MTM 7105

Álgebra Linear

TRANSFORMAÇÕES LINEARES, NÚCLEO,

IMAGEM

TEOREMA DAS DIMENSÕES

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

V é chamado o domínio, W o contra-

domínio.

T(v) é a imagem de v pela aplicação de T.

A transformação linear T : V V é

denominado de operator linear.

Exemplo

seja P uma matriz k×m ,

e Q uma matriz n×1.

seja T : Mm,n Mk,1

definida por

T(A) = PAQ.

Então T é uma TL.

T(A+B) = P(A + B)Q

= (PA + PB)Q

= PAQ + PBQ

= T(A) + T(B).

T(α A) = P(α A)Q

= α(PAQ)

= α T(A).

seja T : C C

definida por

T(z) = z

= o complexo

conjugado de z.

Então T é uma TL.

T(z + w) = z + w

= z + w

= T(z) + T(w).

T(αz) = αz

= α z

= α z

= α T(z).

Exemplo

seja V um espaço vetorial e {v1, …, vm} uma

base para V.

Definimos T : V R como

T(α1v1 + … + αmvm) = α1.

Logo T é uma TL.

EX.(continuação)

T(α1v1 + … + αmvm) = α1

seja T : Mn,n R definida por

T(A) = tr(A),

O traço de A, i.é., a soma dos elementos na

diagonal de A.

Então, T(A) = a11 + a22 + … + ann.

T é uma transformação linear.

EX

T(A) = tr(A) = a11 + a22 + … + ann

TEOREMA

Prova de (1):

T(0) + 0

= T(0), definição de 0

= T(0+0), definição de 0

= T(0) + T(0), linearidade

cancelando,

0 = T(0).

Prova de (2):

T(v) + T(-v)

= T(v + (-v)), linearidade

= T(0), definição de-

= 0, provado em (1)

= T(v) + (-T(v)), def.de -

assim, T(-v) = -T(v).

IMPORTÂNCIA DAS BASES

PARA TRANSFORMAÇÕES

LINEARES

Exemplo

Achar a transformação linear T : P2 P3 tal

que

T(1 + x) = -1 + 3x2,

T(1 + x2) = 3x + 5,

T(x + x2) = x3 – 4 .

Temos que,

T(a + bx + cx2)=

= T(p(1 + x) + q(1 + x2) + r(x + x2))

= pT(1 + x) + qT(1 + x2) + rT(x + x2)

= ((a+b-c)/2)(-1+3x2) + ((a-b+c)/2)(3x+5)

+ ((-a+b+c)/2)(x3 –4)

= …

NÚCLEO(KERNEL) e IMAGEM

Núcleo

V W

T

O

Ker(T)

Todos os vetores são transformados para 0

IMAGEM

V

W

T

im(T)

Conjunto de todas as images

Projeção ortogonal

Seja W um subespaço de dimensão finita de um espaço

vetorial V com produto interno.

A projeção ortogonal de V em W é a transformação

T (v ) = projwv

Exemplo

seja U um subspaço de Rn.

e P : Rn Rn definida por

P(x) = projU(x)

P é uma transformação linear.

achar ker(T) e im(T).

U

x

y

U┴

seja A uma matriz m×n

seja T : Rn Rm definida como

T(x) = Ax.

T é uma transformação linear.

Achar ker(T) e im(T).

seja T : Mn,n Mn,n definida como

T(A) = AT – A.

mostre que T é uma transformação linear.

ache ker(T) e im(T).

T(A+B) = (A+B)T –(A+B)

= AT + BT – A – B

= (AT – A) + (BT – B)

= T(A) + T(B).

T(rA) = (rA)T – rA

= r(AT) – rA

= r(AT – A) = rT(A).

ker(T) = {A : T(A) = 0}

= {A : AT – A = 0}

= {A : AT = A}

= o conjunto das matrizes simétricas

im(T) = {T(A) : A is in Mn,n}

= {AT – A : A is in Mn,n}

seja P o espaço vetorial de todos os

polinômios

consideremos T : P P definida por

T(p(x)) = p(-x) – p(x).

Mostre que T é uma transformação linear

ache ker(T) e im(T).

T(p(x)+q(x)) = (p(-x)+q(-x)) – (p(x)+q(x))

= (p(-x) – p(x)) + (q(-x) – q(x))

= T(p(x)) + T(q(x)).

T(rp(x)) = rp(-x) – rp(x)

= r(p(-x) – p(x))

= rT(p(x)).

logo, T é transfromação linear.

TEOREMA

seja T : V W uma trasnformação linear

Então:

ker(T) é um subespaço de V,

im(T) é um subespaço de W.

Prova:

ker(T) é subspaço de V

Prova:

im(T) é subspaço de W

Transformações lineares

injetoras e sobrejetoras

seja T : V W uma transformação linear.

Dizemos que :

T é sobre se imT = W.

T é injetora se

T(v1) = T(v2) implica que v1 = v2.

EXEMPLOS

Provar que T : P2 P3 onde T(p(x)) = xp(x)

é uma transformação linear.

Prove que T é um a um porém não é sobre.

T é um a um se

T(v1) = T(v2) implica v1 = v2.

se T(p(x)) = T(q(x)), então

o coeficiente de x2 de p(x)

= o coeficiente de x3 de T(p(x))

= o coeficiente de x3 de T(q(x))

= o coeficiente de x2 de q(x).

Similarmente para os outros coeficientes.

assim, p(x) = q(x).

T é sobre se imT = W.

seja T : M2,2 R dada por

T(A) = a12 – a21.

T não é um a um, porém é sobre.

T é uma a um se

T(v1) = T(v2) implica v1 = v2.

T não é um a um, desde que

para A = e B = ,

T(A) = T(B) = 2 – 2 = 0, sendo que A ≠ B.

3 2

2 3

1 2

2 1

T é sobre se imT = W.

seja T : Mn,n Mn,n definida como

T(A) = AT – A.

T não é sobre desde que

im(T) = conjunto das matrizes anti-simétricas

≠ Mn,n.

também, T não é injetora desde que

T(I) = T(0) = 0, porém I ≠ 0.

seja T : Mm,n Rmn uma transformação linear tal que para i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n.

T(Eij) = En(i-1)+j.

T(E11) = E1, T(E12) = E2, …, T(E1n) = En,

T(E21) = En+1, T(E22) = En+2, …, T(E2n) = E2n,

…, T(Emn) = Emn.

Then T is both one-to-one and onto.

uma transformação linear

é injetora se …

Teorema. seja T : V W uma

transformação linear

então T é injetora se e somente se

ker(T) = {0}.

Prova

v1 v2

v1-v2

ker(T)

Exemplo

seja P o espaço vetorial de todos os polinômios

Definimos T : P P como

T(p(x)) = p(-x) – p(x).

ker(T) = conjunto dos polinômios com potências ímpares

≠ {0}.

logo, T não é injetora

O Teorma da dimensão

seja T : V W uma transformação linear.

Se ker(T) e im(T) possuem dimensão

finita, então V tem dimensão finita e

dimV = dim(im(T)) + dim(ker(T)).

Prova

seja {b1, …,bk} uma base para ker(T).

seja {T(d1), …, T(dr)} uma base para im(T).

Então, dim(ker(T)) = k, e dim(im(T)) = r.

Isto mostra que

{b1, …,bk, d1, …, dr}

É uma base para V.

{b1, …,bk} é base para ker(T)

{T(d1), …, T(dr)} é base para im(T)

{b1, …,bk} is a basis of ker(T)

{T(d1), …, T(dr)} is a basis of im(T)

Suppose s1d1 + …+ srdr + t1b1 + … + tkbk = 0. Then

s1T(d1) + …+ srT(dr) + t1T(b1) + … + tkT(bk) = 0.

Since b1, …,bk are in ker(T), T(b1) = … = T(bk) = 0.

s1T(d1) + …+ srT(dr) = 0.

{T(d1), …,T(dr)} independent, implies s1 =…= sr = 0

Thus, t1b1 + … + tkbk = 0.

{b1, …,bk} independent, implies t1 = … = tk = 0.

So, {b1, …,bk, d1, …, dr} is linearly independent.

Therefore, {b1, …,bk, d1, …, dr} is a basis of V.

Exemplo