MÓDULO III

POLINÔMIOS,

PRODUTOS NOTÁVEIS

E

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

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MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS

O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a relembrar itens como:

- “Colocar em evidência”;- “Produtos Notáveis”;- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.

I. POLINÔMIOS

1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.

MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.

Exemplos:

a)

b)c)d)

Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.

Exemplo:

Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.

Obs. 1: O monômio é um polinômio de um termo só.

Obs. 2: é um polinômio de 2 termos: e .

Obs. 3: é um polinômio de 3 termos: , e 4.

2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

2.1. Adição Algébrica de Polinômios

Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.

Exemplo:

a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:

31

Coeficiente Numérico

Parte Literal

Como perímetro é a soma dos lados, teremos:

termos semelhantes

termos semelhantes

o resultado é um polinômio.

b)

EX E R C Í C I O S1) Reduza os termos semelhantes:a)

b)

2) Escreva os polinômios na forma fatorada:a)b)c)d)e)f)g)h)i)j)k)

l)

m)

2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios

32

2x1x343 2 xx

Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo

fora dos parênteses.

A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes.

Exemplo:

a)

e fica assim.

b)

c)

d)

não há termos semelhantes

Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.

2.3. Divisão Algébrica de Polinômio

Divisão de um polinômio por um monômio

A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio.

Exemplo:

33

Conserve a base e some os expoentes.

a)

ou

b)

ou

Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.

EXERCÍCIOS3) Calcule:

a)b)c)

d)

e)

34

Como é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações.

f)

g)

h)

i)

j)

4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:

a)b)c)d)

e)

f)g)

h)

i)

II. PRODUTOS NOTÁVEIS

No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:

1)2)3)

Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos:

a)

b)

c)

d)

Como utilizaremos os produtos notáveis?

35

Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em

evidência com o menor expoente.

Exemplos para simplificações:

a)

b)

Obs.: jamais será igual a , basta lembrarmos que:

c) jamais será , pois:

EXERCÍCIOS5) Desenvolva os produtos notáveis:

a)b)c)d)e)f)g)

h)i)

j)

k)l)m)

6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.

III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.

1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência

Exemplos:

a)

Então

Ao efetuarmos o produto , voltaremos para a expressão inicial .

36

ababbab

bbbbb

22

b)

Assim:

c)

d)

Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.

EXERCÍCIO7) Simplifique as expressões:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

37

2y é o fator comum;2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;Portanto 2y deve ser colocado em evidência.

Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes)2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.

ay2ay2

y2ay2

b2y2

by4y2by4

23

3 x2bx2

bx4bx2bx4

x8bx2bx16

bx2bx162

2

b4bx2

xb8bx2xb8

22

2ymym2 2222

322

532253 my

ym

ymymym

g) h)

IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS

As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.

Exemplos:

As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns exemplos:

1. Adição e Subtração

Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

a)

b)

M.m.c. entre

38

24222

222

22

yx24xyx24

yx24y

yx24yyx24

x162x8

x8xy3

yx24xy3yx24

2

22222

32

22

22222

y3yy3

y3x8

yx24x8yx24

m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.xy todas as variáveis que aparecem nos denominadores comporão o m.m.c. com seus maiores expoentes.

y63y2

y2x2xy4

x2xy4

x1x

xy4

xy4y4xy4

24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;

são as variáveis com seus maiores expoentes.

VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?

Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?m.d.c. mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em

todos os termos) para colocar em evidência.Ex.: a) 2, 4, 6 m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.

b) 10, 15, 20 m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.

m.m.c. mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.

Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? Observe:múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)

O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra prática de a decomposição simultânea em fatores primos..

Ex.: a) 2, 4, 6 m.m.c. é 12.

b) 10, 15, 20 m.m.c. é 60.

Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrevê-los na forma fatorada.

c)

Fatorando os denominadores:

39

605.3.2.25322

1,1,15,5,55,15,5

10,15,520,15,10

123.2.2322

1,1,13,1,13,2,16,4,2

M.m.c. dos denominadores fatorados e será:

Assim

Mas ainda podemos melhorar o resultado:

d)

Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:

Assim teremos:

2. Multiplicação e divisão de frações algébricas

A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplos:

a)

40

m.m.c dos denominadores será

Denominadores fatorados

m.m.c.produto de todos os

termos que aparecem nos denominadores

2xxx que temose

xx33x3x3

x33x3x3

933 que temose

3x3xx3x3

x3xx3x3

b)

EXERCÍCIOS8. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

9. Calcule:

41

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

RE S P O S T A S D O S EX E R C Í C I O S

1ª Questão:a) b)

2ª Questão:a) d) g) j)b) e) h) k)c) f) i) l)

m)

3ª Questão:a) d) g) j)

42

b) e) h)

c) f) i)

4ª Questão:a) c) e) g)b) d) f) h)

i)

5ª Questão:a) d) g) j)b) e) h) k)c) f) i) l) 2

m) 1

6ª Questão:100

7ª Questão:a) c) e) g)

b) d d) f) h)

8ª Questão:a) h) o) v)

b) i) p) w)

c) j) q) x) 2a-2

d) k) r) y)

e) l) s) z)

f) m) t)

g) n) u)

9ª Questão:a) d) g) k)

b) e) h) l)

43

c) f) i) 125b6/8 a3 m)

j) 1 n)

44