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Máquinas Elétricas 1

Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

[email protected]

Capítulo 2 – Transformadores Monofásicos

Sumário

Sumário do capítulo

Introdução

O Transformador Ideal

O Transformadores Real

O Autotransformador

Sistema Por Unidade

O Transformador de Alta Frequência

Exercícios

Referências

Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1

2

Sumário

Observações

Estes slides foram preparados como parte do conteúdo da disciplina de

Máquinas Elétricas 1 dos cursos de Engenharia Elétrica e Engenharia de

Controle e Automação da UTFPR, campus Curitiba.

Esperamos que estes slides possam servir também como uma pequena

apostila, além de material a ser exibido em sala de aula. Daí a maior

quantidade de texto em relação a slides convencionais.

Todas as ilustrações, exceto menção em contrário, foram confeccionadas

pelo autor por meio do GIMP 2.8.18, GNU Image Manipulation Program.

As fotografias foram pesquisadas por meio do Google e, quando a fonte

não foi encontrada, foram consideradas de domínio comum. Caso não

seja este o caso, basta entrar em contato e solicitar a retirada.

E-mail: [email protected].


3

mailto:[email protected]

Introdução4

Sumário

Transformadores

Transformadores (ou “Trafos”, na gíria da Engenharia Elétrica brasileira) são circuitos elétricos que transferem energia eletromagnética entre dois ou mais circuitos por meio de indução eletromagnética, possibilitando o aumento ou a redução de tensão.

Faraday descobriu o princípio da indução de pulsos de tensão entre dois enrolamentos em 1830. Contudo, ele não percebeu que havia uma relação entre o número de espiras do primário e do secundário e as tensões do primário e do secundário, respectivamente.

Um dos primeiros pesquisadores a perceber a relação entre espiras e tensões foi o irlandês Nicholas Callan (1799-1864). Em 1837, usando um relógio para interromper a corrente 20 vezes por segundo, Callan, produziu faíscas de 380mm, uma tensão estimada de 60kV.


5

Sumário

Aplicações dos Transformadores

Adequar os níveis de tensão em sistemas de geração, transmissão e

distribuição de energia elétrica.

Isolar eletricamente o circuito de potência principal dos sistemas de

proteção, medição e controle.

Realizar casamentos de impedância, maximizando a transferência de

potência entre dois circuitos.

Evitar a transferência de corrente contínua de um circuito para o outro.

Alimentar equipamentos de baixa tensão a partir de tomadas de média

tensão (380/220/110 V).

Realizar medições de tensão e corrente.


6

Sumário

Alguns Tipos de Transformadores


7

Figura (2.1)

Sumário

Transformadores de

Força

São transformadores para geração,

transmissão e distribuição de energia

em concessionárias e subestações de grandes indústrias, incluindo aplicações

especiais como fornos de indução,

fornos a arco e retificadores.

Potência: 5 MVA a 300 MVA.

Tensões: as tensões mais comuns no

Brasil vão de 230 kV a 500 kV. Uma

exceção é uma das linhas AC da UHE

Itaipu, que transmite em 750 kV.

Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 8

Fonte: WEG

Sumário

Sumário

Transformadores de

Distribuição

São transformadores para distribuição

de energia ao consumidor final

(concessionárias de energia, cooperativas, instaladoras e empresas

de modo geral).

Potência: 30 kVA a 300 kVA.

Alta tensão: 13,8 kV a 25 kV.

Baixa tensão: 380/220 V ou 220/127 V.

9


Sumário

Autotransformadores

São transformadores cujos enrolamentos, além de

acoplados magneticamente, são também aco-

plados eletricamente.

Se o isolamento elétrico não for necessário e se, além

disso, tensões variáveis forem necessárias, o auto-

transformador é o mais indicado.

Por causa do acoplamento elétrico, o rendimento e a

regulação do autotransformador são maiores.

Um autotransformador de baixa potência bastante

conhecido é o Varivolt.

Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 10 Sumário

Sumário

Autotransformadores

de Potência

Autotransformadores trifásicos podem operar

em potências que vão até algumas centenas

de kVA. A grande vantagem é o tap variável, que per-mite o controle de tensão sob carga

variável.

Exemplos desse tipo de transformador

encontram-se na subestação de 765/500/345 kV Tijuco Preto e na subestação de 500/345 kV

de Ibiúna, ambas pertencentes a Furnas.

O autotransformador da fotografia ao lado foi

construído pela Ningbo Tianan Group, uma empresa chinesa.


Fonte: Ningbo Tianan Group, China

Sumário

Transformadores de Potencial (TPs)

Os TPs são transformadores de medição de alta tensão usados em conjunto com os TCs. São conectados em paralelo com o circuito medido, interferindo minimamente no funcionamento deste.

O primário do TP é conectado ao circuito de alta tensão a ser medido e o secundário é conectado a um voltímetro.

A razão entre a tensão do primário e a tensão do secundário é uma constante denominada “razão de transformação” e é determinada pelo fabricante.


12

Sumário

Transformadores de Corrente

(TCs)

TCs de alta tensão são usados em subestações para

medição de corrente e proteção.

Também existem TCs de baixa tensão, usados para

monitoramento do consumo de energia em residências

e outras instalações do mesmo tipo.

O primário dos TCs é geralmente um só condutor e o

secundário é um bobina envolvente.

Amperímetros do tipo alicate, que permitem a medição

de correntes sem interrupção do circuito, também

operam com base nesse princípio.


13

Sumário

Transformadores de Pulso

Enquanto os transformadores convencionais operam com ondas senoidais, os transformadores de pulso operam com ondas descontínuas, e.g., ondas quadradas.

A principal característica destes transformadores é reproduzir o mais adequadamente possível em seu secundário o sinal injetado no primário, o que requer elevada permeabilidade e indutância de dispersão reduzida, assim como capacitância entre espiras.

De modo a evitar a distorção dos pulsos, estes transformadores operam somente na região linear da curva de magnetização.


Sumário

Transformadores de

Pulso de Alta Potência

Transformadores de pulso são também

usados na área de alta potência e alta

frequência.

Estes transformadores podem usados

para acoplar a saída de geradores AC

com a entrada de retificadores, por

exemplo. Outras aplicações envolvem aceleradores de partículas e a geração

de pulsos para radar.

A fotografia ao lado mostra um

transformador de pulso de 12,5 MVA para uso em 33 kV.


Fonte: Tianan China

Sumário

Transformadores de

Áudio (AF)

Os transformadores de áudio operam em

banda larga, em frequências que vão de

20Hz até 20kHz, e são usados para

adequar a saída de alta impedância dos

amplificadores de áudio com a entrada

de baixa impedância dos alto falantes.

Esses transformadores foram essenciais na

época dos amplificadores valvulados, mas

ainda são produzidos para uma série de

funções, como no caso de amplificadores

que devem alimentar simultaneamente

dois ou mais alto falantes de impedâncias

diferentes, por exemplo.


16

Sumário

Transformadores de Alta Frequência (RF)

As aplicações de transformadores de RF incluem o

casamento de impedâncias, o isolamento de compo-

nentes DC de sinais AC e o interfaceamento entre

circuitos balanceados e circuitos desbalanceados, como

no caso de amplificadores de alta frequência.

O núcleo destes transformadores não pode ser o aço

silício, por causa da permeabilidade reduzida deste

material em frequências elevadas. Materiais como ferrite,

permalloy ou SMC (Soft Magnetic Composite) são então

utilizados.

Os transformadores de RF são de banda larga, como os

transformadores de áudio, mas, ao contrário destes,

podem operar em frequências que vão de alguns kHz

até mais de 1,0 GHz.


Fonte: BCE

componentes

eletrônicos

O Transformador Ideal18

Sumário

O Transformador Ideal

Um transformador ideal é aquele que não apresenta perdas no cobre, no ferro, dispersão de fluxo ou quaisquer outros tipos de perdas.

Um transformador é ilustrado ao lado, com uma fonte AC colocada no primário e uma carga no secundário.

As grandezas indicadas por 1pertencem ao primário e as indicadas por 2 pertencem ao secundário.


Figura (2.2)

Sumário

Sumário

Notação

A notação que iremos utilizar daqui em diante é a seguinte:

Supondo que uma forma de onda seja senoidal de frequência w rad/s, podemos escrever, por exemplo:

onde q é um ângulo de defasamento medido a partir de uma referência.


20

𝑣, 𝑖: valores instantâneos.

𝑉𝑚, 𝐼𝑚: valores máximos.

𝑉, 𝐼: valores eficazes.

ሶ𝑉, ሶ𝐼: fasores.

𝑣 = 𝑉𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃 ,

Sumário

Fluxo Concatenado

O fluxo magnético que atravessa uma espira é conhecido como fluxo

concatenado com a espira (linkage flux). No caso de um enrolamento

formado por N espiras o fluxo concatenado pode ser escrito como:

Na relação acima devemos considerar que o fluxo concatenado com cada espira é levemente diferente do fluxo da espira vizinha e é muito

difícil estimar essa distribuição de fluxos.

Assim, na prática é mais comum usarmos a noção de fluxo concatenado

equivalente:


20

𝜆 =

𝑖=1

𝑁

𝜙𝑖

𝜆 = 𝑁𝜙 (2.1)

Sumário

Fluxos de Dispersão

O fluxo total em um enrolamento i pode ser escrito como:

Aqui fdi é o fluxo de dispersão do enrolamento i e o fluxo f pode ser

entendido como o fluxo mútuo entre os dois enrolamentos.

O fluxo de dispersão é pequeno quando comparado com o fluxo mútuo,

não mais de 7%.

O fluxo de dispersão não satura, de forma que este fluxo em um dado

enrolamento é proporcional à corrente neste enrolamento.


21

𝜙𝑖 = 𝜙𝑑𝑖 + 𝜙 (2.2)

Sumário

Equacionamento do Trafo Ideal (1)

Os valores instantâneos de fems e fluxos mútuos são escritos em função da

Lei de Faraday:

No transformador ideal os fluxos dispersos no primário e no secundário são

desprezíveis. Logo, teremos f1 = f2 = f. Assim:


22

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1

𝑑𝑡e 𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙2

𝑑𝑡

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙

𝑑𝑡e 𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙

𝑑𝑡ou

𝑣1𝑁1

=𝑣2𝑁2

Sumário


Supondo ainda que as fems sejam funções suaves do tempo, como

funções senoidais, a relação valerá também para os valores eficazes:

ou

onde k é denominada “relação de espiras” ou “relação de transformação”.


23

𝑉1𝑉2

=𝑁1𝑁2

= 𝑘 (2.3)

Sumário


Em qualquer transformador temos que:

No transformador ideal (sem perdas), vale também que:

Substituindo esta relação em (2.3), teremos que


24

𝑆1 = 𝑉1𝐼1 e 𝑆2 = 𝑉2𝐼2

𝑆1 = 𝑆2 ou 𝑉1𝐼1 = 𝑉2𝐼2

𝑉1𝑉2

=𝐼2𝐼1= 𝑘 (2.4)

Sumário


Unindo as relações (2.3) e (2.4) vem que

Da relação (2.3) vem também que:

Da relação (2.6) fica claro que a fmm e o fluxo magnético dentro do núcleo do

transformador ideal são nulos. Isso ocorre por causa da Lei de Lenz, que produz uma fem com sinal inverso ao do fluxo original (força contra-eletromotriz).


26

𝑁1𝐼1 = 𝑁2𝐼2 ou

𝑉1𝑉2

=𝑁1𝑁2

=𝐼2𝐼1= 𝑘 (2.5)

ℱ1 = ℱ2 (2.6)

Sumário

A Convenção do Ponto

Testes de polaridade permitem

determinar em qual terminal do

secundário será induzida uma tensão

positiva a partir de uma tensão positiva

aplicada em um terminal do primário.

Na notação de circuitos os pontos são

colocados nos terminas das bobinas

que tenham tensão positiva. Isso signi-

fica que um fluxo mútuo variável atra-

vés das duas bobinas produz tensões

induzidas em fase:


28

Figura (2.3)

ሶ𝐸1 = ሶ𝐸2

O Transformador Real29

Sumário

Transformadores Elevadores

As relações (2.3) e (2.4) permitem entender porque é

necessário elevar as tensões antes de transmitir a po-

tência a longas distâncias. Seja, por exemplo, uma subestação cujos dados básicos são os seguintes:

Gerador: 440 MVA, 13,8 kV.

Transformador: 13,8 kV/230 kV.

Resistência da Linha de transmissão: RTX=10 W.

As perdas ôhmicas na linha de transmissão são P=RTXI2

29


Sumário

Resultados

O fator de transformação é k=13,8 kV/230 kV=0,06.

A corrente no primário é 𝐼1 = Τ𝑆 3𝑉1 = 400 × 103/ 3 × 13,8 =16.735 A

Os demais resultados são mostrados na tabela abaixo.


30

Tipo I1 (A) I2 (A) Perdas (MW) Perdas (%)

Com

transformador

16.735 1.004 10,1 2,5%

Sem

transformador

16.735 16.735 2.800 700%

Sumário

Conclusão

Para manter as perdas em 2,5%, sem

usar transformador, seria necessário um

condutor com diâmetro 600 vezes maior do que os utilizados.

O uso dos transformadores, que só é

possível em corrente alternada, permite

reduzir as perdas.

Quando a linha de transmissão chega à

subestação de destino, transformadores

abaixadores fazem a operação inversa,

reduzindo as tensões a valores utilizáveis.

31


Sumário

Sistema de Geração, Transmissão e Distribuição

Um sistema de geração,

transmissão e distribuição de

energia elétrica é mostrado ao

lado.

Note que, no desenho, um

consumidor industrial é atendido

diretamente da linha de distribui-

ção, talvez 13,8 kV, 34,5 kV ou 69

kV.

Alguns poucos consumidores no

Brasil são atendidos diretamente

da transmissão, em 230 kV, por

exemplo.


Sumário

Perdas no Transformador Real

As perdas no transformador real são classificadas da seguinte forma:

Perdas sob carga (PL)

Perdas no cobre (PCu)

Perdas suplementares (Psup)

Perdas a vazio (Pf)

Perdas no Ferro ou no núcleo (“core”) (PC)

Perdas nos dielétricos (Pdi)

As perdas suplementares e nos dielétricos são muito menores do que

as perdas no cobre e no ferro, respectivamente, e são usualmente

desprezadas.


33

Sumário

Perdas no Cobre

Sendo Ne o número total de enrolamentos de um

transformador e ri a resistência elétrica de cada um

deles, as perdas totais no cobre (também denominadas “perdas ôhmicas”) serão:


34

𝑃𝐶𝑢 =

𝑖=1

𝑁𝑒

𝑟𝑖 𝐼𝑖2 (2.7)

Sumário

Perdas por Histerese

As perdas por histerese surgem da energia absorvida pelo núcleo de

ferro para percorrer os laços de histerese.

Sendo Bm a indução magnética de pico e f a frequência de operação,

as perdas por histerese podem ser escritas como:

onde x (o expoente de Steinmetz) e kh são parâmetros que devem ser

determinados experimentalmente.


35

𝑃ℎ = 𝑘𝑘𝑓𝐵𝑚𝑥 (2.8)

Sumário

Perdas por Correntes de Foucault

As perdas por Foucault surgem das correntes induzidas no núcleo de ferro,

também denominadas “correntes parasitas”. Sendo s a condutividade do núcleo, d a espessura das lâminas do núcleo, Bm a indução magnética de

pico e f a frequência de operação, as perdas por Foucault serão:

Note que as perdas por Foucault são diretamente proporcionais a s2 e a d2. Logo, quanto mais finas e menos condutivas forem as lâminas, menores

serão as perdas por Foucault.


36

𝑃𝐹𝐶 =𝜋2𝜎

6𝑓2𝑑2𝐵𝑚

2 (2.9)

Sumário

Perdas no Ferro

Na prática as perdas por Foucault e por histerese não

são medidas separadamente. De fato, a maneira mais

fácil de determinar tais perdas é por meio do ensaio a vazio, que resulta nas perdas no ferro:


37

𝑃𝐶 = 𝑃𝐻 + 𝑃𝐹𝐶 (2.10)

Sumário

Sumário

Reatâncias do Transformador (1)

Como mostra a anterior, o fluxo total do transformador divide-se em três

componentes: o fluxo mútuo entre o primário e o secundário, o fluxo

disperso no primário e o fluxo disperso no secundário.

É possível representar os fluxos por meio de reatâncias. Inicialmente,

sabemos que:

onde “i” é o índice do enrolamento em questão.

Da Lei de Hopkinson, temos:


38

𝑥𝑖 = 𝜔𝐿𝑖 = 𝜔𝑁𝑖2

ℛ,

𝑥𝑖 = 𝜔𝑁𝑖2

Τℱ𝑖 𝜙𝑖ou 𝑥𝑖 = 𝜔

𝑁𝑖2

ℱ𝑖𝜙𝑖 (2.11)

Sumário

Reatâncias do Transformador (2)

As reatâncias de dispersão do transformador correspondem à potência

fornecida pela fonte de alimentação, mas que não estão disponíveis para

realizar o processo de transformação.

Da mesma forma, o fluxo mútuo, ou fluxo de magnetização, pode ser

escrito em função de uma reatância de magnetização:


39

𝑥𝑚 = 𝜔𝑁2

ℱ𝑚𝜙𝑚 (2.12)

Sumário

Circuito Equivalente do Transformador Real

A terminologia completa de impedâncias e correntes que usaremos é a

seguinte:


40

𝑟1 = resistência ôhmica do primário (Ω).𝑟2 = resistência ôhmica do secundário Ω .𝑟𝐶 = resistência de perdas no ferro Ω .𝑥1 = reatância de dispersão do primário Ω .𝑥2 = reatância de dispersão do secundário Ω .𝑥𝑚 = reatância de magnetização Ω .𝐼1 = corrente do primário A .𝐼2 = corrente do secundário A .𝐼𝜙 = corrente de excitação A .

𝐼𝐶 = corrente de perdas no ferro A .𝐼𝑚 = corrente de magnetização A .𝐼𝐶 = corrente de perdas no ferro A .

Sumário

Magnetização do Núcleo

Considerando que o fluxo concatenado seja um função senoidal do

tempo de frequência w rad/s, podemos escrever:

A tensão induzida no primário será:

Calculando o valor eficaz da tensão, teremos:


41

𝜙 = 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛ω𝑡

𝑒1 = 𝑁1𝑑𝜙

𝑑𝑡𝑒1 = 𝜔𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 2𝜋𝑓𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡ou

𝑉1 =2𝜋

2𝑓𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥

ou𝜙𝑚𝑎𝑥 =

𝐸

𝜋 2𝑓𝑁1(2.13)

Sumário

Equivalente do Transformador Real (1)

O circuito equivalente do transformador real é inicialmente construído

adicionando-se as resistências dos condutores e as reatâncias de

dispersão ao circuito do transformador ideal.


42

Figura (2.4)

Sumário

Ramo de Excitação

Os efeitos de excitação do núcleo

precisam ser agora incluídos.

Charles P. Steinmetz (1865-1923)

representou a excitação dividindo-a

em duas partes: magnetização e

perdas no núcleo.

O fluxo de magnetização fm, é

produzido pela corrente de magnetização Im e as perdas no ferro

são produzidas pela corrente Ic.

O ramo de excitação é representado

ao lado.


44

Figura (2.5)

Sumário

Equivalente do Transformador Real (2)

O equivalente do transformador real é finalizado adicionando-se o ramo

de excitação ao equivalente anterior.


44

Figura (2.6)

Sumário

Equacionamento do Trafo Real


45

ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 + ሶ𝐼1′ (2.14)

ሶ𝐼𝜙 = ሶ𝐼𝑚 + ሶ𝐼𝑐 (2.15)

ሶ𝑉1 = ሶ𝐸1 + ሶ𝐼1 𝑟1 + 𝑗𝑥1 (2.22)

ሶ𝐸2 = ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2 𝑟2 + 𝑗𝑥2 (2.23)

𝑃𝑐 =𝐸1

2

𝑟𝑐(2.16)

𝑃𝑐 = 𝑟𝑐 𝐼𝑐2 (2.17)

𝑄𝑚 =𝐸1

2

𝑥𝑚(2.19)

𝑄𝑚 = 𝑥𝑚 𝐼𝑚2 (2.20)

ሶ𝐸1 = 𝑘 ሶ𝐸2 (2.18)

𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1𝐼12 + 𝑟2𝐼2

2 (2.21)

Sumário

Figura (2.7)

Diagrama Fasorial a Vazio (1)

Sabendo que o fluxo e as fems estão defasados de 90°, o diagrama ao lado pode ser construído.

Note que o fluxo de magnetização é tratado como um fasor, embora seja a rigor um escalar (lembremos da Lei de Gauss do magnetismo).

Esse tipo de “vetorização” ou “fasorização” do fluxo magnético será útil em varias oportunidades.

Note que, no momento, por facilidade, as fems do primário e do secundário estão representadas em oposição de fase.


Sumário

Diagrama Fasorial a Vazio (2)

Quando a vazio, a relação (2.22)

se torna:

O diagrama ao lado ilustra todos

os fasores do transformador

monofásico a vazio.

Note que, neste caso, a corrente

que passa pela resistência do

primário é apenas a corrente de

excitação.


Figura (2.8)

ሶ𝑉1 = ሶ𝐸1 + ሶ𝐼𝜙 𝑟1 + 𝑗𝑥1

Sumário

Sumário

Figura (2.9)

Diagrama Fasorial Sob Carga (1)

Supondo um transformador alimentando carga indutiva, o diagrama fasorial é

construído a partir da equação (2.22).


Sumário

Figura (2.10)

Diagrama Fasorial Sob Carga (2)

O diagrama fasorial completo, com as grandezas do secundário incluídas, é mostrado

abaixo.


Sumário

Transferência de Impedância

Lembrando das relações de transformação (relação 2.5), podemos escrever:

Uma impedância Z2 no secundário pode ser escrita em função de uma impedância Z1 no primário:

A relação (2.24) é denominada transferência de impedância e significa que uma impedância do secundário pode ser “vista” do primário desde que multiplicada por k2.


50

𝑉1 = 𝑉2𝑘 e 𝐼1 =𝐼2𝑘

𝑍1 =𝑉1𝐼1

=𝑘𝑉2𝐼2/𝑘

= 𝑘2𝑉2𝐼2

ou 𝑍1 = 𝑘2𝑍2 (2.24)

Sumário

Equivalente “T” Referido ao Primário

O circuito equivalente referido ao primário, também denominado

Equivalente T, pode ser agora construído tomando-se como base a

transferência de impedância.


51

Figura (2.11)

Sumário

Equacionamento do Equivalente “T”

Referido ao Primário Algumas relações no circuito referido ao primário podem ser simplificadas

em relação ao circuito completo, conforme abaixo:

As demais relações permanecem as mesmas.


52

ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +ሶ𝐼2𝑘

(2.25)

ሶ𝑉1 = ሶ𝐸 + ሶ𝐼1 𝑟1 + 𝑗𝑥1 (2.30)

ሶ𝐸 = ሶ𝑘𝑉2 + ሶ𝐼2 𝑘𝑟2 + 𝑗𝑘𝑥2 (2.29)

𝑃𝑐 =𝐸2

𝑟𝑐(2.27)

𝑄𝑚 =𝐸2

𝑥𝑚(2.26)

𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1𝐼12 + 𝑟2𝐼2

2 (2.28)

Sumário

Figura (2.12)

Diagrama Fasorial do Equivalente “T” – Carga Indutiva O diagrama fasorial do Equivalente T é igual ao diagrama do circuito completo, desde

que façamos E1 = E2 = E. Por facilidade de visualização, vamos remover os fasores-

corrente do ramo de excitação e agrupar os demais fasores do lado direito.


Sumário

Diagrama Fasorial do Equivalente “T” – Carga Capacitiva

No caso de carga capacitiva a corrente do secundário se adianta em relação à

tensão do secundário.


Figura (2.13)

Sumário

Equivalente “T” Referido ao Secundário

Um Equivalente “T” referido ao secundário também pode ser construído.


55

Figura (2.14)

Sumário

Equivalente Simplificado Ref. Primário (1)

Em algumas situações a corrente de excitação é muito pequena em

comparação com a corrente do primário. O ramo de excitação pode

então ser posicionado em paralelo com a fonte de alimentação.

Por conveniência duas variáveis são definidas:

O circuito equivalente simplificado referido ao primário, também

denominado Circuito L, é mostrado na página seguinte.


56

𝑟𝑒𝑞 = 𝑟1 + 𝑘2𝑟2 (2.31)

𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑘2𝑥2 (2.32)

Sumário

Equivalente Simplificado Ref. Primário (2)


57

Figura (2.15)

Sumário

Equacionamento do Equivalente “L”

Algumas relações podem ser ainda mais simplificadas:



58


(2.33)

ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2

𝑘𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 (2.37)

𝑃𝑐 =𝑉12

𝑟𝑐(2.35)

𝑄𝑚 =𝑉12

𝑥𝑚(2.34)

𝑃𝐶𝑢 = 𝑟𝑒𝑞𝐼2𝑘

2

(2.36)

Sumário

Exemplo 2.1 (1)

Um transformador monofásico de 100 kVA, 8.000/320 V tem os seguintes

parâmetros de circuito equivalente: r1=5.0 W; r2=0,0075 W; x1=6,0 W; x2=0,009

W; rc=50 kW; xm=10 kW. Os parâmetros em série estão referidos aos seus próprios lados e os parâmetros em paralelo estão referidos ao lado de alta.

O transformador opera com fator de potência 0,9 indutivo. Considerando

V2=320 V, tomado como referência, calcule as perdas no ferro e a

potência de magnetização usando o circuito: a)equivalente “T”; b)

equivalente “L”.

Para o equivalente “T”:


59

ሶ𝐼2 =𝑆

𝑉2. exp −𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑝 =

100.000

320. exp −25,84 = 312,5. exp(−25,84)

ሶ𝐸 = 𝑘 ሶ𝑉2 + ሶ𝐼2 𝑘𝑟2 + 𝑗𝑘𝑥2 = 25 × 320 + 312,5. exp(−25,84) × 0,005 + 𝑗0,006

Sumário

Exemplo 2.1 (2)

Perdas no ferro:

Potência de magnetização:


60

ሶ𝐸 = 8.055,61. exp(0,179)

𝑃𝑐 = 1.297,86 𝑊𝑃𝑐 =𝐸2

𝑟𝑐=

8.055,61 2

50.000

𝑄𝑚 =𝐸2

𝑥𝑚=

8.055,61 2

10.000𝑄𝑚 = 6.489,28 var

Sumário

Exemplo 2.1 (3)

Para o equivalente “L”:

Tensão de entrada para 320V na saída:

As perdas no ferro e potência de magnetização podem ser calculadas

como antes, com V1 no lugar de E.


61

𝑃𝑐 = 1.335,89 𝑊 𝑄𝑚 = 6.679,47 var

𝑟𝑒𝑞 = 𝑟1 + 𝑘2𝑟2 = 9,69 Ω 𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑘2𝑥2 = 11,63 Ω


𝑘𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 = 25 × 320 +

312,5

25. exp(−𝑗25,84) × 9,69 + 𝑗11,63

ሶ𝑉1 = 8.172,80. exp 𝑗0,547 𝑉 .

O erro entre os cálculos

com os dois equivalentes

é 2,85%.

Sumário

Equivalente Simplificado Referido ao Primário sem Ramo de Excitação

Em algumas aplicações o

ramo de excitação pode

ser totalmente desprezado sem grandes prejuízo aos

cálculos.

Um circuito sem ramo de

excitação, referido ao primário, é mostrado ao

lado.


Figura (2.16)

Sumário

Equacionamento do Equivalente

Simplificado Algumas relações bastante simplificadas:



63


(2.33)


𝑘𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 (2.37)

𝑃𝑐 =𝑉12

𝑟𝑐(2.35)

𝑄𝑚 =𝑉12

𝑥𝑚(2.34)

𝑃𝐶𝑢 = 𝑟𝑒𝑞𝐼2𝑘

2

(2.36)

Sumário

Laboratório: Ensaio a Vazio

O objetivo do ensaio a vazio é determinar o valor dos parâmetros

do ramo de excitação. Deve-se deixar o lado de alta tensão a

vazio, alimentar o lado de baixa com tensão nominal e medir corrente e potência, conforme abaixo.


64

Figura (2.17)

Sumário

Equivalente a Vazio

A vazio podemos usar o equivalente L e desconsiderar o ramo série,

pois a corrente circulando por ele é desprezível, conforme mostrado

abaixo.


65

Figura (2.18)

Sumário

Cálculo dos Parâmetros a Vazio

Tendo-se medido V0, P0 e I0, os parâmetros do ramo de excitação podem

ser determinados conforme se segue, referidos ao lado de baixa tensão.

Da mesma forma:


66

𝑃0 =𝑉02

𝑟𝑐𝑟𝑐(𝐵) =

𝑉02

𝑃0(2.38)ou

𝑄0 =𝑉02

𝑥𝑚ou 𝑥𝑚 =

𝑉02

𝑄0,

ou, ainda:𝑥𝑚(𝐵) =

𝑉02

𝑉02𝐼0

2 − 𝑃02

(2.39)

Sumário

Laboratório: Ensaio em Curto-Circuito

O objetivo do ensaio em curto é determinar o valor dos parâmetros do

ramo em série. Devemos deixar o lado de baixa tensão em curto e

alimentar o lado de alta, de modo que circule corrente nominal. A seguir medimos tensão e potência, conforme abaixo.


67

Figura (2.19)

Sumário

Equivalente em Curto

Em curto podemos desconsiderar o ramo em paralelo, pois a corrente

circulando por ele é desprezível, conforme mostrado abaixo.


68

Figura (2.20)

Sumário

Cálculo dos Parâmetros em Curto

Tendo-se medido Vcc, Pcc e Icc, os parâmetros do ramo de excitação podem

ser determinados conforme se segue, referidos ao lado de alta.

Da mesma forma:


69

𝑃𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑞𝐼𝑐𝑐2

𝑟𝑒𝑞(𝐴) =𝑃𝑐𝑐

𝐼𝑐𝑐2 (2.40)ou

ou,

𝑥𝑒𝑞(𝐴) =𝑉𝑐𝑐2𝐼𝑐𝑐

2 − 𝑃𝑐𝑐2

𝐼𝑐𝑐2

(2.41)𝑄𝑐𝑐 = 𝑥𝑒𝑞𝐼𝑐𝑐2

Sumário

Cálculo dos Parâmetros em Curto

Para facilitar os cálculos é interessante converter os parâmetros para o

mesmo lado. Por exemplo, convertendo os parâmetros em série para o

lado de baixa tensão, teremos:

Os parâmetros do circuito T podem ser estimados da seguinte forma:


70

𝑟𝑒𝑞(𝐵) = 𝑘2𝑟𝑒𝑞(𝐴) (2.42) 𝑥𝑒𝑞(𝐵) = 𝑘2𝑥𝑒𝑞(𝐴) (2.43)

𝑟1 𝐵 = 𝑟2 𝐵 = 0,5 × 𝑟𝑒𝑞(𝐵) (2.44) 𝑥1 𝐵 = 𝑥2 𝐵 = 0,5 × 𝑥𝑒𝑞(𝐵) (2.45)

Sumário

Rendimento do Transformador (1)

O rendimento de qualquer máquina é a relação entre a potência de

saída e a potência de entrada. Definindo:

O rendimento pode ser escrito como:


71

𝑃𝑖 = potência de entrada.𝑃𝑜 = potencia de saída.

𝑃𝑐 = perdas no ferro.𝑃𝐶𝑢1 = perdas no cobre do primário.𝑃𝐶𝑢2 = perdas no cobre do secundário.

𝜂 =𝑃𝑜

𝑃𝑜 + 𝑃𝐶𝑢1 + 𝑃𝐶𝑢2 + 𝑃𝑐(2.46)𝜂 =

𝑃𝑜𝑃𝑖

ou

Sumário

Rendimento do

Transformador (2)

A curva do rendimento em

função da carga é mostrado

ao lado, com parâmetros ilustrativos.

Podemos perceber que o

rendimento é pequeno até um

certo nível de carga, tornando-se máximo em um ponto ótimo

e decaindo um pouco a seguir.

Esse é um dos problemas dos

transformadores operando

com carga reduzida.


Figura (2.21)

Sumário

Sumário

Rendimento Máximo

O rendimento máximo ocorrerá quando a derivada do rendimento em relação à corrente for nula. Utilizando o Circuito L, podemos escrever:

Assim, o rendimento é máximo para a carga na qual as perdas no ferro igualam as perdas no cobre. Este fenômeno pode ser facilmente observado no gráfico anterior.


73

𝜂 =𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑟𝑒𝑞𝐼

2 − 𝑃𝑐𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑑𝜂

𝑑𝐼=𝐼 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝐼𝑟𝑒𝑞 − 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝐼2𝑟𝑒𝑞 − 𝑃𝑐

𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 2= 0

𝑟𝑒𝑞𝐼2 = 𝑃𝑐 ou 𝑃𝐶𝑢 = 𝑃𝑐 (2.47)

Sumário

Regulação de Tensão

A regulação de tensão é uma medida da variação da tensão do secundário provocadas por variações na carga. Sendo V2(0) a tensão do

secundário a vazio e V2(L) a tensão do secundário sob carga, podemos

escrever:

A regulação percentual pode ser escrita como:


74

𝑅 = อ𝑉2 0 − 𝑉2 𝐿

𝑉2 0𝑉1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(2.48)

𝑅(%) = อ100 ×𝑉2 0 − 𝑉2 𝐿

𝑉2 0𝑉1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(2.49)

Sumário

Exemplo 2.2 – Regulação Positiva (1)

Vamos usar o Equivalente L para calcular inicialmente um circuito com

regulação positiva. Seja um transformador de 10 kVA, 2.400/240 V, r1=3,0 W;

r2=0,03 W; x1=15,0 W; x2=0,15 W. O fator de potência inicialmente é 0,8 indutivo.

A impedância referida ao primário é:


75

𝑘 =2.400

2400= 10

ሶ𝑍𝑒𝑞 1 = 𝑟1 + 𝑘2𝑟2 + 𝑗 𝑥1 + 𝑘2𝑥2 = 3,0 + 3,0 + 𝑗 15,0 + 15,0

ሶ𝑍𝑒𝑞 1 = 6,0 + 𝑗30,0 = 30,59. exp(𝑗78,7) Ω

Sumário

Exemplo 2.2 – Regulação Positiva (2)

Agora calculamos a corrente:

A tensão do secundário para V1=2.400 será:


76

ሶ𝐼2 =𝑆

𝑉2. exp −𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑝 =

10.000

240. exp −36,87 = 41,7. exp(−36,87)

𝑘 ሶ𝑉2 = ሶ𝑉1 − ሶ𝑍𝑒𝑞 1ሶ𝐼2𝑘= 2.400 − 30,59 ×

41,7

10× exp 78,7 − 36,87

ሶ𝑉2 = 230,67. exp −2,11

𝑅 =𝑉2 0 − 𝑉2(𝐿)

𝑉2 0=240 − 230,67

240= 0,0389 ∴ 𝑅 % = +3,89%

Sumário

Exemplo 2.3 – Regulação Negativa (1)

Seja agora um caso de fator de potência 0,8 adiantado. A corrente será:

A tensão do secundário para V1=2.400 será:


77

ሶ𝐼2 = 41,7. exp(+36,87)

𝑘 ሶ𝑉2 = 2.400 − 30,59 ×41,7

10× exp 78,7 + 36,87 = 230,69. exp( 115,57)

ሶ𝑉2 = 245,77. exp −2,68

𝑅 =𝑉2 0 − 𝑉2(𝐿)

𝑉2 0=240 − 245,77

240= −0,024 ∴ 𝑅 % = −2,4%

Sumário

Curvas de

Regulação

A figura ao lado mostra as

curvas de regulação para

três fatores de potência, com a potência do

transformador variando de

zero até o valor nominal.


Figura (2.22)

Sumário

O Autotransformador79

Sumário

Figura (2.23)

Autotransformadores

Um autotransformador tem apenas um

enrolamento, conforme mostrado ao

lado. A formação do primário e do secundário é feita por meio de um tap,

o que faz o autotransformador ser

acoplado eletricamente, além de

magneticamente.

O tap pode ser fixo, deslizante ou

selecionável por meio de contatos,

permitindo a obtenção de diversos

níveis de tensão.

Da mesma forma que corre com os

transformadores comuns, os

autotransformadores podem ser

abaixadores ou elevadores.


80

Sumário

Definição das Variáveis


81

𝑁𝑠 = número de espiras do enrola −mento série.

𝑁𝑐 = número de espiras do enrola −mento comum.

𝑁𝑇 = 𝑁𝑠 + 𝑁𝑐= número total de espiras do autotrafo.

ℱ𝑇 = 𝑓𝑚𝑚 total Ae .ℱ𝑠 = 𝑓𝑚𝑚 do enrolamento série Ae .ℱ𝑐 = 𝑓𝑚𝑚 do enrolamento comum Ae .𝐼𝑒𝑥 = corrente de excitação A .𝑉𝑐 = tensão do enrolamento comum (V).𝐼𝑐 = corrente do enrolamento

comum (A).

𝑉𝑠 = tensão nominal do enrola −mento série (V).

𝐼𝑠 = corrente do enrolamentosérie (A).

𝑆𝐵 = 𝑉𝑠𝐼𝑠 = potência nominal dotransformador antes de serconectado como autotrafo VA .

𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = potência conduzida VA .𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = potência transformada VA .𝑆𝑖𝑛 = potência de entrada VA .𝑆𝑜𝑢𝑡 = potência de saída VA .

Sumário

Autotransformador Elevador


82

Figura (2.24)

Sumário

Autotransformador Abaixador


83

Figura (2.25)

Sumário

Equacionamento do Autotransformador


84

𝐼2 = 𝐼𝑠 + 𝐼𝑐 (2.51)

𝐼1 = 𝐼𝑠 (2.52)

𝐼𝑒𝑥 ≅ 0 (2.50)

𝑘 =𝑁𝑠 + 𝑁𝑐

𝑁𝑐(2.53)

𝑉𝑐𝑉𝑠=𝐼𝑠𝐼𝑐=𝑁𝑐𝑁𝑠

(2.54)

𝑉1 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (2.55)

𝑉1𝑉2

=𝐼2𝐼1= 𝑘 (2.56)

𝑆𝑖𝑛 = 𝑉1𝐼1 (2.58)

𝑆𝑜𝑢𝑡 = 𝑉2𝐼2 (2.59)

𝑆𝑖𝑛 ≅ 𝑆𝑜𝑢𝑡 (2.60)

𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉𝑐 𝐼2 − 𝐼𝑠 (2.62)

𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉2𝐼2 1 −1

𝑘(2.63)

𝑉𝑐 = 𝑉2 (2.57)𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑆𝑜𝑢𝑡

𝑁𝑠𝑁𝑠 + 𝑁𝑐

(2.64)

𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑆𝑜𝑢𝑡 − 𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 (2.65)

𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑆𝑜𝑢𝑡𝑁𝑐

𝑁𝑠 + 𝑁𝑐(2.66)

𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉𝑐𝐼𝑐 (2.61)

Sumário

Exemplo 2.4 – Autotrafo Elevador (1)

Um transformador de 60 VA, 120/12 V, 5 A (no secundário) foi reconectado

como um autotransformador elevador. O enrolamento de 120 V é o

enrolamento comum e o enrolamento de 12 V é o enrolamento série. Determine: (a) o fator de transformação k; (b) a tensão na saída para 105

V aplicados no primário; (c) a potência total transferida; (d) a potência

transformada; (e) a potência conduzida.

Fator de transformação:

Tensão no secundário:


85

𝑉2 =𝑉1𝑘=

105

0,909

𝑘 =𝑉𝑐

𝑉𝑠 + 𝑉𝑐=

120

120 + 12=120

132∴ 𝑘 = 0,9091

∴ 𝑉2 = 115,5 𝑉

Sumário

Exemplo 2.4 – Autotrafo Elevador (2)

Potência nominal transferida:

Potência nominal transformada:

Potência conduzida


86

𝑆𝑜𝑢𝑡 = 𝑉2𝐼𝑛𝑜𝑚 = 115,5 × 5 ∴ 𝑆𝑜𝑢𝑡 = 577,5 𝑉𝐴

𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑉1𝐼2 = 105 × 0,50 ∴ 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 52,5 𝑉𝐴

𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑆𝑜𝑢𝑡 − 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 577,5 − 52,5∴ 𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 525 𝑉𝐴

𝐼2 =𝑆𝑛𝑜𝑚𝑉𝑛𝑜𝑚

=60

120= 0,50

Sumário

Conclusões

Pelo preço de um transformador de 60 VA nominais obtemos um

transformador capaz de transformar 577,5 VA. A potência que não é

transferida magneticamente (52,5 VA) é transferida eletricamente (525

VA). Por causa disso o autotransformador é mais econômico do que o transformador convencional.

Outra característica aqui é que se deseja elevar a tensão de 105 V para

apenas 115,5 V. Nesse caso seria um desperdício adquirir um transformador de 525 VA para realizar somente esta operação.

Uma desvantagem do autotransformador é a ausência de isolamento

elétrico. Uma falha no isolamento dos enrolamentos pode resultar e tensão

plena aplicada à carga.

No caso de redes trifásicas os autotransformadores têm a limitação de não

suprimir harmônicos de corrente.


87

Sistema Por Unidade (PU)88

Sumário

Definição do Sistema Por Unidade

Um valor em PU é o valor original de uma grandeza, tal como tensão,

corrente, impedância, etc., escrito em relação a um valor base da mesma

grandeza. Sendo Vreal o valor da grandeza original e Vbase o valor base, o valor expresso em PU será:

Um valor expresso em PU é igual a um centésimo do mesmo valor, quando

expresso de forma percentual. Da mesma forma que percentuais, valores

em PU são adimensionais. Todavia, costumamos anexar a partícula “PU”

ao final dos valores, de modo a evitar confusão.


89

𝑉𝑝𝑢 =𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒

(2.85)

Sumário

Algumas Vantagens do Sistema PU

Os fabricantes de equipamentos tais como geradores, motores e

transformadores costumam fornecer reatâncias e impedâncias já em PU

ou em percentual, expressas nas bases nominais dos equipamentos.

Equipamentos semelhantes (mesma tensão, mesma potência, etc.) têm

impedâncias semelhantes quando expressas em PU. Isso facilita os cálculos

para substituição de equipamentos e para expansão e reformulação de

redes.

A impedância de transformadores, quando expressa em PU, é

independente do lado (alta, média, baixa tensão) que tomamos como

referência.

A impedância dos transformadores torna-se independente do tipo de

ligação (delta-estrela, delta-delta, estrela-estrela, etc.).

Nas máquinas trifásicas, o uso do é minimizado.


90

√3

Sumário

Escolha das Bases (1)

Em sistemas elétricos há três grandezas importantes: tensão elétrica,

potência aparente, corrente elétrica e impedância. Escolhendo-se as

bases para duas dessas grandezas, as bases para as outras seguem-se diretamente.

Por exemplo, sendo Vb e Sb as bases de tensão e potência, respecti-

vamente, a impedância base é:

A corrente base para sistemas monofásicos é:


91

𝑍𝑏 =𝑉𝑏

2

𝑆𝑏(2.86)

𝐼𝑏 =𝑆𝑏𝑉𝑏

(2.87)

Sumário

Escolha das Bases (2)

Para sistemas trifásicos a corrente base será:

A impedância base também pode ser escrita da seguinte forma:


92

𝐼𝑏 =𝑆𝑏

3𝑉𝑏(2.88)

𝑍𝑏 =𝑉𝑏𝐼𝑏

(2.89)

Sumário

Exemplo 2.5 (1)

(CHAPMAN, Exemplo 2.3) Considere o sistema de potência abaixo.


93

Figura (2.26)

Sumário

Exemplo 2.5 (2)

Os dados do sistema são os seguintes:

Vamos escolher as seguintes bases na região do gerador:

As bases de corrente e impedância são calculadas a partir das bases de

tensão e potencia:


94

𝑉𝐺 = 480 𝑉 Transformador 1: 𝑘1= 1/10 Transformador 2: 𝑘2 = 1/10

𝑍𝐿𝑇 = 20 + 𝑗60 Ω 𝑍𝐿 = 10. exp(𝑗30) Ω

𝑉𝑏1 = 480 𝑉 𝑆𝑏 = 10 𝑘𝑉𝐴

𝐼𝑏1 =𝑆𝑏𝑉𝑏1

=10.000

480= 20,83 𝐴 𝑍𝑏1 =

𝑉𝑏1𝐼𝑏1

=480

20,83= 23,04 Ω

Sumário

Exemplo 2.5 (3)

As tensão base se transformam da mesma forma que as tensões reais:

Enquanto a potência base permanece a mesma em todo o sistema.

As demais bases na região 2 serão:


95

𝑉𝑏2 =𝑉𝑏1𝑘1

=480

1/10= 4.800 𝑉

𝑆𝑏2 = 𝑆𝑏1 = 10.000 𝑉𝐴


=10.000

4.800= 2,083 𝐴 𝑍𝑏2 =

𝑉𝑏2𝐼𝑏2

=480

2,083= 2.304 Ω

Sumário

Exemplo 2.5 (4)

Na região 3 teremos

As demais bases na região 3 serão:


96

𝑉𝑏3 =𝑉𝑏2𝑘2

=4.800

20/1= 240 𝑉

𝑆𝑏3 = 10.000 𝑉𝐴


=10.000

240= 41,67 𝐴

𝑍𝑏3 =𝑉𝑏3𝐼𝑏3

=240

41,67= 5,76 Ω

Sumário

Exemplo 2.5 (5)

Agora convertemos os valores para pu:


97

𝑉𝐺𝑝𝑢

=𝑉𝐺𝑉𝑏1

=1,0

1,0= 1,0 𝑝𝑢

𝑍𝐿𝑇𝑝𝑢

=𝑍𝐿𝑇𝑍𝑏2

=20 + 𝑗60

2.304= 0,00866 + 𝑗0,026 𝑝𝑢

𝑍𝐿𝑝𝑢

=𝑍𝐿𝑍𝑏3

=10. exp(𝑗30)

5,76= 1,736. exp(𝑗30)𝑝𝑢

𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑝𝑢

= 𝑍𝐿𝑇𝑝𝑢

+ 𝑍𝐿𝑇𝑝𝑢

= 1,5117 + 0,894 𝑝𝑢 = 1,756. exp 𝑗30,6 𝑝𝑢

𝐼𝐺𝑝𝑢

= 𝐼𝐿𝑇𝑝𝑢

= 𝐼𝐿𝑝𝑢

=𝑉𝑝𝑢

𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑝𝑢 =

1,0

1,756. exp(𝑗30,6)= 0,569. exp(−𝑗30,6)

Sumário

Exemplo 2.5 (6)

A figura abaixo mostra o circuito final convertido para PU.


98

Figura (2.27)

SumárioSumário

Diagramas Unifilares

Diagramas unifilares são interessantes por se aplicarem tanto a sistemas monofásicos quanto a sistemas trifásicos equilibrados.

O diagrama da Figura (2.25), por exemplo, pode ser dese-nhado como ao lado. Os barramentos 2 e 3 delimitam as regiões operacionais.

Em um sistema de potência, além de outros barramentos, cada enrolamento de um transformador define um barramento.


Figura (2.28)

O Transformador de Alta Frequência100

Sumário

Transformadores de Alta Frequência

Quando os transformadores devem operar em frequências superiores a

60 Hz, seja em AF ou RF, algumas características especiais aparecem.

Uma dessas característica é a elevada permeabilidade que o núcleo

deve ter em frequências elevadas, o que torna impossível o uso de

chapas de aço silício.

Outra característica é a operação em várias frequências, e não

apenas em uma frequência fixa. Dizemos então que o transformador

deve ter banda larga.


101

Sumário

Resposta em Frequência

A resposta em frequência de

um transformador de alta

frequência pode ser medida por meio das perdas por

inserção em relação, como

mostrado ao lado.

As perdas por inserção correspondem à fração de

potência perdida quando o

transformador é inserido em

um sistema de transmissão,

comparadas a um trans-

formador ideal.


102

Figura (2.29)

Sumário

Circuito Equivalente

para Altas Frequências As limitações de resposta em frequência do transformador de alta frequência

são modeladas por meio da reatância capacitiva entre dois enrolamentos, (-jxc2)

e das reatâncias capacitivas dos enrolamentos em si (-jxc1 e –jxc3).


103

Figura (2.30)

Exercícios100


105

Sumário

Exercício 2.1 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.1). Um transformador

monofásico tem 50 espiras em seu enrolamento primário, cuja indutância de

dispersão é 0,8 mH. Em dado instante o fluxo entre o enrolamento primário e o secundário é 10 mWb e a corrente no primário é 20 A. Pede-se o fluxo

concatenado total no primário neste instante.


monofásico de 7.200 V/240 V, 15 kVA tem Zeq=0,06 + j0,50 W, rc=800 W e xm=160

W, todas referidas ao secundário. (a) Quando o transformador está entregando corrente nominal a um fator de potência 0,8 indutivo sob 240 V,

pede-se a tensão terminal e a corrente no primário; (b) que erro seria

cometido se o transformador fosse ideal?

Exercício 2.3 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.11). Um transformador monofásico de 5 kVA, 440/220 V é testado em vazio e em curto-circuito. Os

resultados do ensaio em vazio são 220 V; 1,10 A e 48,4 W e os resultados do

ensaio em curto são 22,8 V; 11,4 A e 52 W. Pede-se: (a) o rendimento do

transformador a plena carga e fator de potência 0,85 indutivo; (b) a que

carga o transformador atinge rendimento máximo?


106

Sumário


monofásico, 10 kVA, 7.260/240 V tem impedância equivalente de 100 + j400 W

referida ao primário. Pede-se: (a) a impedância referida ao secundário; (b) sob potência nominal, fator de potência unitário e tensão terminal igual a 220 V,

qual a tensão no lado de baixa?


monofásico de 2.400/120 V, tem impedância equivalente de 0,01 + j0,09 W, referida ao lado de baixa. As perdas no ferro são 100 W. Quando tensão

nominal é aplicada ao primário a tensão de excitação é 0,2 A. Pede-se a

regulação e o rendimento a plena carga para: (a) fator de potência 0,8

indutivo; (b) fator de potência 0,8 capacitivo.

Exercício 2.6 (FITZGERALD; KINGSLEY; UMANS, 2006, 2.11). As resistências e reatâncias de dispersão de um transformador de distribuição de 30 kVA, 60 Hz,

2.400/240 V, são: r1=0,68 W; x1=7,8 W; r2=0,0068 W ; x2=0,078 W. Cada quantidade

está referida ao seu próprio lado. Considerando que o transformador esteja

entregando potência nominal a uma carga com 230 V no lado de baixa,

encontre a tensão no lado de alta que a carga seja: (a) indutiva com fator de

potência 0,8; (b) capacitiva com fator de potência 0,8.


107

Sumário

Exercício 2.7 (FITZGERALD; KINGSLEY; UMANS, 2006, 2.18). Um transformador de

distribuição de 75 kVA, 240/7970 V, 60 Hz, tem os seguintes parâmetros referidos

ao lado de alta tensão: r1=5,93 W; x1=43,2 W; r2=3,39 W; x2=40,6 W; rc=244 kW;

xm=114 kW. Suponha que o transformador esteja fornecendo sua potência aparente nominal em seu lado de baixa. Escreva um script em Matlab para

determinar o rendimento do transformador para qualquer fator de potência,

indutivo ou capacitivo.

Exercício 2.8 (CHAPMAN, 2012, 2.3). Considere um sistema de potência simples consistindo de uma fonte ideal de tensão, um transformador elevador ideal,

uma linha de transmissão, um transformador abaixador ideal e uma carga. A

tensão da fonte é VS=480 V, a impedância da linha é ZLT=3 + j4 W e a impe-

dância da carga é ZL=30 + j40 W. (a) Considerando que os transformadores

não estão presentes no circuito, qual a tensão da carga e o rendimento do

sistema?; (b) considerando que o transformador 1 é elevador de 1 para 5 e

que o transformador 2 é abaixador de 5 para 1, qual a tensão da carga e o

rendimento do sistema?; (c) qual a relação de espiras necessária para reduzir

as perdas na linha de transmissão a 1% da potência total do gerador?


108

Sumário

Exercício 2.9 (CHAPMAN, 2012, 2.15). Um autotransformador é utilizado para

conectar uma linha de transmissão de 12,6 kV a uma outra linha de 13,8 kV. Ele

deve ser capaz de operar com 2.000 kVA. Há três fases, ligadas em YY, com seus neutros solidamente aterrados. (a) qual deve ser a relação Nc/Ns para

obter essa conexão?; (b) qual a potência aparente de cada enrolamento?;

(c) qual é a vantagem de potência desse sistema como autotransformador?;

(d) se um dos transformadores fosse religado como transformador comum,

quais seriam suas especificações nominais?

Exercício 2.10 (CHAPMAN, 2012, 2.16). Prove a seguinte afirmação: se um

transformador, com uma impedância em série Zeq, for ligado como auto-

transformador, sua impedância em série, como autotransformador, será:

𝑍𝑒𝑞′ =

𝑁𝑆𝑁𝑆 + 𝑁𝐶

𝑍𝑒𝑞


109

Sumário

Exercício 2.11 (DEL TORO, 1999, 2.15). Um transformador de 200/100 V tem uma

impedância de 0,3 + j0,8 W no enrolamento de 200 V e uma impedância de

0,1 + j0,25 W no enrolamento de 100 V. Quais as correntes nos lados de alta e de baixa se o curto-circuito ocorrer do lado de 100 V com 200 V aplicados no

lado de alta?

Exercício 2.12 (DEL TORO, 1999, 2.21). Um transformador de 10 kVA, 460/150 V,

tem resistência do enrolamento do lado de alta igual a 0,4 W e resistência do

enrolamento do lado de baixa igual a 0,02 W. A reatância de dispersão

equivalente do lado de alta é 3,2 W. Esse transformador alimenta uma carga passiva com corrente atrasada de 21,7 A em 460 V e 8 kW. Determine as

componentes resistiva e reativa da impedância de carga. Despreze a

impedância de magnetização.

Exercício 2.13 (DEL TORO, 1999, 2.23). Um transformador de 30 kVA, 240/120 V,

tem os seguintes parâmetros: r1=0,14 W; x1=0,22 W; r2=0,035 W; x2=0,055 W.

Deseja-se uma fem induzida no primário igual, em módulo, à tensão nos

terminais do primário quando o transformador fornece corrente de plena

carga. Como deve ser o transformador carregado para que se obtenha esse

carregamento?


110

Sumário

Exercício 2.14 (DEL TORO, 1999, 2.36). Um autotransformador monofásico tem

Ns=100 espiras e Nc=600 espiras. Um ensaio de curto-circuito é realizado curto-

circuitando-se o enrolamento AB e aplicando-se uma tensão reduzida no enrolamento BC. A impedância equivalente vista do enrolamento BC é 1,5 +

j4,5. (a) Calcule a impedância equivalente vista do lado AC para a condição

onde o enrolamento BC está em curto; (b) calcule a resistência equivalente

vista de BC quando AC é curto-circuitado e uma tensão aplicada a BC.

Exercício 2.15 (DEL TORO, 1999, 2.37). Um autotransformador monofásico de 40

kVA, alimenta uma impedância de 4,0.exp(-j36,9°) W, sob 200 V, a partir de uma alimentação de 125 V. Todas as perdas de potência e reatâncias de

dispersão são desprezíveis. Calcule os módulos das correntes nas partes

comuns e não comuns do transformador, considerando corrente de

magnetização igual a 0,075 PU.

Exercício 2.16 (DEL TORO, 1999, 2.40). Um transformador com potência nominal

de 40 kVA tem perdas ôhmicas totais de 250 W quando opera com 50% da

corrente nominal. Determine o valor PU da resistência equivalente.


111

Sumário

Exercício 2.17 (DEL TORO, 1999, 2.43). Um transformador com valores nominais

de 2,5 MVA, 10.000/2.000 V, 60 z, é projetado para rendimento máximo com

80% da carga nominal. O valor por unidade da impedância equivalente deste transformador é 0,02 + j0,06. Para uma carga resistiva e operação com

rendimento máximo, calcule as perdas e a mudança na tensão de uma de

carga de 80% (na tensão nominal) até a operação a vazio.

Exercício 2.18 (BIM, 2009, 2.7). Um transformador monofásico de 200 kVA, 20/2,4 kV, 60 Hz, é conectado para transformar 2,4 kV para 22,4 kV. Pede-se:

(a) a máxima potência que pode ser transferida à carga sem exceder os

valores nominais de tensão e corrente de seus enrolamentos; (b) as potências

transferidas por indução e por condução.

Exercício 2.19 (SEN, 1997, 2.10). Um transformador monofásico, 300 kVA, 11kV/2,2 kV, 60 Hz, tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente

referidos ao lado de alta tensão: req=2,784 W; xeq=8,45 W; rc=57,6 k W; xm=16,34 k

W. (a) Pede-se: (i) a corrente a vazio como um percentual da corrente a plena

carga; (ii) as perdas a vazio (i.e., perdas no ferro); (iii) o fator de potência a

vazio; (iv) as perdas no cobre a vazio. (b) Se a impedância da carga do lado

de baixa for 16.exp(-j60°), calcule a regulação usando o circuito aproximado.


112

Sumário

Exercício 2.20 (SEN, 1997, 2.13 e 2.14). Um transformador monofásico, 25 kVA,

2.300/230 V, tem os seguintes parâmetros: Zeq=4,0 + j5,0 W; rc=450 W; xm=300 W.

O transformador é conectado a uma carga de fator de potência variável. (a) Determine a regulação para plena carga no pior caso; (b) determine o

rendimento quando o transformador entrega plena carga sob tensão nominal

e fator de potência 0,85 atrasado; (c) determine o carregamento percentual

do transformador quando seu rendimento é máximo e determine este

rendimento se o fator de potência é 0,85 atrasado sob tensão 230 V na carga.

Exercício 2.21 (SEN, 1997, 2.15). Um transformador monofásico, 10 kVA,

2.400/240 V, tem as seguintes características: perdas no ferro a plena

carga=100 W; perdas no ferro a meia carga=60 W. (a) Determine o rendimento

do transformador quando alimenta plena carga sob fator de potência 0,8

atrasado; (b) determine o carregamento em PU no qual o rendimento é

máximo. Determine esse rendimento se o fator de potência da carga for 0,9;

(c) o transformador tem a seguinte curva de carga: vazio por 6 horas; 70% da

carga por 10 horas sob fator de potência 0,8 indutivo; 90% da plena carga por

8 horas sob fator de potência 0,9 indutivo. Determine o rendimento diário do

transformador.


113

Sumário

Exercício 2.22 (SEN, 1997, 2.17). Um transformador monofásico, 10 kVA, 460/120

V, 60 Hz, tem rendimento de 96% quando entrega 9 kW sob fator de potência

0,9 indutivo. Este transformador é conectado como autotransformador para alimentar uma carga de 460 V a partir de uma fonte de 580 V. Pede-se: (a)

desenhe a ligação do transformador como autotransformador; (b) determine

a máxima potência (em kVA) que o autotransformador pode suprir à carga de

460 V; (c) determine o rendimento do autotransformador a plena carga para

fator de potência 0,9 indutivo.

Exercício 2.23 (CHAPMAN, 2012, 2.9). Um transformador monofásico de 150

MVA, 15/200 kV tem resistência de 0,012 pu e reatância de j0,05 pu. A

impedância de magnetização é j50 pu. Pede-se: (a) encontre o circuito

equivalente, referido ao lado de baixa tensão, deste transformador; (b)

calcule a regulação de tensão do transformador, para uma corrente de plena

carga com fator de potência 0,8 atrasado; (c) calcule as perdas no núcleo e

no cobre nas condições do item (b); (d) considere que a tensão no primário é

15 kV. Plote a tensão no secundário como uma função da corrente de carga

para a condição desde a vazio até a plenas carga. Repita esse processo para

fatores de potência 0,8 atrasado, unitário e 0,8 adiantado.

Sumário

The End!


114

Sumário

Referências do Capítulo 2

BIN, E. Máquinas elétricas e acionamento, 2009.

CHAPMAN, S.J. Fundamentos de máquinas elétricas, 5ed. 2013.

FITZGERALD, A.E. et al. Máquinas elétricas – com introdução a eletrônica

de potência, 2006.

JORDÃO, Rubens Guedes. Transformadores, 2008.

MCPHERSON, G.; LARAMORE, R.D. An introduction to electrical machines

and transformers, 1990.

SEN, Paresh C. Principles of electric machines and power electronics. 1997.

SMITH, Ralph J. Circuitos dispositivos e sistemas – um curso de introdução à

engenharia elétrica, v.1, 1975.

WOLSKI, B. Eletromagnetismo para estudantes de engenharia, 2013.


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