UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

SENHOR DO BONFIM – BA. CURSO DE LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA

INTERDISCIPLINARIDADE: A RELAÇÃO CÔNICAS – ESPELHOS ESFÉRICOS DAS

COMPONENTES CURRICULARES MATEMÁTICA E FÍSICA.

Magnum Miranda de Araújo

Senhor do Bonfim 2008

Magnum Miranda de Araújo

INTERDISCIPLINARIDADE: A RELAÇÃO CÔNICAS – ESPELHOS ESFÉRICOS DAS COMPONENTES CURRICULARES MATEMÁTICA E

FÍSICA.

Monografia apresentada ao Departamento de Educação

de Senhor do Bonfim – Campus VII da Universidade

do Estado da Bahia, como requisito parcial para a

obtenção do título de Graduado em Licenciatura em

Matemática.

CONCEITO: _____________________________________________________

BANCA AVALIADORA

Prof. (a) 1: ________________________________ Mirian Brito de Santana Prof. (a) 2: ________________________________ Ivan Prof. (a) 3: ________________________________

Orientador: _________________________________ Profº. Geraldo Caetano de Souza Filho

Senhor do Bonfim 2008

DEDICATÓRIA

Oferto este trabalho monográfico à minha família, em especial minha mãe,

Maria Augusta, a meu pai, Francisco Augusto, aos meus irmãos, Vinicius e Leandro,

pela ajuda, pelo incentivo e pela compreensão nos momentos que necessitei ficar

distante.

Dedico aos meus avós: Isabel e Adalberto (em memória); Evani e José

Gomes e a meu afilhado Kadu.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela vida, saúde e sabedoria com as quais fui capaz de

chegar até aqui. Agradeço e saliento que a realização deste trabalho deve-se a

generosidade, atenção e orientação do amigo e professor Geraldo Caetano, aos

amigos da UNEB, alunos do CAMPUS VII; Jovens que enfrentaram e enfrentam o

que eu enfrentei: distanciar-se da família em busca de um ideal comum; ao apoio

irrestrito da minha família, dos amigos de infância, bem como aos novos, em

especial aos da faculdade, aos meus amigos-irmãos da casa do estudante que

convivi estes últimos anos.

Agradeço a meus colegas de trabalho, especialmente a Professora Sílvia,

Professora Fabíola, Professora Tina e Professor Robério, pela compreensão e

apoio. À minha nova família: D. Vanda, Sr. Martins e minha namorada Cínthia o meu

muito obrigado.

Fico grato a UNEB (CAMPUS VII), por dar subsídio a minha formação, a

direção, professores e funcionários.

Por fim, agradeço a todos que me ajudaram desde a minha infância até os

dias atuais, dando-me conselhos e orientações para um bom caminho.

RESUMO

A Interdisciplinaridade pode ser interpretada como um instrumento pedagógico inovador para o ensino na comunidade escolar atualizada. O presente trabalho acomete a influência mútua entre as componentes curriculares Matemática e Física, dando ostentação à relação de elementos e definições pertinentes a ambas, fazendo uma ponderação sobre a importância da interdisciplinaridade nos ambientes de ensino, mais exatamente nas escolas da macrorregião de Senhor do Bonfim, Bahia, onde foram colhidos e analisados dados de maneira quantitativa e qualitativa proporcionando uma real visão quanto aos elementos e definições comuns existentes entre a matemática e a física no estudo das cônicas e os espelhos esféricos. O interesse em diagnosticar e relatar essa prática interativa dentro de escolas públicas e privadas traduz a construção deste trabalho, onde se busca conceber a prática de diversos profissionais que ministram aulas de matemática e/ou física e confrontá-las com o discurso interdisciplinar. Encontrar-se-ão elementos referentes ao estudo dos espelhos esféricos, cônicas e interdisciplinaridade, fundamentados por diversos autores pertinentes à temática citada.

Palavras-Chave: Cônicas. Espelho Esférico. Interdisciplinaridade.

ABSTRACT

The Interdisciplinarity can be interpreted as an innovative teaching tool for teaching in the school community updated. This work involves the mutual influence between mathematics and physics curriculum components, giving flaunt the relationship of elements and definitions relevant to both, making a weighting on the importance of interdisciplinarity in the teaching environments, more precisely in schools of macro-Lord of Bonfim, Bahia, which were collected and analyzed data from a quantitative and qualitative providing a real vision on the issues common between mathematics and physics in the study of conical and spherical mirrors. The interest in diagnosing and reporting this interactive practice within public and private schools reflects the construction of this work, which is seeking to design the practice of various professionals who MET classes in math and / or physical and confront them with the interdisciplinary discourse. Will meet aspects of the study of spherical mirrors, conical and interdisciplinary, anchored by several authors relevant to the issue said.

Key words: taper. Mirror Sphere. Interdisciplinarity.

SUMÁRIO

Introdução ............................................................................................................... 09

Capítulo I ................................................................................................................ 13

1.1 Um Breve Relato da Óptica Geométrica .......................................................... 13

1.2 A Óptica Geométrica ........................................................................................ 14

1.3 Espelhos ........................................................................................................... 15

1.3.1 Os Espelhos Esféricos .................................................................................. 15

1.3.2 Análise dos Espelhos .................................................................................... 18

1.4 Um Breve Relato Sobre Cônicas ...................................................................... 19

1.4.1 O Estudo de Alguns Tipos de Cônicas .......................................................... 20

Capítulo II ............................................................................................................... 27

2.1 Interdisciplinaridade .......................................................................................... 27

2.2 Interdisciplinaridade: Matemática – Física ....................................................... 29

Capítulo III .............................................................................................................. 31

3 Metodologia ......................................................................................................... 31

3.1 Análise de Dados ............................................................................................. 33

3.2 A Entrevista ...................................................................................................... 35

3.3 Questionário ..................................................................................................... 35

Conclusão ............................................................................................................... 45

Referências ............................................................................................................ 47

Apêndice ................................................................................................................. 50

LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – Ilustração Óptica ................................................................................. 13

Figura 02 – Propagação dos Raios de Luz ............................................................ 14

Figura 03 – Secção Feita Por Um Plano ................................................................ 16

Figura 04 – Elementos dos Espelhos Esféricos ..................................................... 17

Figura 05 – Direção do Raio no Espelho Côncavo ................................................ 17

Figura 06 – Direção do Raio no Espelho Convexo ................................................ 17

Figura 07 – Formação do Foco .............................................................................. 18

Figura 08 – Localização do Foco do Espalho côncavo .......................................... 18

Figura 09 – Localização do Foco do Espalho convexo .......................................... 19

Figura 10 – Raios não Paralelos ao Eixo ............................................................... 19

Figura 11 – Secção Feita no Cone ......................................................................... 20

Figura 12 – A Elipse Obtida na Secção ................................................................. 20

Figura 13 – Representação de um ponto da Elipse ............................................... 21

Figura 14 – Representação de pontos da Elipse.................................................... 21

Figura 15 – Esboço da Elipse ................................................................................. 22

Figura 16 – Os Pontos e as medidas da Elipse ..................................................... 22

Figura 17 – Elementos da Elipse ............................................................................ 23

Figura 18 – Secção Feita no Cone ......................................................................... 23

Figura 19 – A Hipérbole Obtida na Secção ............................................................ 24

Figura 20 – Esboço da Hipérbole ........................................................................... 24

Figura 21 – Esboço da Hipérbole ........................................................................... 25

Figura 22 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 25

Figura 23 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 25

Figura 24 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 26

Figura 25 – Raios Paralelos ................................................................................... 40

Figura 26 – Raios Dispersos .................................................................................. 40

INTRODUÇÃO

Sendo livre a abordagem do conteúdo a ser desenvolvido numa monografia, o

interesse, no desenvolvimento deste trabalho, foi motivado por um estudo na

componente curricular FÍSICA, com especificidade nos espelhos esféricos onde

percebemos uma singularidade com o conteúdo cônicas da componente curricular

MATEMÁTICA, e fora considerado abordá-las dentro da interdisciplinaridade, pois

essa traduz a integração de dois ou mais componentes curriculares na construção

do conhecimento que surge como uma das contestações à necessidade de uma

reconciliação epistemológica, processo necessário devido ao fracionamento dos

conhecimentos ocorrido com a revolução industrial e a necessidade de mão de obra

especializada. Busca-se conciliar os conceitos pertinentes às diversas áreas do

conhecimento físico-matemático a fim de promover avanços como a produção de

novos conhecimentos ou mesmo, novas subáreas.

A origem histórica da palavra MONOGRAFIA vem da especificação, ou seja, a redução da abordagem a um só assunto, a um só problema. Seu sentido etimológico significa: mónos (um só) e graphein (escrever): dissertação a respeito de um assunto único. Ela tem dois sentidos: O estrito, que determina identidade com a tese, cuja abordagem escrita de um tema específico que provém de pesquisa científica com o intuito de apresentar uma contribuição relevante ou original e pessoal à ciência. E o Lato, que se ajusta com todo trabalho científico de primeira mão, sendo resultante de pesquisa: acervos em geral, dissertações e memórias científicas, as antigas exercitações e tesinas, os informes científicos ou técnicos e obviamente a própria monografia no sentido acadêmico, ou seja, o tratamento escrito aprofundado de um só assunto, de maneira descritiva e analítica, onde a reflexão é a tônica (está entre o ensaio e a tese e nem sempre se origina de outro tipo de pesquisa que não seja a bibliografia e a de documentação). A primeira monografia que foi publicada é datada de 1855 (embora já viesse empregando o método desde 1830), por Le Play (1806-1882), Les Ouvriers eurpéens. O autor disserta com minúcias o estilo de vida dos operários e o orçamento de uma família-padrão daquela classe. (extraído de: http://br.geocities.com/marij_br/main_nasce.html).

Abordando a interdisciplinaridade na educação como processo de

especialização do saber, ela mostra-se como uma das respostas para os problemas

provocados pela excessiva compartimentação do conhecimento, segundo Fazenda

(1994). No final do século XX, surge a necessidade de mudanças nos métodos de

ensino, buscando viabilizar práticas interdisciplinares. A abordagem escolar difere da

científica em termos de finalidades, objetos de estudo, resultados, dentre outros,

sendo, portanto mais complexos as transformações neste espaço diversificado.

Considerando a interdisciplinaridade como uma reflexão aprofundada, crítica

e de benefício sobre o funcionamento do ensino, ela pode ser considerada segundo

Fazenda (1995, p. 32) como:

Meio de conseguir uma melhor formação geral, pois somente um enfoque interdisciplinar pode possibilitar certa identificação entre o vivido e o estudado, desde que o vivido resulte da inter-relação de múltiplas e variadas experiências.

Analisando o conteúdo da obra como um todo e dando ênfase a essas

palavras da autora percebe-se que a necessidade de se conhecer mais de uma área

e, concomitantemente, associar esse conhecimento teórico ao dia a dia é de

fundamental importância para uma melhor aprendizagem e formação profissional. É

óbvio que tendo um amplo conhecimento não haverá garantia de o homem moderno

ter uma realização pessoal e um bem-estar favorável, pois isto depende das

aspirações as quais cada indivíduo possui. Contudo, esse maior conhecimento

diversificado com certeza irá somar-lhe e inseri-lo no topo de uma sociedade culta.

O interesse pela relação cônicas/espelhos esféricos e as práticas

pedagógicas interdisciplinares de profissionais cujas tarefas de ensino absorva as

áreas matemática e/ou física gerou o seguinte questionamento: todos os professores

das áreas de exatas percebem alguma relação entre os espelhos esféricos e as

cônicas? Para tanto, buscou-se referenciais em autores que analisam as questões

de existência isolada e far-se-á um parâmetro de acordo com os problemas e

dificuldades enfrentadas pelos docentes.

O objetivo geral deste trabalho é refletir sobre a importância da

interdisciplinaridade entre matemática-física, no estudo da relação cônicas-espelhos

esféricos. Os objetivos específicos, e não menos importantes, consistem em relatar

aspectos pertinentes à pesquisa sobre espelhos esféricos e cônicas, identificando

aplicações desses conteúdos em situações do cotidiano, e explanar a importância

do trabalho interdisciplinar dentro das escolas e seus reflexos na sociedade humana.

Para facilitar a compreensão e entendimento da presente monografia,

ocorrerá fracionamento do corpo textual da seguinte forma:

O Capítulo I traz considerações acerca dos espelhos esféricos e outros

conteúdos a ele interligados, subsidiando o trabalho dentro da física. Ele fora feito

com uma retomada histórica da óptica e em seguida, apresenta acepções a respeito

de luz, raio luminoso, espelhos, dentre outros. Outrossim, enfatiza o conteúdo

cônicas, pertencente especificamente à Matemática, restringindo-se ao estudo da

elipse e da hipérbole. De forma sucinta também traz citações relevantes de

matemáticos de séculos passados cujas características conservam-se até os dias

atuais.

O Capítulo II apresenta trechos sobre o surgimento da interdisciplinaridade no

mundo, bem como sua chegada ao Brasil, e todos os aspectos referentes a esta

ferramenta metodológica de grande valia para o sistema educacional, além de

elucidar a relação matemática-física na visão de alguns estudiosos.

A Metodologia desenvolvida tem como sustentáculo a pesquisa descritiva,

qualitativa e quantitativa, onde estas se entrelaçam no propósito de retratar todo o

trabalho desenvolvido de forma clara e detalhada.

A Análise de dados fora construída através das respostas apresentadas pelos

participantes diante do questionário (Apêndice 1) por eles desenvolvido. Relatos

importantes dos docentes entrevistados estão compondo este momento, bem como

citações de autores importantes ao presente estudo.

A Conclusão traduz todo o empenho e resultado obtidos após o

desenvolvimento da pesquisa. Nela encontram-se os objetivos atingidos e as

perspectivas geradas nesta produção.

As Referências e o apêndice revelam, respectivamente, as fontes de

pesquisas consultadas e o questionário utilizado. Vale salientar que o exame

simultâneo FÍSICO-MATEMÁTICO desenvolvido no âmbito da monografia teve

caráter teórico/revisional. Tal comparação contou, como principais fontes de dados,

com o Acervo da Biblioteca da Uneb/Campus-VII, acervo pessoal, sites de busca,

como: Geocities, Sciello e SBEM, tendo como indexadores: “Os elementos dos

espelhos esféricos”, “Os elementos das cônicas”, “As semelhanças entre eles”.

CAPÍTULO I

1 UM BREVE RELATO DA ÓPTICA GEOMÉTRICA

A óptica é uma ciência secular que há muito desperta o interesse das

pessoas. Alguns filósofos gregos, como Platão e Aristóteles, já se preocupavam em

encontrar respostas a vários questionamentos, tais como:

– Por que vemos um objeto?

– O que é a luz?

Figura 1: Ilustração Óptica (RAMALHO 2003, p. 180).

Platão chegou a supor que: “Nossos olhos emitiam pequenas partículas que

ao atingirem os objetos tornavam-nos visíveis” (RAMALHO 2003, p. 181). Isso é

totalmente absurdo, pois não se pode ver no escuro. Indiscutivelmente, concorda-se

também que os olhos não emitem tais partículas e Souza (1976, p. 12) afirma que

“Todos os corpos, transparentes ou opacos, refletem parte da luz que sobre eles

incide. Quer dizer, eles devolvem parte da luz para o mesmo lado do corpo de onde

ela proveio”. Portanto, a possibilidade de se perceber os objetos é o fato de eles

próprios refletirem a luz que recebem.

A óptica geométrica consiste em estudar tais fenômenos luminosos, usando

os conhecimentos de raio luminoso, alguns princípios fundamentais e considerações

da própria geometria.

1.1 A ÓPTICA GEOMÉTRICA

Raio de luz são linhas orientadas que representam, graficamente, a direção e

o sentido de propagação da luz, segundo Ramalho (2003). Isto tem a conseqüência

de que a luz sempre será propagada em linha reta e jamais fará curva. O que é

facilmente identificado na figura:

Figura 2: Propagação dos raios de luz (RAMALHO, 2003, p. 181).

Conhecida a definição de raio de luz, precisa-se saber agora sobre os

princípios fundamentais. Segundo Ramalho (2003), os princípios são:

• Princípio da propagação retilínea da luz (nos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta).

• Princípio da reversibilidade dos raios de luz (a trajetória seguida pela luz

independe do sentido de percurso).

• Principio da independência dos raios de luz (quando raios de luz se cruzam,

cada um deles segue seu trajeto como se os outros não existissem).

1.2 ESPELHOS

Investigando um pouco mais sobre a óptica, percebe-se que alguns objetos

não emitem a sua própria forma e sim a forma do objeto que está diante dele. Esses

objetos são os espelhos. Eles podem ser de dois tipos: O plano e o não-plano; a

nomeação do espelho não-plano varia de acordo com autor. Por exemplo, Amaldi

(1997) trata o espelho não-plano como parabólico, sendo diferente de Ramalho

(2003) que o denomina como esférico. Neste trabalho, a referência ao espelho não-

plano será de acordo com Ramalho (espelho esférico).

A definição para o espelho plano compreende uma superfície plana e polida,

o que não traz interesse específico para este estudo.

1.2.1 OS ESPELHOS ESFÉRICOS

Espelho esférico é uma superfície polida não plana formada pela intersecção

de um plano com uma calota esférica que a divide em duas partes, segundo

Ramalho (2003).

Assim:

Figura 3: Secção feita por um plano em uma calota esférica. (RAMALHO 2003, p. 222).

Segundo Mattos (1996) polir significa: “Desgastar e alisar as partes de alguma

coisa dura para ela ficar brilhante”. Isso quer dizer que, a calota sendo polida, ela

terá sua superfície lisa e brilhante, fazendo qualquer raio de luz que toque esta

superfície ser refletido, e não absorvido. Entretanto, nem toda superfície

arredondada pode ser considerada um espelho esférico. Existem alguns elementos

que são peculiares, segundo Ramalho (2003, p. 222):

Os elementos geométricos que caracterizam um espelho esférico são: • Centro de curvatura do espelho (C): o centro da superfície esférica à

qual a calota pertence; • Raio de curvatura do espelho (R): o raio da superfície esférica à qual

a calota pertence; • Vértice do espelho (V): o pólo (ponto mais extremo) da calota

esférica; • Eixo principal do espelho: a reta definida pelo centro de curvatura e

pelo vértice; • Eixo secundário do espelho: qualquer reta que passa pelo centro de

curvatura, mas não pelo vértice; • Abertura do espelho (α): o ângulo plano determinado pelos eixos

secundários que passam por pontos, A e B, diametralmente opostos, do contorno do espelho;

• Plano frontal: qualquer plano perpendicular ao eixo principal; • Plano meridiano: qualquer plano que contém o eixo principal.

Estes objetos estarão todos contidos no mesmo plano e podem ser

observados nesta figura 4:

Figura 4: Elementos dos espelhos esféricos. (RAMALHO 2003, p. 222).

Considerando que, após a intersecção do plano com a calota, as duas partes

serão polidas e portadoras desses elementos geométricos, teremos então dois

espelhos esféricos: ESPELHO ESFÉRICO CONCAVO e ESPELHO ESFÉRICO

CONVEXO.

O espelho esférico côncavo possui a parte interna refletora, fazendo com que

qualquer raio luminoso que venha de encontro a esta face seja refletido, assim:

Figura 5: Direção do raio de luz no espelho côncavo. (RAMALHO 2003, p. 223).

Já o espelho esférico convexo possui a parte externa refletora, então, nesse

caso, tem-se:

Figura 6: Direção do raio de luz no espelho convexo. (RAMALHO, 2003, p. 223).

1.2.2 ANÁLISE DOS ESPELHOS

Como viu-se, a característica do espelho é sempre refletir os raios que vêm

de encontro a sua superfície polida. Mas, eles não serão refletidos aleatoriamente,

segundo Amaldi (1997, p. 233) “Todos os raios paralelos ao eixo óptico, ao se

refletirem na concavidade de um espelho parabólico, reúnem-se num mesmo ponto.

Esse ponto é chamado de foco do espelho”.

Figura 7: Formação do foco. (AMALDI 1997, p. 223).

Neste caso todos os espelhos côncavos possuem o seu foco diante da sua

face refletora. Contudo, o espelho convexo, também, possui foco. Discorrendo sobre

o assunto, Ramalho (2003, p. 224) afirma que:

Quando um feixe de raios paralelos incide sobre um espelho esférico [...], ele origina um feixe refletido convergente, no caso do espelho côncavo, e divergente, no do convexo. O vértice F de tal feixe situa-se no eixo principal e é denominado foco principal do espelho esférico”.

Figura 8: Localização do foco do espelho côncavo. (RAMALHO 2003, p.. 224).

Para o foco no espelho convexo Ramalho (2003) diz que é a intersecção de

prolongamentos dos raios vão formá-lo. Assim, tem-se:

Figura 9: Localização do foco do espelho convexo. (RAMALHO 2003, p. 224).

Portanto, no espelho convexo o foco fica “atrás” da face refletora. Mas, só

existem raios paralelos ao eixo? Não. Existem, também, raios que chegam à face

refletora através do centro da circunferência. Esses raios, ao tocarem a parte

refletora, são refletidos e seu ponto de reflexão é sempre o próprio centro de

curvatura. Assim:

Figura 10: Raios não paralelos ao eixo.

1.3 UM BREVE RELATO SOBRE CÔNICAS:

Segundo Dante (2005, p. 421):

No período helenístico (séc. IV a.C. – séc. I a.C.), três matemáticos gregos se destacaram: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora as secções cônicas já fossem conhecidas, Apolônio escreveu um célebre

tratado sobre essas curvas, chamado As cônicas, que suplantava todos os demais nesse campo. Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram conhecidas como secções de três tipos diferentes de cone circular reto, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Apolônio, em sua obra, mostrou que não é necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e que, variando a inclinação do ponto de seção, as três espécies de cônicas podiam ser obtidas de um único cone. Durante mais de um século, as curvas não tinham designação além das descrições do modo pelo qual tinham sido descobertas: secções de cone acutângulo (axytome), secções de cone retângulo (orthotome) e secções de cone obtusângulo (amblytome). Foi Apolônio quem introduziu os nomes elipse, parábola e hipérbole para essas curvas, termos que são usados até hoje. Mostrando como obter todas as seções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significativamente para o desenvolvimento da geometria.

1.3.1 O ESTUDO DE ALGUNS TIPOS DE CÔNICAS:

Observe a figura abaixo:

Figura 11: Secção feita no cone. (DANTE 2005, p. 424).

A secção cônica obtida é chamada Elipse.

Figura 12: A elipse obtida na secção. (DANTE 2005, p. 424).

Pode-se perceber que uma elipse é a secção de um cone atravessado

obliquamente por um plano. Este plano não é paralelo à base do cone. Senão obter-

se-ia um círculo. A elipse possui dois eixos de diferentes tamanhos, ao oposto do

círculo os quais são iguais. Cada vez que fixa-se o comprimento do eixo maior e

diminuí-se o comprimento do eixo menor, obtém-se elipses cada vez mais próximas

de um segmento de reta. Mas, essa é a definição de Elipse?

Segundo Iezzi (2004, p. 165): “Dados dois pontos distintos F1 e F2,

pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. Elipse é o conjunto dos

pontos de α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a(2a > 2c)”.

Conhecendo a definição para a elipse e esses pontos fundamentais (F1 e F2),

percebe-se o fato de qualquer que seja outro ponto pertencente ao plano, poderá ser

um dos pontos formadores da elipse, desde que a soma de suas distâncias seja

constante e maior que 2c que é a separação dos focos F1 e F2. Portanto, tem-se

sempre na elipse (α): {P Є α | PF1 + PF2 = 2a}. Observe esta representação gráfica:

P

Figura 13: Representação de um ponto da Elipse. (DANTE 2005, p. 424)

Nota-se apenas a marcação de um ponto (P). Contudo, à medida que

acrescenta-se mais pontos, seguindo essa definição, observar-se-á que a figura

formada não será um círculo:

Figura 14: Representação de pontos da Elipse. (DANTE 2005, p. 424).

Sendo assim chega-se num determinado momento onde esses pontos

estariam muito próximos e formariam o contorno representando a elipse.

Figura 15: Esboço da elipse. (DANTE 2005, p. 424).

Analisando esta próxima figura vê-se que:

Figura 16: Os pontos e as medidas da Elipse. (IEZZI 2004, p. 165)

QF1 + QF2 = 2a RF1 + RF2 = 2a

SF1 + SF2 = 2a A1F1 + A1F2 = 2a

B1F1 + B1F2 = 2a A2F1 + A2F2 = 2a

B2F1 + B2F2 = 2a

Definida o que é a elipse, precisa-se agora conhecer seus principais elementos.

Segundo Dante (2005), eles são:

• F1 e F2 são os focos e a distância entre eles é a distancia focal (2c);

• A1A2 é o eixo maior e sua medida é a soma que consta da definição (2a); • B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b; • O é o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de

F1F2, A1A2,B1B2).

• O número c

a

e = chama-se excentricidade da elipse e indica se a elipse é

mais, ou menos, “achatada”. Assim:

Figura 17: Elementos da elipse.

Observando a parte destacada da figura e aplicando o teorema de Pitágoras,

pode-se ainda fazer a relação:

a2 = b2 + c2

Posicionando a secção do cone em outra posição, obtém-se:

Figura 18: Secção feita no cone. (DANTE 2005, p. 427).

Agora uma nova secção cônica foi desenvolvida: A HIPÉRBOLE:

Figura 19: A hipérbole obtida na secção. (DANTE 2005, p. 427).

Para Iezzi (2004, p. 172) a hipérbole é definida como:

Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de α cuja diferença (em valor absoluto) das distancias a F1 e F2 é a constante 2a(0 <2a < 2c).

Construindo uma seqüência de pontos com essa definição tem-se:

Figura 20: Esboço da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247).

O conjunto de todos os pontos que seguem a definição formará a figura

correspondente à hipérbole:

Figura 21: Esboço da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247).

Analisando a figura 21 e a definição acima ainda pode-se ter:

Figura 22: Elementos da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247)

Assim, então, vê-se que:

Figura 23: Elementos da hipérbole. (IEZZI, 2004, p. 172)

QF2 - QF1= 2a RF2 - RF1= 2a

SF1 - SF2 = 2a A1F2 - A1F1 = 2a

A2F1 - A2F2 = 2a

Sempre que faz-se essas diferenças utilizando a menor distância para a maior

deve-se colocá-la em módulo, ou seja, na hipérbole α temos: {P Є α / |SF1 - SF2| =

2a}.

No caso da hipérbole, segundo Dante (2008), estes são seus principais

elementos:

• F1 e F2 são os focos da hipérbole, sendo F1 F2 = 2c a distância focal; • A1 e A2 são os vértices da hipérbole, sendo A1A2 = A1F2 - A1F1 = 2a

(constante da definição); • B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b; • O é o centro da hipérbole (ponto médio de F1F2 e de A1A2);

• O número a

c

e = chama-se excentricidade da hipérbole.

Figura 24: Elementos da hipérbole.

Nesse caso, a relação que pode-se fazer é: c2 = b2 + a2

CAPITULO II

2 INTERDISCIPLINARIDADE:

As evidências dadas ao aprendizado científico e aos pensamentos racionais,

direcionadas para as ciências ditas exatas, provocaram um enigma de concepção do

mundo dos cálculos. Fala-se do homem que é capaz de dissecar o elemento de sua

observação para julgá-lo e torna-se especialista em partes, mas incapaz em

analogia à totalidade. Nessa natureza inóspita, as componentes curriculares foram

se fragmentando, acontecimento que deve ser visto como marco do fracionamento

da realidade e do aparecimento de uma inteligência esquizofrênica, que se torna

empecilho do conhecimento abrangente do mundo.

Para a compreensão desse mundo, abandonado de valores, novos

acometimentos buscam superar a incompatibilidade entre conhecimento e elemento

a ser conhecido. Dentre esses acometimentos, surgiu a interdisciplinaridade, que é

contemplada como uma das mais recentes tendências da teoria do conhecimento.

Pode-se expor que os exercícios interdisciplinares divulgam um olhar do homem

(como um ser conectado à vida) e a necessidade do conhecimento pertinente com a

totalidade.

O surgimento da interdisciplinaridade foi concomitante na França e na Itália

em meados da década de 1960, num período marcado pelos movimentos estudantis

que, dentre outras coisas, reivindicavam um ensino mais sintonizado com as

grandes questões de ordem social, política e econômica da época. A mesma teria

sido uma resposta a tal reivindicação na medida em que os grandes problemas da

época não poderiam ser resolvidos por uma única disciplina ou área do saber,

segundo Fazenda (1994).

Entretanto, ainda no final da referida década, a interdisciplinaridade chegou

ao Brasil e logo exerceu influência na elaboração da Lei de Diretrizes e Bases Nº

5.692/71. Desde então, sua presença no cenário educacional brasileiro tem se

intensificado e, recentemente, mais ainda, com a nova LDB Nº 9.394/96 e com os

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Hoje, tem-se que: “A interdisciplinaridade

é a articulação que existe entre as disciplinas para que o conhecimento do aluno

seja global, e não fragmentado”. (Extraído de:

http://revistaescola.abril.uol.com.br/edicoes/0188/aberto/mt_105133.shtml#topo)

E, segundo os próprios PCN:

A interdisciplinaridade supõe um eixo integrador, que pode ser o objeto de conhecimento, um projeto de investigação, um plano de intervenção. Nesse sentido, ela deve partir da necessidade sentida pelas escolas, professores e alunos de explicar, compreender, intervir, mudar, prever, algo que desafia uma disciplina isolada e atrai a atenção de mais de um olhar, talvez vários (BRASIL, 2002, p. 88-89).

Porém, além do amplo mando na legislação e nas propostas de currículos, a

interdisciplinaridade teve mais eficácia nas escolas, principalmente na alocução e no

exercício de professores de diferentes níveis de ensino. Apesar disso, estudos têm

mostrado que a interdisciplinaridade ainda é de precário conhecimento, mas de

bastante importância, pois ela tem a finalidade de buscar a realização do ser

humano, solicitando uma meditação integradora do próprio indivíduo. Por isso,

reflete-se que ela não deveria ser considerada como um escopo obsessivamente

acossado no meio educacional simplesmente por sustento da lei, como vem

acontecendo em alguns casos. Pelo contrário, a mesma implica uma organização,

uma articulação espontânea e coordenada, guiadas por um mérito comum, das

ações disciplinares. Com este raciocínio, a interdisciplinaridade proporcionará

resultados positivos se for uma atitude eficaz de se alcançar objetivos educacionais

compartilhados e estabelecidos pelos componentes da unidade escolar.

Desfavoravelmente, ela seria uma iniciativa trabalhosa demais para atingir as

finalidades que poderiam ser obtidas de modo mais simples.

Os componentes da unidade escolar que são ligados diretamente aos

objetivos educacionais são os diretores, coordenadores e professores. Mas, no

âmbito de trabalho, o professor sempre é que vai empregá-la utilmente. Segundo

Nogueira (1997, p. 23): “Vale ressaltar que a tentativa de trabalho interdisciplinar é

um investimento somente apropriado àqueles que acreditam no trabalho dessa

natureza”.

Portanto, não é suficiente implantar a interdisciplinaridade sem a

compreensão dos próprios profissionais que vão fazer dela seu aliado de trabalho.

E, Nogueira (p. 23) ressalta: “Este tipo de trabalho é um desafio a todos, pois é difícil

começá-lo, mas após iniciado é difícil voltar atrás, ou seja, desenvolver qualquer

ação fragmentada”.

Vários autores incentivam a implantação da interdisciplinaridade. Defendem,

também, que será mais um artifício para o enriquecimento da educação e para a

desmistificação da complexidade coletiva a qual se faz presente no ato educativo.

2.1 INTERDISCIPLINARIDADE: MATEMÁTICA – FÍSICA

Considera-se, no ato educativo, componentes curriculares que trabalham os

cálculos como ciências exatas. Neste contexto, tem-se que a matemática e a física

estão entrelaçadas nessa ciência e segundo Nogueira (1997, p. 13-14):

A interdisciplinaridade é um termo utilizado para definir a colaboração existente entre as disciplinas ou entre setores heterogêneos de uma mesma ciência. Surge como crítica a uma educação fragmentada e permite uma reflexão aprofundada sobre o conhecimento.

As palavras de Aragão (2006, p. 40) no seu estudo sobre as relações

existentes entre matemática e física, nos assuntos funções de matemática e

movimentos uniformes de física, diz que:

[...] estamos apenas visualizando um exemplo de um pequeno elo da enorme corrente que une as disciplinas matemática e física. [...] podemos começar a prestar mais atenção à relação estreita entre certos conteúdos dessas disciplinas e aos ganhos pedagógicos que podemos obter com base em um tratamento que assuma uma integração construtivista entre elas [...].

Nota-se um exemplo da colaboração entre as disciplinas que neste caso

específico, aborda as componentes curriculares matemática e física. E Japiassú

(1976, p. 74) ainda caracteriza a interdisciplinaridade pela: “Intensidade das trocas

entre os especialistas e pelo grau de integração real das disciplinas no interior de um

mesmo projeto”.

Partindo desses contextos, torna-se mais uma relação direta dessas

componentes citadas por Aragão, analisando as palavras da aluna do Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Cientifica (IMECC) da UNICAMP, Tatiana

Lança, em seu artigo publicado em 2006 (p. 13) , no próprio site do IMECC, que diz:

[...] no Ensino Médio seria bastante interessante relacionar o ensino de Geometria Analítica ao ensino de Física. A compreensão das cônicas pode se tornar mais efetiva a partir da aplicação de suas propriedades em assuntos relativos à Física.

Portanto, ao priorizar a construção do conhecimento de modo interdisciplinar,

o papel do professor, apesar de cada um ter sua maneira de conduzir a aula, é

utilizar recursos, os quais desenvolvem a autonomia do aluno, instigando-o a refletir,

investigar e descobrir, criando na sala uma atmosfera de busca e companheirismo,

onde o diálogo e a troca de idéias seja uma constante, quer entre professor e aluno,

quer entre os alunos. Uma aula expositiva partilhada e dialogada com os educandos

sempre será apropriada para sintetizar e organizar as descobertas, as idéias e os

resultados, e, também, para sistematizar os assuntos tratados em determinados

período por mais de uma componente curricular.

CAPITULO III

3 METODOLOGIA

Visando alcançar os objetivos traçados e proporcionar maior compreensão do

tema, o presente trabalho encontra-se fracionado em etapas de pesquisas.

Considerando-se que já havia um prévio conhecimento das componentes

curriculares Matemática e Física, buscou-se um levantamento bibliográfico com o

intuito de fundamentar a interação dos conteúdos Cônicas e Espelhos Esféricos e o

processo interdisciplinar. Então, a primeira etapa constitui-se na PESQUISA

BIBLIOGRÁFICA, que Segundo Amaral (2007, p. 1):

A pesquisa bibliográfica é uma etapa fundamental em todo trabalho científico que influenciará todas as etapas de uma pesquisa, na medida em que der o embasamento teórico em que se baseará o trabalho. Consiste no levantamento, seleção, fichamento e arquivamento de informações relacionadas à pesquisa.

Após o levantamento bibliográfico, procedeu-se a segunda etapa desta

pesquisa: A COLETA DE DADOS, desenvolvida através da pesquisa de campo, pois

este processo consiste em colher informações em diferentes ambientes com

menores chances de erro, sendo, portanto, o meio mais eficiente de adquirí-los.

Contudo, buscando-se a obtenção de melhores resultados através das pesquisas,

fora feito um planejamento e uma ponderação na elaboração e nos sujeitos que

iriam contribuir com a pesquisa, verificando possibilidades e limitações dentro da

problemática apresentada.

Segundo Padilha (2001, p. 63):

Planejar, em sentido amplo, é um processo que visa a dar respostas a um problema, estabelecendo fins e meios que apontem para sua superação, de modo a atingir objetivos antes previstos, pensando e prevendo necessariamente o futuro.

Esta coleta de dados engloba aspectos quantitativos e/ou qualitativos, e foi

realizada entre professores de ensino médio de algumas escolas públicas e privadas

da macrorregião de Senhor do Bonfim, agenciando sempre uma visão real quanto

essas relações interdisciplinares, e, em conseqüência, o conhecimento dos próprios

docentes quanto ambos os assuntos.

Segundo Carneiro (2008, p. 38) pesquisa quantitativa “é a que envolve

cálculo, manipulação, ou conjunto de sistemas de quantidade de dados” e a

pesquisa qualitativa “é uma dinâmica entre pessoa e o mundo real, entre o sujeito e

o objeto, entre o mundo da objetividade e da subjetividade”.

A pesquisa qualitativa, assim como a pesquisa quantitativa, teve seus

antecedentes nas ciências naturais e na filosofia, segundo Dias (1999).

Gunther (2006, p. 202) relaciona melhor essas pesquisas afirmando que: “ao

revisar a literatura sobre a pesquisa qualitativa, o que chama atenção imediata é o

fato de que, frequentemente, a pesquisa qualitativa não esta sendo definida por si

só, mas em contraponto a pesquisa quantitativa”.

Então percebe-se que ambas as formas de pesquisas se completam. Verifica-

se isso também em Carneiro (2008, p. 37-38):

os métodos das duas pesquisas não se excluem, embora se diferencie quanto à forma e a ênfase. Os métodos qualitativos retratam uma mistura de procedimentos de cunho racional e intuitivo [...]. os enfoques qualitativos e quantitativos diferem-se, porém não é correto afirmar que tenham oposições em suas relações.

A fim de averiguar o conhecimento dos professores em relação a aspectos

interdisciplinares, dá-se mais ênfase na pesquisa qualitativa. Os colaboradores

dessa pesquisa correspondem a 11 professores que ensinam apenas física, 10

professores de física e matemática e 14 professores que lecionam apenas

matemática, perfazendo um total de 35 profissionais. A escolha dos sujeitos citados

se deu a partir da disponibilidade de atendimento.

Para o levantamento de dados, fora usado um questionário (Apêndice 1)

contendo perguntas relacionadas ao contexto da interdisciplinaridade entre a

matemática e a física nos aspectos cônicas - espelhos esféricos. Este questionário

contém 06 perguntas que foram elaboradas a partir de idéias ou citações de teóricos

que sugerem a implantação da interdisciplinaridade, com aplicação no período de 23

de setembro de 2008 a 30 de setembro de 2008, à relação dos professores citados.

O contato com os mesmos ocorreu gradativamente, visto que, foram entrevistados

em momentos diferentes, mas sempre através de uma conversa informal, onde se

relatou a cada um os objetivos da pesquisa.

A ANÁLISE DE DADOS é a terceira e ultima etapa sendo construída através

de questionamentos sobre o processo ensino-aprendizagem entre a matemática e a

física, em particular os conteúdos cônicas e espelhos esféricos, dando ostentação

na existência e/ou descaso da interdisciplinaridade fundamentando, assim, a

pesquisa.

3.1 ANÁLISE DE DADOS

Visando a obtenção de melhores resultados através das pesquisas, o

planejamento e a ponderação na elaboração do questionário e na seleção dos

sujeitos que iriam contribuir com este trabalho foram feitos a fim de adequar as

possibilidades e limitações dentro da problemática apresentada, visto que o

questionário foi elaborado diante de manifestações de autores os quais estimulam a

interdisciplinaridade, e com isso objetivava-se a opinião dos professores da

macrorregião de Senhor do Bonfim, no que diz respeito às vantagens e retornos

para sua prática pedagógica.

O planejamento fora necessário para evitar falseamento nos resultados bem

como facilitar a conclusão e estabelecer meios guiáveis, visto que almejava-se a

utilização da pesquisa qualitativa para análise de dados detalhados, levando-se em

conta todas as informações e/ou conhecimentos fornecidos pelos colaboradores,

com a finalidade de um real entendimento do objeto de estudo.

A pesquisa quantitativa foi utilizada para fornecer uma maior imagem da

realidade, tornando mais eficientes os processos de análise e interpretação dos

dados, expressando-os numericamente.

Azevedo (2006 apud Lopes, 1999, p.145) diz que:

Diante da complementaridade das técnicas de coleta, é igualmente possível combinar técnicas de amostragem probabilística e não-probabilística. Por exemplo: numa pesquisa seleciona-se uma amostra aleatória para a qual se utiliza o questionário, devendo-se por isso dar conta da representatividade estatística tanto da amostra como dos dados. Em seguida, seleciona-se uma subamostra de caráter intencional com base no critério da representatividade social (e não mais estatística), à qual se aplica a entrevista. O perfil dessa segunda amostra é de sujeitos típicos, e os dados são essencialmente qualitativos.

No proceder deste trabalho, deixou-se bem exposto que ao cooperar

respondendo o questionário, os colaboradores não precisariam se identificar, pois

não se tinha a intenção de avaliá-los individualmente. Contudo, precisava-se de

dados que possibilitassem uma averiguação real quanto aos aspectos

interdisciplinares existentes entre a matemática-física.

No decorrer deste relato, ao tratar-se de professores de física, eles serão

chamados, por exemplo: Professor de Física (PF), os de matemática (PM), e os

professores de ambas as componentes serão identificados como: PMF – Professor

de Matemática e Física e serão identificados ainda por um número arábico que

acompanhará as siglas para facilitar o entendimento.

3.2 A ENTREVISTA

A pesquisa foi realizada no fim do mês de setembro do corrente ano e a

aproximação com os sujeitos, os professores ocorreu gradualmente, pois foram

entrevistados em ocasiões diferentes, mas sempre através da utilização de uma

conversa informal, onde relatou-se a cada um que dentre os objetivos da pesquisa

havia a obtenção de informações acerca da interdisciplinaridade. É válido salientar a

inexistência de oposição na resolução do questionário por parte dos entrevistados.

Nesse primeiro contato eles tiveram acesso ao questionário (Apêndice 1),

contendo 6 questões, com resolução e desenvolvimento no presente momento.

Alguns professores justificaram a impossibilidade em respondê-lo no mesmo

instante. Então, recolheu-se o questionário e marcou-se uma nova ocasião. Com

isso, tinha-se a intenção de evitar que os sujeitos utilizassem materiais escritos ou

outros mecanismos de pesquisa. Todos os entrevistados utilizaram, em média, uma

hora para responder todas as questões.

3.3 O QUESTIONÁRIO

O questionário envolvia perguntas subjetivas, sem cálculos, de física ou

matemática e acerca da própria visão do educador a respeito da

interdisciplinaridade.

Quando se fala em interdisciplinaridade, refere-se a uma espécie de influência

mútua entre as componentes ou entre as áreas do saber. Contudo, essa interação

pode acontecer em níveis de complexidade diferentes. Com isso, espera-se

contribuir para um uso mais cuidadoso de termos e práticas no cotidiano escolar.

As análises apresentadas abaixo, referente ao questionário e a cada uma das

seis questões, são as mais transparentes possíveis e trarão citações de alguns

sujeitos.

Relativo à primeira questão: Pesquisas indicam que pessoas as quais

possuem facilidade com a física, também, possuem facilidade com a matemática,

pois, ambas fazem parte da mesma área, AS EXATAS. Você concorda que as

cônicas (matemática) têm relação com espelhos esféricos (física)? Por quê?

Analisando-se o capítulo I deste trabalho, principalmente os gráficos, nota-se

que esta relação fica bem nítida, principalmente nos elementos figurados.

Dentre os entrevistados, podemos constatar as seguintes opiniões:

1) PMF – 80% dos professores que ensinam matemática e física (8 professores):

tinham convicção na resposta e mostravam a relação que eles enxergavam, dando

ênfase, principalmente, a existência dos elementos, como se vê na resposta de

PMF1:

Ainda este ano trabalhei espelho esférico. Concordo plenamente, pois um espelho esférico é uma calota esférica na qual uma das superfícies é refletora, sendo assim, o seu estudo faz relação direta com as cônicas (matemática), principalmente nas teorias e seus elementos: foco, vértice, eixo, curvatura, parábola, raio, dentre outros.

Os demais, 20%, foram pouco enfáticos ao responderem que concordavam,

afirmando a existência da relação na estrutura. PMF3 afirmou: “Sim, por que a forma

dos espelhos esféricos é uma cônica e, portanto, há uma relação entre ambas”.

2) PM – 35% dos professores (5) de matemática concordavam, mas não

justificaram o porquê. PM5 afirmou que: “Com certeza, tem! Mas, não conheço

espelho esférico para falar a relação”. 7% (1) conhecia partes dessa relação. PM1

chegou a afirmar: “Sim, não tenho grande conhecimento sobre espelhos esféricos,

mas a relação que existe pode ser a concavidade”. Os demais explanavam com

firmeza a cerca de seu respectivo conteúdo (cônicas), mas, em nenhum momento

fazia referência ao outro (espelho esférico). PM2 afirmou: “Sim, mas não sei”. Os

58% restantes não souberam opinar sobre a relação. PM9 afirmou: “Sei o que é um

espelho esférico (objeto), mas não sei falar se existe ralação”. PM7 colocou:

“Sinceramente, não sei”.

3) PF – Aproximadamente 50% desses professores (especificamente 6)

relacionavam a curvatura dos espelhos esféricos às cônicas e também os focos

presentes em ambos. PF1 afirmou que: “Sim, por que a forma dos espelhos

esféricos é uma cônica e, portanto, há uma relação entre ambas”. Dos professores

restantes, 20%, acreditavam na existência da relação, mas não conheciam as

cônicas para citá-las com detalhes. PMF11 afirmou: “Acho que sim. Só que não

conheço nada de cônicas, nem a estudei no meu ensino médio”.

Diante das respostas dos sujeitos, percebe-se uma maioria de conhecedores

da relação no grupo dos PMF os quais trabalham com ambas as componentes, o

que pode ser justificável pela necessidade e experiência de trabalhar com ambas as

componentes. PMF6, na conversa informal da primeira etapa, afirmou: “Pergunte

qualquer coisa dessas duas aí, eu já as conheço há anos”. E na folha de respostas

declarou: “[...] conheci das duas depois que comecei a ensinar matemática e física”.

Percebe-se também, que os PM e PF que conheciam a relação eram minorias,

tornando este fato preocupante, pois a dificuldade já esta sendo notada desde os

educadores, perpetuando-se para o ambiente de sala de aula.

A segunda questão traz: Qual referência você faz do assunto da primeira

componente para explicar o outro da segunda ou vice-versa?

Nesta questão visava-se conhecer a metodologia de ensino dos professores,

bem como descobrir se algum já utilizava a interdisplinaridade. Portanto temos:

1) PMF – 30% dos professores (3) faziam referências dos espelhos quando

estavam ensinando as cônicas. PMF2 respondeu que: “dentro de cônicas temos a

questão dos eixos, distância focal, foco, vértice, etc., termos estes que estarão

presentes em espelhos esféricos, daí a interação de ambas as disciplinas e

necessidade de explanação do conteúdo”. 40% (04) não abordavam as cônicas

como conteúdo no ensino médio. Como afirma PMF3: “Não introduzi as cônicas

como conteúdo de matemática no plano de curso para o ensino médio”. Os 30%

restantes solicitaram dos educandos uma síntese do conteúdo e não o explicou em

sala. PMF5 afirmou: “[...] acredito que passando um trabalho em forma de resumo

eles aprendem mais”.

2) PM – Como apenas 35% deles concordaram que existe a relação de

cônicas com espelhos esféricos, 60% (3) destes (ou 20% do total de PM) faziam

referencias aos elementos de ambas citando a relação direta das componentes

curriculares. Nota-se isto em PM9 que afirmou: “tem que fazer! Fica mais fácil pro

aluno entender, pois as cônicas são muito abstratas”.

3) PF – De acordo a primeira resposta onde percebe-se que 50% dos

professores de física conhecem ambos os assuntos, apenas 33% (2) deles fazem

referencias de cônicas quando ensinam espelhos. PF2 ressaltou que: “[...]

explicando espelhos esféricos, falo sobre a formação de imagens de objetos, então,

mostro a eles um exemplo de quando nossa imagem é refletida na lateral de um

carro. Ficamos baixos e gordos! Isso acontece por que a inclinação da lateral do

carro não é um círculo e sim uma hipérbole”.

Como esta questão é interligada a primeira, as respostas serão positivas

apenas para aqueles os quais relacionavam a física e a matemática. No entanto,

nem todos, apesar de conhecerem esta relação utilizam os mecanismos da

interdisciplinaridade como apoio das suas atividades escolares. A metodologia de

ensino desses sujeitos, professores, mesmo que de maneira tímida ou mesmo sem

muita expressão, já se constitui uma tentativa diferente de aplicação e aprendizagem

do conteúdo relacionando as componentes. Isso é uma característica da

interdisciplinaridade que precisa ser mais trabalhadas nas salas de aula.

A Terceira questão diz: Ao entrar num supermercado, percebi numa das

paredes laterais a existência de um espelho “redondo”. Então, conclui que seria pra

a moça do caixa ver as filas de prateleiras e perceber se alguém furtaria alguma

mercadoria. Mas, por que este espelho era “redondo”?

“O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento de

observação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.” (Extraído de:

http://educar.sc.usp.br/otica/esferico.htm).

Dentre as respostas, a grande maioria continha este pensamento, inclusive

alguns que não conheciam a relação direta dos conteúdos citados anteriormente,

responderam com persuasão ao afirmar que os espelhos redondos possuem campo

de visão maior que o de um plano, mesmo sendo de tamanhos iguais. Vê-se isso na

citação de PF3: “Trata-se de um espelho convexo, que nos dá, no caso à moça, uma

visão mais ampla do ambiente ao seu redor, o que permite um campo de visão ideal

para vigiar as prateleiras...”. Muito diferente disto, o PM3 afirma: “Não sei”.

Verifica-se uma quantidade considerável de sujeitos os quais sabem

identificar as aplicações dos conteúdos, o que evidencia a existência de uma

interdisciplinaridade no dia-a-dia ultrapassando o ambiente escolar. Porém, em

alguns casos, não se verificou isto no ambiente escolar. PM7, que referente à

primeira questão, respondeu “Sinceramente, não sei”, afirmou nesta questão: “Por

que, quando o espelho é redondo, ele mostra mais espaços do ambiente”,

evidenciando o conhecimento informal não atrelado aos conteúdos específicos de

cônicas e espelhos esféricos. Segundo Fazenda (1992, p. 12): “uma coisa nos

parece certa: nenhuma opção crítica pode nascer, nos alunos, quando os

professores lhes ministram ou inculcam um conhecimento que seria a expressão da

verdade objetiva”.

A quarta questão: Por que os faróis dos carros, independente da montadora,

possuem a tendência de possuírem um formato “arredondado”?

Todo raio luminoso que incide no espelho esférico côncavo passando pelo

foco (ou em sua direção) é refletido paralelamente ao eixo principal (horizontal),

segundo Ramalho (2003). Isso ocasionaria um sentido e uma direção desses raios

(figura 25) e, assim, uma melhor iluminação já que se fala de raios luminosos. No

convexo, seria ocasionado uma dispersão desses raios, provocando um baixo

aproveitamento dos mesmos (figura 26).

Raios refletidos paralelamente Raios dispersos, sem direção. ao eixo principal. Figura 25 Figura 26

Aqui obtive-se respostas curiosas. 100% dos professores, mesmo que as

respostas não condiziam com o questionamento, opinaram. Associa-se isto ao fato

desta se relacionar diretamente com a motivação do homem: O Automóvel! O PMF3

afirmou que: “Se dá pelo fato de espelhos abaulados poderem direcionar os vários

raios luminosos para a mesma direção (paralelos), após refletirem nos mesmos...”.

Contudo, o PM2 afirmou que: “acredito que seja para deixar a frente do carro mais

bonita, inovada! Pois os modelos antigos possuem a “cara de velho””. PM5 diz:

“Esses novos modelos de faróis são mais fortes e clareiam bem a frente do carro, os

outros modelos clareavam dos lados também e aí ficavam mais fracos”. PF2

questionou: “[...] quantos acidentes ocorridos durante a noite não poderiam ter sido

evitados, se os faróis dos carros de antigamente fossem potentes iguais os de hoje

em dia?”.

Diante do exposto percebe-se que esta interdisciplinaridade matemática-

física ultrapassa obstáculos que estão além da sala de aula. Isso demonstra o

próprio professor não conhecedor da relação teórica dos conteúdos, ou mesmo, que

não os contextualiza identificando-os. Segundo Fazenda (1992, p. 45) é válido:

“salientar que nos empreendimentos interdisciplinares, não é mais possível separar

o conhecimento da prática”.

A quinta questão requer do professor a sua postura quanto à afirmação de

Ivani Catarina Arantes Fazenda, com relação ao ensino médio nas escolas, quando

diz que:

é praticamente inexistente a prática interdisciplinar, tanto no campo do ensino quanto no da pesquisa. O que existe, e assim mesmo numa escala bastante reduzida e, freqüentemente de modo inteiramente escamoteado, são certos encontros pluridisciplinares (FAZENDA, 1992, p. 15).

Abaixo estão citações, dos professores, que mereceram destaque, acerca da

afirmação da autora:

PF4: “Poderia atuar com a união dos professores em trabalhar juntos para a

melhoria do ensino em geral”.

“A interdisciplinaridade no ensino médio é quase zero; normalmente, não se

usa. O ensino se torna muito monótono, é muito tradicional!” (PMF10)

“A péssima possível, pois não existe nenhuma ligação entre as disciplinas,

apenas entre áreas, humanas e exatas, por exemplo” (PM12).

PF3 diz:

Creio que seja a mesma coisa ou pior. Os professores, por “n” fatores não tem tempo de sentar e construir um projeto legal, que promova essa interação entre as disciplinas. E aí, temos estas apesar de interligadas, no caso de física e matemática, trabalhando isoladas.

PF5 diz que: “concordo com a escritora. Faço de suas palavras, as minhas!”.

Concordo com Fazenda e acrescento que no ensino médio a utilização da pluridisciplinaridade é utilizada por alguns professores, e a maioria deles a faz como se fosse interdisciplinaridade, e, no entanto, muitos deles pecam com isto, pois a interdisciplinaridade não requer centro, todo conhecimento é relevante a um saber universal, fazendo que haja uma comunicação entre as disciplinas. Ela jamais deve ser vista como uma ferramenta que reduz a um denominador comum, e sim como uma forma da criatividade, da diversidade, sendo que a viabilização de programas interdisciplinares exige um novo profissional, alguém que tenha uma visão abrangente do projeto e de como e quando as disciplinas vão interagir. (PM5)

Todos os sujeitos que responderam essa questão concordaram com a

afirmação da autora. Considerando-se que essa citação foi feita no início da década

de 1990, este fato é mais preocupante ainda, já que, confirma assim, a pequena

evolução da interdisplinaridade ao longo desse período. PM1 afirmou: “já perdi as

contas de quantas semanas pedagógicas participei e ouvi falar disso, mas até hoje

não saiu de lá”. Segundo Fazenda (1992, p. 46):

É necessário o exercício de uma educação permanente que tenha se iniciado numa prática interdisciplinar. Isto porque parte-se do princípio que o papel da educação na formação cultural do homem é o de dar-lhe as possibilidades e os instrumentos que lhe permitam ser culto, caso seja essa sua opção.

Na sexta questão: O que você indicaria pra que ocorresse uma maior

aproximação dessas disciplinas no ensino médio?

A grande maioria dos entrevistados (90%) afirmaram que a primeira solução

seria aumentar o número de Aulas Complementares, fazer com que elas sejam

sempre concomitantes de componentes afins e consequentemente reduzir a carga

horária efetiva do professor, que neste caso, dispunharia de mais tempo para ele

próprio perceber as relações. Ainda apareceram sugestões como: “Formulação de

projetos e interação real não só entre os professores e sim, com todo o corpo que

compõe o universo escolar: diretores, professores, funcionários, alunos, pais...”

(PM2); Outras citações dos sujeitos são:

Para PF3:

Um planejamento eficaz, um projeto específico mas que não ficasse apenas no papel, voltado para a integração destas disciplinas, visto que isso pode e vai melhorar bastante o processo ensino-aprendizagem de ambas as disciplinas. Além disso, o compromisso dos professores envolvidos no projeto.

PM8: “Formulação de projetos e interação real não só entre os professores e

sim, com todo o corpo que compõe o universo escolar: diretores, professores,

funcionários, alunos, pais...”.

PMF7: “É simples! Selecionar apenas profissionais habilitados para lecionar

essas temidas disciplinas e parar com essa história de ta faltando hora, então pega

matemática ou física só pra preencher a carga horária”.

PMF10:

Aumentar as horas de planejamento e as ACs e diminuir as horas de efetivo trabalho em sala de aula é uma boa medida para dar chances aos professores para buscarem conteúdos que tenham relação com sua área específica. Alem, de matemática e física, temos história, geografia, química..., por exemplo..

Percebe-se nessas citações que os sujeitos são favoráveis as idéias de

Fazenda (1994, 1995, 2001), Japiassú (1976), Aragão (2006), entre outros citados.

Contudo, o êxito das intenções dos autores está encravado na disponibilidade do

próprio profissional atender as condições que a interdisciplinaridade requer

nomeadamente no que diz respeito ao tempo pra elaborar aulas e planos os quais

não saem do papel. Entretanto, almeja-se crescimento da interdisciplinaridade e

segundo Carneiro (2008, p. 53) apud JANTSCH; BIANCHETTI (1995):

A interdisciplinaridade... é necessária para mediar comunicação entre os cientistas e entre eles e o mundo do senso comum. Para se comunicar com

outro cientista, o pesquisador precisa deslocar seu conjunto de proposições para fora de sua linguagem específica: ele passa a abrir, por assim dizer, sua “caixa preta” para o outro cientista, tornando-a acessível a este. Cria-se uma linguagem comum entre os cientistas de diferentes campos ou disciplinas ou especialidades, mediante a qual eles compreendem o construto do outro e o seu próprio. Não se cria uma nova teoria, mas a compreensão do que cada um está fazendo, bem como a descoberta de estratégias de ação que lhes eram desconhecidas a ambos, tanto no interior de sua própria ciência, como na relação às outras e ao mundo exterior do cidadão comum.

Conclusão

O presente trabalho revela todo o trajeto desenvolvido para resolução do

questionamento inicialmente aclamado, que diz respeito à interação dos conteúdos

espelhos esféricos e cônicas efetuado por professores do ensino médio das escolas

públicas e privadas da macrorregião de Senhor do Bonfim, com uma visão voltada

para a interdisciplinaridade.

Através da análise de dados, podemos relatar alguns aspectos importantes

obtidos pelos procedimentos metodológicos desenvolvidos nesta pesquisa. Vejamos

cada um deles num comparativo aos objetivos traçados a priori.

Boa parte dos entrevistados, apesar de conhecer as relações entre os

conteúdos anteriormente citados, não desenvolve atitudes dentro do espaço escolar

capazes de expressar a interação matemática-física. A interdisciplinaridade destas

duas componentes é praticamente inexistente, pois o resquício que há desta

proposta de ensino só manifesta-se em professores ministrantes de ambas as

disciplinas, já que os demais desenvolvem suas propostas de trabalho de forma

singular. Percebe-se a manutenção de uma prática fragmentada e desprovida de

relações entre o espaço intra e extra-escolar, já que:

O que se pretende na interdisciplinaridade não é anular a contribuição de cada ciência em particular, mas, apenas, uma atitude que venha a impedir que se estabeleça a supremacia de determinada ciência, em detrimento de outros aportes igualmente importantes (FAZENDA 1992, p. 31).

Em relação à postura dos entrevistados frente à interdisciplinaridade,

percebem-se diversas soluções para inclusão dessa grandiosa ferramenta

metodológica e justificativas para as práticas atuais não a contê-la. Todas as

sugestões dadas são importantíssimas, mas vale à pena ressaltar a disponibilidade

do professor em maior número de horas dentro da escola para que possa

desenvolver atitudes voltadas diretamente para aquele espaço. Devendo esta

possibilidade ser atrelada à melhor remuneração, e os encontros entre os

profissionais, de áreas afins ou não, com freqüência constante para que possam

expor seus conteúdos e interagir objetivando a construção de técnicas subsidiadas

pela interdisciplinaridade, tendo como conseqüência um trabalho contínuo e

integrado.

É cediça a importância da concepção a respeito da responsabilidade do

profissional em educação, pois o bom resultado da interação entre todas as áreas de

ensino depende essencialmente da sua compreensão de aprendizagem. Acreditar

na proposta interdisciplinar requer conhecer seu significado, para que não haja

confusão com outras práticas como a pluridisciplinaridade e a transdiciplinaridade.

A construção desta pesquisa não visa apenas o caráter conclusivo dos

trabalhos acadêmicos. Ela pretende trazer uma reflexão acerca do processo de

ensino e aprendizagem desenvolvido em boa parte das instituições de ensino, bem

como sugerir mecanismos solucionadores desta problemática cujos reflexos

traduzem num sistema educacional caótico e defasado. Como afirma Fazenda

(1992, p. 49): “A necessidade da interdisciplinaridade impõe-se não só como forma

de compreender e modificar o mundo, como também por uma exigência interna das

ciências que buscam o restabelecimento da unidade perdida do saber”.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Apêndice 1:

Este questionário terá como objetivo fornecer dados para analise referente à pesquisa monográfica, para isso, conto com sua colaboração. * Não será necessário identificar – se.

1 – Pesquisas indicam que pessoas as quais possuem facilidade com a física, também, possuem facilidade com a matemática, pois, ambas fazem parte da mesma área, AS EXATAS. Você concorda que as cônicas (matemática) têm relação com espelhos esféricos (física)? Por quê?

2 – Qual referência você faz do assunto da primeira componente para explicar o outro da segunda ou vice-versa?

3 – Ao entrar num supermercado, percebi numa das paredes laterais a existência de um espelho “redondo”. Então, conclui que seria pra a moça do caixa ver as filas de prateleiras e perceber se alguém furtaria alguma mercadoria. Mas, por que este espelho era “redondo”?

4 – Por que os faróis dos carros, independente da montadora, possuem a tendência de possuírem um formato “arredondado”?

5 – Ivani Catarina Arantes Fazenda diz isto que: “é praticamente inexistente a prática interdisciplinar, tanto no campo do ensino quanto no da pesquisa. O que existe, e assim mesmo numa escala bastante reduzida e, freqüentemente de modo inteiramente escamoteado, são certos encontros pluridisciplinares”. (FAZENDA, 1992, P. 15). Qual sua posição sobre o que acontece em nosso ensino médio?

6 – O que você indicaria pra que ocorresse uma maior aproximação dessas disciplinas no ensino médio?