0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
MOVIMENTO VARIADO
No movimento abaixo, o corpo percorre distâncias cada vez maiores, no mesmo tempo.
Isso só acontece porque a velocidade aumenta de valor com o decorrer do tempo.
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
Agora o corpo percorre distâncias cada vez menores, no mesmo tempo.
Isso só acontece porque a velocidade diminui de valor com o decorrer do tempo.
Um movimento é acelerado, quando a velocidade aumenta de valor com o decorrer
do tempo. Um movimento é retardado, quando a velocidade diminui de valor com o
decorrer do tempo.
Sempre que um corpo sofre uma mudança de velocidade, dizemos que ele recebeu
uma aceleração.
aceleração = variação da velocidade
Intervalo de tempo decorrido
ou
t
Va
A unidade de aceleração, no Sistema internacional, é 2s/m
t=1s t=2s
02
8
18
32x(m)
2m6m
10m14m2 + 4
6 + 410 + 4
t=0t=3s
t=4sv0=04 m/s
8 m/s12 m/s
16 m/s
a = 4 m/s2
No movimento abaixo, sempre no mesmo intervalo de tempo (1 s) a velocidade sofre a
mesma variação (4 m/s)
A velocidade apresenta a mesma variação no mesmo intervalo de tempo. Logo, a
aceleração é constante.
Um movimento é uniformemente variado (MUV),quando a aceleração é constante.
Nesses movimentos a velocidade aumenta ou diminui com a mesma rapidez.
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
5m/s
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
10m/s 15m/s 20m/s
Quando a velocidade aumenta uniformemente, o movimento é uniformemente
acelerado
Para que isso ocorra, a velocidade e a aceleração devem apresentar o mesmo sentido, ouseja, o mesmo sinal.
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
5m/s
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
10m/s 15m/s 20m/s
a a a a
Quando a velocidade diminui uniformemente, o movimento é uniformemente retardado.
Para que isso ocorra, a velocidade e a aceleração devem apresentar sentidos contrários, ouseja, sinais contrários.
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
20 m/s 15 m/s 10 m/s 50 m/s
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
5m/s
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
10m/s 15m/s 20m/s
a a aa a a
t
vv
0t
vv
t
Va 00
t = 0 t
Chamamos de velocidade inicial ( ) a velocidade do corpo no instante em que iniciamos aobservação de seu movimento ( t = 0).
0v
Logo: V = ± a.t 0v
Quando o movimento é acelerado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam o mesmo sinal: Quando o movimento é retardado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam sinais contrários:
V = + a.t 0v
V = - a.t 0v
O sinal da aceleração e da velocidade dependedo sistema de referência que iremos adotar.
0V V
Como a velocidade varia linearmente com o tempo, o gráfico V x t é uma reta inclinada:
t (s)
v (m/s)
v
tt0
v0
tg a=
a inclinação da reta, nos
fornece a aceleração
t (s)
v (m/s)
t0
v0
v
t
00 tt.
2
vv
A área sob o gráfico Vxt fornece a distância:
A = ( t - ) +0v 0t
d = v0 (t t0) + a (t t0)2
2
1
d = v0 Δ t ± a Δt2
2
1
(Função horária para a distância)
Como: d = x - 0x
x = + v0 . Δ t ± a. Δt2
2
10x
(Função horária para a posição)
Quando o movimento é acelerado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam omesmo sinal.
Quando o movimento é retardado, a velocidade inicial e a aceleração apresentamsinais contrários.
d = v0 Δ t ± a Δt2
2
1 x = + v0 . Δ t ± a. Δt2
2
10x
d = v0 Δ t + a Δt2
2
1 x = + v0 . Δ t + a. Δt2
2
10x
d = v0 Δ t - a Δt2
2
1x = + v0 . Δ t - a. Δt2
2
10x
Podemos relacionar a velocidade do corpo com a distância percorrida por ele :
a
vvt 0 (1)
d = v0 Δ t ± a Δt2
2
1(2)
Substituindo (1) em (2):
2
000
a
vv.a.
2
1
a
)vv(.vd
Simplificando:
d.a.2vv 2
0
2
Essa é a única equação de MUV que não depende do tempo. Quando o movimento é acelerado, a velocidade inicial e a aceleração apresentam omesmo sinal. Quando o movimento é retardado, a velocidade inicial e a aceleração apresentamsinais contrários.
PROPRIEDADES NOS GRÁFICOS DE MRUV
1º: Velocidade x Tempo
Velocidade e aceleração com sinais iguais = movimento acelerado
Velocidade e aceleração com sinais diferentes = movimento retardado
2º: Posição x Tempo
Concavidade voltada para cima = aceleração positiva
Concavidade voltada para baixo = aceleração negativa
ARISTÓTELES E A QUEDA DOS CORPOS
Há 300 anos antes de Cristo, Aristóteles acreditava que, se um corpo leve e outro
pesado fossem abandonados de uma mesma altura, o corpo mais pesado alcançaria
o solo ante do mais leve.
Com isso acreditava-se que a queda de um corpo dependia da sua massa.
Achava-se que a diferença de queda era devido ao fato da Terra acelerar
massas diferentes com intensidade diferentes. A diferença na queda era
devido à Terra.
Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou as hipóteses
de Aristóteles de que a queda dos corpos dependia da massa do corpo em queda.
Usando experimentos, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade,
independentemente de sua massa.
a resistência do ar atua de maneira bem diferente
nos dois corpos.
a resistência do ar atua praticamente da mesma maneira nos dois corpos.
O ar exerce um efeito que retarda a queda de qualquer corpo. Mas esse efeito é diferente emcorpos diferentes. Numa folha de papel o efeito retardador do ar é maior que numa bola dechumbo.
No ar um folha cai mais lentamente que uma pedra. No vácuo, caem com a mesma
rapidez. É o ar que causa diferença na queda dos corpos e não a Terra.
Quando o corpo é solto próximo à superfície da Terra, o movimento de queda é
acelerado. Quando um corpo é lançado para cima, próximo à superfície da Terra, o
movimento de subida é retardado. São movimentos submetidos a uma aceleração
exercida pela Terra. Essa aceleração é a mesma para todos os corpos.
Observe as experiências mostrada abaixo:
A afirmativa de Galileu de objetos soltos próximos à Terra caem simultaneamente, só é
válida no vácuo ou quando a ação do ar for desprezível.
Chamamos de queda livre ao movimento de queda dos corpos no vácuo ou no ar,
quando a ação do ar é desprezível.
O efeito retardador do ar na queda de uma pedra é pequeno, já na queda de uma pena
é enorme. A pedra cai aproximadamente em queda livre, a pena não executa uma
queda livre.
fio inextensível
e sem massa
massa
pendular
A figura representa um
pêndulo simples:
Galileu descobriu que o tempo de oscilação é o mesmo para uma massa pendular
grande ou pequena. Assim, a Terra estaria acelerando duas massas diferentes com a
mesma intensidade. Ele desconfiou que isso também deveria ocorrer na queda livre.
Resolveu fazer medidas para comprovar. Mas como a queda livre é um movimento
rápido, não conseguia medir o tempo de queda dos corpos. Pensou, então, num plano
inclinado.
A massa pendular oscila por ser atraída pela Terra. O movimento de oscilação de um
pêndulo e a queda livre são movimentos que apresentam a mesma causa: a atração da
Terra.
Um corpo desce um plano inclinado devido a atração da Terra. O movimento num plano
inclinado tem a mesma causa da queda livre: atração terrestre. A queda vertical é um
caso extremo de plano inclinado. O plano inclinado e a queda vertical deveriam
obedecer as mesmas leis:
Como o movimento de descida num plano inclinado é mais lento, Galileu resolveu
estudar a descida de corpos num plano inclinado. Já que o movimento tinha a mesma
causa da queda livre, ele poderia extrapolar os resultados obtidos para a queda de
corpos.
MEDIDAS EM PLANOS INCLINADOS
t = 0 t
2t
3t
4t d
4d
9d
16d
0v0
2td d = v0 t ± a t2
2
1d = . a .t2
2
1
0
O movimento num plano inclinado é um MUV pois a distância varia com o
quadrado do tempo.
0v0
t =0
t
2t
3t
4t
h
4h
9h
16h
Na queda livre
2th
h = v0 . t ± a t2
2
1
h = . a .t2
2
1
0
O movimento de queda livre é um MUV pois a
distância varia com o quadrado do tempo.
t =0
t
2t
3t
4t
h
4h
9h
16h
Corpos de massas diferentes percorrem a
mesma distância no mesmo tempo:
h = . a .t2
2
1
A Terra exerce em todas as massas a
mesma aceleração. Essa aceleração é
chamada de aceleração da gravidade (g).
0v0
A análise da fotografia mostrada ao lado, é uma das maneiras
usadas para medir a aceleração da gravidade num certo local.
Medimos as distâncias percorridas em instantes diferentes e, usando
a função horária para a distância, poderemos determinar a
aceleração (g)
A aceleração da gravidade varia com a altitude e a latitude:
Altitude (km)
0 9,81
20 9,75
40 9,69
60 9,63
80 9,57
100 9,51
200 9,22
Latitude (graus)
O 9,780
20 9,786
40 9,802
60 9,819
80 9,831
90 9,832
Variação com altitude ( numa
latitude de 45 graus)
)s/m(g 2
Variação com latitude ( ao nível do
mar)
)s/m(g 2
Considera-se um valor médio para a aceleração da gravidade:
2s/m8,9g
As equações usadas em queda livre, são as mesmas de MUV, considerando-se que a
aceleração é constante e igual a aceleração da gravidade (g)
d = v0 t ± at2
2
1
d.a.2vv 2
0
2
v = ± a.t 0v v = ± g.t 0v
h = v0 t ± g t2
2
1
h.g.2vv 2
0
2
Bola jogada
para cima
Para cima:
diminuindo v
Bola para na
altura máxima
Para baixo
v aumenta
Na descida a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal. O movimento é acelerado:
v = + g.t 0v h = v0 t + g t2
2
1 h.g.2vv 2
0
2
Na subida velocidade e a aceleração têm o sinais contrários. O movimento é retardado:
v = - g.t 0v h = v0 t - g t2
2
1 h.g.2vv 2
0
2
16h
GRÁFICO h x t
h
4h
9h
Altura
Tempo0 t 2t 3t
A
B
Inclinação da tangente à curva velocidade
AB vv
t =0
t
2t
3t
4t
h
4h
9h
0v0
3t
2t
t
t =0
GRÁFICO h x t Altura
0v
4t
V =0
Tempo0 t 2t 3t
A
B
Inclinação da tangente à curva velocidade
AB vv
t =0
t
4h
h
9h
0v0
16h
25h
3t
5h
7h
9h
2t
3t
4t
5t
GRÁFICO V x t
0
V
t 2t 3t 4t 5t tempo
v
t
Inclinação = tg = acel. gravidade
v
t
Área sob o gráfico = distância
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