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Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica
S e c r e t a r i a d e E s t a d o d a E d u c a ç ã o
D e p a r t a m e n t o d e E d u c a ç ã o B á s i c a
C o o r d e n a ç ã o d e E n s i n o M é d i o
E q u i p e D i s c i p l i n a r d e F í s i c a
A b r i l / 2 0 1 2
Esta oficina trata da formulação de um princípio fundamental da natureza – a segunda lei da Termodinâmica –, no que diz respeito à sua criação e forma de abordagem conceitual. Este tema é discutido a partir do filme Queimar, onde o filósofo Michel Serres faz uma narrativa da criação dessa lei e consequentemente da invenção da máquina térmica. Nessa oficina se discute também a compreensão e as implicações desse importante princípio através das abordagens com apoio de um experimento e das tecnologias educacionais, isto é, dos simuladores disponíveis na WEB. (Docente)
Docente
Departamento de Educação Básica. Disciplina de Física. Professor Otto H M da Silva 2
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA
COORDENAÇÃO DE ENSINO MÉDIO
EQUIPE DISCIPLINAR DE FÍSICA
Docente
Departamento de Educação Básica. Disciplina de Física. Professor Otto H M da Silva 3
Sumário Introdução ............................................................................................................................. 4
Objetivos ................................................................................................................................ 4
Justificativas ......................................................................................................................... 4
Conteúdo Estruturante ....................................................................................................... 4
Conteúdo Básico .................................................................................................................. 4
Conteúdo Específico ........................................................................................................... 5
Conhecimentos prévios ...................................................................................................... 5
Encaminhamentos ............................................................................................................... 5
Recursos .............................................................................................................................. 13
Experimento: construção de uma máquina térmica ...................................................... 13
Filme .................................................................................................................................. 13
Leituras .............................................................................................................................. 13
Simuladores ...................................................................................................................... 14
Referências ........................................................................................................................... 14
Docente
Departamento de Educação Básica. Disciplina de Física. Professor Otto H M da Silva 4
Introdução Esta oficina aborda um dos conceitos fundamentais da Física: a segunda
lei da Termodinâmica. A sua discussão é realizada a partir do filme Queimar
que corresponde a um episódio da série Lendas da Ciência, onde o filósofo
francês Michel Serres contrapõe dois mundos ilustrados nos quadros de John
Garrard e William Turner, ao descrever as máquinas existentes em cada um
deles. Neste episódio, conta-se, ainda, como surgiu a máquina térmica através
das invenções de Newcomen e Watt, e também a segunda lei da
Termodinâmica a partir da obra de Carnot. Portanto, a oficina propõe uma
discussão considerando uma perspectiva histórica do desenvolvimento da
segunda lei, mas também utiliza os recursos disponíveis na Internet (os
simuladores) para a visualização dos processos termodinâmicos. Também é
proposto um experimento para mostrar, de forma concreta, a transformação de
calor em trabalho que corresponde o centro de todas as discussões realizadas
nessa oficina.
Objetivos
A oficina tem como objetivo proporcionar metodologias diferenciadas
que motive mais os alunos no estudo da Física, possibilitando uma melhor
compreensão dos conceitos físicos; mas também oferecer um momento de
discussão e aprofundamento aos professores sobre a definição e o
entendimento da segunda lei da Termodinâmica.
Justificativas
A segunda lei da Termodinâmica, embora possa ser verificada
empiricamente, é de difícil compreensão e o seu ensino frequentemente tem
mostrado que os alunos [e até os professores] têm dificuldade na sua
compreensão; também os encaminhamentos diferenciados são poucos
utilizados, por exemplo, as abordagens históricas, o uso de HQ ou das
tecnologias educacionais, etc. Essa oficina, portanto, procura oferecer outras
formas e meios para fazer enfrentamento a estas questões.
Conteúdo Estruturante
Termodinâmica
Conteúdo Básico
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Segunda lei da termodinâmica
Conteúdo Específico
Máquina térmica
Conhecimentos prévios
Lei zero da Termodinâmica;
Primeira lei da Termodinâmica;
Transformações gasosas.
Encaminhamentos
Inicialmente, fazem-se os primeiros comentários sobre a oficina ao se
considerar o desenvolvimento, os objetivos e a justificativa. Nesses
comentários deve-se destacar a importância do estudo da segunda lei da
Termodinâmica, não só como um princípio que rege os processos físicos, mas
também pela sua abrangência estendida a todos os fenômenos naturais como
os que ocorrem nos seres vivos, inclusive com implicações sobre a evolução
do universo; ou no campo da informação, onde conceito de entropia também é
aplicado. Embora essa lei possa ser discutida segundo as abordagens do
trabalho e calor, da teoria cinética dos gases ou da teoria da informação o seu
ensino tem sido realizado, mais frequentemente, segundo a primeira
abordagem, isto é, ao se estudar a transmissão de calor por condução ou o
rendimento de máquinas térmicas, porém com pouco envolvimento do conceito
de entropia.
Após essas considerações, faz-se a sinopse do filme Legendas da
Ciência – Queimar e, em seguida, a exibição do mesmo cujo acesso pode ser
realizado através do link indicado em Recursos/Filme. O filme faz uma
abordagem interessante ao comparar as máquinas movidas pela força dos
músculos e pelo poder do fogo, através, respectivamente, dos quadros de
Garrard e de Turner. Em relação a esta comparação e após a realização da
atividade 11, faça uma rápida discussão sobre esses dois mundos,
considerando as técnicas ou máquinas presentes em cada um deles. Para isso,
utilize as imagens desses quadros e os comentários descritos no item
Subsídios teórico e histórico; também questione os participantes sobre a forma 1 Máquinas movidas pela força dos músculos: alavanca, guindaste, balança e roldana. Máquina movida pelo poder do fogo: a máquina a vapor.
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como Sarres busca explicar os dois mundos. Ou seja, como ele faz isso? Quais
as técnicas desses mundos e ao quê cada uma está associada? Ainda,
considere a forma (filme) como esse tema está sendo apresentado e questione
os participantes sobre a possibilidade da mesma ser utilizada mais vezes no
ensino de Física. Dessa forma, quais seriam, por exemplo, as dificuldades e
que vantagens ter-se-ia ao utilizar este encaminhamento?
Outra contribuição desse filme diz respeito à criação da máquina
térmica, quando o filósofo francês lembra àquelas que podem ser consideradas
precursoras da máquina a vapor: a eolípila de Heron de Alexandria e a
invenção de Denis Papin – a panela de pressão – que contém a essência do
funcionamento da máquina a vapor. Portanto, considerando esse contexto e as
figuras apresentadas na versão do participante, apresente a definição de
máquina térmica.
Em relação a panela de pressão duas questões devem ser exploradas
na atividade 2: o seu funcionamento a partir da 1ª lei da Termodinâmica e a
razão do tempo de cozimento ser menor do que numa panela convencional. Já
na atividade 3, as questões apontam para uma abordagem histórica do tema,
isto é, em que contexto foi criado a máquina térmica, qual a problemática
envolvida, quem são os criadores dessa invenção, como foi desenvolvida etc.
Assim, essas questões podem ser problematizadas e debatidas com o objetivo
de tornar o ensino de Física mais significativo e próximo ao estudante, pois se
percebe que a elaboração do conhecimento científico é essencialmente
humano e desenvolvido a partir de problemas que surgem na sociedade em
que vivemos.
No desenvolvimento empírico da máquina térmica destacam-se as
máquinas de Newcomen e James Watt que possuem características diferentes,
mas foram construídas para uma mesma finalidade – a produção de trabalho a
partir do calor. Na atividade 4, estas características serão trabalhadas através
da figura e das informações indicadas no item no filme ou em Subsídios teórico
e histórico, ao se destacar as diferenças entre elas e por meio da elaboração
de uma descrição das etapas realizadas pelo fluido térmico em cada máquina.
Depois, ao considerar estas descrições discuta as vantagens e desvantagens
entre as máquinas de Watt e de Newcomen. Para ver de forma mais clara o
funcionamento e conhecer o rendimento para alguns casos acesse os links
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(Como funcionam os motores a vapor; Locomotiva a vapor e Rendimento
térmico) indicados em simuladores. Nesses links, pode-se ver a simulação de
um motor de locomotiva a vapor e acessar outras informações. Observe que o
motor a vapor é de dupla atuação, ou seja, o “vapor vivo” chega ao cilindro por
duas entradas de forma alternada.
A compreensão teórica da máquina térmica foi desenvolvida por Carnot
no início do século XIX, aproximadamente, seis décadas depois da sua criação.
Essa abordagem teórica resultou no teorema (teorema de Carnot) que além de
fundamentar o funcionamento das máquinas térmicas, revela as limitações
naturais da conversão de calor em trabalho mecânico. Para chegar a estas
conclusões Carnot partiu de ideias básicas e concepções a cerca da energia
térmica, sua transformação em trabalho e a respectiva taxa de transformação.
Considerando esse contexto que pode ser verificado no filme e nos textos:
Carnot e a evolução das máquinas térmicas e Termodinâmica clássica ou
Termodinâmica do equilíbrio: aspectos conceituais básicos (p. 69), indicados
em Recursos, desenvolva (antes de realizar a atividade 5) uma discussão em
que as questões envolvidas sejam problematizadas e para isso seguem
algumas sugestões:
Em quais ideias Carnot se baseou para formular a sua teoria?
Qual o modelo correspondente?
Quais as considerações de Carnot acerca da transferência de calor e da
realização de trabalho?
Que conclusão ele chegou, ao fazer estas considerações?
Qual a essência do teorema de Carnot?
Qual a forma proposta por Carnot para a idealização da máquina térmica?
Estas questões muito mais que respondidas pontualmente devem
motivar discussões em torno das ideias e pressupostos que fundamentam o
teorema de Carnot. Esse teorema rege o funcionamento das máquinas
térmicas, denominadas máquinas de Carnot e que desenvolvem
transformações reversíveis, resultando num processo cíclico – ciclo de Carnot.
Estes ciclos refletem as condições em que se desenvolve a proposta de Carnot
e correspondem as ideias mais elementares da sua teoria.
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Agora, peça as participantes que realizem a atividade 5, cuja resposta
deve corresponder às transformações reversíveis e intercaladas com e sem
trocas de calor descritas a seguir (ver também o gráfico e a figura do ciclo de
Carnot):
1ª etapa: absorção isotérmica de calor da fonte quente. O sistema recebe
Qq e realiza trabalho W1→2, ao se expandir. A variação de energia interna do
sistema é nula (∆U1→2=0) nesta etapa, pois a temperatura permanece
constante;
2ª etapa: expansão adiabática com redução da temperatura até Tf. O
sistema não troca calor com a vizinhança (Q=0), mas continua a se
expandir ao realizar trabalho W2→3. No entanto, a energia (∆U2→3) diminui
na expansão adiabática;
3ª etapa: liberação isotérmica de calor para a fonte fria. O sistema cede Qf e
recebe energia através trabalho W3→4, ao ser comprimido. A variação de
energia interna do sistema é nula (∆U3→4=0) nesta etapa, pois a
temperatura permanece constante;
4ª etapa: compressão adiabática com aumento da temperatura até Tq. O
sistema não troca calor com a vizinhança (Q=0), mas continua a ser
comprimido pela vizinhança através do trabalho W4→1. No entanto, a
energia interna (∆U4→1) aumenta na compressão adiabática;
O gráfico P x V, mostrado a seguir, as etapas do ciclo de Carnot estão
representadas pelas curvas coloridas. O trabalho realizado pelo sistema (W)
corresponde à área limitada pelas quatro curvas.
Cálculo do trabalho (W) e do calor Qq e Qf realizados na atividade 6.
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De acordo com a primeira lei da Termodinâmica e o diagrama do ciclo
de Carnot, temos: 14433221 WWWWW . Observe que as grandezas
Q2, W1→2 e W2→3 são positivas; e as grandezas Q1, W3→4 e W4→1 são negativas.
A energia interna depende apenas da temperatura, portanto, nas etapas
isotérmicas temos ∆U1→2=0 e ∆U3→4=0; e nas adiabáticas pode-se escrever
que: 3232 )( WTTUU qf e 1414 )( WTTUU fq . Logo, 1432 WW .
Assim, o trabalho total W pode ser escrito como: 4321 WWW .
Mas, )1(ln1
221 V
VnRTW q
e )2(ln
3
443 V
VnRTW f . Ainda, num processo
adiabático, temos: )3(13
12
VTVT fq e )4(14
11
VTVT fq . Dividindo as
equações 3 e 4 membro a membro, têm-se: 1
1
2
3
4
4
3
1
2 )5(
VV
VV
VV
VV .
Substituindo a última expressão na equação 2, temos:
1
1
243 ln
VVnRTW f
e
1
243 ln
VVnRTW f . Substituindo esta equação e a equação 1 na última
expressão do trabalho total:
1
2
1
2 lnlnVVnRT
VVnRTW fq
1
2ln)(VVTTnRW fq . Observe que a variação da energia interna do sistema é
nula ( 0U ), pois o sistema volta à posição inicial e nas etapas isotérmicas o
sistema recebe calor Qq a uma temperatura Tq e cede calor Qf à fonte fria a
uma temperatura Tf. Aplicando a primeira lei da Termodinâmica nestas etapas
temos: 21WQq e 43WQ f , ou seja: 1
2lnVVnRTQ qq e
3
4lnVVnRTQ ff .
Ainda, sobre as condições propostas por Carnot, mostre através do
simulador Ciclo de Carnot – qualitativo, como elas estão relacionadas. Neste
aplicativo, peça aos participantes que façam a associação das etapas da
animação com cada uma das transformações que ocorrem no ciclo, onde a
condição estabelecida por Carnot é atendida.
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Na atividade 7, divide-se membro a membro as expressões dos calores
Qq e Qf, obtendo:
1
2
4
3
ln
ln
VVnRT
VVnRT
f
f
q
f . Da equação 5, temos que 4
3
1
2
VV
VV
, logo:
q
f
q
f
TT
. Assim, substituindo este resultado na expressão q
f
1 , teremos
q
f
TT
1 .
Em relação ao experimento que poderá ser demonstrado a seguir,
inclusive com a sua montagem, este tem como objetivo mostrar,
concretamente, uma transformação de calor em trabalho mecânico. No
entanto, essa transformação não corresponde a que ocorre na máquina de
Carnot, pois o vapor é resfriado ao mesmo tempo em que realiza trabalho.
Porém, independente disso faça uma análise desse processo considerando a
primeira lei da Termodinâmica, por exemplo.
Para observar e analisar o ciclo de Carnot numa máquina térmica em
funcionamento (atividades 8 e 9) serão utilizados os seguintes simuladores:
Segunda Lei da Termodinâmica: Ciclo de Carnot e Ciclo de Carnot (Flash). No
primeiro simulador (atividade 8), clique no botão “Animação Interativa” para que
a página da animação seja aberta e no modo gráfico P x V, ative os botões
“próxima tela” e “vinheta” para realizar a simulação. Observe que:
As áreas coloridas sob as curvas, em cada etapa, são iguais ao trabalho
realizado pelo sistema ou sobre o sistema. Após o ciclo ser completado, a
área interna sob as curvas corresponde ao trabalho resultante – trabalho
realizado pelo sistema sobre a vizinhança.
Na parte superior da tela, observe as colunas correspondentes aos valores
∆U, Q e W.
Nos quadros onde estão as temperaturas (maior e menor), cujos valores
podem ser alterados, obtenha o rendimento para alguns valores de
temperatura através da fórmula do rendimento.
No gráfico P x V, alterando os valores da pressão e do volume, para as
mesmas temperaturas das fontes, o rendimento muda. O rendimento numa
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máquina de Carnot depende apenas das temperaturas das fontes quente e
fria.
No segundo simulador (atividade 9), mostre aos participantes os
movimentos do pistão no cilindro e do ponto na curva correspondente no
gráfico P x V, realizados de forma simultânea – isso proporciona uma
visualização sincronizada do processo. Da mesma forma, ressalte que as
condições colocadas por Carnot são atendidas e peça aos participantes para
observarem isso na simulação. Ainda, considerando os valores de V e de P no
gráfico P x V, calcule as quantidades de calor da fonte quente e fria para obter
o rendimento dessa máquina. Depois confronte este valor ao calcular o mesmo
rendimento em função das temperaturas das fontes.
Ao considerar as ideias de Carnot e as discussões sobre a
transformação de calor em trabalho, estabeleça, agora, algumas relações
destas ideias e discussões com a segunda lei da Termodinâmica nas versões
dada por Kelvin e Clausius. Por exemplo, veja a comparação do fluxo de calor
(clórico) no motor com a queda d'água e as considerações sobre a
transferência de calor e a realização de trabalho, feitas por Carnot (ver texto
Termodinâmica clássica ou termodinâmica do equilíbrio: aspectos conceituais
básicos páginas 61 e 62).
A simulação para os refrigeradores podem ser realizadas com o
aplicativo Geladeiras ou Refrigeradores, acessado pelo link indicado em
recursos (atividade 10). Ao acessar o aplicativo clique no link Animação
Interativa para que o modo de simulação seja aberto. Inicialmente clique no
botão “Partes” e conheça as partes do refrigerador, observando a descrição de
cada um através dos textos e diagrama que aparecem conforme o botão verde
é acionado. Depois desative o botão que mostra as partes do refrigerador e
clique nos botões “Próxima Tela” e “Inicia ou continua o ciclo”,
respectivamente, e observe com atenção o esquema do refrigerador, o
respectivo gráfico e as informações abaixo do gráfico, enquanto ocorre a
simulação. Procure relacionar, em cada etapa, a parte do refrigerador com a
respectiva curva do gráfico P x V e, após estas observações, pergunte aos
participantes se a compreensão do processo que ocorre nesses refrigeradores
está mais clara e se é possível utilizar os simuladores nas aulas. Para motivar
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mais esta questão, peça aos participantes que expliquem algumas etapas do
funcionamento do refrigerador.
Outras aplicações frequentes das máquinas térmicas são os motores a
combustão interna, como os motores a quatro tempos. Para ilustrar o seu
funcionamento utilize as figuras e o ciclo correspondente, destacando cada
etapa no processo. Procure identificar, de forma sincronizada, esses tempos na
figura e gráfico (ciclo Otto), podendo utilizar também o aplicativo Ciclo Otto.
Neste recurso, o movimento do pistão no cilindro pode ser visualizado
simultaneamente com a ocorrência dos tempos representados no gráfico P x V.
Caso queira mais informações leia o texto Máquinas térmicas à combustão
interna de Otto e de Diesel indicado em Leituras.
O conceito de entropia pode ser discutido a partir da definição dada por
Clausius, mas também se deve considerar a fórmula dada por Boltzmann,
quando usa o conceito de probabilidade (ver sugestão de leitura: Entropia).
Outra abordagem para o conceito de entropia é desenvolvida pela teoria da
informação, mas não será discutia oportunamente.
Ao considerar a definição de Clausius faça uma rápida discussão sobre
os seguintes questionamentos:
Por qual razão um processo termodinâmico é reversível? Ou, o que impede
a reversibilidade de um dado processo? Por exemplo: ao se queimar um
pedaço de papel, tem-se como resultado fumaça, cinza e calor. Porém, ao
juntarmos estes ingredientes não é possível mais formar o papel.
Em relação a esta questão dê mais exemplos e instigue os participantes em
dar uma resposta.
A energia no universo é constante, ou seja, não é destruída e nem criada.
No entanto, um dos problemas que a humanidade terá no futuro é a falta de
energia. O que há por trás deste aparente paradoxo?
Em relação à abordagem de Boltzmann dê alguns exemplos ao considerar a
entropia como:
Medida de desordem;
Medida de probabilidade;
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Indicação do sentido dos processos naturais ou seta do tempo (ver
sugestão de leitura: A flecha quântica do tempo: Por que o tempo não anda
para trás e Tempo: esse velho estranho conhecido).
Recursos
Experimento: construção de uma máquina térmica Fonte: GASPAR, Alberto. Experiências de Ciências para o Ensino Fundamental. São
Paulo: Editora Ática, 2005.
Filme
Legendas da Ciência - Episódio "Queimar". Disponível em: <
http://www.youtube.com/watch?v=0-VlYTgXE9Y >.
Leituras
Termodinâmica clássica ou termodinâmica do equilíbrio: aspectos
conceituais básicos. Disponível em: <
http://www.uel.br/revistas/uel/index.php/semexatas/article/view/2974 >.
Como funcionam os motores a vapor. Disponível em: <
http://ciencia.hsw.uol.com.br/motor-a-vapor.htm >.
Máquinas térmicas à combustão interna de Otto e de Diesel. Disponível em:
<http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved
=0CCwQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.if.ufrgs.br%2F~lang%2FTextos%
2Fmaqterm.pdf&ei=10sZT7yaEsONgwfgwaTbCw&usg=AFQjCNHu_T19O9
a1TNvUwfZqU0r4SRb95Q >.
Entropia. Disponível em: <
http://www.seara.ufc.br/donafifi/entropia/entropia1.htm >
A flecha quântica do tempo: Por que o tempo não anda para trás.
Disponível em:
<http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=a-
flecha-quantica-tempo-tempo-nao-anda-tras&id=010130100122 >
Carnot e a evolução das máquinas térmicas. Disponível em<
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=Carnot+e+a+evolu%C3%A7%C
3%A3o+das+m%C3%A1quinas+t%C3%A9rmicas&source=web&cd=8&ved
=0CFkQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.sbhc.org.br%2Farquivo%2Fdownl
oad%3FID_ARQUIVO%3D291&ei=wJ1UT8CDFIfftgeN0_S9Ag&usg=AFQjC
NFPZF0b3NluB46V_lw2yGq7iqZrsg>;
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Tempo: esse velho estranho conhecido. Ciência e Cultura. Disponível em: <
http://cienciaecultura.bvs.br/pdf/cic/v54n2/14812.pdf >;
Simuladores
Ciclo de Carnot – qualitativo. Disponível em: <
http://www.professorguilherme.net/rived/fisica/novos/termica/Ciclo%20de%2
0Carnot.swf >.
Locomotiva a vapor. Disponível em: <
http://www.uff.br/fisicoquimica/docentes/raphael/didatico/maquinaavapor.ht
m >. Rendimento térmico. Disponível em: <
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19082/open/fil
e/03_laboratorio_frame.htm >.
Segunda Lei da Termodinâmica: Ciclo de Carnot. Disponível em: <
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/objetosaprendizagem/Rived/15bCarnot/in
dex.html >.
Ciclo de Carnot (Flash). Disponível em: <
http://www.ba.infn.it/~fisi2005/animazioni/animazione060.html >.
Geladeiras ou Refrigeradores. Disponível em: <
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/objetosaprendizagem/Rived/15dRefrigera
dor/index.html >.
Ciclo Otto: Disponível e: <
http://www.professorguilherme.net/rived/fisica/novos/termica/Simulador%20
de%20um%20motor%20do%20tipo%20Otto.swf>.
Referências GASPAR, Alberto. Experiências de Ciências para o Ensino Fundamental. São
Paulo: Editora Ática, 2005.
MARTINS, André Ferrer P. and ZANETIC, João. Tempo: esse velho estranho
conhecido. Cienc. Cult. [online]. 2002, v. 54, n. 2, pp. 41-44. Disponível em: <
http://cienciaecultura.bvs.br/pdf/cic/v54n2/14812.pdf >.
PÁDUA, Antonio Braz de et ali. Termodinâmica clássica ou termodinâmica do
equilíbrio: aspectos conceituais básicos. Semina: Ciências Exatas e da Terra,
Londrina, v. 29, n. 1, p. 57-84, jan./jun. 2008. Disponível em: <
http://www.uel.br/revistas/uel/index.php/semexatas/article/view/2974 >.
Docente
Departamento de Educação Básica. Disciplina de Física. Professor Otto H M da Silva 15
PIRES, A. S. T. Evolução das ideias físicas. São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2008.
SILVEIRA, Fernando Lang da. Máquinas térmicas à combustão interna de Otto
e de Diesel. Disponível em: <
http://www.fisica.ufsc.br/~pcemc/maquinasOttoDiesel.pdf >.
TIPLER, Paul Allan. Física para cientistas e engenheiros. Trad. Fernando
Ribeiro da Silva e Gisele Maria Ribeiro Vieira, v. 1, quinta edição. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
CIMBLERIS, Borisas. Carnot e a evolução das máquinas térmicas. Revista da
SBHC, n.6, p. 39-45, 1991. Disponível em<
http://www.sbhc.org.br/revistahistoria/view?ID_REVISTA_HISTORIA=36 >.
