MOQ-14

PROJETO e ANÁLISE de

EXPERIMENTOS

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

Programa do curso:

Semana Conteúdo

1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.

2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.

3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.

4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.

5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.

6 Prova

7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.

Multicolinearidade e seus efeitos.

8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.

9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.

Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.

10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.

11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.

12 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos 2k.

13 Prova

14 Experimentos fatoriais fracionados.

15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.

16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

EXPERIMENTOS

FATORIAIS FRACIONADOS

Introdução:

À medida que o número de fatores em um experimento fatorial 2k aumenta, o

número requerido de corridas aumenta rapidamente.

Exemplo: experimento 25 requer 32 corridas → 5 g.l. correspondem aos

efeitos principais, 10 g.l. às interações de 2a ordem e 31 g.l. correspondem às

interações de ordens superiores (≥ 3).

Freqüentemente, há pouco interesse nas interações de ordens altas

(principalmente se o interesse é estudar um processo ou um sistema).

Se pudermos considerar que certas interações de ordens altas são

negligenciáveis, um planejamento fatorial fracionário poderá ser usado.

Os experimentos fracionários são amplamente utilizados nos projetos pilotos,

ou de seleção (screening experiments) com a finalidade de identificar os fatores

que têm grandes efeitos e descartar os que têm pouco ou nenhum efeito para,

posteriormente, fazer investigações mais aprofundadas.

Meia-fração de um experimento 2k:

Uma meia-fração de um experimento 2k contém 2k-1 corridas.

Exemplo: experimento 23-1

→ Combinações de tratamento escolhidas para coleta: a, b, c e abc

→ Vantagem: requer apenas 4 corridas (em contraste ao experimento completo

que requer 8 corridas)

Note que o experimento 23-1 é formado selecionando-se as combinações de

tratamento com sinal positivo para o efeito ABC (chamado de gerador dessa

fração) e que o sinal de I = ABC (chamado de relação de definição).

Combinações

de tratamento I A B C AB AC BC ABC

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

c + - - + + - - +

abc + + + + + + + +

[1] + - - - + + + -

ab + + + - + - - -

ac + + - + - + - -

bc + - + + - - + -

Meia-fração de um experimento 2k:

As combinações do experimento 23-1 resultam em 3 g.l. associados aos

efeitos principais e outros 3 associados às interações. Suas estimativas são

(metade superior da tabela):

Observa-se que: (pares associados ou aliases)

Combinações

de tratamento I A B C AB AC BC ABC

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

c + - - + + - - +

abc + + + + + + + +

[1] + - - - + + + -

ab + + + - + - - -

ac + + - + - + - -

bc + - + + - - + -

)(

)(

)(

21

21

21

abccbaC

abccbaB

abccbaA

n

n

n

)(

)(

)(

21

21

21

abccbaAB

abccbaAC

abccbaBC

n

n

n

ABACBCA C ,B ,

ABCl

ACBl

BCAl

C

B

A

Meia-fração de um experimento 2k:

A estrutura dos pares associados (aliases) pode ser encontrada usando a relação de

definição I=ABC. Assim,

A = A.I = A.ABC = A2BC = BC

B = B.I = B.ABC = AB2C = AC

C = C.I = C.ABC = ABC2 = AB

A fração alternativa do experimento 23-1: [1], ab, ac, bc (sinal – de ABC)

Neste caso: I = – ABC, A = – BC, B = – AC e C = – AB

Procedimento seqüêncial: fração principal + fração alternativa = fatorial completo

(útil pois é possível rodar experimentos pequenos e eficientes e combinar as informações)

Combinações

de tratamento I A B C AB AC BC ABC

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

c + - - + + - - +

abc + + + + + + + +

[1] + - - - + + + -

ab + + + - + - - -

ac + + - + - + - -

bc + - + + - - + -

Generalização de um experimento 2k-1:

Procedimento para generalização: criar as combinações de tratamento para

um experimento fatorial completo com k-1 fatores (experimento básico) e

então adicionar o k-ésimo fator, identificando seus níveis altos e baixos com

os sinais mais e menos da interação de mais alta ordem.

Exemplos:

Combinações de tratamento: c, a, b, abc

Combinações de tratamento: (1), ad, bd, ab,

cd, ac, bc, abcd

Generalização de um experimento 2k-1:

Delineamentos de resolução em experimentos 2k-1:

• III: os efeitos principais tem como aliás as interações simples

→ I= ABC

• IV: nenhum efeito principal tem como aliás outro efeito principal ou

interação simples. As interações simples têm como aliás outra

interação simples. → I= ABCD

Efeitos

Principais Aliás

Interações

Simples Aliás

A BCD AB CD

B ACD AC BD

C ABD AC BC

D ABC

Causas de Variação GL

Efeitos Principais 4

Erro experimental (de interações simples) 3

Meia-fração de um experimento 2k:

Exemplo: Experimento 24-1, I= ABCD

Resposta: Taxa de filtração

Fatores: A= temperatura, B= pressão, C= concentração de formaldeído e D= Taxa de agitação

Estimativas Aliás

LA=19,00 LAA+BCD

LB=1,50 LB B+ACD

LC=14,00 LC C+ABD

LD=16,50 LD D+ABC

LAB=-1,00 LABAB+CD

LAC=-18,50 LACAC+BD

LAD=19,00 LADAD+BC

Observa-se que os seguintes efeitos

significativos: A, C, D, AC e AD.

Como o fator B, não é significativo,

deve-se desconsiderá-lo da análise.

Experimentos A B C D=ABC Tratamentos Taxa

(1) - - - - (1) 45

a + - - + ad 100

b - + - + bd 45

ab + + - - ab 65

c - - + + cd 75

ac + - + - ac 60

ab + - - ab 65

c - + + cd 75

Experimentos B C D=ABC Tratamentos Taxa

(1) - - - (1) 45

a - - + ad 100

b + - + bd 45

ab + - - ab 65

c - + + cd 75

ac - + - ac 60

bc + + - bc 80

abc + + + abcd 96

Experimentos A B C D=ABC Tratamentos Taxa

(1) - - - - (1) 45

a + - - + ad 100

b - + - + bd 45

ab + + - - ab 65

c - - + + cd 75

ac + - + - ac 60

ab + - - ab 65

c - + + cd 75

Experimentos B C D=ABC Tratamentos Taxa

(1) - - - (1) 45

a - - + ad 100

b + - + bd 45

ab + - - ab 65

c - + + cd 75

ac - + - ac 60

bc + + - bc 80

abc + + + abcd 96

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção 70,75 0,637 111,002 0,000

A 9,5 0,637 14,905 0,004

C 7 0,637 10,983 0,008

D 8,25 0,637 12,944 0,006

AC -9,25 0,637 -14,513 0,005

AD 9,5 0,637 14,905 0,004

Procedimento seqüêncial: fazer um experimento fatorial completo com os

fatores A, C e D (23).

Meia-fração de um experimento 2k:

Exemplo: Continuação ... Experimento 23

Resposta: Taxa de filtração

Fatores: A= temperatura, C= concentração de formaldeído e D= Taxa de agitação

Experimentos A C D Taxa

(1) - - - 45

a + - - 71

c - + - 68

ac + + - 60

d - - + 43

ad + - + 100

cd - + + 75

acd + + + 86

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção 68,5 1,186 57,764 0,0003

A 10,75 1,186 9,065 0,0120

C 3,75 1,186 3,162 0,0871

D 7,5 1,186 6,325 0,0241

AC -10 1,186 -8,433 0,0138

AD 6,25 1,186 5,270 0,0342

Generalização de um experimento 2k-1:

Delineamentos de resolução em experimentos 2k-1:

• V: os efeitos principais e interação simples não tem como aliás qualquer

efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como

aliás as interações tríplices. → I= ABCDE

Efeitos

PrincipaisAliás

Interações

SimplesAliás

A BCDE AB CDE

B ACDE AC BDE

C ABDE AD BCE

D ABCE AE BCD

E ABCD BC ADE

BD ACE

BE ACD

CD ABE

CE ABD

DE ABC

Generalização de um experimento 2k-1:

Delineamentos de resolução em experimentos 2k-1:

• VI: os efeitos principais têm como aliases as interações quíntuplas, as

interações simples têm como aliases somente as interações quádruplas

e as interações tríplices têm como aliases somente as interações

tríplices → I = ABCDEF

Efeitos

PrincipaisAliás

Interações

SimplesAliás

Interações

TríplicesAliás

A BCDEF AB CDEF ABC DEF

B ACDEF AC BDEF ABD CEF

C ABDEF AD BCEF ABE CDF

D ABCEF AE BCDF ABF CDE

E ABCDF AF BCDE ACD BEF

F ABCDE BC ADEF ACE BDF

BD ACEF ACF BDE

BE ACDF ADE BCF

BF ACDE ADF BCE

CD ABEF BCD AEF

CE ABDF

CF ABDE

DE ABCF

DF ABCE

EF ABCD

Generalização de um experimento 2k-1:

Análise de experimentos fatoriais fracionados 2k-1:

Análise de variância (ANOVA) → significância dos efeitos

Análise de regressão → estimação e significância dos efeitos

Empregar os gráficos de probabilidade Normal (Q-Q Normal) para

determinar a importância relativa dos efeitos. Procedimento:

1. Calcule os efeitos: efeito = contraste / 2k-1-1

2. Construa um gráfico de probabilidade Normal com todos os

efeitos

3. Os efeitos que caírem fora de uma linha reta devem ser

considerados relevantes

4. Faça a análise de variância para verificar a significância dos

efeitos avaliados como relevantes.

Fração ¼ de um experimento 2k:

No caso da fração ¼, em vez de uma, duas interações são selecionadas para

serem sacrificadas. A terceira interação sacrificada resulta da interação

generalizada das duas selecionadas. Exemplo: Experimento 26-2

• ALIASES:

I = ABCE = ADEF = BCDF

A = DEF = BCE = ABCDF

B = ACE = CDF = ABDEF

C = ABE = BDF = ACDEF

D = AEF = BCF = ABCDE

E = ABC = ADF = BCDEF

F = BCD = ADE = ABCEF

AB = CE = ACDF = BDEF

AC = BE = ABDF = CDEF

AD = EF = BCDE = ABCF

AE = BC = DF = ABCDEF

AF = DE = ABCD = BCEF

BD = CF = ABEF = ACDE

BF = CD = ACEF = ABDE

ABD = CDE = ACF = BEF

ACD = BDE = ABF = CEF

• Combinações de tratamento: (1), ae, bef, abf, cef, acf,

bc, abce, df, adef, bde, abd, cde, acd, bcdf e abcdef

• Sendo, I = ABCE e I = BCDF, a terceira interação

sacrificada é (ABCE)(BCDF) = ADEF

Generalização: Experimentos 2k-p

Quando usamos a fração 1/(2p), temos um experimento com 2k-p

tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2k-p:

Necessita-se de p geradores independentes

A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente

selecionados e as 2p-p-1 interações.

A estrutura de aliases pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito

pelo contraste de definição.

Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial

fracionário 2k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam

associados com outros também de interesse.

Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o

delineamento tenha a maior resolução possível.

Generalização: Experimentos 2k-p

Para casa:

• Laboratório 10 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)

• Leitura: Walpole et al. – cap. 15 (15.8 a 15.12): Experim. fatoriais 2k e frações

Montgomery e Runger – cap.14 (14.9): Desing of experiments ...