Movimento Giroscópico

Guia de Ensaio Laboratorial

Mecânica Aplicada IICursos MEAer, MEMec, LEAN

Abril 2015

Conteudo

Lista de Sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1 Introducao 1

1.1 Giroscopio e suas Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objectivo do Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Teoria 3

3 Equipamento 5

3.1 Giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Tacometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Experiencia 7

4.1 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Medicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3 Tratamento dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4 Discussao dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Referencias 9

A Tabelas de Registo e Tratamento de Dados 10

ii

Lista de Sımbolos

Simbolos gregos

Ω velocidade de precessao no eixo z [rad/s]

ω velocidade de rotacao no eixo x [rad/s]

ρ densidade [kg/m3]

τ momento externo aplicado em relacao ao eixo y [N.m]

θ angulo de precessao no eixo z [rad]

Simbolos romanos

di angulo de precessao no tempo t [rad]

dt tempo de precessao no angulo i [s]

h momento angular [kg m2/s]

J momento de inercia em relacao ao eixo x [kg m2]

k raio de giracao [m]

l comprimento do cilindro [m]

m massa [kg]

M momento externo aplicado em relacao ao eixo y [N.m]

r raio do cilindro [m]

T perıodo de precessao [s]

iii

1. Introducao

Figura 1.1: Giroscopio.

O giroscopio consiste num disco solidario

com um eixo normal que, por sua vez, esta

montado num aro, num plano transversal

do disco que, por sua vez, pode girar em

torno de outro eixo, no plano longitudinal,

conforme ilustrado na figura 1.1.

1.1 Giroscopio e suas Aplicacoes

Figura 1.2: Giroscopio de Foucault.

O giroscopio (Figura 1.2) foi inventado

em 1850 por Jean Bernard Leon Foucault

(1819 - 1868), que o utilizou para mostrar

que a Terra, de facto, gira sobre seu proprio

eixo.

A rotacao do disco a alta velocidade

confere ao mecanismo duas propriedades

importantes que o tornam bastante util, em

diversas aplicacoes:

• a primeira resulta do facto de o vector do momento angular resultante ser constante e ter a

direccao do eixo de suporte do disco, quando este nao esta sujeito a momentos. Portanto, o

eixo do giroscopio tem uma direccao invariavel no espaco, em relacao a um referencial de inercia.

Assim, se o eixo estiver na horizontal, ele efectuara, aparentemente, uma revolucao no sentido

contrario a rotacao da Terra. O movimento e aparente porque a direccao do eixo e invariavel e

o que roda e a Terra. Esta propriedade permitiu Foucault mostrar que a Terra roda em torno do

seu proprio eixo. Esta propriedade justifica a utilizacao em plataformas de inercia, giro-bussolas e

outros instrumentos de navegacao, dando-se, como exemplo, o aparelho de Aubry que estabiliza

o movimento de um torpedo num plano horizontal, em que o eixo do giroscopio coincide com a

direccao do alvo. Se o torpedo, num dado instante, e desviado do seu percurso, o giroscopio, ao

retomar a direccao original, actua, atraves de mecanismos reguladores, sobre o leme do torpedo,

obrigando este a retomar a direccao pre-estabelecida.

1

• a segunda, denominada precessao, e observada, por exemplo, quando o giroscopio e sujeito a

uma rotacao que tende a alterar a direccao do seu eixo. Quando a interseccao dos dois eixos,

o de rotacao e o do referencial, nao coincide com o centro de gravidade, o eixo do giroscopio

descreve uma trajectoria conica em torno do outro eixo. Este movimento denomina-se movimento

de precessao e pode ser observado no movimento de um piao (Figura 1.3). Esta propriedade

tambem pode ser observada no giroscopio onde a interseccao dos eixos coincide com o centro de

gravidade, mas esta sujeito a um momento de torcao aplicado no eixo transversal ao disco. Entao,

o giroscopio efectua um movimento de precessao em torno do eixo longitudinal. A velocidade do

movimento de precessao e proporcional ao momento aplicado. Se fizermos a comparacao com o

que se passa com a aplicacao do mesmo momento a um corpo que nao se encontra em rotacao,

o corpo roda com uma aceleracao angular proporcional ao momento aplicado. Se retirarmos o

momento, o corpo continua em movimento. Quando o momento deixa de actuar no giroscopio, ele

deixa precessar. Um dos exemplos de fenomenos de precessao na Natureza e o da precessao

de equinocios da Terra (Figura 1.3). Se a Terra fosse perfeitamente esferica, nenhum dos outros

membros do sistema solar exerceria qualquer momento gravitacional. Mas, a Terra nao e uma

esfera perfeita e, por isso, principalmente o Sol (pelo seu tamanho) e a Lua (pela sua proximidade)

exercem um momento de torcao gravitacional sobre ela, provocando o movimento de precessao

do seu eixo, com uma velocidade de 50,25”/ano, ou seja, uma rotacao completa em cerca de

26000 anos.

Figura 1.3: Representacao esquematica da precessao da Terra.

1.2 Objectivo do Ensaio

O trabalho experimental a ser realizado no Laboratorio de Mecanica Aplicada utiliza um giroscopio

didactico que permite observar as propriedades deste mecanismo e tem, por finalidade, comprovar que

existe uma relacao de proporcionalidade entre o momento aplicado num dos eixos e a velocidade de

precessao e que essa relacao e o momento angular.

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2. Teoria

A figura 2.1 representa, esquematicamente, o disco de um giroscopio e o motor ao qual esta acoplado,

que roda em torno do eixo x com uma velocidade angular ~ω.

Figura 2.1: Esquema do rotor e motor do giroscopio.

Se o momento de inercia do conjunto rotor em relacao ao eixo x for J, entao o momento angular em

relacao ao eixo de rotacao x e~h = J~ω , (2.1)

que pode ser representado pelo vector ~ab.

Se se aplicar um momento ~τ ao aro interior, em relacao ao eixo y, num determinado perıodo de

tempo dt, havera uma variacao do momento angular em igual a ~τdt, representado pelo vector ~bc, que

fara o eixo descrever um angulo dθ. Este movimento do eixo e denominado por precessao. A partir da

triangulacao dos vectores ~ab e ~bc, e possıvel concluir que

τdt = Jωdθ (2.2)

ou

τ = Jωdθ

dt= JωΩ = hΩ , (2.3)

em que Ω = dθ/dt, ou seja, a velocidade angular de precessao.

A derivacao da equacao (2.3) tambem pode ser feita partindo da relacao

~M =d~h

dt, (2.4)

3

em que ~M e o momento resultante em relacao ao centro de massa, e a derivada e em relacao ao

um referencial inercial. Na presente situacao, ~M = ~τ = τ~ey e ~h = J~ω = Jω~ex. Se considerarmos o

referencial 0xyz com rotacao ~Ω = Ω~ez, isto e, solidario com a velocidade precessao, entao da definicao

de derivada de um vector num referencial em rotacao [1] resulta

~M = ~τ =

(d~h

dt

)0XY Z

=

(d~h

dt

)0xyz

+ ~Ω × ~h , (2.5)

em que 0XY Z se refere ao referencial inercial. Na situacao em que a velocidade de rotacao do disco e

mantida constante, (d~h

dt

)0xyz

=

(d

dtJ~ω

)0xyz

= 0 , (2.6)

logo a equacao (2.5) pode ser simplificada em

~τ = τ~ey = ~Ω × ~h = Ω~ez × Jω~ex = ΩJω~ey , (2.7)

recuperando assim relacao expressa pela equacao (2.3).

Portanto, se a velocidade do disco for constante, existe uma relacao de proporcionalidade entre o

momento de torcao e a velocidade de precessao. Observa-se, tambem, que a constante de proporcio-

nalidade e funcao do momento polar de inercia. A demonstracao experimental destas relacoes constitui

o objectivo deste ensaio.

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3. Equipamento

Figura 3.1: Equipamento.

O trabalho experimental sera realizado com o

equipamento ilustrado na figura 3.1.

• (A) giroscopio electrico Cussons P5377

• (B) tacometro optico Cussons P4740

3.1 Giroscopio

O giroscopio utilizado neste trabalho experimental e o modelo P5377 do fabricante Cussons [2], ilus-

trado na figura 3.2.

Figura 3.2: Giroscopio didatico Cussons P5377.

O giroscopio possui um disco montado num veio de um motor de baixa inercia. O disco esta montado

com um anel removıvel.

O motor esta rigidamente ligado a uma proteccao do disco que, com dois pinos bloqueadores,

formam o aro interior que, por sua vez, esta ligado por dois semi-eixos a um suporte em forma de “U”.

Este suporte constitui o aro exterior e e suportado por rolamentos numa coluna vertical, de forma a

poder girar livremente sobre esta.

Ligados ao aro interior, encontram-se dois bracos de extensao calibrados, nos quais e possıvel

colocar tres massas, de 150 g cada, a fim de produzirem um momento externo, em relacao ao eixo

transversal. Se o anel, que se encontra ligado ao disco, for removido, entao o aro interior devera ser

calibrado atraves da colocacao da massa de 50 g no braco de extensao que lhe esta ligado.

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O giroscopio e a coluna estao montados num conjunto de alimentacao que fornece potencia electrica

de corrente contınua e voltagem variavel ao motor que acciona o giroscopio e que permite que a sua

velocidade de rotacao varie ate cerca de 5000 rpm. Trocando a polaridade da alimentacao electrica e

possıvel inverter o sentido de rotacao do motor.

As dimensoes do disco rotor do giroscopio e do anel removıvel sao indicadas na figura 3.3: O

Figura 3.3: Dimensoes do disco e anel do rotor.

material do disco e anel e latao de densidade, ρ, igual a 8410kg/m3. Esta informacao servira para o

calculo do momento de inercia do giroscopio em relacao ao eixo x.

3.2 Tacometro

A velocidade do disco do giroscopio pode ser medida com precisao, atraves do tacometro optico (mo-

delo P4740 da Cussons). Para tal, e colocada uma fita adesiva nao reflectora para cobrir parte da

periferia do disco rotor, cujo material e reflector. Deste modo, a reflexao do raio de infravermelhos emi-

tido pelo tacometro e interrompida a cada revolucao do rotor. O tacometro regista estes impulsos e

calcula a correspondente velocidade de rotacao.

A velocidade de precessao e medida de forma indirecta: com recurso a um cronometro, e medido o

tempo necessario para completar um (ou mais) perıodos de precessao. Para controlar os perıodos, e

necessario instalar um dispositivo de fim-de-curso para servir de referencia ao movimento de rotacao.

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4. Experiencia

4.1 Equilibrio

Os alunos deverao garantir que o giroscopio se encontra equilibrado. O seu equilıbrio deve ser efectu-

ado da seguinte forma:

1. Colocar a massa de 50 g no braco de extensao do aro interior do lado do motor. Desapertar o

parafuso de fixacao para libertar o aro interior do aro exterior. Ajustar a posicao da massa de 50 g

na extensao ate que o giroscopio esteja equilibrado relativamente ao eixo y;

2. Segurar um dos bracos de extensao de modo a que o eixo rotativo x esteja na horizontal e ro-

dar, simultaneamente, o controlo de velocidade no sentido dos ponteiros do relogio ate que seja

alcancada a velocidade desejada. Medir a velocidade de rotacao com o tacometro optico;

3. Libertar o braco de extensao com o eixo rotativo na horizontal e, se necessario, ajustar a posicao

a massa de equilıbrio de 50 g de modo a que o giroscopio permaneca horizontal e nao rode em

torno do eixo z.

4.2 Medicoes

Garantido o equilıbrio do giroscopio, e utilizando a tabela de registo de dados A.1 incluıda no anexo, o

trabalho a realizar pelos alunos consistira em:

1. Prender um dos bracos de extensao e colocar uma massa de 150 g no braco de extensao do aro

interior na marca de 20 cm e libertar o braco de extensao com o eixo rotativo na horizontal e medir

o perıodo de precessao e a direccao de precessao. Medir a velocidade de rotacao (propria) do

giroscopio;

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2. Repetir o procedimento do paragrafo anterior movendo a massa para tres outras distancias dife-

rentes da coluna vertical. Efectuar mais leituras adicionando uma segunda e uma terceira massa,

no braco de extensao, de modo a completar o preenchimento da tabela A.1.

Notas importantes:

• o regime transiente da velocidade de rotacao e elevado devido a inercia do rotor. Assim sendo,

sera necessario garantir que a velocidade de rotacao ja se encontra estabilizada antes de realizar

as medicoes;

• a graduacao da regua nos bracos de extensao NAO corresponde a distancia ao centro de massa

do giroscopio (eixo de rotacao do anel exterior apos o equilıbrio). E necessario medir a distancia

efectiva entre o centro de massa das massas adicionadas e o centro de massa do giroscopio.

4.3 Tratamento dos Resultados

1. Com base nos dados recolhidos na tabela A.1, preencher a folha de calculo na tabela A.2 em

anexo;

2. Tracar um grafico do momento aplicado, τ , em funcao do produto das duas velocidades, ωΩ,

fazendo passar uma recta pelos pontos. Determinar graficamente o valor do momento de inercia

em relacao ao eixo x;

3. Determinar a interseccao da recta, na origem das abcissas (ou seja, para velocidade de precessao

igual a zero);

4. Calcular o momento polar de inercia do disco e do anel e do conjunto motor e compare com o

valor obtido experimentalmente

4.4 Discussao dos Resultados

A partir do tratamento dos resultados, tecer as consideracoes que se considerem pertinentes.

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Referencias

[1] F. Beer Jr., E. R. Johnston, D. Mazurek, and P. Cornwell. Vector Mechanics for Engineers, volume

Dynamics. McGraw-Hill, 10th edition, 2012. ISBN:9780073398136.

[2] P5377 Mk.2 Electrical Gyroscope Instruction Manual. Cussons Technology Ltd., Manchester, En-

gland, 2002. http://www.cussons.co.uk/education/Data/Product_Downloads/P5377.pdf.

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A. Tabelas de Registo e Tratamento de Dados

Posicao do peso 1 Posicao do peso 2 Posicao do peso 3 Velocidade do rotor Perıodo de precessao

ω T

(cm) (cm) (cm) (rpm) (seg)

— —

— —

— —

— —

—

—

—

—

Tabela A.1: Dados experimentais.

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Momento aplicado Velocidade do rotor Velocidade de precessao Produto de velocidades

τ ω Ω = 2π/T ωΩ

(N.m) (rad/s) (rad/s) (rad/s)2

Tabela A.2: Tratamento de dados.

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