Movimentos de satélites geoestacionários: características ...
Transcript of Movimentos de satélites geoestacionários: características ...
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
88
v
v
a
a
Movimentos de satélites geoestacionários: características e aplicações destes satélites
1 O raio da Terra é 6 400 km. Quantas vezes é que o raio da órbita de um satélite geoestacionário é maior que o raio da Terra?
2 Aórbitadafiguraacimaestáàescala?Fundamentearesposta.
3 QuantosminutosdemoraumsatélitegeoestacionárioadaravoltaàTerra?Equantossegundos? Compare esses valores com a duração de um dia terrestre.
SeestesatélitederumavoltaàTerraem24h(exactamente o mesmo tempo que a Terra demora a dar uma volta completa em torno do seu eixo de rotação), o satélite é visto da Terra como estando sempre no mesmo ponto do espaço.
Num movimento circular uniforme, a magnitude da velocidade é constante mas a direcção da velocidade está permanentemente a variar. A aceleração aponta para o centro da trajectória (é centrípeta).
Pólo NorteEuropa
Esteânguloédescrito pelo raio da órbita do satélite e pelo raio da Terra exactamente no mesmo intervalo de tempo...
As órbitas geoestacionárias estão no plano do equador.
Um dos tipos de movimento mais importantes é o movimento
circular com rapidez constante.Esseéotipodemovi-
mento de, por exemplo, a maioria dos satélites artificiais da
Terra.
Num movimento deste tipo, a magnitude da velocidade é
constante ou uniforme. Diz-se que é um movimento circular
uniforme. Mas, note-se, a velocidade, que é uma grandeza
vectorial,tangenteàtrajectória,está permanentemente
a variar em direcção.Nomovimentocircularuniformehá,
pois, aceleração, apesar da magnitude da velocidade não va-
riar. A aceleração no movimento circular uniforme aponta para
o centro da trajectória, e é tanto maior quanto mais rápido for
o movimento circular. Diz-se que a aceleração é centrípeta.
Como veremos adiante, é possível calcular a magnitude desta
aceleraçãocentrípeta,conhecendoavelocidadeeoraioda
trajectória circular.
Há centenas de satélites que têm um movimento circular
com uma velocidade tal que faz com que estejam sempre por
cima do mesmo ponto da Terra.Essessatélitesdãoumavolta
completaàTerraem24h,exactamenteotempoqueaTerra
demora a dar uma volta em torno do seu eixo de rotação.
Assim, são vistos do mesmo local da Terra no mesmo ponto
do céu. São, por isso, designados por satélites geoestacio‑
nários. A órbita desses satélites está no plano do equador.
As órbitas dos satélites geoestacionários (ou órbitas geo‑
estacionárias)têmumraiode42200kmesãoutilizadas
para satélites de comunicações, apesar de estarem tão longe
e terem tempos de lactência (isto é, atrasos na comunicação)
relativamente grandes (cerca de 0,5 segundos). Sendo vistos
sempre no mesmo ponto do espaço, as antenas na Terra po-
dem apontar apenas para esse ponto (daí o serem muito utili-
zados como satélites de comunicações).
As órbitas geoestacionárias são um caso particular das ór‑
bitas geosíncronas, isto é, órbitas em que o movimento do
satéliteétalquenamesmahoradecadadiaévistodaTerra
exactamente na mesma posição do céu. As órbitas dos satéli-
tes do sistema GPS são semi‑geosíncronas: têm um período
orbitalde12h,aparecendonomesmopontodocéu,vistosda
Terra, duas vezes por dia. O raio destas órbitas semi-geosín-
cronasé26600km.
89
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
v
v
a
a
Velocidade angular no movimento circular uniforme
1 Osgira-discosantigostinhamumavelocidadeangularde33rpm(rotaçõesporminuto).Qualé a velocidade angular destes gira-discos, em graus por segundo?
2 Qualéavelocidadeangular,emgrausporsegundo,daEstaçãoEspacialInternacional,quecompleta 15,77 órbitas num dia, numa órbita aproximadamente circular a uma altitude de cerca de 400 km?
A roda gigante de Londres (London Eye)demora30minadaruma volta completa. Qual é a velocidade angular da roda, em grausporminutos?Eemgrausporsegundo?
Quer um satélite geoestacionário quer a
Terradescrevemumavoltade360ºem24
h.Portanto,podemosdizerqueoraiodaór-
bita do satélite e o raio da Terra rodam com
umarapidezde15gausporhora:
360º
15º /h24h
Estagrandezafísicaquedescrevearapi-
dez com que um objecto roda é designada
por velocidade angular. (Nota: em rigor,
a velocidade angular também é um vector
peloque15º/hrepresentaapenasamagni-
tude da velocidade angular da Terra e do raio
da órbita do satélite. A velocidade angular
aponta numa direcção perpendicular ao plano
de rotação.)
A velocidade angular, que se representa
pela letra grega ómega, , pode ser facil-
mentecalculadaconhecendooperíodoT de
rotação (tempo que demora uma volta com-
pleta), para uma rotação uniforme:
360º
= T
Por exemplo, se o período for 10 s, a ve-
locidade angular é
360º/10s=36º/s.
Já a velocidade angular de um satélite
geoestacionário (e a da Terra!) vale, em
graus por segundo, tendo em conta que um
diatem24h,que1horatem60minutose
que 1 minuto tem 60 s:
para uma voltacompleta, tem-se
ângulo descrito pelo raio da trajectória da partículavelocidade angular
intervalo de tempo decorrido=
tq
w =D
360ºT
w =
=´ ´
= = ´ -36024 60 60
0 0042 4 2 10 3º( )
, , º s
º/s /s
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
90
O grau, ou seja a fracção 1/360 de uma volta completa,
éumaunidadeconvencionalenãoéaunidadedeângulodo
SistemaInternacionaldeUnidades(SI).(Arazãopelaqualuma
voltacompletasão360ºtemavercomofactodenaAntiguidade
seterconsideradoqueaTerrademorava360diasadaruma
volta completa ao Sol).
A unidade SI de ângulo é o radiano. Um radiano (1 rad) é
oânguloquecorrespondeaumarcoemqueocomprimentodo
arco é igual ao comprimento do respectivo raio.
Assim,umângulode2radianos(2rad)éumângulocujoarco
temumcomprimentoqueéodobrodorespectivoraio.Eumân-
gulode3radéumângulocujocomprimentodoarcoéotriplodo
comprimento do raio.
O comprimento do arco que corresponde a uma volta completa
é igual ao perímetro da circunferência. O perímetro vale
2×3,14159...×raio=2×p×raio=6,28318...×r 6,28r
Logo,oarcodavoltacompletaé6,28vezesmaiorqueoraio
dacircunferência(emrigor,2pvezesmaior).E,portanto,o ân‑
gulo correspondente a um volta completa vale 6,28 radia‑
nos.
Equantos graus vale um radiano?Simples:se360ºsão
6,28rad,então1radsão57,3º:
3606 28
57 3º
,, º=
Umraioquerodeàrapidezde1radianoporsegundo,1rad/s
(=57,3º/s),dáumavoltacompletaem6,28s.Esedemorar
10 s a dar a volta completa, roda com uma rapidez de
6 2810
0 628,
, rad s
rad/s=
Massedemorar12s,arapidezderotação,queé,emgraus/s,
= =
36030
ºº /
12ss
vale,emrad/s:
p =
rad s
rad s
rad/s212
6 2812
0 524= =, ...
,
EmunidadesSI(rad/s),paramovimentosuniformes,aveloci-
dade angular pode ser calculada a partir da equação
2T
ângulode1radiano:ocomprimento do arco é igual ao comprimento do raio
ângulode2radianos:ocomprimento do arco é igual ao dobro do comprimento do raio
ângulode3radianos:ocomprimento do arco é igual ao triplo do comprimento do raio
Uma volta completa corresponde aumarotaçãode6,28radianos=2p radianos. Eumarotaçãodemeiavoltaa3,14rad=p rad. Eumarotaçãode1/4devoltaa1,57 rad = p/2rad.
Velocidade angular em graus por segundo e em radianos por segundo
91
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
y
1 Qualé,emradianos,oângulodescritopeloraiodaórbitadeumsatélitegeoestacionárioem24h?
2 Avelocidadeangulardeumsatélitegeoestacionáriovale,emunidadesSI,
=
´´ ´( )
2 3 1415924 60 60
, rads
Fundamenteaescritadestaequaçãoeobtenhaovalordavelocidadeangular.
3 Qualé,emradianos,oângulodescritopeloraiodaórbitadeumsatélitedosistemaGPSem24h,tendoemcontaqueoseuperíodoéde12h.
4 CalculeavelocidadeangulardeumsatélitedosistemaGPS,emunidadesSI.
Observe a foto abaixo e os dados da legenda.
5 QualéavelocidadeangulardaEstaçãoEspacialInternacional?
6 QualéoraiodaórbitadaEstaçãoEspacial?TenhaemcontaqueoraiodaTerravale6400km.
7 QualéadistânciapercorridapelaEstaçãoEspacialnumavoltacompleta?
DesenhodeartistarepresentandoaaproximaçãodanaveJúlioVerneàEstaçãoEspacialInternacional,queestánumaórbitaaproximadamente circular a baixa altitude (cerca de 400 km), com umavelocidadede28000km/hecomumperíodode1,5h.
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
92
Movimento circular com velocidade de módulo constante e características das órbitas dos satélites geoestacionários
O movimento circular uniforme, seja de um satélite seja de qual-
quer outro objecto, é um movimento com aceleração centrípeta
constante e, portanto, de acordo com a lei fundamental do movi-
mento, com resultante das forças constante, dirigida para o cen-
tro da trajectória.
Neste tipo de movimentos, a velocidade v tem módulo ou
magnitude constante que é dada pelo quociente entre o compri-
mento da trajectória circular e o intervalo de tempo respectivo,
v
rT
=´ ´2 p
onde r é o raio da trajectória e T o período do movimento circular
(tempo que demora uma volta completa).
Por outro lado, vimos que a velocidade angular num movi-
mentocircularé,emunidadesSI,dadapor
2T
Combinando esta equação com a anterior, vem, para a magni-
tude da velocidade v:
vr
T
vT
r
v r
=´ ´
=´
´
= ´
2
2
p
p
E,comosemostranapáginaaolado,aaceleraçãocentrí-
peta a é é dada por
a
vr
=2
Substituindo o valor de v, obtém-se:
ar
r
ar
r
a r
=´( )
=´
= ´
2
2 2
2
Estaúltimaequaçãomostraque:
• a aceleração centrípeta a é directamente proporcional ao
raio r da trajectória, mantendo constante a velocidade an-
gular .
• a aceleração centrípeta a é proporcional ao quadrado da
velocidade angular, 2, mantendo constante o raio r da tra-
jectória (ou seja, duplicando a velocidade angular , qua-
driplica a aceleração centrípeta a; triplicando , aumenta
nove vezes a aceleração centrípeta a; etc.).
v
a
2 rv
Tp
=
2va
r=
comprimento de uma circunferência:
intervalo de tempo deuma volta completa:
ângulo descrito numa volta completa, em radianos:
velocidade angular, emradianos por segundo:
velocidade (também designada por “velocidade linear”):
aceleração centrípeta:
T
raio r
2 rp
2 p
2Tp
w =
2a rw=
93
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
A
r r r r
v
v
B
A B
Av
Av
Bv
Bv
s
distância s entre A e Bno intervalo de tempo t
va
tD
»D
AB s v t» » ´D
v sv r
D=
v v tv r
D ´D=
v v vt r
D ´=
D
2va
r=
2va
r=
vD
vD
A amarelo, dois triângulos semelhantes porque têm lados perpendiculares dois a dois. Entre triângulos semel-hantes, os respectivos lados são proporcionais entre si.
Tendo em conta que a distância percorrida entre A e B é o produto da velocidade pelo tempo decorrido, vem:
Simplificando, e tendo em conta que a aceleração num instante qualquer da trajectória é o quociente entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo respectivo,quando esse intervalo de tempo é “muito pequeno”, vem:
Como calcular a magnitude da aceleração centrípeta, a, num movimento circular uniforme?
B
O esquema acima mostra como se pode demonstrar que a aceleração centrípeta a num movimento circular uniforme é dada por a = v2/r em que v é a magnitude da velocidade e r é o raio da trajectória.
1 Aórbitadeumsatélitegeoestacionáriotemumraiode42200km.Aaceleraçãoa de um satélitegeoestacionário,emunidadesSI,podeserdeterminadapor:
a =
´ ´ ´´ ´
æ
è
ççççç
ö
ø
÷÷÷÷÷
´
2 3 14159 42 200 1024 60 60
42 200 10
3 2
3
,
Fundamenteaequaçãoanterioreobtenhaovalordea.
2 Paraondeapontaaaceleraçãodeumsatélitegeoestacionário?Eparaondeapontaaforçagravítica no satélite? Qual destas grandezas, aceleração ou força gravítica, depende da massa dosatélite?Fundamentearesposta.
3 Será possível colocar um satélite geoestacionário numa órbita de raio inferior ou superior a 42200km?Fundamentearesposta.
4 AórbitadeumsatélitedosistemaGPStemumraiode26200kmeperíodoorbitalde12h.CalculeaaceleraçãodeumsatélitedosistemaGPSemunidadesSI.
5 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma órbitaderaio2r,comomesmoperíodo.Qualtemmaiorvelocidadeangular?Fundamentearesposta, utilizando um esquema e as equações adequadas.
6 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma órbitaderaio2r,comomesmoperíodo.Qualtemmaioraceleração?Fundamentearesposta,utilizando um esquema e as equações adequadas.
7 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, ambas com o mesmo raio r, mas o período de um é o dobro do período do outro. Relacione a velocidade angular e a aceleração dos dois satélites, fundamentando a resposta, utilizando esquemas e as equações adequadas.
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
94
O esquema abaixo mostra como se pode deduzir teoricamente a equação que permite calcular o raio da órbita dos satélites geoestacionários, a partir da lei da Gravitação Universal, da lei fundamental do movimento e das equações do movimento circular uniforme.
Tenhaemcontaque:
• amassadaTerravale5,97×1024 kg;
• a constante de gravitação universal, G,vale6,67×10-11(emunidadesSI);
• o raio da Terra são 6 400 km;
• e, claro, não se esqueça do período dos satélites geoestacionários...
1 Qual é a equação que permite calcular o raio da órbita de um satélite geoestacionário?
2 Verifiquequeoraiodessaórbitaédadopor
r = ´´
´´ ´
æ
èççç
ö
ø÷÷÷÷
-6 67 105 97 10
2 3 1415924 60 60
1124
23,
,
,
e calcule o respectivo valor em metros e em quilómetros.
3 Fundamenteosvaloresutilizadosnaequaçãoanterior.
4 Qualéaaltitudedossatélitesgeoestacionários?Odesenhoabaixoestáàescala?Fundamentea resposta.
5 Descreva resumidamente os passos da dedução teórica da equação que permite calcular o raio da órbita dos satélites geoestacionários.
Pólo Norte
Europa
v a
gF
T Sg 2
m mF G
r
´=
T Sg 2
m mF G
r
´=
SF m a= ´
massa do satélite, ms
massa da Terra, mT
2a rw= ´
força gravítica, a única força no satélite
pela lei fundamental do movimento, tem-se, para o satélite:
tendo em conta a lei da Gravitação Universal,
e a equação da aceleraçãocentrípeta, vem:
simplificando e resolvendo em ordem ao raio r:
raio r
2S T
S 2
m mvm G
r r
´=
( )
2S T
S
2 T
2T
2 T
2 2 T
3 T2
T32
1
2
m mvm G
rm
v Gr
mrG
T r
mr G
rm
r Gr
mr G
mr G
p
w
w
w
w
´=
=
æ ö÷ç =÷ç ÷ç ÷è ø
=
=
=
=
95
OK Necessito de rever esta página... Necessito de apoio para compreender esta página...
6 Calcule a velocidade dos satélites geoestacionários.
7 Qualéoânguloentreavelocidadedossatélitesgeoestacionárioseoraiodatrajectória?Fundamentearesposta.
8 Calcule a aceleração dos satélites geoestacionários.
9 Qualéoânguloentreaaceleraçãodossatélitesgeoestacionárioseoraiodatrajectória?Fundamentearesposta.
10Aaceleraçãodossatélitesgeoestacionáriosdependedamassadosatélite?Fundamentearesposta.
11Qualéarazãoporqueseutilizamórbitasgeoestacionáriasnossatélitesdecomunicações?Eque desvantagem apresentam essas órbitas?
A ideia da utilização de órbitas geoestacionáriasfoipublicadaem1928peloengenheiroeslovenoHermanPotocnik, pioneiro da astronáutica. Mais tarde, em 1945, foram popularizadas pelo escritor de divulgação científica ArthurC.Clarke,recentementefalecido,autordeinúmerosromancesdeficçãocientífica e de diversos programas de televisão. As órbitas geoestacionárias sãotambémconhecidascomoórbitasdeClarke,emsuahomenagem.