0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

MOVIMENTO VARIADO

No movimento abaixo, o corpo percorre distâncias cada vez maiores, no mesmo tempo.

Isso só acontece porque a velocidade aumenta de valor com o decorrer do tempo.

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

Agora o corpo percorre distâncias cada vez menores, no mesmo tempo.

Isso só acontece porque a velocidade diminui de valor com o decorrer do tempo.

Um movimento é acelerado, quando a velocidade aumenta de valor com o decorrer

do tempo. Um movimento é retardado, quando a velocidade diminui de valor com o

decorrer do tempo.

Sempre que um corpo sofre uma mudança de velocidade, dizemos que ele recebeu

uma aceleração.

aceleração = variação da velocidade

Intervalo de tempo decorrido

ou

t

Va

A unidade de aceleração, no Sistema internacional, é 2s/m

t=1s t=2s

02

8

18

32x(m)

2m6m

10m14m2 + 4

6 + 410 + 4

t=0t=3s

t=4sv0=04 m/s

8 m/s12 m/s

16 m/s

a = 4 m/s2

No movimento abaixo, sempre no mesmo intervalo de tempo (1 s) a velocidade sofre a

mesma variação (4 m/s)

A velocidade apresenta a mesma variação no mesmo intervalo de tempo. Logo, a

aceleração é constante.

Um movimento é uniformemente variado (MUV),quando a aceleração é constante.

Nesses movimentos a velocidade aumenta ou diminui com a mesma rapidez.

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

5m/s

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

10m/s 15m/s 20m/s

Quando a velocidade aumenta uniformemente, o movimento é uniformemente

acelerado

Para que isso ocorra, a velocidade e a aceleração devem apresentar o mesmo sentido, ouseja, o mesmo sinal.

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

5m/s

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

10m/s 15m/s 20m/s

a a a a

Quando a velocidade diminui uniformemente, o movimento é uniformemente retardado.

Para que isso ocorra, a velocidade e a aceleração devem apresentar sentidos contrários, ouseja, sinais contrários.

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

20 m/s 15 m/s 10 m/s 50 m/s

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

5m/s

0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s

10m/s 15m/s 20m/s

a a aa a a

t

vv

0t

vv

t

Va 00

t = 0 t

Chamamos de velocidade inicial ( ) a velocidade do corpo no instante em que iniciamos aobservação de seu movimento ( t = 0).

0v

Logo: V = ± a.t 0v

Quando o movimento é acelerado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam o mesmo sinal: Quando o movimento é retardado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam sinais contrários:

V = + a.t 0v

V = - a.t 0v

O sinal da aceleração e da velocidade dependedo sistema de referência que iremos adotar.

0V V

Como a velocidade varia linearmente com o tempo, o gráfico V x t é uma reta inclinada:

t (s)

v (m/s)

v

tt0

v0

tg a=

a inclinação da reta, nos

fornece a aceleração

t (s)

v (m/s)

t0

v0

v

t

00 tt.

2

vv

A área sob o gráfico Vxt fornece a distância:

A = ( t - ) +0v 0t

d = v0 (t t0) + a (t t0)2

2

1

d = v0 Δ t ± a Δt2

2

1

(Função horária para a distância)

Como: d = x - 0x

x = + v0 . Δ t ± a. Δt2

2

10x

(Função horária para a posição)

Quando o movimento é acelerado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam omesmo sinal.

Quando o movimento é retardado, a velocidade inicial e a aceleração apresentamsinais contrários.

d = v0 Δ t ± a Δt2

2

1 x = + v0 . Δ t ± a. Δt2

2

10x

d = v0 Δ t + a Δt2

2

1 x = + v0 . Δ t + a. Δt2

2

10x

d = v0 Δ t - a Δt2

2

1x = + v0 . Δ t - a. Δt2

2

10x

Podemos relacionar a velocidade do corpo com a distância percorrida por ele :

a

vvt 0 (1)

d = v0 Δ t ± a Δt2

2

1(2)

Substituindo (1) em (2):

2

000

a

vv.a.

2

1

a

)vv(.vd

Simplificando:

d.a.2vv 2

0

2

Essa é a única equação de MUV que não depende do tempo. Quando o movimento é acelerado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam omesmo sinal. Quando o movimento é retardado, a velocidade inicial e a aceleração apresentamsinais contrários.

PROPRIEDADES NOS GRÁFICOS DE MRUV

1º: Velocidade x Tempo

Velocidade e aceleração com sinais iguais = movimento acelerado

Velocidade e aceleração com sinais diferentes = movimento retardado

2º: Posição x Tempo

Concavidade voltada para cima = aceleração positiva

Concavidade voltada para baixo = aceleração negativa

ARISTÓTELES E A QUEDA DOS CORPOS

Há 300 anos antes de Cristo, Aristóteles acreditava que, se um corpo leve e outro

pesado fossem abandonados de uma mesma altura, o corpo mais pesado alcançaria

o solo ante do mais leve.

Com isso acreditava-se que a queda de um corpo dependia da sua massa.

Achava-se que a diferença de queda era devido ao fato da Terra acelerar

massas diferentes com intensidade diferentes. A diferença na queda era

devido à Terra.

Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou as hipóteses

de Aristóteles de que a queda dos corpos dependia da massa do corpo em queda.

Usando experimentos, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade,

independentemente de sua massa.

a resistência do ar atua de maneira bem diferente

nos dois corpos.

a resistência do ar atua praticamente da mesma maneira nos dois corpos.

O ar exerce um efeito que retarda a queda de qualquer corpo. Mas esse efeito é diferente emcorpos diferentes. Numa folha de papel o efeito retardador do ar é maior que numa bola dechumbo.

No ar um folha cai mais lentamente que uma pedra. No vácuo, caem com a mesma

rapidez. É o ar que causa diferença na queda dos corpos e não a Terra.

Quando o corpo é solto próximo à superfície da Terra, o movimento de queda é

acelerado. Quando um corpo é lançado para cima, próximo à superfície da Terra, o

movimento de subida é retardado. São movimentos submetidos a uma aceleração

exercida pela Terra. Essa aceleração é a mesma para todos os corpos.

Observe as experiências mostrada abaixo:

A afirmativa de Galileu de objetos soltos próximos à Terra caem simultaneamente, só é

válida no vácuo ou quando a ação do ar for desprezível.

Chamamos de queda livre ao movimento de queda dos corpos no vácuo ou no ar,

quando a ação do ar é desprezível.

O efeito retardador do ar na queda de uma pedra é pequeno, já na queda de uma pena

é enorme. A pedra cai aproximadamente em queda livre, a pena não executa uma

queda livre.

fio inextensível

e sem massa

massa

pendular

A figura representa um

pêndulo simples:

Galileu descobriu que o tempo de oscilação é o mesmo para uma massa pendular

grande ou pequena. Assim, a Terra estaria acelerando duas massas diferentes com a

mesma intensidade. Ele desconfiou que isso também deveria ocorrer na queda livre.

Resolveu fazer medidas para comprovar. Mas como a queda livre é um movimento

rápido, não conseguia medir o tempo de queda dos corpos. Pensou, então, num plano

inclinado.

A massa pendular oscila por ser atraída pela Terra. O movimento de oscilação de um

pêndulo e a queda livre são movimentos que apresentam a mesma causa: a atração da

Terra.

Um corpo desce um plano inclinado devido a atração da Terra. O movimento num plano

inclinado tem a mesma causa da queda livre: atração terrestre. A queda vertical é um

caso extremo de plano inclinado. O plano inclinado e a queda vertical deveriam

obedecer as mesmas leis:

Como o movimento de descida num plano inclinado é mais lento, Galileu resolveu

estudar a descida de corpos num plano inclinado. Já que o movimento tinha a mesma

causa da queda livre, ele poderia extrapolar os resultados obtidos para a queda de

corpos.

MEDIDAS EM PLANOS INCLINADOS

t = 0 t

2t

3t

4t d

4d

9d

16d

0v0

2td d = v0 t ± a t2

2

1d = . a .t2

2

1

0

O movimento num plano inclinado é um MUV pois a distância varia com o

quadrado do tempo.

0v0

t =0

t

2t

3t

4t

h

4h

9h

16h

Na queda livre

2th

h = v0 . t ± a t2

2

1

h = . a .t2

2

1

0

O movimento de queda livre é um MUV pois a

distância varia com o quadrado do tempo.

t =0

t

2t

3t

4t

h

4h

9h

16h

Corpos de massas diferentes percorrem a

mesma distância no mesmo tempo:

h = . a .t2

2

1

A Terra exerce em todas as massas a

mesma aceleração. Essa aceleração é

chamada de aceleração da gravidade (g).

0v0

A análise da fotografia mostrada ao lado, é uma das maneiras

usadas para medir a aceleração da gravidade num certo local.

Medimos as distâncias percorridas em instantes diferentes e, usando

a função horária para a distância, poderemos determinar a

aceleração (g)

A aceleração da gravidade varia com a altitude e a latitude:

Altitude (km)

0 9,81

20 9,75

40 9,69

60 9,63

80 9,57

100 9,51

200 9,22

Latitude (graus)

O 9,780

20 9,786

40 9,802

60 9,819

80 9,831

90 9,832

Variação com altitude ( numa

latitude de 45 graus)

)s/m(g 2

Variação com latitude ( ao nível do

mar)

)s/m(g 2

Considera-se um valor médio para a aceleração da gravidade:

2s/m8,9g

As equações usadas em queda livre, são as mesmas de MUV, considerando-se que a

aceleração é constante e igual a aceleração da gravidade (g)

d = v0 t ± at2

2

1

d.a.2vv 2

0

2

v = ± a.t 0v v = ± g.t 0v

h = v0 t ± g t2

2

1

h.g.2vv 2

0

2

Bola jogada

para cima

Para cima:

diminuindo v

Bola para na

altura máxima

Para baixo

v aumenta

Na descida a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal. O movimento é acelerado:

v = + g.t 0v h = v0 t + g t2

2

1 h.g.2vv 2

0

2

Na subida velocidade e a aceleração têm o sinais contrários. O movimento é retardado:

v = - g.t 0v h = v0 t - g t2

2

1 h.g.2vv 2

0

2

16h

GRÁFICO h x t

h

4h

9h

Altura

Tempo0 t 2t 3t

A

B

Inclinação da tangente à curva velocidade

AB vv

t =0

t

2t

3t

4t

h

4h

9h

0v0

3t

2t

t

t =0

GRÁFICO h x t Altura

0v

4t

V =0

Tempo0 t 2t 3t

A

B

Inclinação da tangente à curva velocidade

AB vv

t =0

t

4h

h

9h

0v0

16h

25h

3t

5h

7h

9h

2t

3t

4t

5t

GRÁFICO V x t

0

V

t 2t 3t 4t 5t tempo

v

t

Inclinação = tg = acel. gravidade

v

t

Área sob o gráfico = distância