ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - 10ºano

PIT 1 – Módulo Inicial

Resolva os seguintes problemas seguindo os seguintes procedimentos:

Compreenda o problema, Estabeleça um plano para a resolução, Execute o plano que definiu, Reflicta e analise o resultado no âmbito do problema

1. Na figura está representado um cubo que tem 6 cm de aresta. Calcule

1.1. O valor exacto e um valor aproximado às centésimas do comprimento da diagonal de uma face do cubo.

1.2. O perímetro do triângulo [ACE]

2. Comente a afirmação: “ Se um triângulo é equilátero, não pode ser rectângulo”

3. Considere a figura.

Determine a área e o perímetro do triângulo [ABD], sabendo que = 4cm, = 15 cm e = 9 cm

4. Na figura está representado um quadrado inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Calcule a área da parte colorida.

5. Observe os números:

, 1/3 , ( -2)2 , 3/5 , , 5/6 , 1,(4) , 0,35 , π+1 , 2/7 , , 1,4 , 2,3(51), 7/9, 11/20, -22 , (-3)3 ,

5.1. Identifique os números racionais . Como podem ser estes números representados?5.2. Quais as fracções representadas que representam dizimas finitas? Qual a particularidade que se deve

observar nas fracções para que representem dizimas finitas? Como são chamados os números que representam estas fracções e/ou dízimas finitas?

5.3. Qual o nome que atribui aos números reais não racionais? Identifica os representados.

6. Na figura está representada uma caixa de bombons.

Sabe-se que a sua altura é igual a 30cm e que o perímetro do triângulo equilátero é de 36 cm6.1. Identifique o sólido matemático associado à caixa de bombons.6.2. Determine a capacidade da caixa.6.3. Pretende-se forrar a caixa com papel decorativo autocolante. Determine o custo aproximado de papel

necessário para forrar a caixa, sabendo que cada metro quadrado do referido papel custa 7,5 euros.

Departamento de Matemática – 10º ano- PIT- Módulo Inicial

1

BA C

D

B

H

A

CD

E F

G

7. Considere o sólido regular da figura. Sabe-se que a sua altura é igual à aresta da base e o perímetro da base é 20 cm.

7.1. Identifique o sólido representado.7.2. Calcule, com erro inferior a um milímetro a aresta lateral 7.3. Calcule o valor exacto da área lateral e o volume do sólido.

8. O sólido representado na figura é constituído por um cubo e por uma pirâmide de altura igual à do cubo.

8..1. Indique justificando a posição relativa:8.1.1. das rectas AG e BH8.1.2. das rectas VE e AB8.1.3. da recta BC e do plano EVH8.1.4. dos planos BCH e EGC.

8.2. Complete:8.2.1. HG ∩ FB =8.2.2. AED∩ HFB=

8.3. Imagine um plano α paralelo à face [ABCD] situado acima desta e

que dista da mesma x cm. Indique os valores de x de modo que:

8.3.1 o plano α intersecte o sólido

8.3.2. o plano α divida o sólido em dois sólidos de igual volume.

9. Um alpinista pretende escalar uma torre. Para estimar o comprimento da corda necessária, precisa de conhecer a altura da torre. Para isso recorreu a um espelho, colocando-o de forma a ver a imagem do cimo da torre, conforme a figura sugere.O alpinista tem 1,8m de altura e está a 3 metros do espelho e a 20 metros da torre. Determina a altura da torre.

10. Num parque de diversões existe um escorrega. Para maior segurança, foi colocada uma barra [BE] paralela a [CD].

Sabe-se que = 2m, =7,5 m e = 4,5 m.

Determine a que distância do ponto A está colocada a barra [BE].

Departamento de Matemática – 10º ano- PIT- Módulo Inicial

2

H

F

BA

CD

E

G

v

60 cm

E

ABC

D

11. Encheu-se um recipiente cónico, com 12 cm de altura com azeite e vinagre .A altura do azeite é 1/3 da altura do galheteiro cuja base tem de raio 9 cm.Qual o volume do azeite e qual o volume do vinagre?

12. Encheu-se um recipiente cónico com azeite e vinagre. Se as duas camadas têm a mesma altura, qual a relação entre o volume de azeite e o de vinagre?

13. A figura representa um envelope fechado. De dois vértices do rectângulo traçaram-se perpendiculares à mesma diagonal.

13.1. Todos os triângulos desenhados na figura são semelhantes. Justifique.13.2. Se os segmentos marcados na diagonal têm 4 cm, 8 cm e 4 cm, quais são as dimensões do rectângulo?

14. Um pai, ao morrer, deixou a cada um dos seus dois filhos uma parte de um campo rectangular, com um único poço.Pretendendo que ambos os filhos se servissem do mesmo poço, mandou dividir o terreno conforme a figura e dar ao mais velho a parte colorida. O poço ficou para ambos.Com esta divisão terá o pai beneficiado algum dos filhos?

15. Na figura está representado um pentágono inscrito numa circunferência de centro o e raio 4 cm.

Sabe-se que = e = =

15.1. Justifique a afirmação “ O triângulo [DEA] é rectângulo”.15.2. Calcule a amplitude dos ângulos internos do pentágono.15.3. Calcule a área do pentágono.

16. Pizzas e preços

Numa pizzaria vendem-se pizzas de dois tamanhos . familiar e individual, respectivamente com 30 cm e 10 cm de diâmetro, tendo a mesma altura.Sabe-se que o preço da pizza individual é 80 cêntimos e da pizza familiar é de 6,4 E.

16.1. Por vezes as pizzas individuais esgotam-se e o dono da pizzaria permite que as pizzas maiores se cortem em fatias e se vendam ao preço da pizza individual. Em quantas fatias se deve cortar a pizza familiar de modo que cada fatia corresponde à pizza individual?

16.2. Analise os preços praticados e faça um comentário sobre a pertinência dos preços em função das dimensões das pizzas.

Departamento de Matemática – 10º ano- PIT- Módulo Inicial

3

a

b

B C

oA D

E

17. Rectângulo de OuroΦ é o número de ouroO rectângulo de ouro obedece às condições da figura:

13.1. Prove que = = ϕ

13.2 . Prove que ϕ2= ϕ + 1

18. Resolve as seguintes condições:18.1. 18.2. 7-x-2(x-3)<-2

18.3.18.4.18.5.18.6.

19. Na figura está representado um prisma. Determine o valor de x de modo que:19.1. O perímetro da base esteja entre 10 cm e 13 cm.19.2. O volume seja 270 cm3.

20. Considere o rectângulo [ABCD] e o quadrado [EFGH].Atendendo às expressões indicadas na figura, que designam as medidas dos comprimentos, determine:

20.1. Os valores de x para os quais o perímetro do rectângulo é superior ao do quadrado.20.2. O valor de x para que as áreas das duas figuras sejam iguais.20.3. Identifique o sólido gerado pela rotação do rectângulo [ABCD] em torno do eixo AD e determine x, de

modo que o seu volume seja 192π cm3-

21. Pretende-se dividir um terreno quadrado com 12 dam de lado em três partes, como sugere a figura.Determine x, com aproximação às décimas, de modo que a área prevista para jardim , a sombreado, seja igual à área destinada à zona comercial.

Departamento de Matemática – 10º ano- PIT- Módulo Inicial

4

B 1 C E

½ M ½ D P

A ½ M ½ D P

½ M ½ D P

1

BA

CDE F

G H

2x

10 cm

x+ 3/2

Trabalho de Investigação:Para cada um destes trabalhos apresente um relatório seguindo as indicações dadas.

22. A caixa sem tampa

A partir de um cartão de dimensões 50 cm × 40 cm pretende-se construir uma caixa sem tampa, como a figura sugere.

22.1. Que valores pode tomar a variável x?22.2. Comente a seguinte afirmação “ A caixa não pode ter a forma de um cubo “.22.3. Determine x, de modo que a caixa comporte exactamente 6 cubos de aresta igual à altura da caixa.

23. Fabrico de dados

Uma fábrica de brinquedos pretende fabricar dados cúbicos em material semi-rígido.

As folhas disponíveis desse material têm as dimensões de 62 cm × 27 cm .

Em cada uma dessas folhas pretende-se construir um cubo com o maior volume possível.Os projectistas da fábrica tem de descobrir a planificação, de entre as possíveis, que gera o maior dado.

O Senhor Martins apresentou a possibilidade à direcção.Nesse projecto, apresentado na figura seguinte, a aresta do cubo mede 9 cm, logo o volume é de 93 = 729 cm3.

Imagine que é um projectista. A planificação apresentada pelo Sr. Martins permitirá obter o cubo de maior volume?

Esboce várias planificações , de entre as que encontrou, aquela que melhor satisfaz o objectivo pretendido, indicando a aresta do cubo obtido e o seu volume.

Departamento de Matemática – 10º ano- PIT- Módulo Inicial

5

x

40 cm

x

x 50 cm x