MOQ-14

PROJETO e ANÁLISE de

EXPERIMENTOS

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

Princípios de criação de modelos empíricos:

Nos modelos matemáticos, os fatores importantes de um sistema são

representados por um conjunto de equações. Tipos de modelos matemáticos:

Modelos determinísticos (mecanísticos): baseados no conhecimento

de física, química, engenharia do fenômenos, …

Modelos estocásticos (empíricos): construídos relacionando as

variáveis baseando-se apenas nos dados observados.

Análise de regressão: lida com a investigação da relação entre duas ou mais

variáveis relacionadas de forma não determinística (estocástica ou empírica).

Modelos (matemáticos, lógicos, …) são

comumente utilizados na formulação e

resolução de problemas.

Análise de Regressão:

Utilizada na criação de modelos empíricos com algum dos objetivos:

Análise estrutural (determinar os fatores mais importantes)

Fazer inferências (testar, estatísticamente, hipóteses)

Criar previsões (análises “se-então”)

Exemplos: casos em que queremos prever o valor de uma variável (chamada

variável dependente) utilizando o valor de outra variável (chamada de

variável independente):

VARIÁVEL DEPENDENTE VARIÁVEL INDEPENDENTE

VENDAS DE UM PRODUTO PREÇO DO PRODUTO

VENDAS DE UM PRODUTO GASTOS COM PROMOÇÃO

CUSTO TOTAL DE PRODUÇÃO UNIDADES PRODUZIDAS

VOLUME DE EMPRÉSTIMOS TAXA DE JUROS PRATICADA

VENDAS DE UM PRODUTO TEMPO

Processo de experimentação:

Experimentação pode ser visto como um teste, ou uma série de testes, nos

quais mudanças propostas são aplicadas nas variáveis de entrada de um

processo ou sistema, para então se observar e identificar as mudanças

ocorridas nas variáveis de saída.

A experimentação é feita de forma seqüencial:

1. O primeiro experimento em um sistema complexo (possui muitas

variáveis de controle) é um piloto (screening experiment). É utilizado

na identificação das variáveis mais importantes.

2. Experimentos subseqüentes são feitos para refinar a informação e

determinar quais ajustes nas variáveis críticas são necessários para

melhorar o sistema.

3. Otimização: é o objetivo final da experimentação. Consiste em

determinar os níveis ótimos das variáveis críticas (resultarão no sistema

com a melhor performance possível).

Processo de experimentação:

Exemplo:

Processo de experimentação:

1. Primeiro experimento: identificar os fatores controláveis (X) que mais

impactam em cada uma das saídas (Y).

2. Segundo experimento: refinar a informação e obter um modelo

matemático que relacione X e Y (superfície de resposta).

3. Otimização: determinar os níveis ótimos dos fatores críticos de forma a

obter o melhor processo possível (mono ou multiobjetivo).

Processo

...

x1 x2 x3x4

xp

Fatores Controláveis

...

z1 z2 z3z4

zq

Fatores Incontroláveis

(ruídos)

Entrada Saída

y1

y2

y3

y4

ym

...

Processo

...

x1 x2 x3x4

xp

Fatores Controláveis

...

z1 z2 z3z4

zq

Fatores Incontroláveis

(ruídos)

Entrada Saída

y1

y2

y3

y4

ym

...

Processo: Moldagem Plástica

X: Tempo de injeção, tempo de

resfriamento, temperatura do molde,

velocidade e pressão de injeção

Y: Rebarba, Deformação, Falha

Z: Operador

Processo de experimentação:

Atividades de um processo de experimentação:

1. Conjectura: a hipótese original que motiva o experimento

2. Definir os objetivos do experimento (piloto, refinamento, otimização)

3. Escolha dos fatores controláveis e seus níveis

4. Seleção da(s) variável(is) de resposta

5. Projeto de experimento: teste(s) para investigar a conjectura

6. Realização do experimento: coleta dos dados

7. Análise dos dados: métodos analíticos (estatísticos) e de otimização

aplicados aos dados

8. Conclusões e recomendações: o que foi aprendido em relação a

conjectura.

Programa do curso:

Semana Conteúdo

1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.

2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.

3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.

4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.

5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.

6 Prova

7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.

Multicolinearidade e seus efeitos.

8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.

9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.

Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.

10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.

11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.

12 Experimentos em blocos casualizados. blocagem em experimentos 2k.

13 Prova

14 Experimentos fatoriais fracionados.

15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.

16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.

Walpole, R., Myers, R., Myers, S. e Ye, K. (2009), Probabilidade e

Estatística para engenharia e ciências, 8a edição, Pearson.

Montgomery, D.C. and Runger, G.C. , Applied Statistics and

Probability for Engineers,3rd edition, John Wiley, 2002.

Montgomery, D.C., Design and analysis of experiments,6th edition,

John Wiley, 2005.

Site:

http:// www.mec.ita.br/~rodrigo/

Bibliografia:

Avaliação:

• Primeiro bimestre: 1 prova (70%) + 1 trabalho individual (30%)

• Segundo bimestre: 1 prova (70%) + relatórios dos laboratórios (30%)

• Exame: 1 Trabalho (individual)

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

PRINCÍPIOS DE REGRESSÃO

LINEAR SIMPLES

Análise de Regressão:

Um pouco de história:

Ajuste de curvas:

1. (MAE – 1786 e MSAE – 1799)

2. (Mínimos quadrados / MSE – 1809)

Correlação e Regressão (Galton – 1887)

Modelo Linear de Regressão:

Modelo: Yi = 0+ 1X1i+ 2X2i+…+ kXki+ i , i=1,…,n

em que 0 é o intercepto, j é o coeficiente angular da variável j (j=1,…,k) e

é o termo de erro.

Estimação de parâmetros 0 e j (j=1,…,k): Pelo MSE para k=1

Equações normais:

Modelo Linear de Regressão:

Caso 1: Regressão sem regressor ( Yi = 0+ i , i=1,…,n)

Caso 2: Regressão linear simples ( Yi = 0+ 1X1i+ i , i=1,…,n)

Caso 3: Regressão linear múltipla (k > 1)

^

^

2

^

1

,

XVar

YXCov

XX

YYXX

XXX

YYX

i

i

i

ii

i

ii

i

ii

XY 1

^

0

Y^

0

Modelo Linear de Regressão:

CORRELAÇÃO (X,Y)=0,976

Exemplo:

5938,0

,^

^

2

^

1

XVar

YXCov

XX

YYXX

i

i

i

ii

833.1481

^

0 XY

Mês Quantidade Custos Totais (R$)

Janeiro 371.000 371.641,00

Fevereiro 390.000 381.759,00

Março 330.000 348.280,00

Abril 421.000 392.891,00

Maio 351.000 356.412,00

Junho 311.000 330.545,00

Julho 319.000 330.652,00

Agosto 407.000 395.274,00

Setembro 398.000 382.775,00

Outubro 342.000 358.363,00

Novembro 363.000 369.913,00

Dezembro 383.000 371.972,00

y = 0,5938x + 148833

300.000,00

320.000,00

340.000,00

360.000,00

380.000,00

400.000,00

420.000,00

300.000 320.000 340.000 360.000 380.000 400.000 420.000 440.000

Quantidade (unidades)

Cu

sto

To

tal (R

$)

Correlação Amostral (r):

Propriedades:

-1 rXY 1

Se rXY é significativa é possível

criar Y = + X +

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

YX

yyxx

yyxx

r

1

2

1

2

1,

Nestes casos X e Y variam

conjuntamente de forma linear

Nestes casos, não existe relação ou

a relação não é linear

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Qualidade do ajuste: Coeficiente de Determinação (R2)

SQTotal

SQ

SQTotal

SQ

YYYY

YY

R

i

ii

i

i

i

iResíduos

1Regressão

ˆˆ

ˆ

22

2

2

R2

= 0,0410

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100

X

Y

R2 = 0,43

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100

X

Y

R2

= 0,89

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100

X

Y

Modelo Linear de Regressão:

Em regressão linear simples, R2 = Cor(X,Y)2 = rXY2

^

Coeficiente de Determinação (R2): Misunderstandings

1. Um alto valor de R2 indica que previsões confiáveis podem ser

feitas a partir do modelo ajustado

qualidade no ajuste qualidade nas previsões

2. Um alto valor de R2 indica que o modelo de regressão obtido tem

um bom ajuste

outliers, correlação e relação linear

3. Um valor de R2 próximo de zero indica que as variáveis

independente (X) e dependente (Y) não são relacionadas

correlação: relação linear entre as variáveis

Modelo Linear de Regressão:

Para casa:

• Laboratório 1 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)

•Leitura: Walpole et al. – cap.11: Regressão linear simples (11.1 a 11.3 e 11.12)

Montgomery e Runger – cap.11: SL Regression (11.1, 11.2 e 11.11)