplanares? Sim. Existe um

plano que as contm passando pelo centro do

paraleleppedo reto-retngulo.

* A letra C falsa, pois as retas AB e DF no so

coplanares e no possuem nenhum ponto em comum,

sendo duas retas reversas.

* A letra D verdadeira, pois as retas AB e BCso

retas concorrentes que formam ngulos retos.

02) (UNIFESP)Considere o slido geomtrico exibido

na figura, constitudo de um paraleleppedo encimado

por uma pirmide. Seja r a reta suporte de uma das

arestas do slido, conforme mostrado.

Quantos pares de retas reversas possvel formar com

as retas suportes das arestas do slido, sendo r uma

das arestas do par?

a) 12.

b) 10.

c) 8.

d) 7.

e) 6.

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Resoluo:O gabarito correto a letra C.

Observe a seguinte imagem:

Vamos ter 4 arestas da pirmide de vrtice do topo em

comum, mais 4 demarcadas, no adjacentes, nas faces

do paraleleppedo, sendo um total de 8 arestas.

Determinao de planos

Existem quatro maneiras de determinar a posio de

um plano no espao:

* Por trs pontos no colineares.

* Por uma reta e por um ponto fora dela.

* Por duas retas concorrentes.

* Por duas retas paralelas distintas.

Uma consequncia direta da determinao de planos

o seguinte teorema:

Por uma reta passam infinitos planos.

Para ter uma melhor visualizao do teorema anterior,

observe a seguinte imagem. Note as infinitas posies

possveis da porta giratria que se movimenta em

torno da reta rdemarcada.

Tpsdave/Pixabay

Posies relativas entre uma reta e

um plano

As posies relativas entre uma reta e um plano so:

Reta contida no plano

Uma reta r est contida em um plano se, e somente

se, todos os pontos da reta rpertencem ao plano .

Reta secante ao plano

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Quando dois planos no possuem pontos em comum,

eles so chamados de planos paralelos.

Planos secantes

Dois planos so secantes se, e somente se, tm uma

nica reta em comum.

Para ficar mais claro, observe a seguinte imagem. Note

que a situao de planos secantes fica mais evidente

com o exemplo de placas de ruas.

EduardoP/Wikimedia

Planos perpendiculares

Um plano perpendicular a um plano se, e

somente se, contm uma reta perpendicular a .

pois, r