MODOS DE CONCEBER A ÁLGEBRA EM CURSOS DE …‡ÕES/Fabiane... · agradecimento especial, pela...

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

MODOS DE CONCEBER A ÁLGEBRA EM CURSOS DE

FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

Fabiane Mondini

Orientadora: Profª. Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo

Dissertação de Mestrado elaborada junto ao curso de Pós-Graduação em Educação Matemática – Área de Ensino e Aprendizagem da Matemática e seus fundamentos Filosófico-Científicos, para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática.

Rio Claro (SP) 2009

512 Mondini, Fabiane M741m Modos de conceber a álgebra em cursos de formação de

professores de matemática / Fabiane Mondini. - Rio Claro : [s.n.], 2009

168 f.

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Orientador: Maria Aparecida Viggiani Bicudo

1. Álgebra. 2. Educação matemática. I. Título.

Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP

Comissão Examinadora

Profa. Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo (Orientadora)

Profa. Dra.Rosa Lucia Sverzut Baroni

Profa. Dra.Verilda Speridião Kluth

Fabiane Mondini - aluno(a) - Rio Claro, 14 de janeiro de 2009. Resultado: Aprovada

Dedico esse trabalho aos meus pais, Antonio Mondini e Mercedes Zanandréa Mondini, pela confiança e amor.

Aos meus BONS AMIGOS

Machado de Assis

Abençoados os que possuem amigos, os que os têm sem pedir.

Porque amigo não se pede, não se compra, nem se vende.

Amigo a gente sente!

Benditos os que sofrem por amigos, os que falam com o olhar.

Porque amigo não se cala, não questiona, nem se rende.

Amigo a gente entende!

Benditos os que guardam amigos, os que entregam o ombro pra chorar.

Porque amigo sofre e chora.

Amigo não tem hora pra consolar!

Benditos sejam os amigos que acreditam na tua verdade ou te apontam a realidade.

Porque amigo é a direção.

Amigo é a base quando falta o chão!

Benditos sejam todos os amigos de raízes, verdadeiros.

Porque amigos são herdeiros da real sagacidade.

Ter amigos é a melhor cumplicidade!

Há pessoas que choram por saber que as rosas têm espinho,

Há outras que sorriem por saber que os espinhos têm rosas!

Agradecimentos

Gostaria de agradecer às pessoas que estiveram comigo nesta caminhada...

À professora Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo, pela sua dedicada orientação e

indicação de caminhos em todos os momentos do desenvolvimento desta pesquisa.

Aos professores Dr. Irineu Bicudo, Dra. Regina Buriasco, Dra. Rosa Baroni e Dra.

Verilda Kluth pela leitura atenta e contribuições dadas no decorrer do percurso deste trabalho.

Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e a

Inajara, pelos momentos de convivência e aprendizagem.

Aos nove professores que colaboraram com seu valioso depoimento.

À professora Dra. Nilce Fátima Scheffer, por ter me iniciado na caminhada da

Educação Matemática.

Aos colegas Ana Paula, Luciane, Marli e Roger, por serem mais que colegas de grupo.

Por serem meus amigos.

Às minhas companheiras de casa e amigas Dona Avani, Luciane e Paulinha, por

compartilharem comigo muitos momentos inesquecíveis da minha vida. À Luciane um

agradecimento especial, pela amizade e pela leitura atenciosa em todos momentos desse

trabalho.

Às irmãs Andri e Adriana e ao Vitor, por sermos simplesmente amigos.

Ao Fernando, por fazer parte da minha vida.

Ao meu irmão Fábio, com muito carinho.

Em fim, aos amigos Adelino, Carla, Carlos Eduardo, Carolina, Célia, Déa, Edinei,

Fernando, Juliana, Keila, Luciano, Lucieli, Magali, Luzia, Maria Helena, Mirian, Marco,

Rachel, Rodrigo, Sandra, Thiago e Viola, obrigada pelo carinho, pela amizade.

Ao CNPq, pela concessão de bolsa de estudos.

Resumo

Esta pesquisa tem por objetivo estudar as concepções que professores de Álgebra dos cursos

de Licenciatura em Matemática apresentam sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina

em tais cursos. Iniciamos o desenvolvimento deste trabalho com a seguinte questão

norteadora: ‘como os professores de Álgebra, dos cursos de Licenciatura em Matemática,

compreendem e trabalham a Álgebra, em termos de conteúdo e prática pedagógica?’No

Capítulo I, apresentamos inicialmente três modos de pensar a Matemática: o logicismo, o

intuicionismo e o formalismo, na tentativa de compreender como a Álgebra se constitui como

campo de investigação para a Filosofia da Matemática. Posteriormente, expomos algumas

passagens históricas sobre a Álgebra Abstrata e finalizamos abordando algumas legislações

que mostram como a Álgebra se firmou no ensino escolar brasileiro. No Capítulo II,

explicitamos os procedimentos usados no decorrer desta pesquisa. No Capítulo III,

apresentamos a transcrição das entrevistas realizadas com os professores, o levantamento das

unidades significativas que surgiram após as várias leituras de cada entrevista e a análise

inicial das mesmas. No Capítulo IV, continuamos com a análise dos dados. Nessa etapa é

elaborada uma análise nomotética, que se caracteriza pelas reduções sucessivas efetuadas

mediante articulações realizadas pela pesquisadora, apontando os invariantes do fenômeno

sob foco. No Capítulo V, apresentamos uma articulação da interrogação com o que se

mostrou significativo na fala dos professores entrevistados. A meta é explicitar uma síntese

compreensiva da interrogação formulada e o que essa investigação revela para a pesquisadora

e para a região de inquérito em que o tema se insere. Posteriormente, escrevemos algumas

considerações e inquietações que permanecem após o desenvolvimento desse trabalho.

Palavras – chave: Álgebra. Educação Matemática. Formação de professores.

Abstract

The objective of this survey is studying the conceptions of Algebra’s education and learning

showed by Algebra teachers of Mathematics Licenciateship Courses. We start the

development of this study with a guide question: ‘How do Algebra teachers, of Mathematics

Licentiateship Courses, understand and work with Algebra, in terms of pedagogical contents

and practice?’. In Chapter I, we firstly present three ways in which Mathematics can be

thought about: logicism, intuitionism and formalism, in an attempt to understand on how

Algebra is consisted as a investigation field for the Filosofy of Mathematics. Afterwards, we

expose some historical passages about Abstract Algebra and finish doing an approach to

some legislation that show on how Algebra has established in Brazillian Scholar Education.

In Chapter II, we explict the procedures used during the study. In Chapter III, we show

transcriptions of the interviews done with the teachers, the raising of the significant units –

which have araised after sucessive readings of each interview, and the initial analysis of them.

In Chapter IV, we keep on doing the data analysis. In this step is made a nomotetic analysis,

wich consists of sucessive reductions done by articulations of the researcher, highlighting the

invariants of the phenomenon. Chapter V brings an articulation about the interrogation, with

more significant issues on the interviewed teachers speechs. The goal is to explicit an

understanding synthesis about the asked interrogation and what this survey reveals to the

reseacher and the inquiry area in which the topic is insered. Finally, we write a few

considerations and inquietness which remain after the development of this study.

Key-Words: Algebra. Mathematics Education. Teachers formation.

ÍNDICE INTRODUÇÃO................................................................................................................... 12

Caminhos trilhados que me conduziram a essa pesquisa................................................... 12

Explicitação da pesquisa .................................................................................................. 15

Procedimentos seguidos ................................................................................................... 16

Estrutura e organização deste texto de dissertação............................................................ 17

A ÁLGEBRA NO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA: UM AMÁLGAMA

ENTRE AS ABORDAGENS MATEMÁTICA E PEDAGÓGICA ...................................... 18

A construção do conhecimento matemático...................................................................... 18

A constituição da Matemática como Ciência Formal e da Álgebra como parte dela .......... 21

Expondo a constituição da Álgebra no percurso da História da Matemática...................... 26

A chegada da Álgebra no ensino brasileiro....................................................................... 29

EXPLICITAÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE PESQUISA............................................. 35

O CAMINHO DE ANÁLISE DOS DADOS........................................................................ 40

Análise Ideográfica .......................................................................................................... 40

Tratamento dos dados ...................................................................................................... 40

Entrevista 01........................................................................................................ 46

Entrevista 02........................................................................................................ 55

Entrevista 03........................................................................................................ 51

Entrevista 04. ....................................................................................................... 77

Entrevista 05........................................................................................................ 90

Entrevista 06........................................................................................................ 96

Entrevista 07...................................................................................................... 114

Entrevista 08...................................................................................................... 128

Entrevista 09...................................................................................................... 137

Matriz Ideográfica.......................................................................................................... 140

O CAMINHO DE ANÁLISE DOS DADOS ..................................................................... 147

A busca das categorias ................................................................................................... 147

Quadro de convergências temáticas....................................................................................140

SÍNTESE COMPREENSIVA DAS CATEGORIAS E DA INVESTIGAÇÃO EFETUADA

.......................................................................................................................................... 154

5.1 Concepção de Álgebra.............................................................................................. 154

5.2 Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?................................................... 161

5.3 Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática? ........................................ 164

5.4 Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática? .......... 166

5.5 Metacompreensão do depoente no processo da entrevista ......................................... 168

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A CAMINHO DA METACOMPREENSÃO DA

PESQUISA........................................................................................................................ 171

REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 174

INTRODUÇÃO

Caminhos trilhados que me conduziram a essa pesquisa

Certa vez, atravessando um rio, ‘Cura’ viu um pedaço de terra argilosa: cogitando, tomou um pedaço e começou a lhe dar forma. Enquanto refletia sobre o que criara, interveio Júpiter. A ‘Cura’ pediu-lhe que desse espírito à forma de argila, o que ele fez de bom grado. Como a ‘Cura’ quis então dar seu nome ao que tinha dado forma, Júpiter a proibiu e exigiu que fosse dado o seu nome. Enquanto ‘Cura’ e Júpiter disputavam sobre o nome, surgiu também a Terra (tellus) querendo dar o seu nome, uma vez que havia fornecido um pedaço de seu corpo. Os disputantes tomaram Saturno como árbitro. Saturno apresentou a seguinte decisão, apresentando eqüitativa: “Tu, Júpiter, por teres dado o espírito, deves receber na morte o espírito e tu, Terra, por teres dado o corpo, deves receber o corpo. Como, porém, foi a ‘Cura’ quem primeiro o formou, ele deve pertencer à ‘Cura’ enquanto viver. Como, no entanto, sobre o nome há disputa, ele deve se chamar ‘homo’, pois foi feito de húmus (terra)”. 1

A compreensão do ser humano como cuidado e, da Educação, como um dos modos,

onde o cuidado com o outro se manifesta, foi algo que não estava tão claro no momento em

que escolhi seguir a cadeira de educadora. Mas, posso afirmar que estava ali. Ainda não

explicito, obscuro, mas interligado com o que compreendia por ser professora.

Minha caminhada se iniciou em 1998, quando, ao terminar o curso de Ensino Médio

que freqüentava, escolhi seguir carreira na Educação. Optei pelo curso de Licenciatura em

Matemática. Fiz tal curso na Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões

URI – Campus de Erechim - RS. A profissão de educadora era algo ainda estranho para mim.

Compreendia o professor como um transmissor de conhecimento. Mas era uma profissão que

me despertava interesse.

Ao ingressar no curso de Licenciatura em 1999, o primeiro sentimento foi de

estranheza. Aos poucos fui me deparando com outras facetas da Matemática e que, até então,

não conhecia. Comecei a ver Matemática como uma Ciência, fruto de nossa história e de

nossa cultura e, também, como prática do nosso cotidiano. Ao final do segundo ano do curso

de Licenciatura (2001) comecei a trabalhar em um projeto de Iniciação Científica. Nesse

momento, o desconhecido era o que é a pesquisa em Educação Matemática.

1 Fábula de Higino apud Heidegger (2005, p.270).

Pesquisar na área da Educação Matemática foi uma etapa muito importante de minha

vida. Desde então, minha visão sobre o que é Educação, o que é Educação Matemática e o

que é Matemática vem se construindo.

O projeto de Iniciação Cientifica do qual eu participava era interinstitucional e

abrangia duas Universidades da região norte do Rio Grande do Sul (Universidade Regional

Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI-Campus de Erechim e Universidade de Passo

Fundo UPF-Campus de Passo Fundo) e, era coordenado por quatro professoras: Nilce Fátima

Scheffer (URI), Carmem Peixoto Gomes (UPF), Magda Mortari (UPF) e Ocsana Sônia

Danyluck (UPF). O projeto foi desenvolvido por quatro alunas bolsistas, das quais eu era

uma.

Inicialmente realizamos diversas leituras e debates sobre temas relacionados à prática

pedagógica de professores de Matemática. O objetivo desse estudo era investigar como eram

veiculados a Linguagem Matemática e o Discurso Matemático no contexto escolar e mostrar

como era realizada a transposição didática dos professores de Matemática do Ensino

Fundamental e Médio, nas regiões do Norte e do Planalto Médio do Estado do Rio Grande do

Sul. Dessa maneira, naquele momento, entrei em contato, com autores da Psicologia da

Educação, da Educação Matemática, da Filosofia e da Filosofia da Educação Matemática.

No desenvolvimento desse estudo, nos deparamos com alguns pontos críticos. Um

deles foi a maneira como o professor comunicava a Matemática aos seus alunos. Percebemos

que o mesmo fazia a pergunta e, logo em seguida, respondia a questão, não dando voz ao

aluno e, portanto, não o ouvindo. Observamos também que a indução dos conceitos

matemáticos ocorria por meio de um discurso repetitivo do professor e pela resolução

mecânica de exercícios do livro didático. Muitos dos estudantes, sujeitos da pesquisa, tinham,

no período escolar, o único momento do dia em que podiam se dedicar ao estudo. Sem uma

prática analítico-reflexiva aceitavam o que o professor lhes dizia, como verdadeiro. Uma das

contribuições desse projeto foi a organização de discussões, sobre situações como as citadas

anteriormente nos cursos de Licenciatura, principalmente nas disciplinas de Didática e Prática

de Ensino.

Em 2003, após terminar o curso de Licenciatura em Matemática, comecei a atuar

como professora do Ensino Fundamental na cidade de Erechim, onde trabalhei por dois anos e

meio em turmas de 5a, 6a, 7a e 8a séries do Ensino Fundamental. Com a minha prática em sala

de aula constatei que algumas situações enfrentadas nesse ambiente não haviam sido

contempladas na minha formação.

Nessa atuação deparei-me com problemas que a escola pública enfrentava e as

dificuldades presentes no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática. Nessa época,

fiz uma (re)descoberta da Matemática, agora na perspectiva de professora.

Em 2004, iniciei um curso de Pós-Graduação Lato-Sensu em Educação Matemática, o

qual ampliou meu campo de discussões e de análise sobre Educação Matemática. Nesse

curso, a minha monografia foi um estudo bibliográfico dos temas Linguagem, Linguagem

Matemática, Discurso e Discurso Matemático. Dediquei-me a esse tema porque com o

desenvolvimento do projeto de Iniciação Científica esse tema se fez presente e ainda estava

obscuro em alguns pontos.

Na minha prática docente e discente percebi o nexo entre Linguagem e Matemática, ou

mais precisamente, a Linguagem que explicita e veicula o corpo de conhecimento pertinente à

Matemática. Nesse contexto, destacou-se no âmbito das disciplinas estruturantes da

Matemática, trabalhadas na Licenciatura em Matemática, a Álgebra2.

Vi a dificuldade dos meus alunos na compreensão das questões concernentes à

Álgebra e a minha própria dificuldade em mediar a compreensão de tais questões.

Concomitantemente, ao ler textos sobre ensino e aprendizagem de Matemática constatei

inúmeras pesquisas, preocupações e propostas sobre o ensino da Álgebra. Tais estudos3

caminhavam na mesma direção das dificuldades constatadas na minha prática pedagógica.

Frente a essa situação, vi-me pensando sobre o ensino e a aprendizagem de Álgebra.

Essa preocupação abrange também aspectos cognitivos e concernentes ao processo de

aprendizagem dos alunos, aos textos de Matemática e de Educação Matemática que se

referem à Álgebra, sua construção no âmbito da História da Ciência Matemática, sua

veiculação em textos e seu ensino e, também, ao modo como a Álgebra se mostra nos cursos

de formação de professores de Matemática. Esta última preocupação constitui-se em solo e

foco desse trabalho.

Ao deter-me nesse foco, entendi sua inserção em uma realidade mais abrangente que

envolve a formação de professores de Matemática. E, nessa formação, minha atenção voltou-

se para como se dá a abordagem na Álgebra no curso de formação de professores de

Matemática. Todo esse caminho, aqui resumidamente apresentado, me trouxe até o programa

de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Campus de Rio Claro. Cheguei

2 Posteriormente, a concepção de Álgebra será explicitada nesse trabalho. 3Em itens subseqüentes esses trabalhos serão apresentados.

aqui em 2006. Cursei disciplinas com o intuito de aprofundar temas referentes à Educação

Matemática e iniciei minha participação no grupo FEM4.

Em 2007 ingressei neste programa com uma proposta de pesquisa cujo objetivo é:

estudar as concepções que professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática

apresentam sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina em um curso que visa formar

professores de Matemática.

Explicitação da pesquisa

Nesta pesquisa busco compreender como os professores que trabalham em cursos de

formação de professores de Matemática compreendem a Álgebra, como a estudam e a

trabalham com seus alunos, os quais futuramente serão professores de Matemática. Essa

busca envolve compreender também o modo pelo qual se mantêm em formação, como

professores pesquisadores de Álgebra e seus modos de preocupar-se com a formação em

Álgebra dos seus alunos – futuros professores da Educação Básica.

Resumidamente posso dizer que a interrogação interroga a própria concepção da

Álgebra nos cursos de formação de professores de Matemática da Educação Básica. De modo

mais simples, a interrogação que norteia esse trabalho pode ser explicitada da seguinte

maneira: como os professores de Álgebra, dos cursos de Licenciatura em Matemática,

compreendem e trabalham a Álgebra, em termos de conteúdo e prática pedagógica?

O desenvolvimento dessa pesquisa iniciou com o estudo de investigações já realizadas

que abordaram temas como: o processo de ensino e aprendizagem de Álgebra, principalmente

nos cursos de Licenciatura em Matemática, a formação didático-pedagógica e o conhecimento

teórico de professores de Matemática, assim como trabalhos sobre a prática de alguns dos

professores de Matemática que apresentam a Álgebra como tema central na discussão.

Neste momento, já posso relatar algumas dificuldades encontradas: há vários trabalhos

que descrevem e constatam problemas enfrentados pelos alunos ao estudarem a Álgebra.

Porém, há poucos trabalhos que discutem a questão da abstração, do formalismo, dos

conceitos algébricos e outros temas intrínsecos aos processos de ensino e de aprendizagem da

Álgebra na Educação Básica e nos cursos de Licenciatura em Matemática.

4Grupo de estudos Fenomenologia em Educação Matemática coordenado pela professora Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo.

Procedimentos seguidos

O Rio Grande do Sul é dividido em sete Mesorregiões5. Estudar o tema desta pesquisa

abrangendo todas as Mesorregiões é um projeto que consideramos importante e significativo

para a Educação Matemática, principalmente no que diz respeito à formação de professores da

Educação Básica. Entretanto, temos clareza que esse é um projeto abrangente e de longa

duração, portanto, para viabilizar a execução da pesquisa, optamos por investigar apenas a

Mesorregião6 Metropolitana de Porto Alegre.

Elegemos para o desenvolvimento desta pesquisa a microrregião7 de Porto Alegre

porque nela concentra-se o maior número de Universidades que oferecem Licenciatura em

Matemática. Além disso, todas essas Instituições de Ensino Superior situadas na Mesorregião,

exceto a FUNDASUL8, possuem ao menos um Campus na microrregião.

A microrregião de Porto Alegre foi escolhida por compreendermos que se trata de um

centro dos mais importantes do estado, concentrando, além de mais recursos econômicos e

um número maior de Instituições de Ensino Superior, as mais antigas Instituições de Ensino

desse Estado. Entendemos então, ser um centro dinamizador, inclusive da Educação, do

Estado do Rio Grande do Sul.

Frente aos atuais problemas detectados no contexto escolar relacionados ao ensino e à

aprendizagem da Matemática, principalmente os referentes a Álgebra, consideramos

importante a discussão dos temas aqui propostos no curso de Licenciatura em Matemática, no

sentido de contribuir com o pensar presente no processo de formação de professores de

Matemática.

Consideramos a Álgebra como fundamental na construção do conhecimento

matemático, principalmente, após o século XIX, por sua “extensão, imaginação, rigor,

abstração e generalidade” (BOYER, 1996, p.415). Nesse sentido, ela passa a ser essencial

também nos cursos de formação de professores de Matemática. Com esse entendimento e a

constatação de que o modo pelo qual a Álgebra é trabalhada em cursos que formam

5Noroeste Rio-Grandense, Nordeste Rio-Grandense, Metropolitana de Porto Alegre, Centro Oriental Sul Rio-Grandense, Centro Ocidental Rio-Grandense, Sudeste Rio-Grandense e Sudoeste Rio-Grandense. 6 Mesorregião é uma subdivisão geográfica dos estados brasileiros. 7A microrregião de Porto Alegre é composta pelos municípios de Alvorada, Araricá, Cachoeirinha, Campo Bom, Canoas, Eldorado do Sul, Estância Velha, Esteio, Glorinha, Gravataí, Guaíba, Mariana Pimentel, Nova Hartz, Nova Santa Rita, Novo Hamburgo, Parobé, Porto Alegre, São Leopoldo, Sapiranga, Sapucaia do Sul, Sertão Santana e Viamão. 8Fundação de Ensino Superior da Região Centro-Sul.

professores de Matemática tem sido pouco investigado, esta pesquisa trata de um tema

relevante e ainda pouco explorado, principalmente no Estado do Rio Grande do Sul.

Estrutura e organização deste texto de dissertação

Para apresentar o desenvolvimento da pesquisa, norteada pela questão que já foi

anunciada, estruturamos esta dissertação em introdução e cinco capítulos, organizados como

segue:

No Capítulo I, apresentamos inicialmente três modos de pensar a Matemática: o

logicismo, o intuicionismo e o formalismo, na tentativa de compreender como a Álgebra se

constitui como campo de investigação para a Filosofia da Matemática. Posteriormente,

expomos algumas passagens históricas sobre a Álgebra Abstrata e finalizamos abordando

algumas legislações que mostram como a Álgebra se firmou no ensino escolar brasileiro.

No Capítulo II, explicitamos os procedimentos usados no decorrer desta pesquisa e a

visão de mundo e de conhecimento segundo uma atitude fenomenológica assumida neste

trabalho. Consideramos significativo pesquisar aspectos da Educação segundo o enfoque da

Fenomenologia, por ela “não trazer consigo a imposição de uma verdade teórica ou

ideológica preestabelecida, mas por trabalhar com o real vivido, buscando a compreensão

disso que somos e que fazemos” (BICUDO, 1999, p. 13).

No Capítulo III, apresentamos a transcrição das entrevistas realizadas com os

professores, o levantamento das unidades significativas que surgiram após as várias leituras

de cada entrevista e, a análise inicial das mesmas.

No Capítulo IV continuamos com a análise dos dados. Nessa etapa é elaborada uma

análise nomotética9, que se caracteriza pelas reduções sucessivas efetuadas mediante

articulações realizadas pela pesquisadora, apontando os invariantes do fenômeno sob foco.

No Capítulo V apresentamos uma articulação da interrogação com o que se mostrou

significativo na fala dos professores entrevistados. A meta é explicitar uma síntese

compreensiva da interrogação formulada e o que essa investigação revela para a pesquisadora

e para a região de inquérito em que o tema se insere.

9A análise nomotética será explicada no capítulo IV.

Capítulo – I

A ÁLGEBRA NO CURSO DE LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA: UM AMÁLGAMA ENTRE AS ABORDAGENS

MATEMÁTICA E PEDAGÓGICA

A construção do conhecimento matemático

Neste trabalho, focamos a Matemática como uma Ciência cujo sentido e significados

se dão na dimensão da cultura ocidental. Neste capítulo buscamos expor as concepções de

Matemática e do significado que a Álgebra assume nesse contexto, bem como, informar

aspectos da legislação educacional que correspondem a essas concepções. Desse modo,

buscamos compreender a Álgebra trabalhada nos cursos de Licenciatura em Matemática de

diferentes perspectivas, olhando do contexto da História da Matemática, da Filosofia da

Matemática, da Legislação Educacional, da Literatura que converge para esse tema e da fala

dos professores que lecionam a disciplina de Álgebra para os cursos de Licenciatura em

Matemática.

É importante esclarecer que esse trabalho não se trata de uma composição sobre a

História da Álgebra, mas sim, apenas destacamos alguns autores que consideramos

significativos no desenvolvimento da Álgebra.

A Matemática, uma Ciência construída social e historicamente, é percebida pelos

sujeitos em suas atividades cotidianas, “mas sempre em um horizonte temporal, no qual o

passado e o futuro também estão presentes em um fluxo de retenções e protensões”

(BICUDO, 1999, p.28). Ela está em nosso dia-a-dia nas simples ocorrências do real vivido,

assim como na complexidade da Ciência, da Técnica e da Tecnologia. Conhecemos várias

versões sobre a origem da Matemática, entre as quais estão a empírica e a teórica. A cada

nova elaboração da Matemática são desenvolvidos outros procedimentos, que por sua vez

possibilitam e viabilizam novos avanços na própria Ciência e em suas aplicações.

De acordo com Kluth (2005, p.15).

[...] as conquistas realizadas na Matemática se entrelaçam, produzindo um emaranhado de dependências, dando a impressão de que seus resultados não aceitam uma outra ordenação e interpretação que não aquela da lógica-dedutiva que constrói sua teoria, pois cada conquista projeta-se sobre o conhecimento já construído e é posto [sic] à disposição, dando-lhe novas dimensões teóricas.

Para Husserl (1970), a Matemática tem uma origem na subjetividade10 enquanto

intuição primeira. Ao mesmo tempo ela se desmembra e se constitui como Ciência na

intersubjetividade11, ou seja, nas nossas relações com o outro, que são estabelecidas tanto por

ações empática como pela linguagem que expõe o aprendido. Ela chega até nós

tradicionalmente como uma construção cultural em um mundo objetivamente12 dado, por

meio de diferentes linguagens da dialética subjetivo-objetivo-intersubjetivo. Linguagem é

entendida aqui como organização do percebido e comunicação entre sujeitos e culturas que

transcende as esferas subjetiva e intersubjetiva, presentificando-se na organização de nossas

atividades diárias, na Ciência, na Técnica e nas Tecnologias.

Há diferentes linguagens presentes no mundo. Por exemplo, a da Técnica, a da

Religião, a da Ciência, a da Arte. Entre aquelas da Ciência, existe a que é específica da

Matemática, constituída por uma lógica e uma gramática apropriada e utilizada por

especialistas da área e professores de Matemática de um modo mais abrangente. Mas essa não

é uma linguagem exclusiva desses profissionais. Também dela lançam mão outras pessoas em

suas atividades de pesar, medir, comprar etc.

A Matemática constituiu-se ao longo da História de diversas civilizações. Ela se

estabeleceu como precisa na civilização ocidental. Com o avanço nos estudos e a grande

produção de informações, o conhecimento matemático elaborado e organizado segundo a

Lógica dessa Ciência foi subdividido em áreas. Dessas, três são as mais destacadas ou

entendidas como suporte do edifício da Matemática: a Geometria, a Análise e a Álgebra

(BOYER, 1996, p.415).

10 A subjetividade não é em si uma mônada fechada, tendo prontas suas potencialidades as quais aguardariam atos para serem atualizadas. Ela se constitui no movimento de abertura ao mundo-vida, trazendo o percebido para a consciência e operando os atos que avançam na dimensão da compreensão e atos de expressão (BICUDO, M. A. V. no prelo). 11 A intersubjetividade não é uma soma de subjetividades que forma uma comunidade. Ela é constituída nos atos de empatia e na dimensão da comunicação efetuada no corpo-encarnado e expl ic i tada de maneira mais organizada, refletindo o logos e a estrutura lingüística na linguagem. (BICUDO, M. A. V. no prelo). 12 A objetividade não é um fato exato e externo à subjetividade que o pensa, mas é constituída no movimento da compreensão intersubjetiva e respectiva manutenção nos modos culturais possibilitados pela tradição. (BICUDO, M. A. V. no prelo).

Cada uma dessas áreas estabeleceu para si um campo de investigação e desenvolveu-

se, construindo novos conhecimentos e novas áreas. Ao mesmo tempo em que a Geometria, a

Análise e a Álgebra constituíam seus domínios, seus ramos de abrangência se entrelaçaram

em muitos momentos diferentes. Cada uma interroga aspectos distintos do mundo, incluindo o

mundo matemático. Utilizam uma linguagem que as caracterizam e elegem para si domínios

próprios para investigar. Porém, não há clareza quanto aos limites que caracterizam cada ramo

específico.

No tocante à Geometria, o pensamento geométrico pode ser compreendido como

conseqüência da necessidade de organização das atividades cotidianas. Apesar de a

Matemática ser tão antiga quanto a escrita, os primeiros passos dados para a formalização e

axiomatização dos conhecimentos são atribuídos aos gregos, principalmente a Euclides,

Arquimedes e Apolônio (Bell 1995, Boyer 1996).

A Geometria caracteriza-se, segundo Ulbricht (2006), pelo estudo das formas, dos

espaços, das perspectivas, das figuras etc. Essa parte da Matemática engloba hoje

praticamente todo o conhecimento matemático construído até o final do século XVII, quando

a Álgebra e a Análise estavam em fase de construção e de estruturação.

O conhecimento geométrico, produzido desde os matemáticos gregos até os estudos

sobre as Geometrias não euclidianas, está presente em diversas práticas da nossa sociedade e

é, provavelmente, a parte da Matemática de maior aplicabilidade e passível de identificação

com formas e objetos mundanos.

A Análise, por sua vez, é a área da Matemática responsável pela sistematização e

estudos da variação e do movimento, pois amplia as teorias da Matemática ao estudar o

infinito, de maneira diferente do infinito potencial trabalhado pelos gregos. Por exemplo, “de

acordo com o segundo postulado dos elementos de Euclides, dado uma reta limitada,

podemos prolongá-la ilimitadamente para qualquer um dos dois lados. Isto significa que o

infinito potencial é uma maneira de varrer o infinito usando o finito”.13

O Infinito Real é introduzido na Matemática por Cantor, ao desenvolver o estudo

analítico de funções. Ele se constitui ao longo do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos.

Dentre os grandes avanços dos estudos proporcionados pela Análise, destacam-se o

conceito de derivada e, posteriormente, a idéia de limite, os que permitiram a solução de

problemas relacionados com a determinação de órbitas de corpos celestes; a análise de

13 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização.

crescimento de populações; medidas de fluxos; problemas de otimização, entre outros

(BARON, 1985).

A Álgebra Antiga, por sua vez, existe desde os gregos. Um exemplo é o estudo das

equações realizado por Diofanto. Porém, foi depois dos séculos XVI e XVII, com o estudo

das equações algébricas, que se iniciou o processo de modernização da Álgebra. E, nos

séculos XVIII, XIX e XX, ocorreu um movimento que procurou suprir a necessidade de

fundamentar lingüística e logicamente a Matemática e constituí-la como uma Ciência,

segundo o espírito da Ciência Moderna Ocidental. Foi nesse período14 que emergiu no campo

do conhecimento matemático o foco deste estudo: a Álgebra Moderna até a axiomatização das

estruturas algébricas.

Para desenvolver este estudo, iniciaremos com a busca de uma compreensão a respeito

de como o pensamento matemático vem se constituindo. Em seguida apresentaremos uma

discussão sobre a História da Álgebra e de como ela se apresenta na Educação Brasileira.

A constituição da Matemática como Ciência Formal e da Álgebra como parte dela

O que justifica a estruturação da Matemática como Ciência? A necessidade de

respostas para essa pergunta deu início à sistematização do conhecimento que hoje chamamos

de Matemática. A busca de fundamentos para estruturar a Matemática como uma Ciência

iniciou-se com os gregos, mais especificamente com Platão, que tinha os objetos matemáticos

como ideais e concebia que estes eram acessíveis à mente humana apenas pelo conhecimento.

Para ele, os objetos matemáticos eram repletos de perfeição e verdade. O homem deveria

esforçar-se para conhecê-los e, conhecendo-os, evoluir. Os objetos matemáticos, que vêm da

palavra eidos, são precisos e supratemporais.

Na filosofia platônica, a Matemática era concebida como uma verdade independente

de qualquer verificação empírica, e os objetos matemáticos serviam de modelo para as formas

mundanas, ou seja, apenas uma reprodução grosseira desses objetos aparecia no mundo

humano. O mundo em que vivemos seria como uma imagem imperfeita refletida num espelho

imperfeito do mundo das idéias. No auge do império platonista na Matemática, prevalecia a

visão de que é “a tarefa dos matemáticos era comparável a uma viagem de descobrimentos”

(BARKER, 1976, p. 105). O matemático não criava os objetos a respeito dos quais falava, 14 Ao olhar para a História da Matemática percebemos que esse período é concomitante ao momento em que matemáticos deixam de ver a Álgebra como uma ferramenta para resolver passa-tempos e começam a dedicar-se na tentativa de estruturá-la como Ciência (BELL, 1995).

mas os descobria. Segundo Silva (2007, p. 43), “hoje, poucos ainda aceitam seriamente o

reino puro de idéias de Platão. Mas a imagem da Matemática como uma Ciência de um

domínio fora desse mundo ao qual ascendemos pelo pensamento é ainda a ‘filosofia’ natural

dos matemáticos”.

Posteriormente a Platão, temos as idéias de seu discípulo Aristóteles, que recusou a

filosofia platonista em partes. Aristóteles, assim como Platão, considerava a existência da

Matemática independente do ser humano, mas discordava da crença platonista de que os

objetos da Matemática existiam em um mundo não humano. Para ele, os objetos da

Matemática estão “nesse mundo” e acessíveis a nós pelo conhecimento e pelos sentidos,

sendo que estes últimos não são plenamente confiáveis. Resumidamente e de acordo com

Silva (2007, p.38), Aristóteles é o filósofo “pés no chão” e Platão tem “a cabeça nas nuvens”.

As idéias aristotélicas livram o homem de ser apenas um descobridor e o colocam

como construtor do mundo matemático. Aristóteles considerou a Matemática uma Ciência

dedutiva e foi o primeiro sistematizador da Lógica Formal. Outras contribuições dele para a

Matemática foram a distinção entre o infinito atual e o potencial, o modo de comparar a

Matemática com um edifício logicamente estruturado e “a análise de noções metamatemáticas

fundamentais, como as de axioma, definição , hipótese e demonstração” (SILVA, 2007, p.50-

51).

O modo aristotélico de atribuir ao homem o poder de criar e pensar sobre a

Matemática e não apenas descobri-la contribuiu para o nascimento, na Idade Média, de uma

nova filosofia, que não é exclusiva da Ciência Matemática: o realismo aristotélico.

Diferentemente da Filosofia, na Matemática, quando falamos em “realismo, estamos

falando do platonismo”.15 Portanto, neste texto, quando falamos em realismo, nos referimos

ao realismo fundamentado no platonismo.

O realismo, fundamentado no platonismo, foi base filosófica para o movimento

logicista. Movimento este que tinha por objetivo mostrar a Matemática como uma Ciência

consistente e completa e expô-la como uma linguagem simbólica para simplificar suas formas

de apresentação. O caminho escolhido para fazer isso foi a aritmetização da Análise. Na

tentativa de aritmetizar a Análise, destacaram-se vários matemáticos. Entre eles estavam

Weierstrass, Dedekind e Frege.

O objetivo do movimento logicista era “excluir da Análise as intuições geométricas,

substituindo-as por noções da Aritmética, ou seja, estabelecer a Análise como base para o


sistema de números reais”. 16 Assim, o sistema de números reais pode ser construído a partir

do sistema de números racionais, estes podem ser construídos a partir dos números inteiros,

que por sua vez podem ser construídos a partir dos números naturais. Dessa maneira, a

Análise estaria fundamentada no sistema de números naturais.

Frege, Russell e muitos outros lógicos modernos se lançaram na jornada de vincular a

Matemática à Lógica, na tentativa de torná-la uma Ciência sem contradições.

Frege criou um sistema lógico próprio e, posteriormente, tentou explicar toda a

Aritmética usando seu sistema. O objetivo de seus estudos era mostrar que “a Aritmética é

pura lógica” (Silva, 2007, p.128). E como é a Lógica que atesta ou contesta o sistema de

verdades matemáticas, quando conseguisse escrever a Aritmética conforme seu sistema

lógico, ele teria uma Aritmética livre de contradições, ou seja, verdadeira.

Bertrand Russell deu continuidade ao projeto de Frege com algumas alterações no que

diz respeito ao sistema lógico. Porém, nem Russell e nem Frege foram bem sucedidos na

tentativa de reduzir a Matemática à Lógica.

O Logicismo fracassou porque nem todos os axiomas puderam ser escritos na forma

de proposições lógicas. Segundo Machado (1991, p.27), para alcançar seu objetivo, “os

logicistas deveriam mostrar concretamente que todas as proposições matemáticas podem ser

expressas na terminologia lógica e, que todas as proposições matemáticas verdadeiras são as

expressões verdadeiras para a Lógica”.

O que conseguiram, segundo Silva (2007, p. 134), foi uma divisão entre os

matemáticos. Uns seguiram o projeto de Frege. Outros entendiam que a Ciência Matemática

havia se tornado excessivamente formal e que era necessário colocá-la novamente em bases

seguras, partindo de verdades manifestadas nas intuições imediatas.

Apesar de o movimento logicista não conseguir executar seu objetivo inicial,

reescrever toda a Matemática em um sistema lógico e livre de contradições, eliminando as

idéias intuitivas presentes nela, ele foi muito importante para essa Ciência. O logicismo foi o

ponto de partida para o desenvolvimento da Lógica Matemática Moderna e para a formação

de um segundo grupo de matemáticos que, contrariamente aos logicistas, procuraram

sistematizar a Matemática, partindo sempre da intuição. Esse grupo constituiu o movimento

intuicionista17.

16 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização. 17 O intuicionismo foi uma das principais correntes do movimento construcionista. Os construcionistas acreditavam que todo e qualquer conhecimento deveria ser construído a partir da intuição.

No intuicionismo, segundo Snapper (1984, p.88.), havia a concepção de que entidades

abstratas, como a Matemática, eram elaborações humanas e não objetos ideais platônicos.

Diferentemente dos logicistas, os intuicionistas consideravam a Matemática Clássica falível

em alguns pontos. Os paradoxos relativos à teoria dos conjuntos, por exemplo, no

intuicionismo eram erros da Matemática e não dos matemáticos como pensavam os logicistas.

Os intuicionistas consideravam o ser humano dotado de uma intuição primeira sobre

os números naturais. Por isso defendiam uma reelaboração da Matemática desde seus

fundamentos. Partindo sempre da intuição, os axiomas, os teoremas, enfim, toda a

Matemática deveria ser reconstruída. O que fundamentava o movimento intuicionista era a

consideração de que as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela

mente humana. Desse modo, o que não partisse da intuição não era Matemática.

O movimento intuicionista não foi bem sucedido quanto aos seus objetivos. Muitos

matemáticos clássicos se posicionaram contra a concepção intuicionista. Inúmeros teoremas,

vistos como inúteis e sem sentido pelos intuicionistas, eram considerados belos na

Matemática Clássica, gerando assim um conflito. Os intuicionistas defendiam a existência de

objetos matemáticos somente quando esses pudessem ser dados por construção, ou seja, “um

objeto existe se e, somente se, for possível construí-lo”.18 Além disso, algumas teorias falsas

para os intuicionistas eram consideradas verdadeiras pelos matemáticos clássicos. Um

exemplo são os números complexos. Todos esses conflitos acabaram com desprezo e rejeição

dos matemáticos clássicos em relação à corrente intuicionista.

Com a criação da Teoria dos Conjuntos e, conseqüentemente, com a verificação dos

paradoxos que ela apresentava, sentiu-se a necessidade, no início do século XX, de livrar a

Matemática de paradoxos. A maneira encontrada para isso foi a axiomatização da

Matemática, por meio de axiomas claros, de tal modo a não gerar paradoxos.

O objetivo principal do formalismo é provar que as idéias matemáticas são isentas de

contradições. Caso os formalistas alcançassem seu objetivo, a Matemática se tornaria livre de

paradoxos e contradições e, quando ela pudesse ser reescrita com demonstrações rigorosas em

um sistema formal, se estabeleceria como verdade. Segundo Silva (2007, p.195), para Hilbert

a verdade era o que garantia e assegurava os métodos e as teorias tradicionais da Matemática.

A filosofia base para o formalismo é o nominalismo, segundo o qual as entidades da

Matemática não existem, nem como objetos reais e nem como objetos mentais. No


formalismo “as deduções são cadeias de transformações de expressões simbólicas segundo

regras explícitas de manipulação de símbolos” (SILVA, 2007, p. 184). As deduções e as

transformações da Matemática, ao mesmo tempo em que eram passíveis de interpretação por

quem as manipulava, tinham um significado explicitado em um sistema formal que estava se

constituindo.

Silva (2007, p.284) cita o seguinte exemplo: imaginemos a adição de dois “números

grandes” em notação decimal. Transformá-los em unidades, para depois adicioná-las, levaria

muito tempo e em qualquer parte do processo poderíamos cometer erros. Se usarmos o

algoritmo da adição, com suas regras já estabelecidas em um sistema formal, operamos o

algoritmo mecanicamente. No entanto, sabemos o que estamos fazendo e há significado na

manipulação simbólica que realizamos na resolução do algoritmo. O formalismo traz para a

Matemática um conjunto de regras e símbolos que nos permitem operar mecanicamente.

Graças a esse conjunto de regras, hoje podemos usar calculadoras e programas de computador

para executar diversos cálculos.

Dos matemáticos que tentaram formalizar a Matemática podemos destacar Hilbert.

Entre suas contribuições, está a axiomatização da Geometria Euclidiana. Os elementos de

Euclides eram fundamentados na visualização cotidiana e, portanto, na intuição. Hilbert

reescreveu toda a Geometria Euclidiana, com a complementação de suas propriedades,

axiomas e teoremas.

O que Hilbert pretendia para a Matemática era estabelecer uma linguagem formal,

com demonstrações verificáveis passo-a-passo e livrá-la de contradições. Em uma conferência

proferida em 1900, no II Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris, propôs

23 problemas aos matemáticos da época. Um deles era a demonstração da compatibilidade

dos axiomas da Aritmética.

Em 1930, Gödel provou a impossibilidade de demonstrar a compatibilidade dos

axiomas da Aritmética dentro de um sistema que inclua a Aritmética. Com isso, provou

também que o projeto de Hilbert não poderia ser bem sucedido, “porque não é possível provar

a consistência da Matemática dentro da própria Matemática” 19 .

O intuicionismo, o logicismo e o formalismo são as correntes filosóficas que

apresentam visões distintas sobre o que é a Matemática. Há entre elas incompatibilidade em

alguns pontos. Mas haver incompatibilidade não significa que uma exclui a outra. Segundo

Silva (2007, p.235-236), o intuicionismo, fundamentado no construtivismo, mostrou quais


conhecimentos matemáticos podem e quais não podem ser construídos partindo de idéias

intuitivas. O logicismo mostra as intersecções da Matemática com a Lógica. E o formalismo

estabelece a Matemática como “a Ciência dos sistemas formais”.

A Matemática atual é fruto de todo esse processo de elaboração e re-elaboração de si

mesma e é no decorrer desses modos de pensar, principalmente do formalismo, que a Álgebra

Abstrata ou Moderna20 emerge no contexto da Ciência Matemática.

Em 1908, Zermelo deu a primeira axiomatização da Matemática que se conhece e que

se usa ainda hoje com algumas alterações. O trabalho de Zermelo foi a axiomatização da

teoria dos conjuntos, mas podemos afirmar que ele axiomatizou a Matemática porque, hoje, a

Matemática está assentada, em termos de estrutura, na teoria dos conjuntos.

Expondo a constituição da Álgebra no percurso da História da Matemática

Na tentativa de compreender o que a Álgebra é, observamos que não há um consenso

entre os autores dessa área sobre qual é seu campo de abrangência e quais os objetos que

estuda. Alguns definem a Álgebra como a linguagem da Matemática; outros, como uma

Aritmética generalizada; outros, como o estudo das estruturas (LINS e GIMENEZ, 1997).

Nesselmann, em 1842, propôs que, historicamente, a construção da Álgebra fosse

dividida em três períodos distintos: a Álgebra Retórica, aquela em que coisas são postas todas

em palavras; a Álgebra Sincopada, em que já há alguns símbolos específicos. Um exemplo

desse período são os estudos realizados pelo grego Diofanto (250 d.C). Foi ele quem

introduziu sinais de abreviações na resolução de equações, assemelhando-se ao que hoje

chamamos de incógnita. Os símbolos sempre se referiam a alguma coisa que conheciam,

números naturais, por exemplo. Nessa época, o simbolismo na Matemática era usado de

forma ingênua, ainda não estava dentro de um sistema formal. E, por último, emergiu no

conhecimento matemático a Álgebra Simbólica (EVES, 1995, p. 206).

Depois disso, um longo caminho foi percorrido até chegarmos ao simbolismo atual.

Era comum representar objetos matemáticos por símbolos. O problema é que poderia ser

qualquer símbolo. Da maneira como tinham se encaminhado as coisas, cada matemático

estava elaborando sua própria representação da álgebra, pois usavam símbolos distintos para

representar o mesmo objeto. A situação clamava por uma sistematização e uma formalização

do simbolismo algébrico. Porém, isso só aconteceu a partir do século XX.

20 Um exemplo é o livro o van der Waerden, denominado Algebra Moderne, de 1930.

Foi Viète 21 (por volta de 1550 d.C) quem começou a trabalhar com letras para

representar dados numéricos conhecidos e desconhecidos. Era o início do estudo das equações

algébricas. Poderíamos dizer que ele foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o “cálculo

com letras”.

Com o aperfeiçoamento das notações, a Álgebra passou a ser vista como superior à

Aritmética e ser chamada de Aritmética Universal por grandes matemáticos, tais como

Newton e Leibniz.

Depois da fase inicial de desenvolvimento, a Álgebra Clássica passou por um processo

de sistematização até chegar à Álgebra Abstrata, mais próxima de como a conhecemos hoje.

Segundo Milies (2008), o que caracterizou esse processo de mudança nos conceitos

algébricos foram, além do progresso nos conteúdos, um avanço em sua aplicação por diversos

campos técnicos e científicos e, também, “uma mudança na concepção do que é Matemática,

de como ela se constitui como Ciência e, principalmente, da evolução de seus métodos”.

O Século XIX merece destaque no estudo da História da Álgebra. Nesse período

houve grandes mudanças na Matemática. Essa Ciência, que tinha sua estrutura constituída

sobre a Geometria de Euclides e a Aritmética, “viu a Geometria não-euclidana emergir, com

Lobachevsky em 1829, independente do mundo dos sentidos e a Álgebra sendo construída

independentemente da Aritmética” (MILIES, 2008). Até esse momento, a Álgebra era

entendida como uma Aritmética Universal. As incógnitas referiam-se sempre aos números

positivos possíveis de serem representados no mundo. Existiam também os símbolos + e –

para representarem as operações.

Quando a Álgebra passou a ser construída independentemente da Aritmética, as

incógnitas não representavam mais apenas números naturais, relacionados com objetos e

situações passíveis de serem experienciadas. Elas começaram a representar números negativos

e, mais tarde, os números complexos ou imaginários. Tais números, diferentemente dos

naturais, não podem ser relacionados com objetos do mundo natural.22 Como seu próprio

nome diz, só existiam na imaginação de quem trabalhava com eles. Apesar disso, eles são

objetos de estudos e possibilitam a expansão de conceitos matemáticos e a construção de

novos.

Há uma seqüência cada vez mais abrangente de abstrações na Matemática. E a

Álgebra torna-se a Ciência das abstrações, nas palavras de Lins e Gimenez (1997, p.91), “um 21 Vieta é a forma latina correspondente ao nome francês Viète. Nessa época, era comum a pessoa ser chamada por seu nome na forma latina. 22 Esse modo de falar não considera a explicitação da imaginação por meio da linguagem.

cálculo com regras próprias e ignorantes de qualquer sistema particular que funcione como

elas (números, por exemplo). Um mundo, enfim, completamente abstrato”.

Dentre muitos matemáticos que contribuíram com o processo de sistematização da

Álgebra, destacamos: Dedekind, que, fundamentado na Teoria de Galois, desenvolveu estudos

sobre a teoria dos grupos, os números irracionais e a aritmetização da Análise; Emil Artin,

“que publicou uma generalização dos teoremas de estrutura de Wedderburn para anéis

satisfazendo condições de cadeia” (BOYER, 1996, p. 434); Emmy Noether, filha do geômetra

algébrico Max Noether, liderava um grupo de algebristas, na década de 1920 a 1930, e

auxiliou as pesquisas de Hilbert sobre invariantes diferenciais. Seus estudos contribuíram para

a teoria dos ideais. E, por fim, van der Waerden.

Ele foi o popularizador da Álgebra Moderna no século XX através de seu muito famoso livro Moderne Algebra, escrito na década dos 1920 e, o qual foi baseado nas pesquisas de Emmy Noether e Emil Artin. É importante que enfatizemos que van der Waerden não se limitou a transcrever as aulas de Emmy Noether e de Artin: ele simplificou o material, aperfeiçoou as demonstrações e fez férteis generalizações. 23

Posteriormente veio o grupo Bourbaki. Nicolas Bourbaki foi o nome escolhido por um

grupo de matemáticos, quase todos franceses, que, desde 1940, trabalham na axiomatização

da Matemática.

A Álgebra Abstrata, também denominada Moderna, é importante para diversas

ciências na atualidade. Apesar de suas possíveis aplicações, ela apareceu inicialmente em

problemas inúteis cientificamente, mas que despertaram a curiosidade de vários matemáticos.

Segundo Bell (1995, p. 31), “nenhum dos ‘algebristas’ da época em que a Álgebra começa a

despertar o interesse dos matemáticos foi capaz de encontrar aplicações para a álgebra” e nem

de prever que futuramente esse conhecimento seria essencial para a Ciência.

Depois de aproximadamente quatro séculos de um processo de generalização confusa

e sem rumo definido, a Matemática foi reorganizada, aproximando-se da estrutura que

apresenta hoje.

É comum a crença de que a Álgebra Moderna é o conhecimento construído até o

século XIX. Porém, no século XX, é que a Álgebra Moderna ampliou seu grau de abstração.

Segundo Boyer (1996), “os conceitos fundamentais da Álgebra Moderna ou Abstrata foram

estabelecidos entre 1920 e 1940”.

23 Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/vanderw.html). Acessado em 04 de abril de 2008.

Desse período até 1960, houve o que esse autor chamou de “revolução” na Álgebra. A

nova estruturação algébrica se alastrou para outros campos da Matemática, por exemplo, na

Análise e na Geometria. O resultado foi o aparecimento da Álgebra Homológica, em 1955,

que é “um desenvolvimento da Álgebra Abstrata que trata de resultados válidos para muitas

espécies diferentes de espaço” (BOYER, 1996, p.437). Homologia ou Cohomologia é uma

nova linguagem que permite expressar idéias geométricas em termos algébricos.

E assim hoje dizemos que a Álgebra é o campo da Matemática que estuda, além das

estruturas da Matemática, as relações existentes entre essas estruturas. Sua função para a

Matemática é a generalização de conceitos por meio do simbolismo matemático e das

operações usuais da Aritmética. “Tais operações podem ser chamadas de finitárias” 24, porque

consideram sempre a existência de um número finito de elementos, mesmo quando se está em

um campo de elementos infinitos, como é o caso do estudo de bases para espaços de funções.

Enfim, em termos de proporção, se tomarmos a seguinte afirmação como metáfora: “a

Álgebra é tão importante para a Matemática como a Matemática é para a Física” 25, podemos

entender que, do mesmo modo como a Matemática dá sustentação à Física, em termos de

Linguagem, de estruturas e concepções teóricas, a Álgebra sustenta, explicita e fundamenta

inúmeros conceitos nucleares da Matemática. Com ela há uma nova organização estrutural da

Matemática.

A Álgebra pode ser entendida como a linguagem básica para explorar os objetos

matemáticos, pois cada um deles tem suas próprias especificidades que podem ser analisadas

por meio de estruturas algébricas. Estas, por sua vez, possibilitaram “explicitar aquilo que era

semelhante entre distintas coleções de um mesmo objeto matemático e entre objetos

matemáticos distintos” (KLUTH, 2005, p. 62). Ela é a parte da Matemática responsável

também pela “aceitação Matemática dos números imaginários, [pelas] questões que envolvem

o método de resolução de equações por radicais, [pela] expansão de resultados matemáticos

sobre divisibilidade, numéricas, [pela] divisibilidade de polinômios e, pela solução econômica

e elegante para trabalhar com conceitos abstratos e generalizações” (KLUTH, 2005, p. 62).

A chegada da Álgebra no ensino brasileiro

Iniciaremos a abordagem desse tema estudando como o ensino de Álgebra foi trazido

para a educação brasileira e como nela criou suas raízes. Esse estudo é importante porque o

24 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo, em 20/06/2006, gravada e transcrita com sua autorização. 25 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo, em 20/06/2006, gravada e transcrita com sua autorização.

modo como a Álgebra é organizada na escola, atualmente, é fruto da trajetória que percorreu

até se estabelecer nos currículos escolares deste país.

Desde 1599, o ensino brasileiro era organizado e executado por Jesuítas,

permanecendo assim por duzentos anos, até a expulsão deles do país. A saída dos Jesuítas

teve como conseqüência a desarticulação do ensino, pois não havia professores preparados

para dar continuidade às aulas. A situação permaneceu assim até 1772, quando foram criadas

no Brasil as “aulas régias”, ou seja, “aulas isoladas dadas em locais diferentes e sem nenhuma

articulação entre si” (MIORIM, 1998, p. 83).

Foi nesse período que a Álgebra chegou aos currículos escolares brasileiros. A

Geometria, a Trigonometria, a Aritmética e a Álgebra eram apresentadas em cursos

separados, sendo a Álgebra o último conteúdo trabalhado (FIORENTINI, MIORIM e

MIGUEL, 1993). Até então eram ensinadas apenas Aritmética, Trigonometria e Geometria,

exatamente nessa ordem.

A justificativa para a introdução da Álgebra nos currículos escolares era a

importância dela para as nações “mais adiantadas”, como a França, a Inglaterra, Estados

Unidos e Portugal. O Brasil, uma nação que possuía o ideal político de se igualar a esses

países, precisava dominar o conhecimento que eles consideravam importante. A Álgebra

desempenhava um papel de destaque no ensino das Ciências e, por isso, era considerada

necessária também para estudantes brasileiros. Portanto, a justificativa não foi fundamentada

nem em necessidades específicas do Brasil, nem em necessidades científicas e

epistemológicas. O ensino da Álgebra foi importado dos currículos daquelas nações.

Quando o Brasil deixou de ser Império, uma nova legislação entrou em vigor. No que

concerne à política da educação, a primeira reforma republicana de Benjamin Constant26

manteve o ensino de Álgebra organizado do mesmo modo que se apresentava no período

imperial.

Da reforma “Benjamin Constant” até 1930, ocorreram várias alterações nas leis que

regiam o ensino. Entretanto, nenhuma provocou mudanças relevantes com relação à Álgebra.

O problema detectado em tal forma de ensino era a exclusão da Álgebra dentre os

conteúdos trabalhados, porque era a última disciplina constante na grade curricular. Na

tentativa de mudar essa situação, entrou em vigor “o Decreto no 18.564, de 15 de janeiro de

1929” (MIORIN, 1998, p. 92). A inovação trazida por essa reforma foi o ensino da

Aritmética, da Trigonometria, da Geometria e da Álgebra distribuído entre os diferentes

26Decreto número 891, de 8 de novembro de 1890. (MIORIN, 1998, p. 88).

momentos do currículo escolar. A justificativa era acostumar, aos poucos, os alunos com o

simbolismo algébrico.

Até esse período não havia cursos destinados à formação de professores. A formação

de profissionais para atuarem como docentes de Matemática era realizada em academias

militares e em escolas de engenharia. Isso mudaria depois da criação da Universidade de São

Paulo.

Antes da fundação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de

São Paulo e da Faculdade Nacional de Filosofia integrante da Universidade do Brasil, no Rio

de Janeiro em 1939, a formação do professor secundário se dava no Instituto de Educação27.

“A exigência de formar professores em cursos superiores foi feita pelo Decreto-Lei número

5.846, de 21 de fevereiro de 1933. Em 1934, com a criação da USP, o instituto passa a ser

parte dela. Isso fica estabelecido pelo Decreto 6.283 de 25 de janeiro do mesmo ano”

(Bernardo, 1986).

O Instituto de Educação foi o primeiro do país a ter um curso para formar professores

secundários, conforme a legislação de 1931. Esse foi um momento em que se iniciou a

formação de professores e de professores de Matemática em nível superior. Era

responsabilidade do Instituto de Educação a formação pedagógica dos profissionais que

optavam por seguir carreira educacional, assim como o aperfeiçoamento daqueles que já

exerciam a profissão.

Apesar de existir na legislação desde 1931, o curso de formação de professores

começou a funcionar efetivamente depois do Decreto-Lei no 1.190, de 4 de abril de 1939, com

a criação da Faculdade Nacional de Filosofia, no estado do Rio de Janeiro.

Os cursos de Licenciatura, inclusive o de Licenciatura em Matemática, foram criados

no modelo 3 + 1, ou seja, três anos com disciplinas comuns ao Bacharelado e, no final do

curso, um ano com disciplinas pedagógicas.

Na década de 30 do século passado, chegaram ao Brasil as idéias do matemático e

professor Felix Klein, que ganharam um poder maior depois de 1950. Ele foi um dos mais

importantes matemáticos do final do século XIX. Dentre suas contribuições, mostrou as

intersecções existentes entre áreas distintas como a Álgebra e a Geometria e a importância de

trabalhar essas intersecções nos processos de ensino e de aprendizagem. Ele defendia o estudo

de Matemática para fundamentar qualquer Ciência e criticava a separação entre a educação

27 O Instituto de Educação foi fundado em 1880, com o intuito de formar professoras Em 1938 o Instituto foi transformado em Seção de Educação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras.

humanística e a científica, especialmente nas Universidades. Os esforços de Felix Klein

provocaram mudanças em quase todos os países e, no Brasil, elas abriram caminhos para o

chamado “Movimento da Matemática Moderna”.

Influenciado pelas idéias de Félix Klein, Francisco Campos28 modificou a organização

do ensino brasileiro, em nível secundário. A proposta era reunir o ensino de Aritmética,

Geometria, Trigonometria e Álgebra e denominá-lo de ensino da Matemática. Isso

possibilitaria ao professor realizar conexões entre os conteúdos. Como exemplo, poderíamos

citar as representações geométricas possíveis ao trabalhar com as idéias da Álgebra.

Nos séculos XVIII e XIX, a produção de conhecimento matemático foi muito intensa.

Nesse período, a Álgebra expandiu seus domínios e tornou-se um problema para o ensino. A

situação era a de que no mundo acadêmico havia muito conhecimento sendo produzido e nas

escolas os conteúdos ainda eram os mesmos que em décadas anteriores. Iniciou-se, então, o

Movimento de Modernização da Matemática. Ele foi uma tentativa de organizar a própria

Matemática e de aproximar os conteúdos da Matemática escolar com o que era produzido na

Academia.

Nesse contexto, a Álgebra era o que havia de novo na Matemática. Entretanto, não se

tinha clareza do que ensinar, como e por que ensiná-la. A principal dificuldade era a pouca

aplicabilidade mundana explícita da Álgebra. Podemos olhar ao nosso entorno e ver formas

ou contar objetos, mas identificar algo a uma equação de terceiro grau era mais complexo.

Nessa época, ao ensinar Matemática, os professores priorizavam alguns temas e

ignoravam outros. A Álgebra pertencia ao que os professores não consideravam importante

ensinar, principalmente por causa de sua pouca aplicabilidade. Porém, quando trabalhada em

sala de aula, se caracterizava por sua apresentação de forma mecânica, sem sentido e

significado para os professores e alunos (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993).

Essa situação continuou até os anos 60, quando entrou em vigor o Parecer 292, de 14

de novembro de 1962. Nele estavam estabelecidos os tópicos elementares que deveriam ser

ensinados ao longo do que hoje é denominada Educação Básica. Para a Álgebra ficou

estabelecido o estudo de cálculo algébrico (operações com polinômios), razão e proporção,

equações e inequações de 1o e 2o grau, trinômio do 2o grau, equações redutíveis a equações de

2o grau, problemas de segundo grau, sistema de equações de 1o e 2o grau.

28Iniciou com o Decreto número 19.890, de 18 de abril de 1931 e terminou com o Decreto número 21.241, de 4 de abril de 1932 (Miorin, 1998, p. 92).

Atualmente, o conteúdo de Álgebra, ao longo da Educação Básica, não se diferencia

muito daqueles itens e também não há nenhuma mudança constitucional significativa que

interfira na organização de ramo da Matemática na Educação Brasileira.

Com relação aos cursos de formação de professores, na tentativa de organizá-los,

entrou em vigor a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 4.024, de 1961, e o Parecer nº

292, de 14 de novembro de 1962, que estabelece currículos mínimos para as Licenciaturas.

Nas décadas de 70 e 80, com a popularização do ensino, houve crescente demanda de

profissionais da educação, inclusive de professores de Matemática. Conseqüentemente,

ocorreu aumento na oferta de cursos de Licenciatura, principalmente nas instituições

particulares.

Para as Licenciaturas em Matemática, foram estabelecidas, além de disciplinas

comuns às do bacharelado, como Geometria Analítica, Cálculo Numérico, Cálculo

Diferencial e Integral e Álgebra, as disciplinas chamadas pedagógicas: Psicologia da

Educação, Didática, Prática de Ensino e Estágios Supervisionados. Os alunos dos cursos de

Licenciatura em Matemática deveriam ter, também, as disciplinas de Desenho Geométrico,

Geometria Descritiva e Fundamentos da Matemática, visando ao que futuramente iriam

ensinar.

É interessante notar que, inicialmente, a Álgebra foi introduzida na formação de

professores de Matemática para possibilitar conhecimento do professor sobre Álgebra, ou

seja, sem a intenção de, no decorrer dessa disciplina, discutir tópicos relacionados à atuação

do professor em sala de aula.

Em 1971, entrou em vigor a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 5692. Uma das

implicações dessa lei foi a transformação do Primário e do Ginásio em Primeiro Grau, do

Colegial (que abrangia também os cursos Técnicos e Normal) em segundo Grau e dos Cursos

Universitários em Terceiro Grau. Outro aspecto dessa lei foi o agrupamento das Licenciaturas

e das disciplinas a serem trabalhadas nas escolas em três conjuntos de habilitações:

Comunicação e Expressão, Estudos Sociais e Ciências. Neste último grupo estava inserida a

Licenciatura em Matemática, juntamente com a de Física, Química e Biologia. Essa mudança,

que pretendia a interdisciplinaridade, não foi bem sucedida na escola. Encontrou resistência

por parte dos professores, principalmente os de Matemática, por questões utilitárias ( não

queriam abrir mão dos conteúdos programáticos que estavam acostumados a trabalhar) e por

questões concernentes a obstáculos epistemológicos (não dominavam questões de

interdisciplinaridade entre essas Ciências).

As legislações posteriores, principalmente a Lei de Diretrizes e Bases da Educação no

9394 de 1996, bem como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), trouxeram para o

ensino a preocupação de, a partir de experiências vividas pelo aluno, iniciá-lo, gradualmente,

no conhecimento científico. Um exemplo é a sugestão dada pelos PCNs para trabalhar o

pensamento algébrico.

Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (BRASIL, 1997, p. 117).

Para a Álgebra, os PCNs sugerem aos professores o trabalho com a investigação de

padrões e sucessões numéricas, para que possam dessa maneira, identificar as estruturas,

construir a linguagem algébrica para, posteriormente, expressá-la por símbolos. Ao fazer isso,

o professor possibilitará a construção da idéia de Álgebra como “a linguagem que expressa

regularidades” (BRASIL, 1997, p.117). O que os PCNs propõem é, no decorrer da Educação

Básica, uma abertura à abstração algébrica formal, sendo esta prioridade de alguns cursos de

nível superior.

Atualmente está em vigor na educação nacional o PNE (Plano de Desenvolvimento da

Educação). No que se refere à formação de professores, ele apresenta a preocupação com a

falta de profissionais para todas as áreas, principalmente para a Matemática. Com o fim de

suprir a necessidade de profissionais, o PNE propõe a criação de cursos de Licenciatura em

Matemática noturnos em Universidades Públicas, incentivo às Universidades particulares,

para que elas também criem cursos de Licenciatura ou aumentem as vagas nos que já existem

e incentivem a formação de professores a distância. A preocupação que existe não é com a

qualidade dos cursos, mas, sim, em mudar os números que mostram uma preocupante

defasagem do quantitativo de professores formados para os próximos anos.

Entender as crises e as mudanças na legislação brasileira é importante para a

compreensão de como o ensino e, em especial neste estudo, como a Álgebra se apresenta na

Educação hoje. Nos próximos capítulos focaremos a Álgebra e a formação de professores de

Matemática partindo do discurso de professores que trabalham com essa disciplina nos cursos

de Licenciatura em Matemática, na microrregião de Porto Alegre, no Estado do Rio Grande

do Sul.

Capítulo – II

EXPLICITAÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE PESQUISA

A meta dessa pesquisa é estudar as concepções de alguns professores de Álgebra,

do curso de Licenciatura em Matemática da Mesorregião de Porto Alegre, do Estado do

Rio Grande do Sul, revelam sobre Álgebra e seu ensino no curso de formação de

professores, bem como compreender o modo como estudam e trabalham com seus alunos,

os quais futuramente serão professores de Matemática.

Este estudo tem como norte a seguinte interrogação: como os professores de

Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática compreendem a Álgebra e como a

trabalham, em termos de conteúdo e prática pedagógica? Compreendemos que a

interrogação interroga a própria concepção de Álgebra dos professores dessa disciplina nos

cursos de Licenciatura em Matemática, assim como a prática por eles realizada ao

ensinarem Álgebra.

De acordo com o referencial fenomenológico, a pesquisa foi desenvolvida segundo

uma modalidade qualitativa, pois não buscamos por generalização estatística, princípios e

leis do que foi sendo investigado. A meta é compreender o fenômeno em destaque situado

nessa microrregião caminhando em direção à generalidade do compreendido e

interpretado, à luz da interrogação formulada, dos autores estudados e dos depoimentos

interpretados e analisados. (MARTINS & BICUDO, 1989).

Conforme já mencionamos na introdução, iniciamos o desenvolvimento desta

investigação com o intuito de abranger toda a Mesorregião de Porto Alegre, por entender

tratar-se de um centro dos mais importantes do Estado do Rio Grande do Sul, por

concentrar grande parte dos recursos econômicos do estado, por abarcar as Universidades

mais antigas e significativas, em termos de pesquisa e de ensino do Rio Grande do Sul.

Consideramos essa Mesorregião como um centro dinamizador de desenvolvimento,

tornando relevante uma investigação de aspectos referentes à Educação.

Uma vez escolhida a Mesorregião para a realização do estudo, fizemos um

levantamento das Universidades e Institutos de Educação aí instalados e que, dentre seus

cursos, oferecem o de Licenciatura em Matemática. Esta Mesorregião é composta por 22

municípios, nos quais há 68 Universidades e Institutos de Ensino Superior. Desses, 08

oferecem o curso de Licenciatura em Matemática na modalidade presencial. O quadro

abaixo apresenta o levantamento:

*Universidades da microrregião de Porto Alegre

Município Universidades Universidades com o curso de Licenciatura em Matemática

Alvorada 2 0 Araricá 0 0 Cachoeirinha 3 0 Campo Bom 0 0 Canoas 5 2 Eldorado do Sul 0 0 Estância Velha 0 0 Esteio 1 0 Glorinha 0 0 Gravataí 1 0 Guaíba 2 1 Mariana Pimentel 0 0 Nova Hartz 0 0 Nova Santa Rita 0 0 Novo Hamburgo 1 0 Parobé 0 0 Porto Alegre 50 4 São Leopoldo 2 1 Sapiranga 0 0 Sapucaia do Sul 0 0 Sertão Santana 0 0 Viamão 1 0 Total 68 8

Ao realizar o levantamento das Instituições de Ensino Superior presentes na

Mesorregião de Porto Alegre que dentre seus cursos ofereciam o de Licenciatura em

Matemática, constatamos que todas, exceto a FUNDASU29, tinham pelo menos um campus

na microrregião30 de Porto Alegre, razão pela qual redimensionamos o trabalho para essa

microrregião.

Após a realização desse levantamento, entramos em contato com as 08 instituições

que ofereciam o curso de Licenciatura em Matemática e pedindo informações sobre

29 Fundação de Ensino superior da Região Centro-Sul. 30A microrregião de Porto Alegre é composta pelos municípios de Alvorada, Araricá, Cachoeirinha, Campo Bom, Canoas, Eldorado do Sul, Estância Velha, Esteio, Glorinha, Gravataí, Guaíba, Mariana Pimentel, Nova Hartz, Nova Santa Rita, Novo Hamburgo, Parobé, Porto Alegre, São Leopoldo, Sapiranga, Sapucaia do Sul, Sertão Santana e Viamão.

professores que nelas ministravam a disciplina de Álgebra no curso de Licenciatura em

Matemática, assim como possibilidades de contatá-los.

Obtivemos o nome e o endereço eletrônico de 18 professores, com os quais

entramos em contato, explicando os objetivos da pesquisa e convidando-os a participar da

mesma. Desses dezoito, nove se dispuseram a participar. Além disso, a coleta de dados

coincidiu com o Congresso Internacional de Ensino da Matemática (CIEM), realizado no

mês de outubro de 2007. Nesse evento, encontramos duas outras professoras que também

estavam vinculadas às Instituições de Ensino em estudo e aceitaram participar das

entrevistas, de modo que para a elaboração desta pesquisa contamos com a participação de

onze professores. Definidos os sujeitos, a coleta dos depoimentos foi efetuada por

intermédio de entrevista, na qual apresentamos a seguinte pergunta disparadora: Qual a

relevância da Álgebra para a formação de professores de Matemática? No decorrer do

diálogo mantido ‘entre-vistas’31, algumas outras perguntas foram se impondo como

importantes como: quais conteúdos de Álgebra consideravam importantes serem

trabalhados na Licenciatura em Matemática e por que viam esses conteúdos como

relevantes?

As questões apresentadas dessa maneira podem ser classificadas como abertas,

pois possibilitam ao entrevistado liberdade na escolha do caminho que dará ao seu

discurso, ou seja, não traz em sua apresentação uma direção a seguir.

Com as entrevistas gravadas, efetuamos a transcrição para iniciar a análise dos

depoimentos. A transcrição consiste em escrever o discurso em forma de texto, mantendo

fidelidade ao dito dos sujeitos, evitando julgamentos e análises, portanto, essa tarefa “não

se fundamenta em idealizações, em imaginações, em desejos, nem é um trabalho realizado

na subestrutura dos objetos descritos” (MARTINS & BICUDO, 1989, p. 47). Esse modo

de proceder não aceita o confronto dos dados com teorias explicativas da realidade, porque

considera sempre a expressão da experiência vivida pelo sujeito de modo contextualizado.

Os textos provenientes das transcrições das entrevistas foram lidos várias vezes,

para que nos familiarizássemos com os discursos e compreendêssemos o que ali se

destacava da perspectiva da interrogação formulada. Selecionamos das transcrições alguns

trechos dos depoimentos que respondiam a questão norteadora, os quais chamamos de

‘unidades significativas’.

31 Diálogo mantido entre a pesquisadora e o(a) professor(a) sujeito da pesquisa.

As unidades significativas foram encontradas mediante um procedimento de

redução32. Identificadas as ‘unidades significativas’, iniciamos a análise interpretativa.

Esse movimento ocorreu em dois momentos: o da análise ideográfica33, que consiste em

efetuar a análise interpretativa das unidades significativas de cada discurso, ou seja, dos

depoimentos tomados em sua individualidade e o da análise nomotética34, que vai ao

encontro das convergências evidenciadas nos discursos dos professores no decorrer das

entrevistas.

Continuando o movimento do pensar analítico e reflexivo, procedemos às reduções

sucessivas em busca de convergências entre seus significados e encontramos o que

chamamos de “primeiras reduções”. Finalizamos essa fase de análise com a construção de

uma matriz ideográfica, que pudesse expor o caminho das superposições das unidades

significativas para as articulações que possibilitassem apontar convergências mais

abrangentes que aquelas primeiras encontradas. Posteriormente, na análise nomotética

continuamos com o procedimento de redução, articulando significados mais abrangentes

de modo a obter os invariantes do fenômeno estudado, ou categorias abertas. De acordo

com Martins & Bicudo (1989, p. 47), esses invariantes são

[...] constructos que apresentam grandes convergências de unidades de significados, já analisadas e interpretadas. Indicam os aspectos estruturantes do fenômeno investigado e abrem-se à metacompreensão, considerando a interrogação, o percebido, o analisado, o diálogo estabelecido na intersubjetividade autor/sujeitos/autores/região de inquérito.

As categorias abertas indicam a estrutura do fenômeno em estudo, ou seja, o que se

apresentou de comum e significativo no discurso dos professores, à luz da interrogação

orientadora desta pesquisa.

Com o objetivo de buscar e explicitar a compreensão das convergências,

interpretamos as categorias abertas, o que nos permitiu uma compreensão de como a

Álgebra se mostra nos cursos de formação de professores de Matemática na microrregião

de Porto Alegre, no estado do Rio Grande do Sul. Essa tarefa foi possibilitada pela

articulação do analisado e do compreendido, exposta em uma tessitura, compondo um

discurso inteligível. O discurso é mantido pela interrogação norteadora da pesquisa, pelas

32 “Redução fenomenológica é o movimento que se inicia com a interrogação e que vai avançando na direção de revelar o percebido” (MARTINS & BICUDO, 1989, p. 47). 33 De acordo com Bicudo (2000, p. 92), ideográfica significa representação de idéias. 34 O termo nomotético deriva-se de nomos que significa uso de leis [...] elaboração de leis. (MARTINS & BICUDO, 1989, p. 105).

falas dos professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática, pelo que é

promulgado na legislação vigente, pelo que é exposto na literatura e que converge com o

tema dessa pesquisa e por nossas compreensões e interpretações, junto com os autores

lidos e com os depoentes, em um esforço intencional, compreendendo o fenômeno

estudado.

Capítulo – III

O CAMINHO DE ANÁLISE DOS DADOS

Nesse capítulo apresentamos os dados da pesquisa e a análise ideográfica dos

mesmos.

Análise Ideográfica

Conforme que já dissemos no capítulo II, a análise ideográfica consiste em efetuar a

análise interpretativa das unidades significativas de cada discurso, ou seja, dos

depoimentos tomados em sua individualidade.

Nesse momento da análise, iniciamos com a apresentação dos discursos dos

professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática, da Mesorregião de

Porto Alegre, no estado do Rio Grande do Sul.

A fala dos professores decorre da entrevista, gravada, realizada pela pesquisadora,

que teve como pergunta disparadora a seguinte questão: qual é a relevância da Álgebra

para a formação de professores de Matemática? A gravação foi transcrita, transformando-

se em texto escrito, o qual foi objeto das análises que seguem.

O caminho percorrido nessa fase de análise pode ser dividido em dois momentos: a

construção das tabelas de cada entrevista e a construção da matriz ideográfica.

Tratamento dos dados

Após a leitura atenta dos textos constituídos pela fala dos professores entrevistados,

sempre direcionada pela questão norteadora dessa pesquisa (como os professores de

Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática compreendem a Álgebra e como a

trabalham, em termos de conteúdo e prática pedagógica?) destacamos passagens do texto

que se mostraram significativos no decorrer da leitura. Os quadros das análises das

entrevistas são organizados em quatro colunas. Na primeira coluna apresentamos as

unidades significativas destacadas no discurso dos depoentes. Na segunda coluna

buscamos a compreensão de tais unidades. Na terceira, iniciamos as primeiras

interpretações do que foi dito pelos sujeitos. E na quarta coluna apresentamos as

convergências evidenciadas nas unidades significativas.

As unidades significativas são recortes do discurso dos depoentes, que respondem a

questão norteadora dessa pesquisa. Ao todo destacamos 207 unidades significativas, as

quais foram enumeradas, por questão de organização e, também, porque dessa maneira,

podemos voltar a elas, considerando o contexto em que foram extraídas. Por exemplo: a

unidade significativa identificada pelo número 1.1 é a primeira unidade da entrevista 1, a

unidade significativa 1.8 é a oitava unidade da entrevista 1, a unidade significativa 7.3 é a

terceira unidade da entrevista 7. A partir das 207 unidades significativas destacadas e

interpretadas, passamos ao movimento de redução35. Na quarta coluna estão as 50

primeiras reduções efetuadas nesse movimento que leva à redução transcendental36.

Assim, são apresentadas 50 proposições que agrupam sentido, compreendidas como

passíveis de serem reunidas.

As 50 primeiras reduções são apresentadas na matriz ideográfica. Essa matriz é

construída com o intuído de facilitar a visualização das convergências das unidades

significativas.

A matriz ideográfica é estruturada em 10 colunas. Na primeira estão as 50

primeiras reduções e nas demais, a numeração correspondente a cada entrevista. No

cruzamento das reduções com as entrevistas mostramos onde podemos encontrar cada

unidade significativa. Para exemplificar37, observamos a primeira unidade, ‘O que a

Álgebra faz?’, está presente:

• na entrevista 1, nas unidades significativas no 1.1 e 1.4.

• na entrevista 9, nas unidades significativas no 9.4, 9.6 e 9.7.

A escolha das 50 primeiras reduções é fruto da compreensão e interpretação das

unidades significativas observadas na fala dos professores.

35 “Pela redução, os atos da consciência expõem-se, ou seja, toma-se ciência deles de modo que, pela reflexão, seu componente, são explicitadas as raízes cognitivas das próprias afirmações (BICUDO, 1999, p. 22). 36 O procedimento de redução transcendental tem sua origem nas obras de Husserl. Por meio da redução transcendental “se põe entre parêntese a própria existência da consciência. Com isso a consciência volta-se a si mesma e, em vez de tender para o que se dá a ela tende para si em sua pureza intencional”. (Dicionário de Filosofia, disponível em www.apfilosofia.org/links/index.htm)”. 37 Ver na matriz ideográfica

Na seqüência do texto apresentamos as nove entrevistas e respectivas tabelas, com

as primeiras articulações. Esse capítulo é finalizado com apresentação da matriz

ideográfica.

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stru

tura

s, n

as

prop

ried

ades

e n

as o

pera

ções

do

conj

unto

dos

núm

eros

int

eiro

s, p

ara

que

não

fiqu

e a

prop

ried

ade

apen

as p

ela

prop

ried

ade]

. Já

des

envo

lvo

a

estr

utur

a do

Z, p

ara

que

depo

is q

uand

o el

a (a

out

ra p

rofe

ssor

a) p

ega

as e

stru

tura

s al

gébr

icas

ela

tenh

a o

Z c

omo

exem

plo.

Ent

ão [

eu n

ão s

ei c

omo

dize

r qu

al é

o c

onte

údo

mai

s im

port

ante

. Sã

o to

dos]

. A

té [

quan

do a

gen

te e

scol

he o

con

teúd

o qu

e nó

s va

mos

tra

balh

ar c

om L

icen

ciat

ura,

já

é

pens

ando

naq

uilo

que

ele

vai

apl

icar

. Nun

ca é

só

o co

nteú

do p

elo

cont

eúdo

.]

Pes

quis

ador

a: O

que

dif

eren

cia

a Á

lgeb

ra d

a L

icen

ciat

ura?

Pro

fess

ora

2: O

obj

etiv

o do

cur

so. Q

ual é

o o

bjet

ivo

do c

urso

? N

ós lá

can

sam

os d

e di

zer

para

os

noss

os a

luno

s: n

ós e

stam

os n

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a. T

oda

hora

iss

o é

lem

brad

o. E

ntão

, a

gent

e nã

o de

ixa

de p

ensa

r qu

e aq

uele

alu

no q

ue e

stá

ali,

ele

pode

ir

tant

o pa

ra a

áre

a de

educ

ação

, po

rque

ele

é p

rofe

ssor

aci

ma

de t

udo,

com

o el

e po

de i

r pa

ra u

ma

área

da

Mat

emát

ica,

ele

pod

e se

dir

igir

par

a um

mes

trad

o em

Mat

emát

ica.

É o

bvio

que

par

a fa

zer

um m

estr

ado

em M

atem

átic

a, g

eral

men

te q

uand

o el

e sa

i de

lá,

ele

vai

faz

er u

m n

ivel

amen

to.

Mas

ele

tem

,

pelo

men

os s

e pr

eten

de,

já u

m c

onju

nto

de h

abili

dade

s fe

itas

que

ele

pode

des

lanc

har

se e

le q

uise

r. E

ntão

a g

ente

ten

ta p

ensa

r m

ais

nas

habi

lida

des

por

isso

.

Pro

fess

ora

1: T

em u

ma

cois

a qu

e eu

ach

o qu

e é

impo

rtan

te t

alve

z no

seu

com

entá

rio,

qua

ndo

eu p

enso

em

des

envo

lver

hab

ilid

ades

, nó

s

tem

os li

vros

var

iado

s aí

no

com

érci

o e,

o n

osso

alu

no te

m q

ue s

er c

apaz

[.]

.[N

ão te

m u

m li

vro

perf

eito

. Tem

livr

os p

iore

s, te

m li

vros

mel

hora

dos.

Mas

tod

o li

vro

no f

undo

[...

] nã

o te

m a

quel

e pe

rfei

to p

ara

ti, tu

tens

que

faz

er t

eu e

stilo

, dig

amos

ass

im. E

, ach

o im

pres

cind

ível

que

o a

luno

sej

a

capa

z de

ler

e a

valia

r, t

er e

spír

ito

crít

ico]

. T

irar

o q

ue t

em d

e bo

m e

m c

ada

um,

o qu

e te

m d

e bo

m p

ara

si.

Mon

tar

seu

estil

o. S

aber

, di

gam

os

assi

m, c

onto

rnar

os

prob

lem

inha

s. C

laro

, se

a e

scol

a ad

ota

um l

ivro

, ai

nda

mai

s qu

e te

m a

gora

ess

es l

ivro

s qu

e sã

o da

dos

pelo

ME

C, e

ntão

tem

que

sabe

r dr

ibla

r os

pro

blem

as. E

ntão

, tem

que

sab

er le

r na

s en

trel

inha

s eu

ach

o. D

uran

te o

cur

so, e

le te

m q

ue s

aber

tam

bém

[...

], a

gen

te te

m q

ue

deix

ar b

em c

laro

que

a g

ente

est

á da

ndo

aque

le a

lgo

a m

ais

para

ele

ter

recu

rsos

, cam

inha

r co

m a

s pr

ópri

as p

erna

s.

Pro

fess

ora

2: O

utra

coi

sa q

ue n

ós f

azem

os b

asta

nte

é ap

rese

ntar

tra

balh

os e

m s

ala

de a

ula.

[Ele

pre

para

, el

e ap

rese

nta.

] A

gora

, es

sa

sem

ana,

eu

vou

ter

dois

alu

nos

que

vão

esta

r ap

rese

ntan

do o

bin

ômio

de

New

ton.

Ent

ão, s

empr

e pr

ocur

ando

que

ele

s ap

rese

ntem

no

quad

ro, q

ue

vão

lá p

ara

fren

te, f

alem

alg

uma

cois

a, s

empr

e pr

ocur

ando

faz

er c

om q

ue e

les

se s

inta

m p

rofe

ssor

es.

Pro

fess

ora

1: [

Mes

mo

que

a di

scip

lina

não

seja

do

tipo

met

odol

ógic

a. E

até

de

vez

em q

uand

o, s

e pe

rde,

ent

re a

spas

, um

tem

po d

a au

la

disc

utin

do a

lgum

a co

isa

que

ele

vai e

ncon

trar

ali

no s

eu tr

abal

ho.]

Pro

fess

ora

2: A

gen

te n

ão d

eixa

par

a o

fina

l do

curs

o. [

Des

de o

seg

undo

sem

estr

e te

m d

isci

plin

as q

ue b

usca

m u

ma

met

odol

ogia

.]

Obs

: Ped

i par

a as

pro

fess

oras

se

elas

teri

am m

ais

algu

ma

cois

a pr

a di

zer

e qu

e nã

o fo

i con

tem

plad

o na

s qu

estõ

es. A

mba

s di

sser

am q

ue n

ão.

E

ntre

vist

a 01

U

nida

des

Sign

ific

ativ

as

Inte

rpre

taçõ

es I

nici

ais39

A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pesq

uisa

dor

Pri

mei

ras

Red

uçõe

s40

1.1

Eu

cons

ider

o qu

e a

Álg

ebra

é a

al

avan

ca p

ara

toda

e q

ualq

uer

outr

a di

scip

lina

num

cur

so d

e M

atem

átic

a ou

de

Ciê

ncia

s E

xata

s.

Ala

vanc

ar:

Dar

im

puls

o a;

agi

r a

favo

r de

, fav

orec

er o

des

envo

lvim

ento

de.

A

lava

nca :

B

arra

in

flex

ível

, re

ta

ou

curv

a, a

poia

da o

u fi

xa n

um p

onto

de

apoi

o fo

ra d

a su

a ex

tens

ão,

cham

ado

fulc

ro, e

des

tina

da a

mov

er, l

evan

tar

ou

sust

enta

r qu

alqu

er c

orpo

. Su

sten

tar :

Agü

enta

r, e

scor

ar,

impe

dir

de

cair

, se

rvir

de

es

cora

a,

su

port

ar,

sust

er, s

uspe

nder

, int

erro

mpe

r.

Dis

cipl

ina:

Con

junt

o de

con

heci

men

tos

cien

tífi

cos,

art

ístic

os,

ling

üíst

icos

etc

., qu

e se

pro

fess

am e

m c

ada

cade

ira

de

um in

stitu

to e

scol

ar.

1.1

A

Álg

ebra

dá

su

sten

taçã

o pa

ra

o co

nhec

imen

to d

a M

atem

átic

a e

de o

utra

s C

iênc

ias

Exa

tas.

O q

ue a

Álg

ebra

faz

.

1.2

[...]

se

nã

o te

m

dom

ínio

da

Á

lgeb

ra,

não

vai

cons

egui

r fa

zer

Cál

culo

, nã

o va

i co

nseg

uir

faze

r G

eom

etri

a, n

ão v

ai c

onse

guir

faz

er

Aná

lise

.

Dom

ínio

: Fa

culd

ade

de

disp

or

de

algu

ma

cois

a co

mo

senh

or d

ela.

C

onhe

cim

ento

: A

to

ou

efei

to

de

conh

ecer

. O

at

o ou

a

ativ

idad

e de

co

nhec

er r

eali

zado

por

mei

o da

raz

ão

ou d

a ex

peri

ênci

a.

Faz

er:

Cri

ar, d

ar e

xist

ênci

a ou

for

ma

a;

prod

uzir

: Fa

bric

ar,

man

ufat

urar

, co

nstr

uir,

ed

ific

ar,

talh

ar

e co

stur

ar,

exec

utar

, pô

r em

pr

átic

a,

real

izar

, es

culp

ir,

grav

ar,

pint

ar,

com

por,

1.2

Se o

alu

no n

ão c

onhe

ce a

Álg

ebra

, nã

o co

nstr

uirá

/exe

cuta

rá

Geo

met

ria,

C

álcu

lo,

Aná

lise

etc

.

Nec

essi

dade

de

conh

ecer

a

Álg

ebra

par

a co

nhec

er

outr

as

Áre

as

da

Mat

emát

ica.

39 P

ara

cons

ulta

r o

sign

ific

ados

das

pal

avra

s fo

ram

usa

dos

os d

icio

nári

os d

ispo

níve

is n

o sí

tio

ww

w.b

ol.c

om.b

r.

40 C

onfo

rme

o qu

e já

exp

usem

os n

a pá

gina

28,

“R

eduç

ão f

enom

enol

ógic

a é

o m

ovim

ento

que

se

inic

ia c

om a

int

erro

gaçã

o e

que

vai

avan

çand

o na

dir

eção

de

reve

lar

o pe

rceb

ido”

(M

AR

TIN

S &

BIC

UD

O, 1

989,

p. 4

7). O

ptam

os p

or d

enom

inar

ess

a co

luna

de

“pri

mei

ras

redu

ções

” po

r co

mpr

eend

er q

ue n

esse

mom

ento

do

trab

alho

é q

ue a

s pr

imei

ras

redu

ções

são

apr

esen

tada

s em

for

ma

de te

xto.

escr

ever

, po

rtar

-se,

pr

oced

er,

dize

r,

prof

erir

, pro

nunc

iar.

1.

3 E

la

está

pr

esen

te

em

prat

icam

ente

to

do

o ti

po

de

conh

ecim

ento

m

atem

átic

o,

ela

está

in

seri

da.

Pre

sent

e : E

stad

o ou

fen

ômen

os a

tuai

s.

Inse

rida

: C

rava

r,

faze

r en

trar

, in

trod

uzir

. In

trod

uzir

: Ent

rar,

pen

etra

r.

Ent

rar:

Ir

para

den

tro

de

1.3

A

Álg

ebra

es

tá

inse

rida

em

pr

atic

amen

te

todo

o

conh

ecim

ento

m

atem

átic

o.

A p

rese

nça

da Á

lgeb

ra n

a M

atem

átic

a.

1.4

A

Álg

ebra

dá

fu

ndam

enta

ção

teór

ica

para

os

cont

eúdo

s do

Ens

ino

Fund

amen

tal.

Fun

dam

enta

ção :

B

ase,

al

icer

ce,

fund

ar,

dem

onst

rar

atra

vés

da

lei

ou

dout

rina

, açã

o de

fun

dam

enta

r.

1.4

A Á

lgeb

ra d

á fu

ndam

enta

ção

teór

ica

para

os

cont

eúdo

s de

Mat

emát

ica

do E

nsin

o Fu

ndam

enta

l.

O q

ue a

Álg

ebra

faz

.

1.5

[...]

os

al

unos

nã

o es

tão

dom

inan

do

aqui

lo

que

deve

ria

ter

sido

cha

mad

o à

aten

ção

dele

s qu

e é

as e

stru

tura

s al

gébr

icas

.

Dom

inan

do:

Facu

ldad

e de

di

spor

de

al

gum

a co

isa

com

o se

nhor

de

la.

Con

heci

men

to.

Con

heci

men

to:

Ato

ou

ef

eito

de

co

nhec

er.

O

ato

ou

a at

ivid

ade

de

conh

ecer

rea

liza

do p

or m

eio

da r

azão

ou

dá

expe

riên

cia.

E

stru

tura

: O

rgan

izaç

ão d

as p

arte

s ou

do

s el

emen

tos

que

form

am u

m t

odo.

A

rran

jo d

e pa

rtíc

ulas

ou

part

es e

m u

ma

subs

tânc

ia o

u co

rpo;

tex

tura

. E

sque

leto

ou

arm

ação

de

um e

difí

cio.

Dis

posi

ção

e di

stri

buiç

ão d

as p

arte

s de

um

a ob

ra

liter

ária

. C

ompo

siçã

o,

enca

deam

ento

, ur

didu

ra. D

ispo

siçã

o da

s di

vers

as p

arte

s de

um

org

anis

mo

em r

elaç

ão u

mas

às

outr

as.

1.5

Os

alun

os

não

estã

o do

min

ando

as

es

trut

uras

alg

ébri

cas.

Fa

lta

de

dom

ínio

da

s es

trut

uras

al

gébr

icas

pe

los

alun

os d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a.

1.6

Ent

ão,

sem

a Á

lgeb

ra e

u nã

o se

i co

mo

seri

am

dese

nvol

vido

s os

co

nteú

dos

do E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

Méd

io.

Des

envo

lver

: T

irar

do

in

vólu

cro,

de

scob

rir

o qu

e es

tava

en

volv

ido,

pr

oduz

ir.

1.6

A

Álg

ebra

é

nece

ssár

ia

para

o

dese

nvol

vim

ento

dos

con

teúd

os d

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

.

A

Álg

ebra

é

nece

ssár

ia

para

tr

abal

har

com

co

nteú

dos

da

Edu

caçã

o B

ásic

a.

1.7

O c

onte

údo

é m

enos

im

port

ante

. E

u ac

ho q

ue n

ós d

amos

mui

to m

ais

ênfa

se e

m d

esen

volv

er h

abili

dade

s

Ênf

ase :

Vig

or d

e ex

pres

são

que

salie

nta

ou

torn

a m

ais

impr

essi

onan

te

um

assu

nto.

1.7

Poss

ibil

itar

que

o al

uno

cons

trua

ha

bilid

ades

no

alun

o é

mai

s im

port

ante

do

que

ensi

nar

cont

eúdo

s da

di

scip

lina

. O

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra d

esen

volv

er a

co

mun

icaç

ão e

a l

eitu

ra

[...]

.de

leitu

ra,

de

com

unic

ação

, de

le

itura

ple

na d

e al

gum

a co

isa

e de

co

mun

icaç

ão.

Des

envo

lver

: T

irar

do

in

vólu

cro,

de

scob

rir

o qu

e es

tava

en

volv

ido,

pr

oduz

ir.

Hab

ilida

de:

Qua

lidad

e de

há

bil.

Cap

acid

ade,

in

teli

gênc

ia.

Apt

idão

, en

genh

o. D

estr

eza.

Ast

úcia

, man

ha.

Ple

na:

Est

ado

ou q

ualid

ade

do q

ue é

pl

eno,

che

io o

u co

mpl

eto.

Tot

alid

ade.

C

omun

icaç

ão:

Açã

o, e

feito

ou

mei

o de

co

mun

icar

.

cont

eúdo

se

rve

para

de

senv

olve

r a

capa

cida

de d

e le

r, in

terp

reta

r e

com

unic

ar.

da M

atem

átic

a.

1.8

[...]

el

e (o

al

uno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica)

va

i fa

zer

pequ

enas

dem

onst

raçõ

es.

Peq

ueno

: D

e ex

ígua

ex

tens

ão.

De

pouc

o vo

lum

e. D

e ba

ixa

esta

tura

. D

e po

uca

impo

rtân

cia.

Po

uco

apre

ciáv

el.

Que

é f

eito

em

lim

itad

a es

cala

. Si

mpl

es:

Con

stit

uído

de

ap

enas

um

a su

bstâ

ncia

ou

elem

ento

não

com

post

o.

Puro

, se

m m

istu

ra.

Não

dob

rado

, nã

o du

plic

ado,

nã

o fo

rrad

o;

sing

elo.

D

e fá

cil

com

pree

nsão

ou

in

terp

reta

ção;

cl

aro,

evi

dent

e.

1.8

No

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

o fu

turo

pro

fess

or v

ai a

pren

der

a fa

zer

dem

onst

raçõ

es m

ais

sim

ples

.

No

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a o

alun

o ap

rend

e a

faze

r de

mon

stra

ções

sim

ples

.

1.9

[...]

ele

s tr

abal

ham

um

pou

co a

pa

rte

form

al d

e fu

nçõe

s, [

...]

depo

is a

ge

nte

entr

a no

co

rpo

dos

núm

eros

na

tura

is e

núm

eros

inte

iros

.

Pou

co:

Em

pe

quen

a qu

antid

ade;

nã

o ab

unda

nte.

Peq

ueno

, lim

itado

: Cur

to.

1.9

[...]

Os

alun

os d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a tr

abal

ham

um

pou

co a

par

te

form

al d

e fu

nçõe

s, [

...]

depo

is o

s nú

mer

os

natu

rais

e n

úmer

os in

teir

os.

O

que

é im

port

ante

o

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

1.

10 E

ntão

, tu

obs

erva

s qu

e se

ele

nã

o ti

ver

uma

fund

amen

taçã

o pa

ra

que

ele

tenh

a co

mpe

tênc

ia

para

da

nçar

em

ci

ma

do

cont

eúdo

de

E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

, ele

não

co

nseg

ue s

er u

m b

om p

rofe

ssor

.

Fun

dam

enta

ção:

B

ase,

al

icer

ce,

fund

ar,

dem

onst

rar

atra

vés

da

lei

ou

dout

rina

, açã

o de

fun

dam

enta

r.

Com

petê

ncia

: Fa

culd

ade

para

apr

ecia

r e

reso

lver

qu

alqu

er

assu

nto.

Apt

idão

, id

onei

dade

. Pr

esun

ção

de

igua

ldad

e.

Con

corr

ênci

a, c

onfr

onto

. D

ança

r : E

xecu

tar

só o

u ju

nto

com

um

a ou

mai

s pe

ssoa

s um

a su

cess

ão r

ítm

ica

de

pass

os

e m

ovim

ento

s do

co

rpo,

1.10

O

al

uno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

prec

isa

de u

ma

base

sól

ida

em s

eu c

urso

de

form

ação

pa

ra

pode

r se

ntir

-se

livr

e pa

ra

trab

alha

r os

co

nteú

do

e at

ivid

ades

di

fere

ncia

das

e de

m

odo

apro

pria

do

no

Ens

ino

Fund

amen

tal e

Méd

io. S

em is

so, e

le

não

será

um

bom

pro

fess

or.

O q

ue é

pre

ciso

par

a se

r um

bo

m

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

com

umen

te

ao

com

pass

o de

m

úsic

a.

Mov

er-s

e li

geir

a e

repe

tida

men

te p

ara

cim

a e

para

bai

xo o

u ao

red

or;

salt

itar

. Sa

ltar

, sa

ltit

ar,

gira

r so

bre

uma

supe

rfíc

ie,

sobr

e a

água

ou

no

ar

. D

efen

der-

se,

mov

er-s

e en

tre

difi

culd

ades

e

peri

gos

(sen

tido

fi

gura

tivo

).

No

text

o, o

sen

tido

que

se

mos

tra

é o

de

fica

r li

vre

para

se

mov

imen

tar.

B

om:

Que

é c

onfo

rme

ao u

so a

que

se

dest

ina.

Q

ue

tem

bo

ndad

e.

De

agra

dáve

l qu

alid

ade.

Q

ue

se

torn

ou

hábi

l nas

art

es e

ciê

ncia

s, n

um o

fíci

o ou

em

qu

alqu

er

exer

cíci

o co

rpor

al.

Que

cu

mpr

e ri

goro

sam

ente

os

seus

dev

eres

. D

igno

de

cr

édit

o,

gara

ntid

o,

segu

ro.

Próp

rio,

apt

o. E

stri

to, e

xato

, rig

oros

o.

1.11

[...

] el

e sa

ber

Mat

emát

ica

é [.

..]

é o

norm

al.

O r

esto

que

vai

faz

er

dele

um

bom

pro

fess

or,

é co

mpo

sto

por

[...]

, nã

o só

po

r ha

bili

dade

s m

atem

átic

as, m

as p

or h

abili

dade

s de

se

r hu

man

o.

Sabe

r: E

star

inf

orm

ado

de,

esta

r a

par,

te

r co

nhec

imen

to

de;

conh

ecer

: C

ompr

eend

er o

u pe

rceb

er u

m f

ato,

um

a ve

rdad

e: S

er c

apaz

de

dist

ingu

ir o

u de

di

zer.

Pos

suir

am

plos

e e

ncic

lopé

dico

s co

nhec

imen

tos.

T

er

conh

ecim

ento

pr

átic

o de

al

gum

a co

isa

ou

poss

uir

habi

lida

de n

ela.

H

abili

dade

: Q

ualid

ade

de

hábi

l. C

apac

idad

e,

inte

ligê

ncia

. A

ptid

ão,

enge

nho.

Des

trez

a. A

stúc

ia, m

anha

. H

uman

o: Q

ue p

erte

nce

ou s

e re

fere

ao

hom

em.

Hum

anit

ário

. B

ondo

so,

com

pass

ivo,

ca

rido

so,

pied

oso,

so

lidá

rio.

.. H

abili

dade

s de

ser

hu

man

o : m

odos

do

1.11

Pa

ra

ser

um

bom

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica,

alé

m d

e co

nhec

er M

atem

átic

a,

o al

uno

do c

urso

de

Lic

enci

atur

a pr

ecis

a se

as

sum

ir c

omo

ser

hum

ano.

O q

ue é

pre

ciso

par

a se

r um

bo

m

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

hom

em s

er.

1.12

[.

..]

tudo

is

so

tem

qu

e se

r de

senv

olvi

do n

o cu

rso,

e n

ós u

sam

os

o co

nteú

do d

e Á

lgeb

ra f

azer

isso

.

Tud

o is

so:

habi

lidad

es m

atem

átic

as e

ha

bili

dade

s de

ser

hum

ano.

1.

12 A

s ha

bili

dade

s m

atem

átic

as e

ass

umir

-se

com

o se

r hu

man

o sã

o va

lore

s a

sere

m

trab

alha

dos

no c

urso

. N

ós (

prof

esso

res

de

Álg

ebra

) us

amos

o

cont

eúdo

pa

ra

faze

r is

so.

A

Álg

ebra

é

um

mei

o pa

ra

form

ar

prof

esso

res

de M

atem

átic

a.

1.13

Eu

falo

mui

to n

as e

stru

tura

s,

nas

prop

ried

ades

e

nas

oper

açõe

s do

co

njun

to

dos

núm

eros

in

teir

os,

para

qu

e nã

o fi

que

a pr

opri

edad

e ap

enas

pel

a pr

opri

edad

e.

Est

rutu

ra:

Org

aniz

ação

das

par

tes

ou

dos

elem

ento

s qu

e fo

rmam

um

tod

o.

Arr

anjo

de

part

ícul

as o

u pa

rtes

em

um

a su

bstâ

ncia

ou

corp

o E

stru

tura

A

lgéb

rica

: E

m

Álg

ebra

, um

a es

trut

ura

algé

bric

a co

nsis

te

num

co

njun

to

asso

ciad

o a

uma

ou

mai

s op

eraç

ões

sobr

e o

conj

unto

qu

e sa

tisf

azem

cer

tos

axio

mas

. P

ropr

ieda

des:

Q

ualid

ade

de

próp

rio.

A

quil

o qu

e é

próp

rio

de a

lgum

a co

isa;

o

que

a di

stin

gue

part

icul

arm

ente

de

outr

a do

mes

mo

gêne

ro. .

O

pera

ções

: C

ombi

naçã

o ef

etua

da n

os

obje

tos

mat

emát

icos

, se

gund

o re

gras

es

tabe

leci

das.

1.13

Na

aula

de

Álg

ebra

são

abo

rdad

as a

s es

trut

uras

, as

pro

prie

dade

s e

as o

pera

ções

do

s nú

mer

os

inte

iros

. Fo

ca

o as

sunt

o nú

mer

os i

ntei

ros

para

que

os

alun

os n

ão

conh

eçam

som

ente

as

prop

ried

ades

.

O q

ue d

e Á

lgeb

ra e

nsin

ar

no c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

1.14

[...

] eu

não

sei

com

o di

zer

qual

é

o co

nteú

do

mai

s im

port

ante

. Sã

o to

dos.

Impo

rtan

te:

Que

tem

im

port

ânci

a. Q

ue

não

se

pode

es

quec

er

ou

deix

ar

de

aten

der.

Dig

no d

e ap

reço

, de

est

ima,

de

cons

ider

ação

. Que

tem

gra

ndes

cré

dito

s,

que

exer

ce n

otáv

el i

nflu

ênci

a. Q

ue t

em

mui

to

valo

r ou

pr

eço

notá

vel.

Úti

l, ne

cess

ário

. E

nfat

uado

. O

qu

e há

de

m

ais

inte

ress

ante

, de

mai

s út

il, d

e m

ais

prov

eito

so

num

a pe

ssoa

ou

co

isa;

o

esse

ncia

l.

1.14

T

odos

os

co

nteú

dos

trab

alha

dos

na

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra s

ão i

mpo

rtan

tes

para

a

form

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica.

O q

ue d

e Á

lgeb

ra e

nsin

ar

no c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

1.15

[...

] qu

ando

a g

ente

esc

olhe

o

cont

eúdo

que

nós

vam

os t

raba

lhar

na

Esc

olha

: A

to

ou

efei

to

de

esco

lher

; se

leçã

o,

clas

sifi

caçã

o.

Aqu

ilo

que

se

1.15

Os

cont

eúdo

s da

dis

cipl

ina

de Á

lgeb

ra

são

esco

lhid

os p

ensa

ndo

na a

plic

abil

idad

e O

que

de

Álg

ebra

ens

inar

no

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

Lic

enci

atur

a, j

á é

pens

ando

naq

uilo

qu

e el

e va

i ap

licar

. N

unca

é s

ó o

cont

eúdo

pel

o co

nteú

do.

esco

lhe.

Dis

cern

imen

to.

Apl

icar

: A

dapt

ar,

ajun

tar,

ju

stap

or.

Em

preg

ar. A

dequ

ar, a

prop

riar

. Atr

ibui

r.

Adm

inis

trar

, re

ceit

ar.

Ded

icar

-se,

en

treg

ar-s

e co

m v

onta

de a

alg

um e

stud

o ou

trab

alho

. Im

por,

infl

igir

. Con

cede

r.

dest

es n

a E

duca

ção

Bás

ica,

fut

uro

cam

po

de

atua

ção

do

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

em M

atem

átic

a.

1.16

[...

] N

ão t

em u

m l

ivro

per

feit

o.

[...]

Não

tem

aqu

ele

perf

eito

par

a ti

, tu

ten

s qu

e fa

zer

teu

esti

lo,

diga

mos

as

sim

. E

, ac

ho i

mpr

esci

ndív

el q

ue o

al

uno

seja

cap

az d

e le

r e

aval

iar,

ter

es

píri

to c

ríti

co.

Cri

tico

: Pe

rten

cent

e ou

re

lativ

o à

crít

ica.

Q

ue

tem

te

ndên

cia

para

ce

nsur

ar.

Cri

tica

r :

Exa

min

ar

com

o cr

ític

o,

nota

ndo

a pe

rfei

ção

ou o

s de

feit

os d

e (o

bra

liter

ária

ou

artís

tica

).

1.16

O

al

uno

de

Lic

enci

atur

a de

ve

ser

capa

z de

le

r,

aval

iar

e ex

amin

ar

crit

icam

ente

os

livr

os d

idát

icos

.

Para

que

ens

inar

Álg

ebra

no

cur

so d

e L

icen

ciat

ura.

1.17

Dur

ante

o c

urso

, [...

] a

gent

e es

tá

dand

o aq

uele

alg

o a

mai

s pa

ra e

le t

er

recu

rsos

, ca

min

har

com

as

próp

rias

pe

rnas

.

Alg

o a

mai

s: a

lém

do

com

um.

Pró

pria

s pe

rnas

: no

tex

to,

sem

anc

ora

por

si m

esm

o.

1.17

No

deco

rrer

do

curs

o de

Lic

enci

atur

a é

prec

iso

poss

ibil

itar

ao

futu

ro

prof

esso

r si

tuaç

ões

visa

ndo

sua

auto

nom

ia.

Para

que

ens

inar

Álg

ebra

no

cur

so d

e L

icen

ciat

ura.

1.18

Ele

pre

para

, ele

apr

esen

ta.

1.

18 P

repa

rar

e ap

rese

ntar

aul

as n

o de

corr

er

do c

urso

de

form

ação

é u

ma

man

eira

de

o es

tuda

nte

exer

cita

r su

a au

tono

mia

.

Com

o en

sina

r o

alun

o do

cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

vir

a se

r pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a.

1.19

[.

..]

sem

pre

proc

uran

do

faze

r co

m q

ue e

les

se s

inta

m p

rofe

ssor

es

Sent

ir:

Perc

eber

por

mei

o de

qua

lque

r um

do

s se

ntid

os.

Exp

erim

enta

r um

a se

nsaç

ão f

ísic

a; p

erce

ber

algo

que

se

pass

a em

se

u pr

ópri

o co

rpo.

E

xper

imen

tar,

te

r (u

m

afet

o,

uma

impr

essã

o m

oral

, um

sen

tim

ento

); s

er

afet

ado

por.

Ter

con

sciê

ncia

de

1.19

É p

reci

so f

azer

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

expe

rien

ciar

o

que

é se

r pr

ofes

sor,

ai

nda

no

dese

nvol

vim

ento

do

cu

rso.

Com

o en

sina

r o

alun

o do

cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

vir

a se

r pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a.

1.20

Mes

mo

que

a di

scip

lina

não

seja

do

tip

o m

etod

ológ

ica.

E a

té d

e ve

z em

qua

ndo,

se

perd

e, e

ntre

asp

as, u

m

tem

po

da

aula

di

scut

indo

al

gum

a co

isa

que

ele

vai

enco

ntra

r al

i no

seu

tr

abal

ho.

1.

20 A

Álg

ebra

, ap

esar

de

não

est

ar n

o co

njun

to d

e di

scip

lina

ped

agóg

ica

do c

urso

, de

ve

prop

icia

r ao

s fu

turo

s pr

ofes

sore

s di

scus

sões

sob

re o

que

ele

vai

enc

ontr

ar n

o se

u tr

abal

ho c

omo

prof

esso

r na

Edu

caçã

o B

ásic

a.

Com

o en

sina

r o

alun

o do

cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

vir

a se

r pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a.

1.21

[...

] D

esde

o s

egun

do s

emes

tre

Met

odol

ogia

: te

oria

dos

pro

cedi

men

tos

1.21

Des

de o

seg

undo

sem

estr

e do

cur

rícu

lo

Dis

cipl

inas

vo

ltad

as

ao

tem

di

scip

lina

s qu

e bu

scam

um

a m

etod

olog

ia.

de e

nsin

o, g

eral

ou

part

icul

ar p

ara

cada

di

scip

lina

; did

átic

a te

óric

a.

do c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

há

disc

ipli

nas

que

trab

alha

m

com

pr

oced

imen

tos

de

ensi

no

adeq

uado

s à

Mat

emát

ica.

cont

eúdo

m

atem

átic

o e

de p

ráti

cas

peda

gógi

cas.

Ent

revi

sta

2

A e

ntre

vist

a 2

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e du

as p

rofe

ssor

as q

ue t

raba

lham

na

mes

ma

inst

itui

ção.

Am

bas

as

prof

esso

ras

perm

anec

em ju

ntas

no

deco

rrer

da

entr

evis

ta e

xpon

do o

que

pen

sam

sob

re o

que

foi

per

gunt

ado.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

a fo

rmaç

ão d

e pr

ofes

sore

s de

Mat

emát

ica?

Pro

fess

ora

1: B

om, [

prim

eiro

eu

vou

fala

r do

que

eu

pens

o e

depo

is d

o qu

e eu

faç

o. (

Prof

esso

ra tr

abal

ha e

m u

ma

univ

ersi

dade

em

que

a Á

lgeb

ra d

a L

icen

ciat

ura

é da

da j

unta

men

te c

om o

utro

s cu

rsos

). B

om, e

u ve

jo a

Álg

ebra

[...

], [

tent

o tr

abal

har

a Á

lgeb

ra c

omo

essa

part

e ge

nera

lizad

ora

da A

ritm

étic

a.]

[E, e

m r

elaç

ão a

o qu

e tr

abal

ho n

o cu

rso

de M

atem

átic

a, n

ão e

nfoc

o só

par

a o

curs

o de

Mat

emát

ica,

que

seri

a m

ais

a pa

rte

das

dem

onst

raçõ

es]

tam

bém

, [po

rque

tem

out

ros

curs

os ju

ntos

].

No

curs

o qu

e eu

trab

alho

a d

isci

plin

a de

Álg

ebra

Lin

ear

não

é vo

ltada

par

a o

curs

o de

Lic

enci

atur

a e

nem

a d

isci

plin

a de

pro

jeto

s

(um

a ou

tra

disc

iplin

a em

que

o a

luno

est

uda

Álg

ebra

). É

ess

a a

difi

culd

ade

que

nós

esta

mos

tend

o aq

ui.

Pes

quis

ador

a: C

omo

é a

Álg

ebra

no

curs

o de

Lic

enci

atur

a na

sua

Uni

vers

idad

e?

Pro

fess

ora

2: [

Em

term

os d

e Á

lgeb

ra, a

gen

te te

m o

cur

so d

e Á

lgeb

ra L

inea

r qu

e é

com

um a

vár

ios

curs

os.]

Ent

ão,[

a ge

nte

pega

o

pess

oal

da E

ngen

hari

a, d

a L

icen

ciat

ura,

da

Com

puta

ção,

da

Quí

mic

a, t

odos

jun

tos.

Tod

os o

s cu

rsos

que

pre

cisa

m t

er Á

lgeb

ra L

inea

r é

dess

a tu

rma]

, qu

e é

just

amen

te o

que

eu

esta

va c

oloc

ando

ali

que

a g

ente

tem

no

mín

imo

15 a

luno

s pa

ra c

ada

disc

ipli

na,

e se

dei

xar

só

Mat

emát

ica

seri

a um

a di

scip

lina

que

não

est

aria

sai

ndo

todo

o s

emes

tre.

[E

ele

s tê

m t

ambé

m a

dis

cipl

ina

de Á

lgeb

ra m

esm

o, q

ue e

les

trab

alha

m c

om a

que

stão

dos

cor

pos

e an

éis.

][ E

les

tem

um

a di

scip

lina

de

Teo

ria

dos

Núm

eros

que

tem

a v

er c

om a

Álg

ebra

] [s

e eu

est

ou

ente

nden

do a

Álg

ebra

com

o ge

nera

liza

dora

da

Ari

tmét

ica]

, co

mo

deco

rren

te d

esse

pro

cess

o to

do.

Ent

ão m

esm

o na

Teo

ria

dos

Núm

eros

eles

têm

um

a vi

são

de Á

lgeb

ra. E

mbo

ra, o

que

eu

digo

ass

im [

...],

que

dep

ois

eles

tem

um

a úl

tim

a di

scip

lina

que

é es

peci

fica

par

a aj

udar

na q

uest

ão, q

ue é

a d

isci

plin

a de

[Á

lgeb

ra q

ue f

ica

mai

s ou

men

os lá

pel

o 6º

sem

estr

e, q

ue e

stud

a as

est

rutu

ras

algé

bric

as] .

A t

ua p

ergu

nta

é a

impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o L

icen

ciad

o? B

om,

[no

caso

da

Álg

ebra

Lin

ear

ele

deve

ria

ter

a di

scip

lina

volta

da p

ara

o qu

e el

e va

i tra

balh

ar d

epoi

s], p

orqu

e a

gent

e sa

be q

ue n

o E

nsin

o M

édio

, mui

tas

veze

s, e

le n

ão c

onse

gue

[...]

. [E

aí,

quan

do

tu v

ais

trab

alha

r co

m u

m s

iste

ma

line

ar,

deve

ria

ter

a vi

são

diss

o de

com

o tu

res

olve

s al

gebr

icam

ente

, ou

res

olve

r m

atri

cial

men

te,

ou

reso

lver

vet

oria

lmen

te].

Ent

ão,

[ele

pod

e te

r as

vár

ias

visõ

es d

e um

mes

mo

prob

lem

a, q

ue s

eria

a r

esol

ução

de

um s

iste

ma

linea

r].

[Ele

está

res

olve

ndo

o m

esm

o pr

oble

ma,

util

izan

do c

once

itos

dife

rent

es.

Ele

est

á no

cam

po s

emân

ticos

de

sist

ema

linea

r, s

ó qu

e el

e es

tá

trab

alha

ndo

vári

os o

utro

s co

ncei

tos

junt

os.]

Pes

quis

ador

a: Q

uais

são

os

cont

eúdo

s de

Álg

ebra

rel

evan

tes

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica?

Por

que

esse

s

cont

eúdo

s sã

o im

port

ante

s?

Pro

fess

ora

2:[E

u de

stac

o co

mo

de f

unda

men

tal

impo

rtân

cia

o tr

abal

ho c

om o

ane

l po

linô

mio

s].

Porq

ue a

gen

te v

ê m

uito

no

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

com

o té

cnic

a], e

ali

tu e

nted

es c

omo

é qu

e se

for

ma,

e, a

í en

tão,

tu p

odes

exp

lora

r os

cas

os p

artic

ular

es. A

gent

e, n

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

Méd

io t

eve

a vi

são

do c

aso

part

icul

ar, p

orqu

e o

alun

o ch

ega

apen

as c

om a

vis

ão d

o ca

so p

arti

cula

r, a

té

mes

mo

porq

ue o

pro

fess

or d

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

Méd

io n

ão p

reci

sa t

raba

lhar

com

a v

isão

ger

al, m

as e

le p

reci

sa s

aber

. Mui

tas

veze

s

o al

uno

cheg

a ao

fin

al d

e um

cur

so (

de L

icen

ciat

ura)

sem

a v

isão

ger

al d

o po

linô

mio

. Mui

tas

veze

s, o

alu

no c

hega

lá

no e

stág

io e

ele

só

tem

a v

isão

que

ele

já v

iu n

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

e n

ão c

om o

que

ele

dev

eria

sab

er a

mai

s pa

ra p

oder

ens

inar

.

Pro

fess

ora

1: [

Em

bora

os

alun

os d

izem

que

ela

(a

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra)

não

tem

men

or i

mpo

rtân

cia]

. E

les

dize

m a

ssim

: na

disc

iplin

a de

Geo

met

ria

eu v

ejo

impo

rtân

cia.

Por

que

a no

ssa

Geo

met

ria

é 30

e 3

0, 3

0 ho

ras

teór

ica

e 30

prá

tica.

Ent

ão te

m u

ma

part

e da

Geo

met

ria

que

a ge

nte

vai

para

o L

abor

atór

io,

que

nós

vem

os p

robl

emas

do

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

par

a qu

e el

es a

pren

dam

a

reso

lver

e, a

out

ra p

arte

é m

ais

part

e de

dem

onst

raçã

o. [

E a

Álg

ebra

, nat

ural

men

te o

s al

unos

ach

am q

ue n

ão s

erve

par

a na

da.]

Obs

: Pe

di p

ara

as p

rofe

ssor

as s

e el

as t

eria

m m

ais

algu

ma

cois

a pr

a di

zer

e qu

e nã

o fo

i co

ntem

plad

o na

s qu

estõ

es.

Am

bas

diss

eram

que

não.

Ent

revi

sta

2 U

nida

des

Sign

ific

ativ

as

Inte

rpre

taçõ

es I

nici

ais

Ass

erçõ

es n

a lin

guag

em d

o pe

squi

sado

r P

rim

eira

s R

eduç

ões

2.1

[...]

pri

mei

ro e

u vo

u fa

lar

do q

ue

eu p

enso

e d

epoi

s do

que

eu

faço

. P

ensa

r:

Com

bina

r id

éias

, fo

rmar

pe

nsam

ento

s: M

edit

ar, r

efle

tir e

m. T

er

na

men

te;

lem

brar

-se.

Ju

lgar

, su

por.

Pe

nsam

ento

. Opi

nião

. Pru

dênc

ia

Faz

er:

Cri

ar,

dar

exis

tênc

ia o

u fo

rma

a;

prod

uzir

: Fa

bric

ar,

man

ufat

urar

, C

onst

ruir

, ed

ific

ar,

talh

ar e

cos

tura

r,

Exe

cuta

r,

pôr

em

prát

ica,

re

aliz

ar,

Esc

ulpi

r,

grav

ar,

pint

ar,

com

por,

es

crev

er,

port

ar-s

e,

proc

eder

, di

zer,

pr

ofer

ir, p

ronu

ncia

r.

2.1

A

prof

esso

ra

fala

in

icia

lmen

te

sobr

e co

mo

a Á

lgeb

ra

deve

ria

ser

trab

alha

da n

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

e,

post

erio

rmen

te,

sobr

e co

mo

ela

trab

alha

a d

isci

plin

a ne

sse

curs

o.

O q

ue p

ensa

sob

re o

cur

so d

e Á

lgeb

ra.

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

.

2.2

Eu

tent

o tr

abal

har

a Á

lgeb

ra c

omo

essa

pa

rte

gene

raliz

ador

a da

A

ritm

étic

a.

Gen

eral

izar

: de

senv

olve

r(-s

e),

difu

ndir

(-se

), p

ropa

gar(

-se)

. 2.

2 A

Álg

ebra

é c

ompr

eend

ida

pela

pr

ofes

sora

com

o a

gene

rali

zaçã

o da

A

ritm

étic

a.

O q

ue é

Álg

ebra

.

2.3

E,

em r

elaç

ão a

o qu

e tr

abal

ho n

o cu

rso

de M

atem

átic

a, n

ão e

nfoc

o só

pa

ra

o cu

rso

de

Mat

emát

ica,

qu

e se

ria

mai

s à

part

e da

s de

mon

stra

ções

.

Tra

balh

o: A

to o

u ef

eito

de

trab

alha

r.

Exe

rcíc

io m

ater

ial

ou i

ntel

ectu

al p

ara

faze

r ou

co

nseg

uir

algu

ma

cois

a;

ocup

ação

em

al

gum

a ob

ra

ou

min

isté

rio.

E

sfor

ço,

labu

taçã

o,

lida

, lu

ta. A

plic

ação

da

ativ

idad

e hu

man

a a

qual

quer

exe

rcíc

io d

e ca

ráte

r fí

sico

ou

inte

lect

ual.

Man

eira

co

mo

algu

ém

trab

alha

. E

nfoc

ar:

Pôr

em

fo

co.

Foc

ar.

Foc

aliz

ar. P

ôr e

m e

nfoq

ue.

Foc

o: P

onto

par

a on

de c

onve

rgem

os

raio

s da

luz

, de

pois

de

refr

atad

os e

m

uma

lent

e ou

re

flet

idos

em

um

es

pelh

o. F

onte

de

luz.

Pon

to d

e on

de

2.3

No

curs

o de

Mat

emát

ica

em q

ue a

pr

ofes

sora

m

inis

tra

a di

scip

lina

de

Á

lgeb

ra, t

al d

isci

plin

a nã

o é

leci

onad

a ap

enas

pa

ra

alun

os

da

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

Pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a, a

Álg

ebra

dev

eria

foc

ar

as d

emon

stra

ções

.

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

.

irra

diam

ou

sa

em

eman

açõe

s ou

qu

aisq

uer

subs

tânc

ias.

Pon

to d

e on

de

saem

os

ra

ios

veto

res

para

ce

rtas

cu

rvas

. S

ede.

C

entr

o,

pont

o de

co

nver

gênc

ia.

2.4

[...]

Po

rque

te

m

outr

os

curs

os

junt

os.

Junt

os:

Post

o em

con

tato

; ch

egad

o,

unid

o.

Reu

nido

. A

dido

: C

hega

do,

cont

íguo

, mui

to p

róxi

mo.

2.4

A

disc

ipli

na

de

Álg

ebra

é

min

istr

ada

para

um

a tu

rma

com

post

a po

r al

unos

do

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a e

de

outr

os

curs

os

tam

bém

.

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

.

2.5

[...]

a d

isci

plin

a de

Álg

ebra

Lin

ear

não

é vo

ltad

a pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a e

nem

a

disc

ipli

na

de

proj

etos

(u

ma

outr

a di

scip

lina

que

tam

bém

ap

rese

nta

cont

eúdo

s de

Á

lgeb

ra).

É

essa

a

difi

culd

ade

que

nós

esta

mos

tend

o aq

ui.

Dif

icul

dade

: Q

ualid

ade

do

que

é di

fíci

l. A

quilo

que

é d

ifíc

il o

u to

rna

difí

cil

uma

cois

a. E

mba

raço

, es

torv

o,

impe

dim

ento

. O

bstá

culo

. Si

tuaç

ão

crít

ica.

2.5

O c

urso

de

Álg

ebra

Lin

ear

em q

ue

a pr

ofes

sora

tra

balh

a nã

o é

volt

ado

para

a L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

Isso

se

ap

rese

nta

com

o um

a di

ficu

ldad

e.

Dif

icul

dade

sen

tida

no

trab

alho

de

leci

onar

Álg

ebra

Lin

ear.

2.6

Em

ter

mos

de

Álg

ebra

, a

gent

e te

m o

cur

so d

e Á

lgeb

ra L

inea

r qu

e é

com

um a

vár

ios

curs

os.

[...]

a g

ente

pe

ga

o pe

ssoa

l da

E

ngen

hari

a,

da

Lic

enci

atur

a,

da

Com

puta

ção,

da

Q

uím

ica,

to

dos

junt

os.

Tod

os

os

curs

os

que

prec

isam

te

r Á

lgeb

ra

Lin

ear

é de

ssa

turm

a [.

..].

2.

6 H

á um

a di

scip

lina

de

Á

lgeb

ra

Lin

ear

com

um a

o cu

rríc

ulo

de v

ário

s cu

rsos

(E

ngen

hari

a, L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica,

C

iênc

ias

da

Com

puta

ção)

. O

s al

unos

de

sses

cu

rsos

sã

o re

unid

os e

m

uma

turm

a pa

ra

ter

a di

scip

lina

de

Á

lgeb

ra

Lin

ear.

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

Lin

ear.

2.7

E e

les

têm

tam

bém

a d

isci

plin

a de

Á

lgeb

ra m

esm

o, q

ue e

les

trab

alha

m

com

a q

uest

ão d

os c

orpo

s e

anéi

s.

Mes

mo :

N

ão

outr

o,

o pr

ópri

o.

Exa

tam

ente

igu

al.

Aná

logo

, pa

reci

do,

sem

elha

nte.

Q

ue

não

apre

sent

a m

udan

ça;

não

alte

rado

inv

ariá

vel.

A

mes

ma

cois

a. A

quil

o qu

e nã

o im

port

a ou

qu

e é

indi

fere

nte.

In

diví

duo

que

não

apre

sent

a m

udan

ça n

o ca

ráte

r ou

na

apa

rênc

ia. E

xata

men

te, j

usta

men

te.

2.7

Alé

m

da

disc

ipli

na

de

Álg

ebra

L

inea

r, o

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

tem

a

disc

ipli

na

de

Álg

ebra

, pr

opri

amen

te d

ita,

ond

e sã

o tr

abal

hado

s os

te

mas

“c

orpo

s e

anéi

s”.

Álg

ebra

é o

que

é o

est

udo

dos

corp

os

e an

éis.

O q

ue é

Álg

ebra

.

2.8

Ele

s tê

m u

ma

disc

ipli

na d

e T

eori

a do

s N

úmer

os q

ue t

em a

ver

com

a

Álg

ebra

se

eu

es

tou

ente

ndo

a Á

lgeb

ra

com

o ge

nera

lizad

ora

da

Ari

tmét

ica.

Gen

eral

izar

: de

senv

olve

r(-s

e),

difu

ndir

(-se

), p

ropa

gar(

-se)

. E

nten

der :

T

er

idéi

a cl

ara

de;

com

pree

nder

, pe

rceb

er.

Ser

hábi

l ou

pr

átic

o em

. C

rer,

pen

sar.

Int

erpr

etar

. O

uvir

, pe

rceb

er.

Proc

eder

de

acor

do;

com

bina

r-se

, co

ncer

tar-

se.

Est

ar

em

boa

inte

ligê

ncia

ou

em

bo

a pa

z.

Che

gar

a ac

ordo

. Ter

prá

tica

ou

teor

ia.

Tom

ar c

onhe

cim

ento

com

o au

tori

dade

co

mpe

tent

e. D

izer

res

peit

o a.

2.8

No

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica,

al

ém

da

disc

ipli

na

de

Álg

ebra

Lin

ear

e Á

lgeb

ra,

os a

luno

s tê

m

a di

scip

lina

de

T

eori

a do

s N

úmer

os,

que

tam

bém

faz

par

te d

o ca

mpo

de

abra

ngên

cia

da Á

lgeb

ra,

se

a Á

lgeb

ra

for

ente

ndid

a co

mo

gene

rali

zado

ra d

a A

ritm

étic

a.

O q

ue a

Álg

ebra

é.

2.9

[...]

a d

isci

plin

a de

Álg

ebra

, qu

e fi

ca

mai

s ou

m

enos

lá

pe

lo

6º

sem

estr

e,

que

estu

da

as

estr

utur

as

algé

bric

as.

Obs

: O n

ome

dess

a di

scip

lina

na g

rade

cu

rric

ular

do

cu

rso

é Á

lgeb

ra

Mod

erna

. E

sta

é a

mes

ma

disc

ipli

na

que

a pr

ofes

sora

se

re

feri

u an

teri

orm

ente

co

mo

a “Á

lgeb

ra

mes

mo”

.

2.9

Por

volt

a do

6º

sem

estr

e o

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a te

m

uma

disc

ipli

na

de

Álg

ebra

qu

e es

tuda

as

es

trut

uras

al

gébr

icas

.

O q

ue a

Álg

ebra

est

uda.

2.10

[...

] no

cas

o da

Álg

ebra

Lin

ear

ele

deve

ria

ter

a di

scip

lina

volta

da

para

o q

ue e

le v

ai t

raba

lhar

dep

ois.

Vai

tr

abal

har

depo

is:

no

caso

da

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica,

o

prof

esso

r tr

abal

hará

com

os

cont

eúdo

s do

Ens

ino

Fund

amen

tal e

Méd

io.

2.10

A

Á

lgeb

ra

Lin

ear

deve

ria

ser

volt

ada

para

os

co

nteú

dos

de

Mat

emát

ica

do E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

Méd

io.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a

2.11

E a

í, qu

ando

tu

vais

tra

balh

ar

com

um

sis

tem

a li

near

, de

veri

a te

r a

visã

o di

sso

de

com

o tu

re

solv

es

alge

bric

amen

te,

ou

reso

lver

m

atri

cial

men

te,

ou

reso

lver

ve

tori

alm

ente

[...

].

Vis

ão: A

to o

u ef

eito

de

ver;

per

cepç

ão

oper

ada

pelo

órg

ão d

a vi

sta.

Fun

ção

sens

oria

l pe

la

qual

os

ol

hos,

po

r in

term

édio

da

luz,

põe

m o

s ho

men

s e

anim

ais

em

rela

ção

com

o

mun

do

exte

rno.

A

lgeb

rica

men

te:

refe

rent

e à

Álg

ebra

. N

o ca

so

do

sist

ema

Lin

ear,

a

prof

esso

ra

se

refe

re

a eq

uaçõ

es

algé

bric

as.

Mat

rici

alm

ente

: ref

eren

te a

Mat

rize

s.

Vet

oria

lmen

te: r

efer

ente

a v

etor

es.

2.11

Ao

trab

alha

r co

m s

iste

ma

linea

r,

o al

uno

deve

ria

estu

dá-l

o us

ando

eq

uaçõ

es

algé

bric

as,

mat

rize

s,

veto

res.

C

om

isso

el

e es

tuda

ria

sist

emas

li

near

es

em

dife

rent

es

cont

exto

s m

atem

átic

os.

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha

a Á

lgeb

ra.

2.12

[...

] el

e po

de t

er a

s vá

rias

vis

ões

Cam

pos

sem

ânti

cos:

há

vá

rios

2.

12 Q

uand

o um

alu

no d

o cu

rso

de

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha

a

de u

m m

esm

o pr

oble

ma,

que

ser

ia a

re

solu

ção

de u

m s

iste

ma

linea

r. E

le

está

res

olve

ndo

o m

esm

o pr

oble

ma,

ut

iliza

ndo

conc

eito

s di

fere

ntes

. E

le

está

no

ca

mpo

s se

mân

tico

s de

si

stem

a lin

ear,

só

qu

e el

e es

tá

trab

alha

ndo

vári

os

outr

os

conc

eito

s ju

ntos

.

auto

res

que

defi

nem

ca

mpo

s se

mân

tico

s. N

a E

duca

ção

Mat

emát

ica

a de

fini

ção

mai

s co

nhec

ida

é ap

rese

ntad

a po

r L

ins.

Se

gund

o L

ins

(199

9, p

. 88

) o

Mod

elo

Teó

rico

do

s C

ampo

s Se

mân

tico

s (M

TC

S)

cons

titu

ído

da

segu

inte

m

anei

ra:

“1)

O e

lem

ento

cha

ve é

a

noçã

o de

co

nhec

imen

to.

Con

heci

men

to

é um

a cr

ença

-af

irm

ação

jun

to c

om u

ma

just

ific

ação

qu

e m

e au

tori

za

a pr

oduz

ir

aque

la

enun

ciaç

ão [

...].

2)

Tod

a a

prod

ução

de

con

heci

men

to é

fei

ta n

a di

reçã

o de

um

int

erlo

cuto

r qu

e, a

cred

ito,

pro

duza

a

mes

ma

enun

ciaç

ão

com

a

mes

ma

just

ific

ação

[.

..].

O

conj

unto

da

s es

tipu

laçõ

es l

ocai

s –

que

func

iona

m

com

o ve

rdad

es

abso

luta

s lo

cais

-

cons

titu

em u

m n

úcle

o co

m r

elaç

ão a

o qu

al

prod

uzo

sign

ific

ados

/ co

nhec

imen

to [

...].

É n

a pr

oduç

ão d

e si

gnif

icad

os

que

se

cons

titu

em

os

obje

tos.

A p

rodu

ção

de s

igni

fica

do s

e dá

sem

pre

no in

teri

or d

as a

tivi

dade

s.

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a ap

rese

nta,

ao

long

o do

seu

cur

so d

e fo

rmaç

ão,

dife

rent

es

mod

os

de

com

pree

nder

o m

esm

o co

ncei

to,

ele

atri

bui

dife

rent

es s

igni

fica

dos

a es

te

conc

eito

.

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra.

2.13

E

u de

stac

o co

mo

de

fund

amen

tal

impo

rtân

cia

o tr

abal

ho

com

o

anel

po

linôm

ios.

Po

rque

a

gent

e vê

m

uito

no

E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

com

o té

cnic

a.

Téc

nica

: C

onhe

cim

ento

pr

átic

o;

prát

ica.

C

onju

nto

dos

mét

odos

e

porm

enor

es

prát

icos

es

senc

iais

à

exec

ução

pe

rfei

ta

de

uma

arte

ou

pr

ofis

são.

C

onju

nto

de

prin

cípi

os

lógi

cos

a qu

e de

ve o

bede

cer

a fe

itur

a da

s le

is.

Cap

acid

ade

de l

ider

ança

ou

arte

de

be

m

cond

uzir

os

ho

men

s.

Prin

cípi

os,

mét

odos

e

mei

os,

para

2.13

N

a Á

lgeb

ra

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a é

prec

iso

cons

trui

r o

anel

de

po

linô

mio

s,

porq

ue e

ste

é tr

abal

hado

no

Ens

ino

Fund

amen

tal e

Méd

io c

omo

técn

ica.

O q

ue d

e Á

lgeb

ra e

nsin

ar n

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a.

estu

do

e m

elho

ram

ento

pr

átic

o da

so

cied

ade.

2.

14

[...]

pr

ofes

sor

do

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

nã

o pr

ecis

a tr

abal

har

com

a v

isão

ger

al,

mas

ele

pr

ecis

a sa

ber.

Ger

al:

Que

se

re

fere

à

tota

lidad

e;

univ

ersa

l. Sa

ber:

Est

ar in

form

ado

de, e

star

a p

ar,

ter

conh

ecim

ento

de

; co

nhec

er:

Com

pree

nder

ou

pe

rceb

er

um

fato

, um

a ve

rdad

e: S

er c

apaz

de

dist

ingu

ir

ou

de

dize

r.

Poss

uir

ampl

os

e en

cicl

opéd

icos

co

nhec

imen

tos.

T

er

conh

ecim

ento

prá

tico

de

algu

ma

cois

a ou

pos

suir

hab

ilida

de n

ela.

2.14

Ape

sar

de n

ão s

er n

eces

sári

o ao

pr

ofes

sor

de

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

tra

balh

ar c

om a

con

stru

ção

do

anel

de

po

linô

mio

s,

ele

prec

isa

conh

ecê-

la.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

2.15

Mui

tas

veze

s, o

alu

no c

hega

lá n

o es

tági

o e

ele

só t

em a

vis

ão q

ue e

le j

á vi

u no

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

e

não

com

o q

ue e

le d

ever

ia s

aber

a

mai

s pa

ra p

oder

ens

inar

.

2.

15

O

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a, m

uita

s ve

zes,

che

ga n

o es

tági

o co

m a

mes

ma

visã

o qu

e el

e ti

nha

no E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

so

bre

os c

once

itos

mat

emát

icos

.

Com

o vê

o

conh

ecim

ento

do

al

uno

do c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

2.16

[...

] os

alu

nos

dize

m q

ue e

la (

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

) nã

o te

m m

enor

im

port

ânci

a.

Impo

rtân

cia :

Q

ualid

ade

de

impo

rtan

te.

Aut

orid

ade,

con

side

raçã

o,

créd

ito,

in

fluê

ncia

. G

rand

e va

lor

rela

tivo

da

s co

isas

. Q

uant

ia,

som

a,

tota

l.

2.16

Na

opin

ião

das

prof

esso

ras,

os

alun

os d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

não

cons

ider

am

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

impo

rtan

te.

Na

opin

ião

dos

prof

esso

res,

os

alun

os n

ão v

êem

a i

mpo

rtân

cia

da

Álg

ebra

pa

ra

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

2.17

E a

Álg

ebra

, [...

] os

alu

nos

acha

m

que

não

serv

e pa

ra n

ada.

Não

se

rve

para

na

da:

não

tem

ut

ilida

de.

2.17

Na

opin

ião

das

prof

esso

ras,

os

alun

os n

ão c

ompr

eend

em a

uti

lida

de

da d

isci

plin

a de

Álg

ebra

no

trab

alho

do

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

na

Edu

caçã

o B

ásic

a.

Na

opin

ião

dos

prof

esso

res,

os

alun

os n

ão v

êem

a i

mpo

rtân

cia

da

Á

lgeb

ra

para

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

Ent

revi

sta

3

A e

ntre

vist

a 3

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

pro

fess

or d

e Á

lgeb

ra d

e um

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica?

Pro

fess

or:

[Eu

acho

ext

rem

amen

te i

mpo

rtan

te.

A Á

lgeb

ra é

um

a da

s po

ucas

dis

cipl

inas

que

tem

um

a ap

lica

bilid

ade

imen

sa.]

Ent

ão é

um m

omen

to d

e tu

con

segu

ir m

ostr

ar,

para

as

dive

rsas

tur

mas

que

eu

trab

alho

, qu

e nã

o é

só M

atem

átic

a, t

em E

ngen

hari

a, t

em F

ísic

a, t

em

Quí

mic

a, t

em u

ma

gam

a de

tur

mas

que

[tu

ten

s qu

e m

ostr

ar a

apl

icab

ilida

de d

e M

atem

átic

a, q

ue é

a d

ific

ulda

de d

o al

uno.

O a

luno

de

Mat

emát

ica

já v

em p

repa

rado

par

a is

so],

mas

o a

luno

de

outr

o cu

rso

fica

pen

sand

o: p

or q

ue é

que

est

ou f

azen

do M

atem

átic

a? P

or q

ue é

que

esto

u ve

ndo

Mat

emát

ica?

Ond

e é

que

eu v

ou a

plic

ar is

so n

o m

eu c

otid

iano

? E

ntão

, [a

Álg

ebra

Lin

ear

tu m

ostr

a a

aplic

abil

idad

e pa

ra o

pes

soal

da C

ompu

taçã

o, n

a co

mpu

taçã

o gr

áfic

a; t

u m

ostr

as p

ara

o pe

ssoa

l da

Eng

enha

ria,

tan

to n

a pa

rte

da e

stru

tura

qua

nto

na p

arte

de

elet

rôni

ca];

para

pes

soal

da

quím

ica

tu c

onse

gues

mos

trar

, em

bora

men

os a

plic

açõe

s, m

as t

u co

nseg

ues

mos

trar

alg

uma

cois

a, e

por

aí v

ai. [

Tu

cons

egue

s

mos

trar

par

a to

das

as á

reas

pel

o m

enos

um

a ap

lica

bilid

ade.

Eco

nom

ia,

tu m

ostr

as a

teo

ria

de L

eont

iev

que

é to

da m

atri

cial

] [.

..],

é

extr

emam

ente

úti

l].

Ent

ão,

é um

a da

s ca

deir

as m

ais

inte

ress

ante

e [

part

icul

arm

ente

é u

ma

das

cade

iras

que

eu

mai

s go

stav

a na

gra

duaç

ão.]

Ent

ão p

ara

mim

é u

m p

rivi

légi

o eu

pod

er d

ar a

dis

cipl

ina.

Pes

quis

ador

a:Po

r qu

e a

Álg

ebra

é im

port

ante

par

a a

form

ação

do

prof

esso

r?

Pro

fess

or:

[O g

rand

e pr

oble

ma

da L

icen

ciat

ura

é tu

lev

ar p

ara

quem

tu

esta

s en

sina

ndo,

em

bora

eu

não

seja

lic

enci

ado,

é l

evar

par

a

quem

tu e

stás

ens

inan

do a

vis

ão c

oncr

eta.

]

Eu

sem

pre

trab

alho

com

meu

s al

unos

da

segu

inte

man

eira

: an

tes

de f

azer

qua

lque

r ti

po d

e fo

rmal

izaç

ão,

eu p

ego

prim

eiro

[...

], e

u

defi

no o

que

a g

ente

vai

tra

balh

ar e

, ag

ente

ten

ta e

nten

der

essa

def

iniç

ão i

ntui

tiva

men

te.

É c

omo

se a

gen

te c

onst

ruís

se a

quel

a de

fini

ção.

Dep

ois

de te

r co

nstr

uído

a d

efin

ição

, aí a

gen

te p

arte

par

a o

form

alis

mo]

.

Ent

ão,

num

a tu

rma

de M

atem

átic

a, p

or e

xem

plo,

[vo

u de

fini

r li

mit

e , s

ó pa

ra p

egar

um

exe

mpl

o qu

e ve

m a

gora

rap

idam

ente

, vo

u

defi

nir

limite

: eu

pri

mei

ro p

ego

e de

fino

lim

ite d

e um

a m

anei

ra i

ntui

tiva,

a i

déia

de

limite

, pa

ra d

epoi

s en

tão

usar

o ε

e Δ

. E

u ac

ho q

ue [

é

abst

rato

dem

ais

tu c

hega

r di

reto

e d

ar a

def

iniç

ão f

orm

al,

porq

ue e

le e

stá

abst

rain

do s

em e

nten

der

na p

ráti

ca o

que

aco

ntec

e].

[E Á

lgeb

ra

Lin

ear

é um

a da

s po

ucas

dis

cipl

inas

que

tu c

onse

gue

faze

r is

so im

edia

tam

ente

.] [

Ent

ão tu

vai

s lá

e tu

def

ines

]. T

u es

tás

fala

ndo

de b

ase,

ent

ão

tu v

ais

lá e

tu

defi

ne a

trav

és d

e um

vet

or n

o qu

adro

, fa

z um

des

enho

em

3D

e d

efin

e. [

Ent

ão t

u ol

has

e vê

, co

meç

a a

ver

as n

eces

sida

des

de

dim

ensã

o de

bas

e e

por

aí v

ai].

É e

xtre

mam

ente

prá

tico

e ex

trem

amen

te ú

til

porq

ue e

le v

ê na

prá

tica

e d

epoi

s el

e va

i en

tend

er m

elho

r o

conc

eito

for

mal

, mas

ele

con

segu

e en

tend

er p

rim

eiro

, que

é o

pri

mei

ro p

asso

.

Pes

quis

ador

a: O

que

é e

ssen

cial

na

Álg

ebra

da

Lic

enci

atur

a?

Pro

fess

or:

[Ele

vai

ser

pro

fess

or d

e pr

imei

ro e

seg

undo

gra

u. E

ntão

, dom

ínio

de

Mat

rize

s el

e va

i ter

que

sab

er p

orqu

e el

e va

i tra

balh

ar

com

det

erm

inan

tes,

sis

tem

a el

e te

m q

ue s

aber

tam

bém

por

que

ele

vai

trab

alha

r co

m s

iste

mas

, em

bora

ele

não

use

def

iniç

ão g

auss

iana

, m

as,

por

exem

plo,

ele

pod

er m

ostr

ar p

ara

um a

luno

qua

ndo

o si

stem

a é

poss

ível

, qua

ndo

ele

não

é po

ssív

el, q

uand

o el

e te

m m

ais

que

uma

solu

ção,

quan

do e

le t

em s

omen

te a

sol

ução

tri

vial

, qu

ando

ele

é h

omog

êneo

, qu

e el

e se

mpr

e te

m u

ma

solu

ção

e qu

e ne

m s

empr

e é

a tr

ivia

l, po

de t

er

vári

as s

oluç

ões.

Ess

e ti

po d

e so

luçã

o é

inte

ress

ante

. E

nfim

, de

term

inan

tes

mat

rize

s, s

iste

mas

, au

tova

lore

s e

auto

veto

res

se e

le v

ai t

raba

lhar

com

geo

met

ria

que

é um

pou

co m

ais

sofi

stic

ado,

as

ques

tão

das

base

s e

[...]

, a q

uest

ão d

o es

paço

vet

oria

l.

[Tra

balh

ando

o e

spaç

o ve

tori

al, e

le t

ambé

m v

ai e

star

tra

balh

ando

com

a T

eori

a do

s N

úmer

os. P

orqu

e va

i te

r qu

e el

enca

r aq

uela

s on

ze

prop

ried

ades

que

tem

que

ser

cum

prid

as p

ara

que

seja

um

esp

aço

veto

rial

]. E

le v

ai te

r qu

e fa

zer

asso

ciaç

ões

do e

spaç

o ve

tori

al, i

sso

se f

az e

m

Aná

lise

, vai

ter

que

asso

ciar

a r

eta

num

éric

a co

m o

con

junt

o nu

mér

ico,

ent

ão é

inte

ress

ante

. O r

esto

eu

não

sei [

...],

aut

oval

ores

eu

deix

aria

de

lado

, m

as é

nec

essá

rio

ter

para

ter

um

a id

éia

dos

inva

rian

tes,

das

ass

ocia

ções

inv

aria

ntes

e v

etor

es.

[Por

que

a di

ficu

ldad

e qu

e o

alun

o te

m e

,

que

a ge

nte

nota

, é

visu

aliz

ar o

vet

or e

ent

ende

r so

ma

de v

etor

es o

u a

regr

a do

par

alel

ogra

mo]

. E

les

tend

em a

vê-

la a

pena

s co

mo

uma

regr

a

que

foi

impo

sta

e nã

o co

m u

ma

situ

ação

sim

ples

men

te g

eom

étri

ca. [

Isso

tam

bém

ser

ia i

nter

essa

nte

trab

alha

r. É

por

isso

que

eu

acre

dito

que

a

Álg

ebra

da

licen

ciat

ura

tem

que

ser

dif

eren

te d

a do

bac

hare

lado

.]

Pes

quis

ador

a: Q

uais

ser

iam

ess

as d

ifer

ença

s?

Pro

fess

or:

[Eu

acre

dito

que

a L

icen

ciat

ura

deve

ser

dif

eren

te d

o B

acha

rela

do.

Só q

ue i

nfel

izm

ente

aqu

i e

em o

utra

s si

tuaç

ões

nós

tem

os o

pro

blem

a qu

e é,

se

tu v

ais

pega

r so

men

te a

s tu

rmas

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

tu t

ens

talv

ez 1

0 al

unos

. E

, fa

zer

uma

turm

a

som

ente

de

dez

alun

os, s

e to

rna

econ

omic

amen

te i

nviá

vel

para

a in

stit

uiçã

o. E

ntão

o q

ue a

inst

ituiç

ão a

caba

faz

endo

? E

la ju

ta a

Lic

enci

atur

a,

Físi

ca, M

atem

átic

a e

Eng

enha

ria.

Tu

tens

alu

nos

com

nec

essi

dade

s di

fere

ncia

das

e ba

ses

dife

renc

iada

s. ]

[Se

pude

sse

foca

r no

alu

no d

e L

icen

ciat

ura,

tu p

oder

ias

trat

ar m

ais

espe

cifi

cam

ente

ess

es a

spec

tos

mai

s di

reta

men

te p

ara

quem

vai

usa

r

aqui

lo p

ara

o en

sino

e n

ão s

impl

esm

ente

par

a tr

abal

har

com

apl

icaç

ão p

ráti

ca e

m a

lgum

as á

reas

.] E

le p

ode

usar

a a

plic

ação

com

o um

esti

mul

o, m

ostr

ar p

ara

o al

uno

dele

: ó, p

odem

os r

esol

ver

tal p

robl

ema

assi

m.

[Com

o ge

ralm

ente

eu

faço

, eu

pego

um

pro

blem

a de

Geo

met

ria

anal

ític

a e

reso

lvo

ele

usan

do Á

lgeb

ra L

inea

r], e

les

fica

m [

...]

bah,

dá

para

faz

er?

Ent

ão,

isto

é i

nter

essa

nte.

Ago

ra,

[o a

luno

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

tem

que

est

ar [

...],

ter

a b

ase

dele

vol

tada

par

a a

Edu

caçã

o B

ásic

a]. E

ntão

, se

tu p

uder

es p

egar

e f

azer

a Á

lgeb

ra L

inea

r vo

ltad

a pa

ra i

sso,

trab

alha

r en

tão

com

: si

stem

as, v

etor

es, d

eter

min

ante

e fo

car

em c

ima

diss

o, e

u ac

ho e

xtre

mam

ente

impo

rtan

te.]

Ago

ra, f

ugin

do u

m p

ouqu

inho

do

assu

nto,

vou

te c

onta

r um

a si

tuaç

ão q

ue e

u vi

venc

iei,

que

não

é de

Álg

ebra

Lin

ear,

mas

que

dá

uma

idéi

a di

sso.

Eu,

ant

es d

e da

r au

la n

a fa

culd

ade,

eu

trab

alhe

i tr

ês m

eses

em

um

a es

cola

púb

lica

em c

ontr

ato

tem

porá

rio.

E,

por

incr

ível

que

pare

ça,

eu e

stav

a qu

ase

me

form

ando

em

Mat

emát

ica

e m

e de

ram

um

a tu

rma

de F

ísic

a. E

u fu

i da

r au

la d

e Fí

sica

e,

um d

ia u

m a

luno

me

perg

unto

u se

eu

não

sabi

a a

[...]

, dep

ois

que

o m

enin

o fa

lou

eu v

i a

saia

jus

ta q

ue e

u tin

ha e

ntra

do. E

le c

hego

u e

pedi

u: p

rofe

ssor

, tem

alg

um

jeit

o de

cal

cula

r an

ális

e co

mbi

nató

ria

sem

usa

r fó

rmul

a? E

u di

sse

sim

, te

m.

Com

o é

que

eu c

alcu

lo o

núm

ero

de p

laca

s de

car

ro c

om t

al

term

inaç

ão?

Eu

pegu

ei e

fiz

par

a el

e no

qua

dro

usan

do o

pri

ncip

io m

ultip

licat

ivo.

Ele

olh

ou e

dis

se:

bah,

é t

ão f

ácil?

Aí

ele

fez

a se

guin

te

colo

caçã

o pr

a m

im, q

ue e

u nã

o es

tava

esp

eran

do: v

ocê

sabe

que

fiz

ess

a pe

rgun

ta p

ara

a pr

ofes

sora

de

Mat

emát

ica

e, e

la n

ão s

oube

me

dize

r.

Aí

fico

u na

cab

eça

dele

a i

déia

de

que

o pr

ofes

sor

de F

ísic

a sa

be m

ais

que

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a. P

or q

ue a

cont

eceu

iss

o? P

orqu

e ta

lvez

,

aque

la p

rofe

ssor

a, e

m f

unçã

o do

tem

po, e

m f

unçã

o [.

..], n

ão s

ei, d

e n

deta

lhes

, ela

fic

ou n

aque

le r

epet

ir o

que

apr

ende

u. N

ão b

usco

u m

anei

ras

de t

enta

r ad

equa

r o

ensi

no q

ue e

la t

inha

, ou

a m

atér

ia q

ue e

la t

inha

que

pas

sar

para

o a

luno

. E

iss

o é

impo

rtan

te.

O a

luno

não

ver

a m

atér

ia

sepa

rada

do

que

ele

vai t

raba

lhar

dep

ois.

Ent

ão, [

ente

nder

a ló

gica

par

a fa

zer

o al

uno

pens

ar a

ssim

. Ent

ão, f

azer

um

sis

tem

a e

mos

trar

a ló

gica

para

o a

luno

ver

que

ele

pod

e fa

zer

de v

ária

s m

anei

ras]

, que

tem

a m

anei

ra m

ais

fáci

l, a

man

eira

mai

s di

fíci

l. Is

so é

que

é o

mai

s im

port

ante

.

[Sem

pre

que

tu p

uder

peg

ar e

foc

ar a

tua

aul

a pa

ra a

quilo

que

teu

alu

no v

ai t

er,

ou m

elho

r, s

empr

e qu

e eu

dou

aul

a pa

ra o

alu

no d

a

Eng

enha

ria,

eu

não

me

pren

do a

for

mal

idad

es, f

ico

esse

ncia

lmen

te n

o en

tend

er f

azer

, por

que

é aq

uilo

que

ele

s vã

o pr

ecis

ar].

[ A

gora

se

esto

u

num

a tu

rma

de M

atem

átic

a eu

tenh

o qu

e tr

abal

har

o fo

rmal

ism

o, p

orqu

e o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica

ele

vai t

er q

ue e

scre

ver

no q

uadr

o e,

se

ele

escr

ever

cor

reta

men

te f

ica

mai

s fá

cil,

se e

le e

scre

ver

inco

rret

amen

te o

alu

no p

ode

inte

rpre

tar

erra

do.]

Eu

esta

va d

ando

aul

a de

int

rodu

ção

ao

Cál

culo

ago

ra (

ante

s da

ent

revi

sta)

e, u

m e

rro

que

sem

pre

acon

tece

e to

do o

sem

estr

e é

a m

esm

a co

isa

é o

alun

o ve

m s

empr

e co

m a

quel

a id

éia:

o nú

mer

o pa

ssou

de

um l

ado

para

o o

utro

da

equa

ção

e tr

oca

o si

nal.

Isso

é f

alad

o, f

alad

o e

fala

do l

á na

Edu

caçã

o B

ásic

a, s

endo

que

[o

que

troc

a é

a op

eraç

ão. E

isso

não

é p

assa

do q

ue é

um

a co

isa

tão

sim

ples

. E o

s pr

ofes

sore

s qu

e dã

o au

la n

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

insi

stem

em tr

ocar

o s

inal

.]

[Ent

ão, s

ão e

sses

peq

ueno

s de

talh

es q

ue f

azem

a d

ifer

ença

em

ser

for

mal

]. [

O a

luno

de

Mat

emát

ica,

de

Lic

enci

atur

a te

m q

ue d

omin

ar

isso

]. E

no

caso

da

[Álg

ebra

Lin

ear

ele

tem

que

ent

ende

r be

m o

con

ceito

e s

aber

bem

a n

otaç

ão q

ue e

le e

stá

usan

do, a

sim

bolo

gia,

é is

so.]

Com

entá

rios

fin

ais:

Pro

fess

or:

Só p

ara

fina

lizar

. Eu

acho

que

o p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica,

ele

tem

que

ter

toda

a s

ua f

orm

ação

e L

icen

ciat

ura

volt

ada

para

o

ensi

no, p

ara

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e M

édio

que

é o

foc

o. S

e ev

entu

alm

ente

ele

vai

opt

ar d

epoi

s pa

ra f

azer

um

mes

trad

o ou

sim

ples

men

te u

ma

pós-

grad

uaçã

o (e

spec

ializ

ação

) pa

ra l

ecio

nar

no 3

º gr

au.

Tud

o be

m,

ele

se a

dapt

a e

ele

busc

a o

que

even

tual

men

te e

le n

ão v

iu o

u o

que

ele

pret

ende

tra

balh

ar,

mas

aí

é ou

tro

enfo

que.

Ago

ra,

para

o E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

Méd

io e

le t

em q

ue d

omin

ar b

em o

con

ceito

apl

icad

o lá

,

porq

ue é

lá

que

ele

vai

usar

. Se

não

acon

tece

o q

ue a

cont

ece

aqui

com

mui

tos

alun

os:

por

que

eu te

nho

Cál

culo

se

lá e

u nã

o us

o? [

Porq

ue e

le

não

cons

egue

vis

ualiz

ar a

quilo

apl

icad

o lá

.] P

orqu

e eu

dou

aul

a [.

..],

eu e

os

cole

gas

dam

os a

ula

para

alu

nos

de v

ária

s tu

rmas

. E

ntão

tu

não

tens

[...

] nã

o fo

ca p

ara

a E

duca

ção.

Foc

a na

apl

icaç

ão d

iret

a. E

ntão

, se

tem

um

a tu

rma

de M

atem

átic

a e

de L

icen

ciat

ura

você

vai

foc

ar n

o

ensi

no, t

raze

r pr

oble

mas

par

a o

ensi

no p

orqu

e é

isso

que

vai

te a

juda

r.]

Ent

revi

sta

03

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pesq

uisa

dor

Pri

mei

ras

Red

uçõe

s

3.1

Eu

acho

ex

trem

amen

te

impo

rtan

te.

A

Álg

ebra

é

uma

das

pouc

as

disc

ipli

nas

que

tem

um

a ap

licab

ilida

de im

ensa

.

Impo

rtan

te:

Que

tem

im

port

ânci

a. Q

ue

não

se

pode

es

quec

er

ou

deix

ar

de

aten

der.

Dig

no d

e ap

reço

, de

est

ima,

de

cons

ider

ação

. Que

tem

gra

ndes

cré

dito

s,

que

exer

ce n

otáv

el i

nflu

ênci

a. Q

ue t

em

mui

to

valo

r ou

pr

eço

notá

vel.

Úti

l, ne

cess

ário

. Enf

atua

do. O

que

há

de m

ais

inte

ress

ante

, de

m

ais

útil

, de

m

ais

prov

eito

so

num

a pe

ssoa

ou

co

isa;

o

esse

ncia

l. A

plic

abili

dade

: Q

uali

dade

do

que

tem

ap

lica

ção

ou é

apl

icáv

el

Apl

icaç

ão:

Açã

o ou

efe

ito

de a

plic

ar.

Em

preg

o, u

tiliz

ação

, us

o. A

tenç

ão o

u as

sidu

idad

e no

tr

abal

ho.

Açã

o de

m

inis

trar

m

edic

amen

tos.

E

nfei

te

sobr

epos

to a

um

ves

tido

. Nom

e de

cer

ta

peça

de

serr

alha

ria

Imen

sa:

Que

nã

o se

po

de

med

ir.

Ilim

itad

o. M

uito

vas

to,

mui

to g

rand

e.

Num

eros

o. D

e qu

e há

mui

to q

ue d

izer

.

3.1

A

Álg

ebra

é

uma

disc

ipli

n aim

port

ante

por

cau

sa d

a su

as i

núm

eras

apli

caçõ

es.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra.

3.2

[...]

tu

te

ns

que

mos

trar

a

aplic

abili

dade

de

Mat

emát

ica,

que

é

a di

ficu

ldad

e do

alu

no.

O a

luno

de

Mat

emát

ica

já v

em p

repa

rado

par

a is

so.

Apl

icab

ilida

de:

Qua

lida

de d

o qu

e te

m

apli

caçã

o ou

é a

plic

ável

. A

plic

ação

: A

ção

ou e

feit

o de

apl

icar

. E

mpr

ego,

uti

lizaç

ão,

uso.

Ate

nção

ou

assi

duid

ade

no

trab

alho

. A

ção

de

min

istr

ar

med

icam

ento

s.

Enf

eite

so

brep

osto

a u

m v

esti

do. N

ome

de c

erta

pe

ça d

e se

rral

hari

a.

Dif

icul

dade

: Qua

lidad

e do

que

é d

ifíc

il.

3.2

O

alun

o te

m

difi

culd

ade

em

iden

tific

ar

a ap

lica

bili

dade

da

M

atem

átic

a.

O

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

ingr

essa

no

cur

so e

sper

ando

por

isso

.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

. A

plic

abil

idad

e da

Álg

ebra

.

Aqu

ilo

que

é di

fíci

l ou

tor

na d

ifíc

il u

ma

cois

a. E

mba

raço

, est

orvo

, im

pedi

men

to.

Obs

tácu

lo. S

ituaç

ão c

ríti

ca.

Pre

para

do:

Que

se

pr

epar

ou.

Apr

onta

do

com

an

tece

dênc

ia;

apre

stad

o,

pron

to.

Apt

o,

capa

z,

disp

osto

. In

stru

ído,

sa

bedo

r,

cult

o.

Prod

uto

quím

ico

ou

farm

acêu

tico

; pr

epar

ação

. Q

ualq

uer

cois

a,

com

o pl

anta

, an

imal

ou

pa

rte

do

corp

o hu

man

o,

trat

ada

conv

enie

ntem

ente

e

pres

erva

da

para

se

rvir

de

ob

jeto

de

de

mon

stra

ção

nas

liçõ

es

prát

icas

de

qu

alqu

er c

iênc

ia.

3.3

Ond

e é

que

eu v

ou a

plic

ar is

so n

o m

eu c

otid

iano

? C

otid

iano

: D

e to

dos

os d

ias.

Que

, ou

aq

uilo

que

se

faz

ou s

uced

e to

dos

os

dias

. A

plic

ar:

Ade

quar

, ap

ropr

iar.

Atr

ibui

r.

Adm

inis

trar

, rec

eita

r. C

once

ntra

r.

3.3

O

que

o al

uno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

quer

/pre

cisa

sab

er é

ond

e va

i ap

lica

r o

que

apre

ndeu

no

curs

o de

gra

duaç

ão,

quan

do

esti

ver

atua

ndo

com

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

para

a

Edu

caçã

o B

ásic

a.

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

3.4

[...]

a

Álg

ebra

L

inea

r [.

..]

tu

mos

tra

a ap

lica

bili

dade

par

a o

pess

oal

da

Com

puta

ção,

na

co

mpu

taçã

o gr

áfic

a; t

u m

ostr

as p

ara

o pe

ssoa

l da

E

ngen

hari

a,

tant

o na

pa

rte

da

estr

utur

a qu

anto

na

pa

rte

de

elet

rôni

ca].

Apl

icab

ilida

de:

Qua

lida

de d

o qu

e te

m

apli

caçã

o ou

é a

plic

ável

. A

plic

ação

: A

ção

ou e

feit

o de

apl

icar

. E

mpr

ego,

uti

lizaç

ão,

uso.

Ate

nção

ou

assi

duid

ade

no

trab

alho

. A

ção

de

min

istr

ar

med

icam

ento

s.

Enf

eite

so

brep

osto

a u

m v

esti

do. N

ome

de c

erta

pe

ça d

e se

rral

hari

a

3.4

[...]

A

Á

lgeb

ra

Lin

ear

tem

ap

lica

bili

dade

na

s C

iênc

ias

da

Com

puta

ção,

co

m

a co

mpu

taçã

o gr

áfic

a, e

nas

Eng

enha

rias

, ta

nto

na

part

e de

est

rutu

ra c

omo

na e

letr

ônic

a.

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

?

3.5

Tu

cons

egue

s m

ostr

ar p

ara

toda

s as

ár

eas

pelo

m

enos

um

a ap

lica

bili

dade

. E

cono

mia

, tu

mos

tras

a

teor

ia

de

Leo

ntie

v qu

e é

toda

m

atri

cial

[...

], é

ext

rem

amen

te ú

til.

Apl

icab

ilida

de:

Qua

lida

de d

o qu

e te

m

apli

caçã

o ou

é a

plic

ável

. A

plic

ação

: A

ção

ou e

feit

o de

apl

icar

. E

mpr

ego,

uti

lizaç

ão,

uso.

Ate

nção

ou

assi

duid

ade

no

trab

alho

. A

ção

de

3.5

A

Álg

ebra

L

inea

r te

m

apli

cabi

lida

de t

ambé

m n

a E

cono

mia

, na

teo

ria

de L

eont

iev.

Em

tod

as a

s Á

reas

há

pe

lo

men

os

uma

apli

cabi

lida

de

da

Álg

ebra

L

inea

r.

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra.

min

istr

ar

med

icam

ento

s.

Enf

eite

so

brep

osto

a u

m v

esti

do. N

ome

de c

erta

pe

ça d

e se

rral

hari

a

Ass

im,

ela

é um

co

nhec

imen

to

extr

emam

ente

úti

l.

3.

6 [.

..]

part

icul

arm

ente

é

uma

das

cade

iras

qu

e eu

m

ais

gost

ava

na

grad

uaçã

o.

Gos

tar :

Ach

ar b

om g

osto

ou

sabo

r em

. Pr

ovar

, to

mar

o g

osto

. Sa

bore

ar,

tom

ar

o go

sto.

A

char

bo

m

ou

belo

. T

er

amiz

ade,

am

or

ou

sim

pati

a a.

T

er

incl

inaç

ão

ou

tend

ênci

a pa

ra

algu

ma

cois

a.

Exp

erim

enta

r,

goza

r.

Apr

ovar

. A

com

odar

-se,

dar

-se

bem

com

alg

uma

cois

a.

3.6

Álg

ebra

L

inea

r fo

i um

a da

s ca

deir

as q

ue o

pro

fess

or m

ais

gost

ou

em s

ua g

radu

ação

.

O g

osto

do

prof

esso

r do

cur

so

de

Lic

enci

atur

a pe

la

disc

ipli

na.

3.7

O

gran

de

prob

lem

a da

L

icen

ciat

ura

é [.

..] é

lev

ar p

ara

quem

tu

est

ás e

nsin

ando

a v

isão

con

cret

a.

Con

cret

o:

Que

te

m

cons

istê

ncia

; co

nden

sado

, so

lidi

fica

do.

Que

des

igna

se

r su

bsis

tent

e po

r si

só.

Det

erm

inad

o,

part

icul

ariz

ado.

Aqu

ilo q

ue é

con

cret

o.

Con

creç

ão. M

ater

ial

de c

onst

ruçã

o fe

ito

com

ci

men

to,

arei

a,

casc

alho

e á

gua;

be

tão.

V

isão

: A

to o

u ef

eito

de

ver;

per

cepç

ão

oper

ada

pelo

órg

ão d

a vi

sta.

O s

enti

do

da v

ista

. Fu

nção

sen

sori

al p

ela

qual

os

olho

s, p

or i

nter

méd

io d

a lu

z, p

õem

os

hom

ens

e an

imai

s em

rel

ação

com

o

mun

do e

xter

no.

Imag

em q

ue s

e ju

lga

ver

em

sonh

os,

por

med

o,

louc

ura,

su

pers

tiçã

o et

c. A

pari

ção

ou

vist

a de

al

gum

ob

jeto

qu

e se

te

m

por

sobr

enat

ural

sem

o s

er; a

pari

ção

supo

sta

de

algu

ém;

obje

to

sobr

enat

ural

; ap

ariç

ão f

antá

stic

a; e

spec

tro,

fan

tasm

a,

fant

asm

agor

ia. V

ista

, as

pect

o, p

rese

nça.

C

riaç

ão f

antá

stic

a. C

oisa

s qu

e D

eus

faz

ver

ao e

spír

ito o

u ao

s ol

hos

do c

orpo

.

3.7

O p

robl

ema

da L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

é m

ostr

ar p

ara

o al

uno

a ap

lica

bili

dade

do

que

ele

apre

nde

na

Edu

caçã

o B

ásic

a.

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra

3.8

Eu

sem

pre

trab

alho

co

m

meu

s D

efin

ir:

Dar

a

defi

niçã

o de

. 3.

8 O

pro

fess

or t

raba

lha

da s

egui

nte

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha a

alun

os d

a se

guin

te m

anei

ra:

ante

s de

fa

zer

qual

quer

tip

o de

for

mal

izaç

ão,

eu d

efin

o o

que

a ge

nte

vai

trab

alha

r.

e [.

..]

aí

a ge

nte

part

e pa

ra

o fo

rmal

ism

o.

Det

erm

inar

, fi

xar.

D

emar

car,

fi

xar.

In

terp

reta

r.

Dar

as

qu

alid

ades

di

stin

tiva

s.

Tom

ar

uma

reso

luçã

o ou

pa

rtid

o. T

orna

r co

nhec

ido.

Exp

or c

om

prec

isão

. E

xpor

as

di

vers

as

face

s ou

la

dos

de.

man

eira

: pr

imei

ro d

á a

defi

niçã

o do

qu

e va

i tr

abal

har

e,

em

segu

ida,

fo

rmal

iza.

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra.

3.9

[...]

é a

bstr

ato

de m

ais

tu c

hega

r di

reto

e d

ar a

def

iniç

ão f

orm

al.

De

mai

s: m

uito

. A

bstr

ato :

Q

ue

resu

lta

de

abst

raçã

o.

Que

si

gnif

ica

uma

qual

idad

e co

m

excl

usão

do

su

jeito

. D

emas

iado

ob

scur

o, s

util

, vag

o. D

iz-s

e do

s se

res

ou

dos

fato

s im

agin

ário

s,

adm

itid

os

por

supo

siçã

o.

Diz

-se

das

ciên

cias

qu

e em

preg

am a

s m

ais

elev

adas

abs

traç

ões.

D

istr

aído

, al

head

o. D

iz-s

e do

núm

ero

cons

ider

ado

inde

pend

ente

men

te

da

natu

reza

da

un

idad

e.

Idéi

a de

um

a qu

alid

ade

ou

prop

ried

ade

que

men

talm

ente

se

se

para

do

en

te

ou

subs

tânc

ia a

que

ela

é i

nere

nte.

Aqu

ilo

que

se

cons

ider

a ex

iste

nte

apen

as

no

dom

ínio

das

idéi

as, s

em b

ase

mat

eria

l.

3.9

Ao

trab

alha

r um

co

ncei

to

mat

emát

ico,

dar

a d

efin

ição

for

mal

de

imed

iato

é m

uito

abs

trat

o/ob

scur

o.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

3.10

E

Á

lgeb

ra

Lin

ear

é um

a da

s po

ucas

di

scip

lina

s qu

e tu

co

nseg

ue

faze

r is

so im

edia

tam

ente

.

Imed

iata

men

te:

Que

não

tem

nad

a de

pe

rmei

o. S

egui

do, l

ogo

depo

is.

Con

secu

tivo

. Pró

xim

o, c

ontí

guo.

In

stan

tâne

o. Q

ue d

epen

de d

e um

só

supe

rior

.

3.10

A

Á

lgeb

ra

Lin

ear

é um

a da

s po

ucas

di

scip

lina

s qu

e pe

rmit

e ao

pr

ofes

sor

part

ir d

o in

tuiti

vo a

o fo

rmal

, d

e m

anei

ra im

edia

ta.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

.

3.11

[...

] tu

vai

s lá

e tu

def

ines

.

3.11

Em

Álg

ebra

Lin

ear

se d

efin

e.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

. 3.

12 [

...]

tu o

lhas

e v

ê, c

omeç

a a

ver

as n

eces

sida

des

de d

imen

são

de b

ase

e po

r aí

vai

.

Olh

ar:

Fixa

r os

olh

os e

m;

cont

empl

ar,

fita

r, m

irar

. M

irar

-se,

ver

-se.

Est

udar

, ex

amin

ar,

obse

rvar

, pe

squi

sar,

son

dar.

D

ar

sobr

e,

esta

r m

ais

acim

a,

esta

r so

bran

ceir

o.

Ate

nder

a;

co

nsid

erar

,

3.12

Ao

olha

r pa

ra a

Álg

ebra

Lin

ear

se v

ê a

nece

ssid

ade

de d

imen

são,

de

base

, etc

.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

.

pond

erar

. C

uida

r de

, ve

lar,

int

eres

sar-

se

por,

pr

oteg

er.

Enc

arar

-se,

fi

tar-

se

mut

uam

ente

. Con

side

rar,

julg

ar, r

eput

ar

Ver

: C

onhe

cer

(os

obje

tos

exte

rnos

) po

r m

eio

do s

enti

do d

a vi

são.

Alc

ança

r co

m

a vi

sta;

av

ista

r,

enxe

rgar

. A

vist

ar-s

e,

cont

empl

ar-s

e,

mir

ar-s

e:

"Ver

-se

ao

espe

lho.

Ser

esp

ecta

dor

ou t

este

mun

ha

de;

pres

enci

ar.

Ach

ar,

enco

ntra

r. N

otar

, ob

serv

ar.

Dis

ting

uir,

div

isar

. Pe

rcor

rer.

A

char

-se,

en

cont

rar-

se

em

algu

ma

cond

ição

, es

tado

, lu

gar

ou

situ

ação

. Se

ntir

-se.

A

tend

er

a,

repa

rar,

to

mar

cu

idad

o em

. C

onhe

cer.

E

stud

ar.

Ler

. V

isit

ar.

Pres

tar

serv

iços

méd

icos

. E

star

em

co

ntat

o,

em

conv

ivên

cia

ou

em

rela

ções

co

m;

freq

üent

ar,

rece

ber.

R

econ

hece

r.

Com

pree

nder

. Ju

lgar

. E

xam

inar

, in

daga

r,

inve

stig

ar.

Infe

rir,

de

duzi

r,

conc

luir

. Fa

ntas

iar,

im

agin

ar.

Rec

orda

r. E

xper

imen

tar.

Cal

cula

r.

3.13

E

le

vai

ser

prof

esso

r de

pr

imei

ro

e se

gund

o gr

au.

Ent

ão,

dom

ínio

de

M

atri

zes

[...]

de

term

inan

tes

de

mat

rize

s,

sist

emas

, au

tova

lore

s e

auto

veto

res

se e

le v

ai t

raba

lhar

com

geo

met

ria

que

é um

pou

co m

ais

sofi

stic

ado,

as

ques

tão

das

base

s e

[...]

, a q

uest

ão d

o es

paço

vet

oria

l.

Dom

ínio

: D

omin

ação

. Q

ualid

ade

de

prop

riet

ário

. Fa

culd

ade

de

disp

or

de

algu

ma

cois

a co

mo

senh

or

dela

. Pr

opri

edad

e.

Aut

orid

ade.

E

spaç

o oc

upad

o,

habi

taçã

o,

luga

r;

pert

ença

. Po

sses

são.

T

erri

tóri

o ex

tens

o qu

e pe

rten

ce

a um

in

diví

duo

ou

Est

ado.

Â

mbi

to

de

uma

arte

ou

ci

ênci

a:

Con

heci

men

to.

Infl

uênc

ia.

Áre

a ou

gr

upo

de n

ós e

m u

ma

rede

.

3.13

Pa

ra

ser

prof

esso

r do

E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

Méd

io

é pr

ecis

o se

ap

ropr

iar

dos

segu

inte

s co

ncei

tos:

m

atri

zes,

de

term

inan

tes

de

mat

rize

s,

sist

emas

, au

tova

lore

s e

auto

veto

res,

ba

ses

e es

paço

vet

oria

l. T

ais

conc

eito

s au

xili

am

incl

usiv

e no

E

nsin

o de

G

eom

etri

a.

Port

anto

co

nteú

dos

impo

rtan

tes

de

sere

m

dese

nvol

vido

s in

clus

ive

na

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

3.14

Tra

balh

ando

o e

spaç

o ve

tori

al,

ele

tam

bém

vai

est

ar tr

abal

hand

o co

m

3.

14

Ao

estu

dar

espa

ço

veto

rial

o

futu

ro

prof

esso

r es

tuda

ta

mbé

m

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

a T

eori

a do

s N

úmer

os.

Porq

ue v

ai

ter

que

elen

car

aque

las

onze

pr

opri

edad

es

que

tem

qu

e se

r cu

mpr

idas

par

a qu

e se

ja u

m e

spaç

o ve

tori

al.

Teo

ria

dos

Núm

eros

ao

veri

fica

r as

no

ve p

ropr

ieda

des

nece

ssár

ias

para

ser

um

esp

aço

veto

rial

.

Mat

emát

ica

sabe

r.

3.15

Po

rque

a

difi

culd

ade

que

o al

uno

tem

é

visu

aliz

ar

o ve

tor

e en

tend

er s

oma

de v

etor

es o

u a

regr

a do

par

alel

ogra

mo.

Dif

icul

dade

: Qua

lidad

e do

que

é d

ifíc

il.

Aqu

ilo

que

é di

fíci

l ou

tor

na d

ifíc

il u

ma

cois

a. E

mba

raço

, est

orvo

, im

pedi

men

to.

Obs

tácu

lo. S

ituaç

ão c

ríti

ca.

Vis

ualiz

ar:

Tor

nar

visu

al

ou

visí

vel.

Ver

um

a im

agem

m

enta

l;

figu

rar

men

talm

ente

.

3.15

O

pr

ofes

sor

rela

cion

a es

paço

ve

tori

al

com

te

oria

do

s nú

mer

os.

Poré

m,

o co

njun

to d

os n

úmer

os r

eais

é

uma

part

icul

arid

ade

do

espa

ço

veto

rial

po

rque

sa

tisf

az

as

nove

pr

opri

edad

es .

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

3.16

Iss

o ta

mbé

m s

eria

int

eres

sant

e tr

abal

har.

É p

or i

sso

que

eu a

cred

ito

que

a Á

lgeb

ra d

a li

cenc

iatu

ra te

m q

ue

ser

dife

rent

e da

do

bach

arel

ado.

Dif

eren

te:

Que

di

fere

; qu

e nã

o é

sem

elha

nte.

D

esig

ual.

Que

é

dive

rso;

de

ssem

elha

nte.

A

ltera

do,

mud

ado,

m

odif

icad

o. V

aria

do. I

nexa

to.

3.16

A Á

lgeb

ra d

a L

icen

ciat

ura

tem

qu

e se

r di

fere

nte

da d

o B

acha

rela

do.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

Bac

hare

lado

3.

17 E

u ac

redi

to q

ue a

Lic

enci

atur

a de

ve s

er d

ifer

ente

do

Bac

hare

lado

. Só

que

infe

lizm

ente

aq

ui

e em

ou

tras

si

tuaç

ões

nós

tem

os o

pro

blem

a qu

e é,

se

tu v

ais

pega

r so

men

te a

s tu

rmas

de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

tu

tens

tal

vez

10 a

luno

s. E

, fa

zer

uma

turm

a so

men

te d

e de

z al

unos

, se

torn

a ec

onom

icam

ente

in

viáv

el

para

a

inst

ituiç

ão.

Ent

ão o

que

a i

nstit

uiçã

o ac

aba

faze

ndo?

E

la

juta

a

Lic

enci

atur

a,

Físi

ca,

Mat

emát

ica

e E

ngen

hari

a.

Tu

tens

al

unos

co

m

nece

ssid

ades

di

fere

ncia

das

e ba

ses

dife

renc

iada

s.

3.

17

Na

Uni

vers

idad

e em

qu

e tr

abal

ha,

os

alun

os

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a te

m a

ula

de

Álg

ebra

L

inea

r ju

ntam

ente

co

m

alun

os d

os c

urso

s de

Lic

enci

atur

a em

Fí

sica

, E

ngen

hari

a,

etc.

O

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a nã

o é

auto

-sus

tent

ável

de

vido

ao

ba

ixo

núm

ero

de a

luno

s.

Com

o é

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

3.18

Se

pude

sse

foca

r no

alu

no d

e L

icen

ciat

ura,

tu

pode

rias

tra

tar

mai

s es

peci

fica

men

te e

sses

asp

ecto

s m

ais

Foc

ar:

Reg

ular

a

dist

ânci

a fo

cal

de.

Tom

ar

por

foco

. Pô

r em

ev

idên

cia;

fo

cali

zar.

3.18

Se

o

ensi

no

de

Álg

ebra

fo

sse

foca

do n

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

abra

nger

ia

ques

tões

de

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

dire

tam

ente

par

a qu

em v

ai u

sar

aqui

lo

para

o

ensi

no

e nã

o si

mpl

esm

ente

pa

ra t

raba

lhar

com

apl

icaç

ão p

ráti

ca

em a

lgum

as á

reas

.

ensi

no e

, não

sim

ples

men

te a

plic

açõe

s em

alg

umas

áre

as.

3.19

C

omo

gera

lmen

te

eu

faço

, eu

pe

go

um

prob

lem

a de

G

eom

etri

a A

nalí

tica

e

reso

lvo

ele

usan

do

Álg

ebra

Lin

ear.

3.

19 O

pro

fess

or r

elac

iona

pro

blem

as

de G

eom

etri

a A

nalí

tica

com

Álg

ebra

L

inea

r.

A

pres

ença

41

da

Álg

ebra

na

M

atem

átic

a.

3.20

[...

] o

alun

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a te

m q

ue t

er a

bas

e de

le

volt

ada

para

a E

duca

ção

Bás

ica.

Bas

e: A

quil

o qu

e su

port

a o

peso

de

um

obje

to

ou

lhe

serv

e de

fu

ndam

ento

. Pa

rte

infe

rior

de

um

ob

jeto

. Fu

ndam

ento

pri

ncip

al.

Pede

stal

de

uma

colu

na o

u de

out

ro o

rnat

o. L

ado

sobr

e o

qual

pod

e as

sent

ar-s

e um

a fi

gura

. Fa

ce

sobr

e a

qual

ass

enta

um

sól

ido.

Cír

culo

qu

e te

rmin

a um

cil

indr

o. N

úmer

o qu

e ex

prim

e a

rela

ção

entr

e as

dif

eren

tes

unid

ades

suc

essi

vas

de u

m s

iste

ma

de

num

eraç

ão.

Núm

ero

que

serv

e de

pon

to

de p

arti

da p

ara

a co

nstr

ução

de

uma

séri

e de

nú

mer

os,

de

um

sist

ema

de

loga

ritm

os,

de

num

eraç

ão

etc.

L

inha

re

ta à

qua

l se

ref

erem

tod

as a

s ou

tras

qu

e se

tra

çam

, nu

m l

evan

tam

ento

. N

ota

fund

amen

tal;

tô

nica

. .A

pa

rte

de

um

órgã

o m

ais

próx

ima

da s

ua o

rige

m o

u do

seu

pon

to d

e in

serç

ão, e

que

se

opõe

ao

vér

tice

. Po

nto

de l

igaç

ão o

u pa

rte

infe

rior

de

ce

rtas

pa

rtes

do

co

rpo.

O

rige

m o

u po

nto

de i

nser

ção

das

part

es

exte

rnas

do

co

rpo

de

um

inse

to.

Dis

tânc

ia t

omad

a na

Ter

ra e

ntre

doi

s

3.20

O

al

uno

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a pr

ecis

a te

r um

co

nhec

imen

to

bási

co

de

Álg

ebra

vo

ltad

o pa

ra a

Edu

caçã

o B

ásic

a.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

41 A

pal

avra

das

ein

é tr

aduz

ida

no li

vro

de H

eide

gger

(20

05)

por

pre-

senç

a. E

é u

sada

com

o si

nôni

mo

de s

er-a

í , ê

tre-

lá.

pont

os m

uito

afa

stad

os e

com

a q

ual

se

cons

troe

m

os

triâ

ngul

os

que

dete

rmin

am

a di

stân

cia

dos

astr

os.

Prin

cipa

l ing

redi

ente

de

uma

mis

tura

ou

com

bina

ção

quím

ica.

C

orpo

qu

e,

com

bina

ndo-

se c

om u

m á

cido

, pr

oduz

um

sal

. In

gred

ient

e co

mum

ente

ina

tivo

, de

um

a pr

epar

ação

, qu

e se

rve

de

veíc

ulo

para

o p

rinc

ípio

med

icin

al a

tivo

. Pl

ataf

orm

a pe

rman

ente

ou

se

mip

erm

anen

te,

em g

eral

de

conc

reto

, co

nstr

uída

de

m

anei

ra

a su

port

ar

o di

spos

itiv

o de

libe

raçã

o de

fog

uete

s.

3.21

[.

..]

trab

alha

r en

tão

com

: si

stem

as,

veto

res,

de

term

inan

te

e fo

car

em

cim

a di

sso,

eu

ac

ho

extr

emam

ente

impo

rtan

te.

3.

21

No

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

é pr

ecis

o tr

abal

har

sist

emas

, ve

tore

s, d

eter

min

ante

s, e

tc,

volt

ando

-se

para

a E

duca

ção

Bás

ica.

O q

ue d

e Á

lgeb

ra e

nsin

ar n

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a.

3.22

[...

] en

tend

er a

lóg

ica

para

faz

er

o al

uno

pens

ar a

ssim

. Ent

ão, f

azer

um

si

stem

a e

mos

trar

a

lógi

ca

para

o

alun

o ve

r qu

e el

e po

de f

azer

de

vári

as

man

eira

s.

Ent

ende

r:

Ter

id

éia

clar

a de

; co

mpr

eend

er, p

erce

ber.

Ser

háb

il, p

erito

ou

prá

tico

em.

Cre

r, p

ensa

r. I

nter

pret

ar.

Ouv

ir,

perc

eber

. Pr

oced

er

de

acor

do;

com

bina

r-se

, con

cert

ar-s

e. E

star

em

boa

in

telig

ênci

a ou

em

boa

paz

. C

hega

r a

acor

do.

Ter

prá

tica

ou

teor

ia.

. T

omar

co

nhec

imen

to

com

o au

tori

dade

co

mpe

tent

e. D

izer

res

peit

o a.

3.22

É p

reci

so m

ostr

ar a

Lóg

ica

da

cons

titu

ição

de

dete

rmin

ado

cont

eúdo

. E

nsin

ar

um

conc

eito

de

di

fere

ntes

m

anei

ras.

Com

o en

sina

r Á

lgeb

ra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

3.23

Sem

pre

que

tu p

uder

peg

ar e

fo

car

a tu

a au

la p

ara

aqui

lo q

ue t

eu

alun

o va

i te

r, o

u m

elho

r, s

empr

e qu

e eu

do

u au

la

para

o

alun

o da

E

ngen

hari

a,

eu

não

me

pren

do

a fo

rmal

idad

es,

fico

ess

enci

alm

ente

no

ente

nder

faz

er,

porq

ue é

aqu

ilo

que

eles

vão

pre

cisa

r.

Foc

ar:

Reg

ular

a

dist

ânci

a fo

cal

de.

Tom

ar

por

foco

. Pô

r em

ev

idên

cia;

fo

cali

zar.

P

rend

o a

form

alid

ades

: tr

abal

har

com

a

Mat

emát

ica

form

al.

3.23

É p

reci

so f

ocar

a a

ula

para

as

nece

ssid

ades

do

fu

turo

pr

ofes

sor.

Q

uand

o dá

au

la

para

o

alun

o de

E

ngen

hari

a o

prof

esso

r nã

o tr

abal

ha

com

a

Mat

emát

ica

form

al,

porq

ue

esse

s al

unos

usa

m a

Mat

emát

ica

com

o fe

rram

enta

.

Com

o en

sina

r Á

lgeb

ra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

3.24

Ago

ra s

e es

tou

num

a tu

rma

de

Mat

emát

ica

eu t

enho

que

tra

balh

ar o

fo

rmal

ism

o, p

orqu

e o

prof

esso

r de

M

atem

átic

a el

e va

i te

r qu

e es

crev

er

no

quad

ro

e,

se

ele

escr

ever

co

rret

amen

te f

ica

mai

s fá

cil,

se e

le

escr

ever

inc

orre

tam

ente

o a

luno

pod

e in

terp

reta

r er

rado

.

Tur

ma

de

Mat

emát

ica :

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

For

mal

ism

o : M

atem

átic

a Fo

rmal

. In

terp

reta

r : A

clar

ar, e

xpli

car

o se

ntid

o de

. Tir

ar d

e (a

lgum

a co

isa)

um

a in

duçã

o ou

pre

sság

io.

Aju

izar

da

inte

nção

, do

se

ntid

o de

. T

radu

zir

ou v

erte

r de

lín

gua

estr

ange

ira

ou

anti

ga.

Rep

rodu

zir

ou

expr

imir

a i

nten

ção

ou o

pen

sam

ento

de

. E

rrad

o: E

m q

ue h

á er

ro; e

rrôn

eo, f

also

. Q

ue

está

em

er

ro.

Que

pe

rdeu

o

cam

inho

, o r

umo;

des

garr

ado.

3.24

N

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a é

prec

iso

trab

alha

r co

m a

M

atem

átic

a Fo

rmal

. Po

rque

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

atua

rá c

omo

prof

esso

r de

Mat

emát

ica.

Se

ele

não

escr

ever

cor

reta

men

te (

de a

cord

o co

m

a M

atem

átic

a Fo

rmal

) o

alun

o po

de

inte

rpre

tar

erra

do.

Com

o en

sina

r Á

lgeb

ra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

3.25

[...

] o

que

troc

a é

a op

eraç

ão.[

...]

e os

pr

ofes

sore

s qu

e dã

o au

la

no

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

in

sist

em e

m tr

ocar

o s

inal

.

Tro

ca:

Ato

ou

ef

eito

de

tr

ocar

. B

arga

nha,

pe

rmut

a,

perm

utaç

ão.

Con

vers

ão,

mud

ança

, tr

ansf

orm

ação

. C

ompe

nsaç

ão,

reco

mpe

nsa.

Su

bsti

tuiç

ão.

Ato

pe

lo

qual

du

as

pess

oas,

pr

opri

etár

ias

de

cois

as

dete

rmin

adas

e d

isti

ntas

, faz

em, e

ntre

si,

a tr

ansf

erên

cia

sim

ultâ

nea

de c

ada

uma

dela

s.

Form

a de

co

oper

ativ

ism

o ag

ríco

la

ou

past

oril

em

que

um

trab

alha

dor

empr

esta

se

u au

xíli

o a

outr

o,

vind

o de

pois

es

te

a pa

gar

na

mes

ma

form

a In

sist

ir:

Inst

ar, p

erse

vera

r no

que

se

diz

ou

perg

unta

, pe

rsis

tir

na

afir

maç

ão,

repe

tir.

Por

fiar

, tei

mar

, ter

per

tiná

cia.

3.25

Um

exe

mpl

o é

a re

solu

ção

de

equa

ções

ond

e há

um

a m

udan

ça d

e op

eraç

ão.

Para

si

mpl

ific

ar

a li

ngua

gem

, os

prof

esso

res

insi

stem

em

di

zer

“tro

ca o

sin

al”.

Err

os c

omun

s co

met

idos

pel

os

prof

esso

res

da

Edu

caçã

o B

ásic

a ao

tr

abal

har

com

Á

lgeb

ra.

3.26

[.

..]

são

esse

s pe

quen

os

deta

lhes

que

faz

em a

dif

eren

ça e

m

ser

form

al.

Peq

ueno

s:

De

exíg

ua

exte

nsão

. D

e po

uco

volu

me.

De

baix

a es

tatu

ra. M

uito

no

vo; c

rian

ça: D

e po

uca

impo

rtân

cia,

de

pouc

o va

lor.

Pou

co a

prec

iáve

l. Q

ue é

fe

ito

em

lim

itada

es

cala

. A

pouc

ado,

3.26

Sã

o as

pa

rtic

ular

idad

es

que

faze

m a

dif

eren

ça e

m t

raba

lhar

com

a

Mat

emát

ica

Form

al.

O q

ue é

o f

orm

al.

acan

hado

. M

esqu

inho

, m

iser

ável

. D

iz-

se

da

pess

oa

mes

quin

ha

ou

de

sent

imen

tos

pouc

o ge

nero

sos.

Q

ue

se

hum

ilha

po

r te

mor

ou

re

spei

to.

Com

para

tivo

de

infe

rior

idad

e D

etal

hes :

A

to

ou

efei

to

de

deta

lhar

. Po

rmen

or. P

arti

cula

rida

de, m

inúc

ia

Ser

form

al:

trab

alha

r co

m

o qu

e é

Mat

emát

ica

Form

al.

3.27

O

al

uno

de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

tem

qu

e do

min

ar

isso

[.

..].

Dom

inar

: E

xerc

er d

omín

io s

obre

; te

r au

tori

dade

ou

pode

r em

ou

sobr

e. T

er

auto

rida

de,

asce

ndên

cia

ou

infl

uênc

ia

tota

l so

bre;

pre

vale

cer

Con

ter,

ref

rear

, re

prim

ir,

subj

ugar

, ve

ncer

. C

onte

r-se

, ve

ncer

as

pr

ópri

as

incl

inaç

ões

ou

paix

ões.

E

star

so

bran

ceir

o.

Ocu

par

inte

iram

ente

.

3.27

O a

luno

do

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a te

m

que

dom

inar

a

Mat

emát

ica

Form

al.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

3.28

Á

lgeb

ra

Lin

ear

ele

tem

qu

e en

tend

er

bem

o

conc

eito

e

sabe

r be

m a

not

ação

que

ele

est

á us

ando

, a

sim

bolo

gia,

é is

so.

Ent

ende

r:

Ter

id

éia

clar

a de

; co

mpr

eend

er, p

erce

ber.

Ser

háb

il, p

erito

ou

prá

tico

em.

Cre

r, p

ensa

r. I

nter

pret

ar.

Ouv

ir,

perc

eber

. Pr

oced

er

de

acor

do;

com

bina

r-se

, con

cert

ar-s

e. E

star

em

boa

in

telig

ênci

a ou

em

boa

paz

. C

hega

r a

acor

do.

Ter

pr

átic

a ou

te

oria

. T

omar

co

nhec

imen

to

com

o au

tori

dade

co

mpe

tent

e. D

izer

res

peit

o a.

Sa

ber:

Est

ar i

nfor

mad

o de

, es

tar

a pa

r,

ter

conh

ecim

ento

de

; co

nhec

er:

Com

pree

nder

ou

perc

eber

um

fat

o, u

ma

verd

ade:

Ser

cap

az d

e di

stin

guir

ou

de

dize

r. P

ossu

ir a

mpl

os e

enc

iclo

pédi

cos

conh

ecim

ento

s.

Ter

co

nhec

imen

to

prát

ico

de

algu

ma

cois

a ou

po

ssui

r ha

bili

dade

nel

a.

3.28

N

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

o al

uno

prec

isa

com

pree

nder

o

conc

eito

, a

nota

ção

e a

sim

bolo

gia

que

ele

está

us

ando

.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

3.29

E

u ac

ho

que

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica,

ele

tem

que

ter

tod

a a

sua

form

ação

e L

icen

ciat

ura

volt

ada

para

o

ensi

no,

para

o

Ens

ino

Fund

amen

tal e

Méd

io q

ue é

o f

oco.

Foc

o: P

onto

par

a on

de c

onve

rgem

os

raio

s da

luz

, de

pois

de

refr

atad

os e

m

uma

lent

e ou

ref

leti

dos

em u

m e

spel

ho.

Font

e de

luz.

Pon

to d

e on

de ir

radi

am o

u sa

em

eman

açõe

s ou

qu

aisq

uer

subs

tânc

ias.

Po

nto

de

onde

sa

em

os

raio

s ve

tore

s pa

ra c

erta

s cu

rvas

. Se

de.

Cen

tro,

pon

to d

e co

nver

gênc

ia.

For

maç

ão:

ato

ou e

feit

o de

for

mar

ou

form

ar-s

e. M

odo

por

que

uma

cois

a se

fo

rma.

D

ispo

siçã

o or

dena

da.

A

form

atur

a da

s tr

opas

. C

oabi

taçã

o bo

tâni

ca,

indi

vidu

aliz

ada

pela

fo

rma

biol

ógic

a qu

e ne

la d

omin

a. M

anei

ra p

or

que

se

form

ou

uma

pala

vra.

M

odo

com

o se

con

stit

ui u

m c

arát

er o

u um

a m

enta

lidad

e. D

ispo

siçã

o da

s ae

rona

ves

de u

ma

esqu

adri

lha

em v

ôo.

3.29

A L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a de

ve

ser

pens

ada

para

a

Edu

caçã

o B

ásic

a. P

ois,

o o

bjet

ivo

do c

urso

é

form

ar

prof

esso

res

de

Mat

emát

ica

para

ess

e ní

vel.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

3.30

[...

] pa

ra o

Ens

ino

Fund

amen

tal

e M

édio

ele

tem

que

dom

inar

bem

o

conc

eito

apl

icad

o lá

, po

rque

é l

á qu

e el

e va

i usa

r.

Con

ceit

o:

Aqu

ilo

que

o es

píri

to

conc

ebe

ou

ente

nde;

id

éia;

no

ção.

E

xpre

ssão

sin

téti

ca. S

ímbo

lo, s

ínte

se. A

m

ente

, o

ente

ndim

ento

, o

juíz

o.

Rep

utaç

ão. C

onsi

dera

ção.

Opi

nião

. Dito

en

genh

oso;

m

áxim

a,

sent

ença

. C

onte

údo

de

uma

prop

osiç

ão;

mor

alid

ade

de u

m c

onto

. Pa

rte

de u

ma

char

ada

em

que

se

defi

ne

a pa

lavr

a in

teir

a. T

erm

o qu

e de

sign

a um

a cl

asse

de

fe

nôm

enos

ob

serv

ados

ou

ob

serv

ávei

s. A

idé

ia,

enqu

anto

abs

trat

a e

gera

l.

3.30

O a

luno

do

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a pr

ecis

a co

nhec

er

os

conc

eito

s m

atem

átic

os t

raba

lhad

os n

a E

duca

ção

Bás

ica,

por

que

é se

u ca

mpo

de

trab

alho

.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

3.31

Po

rque

el

e nã

o co

nseg

ue

visu

aliz

ar a

quil

o ap

licad

o lá

. V

isua

lizar

: T

orna

r vi

sual

ou

vi

síve

l. V

er

uma

imag

em

men

tal;

fi

gura

r 3.

31 O

alu

no d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

não

cons

egue

ver

a a

plic

abili

dade

do

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra.

men

talm

ente

. A

plic

abili

dade

: Q

uali

dade

do

que

tem

ap

lica

ção

ou é

apl

icáv

el.

Apl

icaç

ão:

Açã

o ou

efe

ito

de a

plic

ar.

Em

preg

o, u

tiliz

ação

, us

o. A

tenç

ão o

u as

sidu

idad

e no

tr

abal

ho.

Açã

o de

m

inis

trar

m

edic

amen

tos.

E

nfei

te

sobr

epos

to a

um

ves

tido

. Nom

e de

cer

ta

peça

de

serr

alha

ria.

que

apre

nde

em Á

lgeb

ra n

a E

duca

ção

Bás

ica.

3.32

[...

] nã

o fo

ca p

ara

a E

duca

ção.

F

oca

na a

plic

ação

dir

eta.

[.

..] u

ma

turm

a de

Mat

emát

ica

e de

L

icen

ciat

ura

você

vai

foc

ar n

o en

sino

, tr

azer

pro

blem

as p

ara

o en

sino

por

que

é is

so q

ue v

ai te

aju

dar.

Foc

ar:

Reg

ular

a

dist

ânci

a fo

cal

de.

Tom

ar

por

foco

. Pô

r em

ev

idên

cia;

fo

cali

zar.

3.32

Nes

sa U

nive

rsid

ade

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

Lin

ear

não

é fo

cada

na

Edu

caçã

o po

rque

tem

alu

nos

de o

utro

s cu

rsos

na

turm

a de

Álg

ebra

. Pa

ra a

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica,

a

Álg

ebra

de

veri

a se

r vo

ltad

a pa

ra

o en

sino

, ap

rese

ntar

pr

oble

mas

m

atem

átic

os t

raba

lhad

os n

a E

duca

ção

Bás

ica.

Iss

o aj

udar

ia o

pro

fess

or.

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha a

di

scip

lina

de

Álg

ebra

.

Ent

revi

sta

4.

A e

ntre

vist

a 4

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

a pr

ofes

sora

de

Álg

ebra

de

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

a fo

rmaç

ão d

e pr

ofes

sore

s de

Mat

emát

ica?

Pro

fess

ora:

Bom

, em

pri

mei

ro l

ugar

, sen

do m

ais

obje

tiva

, ol

hand

o m

ais

de p

erto

a Á

lgeb

ra,

vam

os d

izer

ass

im, [

num

pri

mei

ro c

urso

de Á

lgeb

ra, e

u ac

ho i

mpr

esci

ndív

el q

ue o

pro

fess

or,

ele

tenh

a um

a di

scip

lina

que

dê i

mpo

rtân

cia,

não

tan

to a

o co

nteú

do,

mas

a f

orm

a co

mo

aque

les

pouc

os c

onte

údos

vão

des

envo

lver

. Dig

amos

ass

im, u

ma

habi

lidad

e de

rac

iocí

nio

lógi

co, d

e pe

rcep

ção

dos

fato

s e,

tam

bém

, de

com

o

ele

poss

a se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.]

. E e

ntão

, sen

do u

m p

ouqu

inho

mai

s ob

jetiv

a, [

eu c

oloc

aria

isto

num

cur

so, p

or e

xem

plo,

num

cur

so

que

eu c

ham

aria

de

intr

oduç

ão à

Álg

ebra

, qu

e o

prof

esso

r es

tuda

ria

[...]

, pod

eria

ser

a t

eori

a do

con

junt

os c

omo

o ce

nári

o, d

igam

os a

ssim

, e

que

a pa

rtir

daí

o a

luno

ou

o pr

ofes

sor

pode

ria

ter

a o

opor

tuni

dade

de

estu

dar

um p

ouco

[...

], e

u di

ria

até

bast

ante

, de

Lóg

ica

Mat

emát

ica,

que

ele

pode

ria

entr

ar e

m c

onta

to c

om d

iver

sos

tipo

s de

dem

onst

raçõ

es,

dem

onst

raçõ

es d

iret

as,

por

cont

ra-p

ositi

va,

por

redu

ção

ao a

bsur

do,

que

ele

soub

esse

iden

tific

ar p

ropr

ieda

des

que

são

equi

vale

ntes

e c

omo

ele

abor

dari

a is

so].

[E

u ac

ho im

pres

cind

ível

que

o p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica

tenh

a ha

bilid

ades

nes

sa f

orm

a de

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.

Eu

acre

dito

que

se

essa

que

stão

é u

ma

ques

tão

reso

lvid

a pa

ra o

pro

fess

or,

ele

cons

egue

a p

arti

r da

li tr

ansm

itir

mui

to m

ais

clar

amen

te a

s id

éias

mat

emát

icas

e n

ão m

atem

átic

as p

ara

os s

eus

alun

os.

Ess

a é

a m

aior

impo

rtân

cia

que

eu v

ejo

para

um

cur

so d

e Á

lgeb

ra p

ara

a L

icen

ciat

ura.

]

Ago

ra, é

cla

ro, a

par

tir

dali

[...

]. B

om, e

m p

rim

eiro

lug

ar, s

e um

alu

no q

ue v

em a

ser

um

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a, [

enqu

anto

alu

no s

e

ele

estu

dar

isso

mui

to s

eria

men

te, e

u ac

ho q

ue e

le d

esen

volv

e es

sa q

uest

ão d

e se

r um

ótim

o pr

ofes

sor,

ent

ão e

u ac

ho i

sso

mui

to i

mpo

rtan

te].

Bom

, m

as a

par

tir

dali

né.

É c

laro

, pa

ra [

um p

rofe

ssor

que

vai

se

dedi

car

ao E

nsin

o Fu

ndam

enta

l ou

Ens

ino

Méd

io,

aí e

ntra

um

a se

gund

a

etap

a, d

igam

os a

ssim

, ele

vai

est

udar

um

cur

so d

e Á

lgeb

ra d

o po

nto

de v

ista

do

tem

a qu

e el

e va

i en

sina

r pa

ra s

eus

alun

os] .

Por

exe

mpl

o: v

ai

faze

r um

cur

so d

e A

ritm

étic

a ou

vai

faz

er u

m c

urso

de

Álg

ebra

Ele

men

tar.

[M

as a

li el

e já

tem

todo

um

em

basa

men

to m

atem

átic

o a

prio

ri] .

E d

epoi

s, e

u di

ria

assi

m, [

ele

não

vai e

stud

ar ta

nta

Álg

ebra

na

Lic

enci

atur

a]. [

Eu

acho

impo

rtan

te u

m te

rcei

ro c

urso

, que

ser

ia u

m c

urso

que

ele

estu

dari

a al

gum

a co

isa

um p

ouco

alé

m,

que

talv

ez e

le n

ão f

osse

ens

inar

os

seus

alu

nos,

pro

vave

lmen

te n

ão.

Mas

ele

ser

ia u

m

conh

eced

or.

Por

exem

plo,

[el

e es

tuda

ria

mai

s a

fund

o a

ques

tão

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s],

mai

s se

riam

ente

dig

amos

ass

im.

É c

laro

que

num

Ens

ino

Méd

io e

le n

ão f

alar

ia, p

or e

xem

plo,

num

a es

trut

ura

de a

nel,

num

a es

trut

ura

de c

orpo

. Mas

ele

, [co

mo

prof

esso

r, d

ever

ia e

star

cie

nte

de

com

o es

sas

ques

tões

se

dese

nvol

vem

den

tro

da M

atem

átic

a, c

omo

elas

for

am s

urgi

ndo,

par

a el

e te

r, d

igam

os,

uma

expe

riên

cia

mel

hor

para

esta

r, c

omo

todo

pro

fess

or te

m q

ue e

star

, um

tant

o al

ém d

e se

us a

luno

s.]

Pes

quis

ador

a: P

or q

ue é

impo

rtan

te o

pro

fess

or s

aber

Álg

ebra

par

a el

e se

r um

bom

pro

fess

or?

Prof

esso

ra:

Olh

a, p

orqu

e eu

acr

edit

o qu

e [a

Álg

ebra

, el

a dá

um

a ha

bili

dade

bas

tant

e gr

ande

de

rela

cion

ar o

s fa

tos]

. [P

elo

raci

ocín

io

lógi

co q

ue e

la d

esen

volv

e na

quel

e es

tuda

nte,

naq

uele

fut

uro

prof

esso

r].

Nem

só

de M

atem

átic

a, m

as [

...],

[to

do e

stud

ante

de

uma

form

a ou

outr

a es

tá v

incu

lado

a C

iênc

ia],

ent

ão e

u ac

ho q

ue s

eria

sup

er im

port

ante

ess

a pa

rte

da M

atem

átic

a. P

or e

xem

plo,

ass

im, [

ele

pode

ria

ter

uma

disc

iplin

a co

m p

ouco

con

teúd

o. P

ode

ser

teor

ia d

os c

onju

ntos

, aon

de e

le v

ai a

pren

der

uniã

o de

con

junt

os, i

nter

secç

ão d

e co

njun

tos,

dif

eren

ças

de c

onju

ntos

, on

de e

le v

ai a

pren

der

a tr

abal

har

com

índ

ices

, co

m i

nduç

ão m

atem

átic

a e

tal

e, a

par

tir

dali,

ele

rel

acio

nar

esse

s fa

tos,

sab

er

dem

onst

rar

pequ

enas

coi

sas]

. E a

í, en

tão,

eu

diri

a as

sim

: ele

est

aria

den

tro

dess

e co

nhec

imen

to, d

e re

laci

onar

os

fato

s.

E u

ma

cois

a qu

e eu

não

fal

ei e

que

[eu

ach

o im

port

ante

, os

alun

os d

e ho

je e

m d

ia, e

m q

uase

toda

s as

Uni

vers

idad

es e

stud

am, o

s al

unos

de L

icen

ciat

ura,

ser

ia c

onhe

cer

Álg

ebra

Lin

ear]

. [Po

rque

hoj

e em

dia

com

a C

iênc

ia d

a co

mpu

taçã

o, h

oje

em d

ia f

azem

o m

odel

o m

atem

átic

o

de m

uita

s si

tuaç

ões

conc

reta

s co

m u

ma

gran

de q

uant

idad

e de

dad

os n

ão é

, ent

ão [

esse

fut

uro

prof

esso

r ap

rend

eria

a l

idar

com

as

mat

rize

s, a

sabe

r or

gani

zar

aque

les

cont

eúdo

s e,

de

novo

est

udar

um

a es

trut

ura

de e

spaç

o ve

tori

al e

tal,]

isso

é u

ma

cois

a as

sim

que

[...

].

[A Á

lgeb

ra L

inea

r re

ssus

cito

u um

pou

quin

ho m

ais

mod

erna

men

te.

Ela

é u

ma

disc

iplin

a an

tiga,

mas

que

hoj

e el

a ve

m c

om n

ovas

prop

osta

s e

tal,

que

fica

bas

tant

e in

tere

ssan

te d

entr

o do

con

teúd

o at

ual.]

Ent

ão,

eu a

cho

isso

mui

to i

mpo

rtan

te.

E [

tudo

iss

o se

for

tifi

ca c

om

aque

la i

déia

ini

cial

que

eu

fale

i, se

ess

e pr

ofes

sor

tem

um

bom

em

basa

men

to d

a te

oria

da

Álg

ebra

, no

sent

ido

assi

m d

e re

laci

onar

os

fato

s eu

acho

que

ele

fic

aria

bem

pre

para

do.]

Pes

quis

ador

a: Q

uais

são

os

cont

eúdo

s de

Álg

ebra

rel

evan

tes

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica?

Por

que

esse

s co

nteú

dos

são

impo

rtan

tes?

Pro

fess

ora:

Aí,

send

o be

m o

bjet

iva

e at

é co

loca

ndo

na o

rdem

ade

quad

a qu

e eu

acr

edito

. Um

cur

so in

icia

l que

pod

eria

ser

um

cur

so d

e

intr

oduç

ão à

Álg

ebra

, qu

e tr

atar

ia u

m p

eque

no c

onte

údo

mat

emát

ico,

por

ém u

ma

gran

de r

elaç

ão e

ntre

os

fato

s. [

Ali

pod

eria

até

est

udar

funç

ões,

mas

sab

er,

diga

mos

ass

im,

trab

alha

r co

m a

Álg

ebra

das

pro

posi

ções

, sa

ber

dem

onst

rar

pequ

enas

coi

sas,

ter

o d

isce

rnim

ento

de

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.]

Par

a is

so p

oder

ia u

sar

a te

oria

dos

con

junt

os, p

oder

ia u

sar

funç

ões,

pod

eria

usa

r in

duçã

o m

atem

átic

a. E

ntão

são

prob

lem

as q

ue s

eria

m b

asta

nte

adeq

uado

. [N

um s

egun

do m

omen

to e

le p

oder

ia e

stud

ar A

ritm

étic

a qu

e se

ria

mai

s in

loc

o aq

uele

s co

nteú

dos

que

ele

vai l

ecio

nar]

. E [

num

terc

eiro

mom

ento

um

a di

scip

lina

que

seri

a m

ais

para

a c

ultu

ra d

o pr

ofes

sor]

, que

ele

est

udar

ia a

lém

daq

uilo

que

ele

pass

aria

par

a o

alun

o, q

ue p

oder

ia s

er t

eori

a da

s es

trut

uras

.] [

E m

ais

um c

urso

de

Álg

ebra

Lin

ear,

que

hoj

e em

dia

é i

mpo

rtan

te p

elas

aplic

açõe

s qu

e tr

az. P

ara

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a eu

pen

so m

ais

ou m

enos

isso

].

Com

entá

rios

fin

ais.

Pro

fess

ora:

Fal

ando

mai

s pr

ecis

amen

te n

um c

urso

que

eu

acre

dito

que

pod

eria

ser

um

bom

pri

mei

ro c

urso

de

[Álg

ebra

par

a a

Lic

enci

atur

a. Q

uand

o se

fal

a em

ens

inar

a t

eori

a do

s co

njun

tos,

não

ser

ia a

pena

s de

senv

olve

r os

con

ceito

s de

uni

ão d

e co

njun

tos,

int

erse

cção

de c

onju

ntos

, dif

eren

ça. S

eria

um

a co

isa

mui

to m

aior

que

iss

o. P

aral

elam

ente

o a

luno

se

dedi

cari

a a

apre

nder

a d

emon

stra

que

stõe

s si

mpl

es.]

Com

o [.

..],

vou

cita

r um

exe

mpl

o, d

igam

os q

ue t

enha

um

a pr

opos

ição

. C

omeç

a po

r aí

[O

alu

no d

ever

ia s

aber

o q

ue s

eria

um

a pr

opos

ição

,

sabe

r a

dife

renç

a do

que

é u

ma

prop

osiç

ão e

do

que

é um

a se

nten

ça, o

que

é u

ma

vari

ável

, coi

sa q

ue, a

s ve

zes,

num

cur

so m

ais

adia

nte

a ge

nte

já p

ré-s

upõe

con

heci

do].

Ent

ão, c

omeç

a po

r aí

. Dig

amos

que

o a

luno

tenh

a na

teor

ia d

os c

onju

ntos

um

a pr

opos

ição

sim

ples

, do

tipo

ass

im: s

e

A e

stá

cont

ido

em B

, ent

ão, A

inte

rsec

ção

B é

igua

l a A

. O a

luno

olh

a e

diz:

bom

é m

uito

fác

il de

dem

onst

rar

e el

e fa

z um

des

enho

. [E

u es

tou

fala

ndo

de u

ma

cois

a um

pou

co a

lém

. Eu

gost

aria

que

nes

sa p

ropo

siçã

o, o

alu

no t

ives

se t

odo

o di

scer

nim

ento

do

que

é a

hipó

tese

, do

que

é a

tese

e d

e co

mo

ele

pode

ria

prov

ar e

ssa

tese

.]. P

or e

xem

plo,

ent

ão, e

le s

aber

ia q

ue p

oder

ia d

emon

stra

r es

sa p

ropo

siçã

o si

mpl

es c

om u

ma

prov

a

dire

ta,

ele

pode

ria

usar

pro

va p

or c

ontr

a-po

siti

va,

nega

r a

tese

e t

enta

r ch

egar

num

abs

urdo

, e

mai

s, q

ue e

le s

oube

sse

com

des

envo

ltur

a [.

..]

que

ele

soub

esse

esc

reve

r es

sa d

emon

stra

ção.

E a

í si

m,

eu a

cred

ito q

ue s

eria

um

cur

so q

ue,

apes

ar d

o co

nteú

do s

er u

m p

ouco

fác

il, o

cur

so,

para

um

pri

mei

ro c

urso

, po

deri

a se

r ba

stan

te d

ifíc

il pa

ra a

quel

e al

uno.

Mas

eu

acho

que

ao

conc

luir

aqu

ele

curs

o el

e fi

cari

a et

erna

men

te

grat

ific

ado.

[Eu

acho

iss

o um

a co

sia

mai

or d

a Á

lgeb

ra d

entr

o de

um

cur

so d

e L

icen

ciat

ura .

Ah!

Pos

so e

xem

plif

icar

? C

laro

que

eu

não

esto

u

dand

o ên

fase

no

cont

eúdo

, eu

est

ou d

ando

ênf

ase

no d

esen

volv

imen

to,

eu d

iria

ass

im,

a Á

lgeb

ra d

as p

ropo

siçõ

es,

a M

atem

átic

a de

ntro

dos

cont

eúdo

s, P

oder

ia u

sar

a te

oria

dos

con

junt

os,

pode

ria

utili

zar

funç

ões,

pod

eria

usa

r a

indu

ção

mat

emát

ica,

tud

o is

so f

aria

par

te d

esse

cur

so

cham

ado

de c

urso

de

intr

oduç

ão à

Álg

ebra

.]

[E s

empr

e co

m a

ênf

ase

e o

obje

tivo

mai

or n

a co

mun

icaç

ão m

atem

átic

a de

ntro

do

curs

o e,

a ê

nfas

e m

enor

no

cont

eúdo

.] Q

uant

o m

enos

cont

eúdo

nes

se p

rim

eiro

cur

so, m

elho

r, q

uant

o m

ais

cois

as o

alu

no t

iver

que

dem

onst

rar

por

dive

rsas

for

mas

, sab

endo

dem

onst

rar

que

vári

as

prop

osiç

ões

são

equi

vale

ntes

, po

de u

sar

uma

fam

ília

de

conj

unto

s, p

ode

defi

nir

vari

ável

, po

de d

efin

ir p

ropo

siçã

o. P

oder

ia a

té c

itar

um

liv

ro

bem

ant

igo

que

trat

aria

des

se c

onte

údo,

que

é a

Teo

ria

Ele

men

tar

dos

Con

junt

os d

e E

dgar

de

Ale

ncar

Fil

ho,

que

é um

liv

ro q

ue d

eve

se

apre

sent

ar e

m to

das

as b

ibli

otec

as q

ue te

m a

lgum

con

teúd

o m

atem

átic

o e

que

se p

rest

a m

uito

bem

par

a es

se p

ropó

sito

.

Ent

revi

sta

04

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pesq

uisa

dor

Pri

mei

ras

Red

uçõe

s

4.1

[...]

nu

m

prim

eiro

cu

rso

de

Álg

ebra

, eu

ach

o im

pres

cind

ível

que

o

prof

esso

r, e

le t

enha

um

a di

scip

lina

qu

e dê

im

port

ânci

a,

não

tant

o ao

co

nteú

do,

mas

a f

orm

a co

mo

aque

les

pouc

os

cont

eúdo

s vã

o de

senv

olve

r.

Dig

amos

ass

im,

uma

habi

lidad

e de

ra

cioc

ínio

ló

gico

, de

pe

rcep

ção

dos

fato

s e,

tam

bém

, de

com

o el

e po

ssa

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.

Impr

esci

ndív

el:

De

que

não

se p

ode

pres

cind

ir; n

eces

sári

o, in

disp

ensá

vel.

Impo

rtân

cia:

Qua

lida

de d

e im

port

ante

. A

utor

idad

e,

cons

ider

ação

, cr

édit

o,

infl

uênc

ia.

Gra

nde

valo

r re

lati

vo

das

cois

as. Q

uant

ia, s

oma,

tota

l.

For

ma:

fig

ura

ou a

spec

to e

xter

ior

dos

corp

os m

ater

iais

. Mod

o so

b o

qual

um

a co

isa

exis

te

ou

se

man

ifes

ta.

Con

stit

uiçã

o,

mod

o pa

rtic

ular

de

se

r.

Mod

elo,

no

rma.

T

alhe

ou

fe

ição

da

le

tra.

Mod

o, m

anei

ra.

Ali

nham

ento

de

trop

as; f

orm

atur

a. A

spec

to s

ob o

qua

l se

apre

sent

a um

ter

mo

ou u

m e

nunc

iado

. C

arát

er

de

esti

lo

em

com

posi

ção

liter

ária

, mus

ical

ou

plás

tica

. Ter

mo

que

se

refe

re,

em

Ant

ropo

logi

a So

cial

, a

todo

s os

as

pect

os

de

um

com

plex

o cu

ltur

al,

cuja

s ex

pres

sões

po

dem

se

r ob

serv

adas

e

tran

smit

idas

de

um

a so

cied

ade

a ou

tra.

Mod

elo,

mol

de d

e qu

alqu

er c

oisa

. M

olde

par

a a

indú

stri

a de

cal

çado

ou

de c

hape

lari

a, o

u pa

ra a

fo

rmaç

ão d

e qu

alqu

er c

orpo

com

fei

tio

pree

stab

elec

ido.

M

olde

so

bre

que

ou

dent

ro d

e qu

e se

for

ma

qual

quer

coi

sa

que

lhe

tom

e o

feit

io.

Hab

ilida

de:

Qua

lida

de

de

hábi

l. C

apac

idad

e,

inte

ligê

ncia

. A

ptid

ão,

4.1

Em

um

pri

mei

ro c

urso

de

Álg

ebra

pa

ra

um

alun

o da

L

icen

ciat

ura

é ne

cess

ário

qu

e o

prof

esso

r nã

o dê

im

port

ânci

a à

quan

tidad

e de

con

teúd

o,

mas

sim

, ao

mod

o de

apr

esen

taçã

o e

dese

nvol

vim

ento

do

co

nteú

do.

É

prec

iso

dese

nvol

ver

no

alun

o ha

bili

dade

de

ra

cioc

ínio

, pe

rcep

ção

dos

fato

s e

poss

ibil

itar

que

ele

se

com

uniq

ue m

atem

atic

amen

te.

Para

quê

ens

inar

Álg

ebra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

enge

nho.

Des

trez

a. A

stúc

ia, m

anha

. C

omun

icar

: Fa

zer

sabe

r;

part

icip

ar

Tor

nar

com

um;

tran

smit

ir.

Prop

agar

-se,

tr

ansm

itir

-se.

Peg

ar p

or c

ontá

gio.

Pega

r-se

, tr

ansm

itir

-se

por

cont

ágio

. D

ar.

Cor

resp

onde

r-se

, ter

rel

açõe

s.

4.

2 eu

col

ocar

ia i

sto

num

[...

] cu

rso

que

eu

cham

aria

de

in

trod

ução

à

Álg

ebra

, qu

e o

prof

esso

r es

tuda

ria

[...]

,a

teor

ia d

o co

njun

tos

com

o o

cená

rio,

e q

ue a

par

tir

dali

o al

uno

ou

o pr

ofes

sor

pode

ria

ter

a o

opor

tuni

dade

de

estu

dar

[...]

Lóg

ica

Mat

emát

ica,

que

ele

pod

eria

ent

rar

em

cont

ato

com

di

vers

os

tipo

s de

de

mon

stra

ções

, de

mon

stra

ções

di

reta

s,

por

cont

ra-p

osit

iva,

po

r re

duçã

o ao

ab

surd

o,

que

ele

soub

esse

id

enti

fica

r pr

opri

edad

es

que

são

equi

vale

ntes

e

com

o el

e ab

orda

ria

isso

.

4.

2 Pa

ra u

m c

urso

de

Lic

enci

atur

a, a

pr

ofes

sora

su

gere

in

icia

r co

m

um

curs

o de

nom

inad

o In

trod

ução

à

Álg

ebra

. N

ele

o pr

ofes

sor

estu

dari

a te

oria

do

s co

njun

tos.

Po

r m

eio

da

teor

ia d

os c

onju

ntos

est

udar

ia L

ógic

a M

atem

átic

a e

entr

aria

em

con

tato

com

di

stin

tas

man

eira

s de

dem

onst

raçõ

es:

dem

onst

raçõ

es

dire

tas,

po

r co

ntra

-po

sitiv

a, p

or r

eduç

ão a

o ab

surd

o. É

im

port

ante

ta

mbé

m,

ele

sabe

r id

entif

icar

pr

opri

edad

es

que

são

equi

vale

ntes

e c

omo

ele

abor

dari

a is

so

em u

ma

sala

de

aula

.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

4.3

Eu

acho

im

pres

cind

ível

qu

e o

prof

esso

r de

M

atem

átic

a te

nha

habi

lidad

es

ness

a fo

rma

de

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.

Impr

esci

ndív

el:

De

que

não

se p

ode

pres

cind

ir; n

eces

sári

o, in

disp

ensá

vel.

Hab

ilida

de:

Qua

lida

de

de

hábi

l. C

apac

idad

e,

inte

ligê

ncia

. A

ptid

ão,

enge

nho.

Des

trez

a. A

stúc

ia, m

anha

.

4.3

Num

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a é

indi

spen

sáve

l qu

e o

prof

esso

r de

senv

olva

a c

apac

idad

e de

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

4.4

Ess

a é

a m

aior

im

port

ânci

a qu

e eu

ve

jo

para

um

cu

rso

de

Álg

ebra

pa

ra a

Lic

enci

atur

a.

Impo

rtân

cia:

Qua

lida

de d

e im

port

ante

. A

utor

idad

e,

cons

ider

ação

, cr

édit

o,

infl

uênc

ia.

Gra

nde

valo

r re

lati

vo

das

cois

as. Q

uant

ia, s

oma,

tota

l.

4.4

O m

ais

impo

rtan

te p

ara

um c

urso

de

Á

lgeb

ra

na

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a é

dese

nvol

ver

no f

utur

o pr

ofes

sor

a ha

bilid

ade

de

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

4.5

[...]

enq

uant

o al

uno

se e

le e

stud

ar

Óti

mo:

mui

to b

om; e

xcel

ente

; o m

elho

r 4.

5 Se

o

alun

o de

um

cu

rso

de

O q

ue é

pre

ciso

par

a se

r um

isso

mui

to s

eria

men

te, e

u ac

ho q

ue e

le

dese

nvol

ve

essa

qu

estã

o de

se

r um

ót

imo

prof

esso

r, e

ntão

eu

acho

iss

o m

uito

impo

rtan

te.

poss

ível

. A

quil

o qu

e há

ou

pode

hav

er

de m

elho

r ou

de

mui

to b

om. P

onto

ond

e se

ob

tém

m

elho

r re

spos

ta

a um

es

tímul

o.

Impo

rtan

te:

Que

tem

im

port

ânci

a. Q

ue

não

se

pode

es

quec

er

ou

deix

ar

de

aten

der.

Dig

no d

e ap

reço

, de

est

ima,

de

cons

ider

ação

. Que

tem

gra

ndes

cré

dito

s,

que

exer

ce n

otáv

el i

nflu

ênci

a. Q

ue t

em

mui

to

valo

r ou

pr

eço

notá

vel.

Útil

, ne

cess

ário

. E

nfat

uado

. O

qu

e há

de

m

ais

inte

ress

ante

, de

mai

s út

il, d

e m

ais

prov

eito

so

num

a pe

ssoa

ou

co

isa;

o

esse

ncia

l.

Lic

enci

atur

a es

tuda

r os

con

teúd

os d

e Á

lgeb

ra s

eria

men

te, e

le s

erá

um ó

tim

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a.

bom

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a.

4.6

[...]

um

pr

ofes

sor

que

vai

se

dedi

car

ao

Ens

ino

Fund

amen

tal

ou

Ens

ino

Méd

io v

ai e

stud

ar u

m c

urso

de

Álg

ebra

do

pont

o de

vis

ta d

o te

ma

que

ele

vai e

nsin

ar p

ara

seus

alu

nos.

Ded

icar

: D

estin

ar,

empr

egar

, vo

tar,

co

m a

feto

ou

sacr

ifíc

io,

em f

avor

de.

O

fere

cer

por

dedi

caçã

o.

Pôr

sob

a pr

oteç

ão o

u in

voca

ção

de.

Dev

otar

-se,

of

erec

er-s

e ao

ser

viço

de,

sac

rifi

car-

se.

Des

tinar

. Ent

rega

r-se

.

4.6

É p

reci

so q

ue u

m f

utur

o pr

ofes

sor

que

se

dedi

cará

à

Edu

caçã

o B

ásic

aten

ha,

na

Lic

enci

atur

a,

um

curs

o de

Álg

ebra

que

o p

repa

re e

m

term

os

de

cont

eúdo

, em

re

laçã

o ao

qu

e el

e va

i tra

balh

ar c

om s

eus

alun

os.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra.

4.7

Mas

al

i el

e já

te

m

todo

um

em

basa

men

to m

atem

átic

o a

prio

ri.

Em

basa

men

to: f

unda

men

taçã

o.

4.7

Ao

mes

mo

tem

po e

m q

ue o

cur

so

de

Álg

ebra

da

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

é vo

ltad

o pa

ra o

ens

ino,

el

e ta

mbé

m

dará

ao

pr

ofes

sor

uma

fund

amen

taçã

o m

atem

átic

a.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

4.8

[...]

el

e nã

o va

i es

tuda

r ta

nta

Álg

ebra

na

Lic

enci

atur

a.

Tan

ta:

Mui

ta.

4.8

O a

luno

do

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

não

vai

estu

dar

mui

ta

Álg

ebra

no

deco

rrer

da

Lic

enci

atur

a.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber

4.9

Eu

acho

im

port

ante

um

ter

ceir

o cu

rso,

que

[...

] el

e es

tuda

ria

algu

ma

cois

a um

pou

co a

lém

, qu

e ta

lvez

ele

nã

o fo

sse

ensi

nar

os

seus

al

unos

, pr

ovav

elm

ente

não

. M

as e

le s

eria

um

co

nhec

edor

.

Impo

rtan

te:

Que

tem

im

port

ânci

a. Q

ue

não

se

pode

es

quec

er

ou

deix

ar

de

aten

der.

Dig

no d

e ap

reço

, de

est

ima,

de

cons

ider

ação

. Que

tem

gra

ndes

cré

dito

s,

que

exer

ce n

otáv

el i

nflu

ênci

a. Q

ue t

em

mui

to

valo

r ou

pr

eço

notá

vel.

Útil

,

4.9

É

impo

rtan

te

para

o

alun

o do

cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a,

um c

urso

de

Álg

ebra

que

vai

alé

m d

a di

scus

são

dos

cont

eúdo

s tr

abal

hado

s na

Edu

caçã

o B

ásic

a, q

ue a

pres

ente

ao

futu

ro

prof

esso

r co

nteú

dos

que

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

nece

ssár

io.

Enf

atua

do.

O

que

há

de

mai

s in

tere

ssan

te,

de m

ais

útil,

de

mai

s pr

ovei

toso

nu

ma

pess

oa

ou

cois

a;

o es

senc

ial.

Con

hece

dor :

Que

, ou

o q

ue c

onhe

ce;

ente

nded

or, p

erit

o.

poss

ivel

men

te

não

trab

alha

rá

com

se

us

alun

os.

Mas

el

e se

ria

um

conh

eced

or.

4.10

[...

] el

e es

tuda

ria

mai

s a

fund

o a

ques

tão

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

4.

10

Ele

es

tuda

ria

mai

s a

fund

o a

ques

tão

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

4.

11 [

...]

com

o pr

ofes

sor,

dev

eria

est

ar

cien

te

de

com

o es

sas

ques

tões

(e

stru

tura

s de

ane

l e

a es

trut

ura

de

corp

o)

se

dese

nvol

vem

de

ntro

da

M

atem

átic

a,

com

o el

as

fora

m

surg

indo

, pa

ra e

le t

er,

diga

mos

, um

a ex

peri

ênci

a m

elho

r pa

ra e

star

, co

mo

todo

pro

fess

or te

m q

ue e

star

, um

tant

o al

ém d

e se

us a

luno

s.

Cie

nte:

Q

ue

tem

ci

ênci

a;

dout

o,

erud

ito,

sáb

io.

Que

tem

con

heci

men

to

de a

lgum

a co

isa;

inf

orm

ado,

int

eira

do,

sabe

dor.

A

nota

ção

feit

a em

co

mun

icad

os, p

ara

efei

to d

e co

ntro

le d

o se

u co

nhec

imen

to,

sabe

r; i

nfor

mar

de:

to

mar

con

heci

men

to d

e.

Exp

eriê

ncia

: A

to

ou

efei

to

de

expe

rim

enta

r. C

onhe

cim

ento

adq

uiri

do

graç

as

aos

dado

s fo

rnec

idos

pe

la

próp

ria

vida

. E

nsai

o pr

átic

o pa

ra

desc

obri

r ou

det

erm

inar

um

fen

ômen

o,

um

fato

ou

um

a te

oria

; ex

peri

men

to,

prov

a.

Con

heci

men

to

das

cois

as

pela

pr

átic

a ou

obs

erva

ção.

Uso

cau

telo

so e

pr

ovis

ório

. T

enta

tiva.

Pe

ríci

a,

habi

lidad

e qu

e se

adq

uire

m p

ela

prát

ica.

4.11

O

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

deve

ria

conh

ecer

com

o as

est

rutu

ras

de a

nel

e de

cor

po s

e de

senv

olve

ram

na

Mat

emát

ica.

Ass

im,

ele

adqu

irir

ia

mai

s co

nhec

imen

to.

Com

o to

do

prof

esso

re,

ele

tem

qu

e co

nhec

er/s

aber

mai

s qu

e se

u al

uno.

Impo

rtân

cia

das

estr

utur

as

algé

bric

as..

4.12

[.

..]

a Á

lgeb

ra,

ela

dá

uma

habi

lidad

e ba

stan

te

gran

de

de

rela

cion

ar o

s fa

tos.

Hab

ilida

de:

Qua

lida

de

de

hábi

l. C

apac

idad

e,

inte

ligê

ncia

. A

ptid

ão,

enge

nho.

Des

trez

a. A

stúc

ia, m

anha

.

4.12

A

Á

lgeb

ra

poss

ibili

ta

o de

senv

olvi

men

to

de

habi

lida

de

para

re

laci

onar

fat

os.

Para

que

ser

ve a

Álg

ebra

.

4.13

Pel

o ra

cioc

ínio

lóg

ico

que

ela

dese

nvol

ve

naqu

ele

estu

dant

e,

naqu

ele

futu

ro p

rofe

ssor

.

4.

13

A

Álg

ebra

de

senv

olve

o

raci

ocín

io ló

gico

no

futu

ro p

rofe

ssor

. Pa

ra q

ue s

erve

a Á

lgeb

ra.

4.14

[.

..]

ele

pode

ria

ter

uma

4.

14 O

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a te

ria

O q

ue d

e Á

lgeb

ra e

nsin

ar n

o

disc

ipli

na c

om p

ouco

con

teúd

o. P

ode

ser

teor

ia d

os c

onju

ntos

, aon

de e

le v

ai

apre

nder

un

ião

de

conj

unto

s,

inte

rsec

ção

de

conj

unto

s,

dife

renç

as

de c

onju

ntos

, on

de e

le v

ai a

pren

der

a tr

abal

har

com

índ

ices

, co

m i

nduç

ão

mat

emát

ica

e ta

l e,

a p

arti

r da

li, e

le

rela

cion

ar

esse

s fa

tos,

sa

ber

dem

onst

rar

pequ

enas

coi

sas.

uma

disc

ipli

na c

om p

ouco

con

teúd

o.

Teo

ria

dos

Con

junt

os,

por

exem

plo.

O

nde

ele

vai

apre

nder

un

ião

de

conj

unto

s,

inte

rsec

ção

de

conj

unto

s,

dife

renç

as d

e co

njun

tos,

ond

e el

e va

i ap

rend

er a

tra

balh

ar c

om í

ndic

es, c

om

indu

ção

mat

emát

ica,

ap

rend

endo

as

sim

a r

elac

iona

r fa

tos

e, d

emon

stra

r pe

quen

as c

oisa

s.

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

4.15

[.

..]

eu

acho

im

port

ante

[.

..]

conh

ecer

Álg

ebra

Lin

ear.

Im

port

ante

: Q

ue t

em i

mpo

rtân

cia.

Que

nã

o se

po

de

esqu

ecer

ou

de

ixar

de

at

ende

r. D

igno

de

apre

ço,

de e

stim

a, d

e co

nsid

eraç

ão. Q

ue te

m g

rand

es c

rédi

tos,

qu

e ex

erce

not

ável

inf

luên

cia.

Que

tem

m

uito

va

lor

ou

preç

o no

táve

l. Ú

til,

nece

ssár

io.

Enf

atua

do.

O

que

há

de

mai

s in

tere

ssan

te,

de m

ais

útil,

de

mai

s pr

ovei

toso

nu

ma

pess

oa

ou

cois

a;

o es

senc

ial.

4.15

É i

mpo

rtan

te p

ara

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

conh

ecer

Álg

ebra

Lin

ear.

O

qu

e a

Álg

ebra

L

inea

r pe

rmit

e.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber

mos

trar

.

4.16

Po

rque

ho

je

em

dia

com

a

Ciê

ncia

da

com

puta

ção,

hoj

e em

dia

fa

zem

o

mod

elo

mat

emát

ico

de

mui

tas

situ

açõe

s co

ncre

tas

com

um

a gr

ande

qu

anti

dade

de

da

dos,

en

tão

esse

fu

turo

pr

ofes

sor

apre

nder

ia

a li

dar

com

as

m

atri

zes,

a

sabe

r or

gani

zar

aque

les

cont

eúdo

s e,

de

no

vo e

stud

ar u

ma

estr

utur

a de

esp

aço

veto

rial

e ta

l.

4.

16 H

oje

em d

ia c

om a

Ciê

ncia

da

Com

puta

ção,

pod

e se

r fe

ito

o m

odel

o m

atem

átic

o de

mui

tas

situ

açõe

s. P

ara

o fu

turo

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a é

impo

rtan

te

apre

nder

a

lida

r co

m

as

mat

rize

s,

a sa

ber

orga

niza

r aq

uele

s co

nteú

dos

e es

tuda

r um

a es

trut

ura

de

espa

ço v

etor

ial.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

.

4.17

A

Á

lgeb

ra

Lin

ear

é um

a di

scip

lina

ant

iga,

mas

que

hoj

e el

a ve

m c

om n

ovas

pro

post

as e

tal

, qu

e fi

ca

bast

ante

in

tere

ssan

te

dent

ro

do

4.

17

A

Álg

ebra

L

inea

r é

uma

disc

iplin

a an

tiga

, m

as i

mpo

rtan

te n

a at

ualid

ade,

pri

ncip

alm

ente

por

cau

sa

de

sua

apli

caçã

o na

s C

iênc

ias

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

cont

eúdo

atu

al.

Com

puta

cion

ais.

4.

18 U

m c

urso

ini

cial

que

pod

eria

ser

um

cu

rso

de

intr

oduç

ão

à Á

lgeb

ra,

que

trat

aria

um

pe

quen

o co

nteú

do

mat

emát

ico,

po

rém

um

a gr

ande

re

laçã

o en

tre

os f

atos

.

Fat

os:

Coi

sa

ou

ação

fe

ita.

A

cont

ecim

ento

, su

cess

o. A

quilo

de

que

se t

rata

. O

que

é r

eal:

com

efe

ito,

esta

r ci

ente

, ser

sab

edor

.

4.18

Par

a o

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a é

inte

ress

ante

ini

ciar

com

um

cu

rso

de

Intr

oduç

ão

a Á

lgeb

ra,

que

abor

da

pouc

o co

nteú

do,

mas

re

laci

ona

os f

atos

.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

4.19

Ali

pode

ria

até

estu

dar

funç

ões,

[.

..]

trab

alha

r co

m

a Á

lgeb

ra

das

prop

osiç

ões,

sa

ber

dem

onst

rar

pequ

enas

coi

sas,

ter

o d

isce

rnim

ento

de

se

com

unic

ar m

atem

atic

amen

te.

Dis

cern

imen

to:

Ato

de

di

scer

nir.

Fa

culd

ade

de

disc

erni

r;

juíz

o,

ente

ndim

ento

, cr

itér

io.

Esc

ola,

di

stin

ção.

A

prec

iaçã

o.

Prud

ênci

a.

Perc

epçã

o sú

bita

de

uma

nova

rel

ação

no

de

curs

o de

um

a ex

peri

ênci

a;

na

psic

olog

ia d

a fo

rma,

pon

to d

ecis

ivo

de

uma

apre

ndiz

agem

.

4.19

Em

um

cur

so i

nici

al d

e Á

lgeb

ra

Lin

ear

para

um

a tu

rma

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

pode

r-se

-ia

ini

ciar

com

o e

stud

o de

fun

ções

, tr

abal

har

com

a

Álg

ebra

da

s pr

opos

içõe

s,

apre

nder

a

faze

r de

mon

stra

ções

sim

ples

e a

pren

der

a se

co

mun

icar

mat

emat

icam

ente

.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

4.20

N

um

segu

ndo

mom

ento

el

e po

deri

a es

tuda

r A

ritm

étic

a qu

e se

ria

mai

s in

loc

o aq

uele

s co

nteú

dos

que

ele

vai l

ecio

nar.

4.

20

Num

se

gund

o m

omen

to,

é im

port

ante

qu

e o

prof

esso

r es

tude

A

ritm

étic

a e

os c

onte

údos

que

ele

vai

en

sina

r.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

4.21

[...

] nu

m t

erce

iro

mom

ento

um

a di

scip

lina

qu

e se

ria

mai

s pa

ra

a cu

ltur

a do

pro

fess

or[.

..].

Cul

tura

: A

ção,

efe

ito,

art

e ou

man

eira

de

cu

ltiva

r a

terr

a ou

ce

rtas

pl

anta

s.

Ter

reno

cu

ltiv

ado.

Pr

opag

ação

de

m

icro

rgan

ism

os o

u cu

ltiva

ção

de t

ecid

o vi

vo e

m u

m m

eio

nutr

itivo

pre

para

do.

Prod

uto

de t

al c

ultiv

ação

. O

mei

o ju

nto

com

o

mat

eria

l cu

ltiv

ado.

U

tiliz

ação

in

dust

rial

de

cert

as p

rodu

ções

nat

urai

s.

Apl

icaç

ão

do

espí

rito

a

uma

cois

a;

estu

do.

Des

envo

lvim

ento

qu

e,

por

cuid

ados

ass

íduo

s, s

e dá

às

facu

ldad

es

natu

rais

. D

esen

volv

imen

to

inte

lect

ual.

Adi

anta

men

to,

civi

liza

ção.

A

puro

, es

mer

o,

eleg

ânci

a. S

iste

ma

de

idéi

as,

conh

ecim

ento

s, t

écni

cas

e ar

tefa

tos,

de

padr

ões

de

com

port

amen

to

e at

itud

es

4.21

N

um

terc

eiro

m

omen

to

uma

disc

iplin

a qu

e se

ria

mai

s pa

ra

a C

ultu

ra M

atem

átic

a do

pro

fess

or.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

que

cara

cter

iza

uma

dete

rmin

ada

soci

edad

e.

4.22

[...

] el

e es

tuda

ria

além

daq

uilo

qu

e el

e pa

ssar

ia

para

o

alun

o,

que

pode

ria

ser

teor

ia d

as e

stru

tura

s [.

..].

4.

22 E

le e

stud

aria

alé

m d

aqui

lo q

ue

ele

ensi

nari

a o

alun

o,

pode

ria

ser

teor

ia d

as e

stru

tura

s.

Impo

rtân

cia

do

estu

do

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

4.23

[...

] E

mai

s um

cur

so d

e Á

lgeb

ra

Lin

ear,

que

hoj

e em

dia

é i

mpo

rtan

te

pela

s ap

lica

ções

qu

e tr

az.

Para

um

cu

rso

de L

icen

ciat

ura

eu p

enso

mai

s ou

men

os is

so [

...].

4.

23

E

mai

s um

cu

rso

de

Álg

ebra

L

inea

r, q

ue h

oje

em d

ia é

im

port

ante

pe

las

apli

caçõ

es q

ue t

em.

Ess

e é

o co

nhec

imen

to a

lgéb

rico

nec

essá

rio

ao

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

.

4.24

Á

lgeb

ra

para

a

Lic

enci

atur

a.

Qua

ndo

se f

ala

em e

nsin

ar a

teo

ria

dos

conj

unto

s,

não

seri

a ap

enas

de

senv

olve

r os

con

ceit

os d

e un

ião

de

conj

unto

s,

inte

rsec

ção

de

conj

unto

s,

dife

renç

a.

Ser

ia

uma

cois

a m

uito

m

aior

que

iss

o. P

aral

elam

ente

o a

luno

se

ded

icar

ia a

apr

ende

r a

dem

onst

rar

ques

tões

sim

ples

.

4.

24 P

ara

a Á

lgeb

ra d

a L

icen

ciat

ura,

qu

ando

se

fala

em

ens

inar

a t

eori

a do

s co

njun

tos,

nã

o se

ria

apen

as

dese

nvol

ver

os c

once

itos

de

dife

renç

a un

ião

e in

ters

ecçã

o de

co

njun

tos.

Se

ria

uma

visã

o m

ais

ampl

a qu

e is

so.

Para

lela

men

te o

alu

no s

e de

dica

ria

a ap

rend

er

a de

mon

stra

r qu

estõ

es

sim

ples

.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

4.25

O a

luno

dev

eria

sab

er o

que

ser

ia

uma

prop

osiç

ão,

sabe

r a

dife

renç

a do

qu

e é

uma

prop

osiç

ão e

do

que

é um

a se

nten

ça,

o qu

e é

uma

vari

ável

, co

isa

que,

as

veze

s, n

um c

urso

mai

s ad

iant

e a

gent

e já

pré

-sup

õe c

onhe

cido

.

4.

25 O

alu

no d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a de

veri

a sa

ber

o qu

e se

ria

uma

prop

osiç

ão,

sabe

r a

dife

renç

a do

que

é u

ma

prop

osiç

ão e

do

que

é u

ma

sent

ença

, o

que

é um

a va

riáv

el.

O q

ue o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a pr

ecis

a sa

ber.

4.26

Eu

esto

u fa

land

o de

um

a co

isa

um p

ouco

alé

m. E

u go

star

ia q

ue n

essa

pr

opos

ição

, o

alun

o ti

vess

e to

do

o di

scer

nim

ento

do

que

é a

hipó

tese

, do

que

é a

tes

e e

de c

omo

ele

pode

ria

prov

ar e

ssa

tese

. E

u ac

ho i

sso

um

a

Dis

cern

imen

to:

Ato

de

di

scer

nir.

Fa

culd

ade

de

disc

erni

r;

juíz

o,

ente

ndim

ento

, cr

itér

io.

Esc

ola,

di

stin

ção.

A

prec

iaçã

o.

Prud

ênci

a.

Perc

epçã

o sú

bita

de

uma

nova

rel

ação

no

de

curs

o de

um

a ex

peri

ênci

a;

na

4.26

Em

um

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

seri

a in

tere

ssan

te q

ue o

al

uno

conh

eces

se o

que

é a

hip

ótes

e, o

qu

e é

a te

se e

de

com

o el

e po

deri

a pr

ovar

ess

a te

se.

A

ênfa

se

não

esta

ria

no

cont

eúdo

,

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

cosi

a m

aior

da

Álg

ebra

den

tro

de

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a.

Cla

ro q

ue e

u nã

o es

tou

dand

o ên

fase

no

con

teúd

o, e

u es

tou

dand

o ên

fase

no

des

envo

lvim

ento

, eu

dir

ia a

ssim

, a

Álg

ebra

da

s pr

opos

içõe

s,

a M

atem

átic

a de

ntro

do

s co

nteú

dos,

Po

deri

a us

ar a

teo

ria

dos

conj

unto

s,

pode

ria

utili

zar

funç

ões,

pod

eria

usa

r a

indu

ção

mat

emát

ica,

tud

o is

so f

aria

pa

rte

dess

e cu

rso

cham

ado

de c

urso

de

intr

oduç

ão à

Álg

ebra

.

psic

olog

ia d

a fo

rma,

pon

to d

ecis

ivo

de

uma

apre

ndiz

agem

. m

as

sim

no

de

senv

olvi

men

to,

da

Álg

ebra

das

pro

posi

ções

. Pa

ra i

sso,

pod

eria

usa

r a

teor

ia d

os

conj

unto

s,

funç

ões,

in

duçã

o m

atem

átic

a. T

udo

isso

far

ia p

arte

de

um c

urso

cha

mad

o de

int

rodu

ção

à Á

lgeb

ra.

4.27

E

se

mpr

e co

m

a ên

fase

e

o ob

jeti

vo

mai

or

na

com

unic

ação

m

atem

átic

a de

ntro

do

cu

rso

e,

a ên

fase

men

or n

o co

nteú

do.

Com

unic

ação

: A

ção,

efe

ito

ou m

eio

de

com

unic

ar.

Ênf

ase :

V

igor

de

ex

pres

são

que

salie

nta

ou t

orna

mai

s im

pres

sion

ante

um

ass

unto

. Pro

emin

ênci

a es

peci

al d

ada

na

leit

ura

ou

oraç

ão

a um

a ou

mai

s pa

lavr

as o

u sí

laba

s.

4.27

N

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a a

com

unic

ação

m

atem

átic

a é

mai

s im

port

ante

que

o

cont

eúdo

.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

Ent

revi

sta

5

A e

ntre

vist

a 5

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

pro

fess

or d

e Á

lgeb

ra d

e um

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

um c

urso

de

form

ação

de

prof

esso

res

de M

atem

átic

a?

Pro

fess

or:

Bom

, eu

ach

o [.

..],

[não

ten

ho n

enhu

ma

dúvi

da q

ue o

ens

ino

de Á

lgeb

ra n

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

é fu

ndam

enta

l e

impo

rtan

tíssi

mo.

] E

u no

rmal

men

te t

enho

min

istr

ado

turm

as d

e C

álcu

lo e

de

Álg

ebra

Lin

ear

para

alu

nos

dos

curs

os d

e E

ngen

hari

a, d

e

Eco

nom

ia e

de

Adm

inis

traç

ão (

esse

pro

fess

or j

á at

uou

na L

icen

ciat

ura,

atu

alm

ente

não

é p

rofe

ssor

da

Lic

enci

atur

a). [

E é

im

port

ante

que

ele

s

saib

am a

quel

es c

onte

údos

fun

dam

enta

is d

e Á

lgeb

ra d

o E

nsin

o M

édio

, por

exe

mpl

o: s

oluç

ão d

e eq

uaçõ

es a

lgéb

rica

s, s

oluç

ão d

e po

linô

mio

s e,

que

tam

bém

ele

s te

nham

as

noçõ

es, p

elo

men

os a

s bá

sica

s de

sis

tem

a de

equ

açõe

s li

near

es, d

e m

atri

zes,

ess

es c

onte

údos

.]

Esp

ecif

icam

ente

, ent

ão p

or i

sso,

[os

alu

nos

da L

icen

ciat

ura,

na

min

ha o

pini

ão, e

les

teri

am q

ue d

omin

ar e

sses

con

teúd

os p

ara

ensi

nar]

.

[Eu

acho

tam

bém

que

impo

rtan

te p

ara

eles

alg

um c

onhe

cim

ento

daq

uela

s es

trut

uras

alg

ébri

cas

com

o: g

rupo

s, a

néis

, cor

pos

e es

paço

s ve

tori

ais

para

que

ele

s ta

mbé

m p

ossa

m s

e fu

ndam

enta

r m

elho

r na

quilo

que

ele

s en

sina

m ta

mbé

m.]

Ent

revi

sta

05

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pesq

uisa

dor

Pri

mei

ras

Red

uçõe

s

5.1

[...]

não

ten

ho n

enhu

ma

dúvi

da

que

o en

sino

de

Álg

ebra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

é fu

ndam

enta

l e

impo

rtan

tíss

imo.

Dúv

ida :

A

to

ou

efei

to

de

duvi

dar.

In

cert

eza

acer

ca d

a re

alid

ade

de u

m

fato

ou

da v

erda

de d

e um

a as

serç

ão.

Dif

icul

dade

par

a se

dec

idir

; he

sita

ção.

D

ific

ulda

de e

m a

cred

itar

; ce

ptic

ism

o,

desc

renç

a.

Obj

eção

D

iscu

ssão

, qu

estã

o, a

lter

caçã

o. S

uspe

ita.

F

unda

men

tal:

Q

ue

serv

e de

fu

ndam

ento

ou

de a

licer

ce.

Que

ser

ve

de

base

. Im

port

ante

. E

ssen

cial

, ne

cess

ário

. Im

port

ante

: Q

ue t

em i

mpo

rtân

cia.

Q

ue n

ão s

e po

de e

sque

cer

ou d

eixa

r de

at

ende

r.

Dig

no

de

apre

ço,

de

esti

ma,

de

co

nsid

eraç

ão.

Que

te

m

gran

des

créd

itos

, qu

e ex

erce

not

ável

in

fluê

ncia

. Q

ue t

em m

uito

val

or o

u pr

eço

notá

vel.

Útil

, ne

cess

ário

. E

nfat

uado

. O

qu

e há

de

m

ais

inte

ress

ante

, de

m

ais

útil

, de

m

ais

prov

eito

so n

uma

pess

oa o

u co

isa;

o

esse

ncia

l.

5.1

O p

rofe

ssor

con

side

ra o

ens

ino

da

Álg

ebra

pa

ra

a L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

fund

amen

tal

e im

port

antí

ssim

o.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra.

5.2

E é

im

port

ante

que

ele

s sa

ibam

aq

uele

s co

nteú

dos

fund

amen

tais

de

Á

lgeb

ra

do

Ens

ino

Méd

io,

por

exem

plo:

so

luçã

o de

eq

uaçõ

es

algé

bric

as,

solu

ção

de p

olin

ômio

s e,

qu

e ta

mbé

m e

les

tenh

am a

s no

ções

, pe

lo m

enos

as

bási

cas

de s

iste

ma

de

Impo

rtan

te:

Que

te

m

impo

rtân

cia.

Q

ue n

ão s

e po

de e

sque

cer

ou d

eixa

r de

at

ende

r.

Dig

no

de

apre

ço,

de

esti

ma,

de

co

nsid

eraç

ão.

Que

te

m

gran

des

créd

itos

, qu

e ex

erce

not

ável

in

fluê

ncia

. Q

ue t

em m

uito

val

or o

u pr

eço

notá

vel.

Útil

, ne

cess

ário

.

5.2

É im

port

ante

par

a o

futu

ro p

rofe

ssor

co

nhec

er o

s co

nteú

dos

de Á

lgeb

ra d

o E

nsin

o M

édio

, ta

is

com

o:

equa

ções

al

gébr

icas

, so

luçã

o de

po

linô

mio

s,

sist

emas

line

ares

e m

atri

zes.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

equa

ções

lin

eare

s, d

e m

atri

zes,

ess

es

cont

eúdo

s.

Enf

atua

do.

O

que

há

de

mai

s in

tere

ssan

te,

de

mai

s út

il,

de

mai

s pr

ovei

toso

num

a pe

ssoa

ou

cois

a; o

es

senc

ial.

Sabe

r:

Est

ar

info

rmad

o de

, es

tar

a pa

r, t

er c

onhe

cim

ento

de;

con

hece

r:

Com

pree

nder

ou

pe

rceb

er

um

fato

, um

a ve

rdad

e: S

er c

apaz

de

dist

ingu

ir

ou

de

dize

r.

Poss

uir

ampl

os

e en

cicl

opéd

icos

co

nhec

imen

tos.

T

er

conh

ecim

ento

prá

tico

de

algu

ma

cois

a ou

pos

suir

hab

ilida

de n

ela.

5.

3 [.

..] o

s al

unos

da

Lic

enci

atur

a, [

...]

eles

te

riam

qu

e do

min

ar

esse

s co

nteú

dos

para

ens

inar

.

Dom

inar

: E

xerc

er d

omín

io s

obre

; te

r au

tori

dade

ou

pode

r em

ou

sobr

e. T

er

auto

rida

de,

asce

ndên

cia

ou i

nflu

ênci

a to

tal

sobr

e;

prev

alec

er.

Con

ter,

re

frea

r,

repr

imir

, su

bjug

ar,

venc

er.

Con

ter-

se,

venc

er

as

próp

rias

in

clin

açõe

s ou

pa

ixõe

s.

Est

ar

sobr

ance

iro.

Ocu

par

inte

iram

ente

.

5.3

Os

alun

os d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

deve

riam

do

min

ar

os

cont

eúdo

s do

Ens

ino

Méd

io.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

5.4

Eu

acho

tam

bém

que

é i

mpo

rtan

te

para

el

es

algu

m

conh

ecim

ento

da

quel

as e

stru

tura

s al

gébr

icas

com

o:

grup

os,

anéi

s,

corp

os

e es

paço

s ve

tori

ais

para

qu

e el

es

tam

bém

po

ssam

se

fu

ndam

enta

r m

elho

r na

quil

o qu

e el

es e

nsin

am ta

mbé

m.

Fun

dam

enta

r:

Lan

çar

os

fund

amen

tos

ou a

lice

rces

de.

Ass

enta

r em

bas

es s

ólid

as;

esta

bele

cer,

fir

mar

. D

ocum

enta

r, j

ustif

icar

com

pro

vas

ou

razõ

es.

Est

ar

fund

ado;

ap

oiar

-se,

ba

sear

-se.

C

onhe

cim

ento

: A

to

ou

efei

to

de

conh

ecer

. Fa

culd

ade

de

conh

ecer

. Id

éia,

no

ção;

in

form

ação

, no

tícia

. C

onsc

iênc

ia

da

próp

ria

exis

tênc

ia.

Lig

ação

ent

re p

esso

as q

ue tê

m e

ntre

si

algu

mas

rel

açõe

s, m

enos

est

reita

s qu

e as

de

amiz

ade.

Pes

soa

com

que

m s

e te

m r

elaç

ões.

5.4

É im

port

ante

par

a o

futu

ro p

rofe

ssor

co

nhec

er

as

estr

utur

as

algé

bric

as:

grup

os,

anéi

s,

corp

os

e es

paço

s ve

tori

ais.

Iss

o fu

ndam

enta

rá o

con

teúd

o qu

e tr

abal

harã

o co

m s

eus

alun

os q

uand

o pr

ofes

sore

s.

Impo

rtân

cia

do

estu

do

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

Ent

revi

sta

6

A e

ntre

vist

a 6

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

pro

fess

or d

e Á

lgeb

ra d

e um

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

a fo

rmaç

ão d

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a?

Pro

fess

or:

Bom

, po

r ex

empl

o, c

omo

eu f

alo,

a [

Álg

ebra

é n

a ve

rdad

e, c

omo

área

da

Mat

emát

ica,

ser

ia c

omo

a G

eom

etri

a, q

ue t

em a

ver

com

as

idéi

as g

eom

étri

cas,

as

figu

ras

geom

étri

cas,

a p

arte

sin

tétic

a da

mat

emát

ica.

]

[ A

Álg

ebra

já é

a p

arte

mai

s pr

óxim

a da

axi

omát

ica

mat

emát

ica.

Ond

e, o

que

se

anal

isa

são

as e

stru

tura

s, a

s es

trut

uras

alg

ébri

cas.

]

Ent

ão, n

esse

sen

tido

, [el

a te

m im

port

ânci

a em

vár

ios

pont

os. P

or e

xem

plo,

um

del

es é

just

amen

te p

ara

o fu

turo

pro

fess

or, e

le c

omeç

a a

trab

alha

r a

axio

mát

ica

(da

Mat

emát

ica)

e,

com

eça

a en

tend

er a

trav

és d

o ra

cioc

ínio

cie

ntíf

ico

e m

atem

átic

o.]

Ele

(o

prof

esso

r) c

omeç

a a

[ent

ende

r as

dif

eren

tes

estr

utur

as d

a M

atem

átic

a, p

orqu

e é

mui

to d

a es

trut

ura,

do

estu

do d

a es

trut

ura.

]

Em

bora

, de

pois

ele

, po

r ex

empl

o, p

ossa

não

util

izar

no

seu

coti

dian

o o

[...]

. B

om,

[no

seu

cotid

iano

, po

rque

se

asse

gura

, el

e va

i se

r

prof

esso

r de

mat

emát

ica.

Tal

vez,

par

a os

alu

nos

que

ele

vai

ter,

ele

nun

ca u

tiliz

e Á

lgeb

ra, e

spec

ific

amen

te n

a su

a vi

da.]

[M

as a

Álg

ebra

vai

ajud

ar e

le a

rac

ioci

nar,

a e

stab

elec

er a

s co

nexõ

es ló

gica

s, is

so s

em d

úvid

a.]

[A á

lgeb

ra é

um

a da

s fu

ndam

enta

is d

as m

atem

átic

as p

ara

anal

isar

as

estr

utur

as.]

Ent

ão, n

esse

sen

tido,

par

a o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica

é es

senc

ial a

Álg

ebra

.

[Mas

a s

ua p

ergu

nta

é m

uito

am

pla ,

é tã

o am

pla

porq

ue e

ssas

per

gunt

as q

ue d

izem

par

a qu

e se

rve

uma

cois

a sã

o pe

rgun

tas

tão

ampl

as

que,

dig

amos

, tem

a v

er c

om o

utra

s pe

rgun

tas.

Por

exe

mpl

o: p

ara

que

serv

e e

em q

ue s

enti

do?

Para

que

ser

ve n

a fu

nção

de

prof

esso

r ou

par

a

que

serv

em n

a su

a vi

da p

esso

al?

Ou

para

a p

rofi

ssão

del

e?]

Bom

, [pa

ra c

omeç

ar a

ssim

de

man

eira

pra

gmát

ica,

ele

vai

ter

que

ensi

nar

isso

no

colé

gio.

] Po

rque

ele

vai

ens

inar

isso

no

colé

gio.

[E

le

vai

se e

ncon

trar

com

alu

nos,

que

mui

tos

dele

s vã

o se

r fu

turo

s ci

enti

stas

, tal

vez

uns

usem

men

os q

ue o

s ou

tros

, mui

tos

dele

s vã

o se

r ci

entis

ta,

mui

tos

mai

s ai

nda

vão

ser

futu

ros

enge

nhei

ros,

por

que

a gr

ande

mai

oria

das

pes

soas

com

áre

a ci

entif

ica

na u

nive

rsid

ade

são

as e

ngen

hari

as, e

têm

vár

ias.

Dep

ois

outr

o pe

rcen

tual

, vão

ser

fut

uros

pro

fess

ores

de

Ciê

ncia

, em

Mat

emát

ica

em p

rim

eiro

pla

no q

ue é

o m

ais

impo

rtan

te p

ara

a

aplic

ação

da

Álg

ebra

, Fís

ica,

que

tam

bém

tem

mui

ta Á

lgeb

ra,]

hoj

e em

dia

, [co

m a

Fís

ica

Mod

erna

, a Q

uím

ica,

que

bas

icam

ente

na

Quí

mic

a

Inor

gâni

ca,

que

anal

isa

algu

mas

est

rutu

ras

algé

bric

as s

impl

es:

regr

a de

trê

s e

outr

as c

oisa

s m

uito

sim

ples

. E

ntão

no

seu

trab

alho

ele

vai

ter

alun

os o

s qu

ais

ele

vai

ter

que

ensi

nar

mat

emát

ica]

. [M

as n

ão é

só

ensi

nar

Mat

emát

ica

porq

ue e

stá

nos

cont

eúdo

s, p

orqu

e el

e é

obri

gado

a

ensi

nar.

Mas

, po

rque

par

a es

ses

alun

os v

ai s

er m

uito

im

port

ante

a M

atem

átic

a. S

e el

es v

ão s

er c

ient

ista

s ou

vão

seg

uir

carr

eira

cie

ntíf

ica

ou

arqu

itetu

ra. E

ntão

nes

se s

enti

do é

impo

rtan

te.]

Pes

quis

ador

a: Q

uais

são

os

cont

eúdo

s de

Álg

ebra

rel

evan

tes

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica?

Pro

fess

or:

Bom

, [eu

trab

alho

já f

azem

oit

o ou

nov

e an

os, p

elo

men

os u

ma

vez

por

sem

estr

e, e

u do

u um

a di

scip

lina

par

a a

Lic

enci

atur

a

(em

Mat

emát

ica)

. E Á

lgeb

ra é

um

a di

scip

lina

que

eu

já d

ei b

asta

nte.

Não

sei

, na

min

ha a

nális

e so

bre

as [

nece

ssid

ades

de

futu

ros

prof

esso

res

de M

atem

átic

a, a

Álg

ebra

, ac

ho q

ue à

par

te d

e eq

uaçõ

es

algé

bric

as, s

eja

das

linea

res,

as

mai

s si

mpl

es, a

té a

s ou

tras

, ach

o qu

e é

esse

ncia

lmen

te a

bas

e da

Álg

ebra

.]

[A Á

lgeb

ra n

asce

u de

equ

açõe

s. E

ntão

, é a

í qu

e eu

ach

o qu

e es

tá u

m p

ouco

a e

ssên

cia

da Á

lgeb

ra. E

, nes

se s

enti

do, e

la é

fun

dam

enta

l

para

o p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica]

. [M

as n

ão s

ó a

reso

luçã

o de

equ

açõe

s qu

e, p

arte

m d

o cá

lcul

o es

crito

. Se

não

, a

man

ipul

ação

com

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s qu

e co

rres

pond

em,

de m

anei

ra e

lem

enta

r, a

man

ipul

açõe

s de

situ

açõe

s de

pol

inôm

ios

ou e

stud

o de

pol

inôm

ios

é

fund

amen

tal

para

o p

rofe

ssor

.] P

arec

e, q

ue é

um

a da

s co

isas

mai

s im

port

ante

s. E

dep

ois,

mai

s um

pou

quin

ho, [

pelo

men

os d

e m

anei

ra l

ight

,

mas

é, t

er u

ma

prim

eira

apr

oxim

ação

no

estu

do d

as e

stru

tura

s al

gébr

icas

, que

são

obj

etos

abs

trat

os.]

[Po

rém

, nã

o m

uito

. Po

rque

, pa

ra o

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a, p

ara

ele

é um

esf

orço

mui

to g

rand

e.][

Em

ger

al,

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica,

ele

não

que

r se

r um

cie

ntis

ta.]

Ele

tem

out

ras

nece

ssid

ades

e o

utro

s, e

le p

rocu

ra o

utro

s ob

jeti

vos.

[ M

as u

m p

ouqu

inho

ele

pre

cisa

diss

o, p

orqu

e el

e va

i se

dep

arar

na

carr

eira

del

e co

m a

luno

s qu

e nã

o sã

o to

dos

igua

is e

, que

têm

hab

ilid

ades

esp

ecia

is a

lgun

s pa

ra a

s C

iênc

ias

e ou

tros

par

a as

Eng

enha

rias

, mas

mui

tos

mai

s pa

ra a

Ciê

ncia

.]

E, q

uand

o el

e se

enc

ontr

ar c

om u

m a

luno

des

ses,

se

ele

não

soub

er e

ssas

coi

sas,

ele

não

vai

enc

amin

har

bem

ess

e al

uno .

Por

que,

ess

e

alun

o [.

..],

[eu

esto

u em

par

ticul

ar f

azen

do u

m t

raba

lho

com

out

ros

prof

esso

res

para

alu

nos

com

hab

ilida

des

espe

ciai

s em

col

égio

s. E

,

enco

ntra

mos

alg

uns

que

tem

um

a ca

paci

dade

impr

essi

onan

te d

e m

anip

ulaç

ão a

lgéb

rica

. Mes

mo

não

sabe

ndo

nada

dis

so, p

orqu

e el

es tê

m e

ntre

7 e

12 a

nos.

] M

as, c

om e

sses

alu

nos,

[um

pro

fess

or q

ue n

ão t

em o

mín

imo

de m

anip

ulaç

ão a

bstr

ata

pode

se

perd

er e

, vai

pre

judi

car

o al

uno,

sem

dúv

ida]

[Por

iss

o, n

ós a

qui

na U

nive

rsid

ade,

tem

os b

asta

nte

clar

o qu

ais

são

as d

ifer

ença

s en

tre

a Á

lgeb

ra d

a L

icen

ciat

ura

e a

do B

acha

rela

do,

por

exem

plo]

.

Pes

quis

ador

a: Q

uais

ser

iam

ess

as d

ifer

ença

s?

Pro

fess

or:

Bom

, par

a fa

lar

sobr

e es

sas

dife

renç

as [

...],

vej

a qu

e os

obj

etiv

os s

ão b

em d

ifer

ente

. [O

bac

hare

l, di

gam

os, v

ai s

er u

m f

utur

o

cien

tist

a, o

u pr

ofes

sor

de U

nive

rsid

ade]

, mas

pri

ncip

alm

ente

um

fut

uro

cien

tist

a. E

le e

stá

pens

ado,

o b

acha

rela

do, p

ara

um f

utur

o ci

enti

sta.

(7.1

9) E

, o l

icen

ciad

o nã

o, s

eu c

urso

est

á pe

nsad

o pa

ra u

m f

utur

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a qu

e va

i tr

abal

har

com

alu

nos

até

o E

nsin

o

Méd

io e

, ond

e o

níve

l de

abst

raçã

o é

mui

to m

enor

.] O

alu

no te

m u

m n

ível

de

abst

raçã

o m

uito

men

or. A

té p

orqu

e [a

abs

traç

ão c

omeç

a lá

pel

os

8, 9

,10

anos

.]

Ent

ão, a

s di

fere

nças

que

eu

vejo

cla

ras

é qu

e [p

ara

o pr

ofes

sor

de m

atem

átic

a, o

u o

futu

ro p

rofe

ssor

, a

Álg

ebra

dev

e se

r ab

orda

da d

e

man

eira

mai

s el

emen

tar.

] N

ão s

e pr

ocur

a ap

rofu

ndar

mui

to, p

orqu

e os

con

teúd

os v

ão s

er m

enor

es, o

que

se

prec

isa,

no

mín

imo,

pel

o m

enos

é

a m

inha

vis

ão e

, eu

acho

que

é a

opi

nião

de

mui

tos

de m

eus

cole

gas,

da

man

eira

com

o es

trut

uram

os (

o qu

e de

álg

ebra

) [a

lic

enci

atur

a, e

la s

e

trab

alha

mai

s es

senc

ialm

ente

com

equ

açõe

s, d

e um

a m

anei

ra m

ais

elem

enta

r, a

fun

do a

s es

trut

uras

alg

ébri

cas,

e a

bstr

air

a fu

ndo

e, d

epoi

s se

dá u

ma

pinc

elad

a, a

ssim

de

um p

ouqu

inho

de

abst

raçã

o pa

ra q

ue e

sse

prof

esso

r sa

ia c

apac

itado

jus

to p

ara

enco

ntra

r al

unos

que

ten

ham

habi

lida

des

espe

ciai

s na

mat

emát

ica,

de

uma

form

a ge

ral.]

Ent

ão, a

dif

eren

ça p

ara

mim

é e

ssa:

[um

bac

hare

l é, n

o in

ício

ele

vai

com

eçar

com

disc

iplin

as b

asic

amen

te e

lem

enta

res

que

são

as m

esm

as (

que

o lic

enci

ado)

,] q

ue é

o c

álcu

lo,

a ál

gebr

a li

near

bás

ica

que

é a

mes

ma

para

o

lice

ncia

do e

par

a el

es d

epoi

s, j

á no

seg

undo

ano

, el

e co

meç

a a

faze

r di

scip

lina

s à

part

e. [

Com

nív

el d

e ab

stra

ção

prog

ress

ivo,

mas

que

vão

mui

to f

undo

, que

vão

até

o q

uart

o an

o.]

Enq

uant

o [o

lic

enci

ado

não,

ele

man

tém

o m

esm

o ní

vel

de a

bstr

ação

]. [

Para

ele

é m

uito

dif

ícil

porq

ue v

em d

e um

col

égio

que

é

péss

imo.

] R

ealm

ente

ele

apr

ende

mui

to p

ouco

e e

le s

ofre

mui

to, m

as, e

le e

stá

tend

o, e

le e

stá

estu

dand

o co

isas

ess

enci

alm

ente

bás

icas

. Ass

im,

ele

está

apr

ofun

dand

o, m

as a

nív

el b

ásic

o.

[Ent

ão,

a di

fere

nça

que

eu v

ejo

é se

mpr

e no

nív

el d

a ab

stra

ção,

um

nív

el m

enor

de

abst

raçã

o do

bac

hare

l pa

ra o

lic

enci

ado

e, m

ais

inte

grad

o co

m a

edu

caçã

o.]

Ent

ão, a

gen

te, s

upos

tam

ente

qua

ndo

ele

apre

nde

Álg

ebra

, dev

eria

faz

er u

m v

íncu

lo d

isso

, na

min

ha o

pini

ão, c

om o

que

ele

vai

ver

no

seu

trab

alho

. Se

ja c

om a

luno

s de

col

égio

[...

]. E

ntão

, eu

em

par

ticul

arm

ente

, fa

ço m

uito

iss

o: c

omo

você

s ex

plic

aria

m i

sso,

vam

os v

er c

omo

seri

a pa

ra e

xplic

ar p

ara

alun

os.

[Nós

aqu

i ap

rend

emos

mel

hor,

mai

s di

fíci

l e

mai

s pr

ofun

do.

Mas

, pa

ra o

alu

no,

com

o el

e va

i co

nseg

uir

ente

nder

? E

a g

ente

tra

balh

a um

pou

co i

sso.

] [D

epoi

s el

es t

êm o

labo

rató

rio

(dis

cipl

ina)

que

é p

ara

isso

, que

é p

ara

a ge

nte

ver

com

o ex

plic

a

isso

que

apr

ende

u pa

ra o

s al

unos

. E

ntão

ess

a é

uma

dife

renç

a bá

sica

, pa

ra o

bac

hare

l is

so n

ão e

xist

e.]

[Ele

apr

ende

mat

emát

ica,

lê

livro

s e

tent

a en

tend

er, m

as, é

isso

.]

Ent

revi

sta

06

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pes

quis

ador

P

rim

eira

s R

eduç

ões

6.1

Álg

ebra

é

[...]

co

mo

área

da

M

atem

átic

a [.

..]

part

e si

ntét

ica

da

Mat

emát

ica.

Áre

a: S

uper

fíci

e pl

ana

limit

ada.

Ext

ensã

o in

defi

nida

. C

ampo

em

que

se

prat

ica

cert

a at

ivid

ade.

M

edid

a de

um

a su

perf

ície

li

mita

da (

com

o a

de u

ma

figu

ra g

eom

étri

ca

plan

a) o

u ili

mit

ada,

mas

fin

ita

(com

o a

da

esfe

ra),

ex

pres

sa

em

uma

unid

ade

conv

enci

onad

a. E

spaç

o de

scob

erto

na

part

e in

tern

a de

um

ed

ifíc

io.

Esp

aço

entr

e ed

ifíc

ios.

R

egiã

o,

terr

itóri

o.

Ext

ensã

o pe

rcor

rida

, em

de

term

inad

o te

mpo

, pe

lo

raio

vet

or d

e um

ast

ro.

Cír

culo

lum

inos

o em

re

dor

dos

astr

os;

auré

ola.

Pa

rte

da

mem

ória

ou

códi

go q

ue é

res

erva

do p

ara

um c

erto

pro

pósi

to

Sint

étic

o :

Rel

ativ

o à

sínt

ese.

Fe

ito

em

sínt

ese;

co

mpe

ndia

do,

resu

mid

o.

O

que

oper

a da

s pa

rtes

par

a o

todo

. O

pro

duto

qu

ímic

o ob

tido

em

labo

rató

rio,

ou

em

in

stal

açõe

s in

dust

riai

s.

Sínt

ese :

tod

a op

eraç

ão m

enta

l pe

la q

ual

se

cons

trói

um

si

stem

a.

Gen

eral

izaç

ão,

agru

pam

ento

de

fato

s pa

rtic

ular

es e

m u

m

todo

que

os

abra

nge

e os

res

ume.

Res

umo.

O

bjet

o qu

e se

con

side

ra c

omo

o re

sult

ado

típi

co

de

uma

séri

e de

. ob

jeto

s.

Qua

dro

expo

siti

vo

do

conj

unto

de

um

a ci

ênci

a.

Art

e,

ação

ou

pr

oces

so

de

com

por

os

rem

édio

s.

Figu

ra

que

cons

iste

em

re

unir

nu

ma

só

duas

pa

lavr

as

prim

itiva

men

te

sepa

rada

s.

Ope

raçã

o qu

e co

nsis

te

em

6.1

A Á

lgeb

ra e

stá

pres

ente

em

toda

a

Mat

emát

ica.

A

pr

esen

ça

da

Álg

ebra

na

M

atem

átic

a.

form

ar a

res

enha

da

peça

lite

rári

a qu

e se

te

m e

m m

ente

. M

étod

o de

dem

onst

raçã

o qu

e pa

rte

do s

impl

es p

ara

o co

mpo

sto,

das

ca

usas

par

a os

efe

itos,

das

par

tes

para

o

todo

, e,

em

m

atér

ia

de

raci

ocín

io,

do

prin

cípi

o pa

ra

as

cons

eqüê

ncia

s.

Dem

onst

raçã

o da

s pr

opos

içõe

s pe

la ú

nica

de

duçã

o da

quel

as q

ue j

á es

tão

prov

adas

até

ch

egar

àq

uela

qu

e se

qu

er

esta

bele

cer.

R

euni

ão d

as p

arte

s di

vidi

das

ou s

epar

adas

; op

eraç

ão o

u em

preg

o de

mei

os te

rapê

utic

os

com

o f

im d

e re

unir

as

part

es d

ivid

idas

ou

de r

esti

tuir

ao

esta

do p

rim

itivo

aqu

elas

que

ha

viam

sid

o de

sloc

adas

. R

ecom

posi

ção

de

um c

orpo

com

os

elem

ento

s qu

e ha

viam

si

do s

epar

ados

pel

a an

ális

e. O

pera

ção

pela

qu

al

se

reún

em

os

corp

os

sim

ples

pa

ra

form

ar o

s co

mpo

stos

, ou

os c

ompo

stos

par

a fo

rmar

out

ros

de c

ompo

siçã

o ai

nda

mai

s co

mpl

exa

6.2

A

Álg

ebra

já

é

a pa

rte

mai

s pr

óxim

a da

axi

omát

ica

mat

emát

ica.

O

nde,

o

que

se

anal

isa

são

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

Ana

lisar

: D

eter

min

ar o

s co

mpo

nent

es o

u el

emen

tos

fund

amen

tais

de

algu

ma

cois

a.

Dec

ompo

r em

se

us

com

pone

ntes

ou

el

emen

tos

cons

titu

inte

s.

Det

erm

inar

po

r di

scer

nim

ento

m

enta

l a

natu

reza

, si

gnif

icad

o e

rela

ção

das

vári

as

part

es,

elem

ento

s, a

spec

tos

ou q

uali

dade

s da

quil

o qu

e es

tá

send

o ex

amin

ado.

Po

nder

ar

ou

estu

dar

vári

os

aspe

ctos

, fa

tore

s ou

el

emen

tos

a fi

m

de

cheg

ar

a um

a co

nclu

são,

res

ulta

do o

u so

luçã

o. E

xam

inar

po

r an

ális

e.

Exa

min

ar

min

ucio

sam

ente

: In

vest

igar

o

cará

ter,

os

co

stum

es,

os

sent

imen

tos.

Cri

tica

r. I

nves

tiga

r um

ass

unto

6.2

A

Álg

ebra

é

a pa

rte

axio

mat

izad

a da

Mat

emát

ica.

Nel

a an

alis

am-s

e as

est

rutu

ras

algé

bric

as.

A

Álg

ebra

co

mo

gene

rali

zaçã

o/ax

iom

atiz

ação

.

por

mei

o de

Álg

ebra

ou

de C

álcu

los.

E

stru

tura

s A

lgéb

rica

: co

mpr

eend

emos

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s co

mo

o co

njun

to e

m

que

estã

o de

fini

das

as

oper

açõe

s qu

e sa

tisf

azem

det

erm

inad

as p

ropr

ieda

des.

6.

3 [.

..]

ela

tem

im

port

ânci

a em

vá

rios

po

ntos

. [.

..]

um

dele

s é

just

amen

te p

ara

o fu

turo

pro

fess

or,

ele

com

eça

a tr

abal

har

a ax

iom

átic

a (d

a M

atem

átic

a)

e,

com

eça

a en

tend

er

atra

vés

do

raci

ocín

io

cien

tífi

co e

mat

emát

ico

Ent

ende

r: T

er i

déia

cla

ra d

e; c

ompr

eend

er,

perc

eber

. Se

r há

bil,

peri

to o

u pr

átic

o em

. C

rer,

pen

sar.

Int

erpr

etar

. O

uvir

, pe

rceb

er.

Proc

eder

de

ac

ordo

; co

mbi

nar-

se,

conc

erta

r-se

. E

star

em

boa

int

elig

ênci

a ou

em

boa

paz

. C

hega

r a

acor

do.

Ter

prá

tica

ou

te

oria

. T

omar

co

nhec

imen

to

com

o au

tori

dade

com

pete

nte.

Diz

er r

espe

ito a

.

6.3

A

Álg

ebra

é

impo

rtan

te

em

vári

os a

spec

tos.

Um

del

es é

par

a a

prát

ica

do

futu

ro

prof

esso

r.

Na

Álg

ebra

el

e tr

abal

ha

com

a

axio

mát

ica

da M

atem

átic

a e

com

eça

a co

mpr

eend

er

por

mei

o do

ra

cioc

ínio

cie

ntíf

ico

e m

atem

átic

o.

A

Álg

ebra

é

um

mei

o pa

ra

form

ar

prof

esso

res

de

Mat

emát

ica.

6.4

Ele

co

meç

a a

ente

nder

as

di

fere

ntes

est

rutu

ras

da M

atem

átic

a,

porq

ue

é m

uito

da

es

trut

ura,

do

es

tudo

da

estr

utur

a.

Ent

ende

r: T

er i

déia

cla

ra d

e; c

ompr

eend

er,

perc

eber

. Se

r há

bil,

peri

to o

u pr

átic

o em

. C

rer,

pen

sar.

Int

erpr

etar

. O

uvir

, pe

rceb

er.

Proc

eder

de

ac

ordo

; co

mbi

nar-

se,

conc

erta

r-se

. E

star

em

boa

int

elig

ênci

a ou

em

boa

paz

. C

hega

r a

acor

do.

Ter

prá

tica

ou

te

oria

. T

omar

co

nhec

imen

to

com

o au

tori

dade

com

pete

nte.

Diz

er r

espe

ito a

. E

stud

ar:

Apl

icar

a i

ntel

igên

cia

ao e

stud

o de

. A

nali

sar,

ex

amin

ar

deti

dam

ente

(a

ssun

to,

obra

lit

erár

ia,

trab

alho

ar

tíst

ico

etc.

). A

pren

der

de c

or,

fixa

r na

mem

ória

: A

plic

ar o

esp

írito

, a in

telig

ênci

a, a

mem

ória

pa

ra a

dqui

rir

conh

ecim

ento

s: C

ursa

r au

las,

se

r es

tuda

nte:

O

bser

var-

se,

anal

isar

-se,

pr

ocur

ar c

onhe

cer-

se.

Obs

erva

r os

ato

s de

, so

ndar

as

in

tenç

ões

e o

cará

ter

de.

Ade

stra

r-se

, ex

erci

tar-

se

em.

Afe

tar,

ap

aren

tar,

sim

ular

.

6.4

O a

luno

com

eça

a en

tend

er a

s di

fere

ntes

est

rutu

ras

da M

atem

átic

a.

Porq

ue

a Á

lgeb

ra

é o

estu

do

da

estr

utur

a.

Impo

rtân

cia

do

estu

do

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

6.5

[...]

no

seu

coti

dian

o, p

orqu

e [.

..]

ele

vai

ser

prof

esso

r de

mat

emát

ica.

6.5

O p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica,

em

se

u co

tidi

ano,

con

form

e os

alu

nos

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r de

Tal

vez,

par

a os

alu

nos

que

ele

vai

ter,

el

e nu

nca

util

ize

Álg

ebra

, es

peci

fica

men

te n

a su

a vi

da.

que

terá

, ta

lvez

nu

nca

utili

ze

Álg

ebra

. M

atem

átic

a.

6.6

Mas

a Á

lgeb

ra v

ai a

juda

r el

e a

raci

ocin

ar,

a es

tabe

lece

r as

co

nexõ

es ló

gica

s, is

so s

em d

úvid

a.

Aju

dar :

Dar

aju

da o

u au

xílio

a,

favo

rece

r,

refo

rçar

, so

corr

er.

Faci

lita

r,

prom

over

. A

prov

eita

r-se

, so

corr

er-s

e,

vale

r-se

. A

uxil

iar-

se.

Dei

tar

ajud

a no

s en

genh

os d

e aç

úcar

. R

acio

cina

r : F

azer

rac

iocí

nios

; fa

zer

uso

da

razã

o.

Apr

esen

tar

ou

dedu

zir

razõ

es;

disc

orre

r so

bre

algu

ma

cois

a;

pond

erar

; pe

nsar

. Faz

er c

álcu

los.

E

stab

elec

er:

Dar

es

tabi

lida

de

a,

torn

ar

está

vel

ou f

irm

e. D

ar e

xist

ênci

a a;

fun

dar,

in

stitu

ir.

Ass

enta

r, d

eter

min

ar,

pres

crev

er,

esti

pula

r,

fixa

r.

Con

stitu

ir,

orga

niza

r.

Org

aniz

ar-s

e. D

ar m

odo

de v

ida

a, p

ôr u

m

esta

bele

cim

ento

. A

brir

es

tabe

leci

men

to

com

erci

al

ou

indu

stri

al,

mon

tar

casa

, or

gani

zar

um

mod

o de

vi

da.

Con

cede

r,

inst

ituir

. Im

por.

In

icia

r,

enta

bula

r.

Form

ular

, ela

bora

r, c

ompr

ovar

, det

erm

inar

. C

onex

ões :

L

igaç

ão

de

uma

cois

a co

m

outr

a. S

eção

de

tubo

ou

cano

, de

vár

ias

form

as,

para

li

gar

as

extr

emid

ades

ad

jace

ntes

de

dois

tub

os o

u ca

nos.

Lig

ação

en

tre

duas

peç

as,

mec

anis

mos

, di

spos

itivo

s et

c.

Lig

ação

de

do

is

cond

utor

es

de

um

circ

uito

ou

de u

m a

pare

lho

elét

rico

a u

m

circ

uito

. D

epen

dênc

ia,

rela

ção,

ne

xo.

Ana

logi

a en

tre

cois

as d

iver

sas.

Coe

rênc

ia.

Dúv

ida :

Ato

ou

efei

to d

e du

vida

r. I

ncer

teza

ac

erca

da

re

alid

ade

de

um

fato

ou

da

ve

rdad

e de

um

a as

serç

ão.

Dif

icul

dade

par

a

6.6

A Á

lgeb

ra a

uxil

ia o

rac

iocí

nio,

es

tabe

lece

con

exõe

s ló

gica

s.

Para

que

ser

ve a

Álg

ebra

.

se

deci

dir;

he

sita

ção.

D

ific

ulda

de

em

acre

dita

r; c

epti

cism

o, d

escr

ença

. O

bjeç

ão.

Dis

cuss

ão, q

uest

ão, a

lter

caçã

o. S

uspe

ita

6.7

A

álge

bra

é um

a da

s fu

ndam

enta

is d

as m

atem

átic

as p

ara

anal

isar

as

estr

utur

as

Fun

dam

enta

l : Q

ue s

erve

de

fund

amen

to

ou

de

alic

erce

. Q

ue

serv

e de

ba

se.

Impo

rtan

te. E

ssen

cial

, nec

essá

rio.

6.7

A Á

lgeb

ra f

orne

ce a

bas

e pa

ra

anal

isar

as

estr

utur

as m

atem

átic

as.

Para

que

ser

ve a

Álg

ebra

.

6.8

Mas

a

sua

perg

unta

é

mui

to

ampl

a [.

..].

Por

exem

plo:

par

a qu

e se

rve

e em

que

sen

tido?

Par

a qu

e se

rve

na f

unçã

o de

pro

fess

or o

u pa

ra

que

serv

em n

a su

a vi

da p

esso

al?

Ou

para

a p

rofi

ssão

del

e?

Am

pla :

Que

ocu

pa v

asto

esp

aço.

Lar

go.

Gra

nde.

A

bund

ante

, co

pios

o,

rico

. Q

ue

abra

nge

gran

de n

úmer

o de

pes

soas

ou

de

cois

as. D

esen

volv

ido,

ext

enso

.

6.8

A p

ergu

nta

disp

arad

ora

abra

nge

outr

as p

ergu

ntas

. Po

r ex

empl

o: p

ara

que

serv

e e

em q

ue s

entid

o? P

ara

que

serv

e na

fun

ção

de p

rofe

ssor

ou

para

qu

e se

rvem

na

su

a vi

da

pess

oal?

Ou

para

a p

rofi

ssão

del

e?

Com

o o

prof

esso

r ab

re

a pe

rgun

ta f

eita

.

6.9

[...]

pa

ra

com

eçar

as

sim

de

m

anei

ra p

ragm

átic

a, e

le v

ai t

er q

ue

ensi

nar

isso

no

colé

gio.

Pra

gmát

ica:

C

onju

nto

de

regr

as

ou

fórm

ulas

qu

e re

gula

m

as

ceri

môn

ias

ofic

iais

ou

reli

gios

as.

Form

alid

ade

da b

oa

soci

edad

e;

etiq

ueta

. Pr

ecei

to

ou

dete

rmin

ação

do

pode

r pú

blic

o ac

erca

de

cert

os

assu

ntos

qu

e ne

cess

itav

am

regu

lam

enta

ção.

R

amo

da

sem

iótic

a qu

e tr

ata

da

rela

ção

entr

e os

si

nais

ou

ex

pres

sões

li

ngüí

stic

as

e aq

uele

s qu

e os

us

am.

6.9

O

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

prec

isa

conh

ecer

Á

lgeb

ra

porq

ue

ele

vai

ensi

nar

isso

, qu

ando

for

pro

fess

or

da E

duca

ção

Bás

ica.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

6.10

Ele

vai

se

enco

ntra

r co

m a

luno

s,

que

mui

tos

dele

s vã

o se

r fu

turo

s ci

enti

stas

, ta

lvez

un

s us

em

men

os

que

os o

utro

s, m

uito

s de

les

vão

ser

cien

tist

a, m

uito

s m

ais

aind

a vã

o se

r fu

turo

s en

genh

eiro

s,

[...]

. D

epoi

s ou

tro

perc

entu

al,

vão

ser

futu

ros

prof

esso

res

de

Ciê

ncia

, em

M

atem

átic

a [.

..]

que

é o

mai

s im

port

ante

pa

ra

a ap

lica

ção

da

Álg

ebra

, Fí

sica

, qu

e ta

mbé

m

tem

m

uita

Álg

ebra

.

6.

10 A

Álg

ebra

é u

m c

onhe

cim

ento

út

il pa

ra

os

alun

os

da

Edu

caçã

o B

ásic

a qu

e fu

tura

men

te

serã

o ci

enti

stas

, eng

enhe

iros

e p

rofe

ssor

es

de

Ciê

ncia

s (M

atem

átic

a,

Físi

ca,

Quí

mic

a, e

tc).

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

os

alun

os d

a E

duca

ção

Bás

ica.

6.11

[...

] co

m a

Fís

ica

Mod

erna

, a

Quí

mic

a,

que

basi

cam

ente

na

Q

uím

ica

Inor

gâni

ca,

que

anal

isa

algu

mas

es

trut

uras

al

gébr

icas

si

mpl

es:

regr

a de

trê

s e

outr

as c

oisa

s m

uito

sim

ples

. Ent

ão n

o se

u tr

abal

ho

ele

vai

ter

alun

os o

s qu

ais

ele

vai

ter

que

ensi

nar

Mat

emát

ica.

6.

11

A

Álg

ebra

é

utili

zada

em

vá

rias

Ciê

ncia

s. D

entr

e el

as e

stão

a

Físi

ca e

a Q

uím

ica.

É p

or is

so q

ue o

pr

ofes

sor

prec

isa

ensi

nar

Mat

emát

ica.

Apl

icab

ilida

de d

a Á

lgeb

ra.

6.12

M

as

não

é só

en

sina

r M

atem

átic

a po

rque

es

tá

nos

cont

eúdo

s, p

orqu

e el

e é

obri

gado

a

ensi

nar.

M

as,

porq

ue

para

es

ses

alun

os

vai

ser

mui

to

impo

rtan

te

a M

atem

átic

a.

Se

eles

vã

o se

r ci

enti

stas

ou

vã

o se

guir

ca

rrei

ra

cien

tífi

ca o

u ar

quit

etur

a. E

ntão

nes

se

sent

ido

é im

port

ante

.

. 6.

12 N

ão é

só

ensi

nar

Mat

emát

ica

porq

ue e

stá

nos

cont

eúdo

s, p

orqu

e el

e é

obri

gado

a

ensi

nar.

M

as,

porq

ue

para

es

ses

alun

os

a M

atem

átic

a é

impo

rtan

te.

Prin

cipa

lmen

te

se

eles

vã

o se

r ci

enti

stas

ou

vã

o se

guir

ca

rrei

ra

cien

tífi

ca

ou

arqu

itet

ura.

E

ntão

ne

sse

sent

ido

é im

port

ante

.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

os

alun

os d

a E

duca

ção

Bás

ica.

6.13

[...

] eu

tra

balh

o já

há

oito

ou

nove

ano

s, p

elo

men

os u

ma

vez

por

sem

estr

e, e

u do

u um

a di

scip

lina

par

a a

Lic

enci

atur

a (e

m M

atem

átic

a).

6.

13

Faz

8 ou

9

anos

qu

e es

se

depo

ente

dá

aula

par

a a

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

E Á

lgeb

ra é

um

a di

scip

lina

qu

e el

e já

tr

abal

hou

mui

tas

veze

s.

Exp

eriê

ncia

do

pr

ofes

sor

em

trab

alha

r a

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

6.14

[...

] so

bre

as n

eces

sida

des

de

futu

ros

prof

esso

res

de M

atem

átic

a, a

Á

lgeb

ra, [

...]

equa

ções

alg

ébri

cas

[...]

é

esse

ncia

lmen

te a

bas

e da

Álg

ebra

.

Bas

e: A

quil

o qu

e su

port

a o

peso

de

um

obje

to o

u lh

e se

rve

de f

unda

men

to.

Part

e in

feri

or

de

um

obje

to.

Fund

amen

to

prin

cipa

l. Pe

dest

al d

e um

a co

luna

ou

de

outr

o or

nato

. L

ado

sobr

e o

qual

po

de

asse

ntar

-se

uma

figu

ra.

Face

sob

re a

qua

l as

sent

a um

sól

ido.

Cír

culo

que

ter

min

a um

ci

lind

ro.

Núm

ero

que

expr

ime

a re

laçã

o en

tre

as d

ifer

ente

s un

idad

es s

uces

siva

s de

um

si

stem

a de

nu

mer

ação

. N

úmer

o qu

e se

rve

de p

onto

de

part

ida

para

a c

onst

ruçã

o de

um

a sé

rie

de n

úmer

os, d

e um

sis

tem

a de

6.14

A Á

lgeb

ra é

fun

dam

enta

da n

as

equa

ções

alg

ébri

cas.

E

m

que

a Á

lgeb

ra

se

fund

amen

ta.

loga

ritm

os,

de n

umer

ação

etc

. L

inha

ret

a à

qual

se

re

fere

m

toda

s as

ou

tras

qu

e se

tr

açam

, nu

m

leva

ntam

ento

. N

ota

fund

amen

tal;

tôn

ica.

A p

arte

de

um ó

rgão

m

ais

próx

ima

da

sua

orig

em

ou

do

seu

pont

o de

ins

erçã

o, e

que

se

opõe

ao

vért

ice.

Po

nto

de l

igaç

ão o

u pa

rte

infe

rior

de

cert

as

part

es

do

corp

o.

Ori

gem

ou

po

nto

de

inse

rção

das

par

tes

exte

rnas

do

corp

o de

um

in

seto

. Dis

tânc

ia to

mad

a na

Ter

ra e

ntre

doi

s po

ntos

mui

to a

fast

ados

e c

om a

qua

l se

co

nstr

oem

os

triâ

ngul

os q

ue

det

erm

inam

a

dist

ânci

a do

s as

tros

. Pr

inci

pal

ingr

edie

nte

de

uma

mis

tura

ou

co

mbi

naçã

o qu

ímic

a.

Cor

po

que,

co

mbi

nand

o-se

com

um

áci

do,

prod

uz u

m

sal.

Ingr

edie

nte

com

umen

te in

ativ

o, d

e um

a pr

epar

ação

, qu

e se

rve

de v

eícu

lo p

ara

o pr

incí

pio

med

icin

al

ativ

o.

Plat

afor

ma

perm

anen

te o

u se

mip

erm

anen

te,

em g

eral

de

co

ncre

to,

cons

truí

da

de

man

eira

a

supo

rtar

o

disp

ositi

vo

de

libe

raçã

o de

fo

guet

es.

6.15

A Á

lgeb

ra n

asce

u de

equ

açõe

s.

Ent

ão,

é aí

que

eu

acho

que

est

á um

po

uco

a es

sênc

ia

da

Álg

ebra

. E

, ne

sse

sent

ido,

ela

é f

unda

men

tal

para

o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica.

Ess

ênci

a:

Nat

urez

a ín

tima

das

cois

as;

aqui

lo q

ue f

az q

ue u

ma

cois

a se

ja o

que

é,

ou q

ue lh

e dá

a a

parê

ncia

dom

inan

te; a

quil

o qu

e co

nsti

tui

a na

ture

za

de

um

obje

to.

Exi

stên

cia

no

que

ela

tem

de

m

ais

cons

titu

cion

al.

Sign

ific

ação

esp

ecia

l. Id

éia

prin

cipa

l. D

istin

tivo.

Líq

uido

mui

to v

olát

il e

sem

vis

cosi

dade

, ou

sub

stân

cia

arom

átic

a qu

e se

ex

trai

de

ce

rtos

ve

geta

is;

óleo

es

senc

ial;

óle

o vo

láti

l. D

esig

naçã

o co

mum

a

cada

es

péci

e ar

bóre

a.

O

que

é

6.15

A Á

lgeb

ra n

asce

u de

equ

açõe

s.

Ent

ão, é

aí

que

o de

poen

te a

cha

que

está

um

po

uco

a es

sênc

ia

da

Álg

ebra

. E

, ne

sse

sent

ido,

el

a é

fund

amen

tal

para

o

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

Em

qu

e a

Álg

ebra

se

fu

ndam

enta

.

indi

spen

sáve

l a

um a

to o

u co

ntra

to p

ara

lhe

dar

exis

tênc

ia l

egal

. A

nat

urez

a pr

imei

ra

das

cois

as q

ue s

e op

õe a

o qu

e ne

las

seja

ac

iden

ta

6.16

M

as

não

só

a re

solu

ção

de

equa

ções

qu

e,

part

em

do

cálc

ulo

escr

ito.

Se

não,

a m

anip

ulaç

ão c

om

as

estr

utur

as

algé

bric

as

que

corr

espo

ndem

, de

m

anei

ra

elem

enta

r,

a m

anip

ulaç

ões

de

situ

açõe

s de

pol

inôm

ios

ou e

stud

o de

po

linôm

ios

é fu

ndam

enta

l pa

ra

o pr

ofes

sor.

6.

16

Não

só

a

reso

luçã

o de

eq

uaçõ

es,

mas

ta

mbé

m

man

ipul

açõe

s de

si

tuaç

ões

de

polin

ômio

s ou

est

udo

de p

olin

ômio

s é

fund

amen

tal

para

o p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

6.17

[.

..]

pelo

m

enos

de

m

anei

ra

light

, m

as

é,

ter

uma

prim

eira

ap

roxi

maç

ão

no

estu

do

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s, q

ue s

ão o

bjet

os

abst

rato

s.

Apr

oxim

ação

: A

to o

u ef

eito

de

apro

xim

ar.

Ato

ou

efei

to d

e to

rnar

(-se

) m

ais

próx

imo.

C

álcu

lo,

valo

r nã

o ab

solu

tam

ente

ex

ato,

po

rém

o m

ais

próx

imo

poss

ível

. A

vali

ação

po

r po

uco

mai

s ou

men

os.

6.17

no

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a o

alun

o pr

ecis

a te

r um

a pr

imei

ra a

prox

imaç

ão d

o es

tudo

das

es

trut

uras

al

gébr

icas

, qu

e sã

o ob

jeto

s ab

stra

tos.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

Impo

rtân

cia

do

estu

do

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

6.18

Por

ém, n

ão m

uito

. Por

que,

par

a o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica,

par

a el

e é

um e

sfor

ço m

uito

gra

nde.

Em

ger

al,

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a, e

le n

ão

quer

ser

um

cie

ntis

ta.

Não

mui

to:

um p

ouco

. E

sfor

ço:

Con

traç

ão

sim

ultâ

nea

de

um

sist

ema

de

mús

culo

s qu

e te

m

por

fim

ve

ncer

um

a re

sist

ênci

a. E

mpr

ego

de f

orça

ou

en

ergi

a.

Dil

igên

cia.

Z

elo.

C

orag

em,

vale

ntia

. V

alor

, ân

imo.

For

ça q

ue t

ende

a

alon

gar,

co

mpr

imir

, to

rcer

, co

rtar

ou

de

form

ar

de

outr

a qu

alqu

er

man

eira

um

ob

jeto

. T

ensã

o ou

fo

rça

de

resi

stên

cia

dese

nvol

vida

de

ntro

de

um

a pe

ça

de

mat

eria

l el

ásti

co,

subm

etid

a a

uma

ou

vári

as d

as f

orça

s ex

teri

ores

aci

ma

refe

rida

s,

ou a

exp

ansã

o te

rmal

não

uni

form

e.

6.18

O p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica,

em

ge

ral,

não

quer

se

r um

ci

enti

sta.

Pa

ra

ele,

o

estu

do

das

estr

utur

as

algé

bric

as s

olic

ita

um e

sfor

ço m

uito

gr

ande

.

Dif

icul

dade

sen

tida

no

trab

alho

de

leci

onar

Álg

ebra

.

6.19

Mas

um

pou

quin

ho e

le p

reci

sa

diss

o, p

orqu

e el

e va

i se

dep

arar

na

Hab

ilida

de:

Qua

lida

de

de

hábi

l. C

apac

idad

e,

inte

ligê

ncia

. A

ptid

ão,

6.19

O

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

prec

isa

conh

ecer

Á

lgeb

ra

porq

ue

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r de

carr

eira

del

e co

m a

luno

s qu

e nã

o sã

o to

dos

igua

is e

, qu

e tê

m h

abil

idad

es

espe

ciai

s al

guns

par

a as

Ciê

ncia

s e

outr

os

para

as

E

ngen

hari

as,

mas

m

uito

s m

ais

para

a C

iênc

ia.

enge

nho.

Des

trez

a. A

stúc

ia, m

anha

.

em s

ua c

arre

ira

ele

vai

ter

alun

os

com

hab

ilida

des

espe

ciai

s pa

ra a

s C

iênc

ias

e as

Eng

enha

rias

.

Mat

emát

ica.

6.20

E,

quan

do e

le s

e en

cont

rar

com

um

alu

no d

esse

s, s

e el

e nã

o so

uber

es

sas

cois

as,

ele

não

vai

enca

min

har

bem

ess

e al

uno.

Ess

as

Coi

sas :

O

bjet

os

de

estu

do

da

Álg

ebra

. 6.

20

O

prof

esso

r de

M

atem

átic

a pr

ecis

a co

nhec

er Á

lgeb

ra p

ara

sabe

r or

ient

ar s

eus

alun

os q

ue a

pres

enta

m

capa

cida

des

espe

ciai

s.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

6.

21

[...]

, eu

es

tou

em

part

icul

ar

faze

ndo

um

trab

alho

co

m

outr

os

prof

esso

res

para

al

unos

co

m

habi

lida

des

espe

ciai

s em

col

égio

s. E

, en

cont

ram

os

algu

ns

que

tem

um

a ca

paci

dade

im

pres

sion

ante

de

m

anip

ulaç

ão a

lgéb

rica

[...

] en

tre

7 e

12 a

nos

Cap

acid

ade:

Pod

er d

e re

cebe

r, c

onte

r ou

ac

omod

ar.

Con

teúd

o cú

bico

; vo

lum

e.

Med

ida

de

cont

eúdo

de

lí

quid

o,

gás

ou

sólid

o. P

oder

, ap

tidã

o ou

pos

sibi

lida

de d

e fa

zer

ou p

rodu

zir

qual

quer

coi

sa.

Apt

idão

de

um

con

duto

r, c

onde

nsad

or o

u qu

alqu

er

disp

osit

ivo

em a

rmaz

enar

tem

pora

riam

ente

en

ergi

a el

étri

ca.

A r

azão

da

carg

a de

um

co

ndut

or e

tc.,

para

o s

eu p

oten

cial

. Po

der

de

rece

ber

impr

essõ

es,

assi

mil

ar

idéi

as,

anal

isar

, ra

cioc

inar

, ju

lgar

, ar

rost

ar

prob

lem

as;

aptid

ão,

habi

lidad

e m

enta

l. Pe

ssoa

de

gran

des

apti

dões

e s

aber

. Apt

idão

le

gal

para

ser

suj

eito

ati

vo o

u pa

ssiv

o de

di

reito

s.

Impr

essi

onan

te:

que

caus

a im

pres

são

nos

sent

idos

(p

or

bele

za,

form

a,

port

e et

c.;

adm

iráv

el,

fasc

inan

te).

Q

ue

impr

essi

ona

mor

alm

ente

, aba

la, c

omov

e; e

moc

iona

nte.

6.21

Ao

efet

uar

uma

pesq

uisa

, co

m

outr

os

prof

esso

res,

em

co

légi

os,

enco

ntro

u al

unos

co

m

capa

cida

de

impr

essi

onan

te

para

ef

etua

r m

anip

ulaç

ões

algé

bric

as.

Com

o os

pr

ofes

sore

s co

mpr

eend

em

a ca

paci

dade

de

man

ipul

ação

al

gébr

ica

dos

alun

os.

6.22

[...

] um

pro

fess

or q

ue n

ão t

em o

m

ínim

o de

m

anip

ulaç

ão

abst

rata

po

de s

e pe

rder

e,

vai

prej

udic

ar o

al

uno,

sem

dúv

ida.

Per

der:

Fi

car

sem

a

poss

e de

, se

m

a pr

opri

edad

e de

, se

m o

dom

ínio

de.

Sof

rer

afro

uxam

ento

, at

enua

ção

ou

queb

ra

de.

Sofr

er d

ano,

det

rim

ento

, pe

rda

ou p

reju

ízo

em.

Sof

rer

prej

uízo

nos

seu

s ha

vere

s. T

er

mau

êxi

to e

m.

Dei

xar

de t

er o

u se

ntir

por

6.22

Um

pro

fess

or q

ue n

ão t

em o

m

ínim

o de

m

anip

ulaç

ão

abst

rata

po

de

não

ter

êxit

o no

en

sino

da

m

esm

a pa

ra s

eus

alun

os.

A

Álg

ebra

é

um

mei

o pa

ra

form

ar

prof

esso

res

de

Mat

emát

ica.

algu

m te

mpo

. D

esor

ient

ar-s

e, e

rrar

o c

amin

ho,

tran

svia

r-se

. 6.

23

Por

isso

, nó

s aq

ui

na

Uni

vers

idad

e,

tem

os

bast

ante

cl

aro

quai

s sã

o as

di

fere

nças

en

tre

a Á

lgeb

ra

da

Lic

enci

atur

a e

a do

B

acha

rela

do, p

or e

xem

plo.

Dif

eren

ças :

Qua

lida

de d

o qu

e é

dife

rent

e;

o qu

e di

stin

gue

uma

cois

a de

out

ra. F

alta

de

igua

ldad

e ou

de

se

mel

hanç

a.

Alt

eraç

ão

dign

a de

ate

nção

, de

rep

aro;

mod

ific

ação

, tr

ansf

orm

ação

. C

arac

terí

stic

a do

qu

e é

vári

o;

dive

rsid

ade,

di

spar

idad

e.

Falt

a de

ha

rmon

ia; d

iver

gênc

ia.

6.23

A

U

nive

rsid

ade

em

que

o pr

ofes

sor

trab

alha

di

stin

gue

a Á

lgeb

ra

da

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a da

do

Bac

hare

lado

em

M

atem

átic

a.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

6.24

O b

acha

rel,

diga

mos

, vai

ser

um

fu

turo

ci

enti

sta,

ou

pr

ofes

sor

de

Uni

vers

idad

e.

6.

24 O

bac

hare

l se

rá u

m c

ient

ista

, um

pro

fess

or d

e U

nive

rsid

ade.

A

Á

lgeb

ra

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

tem

qu

e se

r di

fere

nte

da Á

lgeb

ra d

o cu

rso

do

Bac

hare

lado

. 6.

25 E

, o

licen

ciad

o nã

o, s

eu c

urso

es

tá

pens

ado

para

um

fu

turo

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

que

vai

trab

alha

r co

m a

luno

s at

é o

Ens

ino

Méd

io e

, ond

e o

níve

l de

abs

traç

ão é

m

uito

men

or.

Men

or:

Mai

s pe

quen

o;

que

é in

feri

or

a ou

tro

em

núm

ero,

gr

ande

za,

exte

nsão

, in

tens

idad

e,

dura

ção,

im

port

ânci

a,

na

aval

iaçã

o de

mér

itos

e q

uali

dade

s.

6.25

A L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a é

pens

ada

para

o

trab

alho

qu

e o

prof

esso

r ex

erce

, ou

se

ja,

sua

atua

ção

na E

duca

ção

Bás

ica,

ond

e o

níve

l de

abst

raçã

o é

men

or.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

6.26

[...

] a

abst

raçã

o co

meç

a lá

pel

os

8, 9

,10

anos

.

6.

26 A

abs

traç

ão in

icia

lá p

elos

8, 9

, 10

ano

s.

Com

o os

pr

ofes

sore

s co

mpr

eend

em

a ca

paci

dade

de

man

ipul

ação

al

gébr

ica

dos

alun

os

6.27

[.

..]

para

o

prof

esso

r de

M

atem

átic

a, o

u o

futu

ro p

rofe

ssor

, a

Álg

ebra

de

ve

ser

abor

dada

de

m

anei

ra m

ais

elem

enta

r.

Ele

men

tar:

rel

ativ

o a

ou q

ue p

erte

nce

a el

emen

to(s

)

que

é co

mpo

sto

ou

func

iona

de

m

odo

prim

ário

, bá

sico

, si

mpl

es,

fáci

l, cl

aro.

R

elat

ivo

às n

oçõe

s bá

sica

s de

um

a ar

te o

u de

um

con

heci

men

to.

6.27

Pa

ra

o pr

ofes

sor

ou

futu

ro

prof

esso

r de

Mat

emát

ica

a Á

lgeb

ra

deve

ser

abo

rdad

a de

man

eira

mai

s si

mpl

es e

fác

il.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

pa

ra

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

6.28

[.

..]

a li

cenc

iatu

ra,

ela

se

trab

alha

m

ais

esse

ncia

lmen

te

com

eq

uaçõ

es,

de

uma

man

eira

m

ais

Ess

ênci

a:

Nat

urez

a ín

tima

das

cois

as;

aqui

lo q

ue f

az q

ue u

ma

cois

a se

ja o

que

é,

ou q

ue lh

e dá

a a

parê

ncia

dom

inan

te; a

quil

o

6.28

N

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a,

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

tra

balh

a m

ais

com

eq

uaçõ

es,

de

uma

man

eira

Com

o é

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

elem

enta

r,

a fu

ndo

as

estr

utur

as

algé

bric

as,

e ab

stra

ir

a fu

ndo

e,

depo

is s

e dá

um

a pi

ncel

ada,

ass

im d

e um

pou

quin

ho d

e ab

stra

ção

para

que

es

se p

rofe

ssor

sai

a ca

paci

tado

jus

to

para

en

cont

rar

alun

os

que

tenh

am

habi

lida

des

espe

ciai

s na

mat

emát

ica,

de

um

a fo

rma

gera

l.

que

cons

titu

i a

natu

reza

de

um

ob

jeto

. E

xist

ênci

a no

qu

e el

a te

m

de

mai

s co

nsti

tuci

onal

. Si

gnif

icaç

ão e

spec

ial.

Idéi

a pr

inci

pal.

Dis

tintiv

o. L

íqui

do m

uito

vol

átil

e se

m v

isco

sida

de,

ou s

ubst

ânci

a ar

omát

ica

que

se

extr

ai

de

cert

os

vege

tais

; ól

eo

esse

ncia

l; ó

leo

volá

til.

Des

igna

ção

com

um

a ca

da

espé

cie

arbó

rea.

O

qu

e é

indi

spen

sáve

l a

um a

to o

u co

ntra

to p

ara

lhe

dar

exis

tênc

ia l

egal

. A

nat

urez

a pr

imei

ra

das

cois

as q

ue s

e op

õe a

o qu

e ne

las

seja

ac

iden

ta.

Ele

men

tar :

rel

ativ

o a

ou q

ue p

erte

nce

a el

emen

to(s

)

que

é co

mpo

sto

ou

func

iona

de

m

odo

prim

ário

, bá

sico

, si

mpl

es,

fáci

l, cl

aro.

R

elat

ivo

às n

oçõe

s bá

sica

s de

um

a ar

te o

u de

um

con

heci

men

to.

mai

s el

emen

tar.

Dep

ois

o al

uno

da

Lic

enci

atur

a vê

um

po

uco

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

6.29

[...

] um

bac

hare

l é,

no

iníc

io e

le

vai

com

eçar

co

m

disc

ipli

nas

basi

cam

ente

ele

men

tare

s qu

e sã

o as

m

esm

as (

que

o li

cenc

iado

).

6.

29 O

bac

hare

l e

o li

cenc

iado

em

M

atem

átic

a in

icia

lmen

te

tem

as

m

esm

as d

isci

plin

as.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

6.30

C

om

níve

l de

ab

stra

ção

prog

ress

ivo,

m

as

que

vão

mui

to

fund

o, q

ue v

ão a

té o

qua

rto

ano.

Pro

gres

sivo

: Q

ue p

rogr

ide.

Que

atr

aves

sa

suce

ssiv

amen

te c

ada

etap

a de

um

pro

cess

o em

qu

e há

au

men

to,

cres

cim

ento

, ag

rava

men

to

etc.

; qu

e pr

oced

e pa

sso

a pa

sso,

ru

mo

a um

de

senv

olvi

men

to.

R

rela

tivo

ou

pe

rten

cent

e a

um

tipo

de

ta

xaçã

o na

qua

l a

alíq

uota

cre

sce

conf

orm

e o

aum

ento

da

rend

a tr

ibut

ável

.

6.30

O b

acha

rela

do te

m u

m n

ível

de

abst

raçã

o pr

ogre

ssiv

o, a

té o

qua

rto

ano

do c

urso

.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

6.31

o l

icen

ciad

o nã

o, e

le m

anté

m o

m

esm

o ní

vel d

e ab

stra

ção.

M

esm

o: D

e ig

ual

iden

tida

de;

não

outr

o.

Que

é e

xata

men

te i

gual

a o

utro

ou

outr

os

em f

orm

a, c

or e

/ou

cont

eúdo

; id

êntic

o Q

ue

pouc

o di

fere

em

qu

alid

ades

e

6.31

O

lic

enci

ado

man

tém

um

m

esm

o ní

vel

de a

bstr

ação

des

de o

in

ício

do

curs

o.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

cara

cter

ísti

cas;

se

mel

hant

e.

De

igua

l or

igem

. N

ível

: In

stru

men

to

que

mos

tra

se

uma

supe

rfíc

ie e

stá

exat

amen

te n

a ho

rizo

ntal

ou

não

[Exi

stem

vá

rios

ti

pos,

co

mo

o de

pe

drei

ro, o

de

bolh

a, o

de

lune

ta e

tc.]

. Gra

u de

el

evaç

ão,

rela

tivam

ente

a

um

plan

o ho

rizo

ntal

, de

um

a lin

ha o

u de

um

pla

no

para

lelo

s ao

pl

ano;

al

tura

. D

D

eriv

ação

: se

ntid

o fi

gura

do.

Lug

ar n

uma

tabe

la q

ue

clas

sifi

ca (

pess

oas

ou c

oisa

s) C

ada

uma

das

subd

ivis

ões

do e

nsin

o es

cola

r br

asil

eiro

. 6.

32 P

ara

ele

é m

uito

dif

ícil

porq

ue

vem

de

um c

olég

io q

ue é

pés

sim

o.

Dif

ícil:

que

não

é f

ácil;

que

exi

ge e

sfor

ço

para

ser

fei

to;

trab

alho

so,

labo

rios

o, á

rduo

Q

ue d

eman

da e

sfor

ço i

ntel

ectu

al p

ara

ser

com

pree

ndid

o ou

en

tend

ido;

in

tric

ado,

co

mpl

icad

o,

obsc

uro.

Q

ue

ofer

ece

obst

ácul

o,

risc

o ou

pe

rigo

; im

prat

icáv

el,

inac

essí

vel.

. P

éssi

mo :

mau

.

6.32

Abs

trai

r pa

ra o

lice

ncia

do é

um

es

forç

o gr

ande

. Po

rque

ele

vem

de

um c

olég

io r

uim

.

Dif

icul

dade

no

tr

abal

ho

de

leci

onar

Álg

ebra

.

6.33

Ent

ão, a

dif

eren

ça q

ue e

u ve

jo é

se

mpr

e no

ní

vel

da

abst

raçã

o,

um

níve

l men

or d

e ab

stra

ção

do b

acha

rel

para

o l

icen

ciad

o e,

mai

s in

tegr

ado

com

a e

duca

ção.

Nív

el:

Inst

rum

ento

qu

e m

ostr

a se

um

a su

perf

ície

est

á ex

atam

ente

na

hori

zont

al o

u nã

o [E

xist

em

vári

os

tipo

s,

com

o o

de

pedr

eiro

, o d

e bo

lha,

o d

e lu

neta

etc

.]. G

rau

de

elev

ação

, re

lativ

amen

te

a um

pl

ano

hori

zont

al,

de u

ma

linha

ou

de u

m p

lano

pa

rale

los

ao

plan

o;

altu

ra.

D

Der

ivaç

ão:

sent

ido

figu

rado

. L

ugar

num

a ta

bela

que

cl

assi

fica

(pe

ssoa

s ou

coi

sas)

Cad

a um

a da

s su

bdiv

isõe

s do

ens

ino

esco

lar

bras

ilei

ro.

6.33

Par

a o

Lic

enci

ado

a Á

lgeb

ra s

e ap

rese

nta

em u

m n

ível

de

abst

raçã

o m

enor

qu

e a

do

bach

arel

, po

rém

in

terl

igad

a co

m a

edu

caçã

o.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

6.34

E

ntão

, a

gent

e,

supo

stam

ente

qu

ando

ele

apr

ende

Álg

ebra

, de

veri

a fa

zer

um

vínc

ulo

diss

o,

na

min

ha

opin

ião,

com

o q

ue e

le v

ai v

er n

o se

u

Vin

culo

: aq

uilo

qu

e at

a,

liga

ou

ap

erta

(d

uas

ou m

ais

cois

as);

nó,

lia

me.

O q

ue

esta

bele

ce u

m r

elac

iona

men

to l

ógic

o ou

de

depe

ndên

cia.

O

qu

e li

ga

duas

ou

m

ais

6.34

A

Á

lgeb

ra

que

o al

uno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

apre

nde

deve

ria

esta

r re

laci

onad

a co

m

o en

sino

da

m

esm

a na

E

duca

ção

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

trab

alho

. pe

ssoa

s;

rela

ção;

re

laci

onam

ento

. O

qu

e im

põe

uma

rest

riçã

o ou

con

diçã

o.

Bás

ica.

6.35

Nós

aqu

i ap

rend

emos

mel

hor,

m

ais

difí

cil

e m

ais

prof

undo

. M

as,

para

o a

luno

, co

mo

ele

vai

cons

egui

r en

tend

er?

E

a ge

nte

trab

alha

um

po

uco

isso

.

Mel

hor:

Que

, po

r su

a qu

alid

ade,

car

áter

, va

lor,

im

port

ânci

a, é

sup

erio

r ao

que

lhe

é

com

para

do.

Que

po

ssui

o

máx

imo

de

qual

idad

es

nece

ssár

ias

para

sa

tisfa

zer

cert

os c

rité

rios

de

apre

ciaç

ão.

Mai

s be

m;

em c

ondi

ções

fís

icas

e/o

u ps

icol

ógic

as m

ais

saud

ávei

s. d

e m

anei

ra m

ais

perf

eita

, m

ais

sati

sfat

oria

men

te.

Mai

s ac

erta

dam

ente

, de

fo

rma

mai

s ad

equa

da,

agra

dáve

l, co

nfor

táve

l. C

om

mai

s ex

atid

ão,

prop

ried

ade,

ace

rto.

D

ifíc

il: q

ue n

ão é

fác

il; q

ue e

xige

esf

orço

pa

ra s

er f

eito

; tr

abal

hoso

, la

bori

oso,

árd

uo

Que

dem

anda

esf

orço

int

elec

tual

par

a se

r co

mpr

eend

ido

ou

ente

ndid

o;

intr

icad

o,

com

plic

ado,

ob

scur

o.

Que

of

erec

e ob

stác

ulo,

ri

sco

ou

peri

go;

impr

atic

ável

, in

aces

síve

l.

Pro

fund

o : C

ujo

fund

o es

tá a

um

a di

stân

cia

gran

de

da

bord

a ou

da

su

perf

ície

ci

rcun

dant

e; f

undo

. Que

é e

xten

so d

o in

ício

at

é a

outr

a ex

trem

idad

e. Q

ue t

em g

rand

e es

pess

ura.

Que

se

incl

ina

mui

to e

m d

ireç

ão

ao s

olo,

mui

to m

arca

do.

Que

pen

etra

mui

to

fund

o. F

orte

, de

nso,

car

rega

do (

diz-

se d

e co

r).

Mui

to

fort

e;

pesa

do.

Inte

nso

e ar

raig

ado,

dur

adou

ro.

De

tom

gra

ve.

Que

ve

m d

o fu

ndo.

Mui

to g

rand

e ou

ext

enso

; en

orm

e.

De

gran

de

alca

nce;

m

uito

. D

e gr

ande

con

heci

men

to e

per

spic

ácia

. D

ifíc

il de

en

tend

er;

inac

essí

vel,

herm

étic

o.

No

fund

o,

de

man

eira

pr

ofun

da,

6.35

N

a L

icen

ciat

ura

o ní

vel

de

abst

raçã

o é

mai

s pr

ofun

do d

o qu

e na

Edu

caçã

o B

ásic

a. N

a di

scip

lina

de Á

lgeb

ra é

tra

balh

ado

um p

ouco

is

so.

Com

o é

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

prof

unda

men

te.

6.36

Dep

ois

eles

têm

o l

abor

atór

io

(dis

cipl

ina)

que

é p

ara

isso

, qu

e é

para

a g

ente

ver

com

o ex

plic

a is

so

que

apre

ndeu

par

a os

alu

nos.

Ent

ão

essa

é u

ma

dife

renç

a bá

sica

, pa

ra o

ba

char

el is

so n

ão e

xist

e.

6.

36 O

alu

no d

a L

icen

ciat

ura

tem

Pr

átic

a de

Lab

orat

ório

e d

e E

nsin

o pa

ra e

xpli

car

o qu

e ap

rend

eu p

ara

alun

os d

a E

duca

ção

Bás

ica.

Par

a o

Bac

hare

l, is

so n

ão e

xist

e.

Com

o é

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

6.37

E

le

apre

nde

mat

emát

ica,

lê

li

vros

e te

nta

ente

nder

, mas

, é is

so.

6.

37

O

bach

arel

em

M

atem

átic

a ap

rend

e M

atem

átic

a,

lê

livro

s e

tent

a en

tend

ê-lo

s.

A

Álg

ebra

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a te

m

que

ser

dife

rent

e da

Álg

ebra

do

curs

o do

B

acha

rela

do.

Ent

revi

sta

7

A e

ntre

vist

a 7

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

pro

fess

or d

e Á

lgeb

ra d

e um

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Qua

l a r

elev

ânci

a da

Álg

ebra

par

a a

form

ação

de

prof

esso

res

de M

atem

átic

a?

[A Á

lgeb

ra é

impo

rtan

te p

ara

a fo

rmaç

ão m

atem

átic

a do

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a], e

u pe

nso

ness

e se

ntid

o.

Eu

sou

form

ado

em L

icen

ciat

ura,

min

ha á

rea

de g

radu

ação

[...]

. Um

a co

isa

que

eu s

empr

e co

men

to c

om m

eus

alun

os [

é a

impo

rtân

cia

do c

onhe

cim

ento

mat

emát

ico

para

o p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica]

. [A

gen

te n

ão p

ode

fica

r só

em

cim

a di

sso

(for

maç

ão m

atem

átic

a), m

as ta

mbé

m

não

só a

par

te p

edag

ógic

a].

Ent

ão n

esse

sen

tido

eu

acho

bas

tant

e im

port

ante

a f

orm

ação

mat

emát

ica.

Eu

acho

que

nes

se i

tem

, el

a te

m u

m

cont

exto

bas

tant

e in

dica

tivo

dent

ro d

o cu

rríc

ulo,

pel

o m

enos

do

noss

o aq

ui.

A g

ente

tem

dis

cipl

inas

de

Cál

culo

, m

as [

a Á

lgeb

ra t

em u

m p

ode r

, um

pod

er q

ue e

u di

ria

assi

m [

...],

um

a co

mpo

siçã

o de

ssa

part

e

mat

emát

ica

em s

i,] m

atem

átic

a em

si,

ela

tem

um

a co

mpo

siçã

o ba

stan

te im

port

ante

. (1.

47).

Bom

, por

out

ro la

do, d

entr

o de

sse

cont

exto

tam

bém

, [é

a qu

estã

o de

voc

ê tr

abal

har

com

bas

tant

e ab

stra

ção,

que

eu

é um

a co

isa

que

eu

vejo

, pel

o m

enos

aqu

i com

os

alun

os, q

ue e

les

têm

mui

ta d

ific

ulda

de],

em

ger

al, d

e te

r ab

stra

ções

], o

u se

ja, a

té m

uita

s ve

zes

o si

gnif

icad

o da

s

letr

as, d

aque

la Á

lgeb

ra b

ásic

a qu

e a

gent

e te

m lá

no

colé

gio,

[o

que

sign

ific

a o

“x”

ou p

ara

qual

quer

“x”

. Ess

e “x

”, e

m g

eral

, fic

a di

fíci

l de

o

alun

o ca

ract

eriz

ar d

e fa

to c

omo

um v

alor

qua

lque

r in

teir

o.]

[Na

abst

raçã

o el

es t

êm m

uita

dif

icul

dade

. M

esm

o em

nív

el d

e gr

adua

ção]

. E

u te

nho

uma

turm

a de

5º

ou 6

º se

mes

tre

e, e

u ve

jo e

les

com

mui

ta d

ific

ulda

de. A

té p

orqu

ê, [

mui

tas

veze

s eu

est

ou e

xpli

cand

o al

gum

a co

isa

eles

ped

em p

ara

dar

exem

plos

]:”A

h! E

xem

plo,

exe

mpl

o

[...]

, exe

mpl

o nu

mér

ico,

exe

mpl

o nu

mér

ico.

” Fi

ca d

ifíc

il el

es p

ensa

rem

na

part

e ab

stra

ta. É

cla

ro q

ue e

xem

plos

faz

em p

arte

do

proc

esso

, mas

a ab

stra

ção

[...]

, [na

abs

traç

ão e

les

tem

bas

tant

e di

ficu

ldad

e.]

[ Eu

acho

que

nes

se i

tem

, o p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica

ele

sem

pre

tem

que

pen

sar

de u

ma

form

a [.

..],

pens

ar o

con

teúd

o m

atem

átic

o de

uma

man

eira

ger

al e

bas

tant

e ab

rang

ente

. Ess

a ge

nera

liza

ção,

em

ger

al [

...],

tem

que

abs

trai

r pa

ra u

m “

x” q

ualq

uer,

abs

trai

r e

assi

m p

or d

iant

e.

Eu

acho

que

nes

se it

em a

Álg

ebra

tem

um

pap

el b

asta

nte

impo

rtan

te,]

eu

pelo

men

os a

cho.

Iss

o pe

nsad

o no

con

text

o do

pro

fess

or. I

mag

ine

o

prof

esso

r lá

que

trab

alha

com

as

prim

eira

s sé

ries

do

Ens

ino

Méd

io, q

ue tr

abal

ha c

om f

unçõ

es, c

onju

nto

de r

elaç

ões,

que

tam

bém

trab

alha

com

conj

unto

s nu

mér

icos

. E

m c

onju

ntos

num

éric

os a

gen

te t

em:

quai

s sã

o as

car

acte

ríst

icas

, as

pro

prie

dade

s, a

s op

eraç

ões

que

a ge

nte

trab

alha

o

Ens

ino

Méd

io.

Mui

tas

veze

s, l

á na

6ª

séri

e te

m a

dif

icul

dade

de

pens

ar m

ulti

plic

ação

: o

que

pode

, o

que

não

pode

, co

mo

é qu

e fa

z, c

omo

é qu

e nã

o

faz.

Ess

as c

arac

terí

stic

as,[

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a de

ve te

r um

dom

ínio

bas

tant

e [.

..], e

u pe

lo m

enos

pen

so a

ssim

, ele

dev

e te

r um

dom

ínio

de M

atem

átic

a ba

stan

te a

bran

gent

e.]

[Eu

trab

alho

com

6ª

séri

e, e

u tr

abal

ho n

a re

de m

unic

ipal

] , e

eu

vejo

iss

o ba

stan

te.

[Mui

tas

situ

açõe

s qu

e eu

fic

o re

spon

dend

o as

dúvi

das

dos

alun

os,

clar

o qu

e lo

calm

ente

. M

as o

meu

rac

iocí

nio

ele

é ab

rang

ente

. G

enér

ico,

gen

eral

izad

o e

abst

rato

, eu

dir

ia.]

Eu

acho

que

ness

e ite

m [

é ba

stan

te i

mpo

rtan

te p

ara

a fo

rmaç

ão d

o pr

ofes

sor

que

ele

tam

bém

ten

ha u

ma

sólid

a fo

rmaç

ão m

atem

átic

a, a

bstr

ação

, co

isas

dess

e ti

po.]

Eu

acho

iss

o im

port

ante

. [E

mbo

ra e

u te

nha

feito

Lic

enci

atur

a e,

esp

ecif

icam

ente

eu

tenh

a pe

nsad

o m

ais

[...]

, ba

stan

te n

a pa

rte

peda

gógi

ca,

sem

pre

se t

raba

lhou

bas

tant

e es

sa p

arte

, eu

ach

o ai

nda

assi

m,

eu s

empr

e de

i m

uita

im

port

ânci

a a

form

ação

mat

emát

ica.

Na

verd

ade,

sal

ient

aria

ess

e ite

m c

omo

mai

s im

port

ante

par

a le

cion

ar.]

Pes

quis

ador

a: Q

uais

são

os

cont

eúdo

s de

Álg

ebra

rel

evan

tes

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica?

Por

que

esse

s co

nteú

dos

são

impo

rtan

tes?

[Aqu

i na

facu

ldad

e a

gent

e te

m a

ssim

: Álg

ebra

I,I

I,II

I e

IV. E

aca

ba a

bran

gend

o um

a pa

rte

de L

ógic

a, ta

nto

da T

eori

a de

Núm

eros

que

seri

a na

Álg

ebra

I.

Dep

ois

a Á

lgeb

ra I

I qu

e se

ria

a Á

lgeb

ra d

e fa

to,

a qu

e a

gent

e co

nhec

e, a

s es

trut

uras

alg

ébri

cas.

E a

III

e a

IV

que

vem

depo

is, a

caba

evo

lven

do m

ais

a pa

rte

da Á

lgeb

ra L

inea

r]. E

u tr

abal

ho c

om Á

lgeb

ra I

e Á

lgeb

ra I

I qu

e é

mai

s a

part

e de

est

rutu

ras

algé

bric

as.

[Dos

con

teúd

os, e

u ac

ho b

asta

nte

rele

vant

e a

part

e de

ssas

est

rutu

ras

algé

bric

as, p

elo

men

os p

ara

iden

tific

ar c

arac

terí

stic

as d

as o

pera

ções

que

nem

eu

esta

va c

omen

tand

o, m

as a

inda

mai

s [.

..], m

ais

de to

dos

seri

a a

part

e da

s ap

licaç

ões]

. [A

s ap

lica

ções

que

num

con

text

o m

ais

ampl

o um

exem

plo

seri

am a

s fu

nçõe

s lá

do

ensi

no e

que

a g

ente

tra

balh

a, q

ue é

a c

arac

teri

zaçã

o de

hom

orfi

smos

, is

omor

fism

os,

que

na v

erda

de n

ada

mai

s sã

o, d

o qu

e vo

cê c

arac

teri

zar

uma

funç

ão: s

e el

a é

inje

tora

, bije

tora

ou

não

e as

sim

por

dia

nte .

]. A

plic

açõe

s de

sse

tipo,

que

são

exe

mpl

os

que

a ge

nte

pode

ter

e sã

o ex

empl

os lá

do

Ens

ino

Méd

io, i

nclu

sive

a f

unçã

o lin

ear

ou a

fun

ção

de s

egun

do g

rau

que

seja

eve

ntua

lmen

te. A

cho

que

ness

e ite

m t

em u

ma

cert

a co

mpo

siçã

o im

port

ante

par

a o

prof

esso

r e

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r, p

ara

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

even

tual

men

te.

[Em

se

gund

o pl

ano

seri

a a

part

e de

es

trut

uras

al

gébr

icas

. A

té

para

re

conh

ecer

, po

r ex

empl

o,

os

conj

unto

s nu

mér

icos

co

m

cara

cter

ístic

as d

ifer

enci

adas

, de

sde

os n

atur

ais

até

os c

ompl

exos

que

são

tra

balh

ados

ao

long

o da

Edu

caçã

o B

ásic

a.]

Para

ent

ende

r be

m a

s

cara

cter

ístic

a e

as o

pera

ções

, eu

acho

que

e b

em im

port

ante

a p

arte

de

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

Com

entá

rios

fin

ais:

Um

a co

isa

que

eu n

oto

tam

bém

, pr

inci

palm

ente

nos

cur

sos

de L

icen

ciat

ura,

eu

nota

va i

sso

quan

do e

stud

ava

e ag

ora

atua

lmen

te m

e

vend

o co

mo

prof

esso

r. E

ntão

a g

ente

vê

a m

esm

a si

tuaç

ão o

u du

as s

ituaç

ões

pare

cida

s de

man

eira

dif

eren

te e

, lá

já

acon

teci

a e

hoje

ain

da

acon

tece

. N

ão s

ei s

e is

so é

ger

al,

mas

pel

o m

enos

nas

tur

mas

que

eu

estiv

e co

mo

alun

o e

com

o pr

ofes

sor

isso

aco

ntec

ia.[

Tem

um

a gr

ande

reje

ição

à d

isci

plin

a, u

ma

reje

ição

que

eu

diri

a as

sim

, at

é um

a [.

..],

as p

esso

as [

...],

mui

tas

veze

s os

alu

nos

não

estã

o di

spos

tos

a es

tuda

r

aqui

lo, t

em u

ma

cert

a in

disp

osiç

ão d

iga-

se d

e fa

zer

aqui

lo. I

sso

acab

a cr

iand

o um

a ba

rrei

ra, q

ue n

a ve

rdad

e, n

ão p

reci

sari

a es

tar

ali.

Eu

acho

que

se e

ssa

barr

eira

, es

sa p

ré-i

ndis

posi

ção,

ess

e pr

é-co

ncei

to,

se e

ssa

barr

eira

fos

se d

eixa

da d

e la

do e

ver

o q

ue é

que

a g

ente

tem

par

a

apre

nder

aqu

i, um

a di

spos

ição

par

a o

apre

ndiz

ado,

ou

seja

, est

ou d

ispo

sto

a ap

rend

er, e

u qu

ero

apre

nder

. T

em u

m b

loqu

eio

bast

ante

gra

nde,

uma

recu

sa a

té. E

u ac

ho q

ue is

so d

ific

ulta

bas

tant

e at

é o

dese

nvol

vim

ento

da

disc

ipli

na.]

Por

outr

o la

do t

ambé

m,

os a

luno

s da

gra

duaç

ão,

da L

icen

ciat

ura,

mui

tas

veze

s, n

ão r

econ

hece

m o

u nã

o en

xerg

am a

im

port

ânci

a da

disc

iplin

a na

sua

atu

ação

pro

fiss

iona

l. N

ão s

ei s

e el

es d

ever

iam

enx

erga

r is

so j

á na

quel

e po

nto,

mas

ach

o im

port

ante

rec

onhe

cer

o qu

ão

impo

rtan

te u

ma

boa

form

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica

ou d

e qu

alqu

er á

rea.

Ess

a pa

rte

espe

cifi

ca d

a di

scip

lina

eu

acho

que

tem

que

ter

um

bom

em

basa

men

to. E

u ve

jo i

sso

na v

erda

de m

ais

com

um

gos

to. E

u ad

oro

a M

atem

átic

a e

sem

pre

gost

ei. E

mbo

ra e

u nã

o te

nha

feito

cur

so d

e

Mat

emát

ica

Pura

e n

ão f

aria

tam

bém

. Pre

firo

dar

aul

a, p

refi

ro tr

abal

har

com

alu

nos

em s

i. [M

as e

u ac

ho q

ue a

Mat

emát

ica

tem

um

a ca

tiva

, ela

tem

coi

sas

inte

ress

ante

s, u

ma

bele

za in

trín

seca

e q

ue o

pro

fess

or d

eve

ver

uma

bele

za n

isso

, pel

o m

enos

eu

acho

]. [

Se e

u nã

o vi

sse

essa

bel

eza

na M

atem

átic

a em

si,

essa

bel

eza

na M

atem

átic

a, u

m g

osto

pel

a M

atem

átic

a eu

não

ser

ia p

rofe

ssor

.] C

om c

erte

za t

raba

lhar

ia e

m o

utra

coi

sa,

trab

alha

ria

em u

ma

cois

a di

fere

nte.

Se

eu n

ão v

er o

bel

o na

Mat

emát

ica

ou e

m e

nsin

ar M

atem

átic

a se

r pr

ofes

sor

seri

a ba

stan

te d

ifíc

il, f

alta

ria

mui

ta c

oisa

.

[Gos

tar

diss

o, é

iss

o qu

e es

tá f

alta

ndo

mui

to p

ara

os n

osso

s al

unos

.] [

As

veze

s el

es e

stão

aí

mai

s pa

ra t

er u

ma

prof

issã

o qu

e el

es

quer

em te

r, u

m g

anha

pão

, e n

ão p

ensa

ram

que

ess

a pr

ofis

são

tem

todo

um

con

text

o,]

com

o q

ue e

ssa

prof

issã

o te

m é

, com

o q

ue e

la tr

abal

ha.

Eu

acho

que

é is

so.

Ent

revi

sta

07

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pes

quis

ador

U

nida

des

de S

igni

fica

do

7.1

A Á

lgeb

ra é

im

port

ante

par

a a

form

ação

Mat

emát

ica

do p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica.

Impo

rtan

te:

Que

te

m

impo

rtân

cia.

Q

ue

não

se p

ode

esqu

ecer

ou

deix

ar d

e at

ende

r.

Dig

no

de

apre

ço,

de

esti

ma,

de

co

nsid

eraç

ão.

Que

te

m

gran

des

créd

itos

, qu

e ex

erce

no

táve

l in

fluê

ncia

. Q

ue

tem

m

uito

va

lor

ou

preç

o no

táve

l. Ú

til,

nece

ssár

io.

Enf

atua

do.

O q

ue h

á de

mai

s in

tere

ssan

te,

de

mai

s út

il,

de

mai

s pr

ovei

toso

nu

ma

pess

oa

ou

cois

a;

o es

senc

ial.

For

maç

ão:

ato

ou

efei

to

de

form

ar

ou

form

ar-s

e.

Mod

o po

r qu

e um

a co

isa

se

form

a. D

ispo

siçã

o or

dena

da.

A f

orm

atur

a da

s tr

opas

. C

oabi

taçã

o bo

tâni

ca,

indi

vidu

aliz

ada

pela

for

ma

biol

ógic

a qu

e ne

la d

omin

a. M

anei

ra p

or q

ue s

e fo

rmou

um

a pa

lavr

a. M

odo

com

o se

con

stit

ui u

m

cará

ter

ou

uma

men

tali

dade

. D

ispo

siçã

o da

s ae

rona

ves

de u

ma

esqu

adri

lha

em v

ôo.

7.1

A

Álg

ebra

é

impo

rtan

te/n

eces

sári

a pa

ra

a fo

rmaç

ão

do

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

A Á

lgeb

ra

é um

m

eio

para

fo

rmar

pr

ofes

sore

s de

M

atem

átic

a.

7.2

[...]

é

a im

port

ânci

a do

co

nhec

imen

to

mat

emát

ico

para

o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica.

Impo

rtân

cia:

Q

ualid

ade

de

impo

rtan

te.

Aut

orid

ade,

co

nsid

eraç

ão,

créd

ito,

infl

uênc

ia. G

rand

e va

lor

rela

tivo

das

coi

sas.

Q

uant

ia, s

oma,

tota

l. .

Con

heci

men

to:

Ato

ou

efei

to d

e co

nhec

er.

Facu

ldad

e de

co

nhec

er.

Idéi

a,

noçã

o;

info

rmaç

ão, n

otíc

ia. C

onsc

iênc

ia d

a pr

ópri

a ex

istê

ncia

. L

igaç

ão e

ntre

pes

soas

que

têm

en

tre

si a

lgum

as r

elaç

ões,

men

os e

stre

itas

qu

e as

de

amiz

ade.

Pes

soa

com

que

m s

e

7.2

O c

onhe

cim

ento

mat

emát

ico

é im

port

ante

pa

ra

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica.

A

impo

rtân

cia

do

conh

ecim

ento

mat

emát

ico

na

form

ação

de

pr

ofes

sore

s de

M

atem

átic

a.

tem

rel

açõe

s.

7.3

A g

ente

não

pod

e fi

car

só e

m

cim

a di

sso

(for

maç

ão

mat

emát

ica)

, m

as

tam

bém

nã

o só

a

part

e pe

dagó

gica

.

7.

3 N

a L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a é

impo

rtan

te

ter

form

ação

m

atem

átic

a e

peda

gógi

ca.

A

form

ação

m

atem

átic

a e

peda

gógi

ca

do

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

7.4

[...]

a Á

lgeb

ra te

m u

m p

oder

[...

],

uma

com

posi

ção

dess

a pa

rte

mat

emát

ica

em s

i.

Pod

er:

Facu

ldad

e,

poss

ibil

idad

e.

Facu

ldad

e de

impo

r ob

ediê

ncia

; aut

orid

ade,

m

ando

. Im

péri

o,

sobe

rani

a.

Poss

e,

juri

sdiç

ão, d

omín

io, a

trib

uiçã

o. G

over

no d

e um

E

stad

o.

Forç

as

mil

itare

s.

Forç

a ou

in

fluê

ncia

. Fo

rça

físi

ca o

u m

oral

. E

ficá

cia,

ef

eito

, vi

rtud

e.

Mei

os.

Rec

urso

s.

Cap

acid

ade

de

agir

ou

de

pr

oduz

ir

um

efei

to.

Com

posi

ção:

ato

ou

efei

to d

e co

nstit

uir

um

todo

. M

odo

pelo

qu

al

os

elem

ento

s co

nsti

tuin

tes

do

todo

se

di

spõe

m

e in

tegr

am; o

rgan

izaç

ão.

7.4

A

Álg

ebra

te

m

um

pode

r e

com

põe

essa

par

te d

a M

atem

átic

a.

A

pres

ença

da

Á

lgeb

ra

na

Mat

emát

ica.

7.5

é a

ques

tão

de v

ocê

trab

alha

r co

m b

asta

nte

abst

raçã

o.

Tra

balh

ar:

ocup

ar-s

e em

al

gum

of

ício

, pr

ofis

são

ou

ativ

idad

e.

Em

penh

ar-s

e,

esfo

rçar

-se

para

ex

ecut

ar

ou

alca

nçar

al

gum

a co

isa;

em

preg

ar

dilig

ênci

a e

trab

alho

. D

ar

trab

alho

a;

fa

tigar

co

m

trab

alho

. R

eali

zar

suas

ati

vida

des;

est

ar e

m

func

iona

men

to;

mov

er-s

e,

func

iona

r.

Pôr

em

obra

; la

vrar

, m

anip

ular

. Pr

epar

ar

(o

solo

) pa

ra

cult

ivo

agrí

cola

; ar

rote

ar.

Subm

eter

a tr

eino

s, e

xerc

ício

s (u

ma

pess

oa,

uma

equi

pe, u

m a

nim

al e

tc.)

par

a m

elho

rar

ou

aper

feiç

oar

seu

dese

mpe

nho.

D

esen

volv

er a

ção

sobr

e; a

tuar

. Exe

cuta

r ou

pr

epar

ar c

om e

smer

o. C

olab

orar

, con

trib

uir

para

. C

ausa

r af

liçã

o a;

at

orm

enta

r.

Em

pena

r (f

alan

do-s

e da

mad

eira

). E

xerc

er

7.5

Álg

ebra

é

o tr

abal

ho

com

ab

stra

ções

. O

que

a Á

lgeb

ra é

.

a pr

ofis

são

de;

dese

nvol

ver

uma

ativ

idad

e co

mo.

.. 7.

6 [.

..]

pelo

m

enos

aq

ui

com

os

al

unos

, qu

e el

es

têm

m

uita

di

ficu

ldad

e,

em

gera

l, de

te

r ab

stra

ções

.

Dif

icul

dade

: Q

ualid

ade

do q

ue é

dif

ícil.

A

quilo

que

é d

ifíc

il o

u to

rna

difí

cil

uma

cois

a.

Em

bara

ço,

esto

rvo,

im

pedi

men

to.

Obs

tácu

lo. S

ituaç

ão c

ríti

ca.

Abs

traç

ão:

ato

ou e

feit

o de

abs

trai

r(-s

e);

abst

raim

ento

, R

ubri

ca:

filo

sofi

a. O

pera

ção

inte

lect

ual,

com

pree

ndid

a po

r A

rist

ótel

es

(383

a.C

.-32

2 a.

C.)

e T

omás

de

Aqu

ino

(122

7-12

74)

com

o a

orig

em

de

todo

o

proc

esso

co

gniti

vo,

na

qual

o

que

é es

colh

ido

com

o ob

jeto

de

re

flex

ão

é is

olad

o de

um

a sé

rie

de

fato

res

que

com

umen

te

lhe

estã

o re

laci

onad

os

na

real

idad

e co

ncre

ta (

com

o oc

orre

, p.

ex.,

na

cons

ider

ação

m

atem

átic

a qu

e de

spoj

a os

ob

jeto

s de

sua

s qu

alid

ades

sen

síve

is [

peso

, co

r et

c.],

no

intu

ito d

e co

nsid

erá-

los

apen

as

em s

eu a

spec

to m

ensu

ráve

l e

quan

titat

ivo)

. D

eriv

ação

: po

r ex

tens

ão

de

sent

ido.

R

ubri

ca:

filo

sofi

a.

O

resu

ltad

o de

ssa

oper

ação

(t

erm

o,

idéi

a,

conc

epçã

o et

c.);

ab

stra

to.

Der

ivaç

ão:

por

exte

nsão

de

se

ntid

o.

Rub

rica

: ps

icol

ogia

. Pr

oces

so

men

tal

que

cons

iste

em

esc

olhe

r ou

iso

lar

um a

spec

to d

eter

min

ado

de u

m e

stad

o de

co

isas

rel

ativ

amen

te c

ompl

exo,

a f

im d

e si

mpl

ific

ar a

sua

ava

liaç

ão, c

lass

ific

ação

ou

para

per

miti

r a

com

unic

ação

do

mes

mo

[A

abst

raçã

o di

stin

gue-

se d

a an

ális

e, p

orqu

e ne

sta

a to

tali

dade

é (

men

talm

ente

) ci

ndid

a em

to

das

as

suas

pa

rtes

, en

quan

to

a ab

stra

ção

lida

com

o i

sola

men

to d

e ap

enas

7.6

os

alun

os

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

têm

di

ficu

ldad

e em

ab

stra

ir.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

uma

das

part

es.]

7.

7 [.

..] o

que

sig

nifi

ca o

“x”

ou

para

qu

alqu

er “

x”. E

sse

“x”,

em

ger

al, f

ica

difí

cil

de o

alu

no c

arac

teri

zar

de f

ato

com

o um

val

or q

ualq

uer

inte

iro.

Dif

ícil:

que

não

é f

ácil

; qu

e ex

ige

esfo

rço

para

ser

fei

to;

trab

alho

so,

labo

rios

o, á

rduo

Q

ue d

eman

da e

sfor

ço i

ntel

ectu

al p

ara

ser

com

pree

ndid

o ou

en

tend

ido;

in

tric

ado,

co

mpl

icad

o,

obsc

uro.

Q

ue

ofer

ece

obst

ácul

o,

risc

o ou

pe

rigo

; im

prat

icáv

el,

inac

essí

vel.

7.7

É d

ifíc

il pa

ra o

alu

no a

bstr

air

que

qual

quer

x,

po

r ex

empl

o,

sign

ific

a qu

alqu

er v

alor

inte

iro.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

7.8

Na

abst

raçã

o el

es

têm

m

uita

di

ficu

ldad

e.

Mes

mo

em

níve

l de

gr

adua

ção.

[.

..] m

uita

s ve

zes

eu e

stou

exp

lica

ndo

algu

ma

cois

a el

es

pede

m

para

da

r ex

empl

os.

Dif

icul

dade

: Q

ualid

ade

do q

ue é

dif

ícil.

A

quilo

que

é d

ifíc

il o

u to

rna

difí

cil

uma

cois

a.

Em

bara

ço,

esto

rvo,

im

pedi

men

to.

Obs

tácu

lo. S

ituaç

ão c

ríti

ca.

Exe

mpl

o:

Do

que

pode

ou

de

ve

ser

imit

ado;

mod

elo.

Cas

tigo

ou

mal

ogro

que

po

de s

ervi

r de

liç

ão.

Coi

sa s

emel

hant

e ou

an

álog

a àq

uilo

de

que

se e

stá

trat

ando

ou

fala

ndo.

Fra

se o

u pa

ssag

em d

e um

aut

or,

cita

da

para

es

tabe

lece

r um

a op

iniã

o,

conf

irm

ar u

ma

regr

a ou

dem

onst

rar

uma

verd

ade.

Fat

o ou

aco

ntec

imen

to d

e qu

e se

de

ve ti

rar

uma

liçã

o de

vid

a, u

m p

rove

ito.

7.8

Os

alun

os

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

pede

m

exem

plos

po

rque

tem

dif

icul

dade

em

abs

trai

r.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

7.9

Na

abst

raçã

o el

es t

êm b

asta

nte

difi

culd

ade.

D

ific

ulda

de:

Qua

lidad

e do

que

é d

ifíc

il.

Aqu

ilo q

ue é

dif

ícil

ou

torn

a di

fíci

l um

a co

isa.

E

mba

raço

, es

torv

o,

impe

dim

ento

. O

bstá

culo

. Situ

ação

crí

tica

.

7.9

Mes

mo

na g

radu

ação

, os

alu

nos

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

têm

di

ficu

ldad

e co

m

abst

raçõ

es.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

7.10

[...

] o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica,

el

e se

mpr

e te

m q

ue p

ensa

r [.

..],

o co

nteú

do

mat

emát

ico

de

uma

man

eira

ge

ral

e ba

stan

te

abra

ngen

te. E

ssa

gene

raliz

ação

, em

ge

ral

[...]

, te

m q

ue a

bstr

air

para

um

“x

” qu

alqu

er,

abst

rair

e

assi

m

por

dian

te.

Eu

acho

qu

e ne

sse

item

a

Álg

ebra

te

m

um

pape

l ba

stan

te

7.

10

O

prof

esso

r de

M

atem

átic

a de

ve p

ensa

r o

cont

eúdo

mat

emát

ico

de

form

a ge

ral

e ab

rang

ente

. A

Á

lgeb

ra

dese

mpe

nha

um

pape

l im

port

ante

em

rel

ação

a is

so.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

impo

rtan

te.

7.11

[...

] o

prof

esso

r de

Mat

emát

ica

deve

te

r um

do

mín

io

[...]

, de

M

atem

átic

a ba

stan

te a

bran

gent

e.

Dom

inar

: E

xerc

er

dom

ínio

so

bre;

te

r au

tori

dade

ou

po

der

em

ou

sobr

e.

Ter

au

tori

dade

, as

cend

ênci

a ou

inf

luên

cia

tota

l so

bre;

pre

vale

cer.

Con

ter,

ref

rear

, re

prim

ir,

subj

ugar

, ve

ncer

. C

onte

r-se

, ve

ncer

as

pr

ópri

as

incl

inaç

ões

ou

paix

ões.

E

star

so

bran

ceir

o. O

cupa

r in

teir

amen

te.

7.11

O

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

deve

con

hece

r M

atem

átic

a de

um

a m

anei

ra a

bran

gent

e.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

7.12

E

u tr

abal

ho

com

6ª

sér

ie,

eu

trab

alho

na

rede

mun

icip

al.

7.

12 O

dep

oent

e tr

abal

ha t

ambé

m

com

a r

ede

mun

icip

al d

e en

sino

. O

pro

fess

or tr

abal

ha c

om o

E

nsin

o F

unda

men

tal t

ambé

m.

7.13

M

uita

s si

tuaç

ões

que

eu

fico

re

spon

dend

o as

dúv

idas

dos

alu

nos,

cl

aro

que

loca

lmen

te.

Mas

o

meu

ra

cioc

ínio

el

e é

abra

ngen

te.

Gen

éric

o, g

ener

aliz

ado

e ab

stra

to,

eu d

iria

.

Abs

trat

o : Q

ue r

esul

ta d

e ab

stra

ção.

Que

si

gnif

ica

uma

qual

idad

e co

m e

xclu

são

do

suje

ito.

D

emas

iado

ob

scur

o,

sutil

, va

go.

Diz

-se

dos

sere

s ou

dos

fat

os i

mag

inár

ios,

ad

miti

dos

por

supo

siçã

o.

Diz

-se

das

ciên

cias

que

em

preg

am a

s m

ais

elev

adas

ab

stra

ções

. D

istr

aído

, al

head

o. D

iz-s

e do

nú

mer

o co

nsid

erad

o in

depe

nden

tem

ente

da

natu

reza

da

un

idad

e.

Idéi

a de

um

a qu

alid

ade

ou p

ropr

ieda

de q

ue m

enta

lmen

te

se s

epar

a do

ent

e ou

sub

stân

cia

a qu

e el

a é

iner

ente

. A

quilo

que

se

cons

ider

a ex

iste

nte

apen

as n

o do

mín

io d

as i

déia

s, s

em b

ase

mat

eria

l.

7.13

Ao

trab

alha

r co

m a

luno

s da

6ª

séri

e, o

dep

oent

e re

spon

de d

úvid

as

pont

uais

do

s al

unos

, m

as

seu

raci

ocín

io

prec

isa

ser

abra

ngen

te,

gene

rali

zado

e a

bstr

ato.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber

7.14

[...

] é

bast

ante

im

port

ante

par

a a

form

ação

do

pr

ofes

sor

que

ele

tam

bém

ten

ha u

ma

sólid

a fo

rmaç

ão

mat

emát

ica,

[...

] E

mbo

ra e

u te

nha

feit

o L

icen

ciat

ura

[...]

, eu

se

mpr

e de

i m

uita

im

port

ânci

a à

form

ação

mat

emát

ica.

N

a ve

rdad

e,

salie

ntar

ia

esse

it

em

com

o m

ais

impo

rtan

te p

ara

leci

onar

.

Impo

rtân

cia :

Q

ualid

ade

de

impo

rtan

te.

Aut

orid

ade,

co

nsid

eraç

ão,

créd

ito,

infl

uênc

ia. G

rand

e va

lor

rela

tivo

das

coi

sas.

Q

uant

ia, s

oma,

tota

l.

Impo

rtan

te:

Que

te

m

impo

rtân

cia.

Q

ue

não

se p

ode

esqu

ecer

ou

deix

ar d

e at

ende

r.

Dig

no

de

apre

ço,

de

esti

ma,

de

co

nsid

eraç

ão.

Que

te

m

gran

des

créd

itos

, qu

e ex

erce

no

táve

l in

fluê

ncia

. Q

ue

tem

m

uito

va

lor

ou

preç

o no

táve

l. Ú

til,

7.14

É i

mpo

rtan

te p

ara

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

ter

uma

form

ação

só

lida

em

Mat

emát

ica.

O p

rofe

ssor

co

nsid

era

o co

nhec

imen

to

com

o it

em m

ais

impo

rtan

te p

ara

leci

onar

M

atem

átic

a.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

nece

ssár

io.

Enf

atua

do.

O q

ue h

á de

mai

s in

tere

ssan

te,

de

mai

s út

il,

de

mai

s pr

ovei

toso

nu

ma

pess

oa

ou

cois

a;

o es

senc

ial.

7.15

Aqu

i na

fac

ulda

de a

gen

te t

em

assi

m: Á

lgeb

ra I

,II,

III

e IV

. E a

caba

ab

rang

endo

um

a pa

rte

de L

ógic

a,

tant

o da

Teo

ria

de N

úmer

os q

ue

seri

a na

Á

lgeb

ra

I.

Dep

ois

a Á

lgeb

ra I

I qu

e se

ria

a Á

lgeb

ra d

e fa

to,

a qu

e a

gent

e co

nhec

e,

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s. E

a I

II e

a I

V

que

vem

de

pois

, ac

aba

evol

vend

o m

ais

a pa

rte

da Á

lgeb

ra L

inea

r.

7.

15 N

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

há

as

disc

ipli

nas

de

Álg

ebra

I,

II,I

II

e IV

ab

rang

endo

L

ógic

a,

Teo

ria

dos

Núm

eros

, es

trut

uras

al

gébr

icas

e

Álg

ebra

L

inea

r.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

7.16

Dos

con

teúd

os, e

u ac

ho b

asta

nte

rele

vant

e a

part

e de

ssas

est

rutu

ras

algé

bric

as,

[...]

mas

ain

da m

ais

[...]

, m

ais

de

todo

s se

ria

a pa

rte

das

aplic

açõe

s.

Apl

icaç

ão:

Açã

o ou

ef

eito

de

ap

licar

. E

mpr

ego,

ut

iliz

ação

, us

o.

Ate

nção

ou

as

sidu

idad

e no

tra

balh

o. A

ção

de m

inis

trar

m

edic

amen

tos.

E

nfei

te

sobr

epos

to

a um

ve

stid

o. N

ome

de c

erta

peç

a de

ser

ralh

aria

.

7.16

É i

mpo

rtan

te p

ara

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

conh

ecer

as

es

trut

uras

al

gébr

icas

, m

ais

impo

rtan

te a

inda

é s

aber

a a

plic

ação

da

s m

esm

as.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

7.17

A

s ap

licaç

ões

que

num

co

ntex

to

mai

s am

plo

um

exem

plo

seri

am a

s fu

nçõe

s lá

do

ensi

no e

que

a

gent

e tr

abal

ha,

que

é a

cara

cter

izaç

ão

de

hom

orfi

smos

, is

omor

fism

os,

que

na v

erda

de n

ada

mai

s sã

o, d

o qu

e vo

cê c

arac

teri

zar

uma

funç

ão:

se

ela

é in

jeto

ra,

bije

tora

ou

não

e as

sim

por

dia

nte.

Apl

icaç

ão:

Açã

o ou

ef

eito

de

ap

licar

. E

mpr

ego,

ut

iliz

ação

, us

o.

Ate

nção

ou

as

sidu

idad

e no

tra

balh

o. A

ção

de m

inis

trar

m

edic

amen

tos.

E

nfei

te

sobr

epos

to

a um

ve

stid

o. N

ome

de c

erta

peç

a de

ser

ralh

aria

. N

a fa

la

do

prof

esso

r,

pode

mos

co

mpr

eend

er a

plic

açõe

s co

mo

sinô

nim

o de

fu

nçõe

s.

7.17

Fu

nçõe

s sã

o ex

empl

os

de

apli

caçã

o da

s es

trut

uras

alg

ébri

cas.

O

s ho

mom

orfi

smos

ca

ract

eriz

am

uma

funç

ão c

omo

inje

tora

, bi

jeto

ra

e as

sim

por

dia

nte.

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra.

Impo

rtân

cia

do

estu

do

das

estr

utur

as a

lgéb

rica

s.

7.18

Em

seg

undo

pla

no s

eria

a p

arte

de

est

rutu

ras

algé

bric

as.

Até

par

a re

conh

ecer

, po

r ex

empl

o,

os

conj

unto

s nu

mér

icos

co

m

cara

cter

ísti

cas

dife

renc

iada

s,

desd

e os

nat

urai

s at

é os

com

plex

os q

ue

7.

18

Con

hece

r as

es

trut

uras

al

gébr

icas

e

suas

ap

lica

ções

é

impo

rtan

te

para

o

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

É i

mpo

rtan

te p

ara

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

conh

ecer

dos

núm

eros

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

Im

port

ânci

a do

es

tudo

da

s es

trut

uras

alg

ébri

cas.

são

trab

alha

dos

ao

long

o da

E

duca

ção

Bás

ica.

na

tura

is a

té o

s co

mpl

exos

, po

is s

ão

trab

alha

dos

na E

duca

ção

Bás

ica.

7.

19

Tem

um

a gr

ande

re

jeiç

ão

à di

scip

lina

[...

] os

alu

nos

não

estã

o di

spos

tos

a es

tuda

r aq

uilo

, te

m u

ma

cert

a in

disp

osiç

ão d

iga-

se d

e fa

zer

aqui

lo.

Isso

ac

aba

cria

ndo

uma

barr

eira

, qu

e na

ve

rdad

e,

não

prec

isar

ia e

star

ali

. E

u ac

ho q

ue s

e es

sa b

arre

ira,

ess

a pr

é-in

disp

osiç

ão,

esse

pr

é-co

ncei

to,

[...]

T

em

um

bloq

ueio

bas

tant

e gr

ande

, um

a re

cusa

at

é.

Eu

acho

qu

e is

so

difi

cult

a ba

stan

te

até

o de

senv

olvi

men

to

da

disc

ipli

na.

Dif

icul

dade

: Q

ualid

ade

do q

ue é

dif

ícil.

A

quilo

que

é d

ifíc

il o

u to

rna

difí

cil

uma

cois

a.

Em

bara

ço,

esto

rvo,

im

pedi

men

to.

Obs

tácu

lo. S

ituaç

ão c

ríti

ca.

Rej

eiçã

o : A

to o

u ef

eito

de

reje

itar

; re

cusa

, re

puls

a. I

ndis

posi

ção :

Fal

ta d

e di

spos

ição

ou

de

incl

inaç

ão p

ara.

Lig

eira

alt

eraç

ão d

e sa

úde;

m

al-e

star

. D

eriv

ação

: se

ntid

o fi

gura

do.

Falta

de

en

tend

imen

to,

de

harm

onia

en

tre;

br

iga,

de

sint

elig

ênci

a,

disc

ussã

o.

Má

vont

ade;

m

alqu

eren

ça,

aver

são.

B

arre

ira:

E

spéc

ie

de

trin

chei

ra

ou

para

peit

o fe

ita

com

pa

us

bem

pr

óxim

os

entr

e si

e e

m a

linh

amen

to;

esta

cada

. L

ugar

ce

rcad

o po

r es

taca

s on

de

se

real

izav

am

anti

gam

ente

tor

neio

s e

just

as.

Nos

ace

ssos

de

cid

ade

ou d

e po

voaç

ão,

post

o fi

scal

que

co

ntro

la

o tr

ânsi

to

ou

cobr

a ta

xas

de

entr

ada

de g

êner

os,

mer

cado

rias

etc

. E

m

vias

púb

licas

, en

trad

a de

pré

dios

púb

licos

ou

pr

opri

edad

es

priv

adas

et

c.,

qual

quer

ob

stác

ulo

(cav

alet

es,

canc

ela,

po

lici

ais,

vi

atur

as e

tc.)

que

vis

a im

pedi

r a

pass

agem

de

pes

soas

não

aut

oriz

adas

. D

eriv

ação

: po

r ex

tens

ão

de

sent

ido.

T

al

tipo

de

im

pedi

men

to,

exec

utad

o po

r ou

tros

m

otiv

os.

Qua

lque

r co

isa

que

impe

ça

a pa

ssag

em d

e al

go P

orçã

o de

ter

ra q

ue c

ai à

m

arge

m d

e es

trad

a ou

cam

inho

, e q

ue p

ode

impe

dir

o tr

ânsi

to. E

scar

pa s

em v

eget

ação

à

beir

a de

um

rio

,

7.19

O

s al

unos

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a ap

rese

ntam

um

a re

jeiç

ão

e um

a in

disp

osiç

ão

em

rela

ção

às

disc

ipli

nas

de Á

lgeb

ra. E

les

têm

um

bl

oque

io,

um

prec

once

ito,

um

a re

cusa

pa

ra

com

a

disc

ipli

na

de

Álg

ebra

. E

ssa

é um

a di

ficu

ldad

e no

de

senv

olvi

men

to d

a di

scip

lina

.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

bura

co

na

terr

a;

toca

. G

rand

e ob

stác

ulo;

di

ficu

ldad

e, e

mpe

cilh

o.

7.20

Os

alun

os [

...]

da L

icen

ciat

ura,

m

uita

s ve

zes,

nã

o re

conh

ecem

ou

nã

o en

xerg

am

a im

port

ânci

a da

di

scip

lina

na

su

a at

uaçã

o pr

ofis

sion

al.

Impo

rtân

cia:

Q

ualid

ade

de

impo

rtan

te.

Aut

orid

ade,

co

nsid

eraç

ão,

créd

ito,

infl

uênc

ia. G

rand

e va

lor

rela

tivo

das

coi

sas.

Q

uant

ia, s

oma,

tota

l.

7.20

Na

opin

ião

dos

prof

esso

res,

os

alun

os d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

não

cons

ider

am

a Á

lgeb

ra

impo

rtan

te

para

a

sua

atua

ção

prof

issi

onal

.

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra.

Im

port

ânci

a da

Álg

ebra

par

a o

trab

alho

do

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica.

7.

21 M

as e

u ac

ho q

ue a

Mat

emát

ica

tem

um

a ca

tiva

, el

a te

m

cois

as

inte

ress

ante

s, u

ma

bele

za i

ntrí

nsec

a e

que

o pr

ofes

sor

deve

ve

r um

a be

leza

nis

so, p

elo

men

os e

u ac

ho.

Intr

ínse

ca:

que

faz

part

e de

ou

qu

e co

nsti

tui a

ess

ênci

a, a

nat

urez

a de

alg

o; q

ue

é pr

ópri

o de

alg

o; i

nere

nte.

Que

é r

eal;

que

te

m

impo

rtân

cia,

si

gnif

icaç

ão

por

si

próp

rio,

inde

pend

ente

men

te d

a re

laçã

o co

m

outr

as c

oisa

s.

7.21

o

prof

esso

r pr

ecis

a ve

r a

bele

za in

trín

seca

à M

atem

átic

a.

O g

osto

do

prof

esso

r do

cur

so

de

Lic

enci

atur

a pe

la

disc

ipli

na e

pel

a M

atem

átic

a.

7.22

Se

eu n

ão v

isse

ess

a be

leza

na

Mat

emát

ica

em s

i, [.

..] e

u nã

o se

ria

prof

esso

r.

Ver

: C

onhe

cer

(os

obje

tos

exte

rnos

) po

r m

eio

do s

enti

do d

a vi

são.

Alc

ança

r co

m a

vi

sta;

av

ista

r,

enxe

rgar

. A

vist

ar-s

e,

cont

empl

ar-s

e,

mir

ar-s

e:

"Ver

-se

ao

espe

lho.

Ser

esp

ecta

dor

ou t

este

mun

ha d

e;

pres

enci

ar.

Ach

ar,

enco

ntra

r.

Not

ar,

obse

rvar

. D

isti

ngui

r,

divi

sar.

Pe

rcor

rer.

A

char

-se,

en

cont

rar-

se

em

algu

ma

cond

ição

, es

tado

, lu

gar

ou s

itua

ção.

Sen

tir-

se.

Ate

nder

a,

repa

rar,

tom

ar c

uida

do e

m.

Con

hece

r.

Est

udar

. L

er.

Vis

itar

. Pr

esta

r se

rviç

os

méd

icos

. E

star

em

co

ntat

o,

em

conv

ivên

cia

ou

em

rela

ções

co

m;

freq

üent

ar,

rece

ber.

R

econ

hece

r.

Com

pree

nder

. Ju

lgar

. E

xam

inar

, in

daga

r,

inve

stig

ar.

Infe

rir,

de

duzi

r,

conc

luir

. Fa

ntas

iar,

im

agin

ar.

Rec

orda

r.

Exp

erim

enta

r. C

alcu

lar.

7.22

o p

rofe

ssor

diz

que

opt

ou p

or

essa

pr

ofis

são

por

cont

empl

ar

a be

leza

da

Mat

emát

ica.

O g

osto

do

prof

esso

r do

cur

so

de

Lic

enci

atur

a pe

la

disc

ipli

na e

pel

a M

atem

átic

a.

7.23

Gos

tar

diss

o, é

iss

o qu

e es

tá

falt

ando

mui

to p

ara

os n

osso

s al

unos

. G

osta

r: A

char

bom

gos

to o

u sa

bor

em.

Prov

ar,

tom

ar o

gos

to.

Sabo

rear

, to

mar

o

gost

o. A

char

bom

ou

belo

. T

er a

miz

ade,

7.23

O

s al

unos

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a pr

ecis

am g

osta

r de

ser

pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a.

Gos

to

dos

alun

os

da

Lic

enci

atur

a pe

la M

atem

átic

a.

amor

ou

si

mpa

tia

a.

Ter

in

clin

ação

ou

te

ndên

cia

para

alg

uma

cois

a. E

xper

imen

tar,

go

zar.

Apr

ovar

. A

com

odar

-se,

dar

-se

bem

co

m a

lgum

a co

isa

7.24

Às

veze

s el

es e

stão

aí

mai

s pa

ra

ter

uma

prof

issã

o qu

e el

es q

uere

m

ter,

um

gan

ha p

ão,

e nã

o pe

nsar

am

que

essa

pr

ofis

são

tem

to

do

um

cont

exto

[...

]

Gos

tar:

Ach

ar b

om g

osto

ou

sabo

r em

. Pr

ovar

, to

mar

o g

osto

. Sa

bore

ar,

tom

ar o

go

sto.

Ach

ar b

om o

u be

lo.

Ter

am

izad

e,

amor

ou

si

mpa

tia

a.

Ter

in

clin

ação

ou

te

ndên

cia

para

alg

uma

cois

a. E

xper

imen

tar,

go

zar.

Apr

ovar

. A

com

odar

-se,

dar

-se

bem

co

m a

lgum

a co

isa.

7.24

E

m

uita

s ve

zes

os

alun

os

opta

m

por

essa

pr

ofis

são

pela

s op

ortu

nida

des

de

trab

alho

e

não

pens

ando

na

prof

issã

o in

seri

da e

m

um c

onte

xto

mai

s am

plo.

.

Por

que

os a

luno

s op

tam

pel

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura?

Ent

revi

sta

8

A e

ntre

vist

a 8

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

a pr

ofes

sora

de

Álg

ebra

de

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

a fo

rmaç

ão d

e pr

ofes

sore

s de

Mat

emát

ica?

Pro

fess

ora:

Bom

, em

pri

mei

ro l

ugar

, te

nho

que

te e

xplic

ar q

ue a

qui

na i

nsti

tuiç

ão,

na n

ossa

Uni

vers

idad

e, p

or e

xem

plo,

[nó

s te

mos

uma

disc

ipli

na q

ue c

ham

a Á

lgeb

ra,

mas

, em

dua

s tu

rmas

: Á

lgeb

ra I

e Á

lgeb

ra I

I. A

qui

tem

, po

r ex

empl

o, a

ssim

: Á

lgeb

ra I

: L

ógic

a e

uma

Ari

tmét

ica.

Álg

ebra

I:

uma

disc

iplin

a qu

e te

m a

par

te d

a L

ógic

a e

uma

part

e da

Ari

tmét

ica.

Álg

ebra

II:

que

ser

ia [

...],

ent

ra a

par

te d

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s, t

em u

ma

part

e da

s re

laçõ

es,

funç

ões

e as

est

rutu

ras

algé

bric

as.

Tem

um

a pa

rte

das

rela

ções

, fu

nçõe

s e

das

estr

utur

as

algé

bric

as. E

ntão

, pri

ncip

alm

ente

a te

oria

dos

gru

pos,

ané

is e

cor

pos.

Bom

, fa

land

o es

peci

fica

men

te d

a Á

lgeb

ra I

, nó

s te

mos

por

obj

etiv

o, q

ue a

[Á

lgeb

ra I

, el

a in

trod

uz u

ma

nova

lin

guag

em p

ara

aque

le

futu

ro p

rofe

ssor

: a li

ngua

gem

da

Mat

emát

ica.

Um

a m

anei

ra d

e es

crev

er, d

e se

exp

ress

ar c

om c

lare

za.]

(1.

28).

Ele

vai

ser

pro

fess

or,

ele

vai

ter

que

expo

r as

idé

ias

dele

par

a os

alu

nos.

[E

a g

ente

acr

edita

que

ess

a pr

imei

ra d

isci

plin

a, p

rim

eiro

cont

ato,

é u

ma

disc

iplin

a ju

stam

ente

par

a el

e ap

rend

er a

exp

or s

uas

idéi

as],

[o

que

é um

a de

mon

stra

ção,

com

o el

e fa

z um

a de

mon

stra

ção]

.

[Par

a ap

rend

er a

esc

reve

r m

atem

atic

amen

te e

,(ap

rend

er)

que

ele

tenh

a um

a no

ção

que

ele

tem

que

se

expr

essa

r de

for

ma

clar

a e

obje

tiva

par

a

pode

r pa

ssar

isso

par

a o

alun

o de

pois

.]

[Iss

o, p

or e

xem

plo,

ser

ia m

ais

uma

idéi

a da

Lóg

ica]

. [A

par

te d

a A

ritm

étic

a el

es t

odos

com

pree

ndem

que

est

á vi

ncul

ado

dire

tam

ente

com

aqu

ilo

que

eles

vão

ens

inar

.] [

Na

Ari

tmét

ica

eles

vão

trab

alha

r is

so, e

les

prec

isam

sab

er d

os c

once

itos.

]

[Eu

acre

dito

que

se

tu n

ão t

ens

clar

o o

conc

eito

, nã

o ad

iant

a tu

ter

um

a au

la c

om m

ater

ial

conc

reto

, co

m [

...],

enf

im,

diga

mos

ass

im,

uma

aula

lind

a e

mar

avilh

osa,

e n

ão te

r o

conc

eito

.] S

e tu

não

tens

a r

eal n

oção

do

conc

eito

[.]

.

[ A

pesa

r de

que

os

alun

os m

uita

s ve

zes

acha

m q

ue p

odem

res

olve

r um

exe

rcíc

io s

em s

aber

a t

eori

a.]

“Vam

os f

azer

o e

xerc

ício

prim

eiro

. Ah!

Dei

xa e

u fa

zer

o ex

ercí

cio

para

ver

com

o é

que

é” (

prof

esso

ra f

ala

imita

ndo

a fa

la d

os a

luno

s). [

Bom

, mas

tu

tens

que

sab

er o

s

conc

eito

s, tu

tens

que

sab

er a

s de

fini

ções

, e, p

ara

um p

rofe

ssor

, iss

o é

supe

r im

port

ante

.]

[Ele

tem

que

ter

a c

lare

za d

as d

efin

içõe

s, e

le t

em q

ue t

er a

cla

reza

dos

con

ceit

os,

para

, da

í en

tão,

pod

er f

azer

sua

aul

a co

m a

met

odol

ogia

que

ele

ach

ar m

elho

r.]

Bom

,[aí

na

Álg

ebra

II,

por

exe

mpl

o, q

ue é

a Á

lgeb

ra q

ue e

ntra

a q

uest

ão d

as e

stru

tura

s al

gébr

icas

,] m

ais

aind

a. E

u co

nsid

ero

assi

m

fund

amen

tal,

que

o al

uno

saib

a -

de n

ovo,

[qu

e el

e sa

iba

o co

ncei

to] ,

[qu

e el

e te

nha

real

noç

ão d

o qu

e é

um e

lem

ento

ser

sim

etri

záve

l, o

que

é

ser

o si

mét

rico

.] N

o ca

so,

[se

tu f

alar

em

ane

l e

corp

o, o

que

tu

ter

o in

vers

o, o

que

é o

ele

men

to n

eutr

o, q

ue e

les

conf

unde

m a

s ve

zes

o

elem

ento

neu

tro.

] O

ele

men

to n

eutr

o en

tão

é o

zero

, não

pod

e se

r pa

r ne

m i

mpa

r, p

orqu

e el

e é

neut

ro, p

or e

xem

plo.

Ele

s vê

m c

om u

ma

séri

e

de c

onfu

sões

, dig

amos

ass

im. I

sso

na Á

lgeb

ra I

a g

ente

dis

cute

: o n

úmer

o um

é p

rim

o ou

não

é p

rim

o, tu

do is

so e

ntão

tem

que

ens

inar

.

[ Min

ha id

éia

é qu

e, a

ssim

, a d

isci

plin

a de

Álg

ebra

é f

unda

men

tal e

, ali

ás, s

e di

scut

e no

sso

curs

o qu

e el

e de

veri

a te

r m

ais

(dis

cipl

inas

de

Álg

ebra

), j

usta

men

te p

ara

quê?

Par

a pr

epar

ar m

elho

r es

se p

rofe

ssor

, pr

inci

palm

ente

na

ques

tão,

ass

im,

de s

aber

se

expr

essa

r co

m c

lare

za.

Olh

ar a

s de

mon

stra

ções

, olh

ar o

s co

ncei

tos,

a p

arte

bem

teór

ica

e ab

stra

ta d

a Á

lgeb

ra, p

ara

que

conh

eça

e co

nsig

a se

exp

ress

ar d

e fo

rma

mai

s

clar

a, p

ara

que

ele

cons

iga

apre

nder

, di

gam

os a

ssim

, a

escr

ever

mat

emat

icam

ente

, us

ar o

s co

ncei

tos,

par

a nã

o ca

ir n

aque

la v

elha

coi

sa,

por

exem

plo

do: p

assa

par

a o

outr

o la

do, n

a ho

ra d

e re

solv

er u

ma

equa

ção.

]

[A g

ente

tem

um

a br

iga

enor

me

com

ele

s. P

orqu

e el

es v

êm d

o E

nsin

o M

édio

diz

endo

: foi

ass

im q

ue e

u ap

rend

i.] T

á, m

as n

ão é

ass

im

que

se f

az.

Ent

ão e

u br

igo

com

ele

s as

sim

ó:

tu t

ens

que

sabe

r o

conc

eito

, o

que

tu e

stás

usa

ndo,

se

está

s us

ando

sim

étri

co o

u se

tu

está

s

usan

do o

inve

rso,

no

caso

da

mul

tipl

icaç

ão.

Tu

tens

que

sab

er q

ue t

u fa

z is

so e

tu

tens

que

ens

inar

teu

alu

no d

e fo

rma

corr

eta.

E,

se e

le q

uise

r us

ar i

sso

depo

is,

se o

alu

no q

uise

r

usar

isso

com

um

: ah!

des

cobr

ir q

ue é

só

pass

ar p

ara

outr

o la

do, a

í tud

o be

m. M

as, t

u nã

o va

is e

nsin

ar is

so p

ara

ele.

[Ent

ão, n

ão s

ei, e

u nã

o po

sso

fala

r m

uito

por

que

é a

min

ha á

rea.

Ent

ão, s

e eu

não

ach

ar q

ue i

sso

é fu

ndam

enta

l, nã

o se

i. A

cho

eu n

ão

teri

a m

ais

nem

por

que

trab

alha

r e

no n

osso

cur

so a

gen

te te

m is

so.]

Aqu

i sã

o tr

ês (

disc

ipli

nas

de Á

lgeb

ra).

Mas

aí,

na v

erda

de, é

com

o eu

fal

ei, [

tem

Álg

ebra

I e

Álg

ebra

II,

que

são

Lóg

ica,

Ari

tmét

ica

e,

um p

ouco

de

teor

ia d

os C

onju

ntos

tam

bém

na

prim

eira

par

te,

as e

stru

tura

s al

gébr

icas

na

segu

nda.

] [E

a t

erce

ira,

Álg

ebra

Lin

ear,

que

daí

, é,

diga

mos

ass

im, s

eria

um

a co

ntin

uaçã

o da

s es

trut

uras

ali,

que

é o

esp

aço

veto

rial

.] E

aí b

om, a

Álg

ebra

Lin

ear

já é

um

a di

scip

lina

mai

s de

mei

o

de c

urso

. D

aí a

gen

te c

onti

nua

aí [

...].

Na

verd

ade,

ela

ser

ve q

uase

com

o um

ref

orço

par

a es

sa c

oisa

do

dem

onst

rar,

do

escr

ever

mat

emat

icam

ente

, m

ais

lá p

ara

o m

eio,

já

tam

bém

, pre

para

ndo

para

(a

disc

ipli

na)

uma

Aná

lise

, qu

e é

uma

disc

ipli

na m

ais

de f

inal

de

curs

o].

E, [

nós

tem

os b

atal

hado

ago

ra, n

o úl

timo

ano

prin

cipa

lmen

te, p

ara

colo

car

mai

s um

a Á

lgeb

ra. P

or q

ue?

Porq

ue o

alu

no n

ão s

abe]

P

esqu

isad

ora:

O q

ue s

eria

ess

a ou

tra

Álg

ebra

?

Pro

fess

ora:

Na

verd

ade,

ess

a ou

tra

Álg

ebra

[...

]. N

a ve

rdad

e, a

pri

mei

ra Á

lgeb

ra, q

ue é

a te

oria

dos

con

junt

os, L

ógic

a e

Ari

tmét

ica.

Ela

é m

uito

ape

rtad

a. O

que

é q

ue s

e im

agin

a? Q

ue tu

vai

s tr

abal

har

em u

m s

emes

tre

só L

ógic

a e

teor

ia d

os c

onju

ntos

. Tem

mui

ta c

oisa

par

a fa

lar,

porq

ue d

aí te

m to

das

as q

uest

ões

que

eu já

dis

se: r

epre

sent

ar, o

alu

no c

hega

aqu

i e n

ão s

abe

a di

fere

nça

do e

stá

cont

ido

e do

per

tenc

e. E

ntão

, é

uma

ques

tão

de r

epre

sent

ação

. [E

le te

m q

ue a

pren

der

o co

ncei

to p

ara

repr

esen

tar

mat

emat

icam

ente

] . A

í que

nós

pen

sam

os e

m f

azer

um

a ou

tra

que

pega

ria

toda

a p

arte

de

aritm

étic

a, u

sand

o m

ais

fort

emen

te a

s de

mon

stra

ções

. Q

ue i

sso

a ge

nte

não

cons

egue

faz

er.

E a

í, a

min

ha i

déia

é

pega

r a

part

e de

Ari

tmét

ica

e te

rmin

ando

as

disc

iplin

as c

om r

elaç

ões

e fu

nçõe

s.

Para

um

a Á

lgeb

ra I

I, o

nde

eu p

udes

se d

ar ê

nfas

e, i

nici

ar j

á em

teo

ria

de g

rupo

s, u

ma

terc

eira

dig

amos

ass

im,

que

seri

a a

teor

ia d

e

grup

os.

E p

oder

ia t

raba

lhar

tra

nqüi

lam

ente

mei

o se

mes

tre

de t

eori

a do

s gr

upos

e,

o ou

tro

fina

l, em

ané

is e

cor

pos.

Por

que

daí

tam

bém

, ne

m

tudo

é p

erfe

ito, n

ão p

oder

ia te

r um

a di

scip

lina

só p

ara

teor

ia d

os g

rupo

s e

uma

só p

ara

anéi

s e

corp

os, q

ue s

eria

tam

bém

bom

.

O n

osso

ide

al s

eria

pel

o m

enos

met

ade

de t

eori

a do

s gr

upos

, qu

e aí

só

vai

este

nder

ess

es c

once

itos

para

ané

is e

cor

pos,

no

fina

l do

sem

estr

e, n

a m

esm

a di

scip

lina.

Nos

sas

disc

iplin

as s

ão s

emes

trai

s. N

a ve

rdad

e, [

a ge

nte

tem

até

18

enco

ntro

s de

3 h

oras

. E, a

í, a

gent

e vê

que

está

bem

ape

rtad

o]. [

E, a

par

te d

e A

ritm

étic

a, te

m m

uita

coi

sa, q

ue s

e po

de d

iscu

tir

com

o a

luno

que

a g

ente

aca

ba n

ão v

endo

, por

que

ela

fico

u

na d

isci

plin

a qu

e eu

ten

ho n

o m

áxim

o 6

enco

ntro

s. E

, te

m m

uito

mai

s co

isa

para

fal

ar,

porq

ue i

sso

sim

ele

s re

laci

onam

mui

to c

om a

sal

a de

aula

. Ah!

Por

que

isso

é u

ma

mat

éria

de

5ª s

érie

. Ah!

É u

ma

mat

éria

de

6ª s

érie

. Ent

ão n

ós g

osta

ríam

os d

e te

r um

a di

scip

lina

inte

ira

diss

o.]

[Não

sei

, qua

ndo

tu f

alas

em

Álg

ebra

. Sob

re q

ue a

spec

tos

da Á

lgeb

ra?

Porq

ue e

u já

li a

lgum

as c

oisa

s a

resp

eito

e, o

s pr

ópri

os a

utor

es

não

se o

rgan

izam

. Não

ent

ram

num

con

sens

o de

diz

er o

que

é e

stud

ar Á

lgeb

ra. T

em e

ssa

part

e da

lógi

ca.]

Em

ger

al é

iss

o. [

Não

tem

um

con

sens

o. P

elo

que

eu t

enho

lid

o, e

u ve

jo n

a m

aior

ia d

os c

urso

s, e

xist

e um

a di

fere

nça

nas

disc

iplin

as

cham

adas

Ari

tmét

ica

e as

dis

cipl

inas

cha

mad

as d

e Á

lgeb

ra],

que

, em

ger

al s

ão a

s di

scip

linas

que

tu

tens

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s, r

elaç

ões

e

funç

ões.

[A

cho

que

aqui

, a Á

lgeb

ra é

isso

: Lóg

ica,

Ari

tmét

ica,

teor

ia d

os c

onju

ntos

, est

rutu

ras

algé

bric

as e

esp

aços

vet

oria

is. ]

Pes

quis

ador

a: Q

uais

são

os

cont

eúdo

s de

Álg

ebra

rel

evan

tes

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica?

Por

que

esse

s co

nteú

dos

são

impo

rtan

tes?

Pro

fess

ora:

Eu

acho

ass

im, q

ue c

ada

um te

m a

sua

impo

rtân

cia.

Por

exe

mpl

o, a

par

te d

a L

ógic

a e

a pa

rte

de te

oria

dos

con

junt

os, q

ue é

o in

icia

l, qu

e é

a L

ingu

agem

Mat

emát

ica,

tu v

ais

ser

prof

esso

r de

Mat

emát

ica,

tu v

ais

ter

que

sabe

r fa

lar

Mat

emát

ica,

e, a

té e

m u

sar

os te

rmos

corr

etos

. Com

o eu

fal

ei, d

o pe

rten

ce e

do

está

con

tido

. Se

tu e

stas

fal

ando

de

um e

lem

ento

, ele

est

á co

ntid

o (p

erte

nce)

, não

é?

Nes

se t

ipo

de c

oisa

, en

tão

tu c

omeç

as n

o pr

imei

ro s

emes

tre,

[na

pri

mei

ra d

isci

plin

a co

m a

s qu

estõ

es d

a L

ingu

agem

Mat

emát

ica

e, a

í

sim

, de

pois

tem

téc

nica

de

dem

onst

raçã

o],

para

que

ele

s en

xerg

uem

ass

im ó

: bo

m n

ão é

só,

se

vale

par

a um

, pa

ra d

ois

e pa

ra t

rês

vale

par

a

todo

s. [

Tem

que

dem

onst

rar.

Por

que

se

dem

onst

ra. P

ara

que

eles

tenh

am e

ssas

idéi

as e

tam

bém

um

a no

ção

do q

ue e

les

vão

enfr

enta

r du

rant

e

o cu

rso.

] Ess

a pr

imei

ra p

arte

, [o

meu

dis

curs

o é

sem

pre:

olh

a, n

essa

dis

cipl

ina

você

s vã

o te

r um

a id

éia

do q

ue v

ocês

vão

enf

rent

ar n

o cu

rso

de

você

s.]

Que

voc

ês v

ão u

sar

vári

as d

isci

plin

as te

óric

as d

o cu

rso

e co

mo

é qu

e vo

cês

vão

cont

inua

r...

A p

arte

de

Ari

tmét

ica

para

ele

é o

mai

s [.

..], c

omo

é qu

e vo

u di

zer

[...]

. Os

alun

os c

onsi

dera

m m

ais

[...]

, é [

...].

Ah!

Eu

vou

dar

aula

de

máx

imo

divi

sor

com

um,

vou

dar

aula

de

núm

ero

prim

o. E

, já

, es

trut

uras

alg

ébri

cas,

daí

, eu

ach

o qu

e sã

o im

port

ante

s po

r co

nta

dele

s

ente

nder

em o

tan

to d

e co

isa

que

eles

apr

ende

ram

err

ado

e, t

enta

r de

pois

, aí

, eu

sem

pre

digo

ass

im ó

: es

tão

vend

o aq

ui e

ssa

disc

iplin

a de

Álg

ebra

, eu

vou,

eu

tenh

o po

r ob

jeti

vo e

m n

enhu

m m

omen

to m

ostr

ar p

ara

você

s co

mo

você

s vã

o en

sina

r. (

13.2

8)

[A d

isci

plin

a de

Álg

ebra

é u

ma

disc

iplin

a te

óric

a. É

Álg

ebra

que

voc

ês e

stão

apr

ende

ndo,

é a

est

rutu

ra d

e gr

upo

que

você

s es

tão

apre

nden

do. M

as lá

, nas

dis

cipl

inas

de

labo

rató

rio

você

s vã

o ap

rend

er, v

ocês

vão

ter

met

odol

ogia

s pa

ra e

nsin

ar e

sse

tipo

de

cois

a.]

E a

í, vo

cês

vão

ter

que

sabe

r o

conc

eito

. V

ocês

vão

ter

que

sab

er p

orqu

e nã

o pa

ssa

para

o o

utro

lad

o. P

orqu

e o

prof

esso

r do

lab

orat

ório

vai

xin

gar

se

você

s di

sser

em: p

assa

par

a o

outr

o la

do t

roca

ndo

de s

inal

. Ent

ão, n

ão s

ei, a

ssim

[...

], e

u ac

ho q

ue [

...].

Ah!

[A

dis

cipl

ina

de Á

lgeb

ra t

rês,

que

seri

a a

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra L

inea

r, e

u ac

ho q

ue s

erve

ass

im,

com

o um

fec

ham

ento

. V

amos

ver

se

ele

sabe

dem

onst

rar

e se

ele

sab

e

gene

rali

zar,

] nã

o qu

e na

Álg

ebra

II

ele

não

faça

, mas

na

Álg

ebra

III

, ach

o qu

e ca

be m

ais

com

o um

fec

ham

ento

.

Ent

revi

sta

08

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pesq

uisa

dor

Uni

dade

s de

Sig

nifi

cado

8.1[

...]

nós

tem

os u

ma

disc

ipli

na q

ue

cham

a Á

lgeb

ra, m

as, e

m d

uas

turm

as:

Álg

ebra

I

e Á

lgeb

ra

II.

Álg

ebra

I:

L

ógic

a e

uma

Ari

tmét

ica.

[...

] Á

lgeb

ra

II:

que

[...]

te

m

uma

part

e da

s re

laçõ

es,

funç

ões

e as

es

trut

uras

al

gébr

icas

[...]

, pr

inci

palm

ente

a t

eori

a do

s gr

upos

, ané

is e

cor

pos.

8.

1Há

duas

di

scip

lina

s de

Á

lgeb

ra:

Álg

ebra

I e

Álg

ebra

II

que

abra

ngem

L

ógic

a e

Ari

tmét

ica,

es

trut

uras

al

gébr

icas

, pr

inci

palm

ente

gr

upos

, co

rpos

e a

néis

.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

8.2

Álg

ebra

I, e

la i

ntro

duz

uma

nova

lin

guag

em

para

aq

uele

fu

turo

pr

ofes

sor:

a li

ngua

gem

da

Mat

emát

ica

. U

ma

man

eira

de

es

crev

er,

de

se

expr

essa

r co

m c

lare

za.

Intr

oduz

: Fa

zer

pene

trar

; en

fiar

, in

seri

r. D

irig

ir p

ara

dent

ro d

e qu

alqu

er

área

ou

lu

gar.

A

dmit

ir

em

grup

o,

soci

edad

e et

c.

Faze

r in

clus

ão

de;

incl

uir,

ins

erir

. Im

port

ar.

Dar

iní

cio

a;

abri

r,

com

eçar

. T

orna

r co

nhec

ido;

di

vulg

ar, l

ança

r.

Lin

guag

em:

Qua

lque

r m

eio

sist

emát

ico

de

com

unic

ar

idéi

as

ou

sent

imen

tos

atra

vés

de

sign

os

conv

enci

onai

s,

sono

ros,

grá

fico

s, g

estu

ais

etc.

E

scre

ver:

R

epre

sent

ar

por

mei

o de

ca

ract

eres

ou

escr

ita.

Exp

ress

ar-s

e po

r m

eio

de

escr

ita.

Com

por

(tra

balh

os

liter

ário

s,

cien

tífi

cos

etc.

).

Nar

rar,

de

scre

ver,

co

ntar

(a

lgo)

po

r m

eio

da

escr

ita.

E

scre

ver

sobr

e;

insc

reve

r,

grav

ar.

Apl

icar

m

ulta

a

(inf

rato

r de

tr

ânsi

to),

es

crev

endo

nu

m

talã

o o

núm

ero

da p

laca

de

seu

veíc

ulo

e o

tipo

de

in

fraç

ão

que.

M

ante

r

8.2

A Á

lgeb

ra i

ntro

duz

a L

ingu

agem

M

atem

átic

a pa

ra o

fut

uro

prof

esso

r.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

corr

espo

ndên

cia

um

com

ou

tro,

co

rres

pond

er-s

e.

Exp

ress

ar:

Exp

rim

ir

Exp

rim

ir:

Man

ifes

tar(

-se)

por

pal

avra

s,

gest

os o

u at

itud

es.

Dar

(-se

) a

conh

ecer

; re

vela

r(-s

e).

Exp

ress

ar(-

se)

por

mei

o de

fo

rma

artí

stic

a.

Apr

esen

tar-

se

com

o sí

mbo

lo

ou

expr

essã

o de

; si

gnif

icar

, re

pres

enta

r.

Fala

r co

m

liber

dade

, co

mun

icar

-se.

C

lare

za:

Qua

lida

de

do

que

é cl

aro.

Q

uali

dade

do

qu

e é

inte

ligív

el.

Lim

pide

z,

tran

spar

ênci

a.

Qua

lidad

e vi

sual

qu

e pe

rmit

e di

stin

guir

be

m

os

obje

tos.

Qua

lida

de d

a vo

z qu

e so

a be

m;

bom

tim

bre.

Com

pree

nsão

, pe

rcep

ção,

en

tend

imen

to.

8.3

E

a ge

nte

acre

dita

qu

e es

sa

prim

eira

dis

cipl

ina,

pri

mei

ro c

onta

to,

é um

a di

scip

lina

jus

tam

ente

par

a el

e ap

rend

er a

exp

or s

uas

idéi

as [

...].

O

que

é u

ma

dem

onst

raçã

o, c

omo

ele

faz

uma

dem

onst

raçã

o.

Acr

edit

ar:

Cre

r, d

ar c

rédi

to a

, ter

com

o ve

rdad

eiro

. A

bona

r(-s

e),

conf

erir

re

puta

ção

a, to

rnar

(-se

) di

gno

de e

stim

a.

Ter

con

fian

ça.

Lan

çar

a cr

édit

o, p

ôr n

a co

nta

do h

aver

. Dar

pod

eres

(a

algu

ém),

pa

ra

repr

esen

tar

a na

ção

em

país

es

tran

geir

o.

Exp

or:

Apr

esen

tar,

pôr

à v

ista

ou

em

exib

ição

; col

ocar

(-se

) em

evi

dênc

ia.

8.3

O p

rofe

ssor

acr

edit

a qu

e a

Álg

ebra

é

uma

man

eira

de

o fu

turo

pro

fess

or

apre

nder

a

apre

sent

ar

suas

id

éias

m

atem

átic

as,

o qu

e é

e co

mo

se f

az

uma

dem

onst

raçã

o.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r de

M

atem

átic

a.

8.4

Para

ap

rend

er

a es

crev

er

mat

emat

icam

ente

e q

ue e

le t

enha

um

a no

ção

que

ele

tem

que

se

expr

essa

r de

fo

rma

clar

a e

obje

tiva

pa

ra

pode

r pa

ssar

isso

par

a o

alun

o de

pois

. Is

so,

por

exem

plo,

se

ria

mai

s um

a id

éia

da L

ógic

a.

8.

4 A

L

ógic

a M

atem

átic

a aj

uda

o al

uno

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

a es

crev

er

mat

emat

icam

ente

e

se

expr

essa

r de

fo

rma

clar

a,

em

Mat

emát

ica.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

8.5

A p

arte

da

Ari

tmét

ica

eles

tod

os

Vin

cula

do:

Lig

ado

por

vínc

ulo;

uni

do.

8.5

Os

alun

os d

a L

icen

ciat

ura

liga

m o

O

s al

unos

do

cu

rso

de

com

pree

ndem

qu

e es

tá

vinc

ulad

o di

reta

men

te c

om a

quilo

que

ele

s vã

o en

sina

r.

Inst

ituí

do p

or v

íncu

lo. D

a na

ture

za d

o ví

ncul

o. S

ubor

dina

do a

vín

culo

; vi

ncul

ar.

que

apre

ndem

sob

re A

ritm

étic

a co

m o

qu

e vã

o en

sina

r.

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a re

laci

onam

a A

ritm

étic

a co

m

o tr

abal

ho

do

prof

esso

r em

sa

la d

e au

la.

8.6

Na

Ari

tmét

ica

eles

vão

tra

balh

ar

isso

, el

es

prec

isam

sa

ber

dos

conc

eito

s.

8.

6 O

s al

unos

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a pr

ecis

am

sabe

r os

co

ncei

tos

da

Ari

tmét

ica

porq

ue v

ão

utili

zá-l

os e

m s

eu tr

abal

ho.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

8.7

Eu

acre

dito

que

se

tu n

ão t

ens

clar

o o

conc

eito

, nã

o ad

iant

a tu

ter

um

a au

la c

om m

ater

ial

conc

reto

, co

m

[...]

, en

fim

, di

gam

os a

ssim

, um

a au

la

lind

a e

mar

avil

hosa

, e

não

ter

o co

ncei

to.

Cla

ro:

Que

cl

arei

a,

que

alum

ia;

brilh

ante

, lum

inos

o, r

espl

ande

cent

e.

8.7

Mai

s im

port

ante

do

que

prep

arar

a

aula

com

mat

eria

l m

anip

ulat

ivo,

é o

pr

ofes

sor

conh

ecer

o c

once

ito.

Impo

rtân

cia

de

conh

ecer

o

conc

eito

.

8.8

Ape

sar

de q

ue o

s al

unos

mui

tas

veze

s ac

ham

que

pod

em r

esol

ver

um

exer

cíci

o se

m s

aber

a te

oria

B

om,

mas

tu

te

ns

que

sabe

r os

co

ncei

tos,

tu

te

ns

que

sabe

r as

de

fini

ções

, e,

par

a um

pro

fess

or,

isso

é

supe

r im

port

ante

.

Impo

rtan

te:

Que

tem

im

port

ânci

a. Q

ue

não

se

pode

es

quec

er

ou

deix

ar

de

aten

der.

Dig

no d

e ap

reço

, de

est

ima,

de

cons

ider

ação

. Que

tem

gra

ndes

cré

dito

s,

que

exer

ce n

otáv

el i

nflu

ênci

a. Q

ue t

em

mui

to

valo

r ou

pr

eço

notá

vel.

Útil

, ne

cess

ário

. E

nfat

uado

. O

qu

e há

de

m

ais

inte

ress

ante

, de

mai

s út

il, d

e m

ais

prov

eito

so

num

a pe

ssoa

ou

co

isa;

o

esse

ncia

l.

8.8

Para

um

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a é

impo

rtan

te s

aber

os

conc

eito

s e

as

teor

ias.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

8.9

Ele

te

m

que

ter

a cl

arez

a da

s de

fini

ções

, el

e te

m q

ue t

er a

cla

reza

do

s co

ncei

tos,

par

a, d

aí e

ntão

, po

der

faze

r su

a au

la c

om a

met

odol

ogia

que

el

e ac

har

mel

hor.

Cla

reza

: Q

uali

dade

do

que

é cl

aro.

Q

uali

dade

do

que

é in

teli

gíve

l. L

impi

dez,

tran

spar

ênci

a. Q

uali

dade

vi

sual

que

per

mit

e di

stin

guir

bem

os

obje

tos.

Qua

lida

de d

a vo

z qu

e so

a be

m;

bom

tim

bre.

Com

pree

nsão

, per

cepç

ão,

ente

ndim

ento

. M

etod

olog

ia:

teor

ia d

os p

roce

dim

ento

s de

ens

ino,

ger

al o

u pa

rtic

ular

par

a ca

da

disc

ipli

na; d

idát

ica

teór

ica.

8.9

Prim

eira

men

te, o

pro

fess

or p

reci

sa

conh

ecer

os

conc

eito

s e

as d

efin

içõe

s pa

ra,

post

erio

rmen

te

defi

nir

suas

m

etod

olog

ias

de tr

abal

hos.

O

que

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

prec

isa

sabe

r.

8.10

na

Álg

ebra

II,

por

exe

mpl

o, q

ue

é a

Álg

ebra

que

ent

ra a

que

stão

das

es

trut

uras

alg

ébri

cas.

8.

10 N

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

II

são

estu

dada

s as

est

rutu

ras

algé

bric

as.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

8.

11 q

ue e

le s

aiba

o c

once

ito.

Sabe

r: E

star

inf

orm

ado

de,

esta

r a

par,

te

r co

nhec

imen

to

de;

conh

ecer

: C

ompr

eend

er o

u pe

rceb

er u

m f

ato,

um

a ve

rdad

e: S

er c

apaz

de

dist

ingu

ir o

u de

di

zer.

Pos

suir

am

plos

e e

ncic

lopé

dico

s co

nhec

imen

tos.

T

er

conh

ecim

ento

pr

átic

o de

al

gum

a co

isa

ou

poss

uir

habi

lidad

e ne

la.

8.11

É i

mpo

rtan

te p

ara

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica

conh

ecer

o c

once

ito.

Im

port

ânci

a de

co

nhec

er

o co

ncei

to.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber

8.12

se

tu f

alar

em

ane

l e c

orpo

, o q

ue

é tu

ter

o i

nver

so,

o qu

e é

o el

emen

to

neut

ro, q

ue e

les

conf

unde

m a

s ve

zes

o el

emen

to n

eutr

o.

8.

12 É

im

port

ante

par

a o

prof

esso

r de

M

atem

átic

a co

nhec

er a

nel,

corp

o, o

qu

e é

o in

vers

o, o

que

é o

ele

men

to

neut

ro.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber

8.13

Álg

ebra

é f

unda

men

tal [

...]

Para

pr

epar

ar

mel

hor

esse

pr

ofes

sor,

pr

inci

palm

ente

na

ques

tão,

ass

im,

de

sabe

r se

exp

ress

ar c

om c

lare

za. O

lhar

as

dem

onst

raçõ

es,

olha

r os

con

ceit

os,

a pa

rte

bem

te

óric

a e

abst

rata

da

Á

lgeb

ra,

para

que

con

heça

e c

onsi

ga

se e

xpre

ssar

de

form

a m

ais

clar

a.

Fun

dam

enta

l :

Que

se

rve

de

fund

amen

to o

u de

ali

cerc

e. Q

ue s

erve

de

ba

se.

Impo

rtan

te.

Ess

enci

al,

nece

ssár

io.

Cla

reza

: Q

uali

dade

do

qu

e é

clar

o.

Qua

lida

de

do

que

é in

telig

ível

. L

impi

dez,

tr

ansp

arên

cia.

Q

ualid

ade

visu

al

que

perm

ite

dist

ingu

ir

bem

os

ob

jeto

s. Q

uali

dade

da

voz

que

soa

bem

; bo

m t

imbr

e. C

ompr

eens

ão,

perc

epçã

o,

ente

ndim

ento

.

8.13

Á Á

lgeb

ra é

fun

dam

enta

l pa

ra o

pr

ofes

sor

pode

r se

ex

pres

sar

mat

emat

icam

ente

com

cla

reza

.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

Im

port

ânci

a da

Álg

ebra

par

a o

trab

alho

do

pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica.

8.14

E a

ter

ceir

a, Á

lgeb

ra L

inea

r [.

..],

seri

a um

a co

ntin

uaçã

o da

s es

trut

uras

al

i, qu

e é

o es

paço

vet

oria

l.

8.

14 A

dis

cipl

ina

de Á

lgeb

ra L

inea

r en

glob

a um

a co

ntin

uaçã

o do

est

udo

das

estr

utur

as, q

ue é

o e

spaç

o ve

tori

al.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber

8.15

N

a ve

rdad

e,

ela

serv

e qu

ase

com

o um

ref

orço

par

a es

sa c

oisa

do

dem

onst

rar,

do

es

crev

er

mat

emat

icam

ente

, m

ais

lá

para

o

mei

o, já

tam

bém

.

Ref

orço

: A

to o

u ef

eito

de

refo

rçar

(-se

).

Aqu

ilo

que

refo

rça.

Aum

ento

de

forç

a.

Con

trib

uiçã

o pa

ra a

rea

liza

ção

de u

ma

tare

fa; a

uxíl

io.

8.15

A d

isci

plin

a de

Álg

ebra

Lin

ear

refo

rça

a id

éia

de

dem

onst

rar

e es

crev

er m

atem

atic

amen

te.

A

Álg

ebra

co

mo

um

mei

o pa

ra

dese

nvol

ver

a co

mun

icaç

ão

e a

leit

ura

da

Mat

emát

ica.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

. 8.

16 [

...]

nós

tem

os b

atal

hado

ago

ra,

no

últi

mo

ano

prin

cipa

lmen

te,

para

co

loca

r m

ais

uma

Álg

ebra

. Po

r qu

e?

Porq

ue o

alu

no n

ão s

abe.

8.

16 P

rofe

ssor

a co

nsid

era

nece

ssár

io

ter

mai

s um

a di

scip

lina

de

Álg

ebra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura,

po

rque

os

al

unos

não

sab

em.

Dif

icul

dade

se

ntid

a no

tr

abal

ho d

e le

cion

ar Á

lgeb

ra.

.8.1

7 E

le t

em q

ue a

pren

der

o co

ncei

to

para

rep

rese

ntar

mat

emat

icam

ente

. R

epre

sent

ar:

Ser

a im

agem

ou

a

repr

oduç

ão

de;

traz

er

à m

emór

ia;

figu

rar

com

o sí

mbo

lo;

apar

ecer

num

a ou

tra

form

a. S

igni

fica

r; to

rnar

pre

sent

e.

8.17

O c

once

ito

é im

port

ante

par

a qu

e o

prof

esso

r po

ssa

repr

esen

tar

mat

emat

icam

ente

as

id

éias

m

atem

átic

as.

Impo

rtân

cia

de

conh

ecer

o

conc

eito

.

8.18

E,

a pa

rte

de A

ritm

étic

a [.

..] A

h!

Porq

ue i

sso

é um

a m

atér

ia d

e 5ª

sér

ie.

Ah!

É u

ma

mat

éria

de

6ª s

érie

. E

ntão

nó

s go

star

íam

os d

e te

r um

a di

scip

lina

in

teir

a di

sso.

8.

18

Os

alun

os

perc

ebem

a

impo

rtân

cia

da

Ari

tmét

ica

para

a

Edu

caçã

o B

ásic

a.

Os

alun

os

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

rela

cion

am a

Ari

tmét

ica

com

o

trab

alho

do

pr

ofes

sor

em

sala

de

aula

. 8.

19

Não

se

i, qu

ando

tu

fa

las

em

Álg

ebra

. So

bre

que

aspe

ctos

da

Á

lgeb

ra?

Porq

ue

eu

já

li

algu

mas

co

isas

a r

espe

ito

e, o

s pr

ópri

os a

utor

es

não

se o

rgan

izam

. N

ão e

ntra

m n

um

cons

enso

de

di

zer

o qu

e é

estu

dar

Álg

ebra

. Tem

ess

a pa

rte

da L

ógic

a.

Con

sens

o:

Con

cord

ânci

a ou

un

ifor

mid

ade

de o

pini

ões,

pen

sam

ento

s,

sent

imen

tos,

cre

nças

etc

., da

mai

oria

ou

da

tota

lida

de

de

mem

bros

de

um

a co

leti

vida

de.

8.19

Não

há

um c

onse

nso

entr

e os

au

tore

s da

Áre

a so

bre

o qu

e é

estu

dar

Álg

ebra

.

Não

há

cons

enso

ent

re a

utor

es

da

área

so

bre

o qu

e é

a Á

lgeb

ra e

qua

is o

s ob

jeto

s qu

e es

tuda

.

8.20

Não

tem

um

con

sens

o. P

elo

que

eu t

enho

lid

o, e

u ve

jo n

a m

aior

ia d

os

curs

os,

exis

te

uma

dife

renç

a na

s di

scip

lina

s ch

amad

as A

ritm

étic

a e

as

disc

ipli

nas

cham

adas

de

Álg

ebra

.

Dif

eren

ças:

Q

uali

dade

do

qu

e é

dife

rent

e; o

que

dis

tingu

e um

a co

isa

de

outr

a.

Falt

a de

ig

uald

ade

ou

de

sem

elha

nça.

A

lter

ação

di

gna

de

aten

ção,

de

re

paro

; m

odif

icaç

ão,

tran

sfor

maç

ão.

Car

acte

ríst

ica

do q

ue é

vá

rio;

div

ersi

dade

, dis

pari

dade

. Fal

ta d

e ha

rmon

ia; d

iver

gênc

ia.

8.20

Os

curs

o de

Lic

enci

atur

a tr

atam

a

Álg

ebra

e

a A

ritm

étic

a co

mo

disc

iplin

as d

isti

ntas

.

Com

o se

m

ostr

am

as

disc

ipli

nas

de

Álg

ebra

e

Ari

tmét

ica

nos

curs

os

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

8.21

Ach

o qu

e aq

ui, a

Álg

ebra

é i

sso:

L

ógic

a,

Ari

tmét

ica,

te

oria

do

s co

njun

tos,

es

trut

uras

al

gébr

icas

e

espa

ços

veto

riai

s.

8.

21 N

esse

cur

so d

e L

icen

ciat

ura,

a

Álg

ebra

é:

Lóg

ica,

Ari

tmét

ica,

teo

ria

dos

conj

unto

s, e

stru

tura

s al

gébr

icas

e

espa

ços

veto

riai

s.

O q

ue é

Álg

ebra

.

8.22

. T

em q

ue d

emon

stra

r. P

or q

ue

se d

emon

stra

. Pa

ra q

ue e

les

tenh

am

essa

s id

éias

e t

ambé

m u

ma

noçã

o do

qu

e el

es

vão

enfr

enta

r du

rant

e o

curs

o.

Dem

onst

rar:

T

orna

r ev

iden

te

atra

vés

de

prov

as;

com

prov

ar.

Exp

ress

ar

(sen

tim

ento

s,

inte

nçõe

s et

c.)

por

inte

rméd

io

de

sina

is

exte

rior

es;

man

ifes

tar.

E

xpor

, ap

rese

ntar

(q

uali

dade

s, c

onhe

cim

ento

s, h

abil

idad

es

etc.

).

Mos

trar

a

títu

lo

de

ilus

traç

ão

(aqu

ilo

que

se e

stá

expl

ican

do).

Faz

er

ver

(um

arg

umen

to, u

m p

onto

de

vist

a);

mos

trar

, ex

por.

M

anif

esta

r as

pect

os

prof

undo

s da

pr

ópri

a pe

rson

alid

ade;

re

vela

r-se

.

8.22

É

pre

ciso

faz

er

dem

onst

raçõ

es

nas

aula

s de

Mat

emát

ica

para

que

o

alun

o te

nha

idéi

a do

que

vai

enf

rent

ar

no c

urso

.

O q

ue é

Álg

ebra

. Im

port

ânci

a de

dem

onst

rar.

8.23

[...

] o

meu

dis

curs

o é

sem

pre:

ol

ha,

ness

a di

scip

lina

voc

ês v

ão t

er

uma

idéi

a do

que

voc

ês v

ão e

nfre

ntar

no

cur

so d

e vo

cês.

.

Dis

curs

o:

Men

sage

m

oral

, so

lene

e

prol

onga

da,

que

um

orad

or

prof

ere

pera

nte

uma

assi

stên

cia.

8.23

A d

isci

plin

a de

Álg

ebra

dá

idéi

a do

que

é o

cur

so d

e M

atem

átic

a.

O q

ue é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

8.24

A d

isci

plin

a de

Álg

ebra

é u

ma

disc

ipli

na

teór

ica.

É

Á

lgeb

ra

que

você

s es

tão

apre

nden

do,

é a

estr

utur

a de

gru

po q

ue v

ocês

est

ão a

pren

dend

o.

Mas

lá,

nas

dis

cipl

inas

de

labo

rató

rio

você

s vã

o ap

rend

er,

você

s vã

o te

r m

etod

olog

ias

para

ens

inar

ess

e ti

po d

e co

isa.

8.

24

A

Álg

ebra

é

uma

disc

ipli

na

teór

ica.

As

disc

ipli

nas

de L

abor

atór

io

ensi

nam

a m

etod

olog

ia p

ara

ensi

nar

Álg

ebra

na

Edu

caçã

o B

ásic

a.

O q

ue é

Álg

ebra

.

8.25

A d

isci

plin

a de

Álg

ebra

trê

s, q

ue

seri

a a

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra L

inea

r,

eu a

cho

que

serv

e as

sim

, co

mo

um

fech

amen

to.

Vam

os v

er s

e el

e sa

be

dem

onst

rar

e se

ele

sab

e ge

nera

liza

r.

Fec

ham

ento

: A

to o

u ef

eito

de

fech

ar(-

se);

fec

haçã

o, f

echa

da, f

echa

dura

. 8.

25 A

dis

cipl

ina

de Á

lgeb

ra L

inea

r é

um f

echa

men

to p

ara

ver

se o

alu

no

sabe

dem

onst

rar

e ge

nera

liza

r.

O

que

a Á

lgeb

ra

Lin

ear

perm

ite

mos

trar

.

Ent

revi

sta

9

A e

ntre

vist

a 9

é co

mpo

sta

pela

exp

ress

ão d

a co

mpr

eens

ão d

e um

a pr

ofes

sora

de

Álg

ebra

de

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

na

mic

rorr

egiã

o de

Por

to A

legr

e, n

o es

tado

do

Rio

Gra

nde

do S

ul.

Pes

quis

ador

a: Q

ual a

rel

evân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

a fo

rmaç

ão d

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a?

Pro

fess

ora:

Na

real

idad

e, [

eu c

onsi

dero

a á

lgeb

ra c

omo

extr

emam

ente

fun

dam

enta

l na

for

maç

ão d

o pr

ofes

sor .

] E

u nã

o ve

jo [

um

prof

esso

r qu

e nã

o en

tend

e os

con

ceito

s m

atem

átic

os,

ele

não

cons

egue

faz

er a

tra

nspo

siçã

o di

dátic

a, d

e co

mo

ensi

nar

isso

] (c

onte

údos

mat

emát

icos

), ta

nto

no E

nsin

o Fu

ndam

enta

l com

o no

Ens

ino

Méd

io, j

á qu

e nó

s es

tam

os f

alan

do d

e fo

rmaç

ão d

e pr

ofes

sore

s qu

e vã

o da

r au

la

no E

nsin

o Fu

ndam

enta

l e

no E

nsin

o M

édio

. [E

, eu

sem

pre

vejo

que

que

m d

á au

la n

a fo

rmaç

ão d

e pr

ofes

sore

s ta

mbé

m t

em q

ue s

aber

faz

er

essa

tran

spos

ição

did

átic

a. E

ntão

, par

a en

sina

r Á

lgeb

ra tu

tens

que

ens

inar

por

que

tu f

azes

isso

, o c

omo

tu d

eves

ens

inar

.] E

u se

mpr

e ve

jo q

ue

um p

rofe

ssor

, po

r ex

empl

o, e

le n

ão s

abe

ligar

com

o é

que

ele

reso

lve

uma

equa

ção

de p

rim

eiro

gra

u co

m a

res

oluç

ão d

e eq

uaçõ

es,

até

de

equa

ções

dio

fant

inas

, por

exe

mpl

o, n

a Á

lgeb

ra. Q

ue é

um

dos

ass

unto

s qu

e eu

con

side

ro f

unda

men

tal t

er n

a fo

rmaç

ão d

e pr

ofes

sore

s. C

omo

é

que

tu v

ais

reso

lver

equ

açõe

s di

ofan

tinas

? C

omo

é qu

e tu

pod

es t

raba

lhar

iss

o no

Ens

ino

Méd

io,

por

exem

plo?

Que

é a

trav

és d

e vá

rias

situ

açõe

s di

dátic

as, d

e vá

rios

pro

blem

as m

uito

impo

rtan

tes.

[Ent

ão,

eu v

ejo

a Á

lgeb

ra c

omo:

pri

mei

ro c

omo

um [

...],

um

[...

], c

omo

o qu

e fa

z o

prof

esso

r co

mpr

eend

er e

sses

con

ceito

s e

pode

r

acha

r ca

min

hos

para

ens

inar

.]

[Vam

os d

ar u

m e

xem

plo:

con

gruê

ncia

, por

exe

mpl

o. C

omo

é qu

e o

prof

esso

r en

sina

os

crité

rios

de

divi

sibi

lida

de?

É s

ó da

ndo

a re

gra

e

vend

o as

apl

icaç

ões

diss

o. E

nqua

nto,

se

ele

estu

da c

ongr

uênc

ia, e

le e

nten

de is

so, e

le v

ai a

char

cam

inho

s de

com

o fo

rmar

isso

no

alun

o].

[Tu

trab

alha

rás

com

o a

lgor

itm

o da

div

isão

, al

gori

tmo

de E

uclid

es,

o pr

ópri

o m

dc,

tudo

iss

o va

i fa

zer

o pr

ofes

sor

enco

ntra

r es

ses

cam

inho

s pa

ra e

nsin

ar. E

ssa

é a

prim

eira

coi

sa.]

[Out

ro p

onto

que

eu

acho

fun

dam

enta

l é

a fo

rmaç

ão d

os p

ensa

men

tos

no f

utur

o pr

ofes

sor.

] [E

u es

tou

fala

ndo

dos

alun

os d

o en

sino

bási

co ta

mbé

m: t

u te

ns q

ue f

orm

ar o

pen

sam

ento

ari

tmét

ico,

alg

ébri

co, g

eom

étri

co e

com

bina

tóri

o pr

obab

ilíst

ico.

]

[Bom

, se

o p

rofe

ssor

não

com

pree

nde

Álg

ebra

, nã

o co

mpr

eend

e os

con

ceito

s, n

ão c

ompr

eend

e on

de é

que

se

usa

isso

, el

e nã

o

com

pree

nde

onde

é q

ue s

e us

a is

so, e

le n

ão c

ompr

eend

e o

que

e co

mo

apli

car

isso

par

a a

sala

de

aula

e, c

omo

form

ar o

pen

sam

ento

alg

ébri

co.]

[ M

ais

impo

rtan

te p

ara

o al

uno,

do

que

sabe

r o

cont

eúdo

é e

le s

aber

apl

icar

– o

pro

fess

or –

é e

le s

aber

apl

icar

ativ

idad

es q

ue v

ai

dese

nvol

ver

o pe

nsam

ento

alg

ébri

co n

o al

uno.

] Q

ue f

aça

ele

aplic

ar e

ssa

Álg

ebra

: na

gene

raliz

ação

, na

orga

niza

ção

de p

adrõ

es p

ara

ele

apli

car

no d

ia-a

-dia

par

a re

solv

er p

robl

emas

.

Ent

ão,

[mui

tas

veze

s nó

s di

zem

os q

ue o

s al

unos

não

sab

em.

Não

sab

em p

orqu

e o

prof

esso

r nã

o es

tá p

repa

rado

o s

ufic

ient

e pa

ra

dese

nvol

ver

esse

tip

o de

pen

sam

ento

no

alun

o.]

[Ent

ão,

eu c

onsi

dero

a Á

lgeb

ra F

-U-N

-D-A

-M-E

-N-T

-A-L

(pr

ofes

sora

fal

a fu

ndam

enta

l

paus

adam

ente

par

a re

alça

r a

impo

rtân

cia)

.] [

Tan

to lá

nos

con

ceito

s bá

sico

s de

ari

tmét

ica

para

dep

ois

ir p

ara

a es

trut

ura

algé

bric

a. P

ara

o al

uno

com

pree

nder

, par

a o

futu

ro p

rofe

ssor

com

pree

nder

e s

aber

trab

alha

r co

m u

ma

estr

utur

a al

gébr

ica]

.

Funç

ões,

por

exe

mpl

o. Q

ue p

ropr

ieda

des

exis

tem

den

tro

das

funç

ões?

É c

omum

ent

rar

na s

ala

de a

ula

e pe

rgun

tar:

Qua

l é

o el

emen

to

neut

ro d

as f

unçõ

es?

E o

alu

no, q

ue e

stá

trab

alha

ndo

em o

utra

dis

cipl

ina

a fu

nção

iden

tida

de, n

ão id

entif

ica

isso

com

o el

emen

to n

eutr

o. E

ntão

,

essa

s co

isas

, eu

acho

fun

dam

enta

is p

ara

a fo

rmaç

ão d

o pr

ofes

sor.

Ou

que

seja

mat

rize

s [.

..].

[Que

ele

con

siga

enx

erga

r m

ais

do q

ue [

...],

pos

so f

alar

num

a es

trut

ura

algé

bric

a, m

ais

do q

ue o

s nú

mer

os n

ão é

, os

rea

is,

os

com

plex

os. E

nxer

gar

as e

stru

tura

s de

ntro

da

mat

emát

ica.

]Iss

o am

plia

tua

visã

o, a

mpl

ia te

u co

nhec

imen

to m

atem

átic

o e,

evi

dent

emen

te, t

e fa

z

um m

elho

r pr

ofes

sor.

Pes

quis

ador

a: Q

uais

são

os

cont

eúdo

s de

Álg

ebra

rel

evan

tes

para

a f

orm

ação

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica?

Pro

fess

ora:

Bom

, den

tro

da p

arte

que

[nó

s po

dem

os c

onsi

dera

r Á

lgeb

ra, q

ue é

a p

arte

da

Lóg

ica,

con

junt

os, a

s re

laçõ

es, a

s re

laçõ

es d

e

equi

valê

ncia

e d

e or

dem

, de

con

gruê

ncia

, de

gru

pos,

ane

l, an

el d

e in

tegr

idad

e, c

orpo

e d

epoi

s a

próp

ria

Álg

ebra

Lin

ear,

eu

cons

ider

o qu

e o

prof

esso

r qu

e va

i ser

pro

fess

or d

e m

atem

átic

a, te

m q

ue te

r um

a vi

são

gera

l de

Álg

ebra

na

sua

form

ação

.]

Evi

dent

emen

te,

[ele

não

se

apro

fund

ar,

ele

não

vai

estu

dar

a es

trut

ura

de g

rupo

em

pro

fund

idad

e. M

as,

o pr

ofes

sor,

tem

que

sab

er o

que

é um

gru

po,

tem

que

dar

exe

mpl

os d

e gr

upo,

tem

que

sab

er a

plic

ar a

s pr

opri

edad

es,

tem

que

sab

er q

uais

as

prop

ried

ades

que

val

em e

as

que

não

vale

m.]

.

[Eu

cons

ider

o fu

ndam

enta

l, pa

ra o

pro

fess

or s

aber

, por

exe

mpl

o, o

que

é u

m d

ivis

or d

e ze

ro.

Isso

am

plia

sua

vis

ão d

e M

atem

átic

a, d

e

sabe

r co

mpr

eend

er,

por

exem

plo,

o q

ue é

[...

], é

[...

], n

ão s

omen

te s

aber

dar

exe

mpl

os n

umér

icos

: qu

e do

is n

úmer

os m

ultip

lica

dos

dão

zero

sem

pre

que

um é

zer

o]

Bom

,[m

as e

xist

em o

utra

s si

tuaç

ões

dent

ro d

a m

atem

átic

a qu

e te

am

plia

m, q

ue t

e fa

zem

enx

erga

r ou

tras

coi

sas.

Que

te

ampl

iam

a t

ua

com

pree

nsão

de

mat

emát

ica,

que

eu

acho

fun

dam

enta

l.] O

u en

tão,

até

par

a ju

stif

icar

, [po

r ex

empl

o, q

ue x

² +

x =

0, o

u re

solv

er i

sso.

E, s

e tu

está

s de

ntro

de

um c

onju

nto

num

éric

o, c

oloc

ar is

so e

m e

vidê

ncia

, sep

arar

em

dua

s eq

uaçõ

es. S

igni

fica

que

ess

a eq

uaçã

o só

da

zero

se

um d

os

dois

é z

ero.

]

Bom

, ju

stif

icar

iss

o so

men

te e

nten

dend

o o

que

é um

ane

l de

int

egri

dade

, o

que

é um

div

isor

de

zero

. Se

o p

rofe

ssor

não

tem

conh

ecim

ento

dis

so,

não

vai

cons

egui

r ju

stif

icar

abs

olut

amen

te n

ada.

É q

uand

o el

e va

i tr

abal

har

a re

gra

pron

ta,

é qu

ando

ele

vai

tra

balh

ar

sim

ples

men

te: o

lha

isso

é u

ma

regr

a, é

ass

im q

ue s

e fa

z e

pron

to.

Ago

ra,

[se

ele

tem

con

heci

men

to,

ele

vai

just

ific

ar,

vai

trab

alha

r, v

ai a

char

cam

inho

s pa

ra q

ue o

alu

no t

ambé

m p

ossu

a es

sa

com

pree

nsão

. É a

í que

eu

vejo

a im

port

ânci

a di

sso.

]

[Eu

não

ente

ndo

um c

urso

de

Lic

enci

atur

a se

m ir

a f

undo

nes

sas

ques

tões

.]

Ago

ra, [

uma

visã

o ge

ral

das

ques

tões

bás

icas

, com

dem

onst

raçõ

es, o

pro

fess

or s

aben

do a

char

cam

inho

s ló

gico

s pa

ra e

xplic

ar a

lgum

as

dem

onst

raçõ

es i

mpo

rtan

tes

pelo

men

os a

s m

ais

impo

rtan

tes.

] [S

e el

e so

uber

dem

onst

rar

uma

dem

onst

raçã

o po

r in

duçã

o fi

nita

, se

o pr

ofes

sor

com

pree

nder

que

alg

umas

coi

sas

que

têm

inf

inita

s si

tuaç

ões

não

dá p

ara

fica

r de

mon

stra

ndo

exem

plos

par

a po

der

com

prov

ar,

ele

prec

isa

dem

onst

rar

isso

atr

avés

de

um r

efer

enci

al te

óric

o. I

sso

é fu

ndam

enta

l na

min

ha v

isão

.]

Ent

revi

sta

09

Uni

dade

s Si

gnif

icat

ivas

In

terp

reta

ções

Ini

ciai

s A

sser

ções

na

lingu

agem

do

pesq

uisa

dor

Uni

dade

s de

Sig

nifi

cado

9.1

[...]

eu

cons

ider

o a

Álg

ebra

com

o [.

..]

fund

amen

tal

na

form

ação

do

pr

ofes

sor.

Fun

dam

enta

l: Q

ue s

erve

de

fund

amen

to o

u de

al

icer

ce.

Que

se

rve

de

base

. Im

port

ante

. E

ssen

cial

, nec

essá

rio.

9.1

A

Álg

ebra

é

fund

amen

tal

para

a f

orm

ação

de

prof

esso

res

de m

atem

átic

a.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho d

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica.

9.

2 [.

..]

um

prof

esso

r qu

e nã

o en

tend

e os

co

ncei

tos

mat

emát

icos

, el

e nã

o co

nseg

ue f

azer

a t

rans

posi

ção

didá

tica

, de

com

o en

sina

r is

so.

Ent

ende

r :

Ter

id

éia

clar

a de

; co

mpr

eend

er,

perc

eber

. Se

r há

bil,

peri

to o

u pr

átic

o em

. C

rer,

pe

nsar

. In

terp

reta

r. O

uvir

, pe

rceb

er.

Proc

eder

de

aco

rdo;

com

bina

r-se

, co

ncer

tar-

se.

Est

ar e

m

boa

inte

ligê

ncia

ou

em

bo

a pa

z.

Che

gar

a ac

ordo

. T

er

prát

ica

ou

teor

ia.

Tom

ar

conh

ecim

ento

co

mo

auto

rida

de

com

pete

nte.

D

izer

res

peit

o a.

9.2

O

prof

esso

r qu

e nã

o co

mpr

eend

e o

conc

eito

, nã

o co

nseg

ue e

nsin

ar i

sso,

ou

seja

, fa

zer

a tr

ansp

osiç

ão d

idát

ica.

Impo

rtân

cia

de

conh

ecer

o

conc

eito

.

9.3

E,

eu s

empr

e ve

jo q

ue q

uem

dá

aula

na

fo

rmaç

ão

de

prof

esso

res

tam

bém

te

m

que

sabe

r fa

zer

essa

tr

ansp

osiç

ão

didá

tica

. E

ntão

, pa

ra

ensi

nar

Álg

ebra

tu

tens

que

ens

inar

po

rque

tu

faze

s is

so,

o co

mo

tu d

eves

en

sina

r.

9.

3 O

pr

ofes

sor

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura,

ao

en

sina

r Á

lgeb

ra,

prec

isa

sabe

r o

que

ensi

nar,

por

que

ensi

nar

e co

mo

ensi

nar.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

9.4

Ent

ão,

eu v

ejo

a Á

lgeb

ra c

omo:

pr

imei

ro

[...]

co

mo

o qu

e fa

z o

prof

esso

r co

mpr

eend

er

esse

s co

ncei

tos

e po

der

acha

r ca

min

hos

para

ens

inar

.

9.

4 A

Álg

ebra

faz

o p

rofe

ssor

co

mpr

eend

er

conc

eito

s da

M

atem

átic

a e

enco

ntra

r ca

min

hos

para

ens

iná-

los.

O q

ue a

Álg

ebra

faz

.

9.5

Vam

os

dar

um

exem

plo:

co

ngru

ênci

a,

por

exem

plo.

C

omo

é qu

e o

prof

esso

r en

sina

os

crit

ério

s de

di

visi

bilid

ade?

É s

ó da

ndo

a re

gra

e ve

ndo

as a

plic

açõe

s di

sso.

Enq

uant

o,

se e

le e

stud

a co

ngru

ênci

a, e

le e

nten

de

9.

5 O

es

tudo

de

co

ngru

ênci

a au

xili

a o

ensi

no

de

divi

sibi

lidad

e.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

isso

, el

e va

i ac

har

cam

inho

s de

com

o fo

rmar

isso

no

alun

o.

9.6

Out

ro

pont

o qu

e eu

ac

ho

fund

amen

tal

é a

form

ação

do

s pe

nsam

ento

s no

fut

uro

prof

esso

r.

Pen

sam

ento

: A

to o

u ef

eito

de

pens

ar.

Aqu

ilo

que

se p

ensa

. Fac

ulda

de q

ue te

m c

omo

obje

tivo

o

conh

ecim

ento

; int

elig

ênci

a. N

atur

eza,

gra

u ou

ní

vel

dess

a fa

culd

ade.

Cap

acid

ade

ou p

osiç

ão

inte

lect

ual.

Rep

rese

ntaç

ão

men

tal

de

algo

co

ncre

to e

obj

etiv

o; i

déia

. A

tivi

dade

cog

niti

va,

raci

onal

; con

heci

men

to p

or c

once

itos

9.6

É i

mpo

rtan

te d

esen

volv

er o

pe

nsam

ento

M

atem

átic

o no

fu

turo

pro

fess

or.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

9.7

Eu

esto

u fa

land

o do

s al

unos

do

ensi

no

bási

co

tam

bém

: tu

te

ns

que

form

ar

o pe

nsam

ento

ar

itm

étic

o,

algé

bric

o, g

eom

étri

co e

com

bina

tóri

o pr

obab

ilíst

ico.

9.

7 A

Á

lgeb

ra

form

a pe

nsam

ento

s no

alu

no d

o E

nsin

o B

ásic

o:

os

pens

amen

tos

arit

mét

icos

, al

gébr

icos

, ge

omét

rico

s e

com

bina

tóri

os

prob

abilí

stic

o.

O q

ue a

Álg

ebra

faz

.

9.8[

...]

se o

pro

fess

or n

ão c

ompr

eend

e Á

lgeb

ra,

não

com

pree

nde

os

conc

eito

s,

não

com

pree

nde

onde

é

que

se u

sa i

sso,

ele

não

com

pree

nde

onde

é

que

se

usa

isso

, el

e nã

o co

mpr

eend

e o

que

e co

mo

apli

car

isso

pa

ra a

sal

a de

aul

a e,

com

o fo

rmar

o

pens

amen

to a

lgéb

rico

.

9.

8 A

Álg

ebra

é i

mpo

rtan

te p

ara

o pr

ofes

sor

com

pree

nder

o

conc

eito

, on

de s

e us

a e

com

o ap

lica

r na

sa

la

de

aula

pa

ra

form

ar o

pen

sam

ento

alg

ébri

co.

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho d

o pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica.

9.9

Mai

s im

port

ante

par

a o

alun

o, d

o qu

e sa

ber

o co

nteú

do

é el

e sa

ber

apli

car

– o

prof

esso

r –

é el

e sa

ber

aplic

ar

ativ

idad

es

que

vai

dese

nvol

ver

o pe

nsam

ento

alg

ébri

co

no a

luno

.

Apl

icar

: Ju

stap

or,

sobr

epor

(a

lgum

a co

isa)

so

bre

(out

ra);

ap

or,

apli

car

(alg

o)

com

o gu

arni

ção,

orn

ato,

enf

eite

, inf

ligir

, im

por

(pen

a,

repr

imen

da,

cast

igo

etc.

).

Der

ivaç

ão:

por

exte

nsão

de

sent

ido.

Exe

rcer

a a

tenç

ão,

Por

em

prát

ica;

em

preg

ar

(dou

trin

a,

teor

ia,

prin

cípi

o et

c.).

Aco

mod

ar, a

dequ

ar, a

dapt

ar.

9.9

Para

o a

luno

da

Lic

enci

atur

a,

mai

s im

port

ante

que

con

hece

r o

cont

eúdo

é s

aber

por

em

prá

tica

at

ivid

ades

qu

e au

xili

em

no

dese

nvol

vim

ento

do

pens

amen

to

algé

bric

o.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

9.10

Mui

tas

veze

s nó

s di

zem

os q

ue o

s al

unos

não

sab

em. N

ão s

abem

por

que

o pr

ofes

sor

não

está

pr

epar

ado

o su

fici

ente

par

a de

senv

olve

r es

se t

ipo

Fun

dam

enta

l: Q

ue s

erve

de

fund

amen

to o

u de

al

icer

ce.

Que

se

rve

de

base

. Im

port

ante

. E

ssen

cial

, nec

essá

rio.

9.10

A Á

lgeb

ra é

a b

ase

para

de

senv

olve

r o

pens

amen

to

mat

emát

ico

no a

luno

.

O q

ue é

Álg

ebra

.

de p

ensa

men

to n

o al

uno.

E

ntão

, eu

cons

ider

o a

Álg

ebra

F-U

-N-

D-A

-M-E

-N-T

-A-L

(p

rofe

ssor

a fa

la

fund

amen

tal

paus

adam

ente

pa

ra

real

çar

a im

port

ânci

a).

9.11

Tan

to lá

nos

con

ceit

os b

ásic

os d

e ar

itm

étic

a pa

ra

depo

is

ir

para

a

estr

utur

a al

gébr

ica.

P

ara

o al

uno

com

pree

nder

, pa

ra o

fut

uro

prof

esso

r co

mpr

eend

er

e sa

ber

trab

alha

r co

m

uma

estr

utur

a al

gébr

ica.

9.

11 A

Álg

ebra

é a

bas

e pa

ra o

pr

ofes

sor

com

pree

nder

e

futu

ram

ente

tr

abal

har

com

os

co

ncei

tos

da A

ritm

étic

a e

com

as

est

rutu

ras

algé

bric

as.

O q

ue é

Álg

ebra

.

9.12

Que

ele

con

siga

enx

erga

r m

ais

do

que

[...]

, po

sso

fala

r nu

ma

estr

utur

a al

gébr

ica,

mai

s do

que

os

núm

eros

nã

o é,

os

re

ais,

os

co

mpl

exos

. E

nxer

gar

as

estr

utur

as

dent

ro d

a m

atem

átic

a.

Enx

erga

r: A

vist

ar,

ver

a cu

sto;

des

cort

inar

, di

visa

r,

entr

ever

. O

ptar

, ob

serv

ar,

perc

eber

. Pr

esse

ntir

, adi

vinh

ar.

Ded

uzir

, inf

erir

.

9.12

O f

utur

o pr

ofes

sor

prec

isa

conh

ecer

as

estr

utur

as a

lgéb

rica

s no

âm

bito

do

co

nhec

imen

to

Mat

emát

ico.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

9.13

[.

..]

nós

pode

mos

co

nsid

erar

Á

lgeb

ra,

que

é à

part

e da

L

ógic

a,

conj

unto

s, a

s re

laçõ

es,

as r

elaç

ões

de

equi

valê

ncia

e

de

orde

m,

de

cong

ruên

cia,

de

grup

os,

anel

, an

el d

e in

tegr

idad

e, c

orpo

e d

epoi

s a

próp

ria

Álg

ebra

Lin

ear,

eu

cons

ider

o qu

e o

prof

esso

r qu

e va

i se

r pr

ofes

sor

de

mat

emát

ica,

tem

que

ter

um

a vi

são

gera

l de

Álg

ebra

na

sua

form

ação

.

9.

13 O

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a pr

ecis

a te

r um

a vi

são

gera

l de

Á

lgeb

ra,

ou

seja

el

e pr

ecis

a co

nhec

er

part

e da

L

ógic

a,

conj

unto

s,

as

rela

ções

, as

re

laçõ

es

de

equi

valê

ncia

e

de

orde

m,

de

cong

ruên

cia,

de

gr

upos

, an

el,

anel

de

in

tegr

idad

e,

corp

o e

depo

is

a pr

ópri

a Á

lgeb

ra L

inea

r.

O

que

de

Álg

ebra

é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

9.14

ele

não

se

apro

fund

ar,

ele

não

vai

estu

dar

a es

trut

ura

de g

rupo

em

pr

ofun

dida

de.

Mas

, o

prof

esso

r, t

em

que

sabe

r o

que

é um

gru

po,

tem

que

da

r ex

empl

os d

e gr

upo,

tem

que

sab

er

apli

car

as p

ropr

ieda

des,

tem

que

sab

er

quai

s as

pro

prie

dade

s qu

e va

lem

e a

s

Apr

ofun

dar :

T

orna

r(-s

e)

mai

s fu

ndo

ou

prof

undo

. M

eter

(-se

) m

uito

pa

ra

dent

ro;

intr

oduz

ir(-

se),

ad

entr

ar(-

se).

In

trod

uzir

pr

ofun

dam

ente

(f

alan

do

de

sent

imen

to);

en

raiz

ar,

entr

anha

r. E

xam

inar

, es

tuda

r, p

ensa

r ou

ob

serv

ar

min

ucio

sam

ente

; in

vest

igar

a

fund

o. L

evar

ao

extr

emo,

ao

fund

o, à

s úl

tim

as

9.14

O p

rofe

ssor

de

Mat

emát

ica

não

vai

estu

dar

a fu

ndo

a es

trut

ura

de

grup

o,

mas

el

e pr

ecis

a sa

ber

o qu

e é

um g

rupo

, da

r ex

empl

os

de

grup

o,

apli

caçõ

es e

pro

prie

dade

s.

O

que

de

Álg

ebra

é

impo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a sa

ber.

que

não

vale

m.

cons

eqüê

ncia

s.

9.15

Eu

cons

ider

o fu

ndam

enta

l, pa

ra

o pr

ofes

sor

sabe

r, p

or e

xem

plo,

o q

ue

é um

div

isor

de

zero

. Is

so a

mpl

ia s

ua

visã

o de

M

atem

átic

a,

de

sabe

r co

mpr

eend

er,

por

exem

plo,

o q

ue é

[.

..],

é [.

..],

não

som

ente

sa

ber

dar

exem

plos

nu

mér

icos

: qu

e do

is

núm

eros

m

ulti

plic

ados

dã

o ze

ro

sem

pre

que

um é

zer

o.

9.

15

Para

o

prof

esso

r é

fund

amen

tal

conh

ecer

o

conc

eito

e

não

som

ente

sa

ber

exem

plif

icar

.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

9.16

[...

] m

as e

xist

em o

utra

s si

tuaç

ões

dent

ro d

a m

atem

átic

a qu

e te

am

plia

m,

que

te f

azem

enx

erga

r ou

tras

coi

sas.

Q

ue te

am

plia

m a

tua

com

pree

nsão

de

mat

emát

ica,

qu

e eu

ac

ho

fund

amen

tal.

9.

16 H

á m

uita

s si

tuaç

ões

dent

ro

da M

atem

átic

a qu

e am

plia

m o

co

nhec

imen

to d

o pr

ofes

sor.

O q

ue é

im

port

ante

o a

luno

do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

sabe

r.

9.17

por

exe

mpl

o, q

ue x

² +

x =

0,

ou

reso

lver

iss

o. E

, se

tu

está

s de

ntro

de

um c

onju

nto

num

éric

o, c

oloc

ar i

sso

em

evid

ênci

a,

sepa

rar

em

duas

eq

uaçõ

es.

Sign

ific

a qu

e es

sa e

quaç

ão

só d

a ze

ro s

e um

dos

doi

s é

zero

. Se

el

e te

m

conh

ecim

ento

, el

e va

i ju

stif

icar

, va

i tr

abal

har,

va

i ac

har

cam

inho

s pa

ra q

ue o

alu

no t

ambé

m

poss

ua e

ssa

com

pree

nsão

. É

aí

que

eu v

ejo

a im

port

ânci

a di

sso.

Com

pree

nsão

: A

to d

e co

mpr

eend

er o

u in

clui

r.

Facu

ldad

e de

com

pree

nder

; per

cepç

ão.

.

9.17

Se

o

prof

esso

r te

m

conh

ecim

ento

do

co

ncei

to,

ele

vai

just

ific

ar,

trab

alha

r e

acha

r ca

min

hos

para

qu

e o

alun

o ta

mbé

m

poss

ua

essa

co

mpr

eens

ão.

Impo

rtân

cia

de

conh

ecer

o

conc

eito

.

9.18

E

u nã

o en

tend

o um

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a se

m

ir a

fu

ndo

ness

as

ques

tões

. U

ma

visã

o ge

ral

das

ques

tões

bás

icas

, com

dem

onst

raçõ

es,

o pr

ofes

sor

sabe

ndo

acha

r ca

min

hos

lógi

cos

para

ex

plic

ar

algu

mas

de

mon

stra

ções

im

port

ante

s,

pelo

9.

18 U

m c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

prec

isa

dar

ao

prof

esso

r a

visã

o ge

ral

das

ques

tões

bá

sica

s co

m

dem

onst

raçõ

es.

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a

Álg

ebra

par

a o

curs

o de

L

icen

ciat

ura.

men

os a

s m

ais

impo

rtan

tes.

9.

19 S

e el

e so

uber

dem

onst

rar

uma

dem

onst

raçã

o po

r in

duçã

o fi

nita

, se

o

prof

esso

r co

mpr

eend

er q

ue a

lgum

as

cois

as q

ue t

êm i

nfin

itas

sit

uaçõ

es n

ão

dá p

ara

fica

r de

mon

stra

ndo

exem

plos

pa

ra

pode

r co

mpr

ovar

, el

e pr

ecis

a de

mon

stra

r is

so

atra

vés

de

um

refe

renc

ial t

eóri

co. I

sso

é fu

ndam

enta

l na

min

ha v

isão

.

Dem

onst

rar:

T

orna

r ev

iden

te

atra

vés

de

prov

as;

com

prov

ar.

Exp

ress

ar

(sen

tim

ento

s,

inte

nçõe

s et

c.)

por

inte

rméd

io

de

sina

is

exte

rior

es;

man

ifes

tar.

E

xpor

, ap

rese

ntar

(q

uali

dade

s, c

onhe

cim

ento

s, h

abil

idad

es e

tc.)

. M

ostr

ar a

títu

lo d

e il

ustr

ação

(aq

uilo

que

se

está

ex

plic

ando

).

Faze

r ve

r (u

m

argu

men

to,

um

pont

o de

vi

sta)

; m

ostr

ar,

expo

r.

Man

ifes

tar

aspe

ctos

pro

fund

os d

a pr

ópri

a pe

rson

alid

ade;

re

vela

r-se

.

9.19

É f

unda

men

tal

o pr

ofes

sor

sabe

r de

mon

stra

r Pr

ecis

a sa

ber

faze

r um

a de

mon

stra

ção

por

indu

ção

fini

ta.

Prec

isa

sabe

r de

mon

stra

r po

r m

eio

de

um

refe

renc

ial t

eóri

co.

Impo

rtân

cia

de d

emon

stra

r.

Matriz Ideográfica

Na próxima página apresentamos a matriz ideográfica construída a partir de

reduções efetuadas com as unidades significativas já articuladas.

Esse procedimento foi realizado mediante leitura atenta das unidades significativas

e respectivas análises, como constantes nas tabelas que expõem as unidades significativas,

as asserções na linguagem do pesquisador e as primeiras reduções. Todo o trabalho é

conduzido pela indagação: o que é isto que está dizendo? Com essa questão, efetuamos o

processo de análise das convergências mais abrangentes e denominam-nas de primeiras

reduções.

Para exemplificar, consideramos a unidade significativa 1.1 ‘A Álgebra dá

sustentação para o conhecimento da Matemática e de outras Ciências’. Ao indagar o que

diz essa asserção, compreendemos que fala o que a ‘Álgebra faz’, como já está indicado na

própria matriz.

Mat

riz

Ideo

gráf

ica

Uni

dade

s de

Sig

nifi

cado

E

ntre

vist

as

E 1

E

2

E 3

E

4

E 5

E

6

E 7

E

8

E 9

1)

O

que

a Á

lgeb

ra f

az.

1.1,

1.4

9.4,

9.7

2)

N

eces

sida

de

de

conh

ecer

a

Álg

ebra

pa

ra

conh

ecer

out

ras

Áre

as d

a M

atem

átic

a.

1.2

3)

A p

rese

nça

da Á

lgeb

ra n

a M

atem

átic

a.

1.3

3.

19

6.1

7.4

4)

Falt

a de

do

mín

io

das

estr

utur

as

algé

bric

as

pelo

s al

unos

do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a.

1.5

5)

A Á

lgeb

ra é

nec

essá

ria

para

tra

balh

ar c

om

cont

eúdo

s da

Edu

caçã

o B

ásic

a.

1.6

6)

A Á

lgeb

ra c

omo

um m

eio

para

des

envo

lver

a

com

unic

ação

e a

leitu

ra d

a M

atem

átic

a.

1.7

4.3,

4.

4,

4.27

8.2,

8.

4,

8.13

, 8.1

5

7)

No

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

o al

uno

apre

nde

a fa

zer

dem

onst

raçõ

es s

impl

es.

1.8

8)

O q

ue é

pre

ciso

par

a se

r um

bom

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a.

1.10

, 1.1

1

4.

5

9)

A Á

lgeb

ra é

um

mei

o pa

ra f

orm

ar p

rofe

ssor

es

de M

atem

átic

a.

1.12

6.

3, 6

.22

7.1,

10)

Com

o en

sina

r Á

lgeb

ra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

3.22

, 3.2

3,

3.24

11)

O

que

de

Álg

ebra

en

sina

r no

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

1.

13,

1.14

, 1.

15

2.13

3.

21

4.14

12)

Para

qu

e en

sina

r Á

lgeb

ra

no

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

1.16

, 1.1

7

4.

1

13)

Com

o en

sina

r o

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

vir

a se

r pr

ofes

sor

de

Mat

emát

ica.

1.18

, 1.

19,

1.20

14)

O q

ue p

ensa

sob

re o

cur

so d

e Á

lgeb

ra.

2.

1

15)

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha a

dis

cipl

ina

de

Álg

ebra

Lin

ear.

2.6

16)

Com

o o

prof

esso

r tr

abal

ha a

dis

cipl

ina

de

Álg

ebra

.

2.1,

2.

3,

3.8,

3.3

2

2.4,

2.

11,

2.12

17

) D

ific

ulda

de s

enti

da n

o tr

abal

ho d

e le

cion

ar

Álg

ebra

Lin

ear

2.

5

18)

Dif

icul

dade

sen

tida

no

trab

alho

de

leci

onar

Á

lgeb

ra.

3.9,

3.

15

6.18

, 6.

32

7.6,

7.

7,

7.8,

7.

9,

7.19

8.16

19)

O q

ue é

Álg

ebra

.

2.2,

2.

7, 2

.8

7.5

8.21

, 8.

22,

8.24

9.

10,

9.11

20

) O

que

a Á

lgeb

ra e

stud

a.

2.

9

21)

Com

o de

veri

a se

r tr

abal

hada

a Á

lgeb

ra p

ara

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura.

2.10

3.

18, 3

.29

4.2,

4.

9,

4.18

, 4.

19,

4.20

, 4.

21,

4.22

6.

25,

6.27

9.

18

22)

O

que

é im

port

ante

o

alun

o do

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

sabe

r.

1.9

2.14

3.

3,

3.13

, 3.

14, 3

.20,

3.

27, 3

.28,

3.

30

4.8,

4.1

0,

4.15

, 4.

24,

4.25

, 4.

26

5.2,

5.

3,

5.4

6.9,

6.1

6,

6.17

7.

11,

7.13

, 7.

14,

7.15

, ,

7.16

, 7.

18

8.1,

8.

6,

8.8,

8.

9,

8.10

, 8.

11,

8.12

, 8.

14,

8.23

9.3,

9.5

, 9.

6,

9.9,

9.

12,

9.13

, 9.

14,

9.15

, 9.

16

23)

Com

o vê

o c

onhe

cim

ento

do

alun

o do

cur

so

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

2.

15

24)

Na

opin

ião

dos

prof

esso

res

a Á

lgeb

ra n

ão é

im

port

ante

pa

ra

os

alun

os

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

2.

16

25)

Na

opin

ião

dos

prof

esso

res,

os

alun

os n

ão

vêem

a i

mpo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

2.

17

26)

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra.

3.1

4.6

5.1

27)

Apl

icab

ilid

ade

da Á

lgeb

ra

3.2,

3.

3,

6.11

, 7.

16,

3.4,

3.

5,

3.7,

3.3

1 7.

17,

7.20

28

) O

que

a Á

lgeb

ra L

inea

r pe

rmit

e m

ostr

ar.

3.2,

3.4

3.

10, 3

.11,

3.

12

4.15

, 4.

16,

4.17

, 4.

23

8.

15, 8

.25

29)

O g

osto

do

prof

esso

r do

cur

so d

e L

icen

ciat

ura

pela

dis

cipl

ina

e pe

la M

atem

átic

a.

3.6

7.

21,

7.22

30)

A Á

lgeb

ra d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

tem

que

se

r di

fere

nte

da Á

lgeb

ra d

o cu

rso

do B

acha

rela

do.

3.16

6.

23,

6.24

, 6.

29,

6.30

, 6.

31,

6.33

, 6.

34,

6.36

, 6.

37.

31)

Com

o é

o cu

rso

de

Lic

enci

atur

a em

M

atem

átic

a.

3.17

6.

28,

6.35

, 6.

36

32)

Dis

cipl

inas

vo

ltad

as

aos

cont

eúdo

s m

atem

átic

os e

de

prát

icas

ped

agóg

icas

. 1.

21

33)

Err

os c

omun

s co

met

idos

pel

os p

rofe

ssor

es d

a E

duca

ção

Bás

ica

ao tr

abal

har

com

Álg

ebra

.

3.

25

34)

O q

ue é

o f

orm

al.

3.26

35

) Pa

ra q

ue s

erve

a Á

lgeb

ra

4.

12,

4.13

6.6,

6.7

36)

Impo

rtân

cia

do

estu

do

das

estr

utur

as

algé

bric

as.

4.

11,

4.22

5.

4 6.

4, 6

.17

7.16

, 7.

17,

7.18

37)

A

Álg

ebra

co

mo

gene

rali

zaçã

o/ax

iom

atiz

ação

.

6.2

38)

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

o tr

abal

ho d

o pr

ofes

sor

de M

atem

átic

a.

4.

7

6.5,

6.1

9,

6.20

7.

10,

7.20

8.

3, 8

.13

9.1,

9.8

39)

Com

o o

prof

esso

r ab

re a

per

gunt

a fe

ita.

6.8

40)

Impo

rtân

cia

da Á

lgeb

ra p

ara

os a

luno

s da

E

duca

ção

Bás

ica.

6.10

, 6.

12

41)

Exp

eriê

ncia

do

pr

ofes

sor

em

trab

alha

r a

disc

ipli

na d

e Á

lgeb

ra n

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

6.

13

42)

Em

que

a Á

lgeb

ra s

e fu

ndam

enta

.

6.15

43)

Com

o os

pr

ofes

sore

s co

mpr

eend

em

a ca

paci

dade

de

man

ipul

ação

alg

ébri

ca d

os a

luno

s.

6.

21,

6.26

44)

A

form

ação

m

atem

átic

a e

peda

gógi

ca

do

prof

esso

r de

Mat

emát

ica.

7.

3

45)

O

prof

esso

r tr

abal

ha

com

o

Ens

ino

Fund

amen

tal t

ambé

m.

7.12

46)

Por

que

os

alun

os

opta

m

pelo

cu

rso

de

Lic

enci

atur

a.

7.24

47)

Gos

to

dos

alun

os

da

Lic

enci

atur

a pe

la

Mat

emát

ica.

7.

23

48)

A i

mpo

rtân

cia

do c

onhe

cim

ento

mat

emát

ico

na f

orm

ação

de

prof

esso

res

de M

atem

átic

a.

7.2

49)

Os

alun

os

do

curs

o de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica

rela

cion

am

a A

ritm

étic

a co

m

o tr

abal

ho d

o pr

ofes

sor

em s

ala

de a

ula.

8.

5, 8

.18

50)

Impo

rtân

cia

de c

onhe

cer

o co

ncei

to.

8.

7,

8.11

, 8.

17

9.2,

9.

17

51)

Não

há

cons

enso

ent

re a

utor

es d

a ár

ea s

obre

o

que

é a

Álg

ebra

e q

uais

os

obje

tos

que

estu

da.

8.

19

52)

Com

o se

mos

tram

as

disc

ipli

nas

de Á

lgeb

ra e

A

ritm

étic

a no

s cu

rsos

de

L

icen

ciat

ura

em

Mat

emát

ica.

8.

20

53)

Impo

rtân

cia

de d

emon

stra

r.

8.

22

9.19

Capítulo – IV

ANÁLISE DOS DADOS:

DAS UNIDADES SIGNIFICATIVAS ÀS CATEGORIAS

No capítulo anterior expusemos o modo como procedemos para elaborar

convergências. Como já foi dito anteriormente, iniciamos com o estudo atento das entrevistas,

selecionamos as unidades significativas, ou seja, trechos do texto que se mostraram

significativos à luz da questão norteadora dessa pesquisa, efetuamos algumas reduções nas

unidades que convergiram entre si e, chegamos a 50 primeiras reduções.

O objetivo deste capítulo é apresentar a análise nomotetética, ou seja, continuar com o

movimento de reduções sucessivas, de modo a caracterizar os invariantes do fenômeno

focado.

A busca das categorias

Ao trabalhar com as primeiras reduções e efetuar o pensamento articulador, foi

possível reunir pela interpretação, os diferentes significados em todos mais abrangentes. Esse

momento da análise caracteriza-se por continuar o movimento das reduções. As 50 primeiras

reduções, expostas na matriz ideográfica, foram novamente estudadas e cruzadas entre si,

resultando em 13 segundas reduções:

1. O que é importante o aluno do curso de Licenciatura em Matemática saber.

2. O que ensinar de Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.

3. O que é Álgebra.

4. Importância da Álgebra no trabalho do professor de Matemática.

5. O que os professores de Álgebra do curso de Licenciatura em Matemática pensam sobre

seus alunos.

6. Para que ensinar Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.

7. Por que os alunos de Licenciatura em Matemática optaram por esse curso.

8. A Álgebra e a Aritmética no curso de Licenciatura em Matemática.

9. Erros comuns relativos à Álgebra.

10. O que é preciso para ser um bom professor de Matemática.

11. Como trabalhar a Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.

12. Como os professores de Álgebra vêem o conhecimento de Matemática do aluno de

Licenciatura em Matemática.

13. Como o professor responde a pergunta feita.

Apresentaremos a seguir, um quadro que expõe como fizemos os agrupamentos e

chegamos as 13 convergências. Na primeira coluna apresentamos as 50 primeiras reduções. As

outras 13 colunas correspondem as 13 convergências que chegamos até o momento. As

interseções entre linha e coluna marcadas com um X indicam que a primeira redução converge

para aquela temática. Por exemplo, a primeira redução 3 ‘A presença da Álgebra na

Matemática’ converge para a temática 3 “O que é Álgebra” e, também, para a temática 10 ‘O

que é preciso para ser um bom professor de Matemática’, logo, no cruzamento da primeira

redução 3 com a temática 3 e com a temática 10 marcamos um X.

Qua

dro

das

conv

ergê

ncia

s te

mát

icas

Mat

riz

Ideo

gráf

ica

Uni

dade

s si

gnif

icat

ivas

/ co

nver

gênc

ia t

emát

ica42

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

12

13

1.

O q

ue a

Álg

ebra

faz

.

X

2.

Nec

essi

dade

de

conh

ecer

a Á

lgeb

ra p

ara

conh

ecer

out

ras

Áre

as d

a M

atem

átic

a.

X

3.

A p

rese

nça

da Á

lgeb

ra n

a M

atem

átic

a.

X

X

4.

Falt

a de

dom

ínio

das

est

rutu

ras

algé

bric

as p

elos

alu

nos

do c

urso

de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

X

5.

A Á

lgeb

ra é

nec

essá

ria

para

tra

balh

ar c

om c

onte

údos

da

Edu

caçã

o B

ásic

a.

X

6.

A Á

lgeb

ra c

omo

um m

eio

para

des

envo

lver

a c

omun

icaç

ão e

a l

eitu

ra

da M

atem

átic

a.

X

7.

No

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica

o al

uno

apre

nde

a fa

zer

dem

onst

raçõ

es s

impl

es.

X

8.

O q

ue é

pre

ciso

par

a se

r um

bom

pro

fess

or d

e M

atem

átic

a.

X

9.

A Á

lgeb

ra é

um

mei

o pa

ra f

orm

ar p

rofe

ssor

es d

e M

atem

átic

a.

X

10.

Com

o en

sina

r Á

lgeb

ra n

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

X

11.

O q

ue d

e Á

lgeb

ra e

nsin

ar n

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a.

X

12.

Com

o es

colh

er te

xtos

de

Mat

emát

ica.

X

42 1

) O

que

é i

mpo

rtan

te o

alu

no d

o cu

rso

de L

icen

ciat

ura

em M

atem

átic

a sa

ber.

2)O

que

ens

inar

de

Álg

ebra

no

curs

o de

Lic

enci

atur

a em

Mat

emát

ica.

3)O

qu

e é

Álg

ebra

. 4)I

mpo

rtân

cia

da Á

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Ao trabalhar novamente com as 13 temáticas resultantes elaboramos novas

convergências. Esse novo agrupamento mostra as características gerais do fenômeno estudado.

Desse novo agrupamento chegamos em 5 categorias:

1) O que é Álgebra?

2) Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?

3) Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática?

4) Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática?

5) Metacompreensão do depoente no processo da entrevista.

Para uma melhor compreensão dos procedimentos desenvolvidos até a caracterização

do fenômeno em estudo, apresentaremos, no decorrer desse texto, os passos que seguimos para

chegar às categorias. A apresentação gráfica, exposta na próxima página, permite uma

compreensão e uma visualização do movimento de agrupar as temáticas por meio das

reduções. Apresentamos todas as categorias em um mesmo quadro para possibilitar uma visão

geral sobre os dados.

1) O que é importante o aluno do curso de Licenciatura em Matemática saber

2) O que ensinar de Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.

1) Concepção de Álgebra?

3) O que é Álgebra.

4) Importância da Álgebra no trabalho do professor de Matemática.

5) O que os professores de Álgebra do curso de Licenciatura em Matemática pensam sobre seus alunos.

2) Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?

6) Para que ensinar Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.

7) Por que os alunos de Licenciatura em Matemática optaram por esse curso.


8) A Álgebra e a Aritmética no curso de Licenciatura em Matemática.

9) Erros comuns relativos à Álgebra.

10) O que é preciso para ser um bom professor de Matemática.

11) Como trabalhar a Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.


12) Como os professores de Álgebra vêem o conhecimento de Matemática do aluno de Licenciatura em Matemática.

13) Como o professor responde a pergunta feita.


Capítulo –V

SÍNTESE COMPREENSIVA DAS CATEGORIAS E DA INVESTIGAÇÃO

EFETUADA

Nos capítulos anteriores apresentamos o caminho percorrido para chegar às grandes

convergências das descrições e posterior análise dos dados com elas obtidos.

As categorias abertas apresentadas no desenvolvimento desta pesquisa emergiram no

movimento feito durante toda a trajetória daquela análise. Salientamos que este olhar sobre os

dados é um dos muitos possíveis. Outras interpretações poderiam ser feitas sob outros olhares.

Da perspectiva que olhamos o fenômeno, articulamos a compreensão em 5 categorias:

1) Concepção de Álgebra.

2) Para quê Álgebra na Licenciatura em Matemática?




A partir desse momento explicitaremos nossa compreensão sobre cada uma das

categorias. A tessitura do texto é realizada, considerando a interrogação norteadora da

pesquisa em um diálogo constante com as falas dos professores de Álgebra dos cursos de

Licenciatura em Matemática, a legislação vigente, a literatura de Educação Matemática que

converge com o tema deste estudo e de nossas compreensões sobre o fenômeno estudado.

5.1 Concepção de Álgebra. Ao perguntar aos professores ‘qual a relevância da Álgebra para a Licenciatura de

Matemática?’, compreendemos que os mesmos, em diversos momentos, expuseram suas

concepções sobre o que é a Álgebra e o que é a Matemática. Construímos essa categoria

considerando as convergências dos cinco eixos temáticos mencionados no capítulo anterior: o

que é importante o aluno do curso de Licenciatura em Matemática saber; o que ensinar de

Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática; o que é Álgebra; a Álgebra e a Aritmética

no curso de Licenciatura em Matemática; erros comuns relativos à Álgebra. Optamos por

apresentar nesse trabalho as concepções dos professores sobre a presença da Álgebra no curso

de Licenciatura em Matemática e, posteriormente, as concepções dos professores sobre o que

a Álgebra é.

5.1.1 Concepção dos professores sobre a presença da Álgebra no curso de Licenciatura em

Matemática

Souza (2008) caracteriza como complicada a disciplina de Álgebra do curso de

Licenciatura em Matemática. Segundo ela, além da dificuldade em encontrar professores para

lecionar tal disciplina, há ainda resistência por parte dos alunos quando o professor começa a

apresentar seu conteúdo. Isso, explica a autora, porque os licenciandos não consideram o

conteúdo da disciplina de Álgebra importante para sua prática como professores de

Matemática da Educação Básica. Diante dessa situação, ela questiona a relevância e a

importância da disciplina de Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática e, também, o

que é importante apresentar ao futuro professor na referida disciplina.

Ao olhar para a legislação vigente, encontramos a Álgebra oferecida no decorrer do

curso de Licenciatura em Matemática, como subdividida em disciplinas para o professor

conhecer e estudar Matemática. A Álgebra não é voltada à discussão sobre como ensinar a

Álgebra na Educação Básica. A Álgebra presente na Educação Básica, em quase todos os

cursos, é abordada nas disciplinas chamadas Fundamentos da Matemática e Álgebra Linear.

Souza (2008), ao falar sobre a Álgebra no curso de curso de Licenciatura em

Matemática, diz que “a primeira pergunta que o aluno faz quando uma nova matéria é

apresentada é a seguinte: isto que eu estou aprendendo, interessa para o meu futuro aluno?”

Quando essa resposta não é esclarecida ou os objetivos da disciplina não são expostos com

clareza para os alunos e professores, afirma que a disciplina de Álgebra permanece

descontextualizada do currículo da Licenciatura.

De acordo com os depoentes, a Álgebra apresentada nos cursos de Licenciatura deve

ser voltada para os conteúdos da Educação Básica, “[...] quando a gente escolhe o conteúdo

que nós vamos trabalhar na Licenciatura, já é pensando naquilo que ele (o aluno desse curso)

vai aplicar. Nunca é só o conteúdo pelo conteúdo (1.15)”. Quando os depoentes falam sobre a

relevância da Álgebra para a Licenciatura consideram que o conteúdo deve ser desenvolvido,

pensando na atuação dos alunos como futuros professores.

Eu destaco como de fundamental importância o trabalho com o anel de polinômios. Porque a gente vê muito no Ensino Fundamental e Médio como técnica. (2.13) [...] trabalhar então com: sistemas, vetores, determinante e focar em cima disso, eu acho extremamente importante. (3.22) [...] num primeiro curso de Álgebra, eu acho imprescindível que o professor, ele tenha uma disciplina que dê importância, não tanto ao conteúdo, mas à forma como aqueles poucos conteúdos vão se desenvolver. Digamos assim, uma habilidade de raciocínio lógico, de percepção dos fatos e, também, de como ele possa se comunicar matematicamente. (4.1). [...] um professor que vai se dedicar ao Ensino Fundamental ou Ensino Médio vai estudar um curso de Álgebra do ponto de vista do tema que ele vai ensinar para seus alunos (4.6).

Encontramos no discurso de todos os professores entrevistados afirmações sobre a

importância do professor de Matemática conhecer os conteúdos que ensina, principalmente no

que diz respeito a sua aplicabilidade. Desse modo, a Álgebra da Licenciatura é fundamental

para dar oportunidade ao aluno desse curso construir um conhecimento organizado e

fundamentado para que, ao atuar como professor da Educação Básica, trabalhe com atividades

que criem um ambiente de aprendizagem aos seus alunos.

[...] o aluno de Licenciatura em Matemática tem que ter a base dele voltada para a Educação Básica.(3.21) E é importante que eles saibam aqueles conteúdos fundamentais de Álgebra do Ensino Médio, por exemplo: solução de equações algébricas, solução de polinômios e, que também eles tenham as noções, pelo menos as básicas, de sistema de equações lineares, de matrizes, [...] esses conteúdos (5.2).

Nesse contexto, a Aritmética emerge como importante, pois apresenta aos futuros

professores os conteúdos com os quais trabalharão em sua prática docente.

Num segundo momento ele poderia estudar Aritmética que seria mais in loco aqueles conteúdos que ele vai lecionar (4.20).

A parte da Aritmética eles todos compreendem que está vinculada diretamente com aquilo que eles vão ensinar (8.5). Na Aritmética eles vão trabalhar isso, eles precisam saber dos conceitos (8.6).

Apesar de considerar que a Álgebra da Licenciatura em Matemática deve ser voltada

aos conteúdos da Educação Básica, no momento em que falam sobre o que é trabalhado na

disciplina de Álgebra, os professores destacam a importância de conhecer as estruturas

algébricas.

[...] professor do Ensino Fundamental e Médio não precisa trabalhar com a visão geral, mas ele precisa saber. (2.14) O aluno deveria saber o que seria uma proposição, saber a diferença do que é uma proposição e do que é uma sentença, o que é uma variável, coisa que, às vezes, num curso mais adiante, a gente já pressupõe conhecido. (4.25) Eu acho também que é importante para eles algum conhecimento daquelas estruturas algébricas como: grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais, para que eles também possam se fundamentar melhor naquilo que eles ensinam (5.4). [...] é bastante importante para a formação do professor que ele também tenha uma sólida formação matemática, [...] (7.14). Ele tem que ter a clareza das definições, ele tem que ter a clareza dos conceitos, para, daí então, poder fazer sua aula com a metodologia que ele achar melhor (8.9). [...] nós podemos considerar Álgebra, que é a parte da Lógica, conjuntos, as relações, as relações de equivalência e de ordem, de congruência, de grupos, anel, anel de integridade, corpo e depois a própria Álgebra Linear, [...] eu considero que o professor que vai ser professor de matemática tem que ter uma visão geral de Álgebra na sua formação (9.13).

Entendemos que os professores, ao trabalharem com as estruturas algébricas, por

exemplo, esperam que seus alunos consigam visualizar a importância para atuar na Educação

Básica. Como isso não acontece, os depoentes, apresentam essa situação como um problema

para o ensino de Álgebra na Licenciatura.

Isso não quer dizer que os estudo das estruturas algébricas não é importante para o

professor de Matemática. Souza (2008) afirma

sem esta disciplina o aluno sai do curso sem o alicerce básico para ensinar os princípios fundamentais da matemática. Faz-se necessário, porém, uma

apresentação destes princípios, mostrando ao aluno a importância da mesma, chamando a atenção para os pontos relevantes e não apenas cumprir currículo e apresentar a teoria de forma vazia e abstrata. Assim como qualquer outra disciplina, a Álgebra deve ser apresentada de maneira a fazer sentido ao aluno o porquê que ela faz parte de seu currículo.

De acordo com Kluth (2005, p. 79), as estruturas algébricas exercem o papel principal

no que a autora denomina de novo ato algébrico para a Matemática, “pois, cada uma delas,

demarca um campo de conhecimento matemático [...]”. A autora caracteriza a importância das

estruturas algébricas para a Matemática como incontestável e irreversível e destaca a

aplicabilidade e a implicação desse campo do conhecimento na Ciência atual.

Segundo Boyer (1996, p. 438), o pensamento matemático expresso por meio das

estruturas matemáticas permite “considerável economia de pensamento”. Um exemplo disso

foi “a descoberta de que a estrutura do sistema dos números complexos era a mesma que a do

plano euclidiano” (BOYER, 1996, p.438). Com isso, percebeu-se que as propriedades do

plano euclidiano, muito estudadas e exploradas pelos matemáticos, poderiam ser aplicadas aos

números complexos.

Quando estudamos o discurso dos professores, percebemos que os mesmos consideram

necessário para o aluno do curso de Licenciatura conhecer a Álgebra presente na Educação

Básica e as estruturas algébricas, principalmente suas aplicações, mesmo que esse estudo não

seja tão aprofundado como ocorre no curso de Bacharelado:

[...] ele não vai estudar tanta Álgebra na Licenciatura (4.8). [...] pelo menos de maneira light, [...], ter uma primeira aproximação no estudo das estruturas algébricas, que são objetos abstratos (6.17).

Os professores sujeitos desta pesquisa explicitam, em seu discurso, que as disciplinas

de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática precisam abordar o estudo das

estruturas algébricas e os conteúdos de Álgebra estudados no decorrer da Educação Básica.

Porém, em algumas instituições, encontramos a disciplina de Álgebra do curso de Licenciatura

em Matemática sendo trabalhada e desenvolvida juntamente com a disciplina de Álgebra de

outros cursos. Diante dessa situação, os professores criticam a maneira como sua instituição

organiza o curso de Licenciatura em Matemática.

[...] primeiro eu vou falar do que eu penso e depois do que eu faço

(2.1).

[...] a disciplina de Álgebra Linear não é voltada para o curso de Licenciatura e nem a disciplina de projetos (uma outra disciplina que também apresenta conteúdos de Álgebra). É essa a dificuldade que nós estamos tendo aqui (2.5) Eu acredito que a Licenciatura deve ser diferente do Bacharelado. Só que infelizmente aqui e em outras situações nós temos o problema que é: se tu vais pegar somente as turmas de Licenciatura em Matemática tu tens talvez 10 alunos. E, fazer uma turma somente de dez alunos, se torna economicamente inviável para a instituição. Então o que a instituição acaba fazendo? Ela junta a Licenciatura, Física, Matemática e Engenharia. Tu tens alunos com necessidades diferenciadas e bases diferenciadas. (3.18)

De acordo com alguns professores, nas instituições em que trabalham, o curso de Licenciatura

em Matemática é pouco procurado e não gera lucro suficiente para se automanter. A solução

encontrada pela instituição é reunir em uma mesma turma alunos de cursos diferentes. Assim, na

disciplina de Álgebra Linear, por exemplo, encontram-se alunos de Ciências da Computação,

Engenharia, Física, Química e de outros cursos.

Diante dessa situação, questionamos a formação do profissional formado por esse

curso, que tem as disciplinas desenvolvidas juntamente com outros cursos com objetivos tão

distintos. Como ocorre a preparação desse profissional para o trabalho?

Os professores entrevistados salientaram em seu discurso a necessidade de direcionar a

Licenciatura para a futura atuação desse profissional. Como é possível essa formação, se os

conteúdos de disciplinas como Álgebra e Álgebra Linear são apresentados sem focar a

formação do futuro professor?

5.1.2 Concepção dos professores sobre o que a Álgebra é

Ao olharmos para a História da Matemática encontramos no livro sobre Aritmética Al-

jabr Wa’l Muqabalah, escrito pelo árabe al-Khowarizmi, provavelmente a palavra que deu

origem ao termo Álgebra.

Não há certeza sobre o que realmente significam os termos Al-jabr e muqabalah. De

acordo com Boyer (1996, p.156)

a palavra al-jabr presumivelmente significa algo como ‘restauração’ ou ‘completação’ e parece referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação [sic, de ambos os lados de uma equação], a palavra

muqabalah, ao que se diz refere-se ‘redução’ ou ‘equilíbrio’ – isto é, ao cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação.

Com o passar do tempo e com a chegada do livro de al-Khowarizmi na Europa, o

termo Al-jabr passou a ser utilizado para nomear um tipo específico de cálculo.

No discurso dos professores, a Álgebra é compreendida como:

[...] o que está presente em praticamente todo o tipo de conhecimento matemático. (1.3) [...] Álgebra como essa parte generalizadora da Aritmética. (2.2) E eles têm também a disciplina de Álgebra mesmo, que eles trabalham com a questão dos corpos e anéis. (2.7) Eu acho também que é importante para eles algum conhecimento daquelas estruturas algébricas como: grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais para que eles também possam se fundamentar melhor naquilo que eles ensinam também. (5.4) Álgebra é [...] como área da Matemática [...] parte sintética da Matemática. (6.1) [...] sobre as necessidades de futuros professores de Matemática, [...] equações algébricas [...] é essencialmente a base da Álgebra. (6.14) A Álgebra nasceu de equações. Então, é aí que eu acho que está um pouco a essência da Álgebra. E, nesse sentido, ela é fundamental para o professor de Matemática. (6.15) Acho que aqui, a Álgebra é isso: Lógica, Aritmética, teoria dos conjuntos, estruturas algébricas e espaços vetoriais. (8.21)

Conforme já explicitamos no Capítulo I, inicialmente a Álgebra era a generalização de

conceitos da Aritmética. Posteriormente, ela passou a ser compreendida como a Linguagem da

Matemática. Atualmente, podemos considerar a Álgebra como o campo da Matemática que

estuda as estruturas da Matemática e as relações existentes entre tais estruturas.

No decorrer do discurso dos professores, percebemos que alguns justificam a

importância da Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática apenas por generalizar os

conceitos da Aritmética que compreende boa parte dos conteúdos de Matemática trabalhados

no Ensino Fundamental.

Quando os professores definem a Álgebra como uma Linguagem, referem-se à Álgebra

como um meio de escrever, compreender e comunicar as idéias da Matemática. Com essa

compreensão, a Álgebra se torna fundamental para o Licenciado e para seu trabalho como

professor. Ao ensinar Álgebra, ensina uma nova Linguagem ao estudante. Compreendemos

Linguagem como comunicação e modos de estruturar a produção de conhecimento. A

linguagem da Matemática comunica e, nesse sentido, é um modo de o ser humano se

expressar. Além disso, ela é sustentada por uma sintaxe, uma semântica e uma pragmática

específicas que vão organizando e sustentando a própria produção e comunicação desse

conhecimento.

Alguns dos professores compreendem a Álgebra como o estudo das Estruturas. Porém,

ao discorrerem sobre o assunto, reconhecem que não há uma aplicação direta desses conceitos

nos conteúdos da Educação Básica. Entretanto, justificam a necessidade de o professor

conhecer as Estruturas para um aprofundamento teórico sobre o campo de conhecimento da

Matemática, seu objeto de trabalho.

5.2 Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?

Ao focarem ‘qual a relevância da Álgebra para a Licenciatura em Matemática?’, os

professores justificam, pelos seues depoimentos, o para que é necessário a disciplina de

Álgebra na Licenciatura em Matemática. Chegamos a essa categoria por meio da convergência

de dois eixos temáticos: ‘Importância da Álgebra no trabalho do professor de Matemática’ e

‘Modo pelo qual os professores de Álgebra vêem seus alunos’.

5.2.1 Concepções dos professores sobre a importância da Álgebra no trabalho do professor de

Matemática

De acordo com os depoentes, a importância da Álgebra se dá devido a sua presença em

todos os ramos da Matemática e em virtude de sua aplicabilidade.

Álgebra é fundamental [...] para preparar melhor esse professor, principalmente na questão, assim, de saber se expressar com clareza. Olhar as demonstrações, olhar os conceitos, a parte bem teórica e abstrata da Álgebra, para que conheça e consiga se expressar de forma mais clara ( 8.13). [...] se o professor não compreende Álgebra, não compreende os conceitos, não compreende onde é que se usa isso, ele não compreende onde é que se

usa isso, ele não compreende o que e como aplicar isso para a sala de aula e como formar o pensamento algébrico (9.8)

Afirmam que o curso de Licenciatura precisa trabalhar a Álgebra focando a Educação

Básica “[...] um professor que vai se dedicar ao Ensino Fundamental ou Ensino Médio vai

estudar um curso de Álgebra do ponto de vista do tema que ele vai ensinar para seus alunos

(4.6)”. Essa ligação da Álgebra da Licenciatura com a da Educação Básica apresenta-se como

uma dificuldade no desenvolvimento dessa disciplina.

O grande problema da Licenciatura é [...] é levar para quem tu estás ensinando a visão concreta (3. 3.7) Porque ele não consegue visualizar aquilo aplicado lá (3.32) [...] ele vai ser professor de matemática. Talvez, para os alunos que ele vai ter, ele nunca utilize Álgebra, especificamente na sua vida (6.5). Os alunos [...] da Licenciatura, muitas vezes, não reconhecem ou não enxergam a importância da disciplina na sua atuação profissional (7.20).

Apesar da dificuldade que os alunos do curso de Licenciatura em Matemática têm em

relação a Álgebra, os depoentes consideram que essa disciplina é fundamental para futuros

professores de Matemática, pois, sem ela, “o aluno sai do curso sem o alicerce básico para

ensinar os princípios fundamentais da Matemática“ (SOUZA, 2008).

5.2.2 A Álgebra como um modo de desenvolver habilidades e competências no futuro

professor de Matemática

A Álgebra como um meio para desenvolver habilidades e competências no futuro

professor de Matemática está presente explicita e implicitamente nas falas dos depoentes

[...] ele saber Matemática é [...] é o normal. O resto que vai fazer dele um bom professor, é composto por [...], não só por habilidades matemáticas, mas por habilidades de ser humano. (1.11) Eu acho imprescindível que o professor de Matemática tenha habilidades nessa forma de se comunicar matematicamente. (4.3)

O conteúdo é menos importante. Eu acho que nós damos muito mais ênfase em desenvolver habilidades [...].de leitura, de comunicação, de leitura plena de alguma coisa e de comunicação. (1.7)

Álgebra Linear ele tem que entender bem o conceito e saber bem a notação que ele está usando, a simbologia, é isso. (3.28) [...] num primeiro curso de Álgebra, eu acho imprescindível que o professor, ele tenha uma disciplina que dê importância, não tanto ao conteúdo, mas a forma como aqueles poucos conteúdos vão desenvolver. Digamos assim, uma habilidade de raciocínio lógico, de percepção dos fatos e, também, de como ele possa se comunicar matematicamente. (4.1)

Consideramos que a ênfase dada à Álgebra como um meio de desenvolver habilidades

no futuro professor de Matemática pode estar apoiada na legislação vigente e nos PCNs, onde,

no decorrer do texto, em vários momentos, é atribuído e a Matemática e ao professor dessa

disciplina na Educação Básica a função de desenvolver habilidades.

Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (BRASIL, 1997, p. 117).

O dicionário43 traz para a palavra habilidade o significado de “qualidade de hábil,

capacidade, inteligência, aptidão, engenho, destreza, astúcia, [...]”.

Os professores, em suas falas, reproduzem o sentido da palavra habilidade expresso

nos PCNs. Apresentam como um dos objetivos da disciplina de Álgebra, desenvolver

habilidades matemáticas, no sentido de promover aprendizagem no futuro professor, para que

este, ao atuar em sala de aula, consiga “organizar e coordenar as situações de aprendizagem,

adaptando suas ações às características individuais dos alunos, para desenvolver suas capacidades e

habilidades intelectuais”. (BRASIL, 1997, p. 28).

Quando, em suas falas, os professores usam termos como “habilidades de ser humano” (1.11),

consideramos, que de modo implícito, trazem a concepção de educação proposta pela legislação atual.

O ensino proposto pela LDB está em função do objetivo maior do ensino fundamental, que é o [...] desenvolvimento da capacidade de aprendizagem, tendo em vista a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação de atitudes e valores. (BRASIL, 1997, p. 12).

Nesse sentido, habilidade (Matemática ou não) é compreendida como algo possível de

ser desenvolvido. Por habilidades, consideramos que os professores compreendem desde a

43 Dicionário online disponível em: www.bol.com.br. (acessado em 19/01/2009).

aprendizagem de conhecimentos Matemáticos, sendo estás relativa ao curso de Licenciatura

ou às aulas de Matemática no decorrer da Educação Básica, até a formação de caráter nas

crianças ao longo do Ensino Fundamental.

Diante da amplitude desse assunto e das diferentes possibilidades de compreendê-lo no

âmbito da Educação Matemática, sugerimos uma investigação temática, com o objetivo de

desvelar os diferentes modos de compreendermos o termo, o que é uma habilidade e como a

aprendizagem e o ensino da Álgebra pode desenvolver habilidades.

5.3 Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática?

Ao falarem sobre a relevância da Álgebra para a Licenciatura de Matemática os

professores apresentam suas concepções sobre como ensinar Álgebra no curso de Licenciatura

em Matemática. Essa categoria foi construída por meio da convergência de dois eixos

temáticos: O que é preciso para ser um bom professor de Matemática e Como trabalhar a

Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.

5.3.1 Concepções dos professores sobre como trabalhar a Álgebra no curso de Licenciatura

em Matemática.

Segundo os professores entrevistados a Álgebra do curso de Licenciatura em

Matemática deve ser diferente da Álgebra apresentada nos cursos de Bacharelado em

Matemática.

Por isso, nós aqui na Universidade temos bastante claro quais são as diferenças entre a Álgebra da Licenciatura e a do Bacharelado, por exemplo ( 6.23). O bacharel, digamos, vai ser um futuro cientista, ou professor de Universidade (6.24).

É por isso que eu acredito que a Álgebra da licenciatura tem que ser diferente

da do bacharelado ( 3.17).

E, o licenciando não, seu curso está pensado para um futuro professor de

Matemática que vai trabalhar com alunos até o Ensino Médio e, onde o nível

de abstração é muito menor (6.25).

Os cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática, quando existem concomitantemente

na Universidade, têm uma base comum, tanto em termos de disciplinas (Cálculo, Álgebra, Geometria,

Análise etc) como em termos de objetivos do curso, no sentido de formar um cidadão capaz de exercer

sua profissão, adaptar-se às novas tecnologias , tornar-se autônomo, entre outros. Mas os egressos

desses cursos saem com habilidades distintas. O bacharel é um profissional voltado para pesquisa

científica, enquanto o licenciado será professor da Educação Básica.

Para o licenciado em Matemática, há um consenso entre os professores sobre a não necessidade

de estudar certas complexidades das estruturas da Álgebra e conhecer todos os conceitos trabalhados

ao longo da Educação Básica. Nesse sentido, apresentam a necessidade de, no decorrer do trabalho

com as disciplinas de Álgebra, discutir os conceitos que futuramente trabalharão na Educação Básica.

[...] ele (o aluno do curso de Licenciatura em Matemática) vai fazer pequenas

demonstrações (1.8).

Se pudesse focar no aluno de Licenciatura, tu poderias tratar mais especificamente esses aspectos mais diretamente para quem vai usar aquilo para o ensino e não simplesmente para trabalhar com aplicação prática em algumas áreas (3.19). [...] para o professor de Matemática, ou o futuro professor, a Álgebra deve ser abordada de maneira mais elementar (6.27). Eu acho que o professor de Matemática, ele tem que ter toda a sua formação e Licenciatura voltada para o ensino, para o Ensino Fundamental e Médio que é o foco (3.30).

[...] ele saber Matemática é [...] é o normal. O resto que vai fazer dele um bom professor, é composto por [...], não só por habilidades matemáticas, mas por habilidades de ser humano. (1.11) Eu não entendo um curso de Licenciatura sem ir a fundo nessas questões. Uma visão geral das questões básicas, com demonstrações, o professor sabendo achar caminhos lógicos para explicar algumas demonstrações importantes, pelo menos as mais importantes. (9.18)

Na última frase, observamos que na concepção da professora, para ser um bom

professor de Matemática é necessário ter mais do que conhecimento da Matemática que ele vai

ensinar, ele precisa desenvolver “habilidades de ser humano”. Compreendemos que, com isso,

a professora enfatiza que ser professor de Matemática é mais do que domínio do conteúdo. É

preciso compreensão, paciência e envolvimento com o que faz.

Nesse sentido, Fiorentini (2004) ressalta que

a maioria dos professores de Cálculo, de Álgebra, de Análise de Topologia etc... acredita que ensina apenas conceitos e procedimentos matemáticos. Eles, geralmente, não percebem ou não têm consciência que ensinam também um jeito de ser professor, isto é, um modo de conceber e estabelecer relação com a matemática e de ensiná-la, aprendê-la e avaliar sua aprendizagem.

Nessa perspectiva, podemos afirmar que a disciplina de Álgebra no curso de

Licenciatura contribui também para a formação pedagógica do professor, pois, ele não está

apenas estudando um campo do conhecimento matemático, mas também, aprendendo um

modo de ser professor.

5.4 Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática?

A pesquisa tem por meta conhecer as concepções de Álgebra de professores que

trabalham com essa disciplina nos cursos de Licenciatura em Matemática. Esta categoria que

fala do perfil do aluno, licenciando em Matemática, está presente no discurso dos professores

entrevistados.

Os depoentes destacam de modo significativo a dificuldade que seus alunos expressam

na aprendizagem da Matemática formal, principalmente nos tópicos referentes às estruturas

algébricas e atribuem essa dificuldade ao fato de esses alunos não verem aplicabilidade desse

conhecimento em seu futuro trabalho como profissional da Educação Básica.

[...] tu tens que mostrar a aplicabilidade de Matemática, que é a dificuldade do aluno (3.2). Onde é que eu vou aplicar isso no meu cotidiano? ( 3.3). O grande problema da Licenciatura é levar para quem tu estás ensinando a visão concreta. (3.7) [...] Os alunos [...] da Licenciatura, muitas vezes, não reconhecem ou não enxergam a importância da disciplina na sua atuação profissional (7.20).

Consideram que os alunos têm grande dificuldade em trabalhar com abstrações e

conceitos matemáticos. Segundo eles, este é um dos motivos que faz com que os alunos

rejeitem a Álgebra.

Tem uma grande rejeição à disciplina [...] os alunos não estão dispostos a estudar aquilo, tem uma certa indisposição, diga-se, de fazer aquilo. Isso

acaba criando uma barreira, que na verdade não precisaria estar ali. Eu acho que se essa barreira, essa pré-indisposição, esse pré-conceito, [...] Tem um bloqueio bastante grande, uma recusa até. Eu acho que isso dificulta bastante até o desenvolvimento da disciplina. (7.19). Porque, para o professor de Matemática, para ele é um esforço muito grande. Em geral, o professor de Matemática, ele não quer ser um cientista (6.18). Para ele é muito difícil porque vem de um colégio que é péssimo (6.32). Na abstração eles têm bastante dificuldade (7.9).

Os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, conforme os depoentes, em sua

grande maioria não apresentam uma boa escolaridade pregressa, dificultando o

acompanhamento das atividades trabalhadas nas disciplinas de Álgebra. Além disso, em geral,

são alunos que trabalham em outros turnos, o que acarreta falta de disponibilidade para

dedicarem um tempo maior ao estudo. Acrescido a esses aspectos, consideram a Álgebra de

pouca utilidade no futuro trabalho que desenvolverão junto aos alunos da Educação Básica,

uma vez que os conteúdos estudados na graduação não serão objeto de atividades a serem

desenvolvidas com os futuros alunos.

Mesmo diante das dificuldades e conforme expusemos na categoria 5.1, os depoentes

constatam que o estudo das estruturas algébricas é importante para a fundamentação

matemática desse futuro profissional. Desse modo, consideram a formação pedagógica

necessária para o professor, porém, atribuem a qualidade de ser “bom professor de

Matemática” àqueles que também têm uma formação consistente na referida área.

[...] é bastante importante para a formação do professor que ele também tenha uma sólida formação matemática, [...] Embora eu tenha feito Licenciatura [...], eu sempre dei muita importância à formação matemática. Na verdade, salientaria esse item como mais importante para lecionar. (7.14) [...] o professor de Matemática deve ter um domínio [...], de Matemática bastante abrangente. (7.11) Para aprender a escrever matematicamente e que ele tenha uma noção que ele tem que se expressar de forma clara e objetiva para poder passar isso para o aluno depois. Outro ponto que eu acho fundamental é a formação dos pensamentos no futuro professor. [...] formar o pensamento aritmético, algébrico, geométrico e combinatório probabilístico. (9.6)

Eu acho imprescindível que o professor de Matemática tenha habilidades nessa forma de se comunicar matematicamente. (4.3)

Ao falarem sobre o aluno do curso de Licenciatura em Matemática, os professores

destacam, ainda, a importância de ele gostar do que faz, do que estuda e do que tem

possibilidade de vir a ser enquanto profissional da educação.

[...] particularmente é uma das cadeiras que eu mais gostava na graduação. (3.6) Mas eu acho que a Matemática tem uma cativa, ela tem coisas interessantes, uma beleza intrínseca e que o professor deve ver uma beleza nisso, pelo menos eu acho. (7.21) Se eu não visse essa beleza na Matemática em si, [...] eu não seria professor. (7.22) Gostar disso, é isso que está faltando muito para os nossos alunos. (7.23)

Ressaltam que nem sempre os alunos optam pelo curso de Licenciatura em Matemática

devido ao gosto pela Matemática. Afirmam que muitas vezes o que esses estudantes buscam é

uma graduação em que há demanda de profissionais.

Às vezes eles estão aí mais para ter uma profissão que eles querem ter um ganha pão e não pensaram que essa profissão tem todo um contexto [...] (7.24).

Portanto, em alguns casos, conforme os depoentes, o que leva o aluno a escolher esse

curso não é o interesse pela Matemática, mas sim, a falta de professores de Matemática no

mercado de trabalho e, conseqüentemente, a possibilidade de emprego quando egresso do

curso.

5.5 Metacompreensão do depoente no processo da entrevista

A questão encaminhada com o intuito de desencadear as ‘entre-vistas’ pode levar os

depoentes a refletirem sobre o que está sendo focado. No caso dessa pesquisa é a questão

concernente à importância da Álgebra na formação de professores de Matemática.

Compreendemos que a entrevista não se constitui em apenas um momento de obtenção dos

dados do depoente, mas ela própria contribui com a metacompreensão da questão formulada,

no sentido de que o sujeito da ‘entre-vista’ busca, dentre suas experiências, por vivências que

dêem a ele sustentação para formular a resposta.

Nesta pesquisa, a metacompreensão emerge como uma idiossincrasia44 entre as unidades

de significado presentes na análise ideográfica e passíveis de convergências. A unidade de

significado 6.8, expressa no discurso do depoente 6, dá indícios dessa metacompreensão

quando o depoente indaga pelo que a questão interroga. Ele diz: “mas sua pergunta é muito

ampla [...]. Por exemplo, para que serve e em que sentido? Para que serve na função de

professor ou na sua vida pessoal? Ou na profissão dele? [...] (6.8)”,

Quando o entrevistado comenta “mas sua pergunta é muito ampla [...]”, compreendemos

que o mesmo considera a questão, da maneira como foi apresentada, uma questão abrangente,

pois, lhe assegura a possibilidade de seguir por diversos caminhos, cabendo a ele optar pelo

mais interessante para formular a resposta.

Ao questionar a relevância da Álgebra para a formação do professor de Matemática em

diversos sentidos, como em sua função como professor, em sua profissão ou em sua vida

pessoal, essas indagações levam-no a pensar sobre sua própria compreensão a respeito desse

assunto.

Nesses movimentos do pensar, os sujeitos da pesquisa articulam o modo como

compreendem a Álgebra no processo de formação de professores de Matemática e expõem o

que, para eles, se mostrou mais significativo, seja sobre o contexto no qual estão inseridos,

sobre os problemas que percebem nos cursos de Licenciatura em que trabalham, ou sobre

sugestões de mudanças na estrutura desses cursos etc.

Nesse sentido, encontramos convergências sobre o modo como procedemos no

desenvolvimento desta pesquisa e a modalidade de pesquisa reflexiva, por compreender a

entrevista como um encontro no qual a pesquisadora e o entrevistado vão, juntos, refletir sobre

o tema proposto.

A entrevista face a face é fundamentalmente uma situação de interação humana, na qual estão em jogo as percepções do outro e de si, expectativas, sentimentos, preconceitos, interpretações e constituição de sentido para os protagonistas - entrevistador/es e entrevistado/s. Da mesma forma que quem entrevista tem/busca informações, quem é entrevistado também está processando um conjunto de conhecimentos e pré-conceitos sobre o

44 De acordo com Bicudo (2000, p. 92) , idiossincrasia são os invariantes ou os individuais do fenômeno estudado.

interlocutor e organizando suas respostas para aquela situação. Quem pesquisa tem uma intencionalidade, que vai além da mera busca de informações: pretende criar uma situação de confiança para que o entrevistado se torne mais receptivo, pretende passar uma imagem de credibilidade e quer que o interlocutor colabore, trazendo dados relevantes para sua pesquisa. A concordância em participar como informante, de uma pesquisa, já é indicador de uma intencionalidade por parte do entrevistado – pelo menos a de ser ouvido, acreditado e considerado, o que caracteriza o caráter ativo de sua participação enquanto desenvolvimento de modos de influenciar o/a interlocutor/a (Szymanski, 2001, p. 197).

Apesar desta categoria ser construída devido a partir da fala de apenas um professor, ou

seja, é uma idiossincrasia, pois não converge para as outras categorias, como ocorre com as

demais unidades de significado, ela é importante, pois, solicita ao pesquisador um pensar a

respeito do que significa formular a questão que desencadeará um processo de ‘entre-vista’,

sem trazer em seu modo de apresentação a imposição de uma verdade ou de um julgamento

pré-estabelecido, negando ao entrevistado a possibilidade de comentar sobre outros aspectos

que não foram englobados na questão.

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A CAMINHO DA

METACOMPREENSÃO DA PESQUISA

Iniciamos esta pesquisa com o objetivo de investigar como os docentes que atuam em

cursos de formação de professores de Matemática compreendem a Álgebra, como a estudam e

como a trabalham com seus alunos, futuros professores. A interrogação “como os professores

de Álgebra, dos cursos de Licenciatura em Matemática, compreendem e trabalham a Álgebra,

em termos de conteúdo e prática pedagógica?” conduziu a pesquisa que ora converge para

uma compreensão mais abrangente em relação ao ponto de partida.

Conforme está exposto no Capítulo I, iniciamos o estudo desse tema adentrando por

algumas passagens nos campos da História da Matemática, História da Legislação Brasileira e

Filosofia da Matemática. Consideramos as leituras efetuadas importantes, pois nos

conduziram à compreensões sobre o modo como a Álgebra está organizada atualmente na

Educação Básica e no Ensino Superior, mais especificamente no curso de Licenciatura em

Matemática.

No âmbito da História da Matemática deparamo-nos com concepções de Álgebra

mantidas em diferentes épocas: Álgebra como uma expansão da Aritmética, como estudo das

equações, como estudo das estruturas algébricas, entre outras. Na Filosofia da Matemática,

estudamos o intuicionismo, o formalismo e o logicismo, movimentos que ocorreram

concomitantemente com a elaboração da Álgebra Moderna, influenciando sua organização.

Na história das legislações brasileiras observamos as diferentes concepções sobre Álgebra

presentes no ensino e as mudanças constitucionais que ocorreram ao longo do século passado

até os dias atuais, possibilitando a compreensão do modo como a Álgebra está organizada

legalmente na Educação nacional. Esses estudos nos revelaram diferentes perspectivas das

quais se pode conceber a Álgebra. Mais do que isso, compreendemos as diferentes concepções

que se revelavam e escondiam nos discursos dos depoentes.

Ao refletirmos sobre o que se mostrou significativo na construção das categorias, um

dos destaques é a presença da Álgebra na Licenciatura em Matemática. No decorrer do curso,

segundo os depoentes, é preciso pensar a formação do professor para atuar na Educação

Básica. Ao se pronunciarem sobre a relevância da Álgebra na formação do professor,

destacam a importância do estudo das estruturas algébricas como fundamental para a

formação desse profissional.

Em suas falas, os depoentes dizem que os alunos não vêem as estruturas algébricas

como relevantes para o professor de matemática, em virtude do distanciamento entre o que

estudam na licenciatura e o que julgam importante trabalhar na educação básica, que não

abrange a abordagem desse conhecimento. Ou seja, para eles, a falta de conexão entre a

educação básica e o ensino superior é uma barreira que interfere na aprendizagem desse

conteúdo e que vem dificultando o desenvolvimento da Álgebra como disciplina na

Licenciatura.

Os depoentes consideram importante uma formação sólida no que diz respeito à base

matemática e pedagógica do curso, para que o egresso não apenas exerça sua profissão, mas

que faça a diferença pelo conhecimento que lhe confere possibilidade de se movimentar de um

modo mais livre e comprometido quando docente. Compreendem que os futuros professores

atribuem importância aos conteúdos quando vislumbram aplicação direta desse conhecimento

para a Álgebra elementar, trabalhada na Educação Básica.

Desse modo, nesta pesquisa destacou-se a ênfase que os professores dão à formação

matemática do professor. Em suas falas, os depoentes destacam a relevância da formação

pedagógica do professor de Matemática, no sentido de conhecer várias metodologias de

ensino, preparar aulas diversificadas, trabalhar com a realidade do aluno etc, mas consideram

a formação matemática como central, ou seja, o diferencial para ser um “bom profissional”.

A organização do curso de Licenciatura em Matemática também é abordada pelos

depoentes, com críticas e sugestões. As principais críticas são de professores que trabalham

em instituições particulares. Segundo eles, o curso necessita de um número mínimo de

estudantes para se manter. Como, nos últimos anos, isso não vem ocorrendo, a solução

encontrada por essas instituições para manter os cursos é formar grandes turmas para

disciplinas comuns a diversos cursos (Matemática, Física, Química, Engenharia, ...). Nessas

instituições, a Álgebra não é voltada para a formação docente, mas é apresentada de maneira

genérica a todos os alunos, dos diversos cursos, ao mesmo tempo. Nesse aspecto, o aluno do

curso de Licenciatura é prejudicado, porque, no decorrer da disciplina, não há como o

professor discutir ou trabalhar o conteúdo, focando-a na atuação desse estudante como futuro

professor. Essa situação, onde a instituição promove um curso mais barato, em menor tempo e

com menos qualidade, têm sido algo comum no estado do Rio Grande do Sul e em termos de

Brasil. Desse modo, há a necessidade de um acompanhamento e avaliação mais próximos da

instituição por parte dos órgãos competentes.

Sobre os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, os depoentes os

caracterizam como estudantes vindos de escolas públicas e que, na maioria das vezes, pelo

estudo pregresso têm dificuldade em apreender conceitos mais elaborados apresentados no

decorrer da Licenciatura. Outra dificuldade que apontaram com relação a esse aluno é sua

condição social. Segundo os depoentes, ele freqüenta a universidade em um turno e, por

necessidade, trabalha no outro. Isso dificulta uma maior dedicação aos estudos e mostra-se

como um obstáculo à formação matemática do professor, considerada a mais importante na

formação desse profissional. Segundo os depoentes, o curso de Licenciatura em Matemática

está fortemente relacionado à promessa de emprego para os licenciandos quando egressos do

curso, devido à demanda desses profissionais no Estado. Isso traz para o curso muitos

estudantes interessados em um emprego futuro e que não valorizam a profissão. Como

conseqüência, são formados profissionais que não estão abertos às reflexões sobre o contexto

educacional.

Considerando a formação de profissionais que vão atuar na educação e, no exercício

de sua profissão, enfrentar as complexidades dos processos de ensino e de aprendizagem,

temos que as compreensões dos professores de álgebra, expostas nessa pesquisa, sinalizam a

importância de outras investigações que busquem esclarecer perspectivas da presença da

Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática em sintonia com a formação do professor de

Matemática.

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