CONJUNTOS NUMÉRICOS

Recapituló CARLOS VILLA, docente auxiliar del ITM

Números Naturales

El ser humano desde sus inicios tuvo la necesidad de contar. De ahí nacieron los números y más precisamente el conjunto de los Números Naturales.

N = Conjunto de los Números Naturales

N = { 1, 2, 3,…}

El conjunto de los números naturales se caracteriza porque:

1. Empieza con el uno.2. Tiene un número infinito de elementos consecutivos (un natural menos el anterior es igual a uno).3.Cada elemento tiene un siguiente y todos, a excepción del 1 tienen un anterior.

USOS DE LOS NATURALES:

1. Para contar o cuantificar. Ejemplo: 1,2,3,4 personas.2. Para identificar. Ejemplo: Aula número 2133. Para ordenar o jerarquizar. Ejemplo: 1 o, 2 o, 3 o, 4 o.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NATURALES

Asociativa

En una suma de números naturales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía.

Ejemplo:

3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15

Conmutativa

El orden que se le dé a los sumandos no altera el valor total de la suma.Ejemplo:

2 + 5 = 5 + 2 = 7

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS NATURALES:

Asociativa

Si a, b, c N tenemos que:

(a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo: (3 x 4) x 2 = 3 x (4 x -2) 12 x 2 = 3 x 8 = 24

Conmutativa

a x b = b x aEjemplo: 5 x 3 = 3 x 5 15 = 15

Distributiva del producto con respecto a la suma:

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

Criterios de Divisibilidad

Para saber si un número es divisible por otro no siempre es necesario hacer la división.

Un número es divisible por:

2 : Su último digito es par o cero3 : Si la suma de sus dígitos es divisible por tres6: Si es divisible por 2 y por 3.5 : Su último digito es 0 o 5. 10: Su último digito es 0.

Para destruir paréntesis

Tenga en cuenta este orden: Primero, las operaciones encerradas en los paréntesis

Segundo, las operaciones que quedan indicadas, operando primero multiplicaciones y divisiones antes que adiciones y sustracciones.

Ejemplo 1: Efectuar; (5 + 4) 3 + (8-4) 2

Solución: 9 3 + 4 2 = 3 + 2 = 5

Ejemplo 2: Efectuar: (30 – 10) (7 –2) + (9 - 4) 5 + 3

Solución: 20 5 + 5 5 + 3 = 4 + 1 + 3 = 8

Ejemplo 3: Efectuar: [(9 – 4) 5 + (10 – 2) 4] + 9 x 6 18 + 2

Solución: [ 5 5 + 8 4] + 54 18 + 2 = [ 1 + 2 ] + 3 + 2 = 3 + 3 + 2 = 8

Ejemplo 4: Efectuar: 500 - [(6-1) 8 4 x 3 + 16 (10 – 2)] – 5

Solución: 500 – [5 x 8 4 x 3 + 16 8 ] – 5 = 500 – [40 4 x 3 + 2] – 5= 500 – [10 x 3 + 2] – 5 = 500 – [30 + 2] – 5 = 500 – 32 - 5 = 463.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos excepto por el orden.

Ejemplo,

20808 = 23 · 32 · 172 3600 = 24 · 32 · 52

No existe otra forma de factorización de 20808 y 3600 en números primos y puesto que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no influye; por esta razón, habitualmente se expresa el teorema como factorización única exceptuando el orden de los factores.

El teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores, ya que por definición, un producto vacío tiene por resultado 1.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo (“m.c.m.” o “mcm”) de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

El m.c.m. se emplea para sumar o restar fracciones de distinto denominador, lo que veremos en el conjunto de los racionales.

Cálculo del m.c.m.

1. Descomponer los números en factores primos. 2. Para cada factor común, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor

exponente.

3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Manera teórica del cálculo del Mínimo Común Múltiplo (mcm)

La teoría es la siguiente:

- Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Ejemplo: m.c.m. de 24, 36 y 40

1. Descomponemos los números en factores primos.

2. Para cada factor común, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.

Los factores son: 2, 3, 5 y elevados a los mayores exponentes serían: 23, 32, 5

3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Lo que implica que 360 es el menor múltiplo de 24, 12 y 36 que es divisible exactamente por cualquiera de ellos.

Ejemplo, de las factorizaciones de 20808 y 3600:

20808 = 23 · 32 · 172 3600 = 24 · 32 · 52

podemos inferir que su m.c.m. es 24 · 32· 52 · 172 = 1040400

Lo que implica que 1040400 es el menor múltiplo de 20808 y de 20808 que es divisible exactamente por cualquiera de ellos.

También se puede utilizar el método abreviado:

Hallar el MCM entre 30, 60, y 90 por el método abreviado.

Solución: 30 60 190 2

15 30 95 2

15 15 95 3

5 5 5 5

1 1 19 19

1 1 1

MCM = 22 x 3 x 5 x 19 = 1140

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor («m.c.d.» o «mcd») de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

Propiedades

El máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.

Cálculo del mcd

El método más utilizado para el cálculo del máximo común divisor de dos números es:

Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d.

El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

mcd(48, 60). Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60 son:

48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}; 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Véamoslo utilizando los dos métodos descritos anteriormente:

De las factorizaciones de 48 y 60, (48 = 24.3 y 60=22.3.5) podemos inferir que su m.c.d. es 22.3 = 12 o comúnmente expresado como mcd(60,48)=12.

Como puede verse hemos necesitado calcular los factorización de 48 y 60 en factores primos (En torno a 10 divisiones siendo los factores sencillos).

Si en cambio utilizamos el algoritmo de Euclides:

Calculamos el resto de dividir 60 por 48, 12 (En este caso es igual a restar 48 a 60). Calculamos el resto de dividir 48 por 12: 0. Por tanto, el mcd de 48 y 60 es 12. Como puede verse utilizando el algoritmo de Euclides hemos necesitado: Una resta Una división

otro ejemplo:

(6936,1200) = 23 · 3 = 24.

un último ejemplo, mcd(7000000, 7000002).

Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números:

7000000 = 26 . 56 . 7 7000002 = 21 . 32 . 157 . 2477

por lo que su mcd es 2 (Se trata del único factor común elevado al mínimo exponente, 1).

Si utilizamos el algoritmo de Euclides llegamos al mismo resultado (haciendo dos divisiones). 239

Método abreviado para hallar el M.C.D.:

El MCD entre varios números, por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente

dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común; los cocientes nuevamente

por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí.

Ejemplo: Hallar el MCD entre 3430, 2450, 980 y 4410 por el método abreviado.

Solución: 3430 2450 980 4410 10

343 245 98 441 7

49 35 14 63 7

7 5 2 9

MCD = 10 x 72 = 490

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Números Enteros

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los números Naturales. Por ejemplo: a cinco (5) se le quieren quitar veinte (20): 5 – 20 =  ¿?).

Z  :  Conjunto de los Números Enteros

Z  =   { ... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }

En este estado de cosas, la recta numérica se extendió hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representara un número natural le correspondía un punto simétrico, situado a la izquierda del cero.

El conjunto de los números enteros tiene, entre otras, las siguientes características:

1. No tiene primer elemento 2. Es infinito. No tiene último elemento.3. Entre dos números consecutivos, no existe otro. El conjunto es de valores DISCRETOS.

USOS DE LOS ENTEROS:

1.Para cuantificar en términos relativos al cero. Ejemplos: debo diez mil pesos => - $ 10.000, tres grados centígrados por debajo del cero => - 3 oC (menos tres grados centígrados), cinco unidades por debajo del eje X => Y = - 5

2. Para identificar niveles. Ejemplo: Nivel – 2 (sótano 2).3. En los enteros podemos sumar Números negativos:

Ejemplo: 5 + (-4). Equivale a decir: de cinco unidades positivas corrámonos a la izquierda cuatro unidades.Por lo tanto: 5 + (-4) = 5 – 4 = 1

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE ENTEROS

Entenderemos que si a y b son enteros, entonces: a – b = a + (-b). Luego una resta es a la vez una suma.

Asociativa

En una suma de números enteros pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía. Ejemplo:

3 + (2 - 7) = (3 + 2) – 7 = 5 – 7 = - 2

Conmutativa

El orden que se le dé a los sumandos no altera el valor total de la suma.

Ejemplo:- 4 + 8 = 8 – 4 = 4

Distributiva del producto con respecto a la suma:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

Elemento neutro

En el conjunto de los números naturales existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.

Ejemplos:

- 15 + 0 = - 15 ; 34 + 0 = 34

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS ENTEROS:

Asociativa

Si a, b, c Z tenemos que:

(a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo: (-3 x 4) x -2 = -3 x (4 x -2) -12 x -2 = -3 x -8 = 24

Conmutativa

a x b = b x aEjemplo: (-6) x 23 = 23 x (-6) -48 = -48

Elemento neutro

El uno es un elemento neutro en la multiplicación de números enteros ya que uno por cualquier entero da el mismo entero.

Producto por cero

El producto de cualquier número entero por el número cero es cero.

Números primos:

Se denomina número primo a todo entero diferente de uno, cuyos únicos divisores son él mismo, su

opuesto y la unidad; los números que no son primos se denominan compuestos. El estudio de los

números primos, como sub conjunto de los enteros, ha formado desde épocas remotas una rama

especial de las matemáticas, no sólo interesante como un juego matemático, sino también por sus

implicaciones científicas. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

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Números Racionales

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales y Números Enteros.

Q  :  Conjunto de los Números RacionalesQ  =  {  / a y b    Z b    0 }

Al encontrar que la división entre dos números, naturales o enteros, no siempre daba exacta y que en muchísimos casos los decimales eran infinitos no periódicos, se inventaron los racionales o

fraccionarios, el cual está formado por todos los números de la forma . Esta fracción en la cual el

numerador a es un número entero y el denominador b es un número entero distinto de cero (por aquello de que la división por cero no está determinada.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se expresa por comprensión como:

Q  =  {  / a y b    Z b    0 }

Léase: “Q es el conjunto de los números de la forma , tal que a y b pertenecen a los enteros y b

debe ser diferente de cero”.

Toda fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes las cuales se pueden obtener multiplicando el numerador y denominador de la fracción por el mismo número.Ejemplo:

Las fracciones y son fracciones equivalentes pues:

Al conjunto de los racionales pertenecen los números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

USOS DE LOS RACIONALES:

1.Para expresar una o varias de las partes en que se ha dividido la unidad. Ejemplos: , .

2.Para expresar la distribución de una cantidad en varias partes iguales: Ejemplos: , .

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE RACIONALES

Asociativa

En una suma de números racionales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía.

Ejemplo:

2/3 + (1/5 + 7/15) = 2/3 + 10/15 = 20/15

De la misma forma:

(2/3 + 1/5) + 7/15 = 13/15 + 7/15 = 20/15

Conmutativa

El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma.Ejemplo:

2/3 + 1/5 + 7/15 = 1/5 + 7/15 + 2/3 20/15 = 20/15

Elemento neutro

En el conjunto de los números racionales existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.

Ejemplo:

3/4 + 0/6 = 9/12 = 3/4

Existencia del opuesto

El opuesto del número 3/7 es - 3/7La suma de dos números opuestos pertenece a la clase del numerador cero.

Ejemplo:4/7 + (- 4/7) = 4/7 - 4/7 = 0/7 = 0 (Elemento neutro)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES

Asociativa

En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o más de los factores por el producto efectuado.

Ejemplo:3 *5*7*11 = 1155

3 *5*7*11 = 3*(5*7)*11 = 3*(35)*11 = 33*(35) = 1155

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.Ejemplo: 43*12 = 12*43 = 516

Elemento neutro

En el conjunto de los números racionales existe un número que, multiplicado por cualquier otro, da siempre este otro. A tal número se le llama elemento neutro respecto del producto. Es el representado por las fracciones del tipo a/a = 1 (numerador y denominador iguales).

Elemento inverso o inverso multiplicativo

Es el que, multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el elemento neutro.

Ejemplo:Para 2/5 el inverso es 5/2 porque:

x = = 1

Uso del m.c.m. en la suma y resta de racionales:

Ejemplo,

RAZONES Y PROPORCIONES

Una razón es la comparación de dos números por medio de un cociente. Este cociente se interpreta como el número de veces que uno de ellos es mayor que el otro, esto se expresa como:

, con b 0

Al término a se le llama antecedente y al término b, consecuente.

Las razones y proporciones tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean las escalas para realizar planos y maquetas, en las área estadística y financiera para realizar cálculos de índices y, en la vida diaria, para distribuciones y desarrollar ciertas operaciones aritméticas.

Ejemplo:

Una persona, al comprar una caja que contiene 30 huevos, observó que seis salieron quebrados; la razón que se obtiene es:

simplificando la razón, se tiene:

lo cual se interpreta como: un huevo de cada cinco está quebrado.

Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones y, se expresa como:

, donde b y d 0

en las proporciones, los términos a y d se denominan extremos y b y c, medios.

Como se puede apreciar, una proporción está formada por dos razones igualadas. De este modo, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Propiedad fundamental de las proporciones::

, si y sólo si ad = bc, donde b y d 0

Ejemplo:

Un albañil compró 3.5 m. de tubería y pagó por ella $ 14000. Si necesita 8 m. de la misma tubería, ¿cuánto deberá pagar?

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se tiene:

= 3.5 m (x)

Los 8 m de tubería cuestan $ 32000

En toda proporción, un extremo es igual al producto de los medios entre el otro extremo, y un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio.

Ejemplos:

En el primer ejemplo, se buscó el valor de un extremo, mientras en el segundo, el de un medio.

Recuerde:

Dos razones forman una proporción, solamente cuando el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios.

Fracción mixta

Una fracción es mixta cuando está compuesta por un entero y un fraccionario.

Fracción Mixta:

La anterior figura 4/4 + 4/4 + 1/4

Corresponde a: = 1 + 1 + ¼ = 2+ ¼ = 2 ¼

2 enteros y ¼, es decir, es una fracción impropia (ya que es mayor que la unidad), que se puede convertir a una fracción mixta.

a/b > 1 (a > b) =>

Fracción Impropia Fracción Mixta

Fracción Mixta Fracción Impropia

Ejemplo : Convertir en quebrado impropio

Solución:

Ejemplo : Hallar los enteros contenidos en 32/4

Solución: 32 4 => 32/4 = 8

0 8

Ejemplo : Convertir en mixto 335/228

Solución: 335 228 => 335/228 =

107 1

Ejemplo: Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7.

Solución:

Ejemplo : Reducir 17 a novenos

Solución: 17 = 17 * 9 /9= 153/9

Ejemplo : Convertir ¾ en quebrado equivalente de denominador 24.

Solución:

Ejemplo : Convertir 2/7 en treinta y cincoavos.

Solución:

Ejemplo : Convertir 15/24 en quebrado equivalente de denominador 8.

Solución:

Ejemplo : Reducir a su más simple expresión:

Solución: a) 28 = 14 = 7 Para que un # tenga mitad,

36 18 9 debe terminar en cero ó en par.

mitad mitad

Para que un # tenga tercera,

b) 54 = 27 = 9 = 1 la suma de sus dígitos debe dar

108 54 18 2 múltiplo de tres.

mitad tercera novena

Para que un # tenga quinta,

c) 54 = 27 = 9 debe terminar en cero o en cinco.

96 48 16

mitad tercera

a) 12903 = 4301 = 391 = 23 16269 5423 493 29

tercera onceava diez y sieteava

Ejemplo: Simplificar 12 x 10 x 35

16 x 14 x 21

Solución:

1

3

6 5 5

12 x 10 x 35 = 5 x 5 = 25

16 x 14 x 21 2 x 14 28

8 7

4 1

2

3 1

Ejemplo: 7 6 1 2

35 12 4 62 34

Simplificar 350 x 1200 x 4000 x 620 x 340 = 7 x 3 x 62 = 1302 = 260 2

1000 x 50 x 200 x 800 x 170 5 5 5

1 5 2 80 17

1 1 20 1

10

5

Suma y resta combinada de fracciones

Ejemplo : Efectuar 3 - 5 + 7 4 8 12

Solución: Sacamos un denominador común, el cuál es el m.c.m. entre dichos denominadores (en este caso es 24). Luego dividimos cada denominador entre el denominador común y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador.

3 – 5 + 7 = 18 – 15 +14 = 17

4 8 12 24 24

Ejemplo: Efectuar 7 + 5 - 4

12 9 24 12 9 6 2 m.c.m = 22 x 32 = 36

6 9 3 2

3 9 3 3

Solución: 7 + 5 - 1 = 1 3 1 3

12 9 6 1 1 1

21 + 20 – 6 = 35

36 36

Ejemplo: Efectuar

Solución: operamos la parte entera = 14-2=12 , luego operamos las fracciones:

16 8 6 2 m.c.m = 24 x 3 = 48

8 4 3 2

4 2 3 2

2 1 3 2

1 1 3 3

1 1 1

Ejemplo: Efectuar

Solución: 9 – 5 + 4 = 8; - 1 + 1 = -2+1 = - 1

6 12 12 12

Ejemplo: Efectuar 5 1 x 1 x 6 1 x 48

8 82 3

Solución: 41 x 1 x 19 x 48

8 x 82 x 3

1

8

1 24

41 x 1 x 19 x 48 = 19

8 82 3

1 41 1

1

Ejercicio: Simplificar: (1/6 + 1/9 – 1/12) x 6/7

Ejercicio: Simplificar

Inverso Multiplicativo

En matemáticas, el inverso multiplicativo (frecuentemente denominado inverso) de un número x es el número que, multiplicado por x da 1 como resultado.

El 0 no tiene inverso multiplicativo. Todo número complejo, salvo el 0, tiene un inverso que es un número complejo. El inverso de un número real también es real, y el de un número racional también es racional. El inverso de x se denota 1/x, o .

Ejemplo:

Ejemplo:

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Números Irracionales

A este conjunto pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. Ejemplos de ellos tenemos todas las raíces inexactas

como , etc. Igualmente el número , la constante e, base de los logaritmos naturales, entre otros.

Conjunto de Números IrracionalesQ´  : Conjunto de los Números Irracionales

Q´  es el conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Tienen la importante propiedad de poder ser aproximados con el grado de precisión que se necesite.

USOS DE LOS IRRACIONALES:

1. La constante y la constante e están en los cálculos de áreas y volúmenes y en los exponenciales y logaritmos.

2. Las raíces inexactas como tienen que ver con cálculos comunes en las asignaturas con base matemática.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE IRRACIONALES

Asociativa

En una suma de números irracionales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía.

Ejemplo:

Conmutativa

El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma.Ejemplo:

Elemento neutro

En el conjunto de los números irracionales existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE IRRACIONALES

Asociativa

En un producto de números irracionales pueden sustituirse dos o más de los factores por el producto efectuado.

Ejemplo:

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.Ejemplo: =

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Números Reales

Se le denomina así a cualquier número que pertenezca a los racionales (Q) o a los irracionales (Q’) .

Pueden expresarse de forma decimal, como número entero, decimal exacto, decimal periódico o no periódico.

Números Reales (R):

Ejemplo:

Las propiedades de los reales están separadamente en los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Propiedades de los Números Reales:

Conmutativa de adición

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo: 4 + 2 = 2 + 4

Conmutativa de multiplicación

Por ejemplo: 4 * 2 = 2* 4

Asociativa de adición

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)Asociativa de multiplicación

Por ejemplo: 4 * (2 * 9) = (4 * 2) * 9

Distributiva de multiplicación sobre adición

Por ejemplo: 4 * (2 + 9) = 4 * 2 + 4 * 9

Porcentajes

Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número. El signo de tanto por ciento es %.

Así, el 15% de 80 ó de 80 equivale a 15 centésimas partes de 80, es decir, que 80 se divide en

cien partes iguales y de ellas se toman 15.

Entonces: el 52% de 548 es 0.52 x 548 = 284.96

el 22.5% de 589 es 0.225 x 589 = 132.5

el 2% de 459 es 0.02 x 459 = 9.18

Ejemplo: Juan tiene un sueldo de $527.000 y se gasta el 32% en arriendo. ¿Cuánto dinero le queda después de pagar el arriendo?

Solución: El 32% de $527.000 es .

Observemos que 32% es 32/100 o sea 0.32.

A Juan le quedan $527.000 - $168.640 = $358.360

Ejemplo: Hallar el 2/5% de $125.000

Solución:

Ejemplo: ¿De qué número es 52 el 15%?

Solución: Diremos que el 15% del número que se busca es 52; el 100%, o sea el número buscado será x?

Se trabaja una regla de tres simple: 52……………….15%

x…………………100%

Entonces:

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo 25% es 425?

Solución: Diremos que el 25% del número que se busca es 425; el 100%, o sea el número buscado será x?

La regla de tres sería: 425……………….25%

x…………………100%

Entonces:

Ejemplo: ¿Qué porcentaje de 4200 es 1430?

Solución: Debemos pensar que 4200 es el 100%, por lo tanto 1430 es el x% que vamos a hallar. La regla de tres se plantearía: 4200……………..100%

1430………………x%

Entonces:

Ejemplo: ¿De qué número es 428 el 18% más?

Solución: El número que buscamos es el 100%. Si 428 es el 18% más que ese número, 428 será el 100% + el 18% o sea el 118% del número buscado. Por lo tanto pensaremos que si el 118% del número buscado es 428, el 100% , es decir el número buscado será x.

La regla de tres quedaría así: 118%.............428

100%.............x

Ejemplo 3.7: ¿De qué número es 238 el 14% menos?

Solución: El número que buscamos es el 100%. Como 238 es el 14% menos, 238 es el 100% - 14% = 86% del número buscado. Entonces el 84% del número buscado es 238, y el 100% será x.

La regla de tres quedaría así: 86%.............238

100%.............x

Conversión del lenguaje común al matemático Analice y complete las casillas que falten

un número aumentado en n unidades x  + n

el doble de un número  2x

el triple de un número disminuido en k unidades 3x – k

el doble de un número aumentado en 5 2x + 5

la tercera parte de un número   

la cuarta parte de un número aumentado en p  

la quinta parte de diferencia entre un número y 8  

el doble de la suma entre  un  número y 7  

un número multiplicado por si mismo  un número aumentado en 7 y multiplicado por el mismo número disminuido en 6   

la diferencia de dos números es 6   

la suma de 2 números es 15  

un número excede en 10 unidades a otro  

tres números consecutivos   

tres números pares consecutivos   

tres números impares consecutivos  

el recíproco de un número  

la suma de tres números consecutivos al cuadrado  

un número de dos cifras  10x + y

un número de tres cifras100x +10y

+ z

el sucesor de un número x+1

el antecesor de un número x-1el numerador de una fracción se aumenta en 3 y el denominador de disminuye en 5  

Conversión del lenguaje matemático al común Analice y complete las casillas que falten

3x - 1 El triplo de un número menos una unidad

Las dos terceras partes de un número

345

((x+1)+(x+2)+(x+3))

3(2x-5)

El promedio de tres cantidades

Números Complejos

Números Complejos (C):C =

Un número complejo se define como C = a + bi (forma binómica) donde a y b son reales y bi es la

parte imaginaria. Llamaremos a la unidad imaginaria.

Con a y b reales. La letra i representa la raíz cuadrada de –1

Ejemplo:7 + 5i - 8 + 4i - 20 – 6i

Propiedades importantes

Suma: Si z w C =>

Multiplicación:Para multiplicar este tipo de números se opera igual que con los reales:

z1 * z2 donde,

z1 = a + b * i y z2 = c + d * i

Con a,b,c y d reales. En este caso se opera como una multiplicación de dos binomios, pero tomando en cuenta las propiedades de i :

i = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i ………..

El resultado de la multiplicación es:

z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

= (ac – bd) + (ad + bc)i.

z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i